UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS I

PROFESORES: ÁLVARO SUÁREZ LÓPEZ.

TALLER 6

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Objetivos:

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables por medio de diversa técnicas.

• Resolver situaciones de la economía y otras aplicando sistemas de ecuaciones

RECUERDE: Una ecuación con varias incógnitas o variables es lineal si es de la forma

dczbyaxcbyax =++=+ , ,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1). Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado). Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

I. Resuelva los siguientes ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales:

a. � � − 2� = −75� + 3� = −9� d. 2� + � + 6� = 3� − � + 4� = 13� + 2� − 2� = 2�

b. �4� − 3� − 2 = 3� − 7�� + 5� − 2 = � + 4 � e. � + � + � = −13� + � + � = 14� − 2� + 2� = 0�

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c. � �� � + ��� = 2�� � + ��� = − ����

II. Resuelva los siguientes problemas a. Un fabricante de comedores produce dos estilos: americano antiguo

contemporáneo. Por su experiencia, la gerencia ha determinado que pueden venderse 20% más comedores del estilo americano antiguo que del contemporáneo. Cada venta de un americano antiguo reporta una utilidad de $ 250, mientras se gana $ 350 de cada contemporáneo. Si para el año próximo la gerencia desea una ganancia total de $ 130 000, ¿cuántas unidades de cada estilo deben venderse?

b. United Products Co. Fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y Whyton. En la de Exton, los costos fijos son de $ 7 000 al mes, y el costo de producir cada calculadora es de $ 7.50. En la planta de Whyton, los costos fijos ascienden a $ 8 800 al mes y la producción de cada artículo cuesta $ 6.00. Para el mes que viene United Products Co. Necesita 1500 calculadoras. Cuántas debe producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo?

c. Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, en cantidades que se indican en la tabla siguiente. La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Para la corrida de fin de temporada se requiere utilizar todo el inventario. Para esto, ¿cuánta sillas, mecedoras y sillones deben fabricarse?

MADERA PLÁSTICO ALUMINIO Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón reclinable 1 unidad 2 unidades 5 unidades

d. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son

3� − 200� + 1800 = 0

y

3� + 100� − 1800 = 0

respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.

i. Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica

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ii. Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor.

e. La Bigfoot Sandals Co. fabrica sandalias cuyo material cuesta $ 0.85 por par; el costo por mano de obra es de $ 0.96 por par. Hay costos variables adicionales de $ 0.32 por par. Los costos fijos son de $ 70 500. Si cada par se vende a $2.63, ¿cuántos pares deben venderse para que la compañía llegue al equilibrio?

f. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 120� − � −240 = 0 y 100� + � − 1200 = 0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio.

III. Resuelva los ejercicios sobre sistemas de ecuaciones no lineales

a. � �� − � + 1 = 05� − 3� − 2 = 0�

b. � �� + 4� − � = −4� − �� − 4� + 3 = 0�

c. �� = �����+ 1� = �����