Anexo de actividades de refuerzo para el programa 2017

de Matemáticas II

Enfoque por competenciasDGB

Luis Fernando Anaya

Matemáticas II

PresentaciónEl propósito de la Educación Media Superior es formar ciudadanos libres, participativos, responsables e informados, que ejerzan sus derechos y que participen activamente en la vida social.

Para contribuir al desarrollo del perfil de egreso del estudiante de bachillerato, Montenegro Editores ha creado una serie de auxiliares didácticos orientados al fortalecimiento de las competencias genéricas y disciplinares así como al logro de los aprendizajes esperados en cada asignatura.

Esta obra contiene una edición anotada del libro del alumno, en la que se señalan sugerencias de res-puestas para cada una de las actividades que se plantean. Además, se presenta una dosificación semanal del programa con actividades didácticas sugeridas.

Deseamos que este material te sea de gran utilidad y que tengas mucho éxito en este inicio de semestre.

Los editores

Conocimientos y Aprendizajes esperados para Matemáticas II DGB 2017

Bloque Conocimientos Aprendizajes esperados

Páginas del Libro del Maestro (LM)

Páginas del Material comple-

mentario (MC)

I. Á

ngul

os y

tri

ángu

los

Ángulos.• Sistemas de medición.• Clasificación.• Rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Resuelve colaborativamente problemas usando los criterios de congruencia y semejanza para relacionarlo con objetos de su entorno.

• Desarrolla estrategias para la solución de proble-mas reales o hipotéticos respetando la opinión de sus compañeros en el uso de los Teoremas de Tales y de Pitágoras.

13–20 (LM)

Triángulos.• Clasificación y propiedades.• Rectas y puntos notables.

20–29 (LM)

Triángulos.• Semejanza y congruencia.

35–39 (LM)49–51 (LM)

Triángulos.• Teorema de Tales.

45–48 (LM)

Triángulos.• Teorema de Pitágoras.

53–54 (LM)

II. P

ropi

edad

es d

e lo

s po

lígon

os

Polígonos.• Elementos y clasificación.• Ángulo central.• Ángulo interior.• Ángulo exterior.• Suma de ángulos interiores, exteriores.• Diagonales.• Perímetros y áreas.

• Desarrolla estrategias colaborativamente, para la solución de problemas utilizando los elementos y propiedades de polígonos y poliedros que le permitan cuantificar el espacio en situaciones de su contexto.

• Examina las figuras geométricas en diferentes expre-siones artísticas.

61–75 (LM)

Poliedros.• Elementos y clasificación.• Volúmenes.

4–14 (MC)

III. E

lem

ento

s de

la

circ

unfe

renc

ia

Circunferencia y círculo.• Concepto de círculo y circunferencia.• Segmentos y rectas de la circunferencia.• Ángulos en la circunferencia.• Perímetro de la circunferencia.• Área del círculo.• Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular).• Área de regiones sombreadas.

• Resuelve problemas de su entorno usando la circunfe-rencia y círculo, y las diferentes figuras asociadas con éstas.

• Propone de manera colaborativa diferentes estrate-gias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno.

81–89 (LM)

IV. R

azon

es

trig

onom

é-tr

icas

Razones trigonométricas de ángulos agudos.

Valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45°, 60°).

Solución de triángulos rectángulos.

• Propone, de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana.• Elige razones trigonométricas para proponer alter-nativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno.

95–103 (LM)

V. F

unci

ones

tri

gono

mét

rica

s

Funciones trigonométricas en el plano carte-siano.• Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.

• Desarrolla estrategias de manera colaborativa para obtener los valores de las funciones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia, tablas o calculadora, con la finalidad de interpretar fenómenos sociales y naturales.• Explica de forma crítica, la gráfica de las funciones tri-gonométricas seno, coseno y tangente; relacionándola con el comportamiento de fenómenos de su entorno.

109–113 (LM)

Funciones trigonométricas en el plano carte-siano.• Gráficas.

116–119 (LM)

Identidades trigonométricas.• Recíprocas.

98–102 (LM)15–16 (MC)

Identidades trigonométricas.• Pitagóricas.

113–116 (LM)

Identidades trigonométricas.• Ángulo doble.

15–16 (MC)

VI.

Triá

ngul

os

oblic

uáng

ulos Ley de senos.

Ley de cosenos.

Solución de triángulos oblicuángulos.

• Propone, de manera colaborativa, el uso de las leyes de senos y cosenos como alternativas de solución para situaciones reales.• Desarrolla estrategias con un pensamiento crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos encontrados en su contexto.

125–129 (LM)

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Matemáticas II

Bloque II: Propiedades de los polígonos

Los Poliedros

El estudio de la Geometría Descriptiva es de suma importancia para la comprensión de los diferentes cuerpos geométricos que existen, por esta razón se debe poner de manifiesto la importancia de los Poliedros y la manera en la que aparecen en diversos campos de estudio que han sido de gran interés e importancia para el ser humano a lo largo de la historia. En el lenguaje cotidiano se entiende que un polígono es una región del plano delimitada por un número finito de segmentos. Estos segmentos se nombran o denominan lados o aristas y sus extremos vértices del polígono.

En un sentido analógico y pensando en el espacio tridimensional, se dice que un poliedro es un cuerpo sólido limitado por una superficie que está constituida por un número finito de polígonos no coplana-rios a los que se denomina caras del poliedro.

Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tipos de poliedros conoces?

b) Menciona algunos ejemplos de formas poliédricas en construcciones, obras de arte, esculturas, etcétera.

Para iniciar

Habilidades

Identifica perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos planos y en el espacio.

Describe figuras geométricas en las dife-rentes representaciones artísticas.

Anexo de actividades de refuerzo para el programa 2017 de Matemáticas II DGB

Desempeño

Construye e interpreta mo-delos matemáticos mediante la aplicación de procedimien-tos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipoté-ticas o formales.

Elementos y clasificación

DefiniciónLos poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales teniendo como principal característica el estar constituidos por varias caras poligonales que lo limitan a un volumen. Al igual que los polígonos, los poliedros se forman por un conjunto de diferentes elementos como caras, aristas, vértices, ángulos diedro, ángulos poliedro, diagonales y planos diagonales.

Partes de un poliedroCara: Parte del plano de contorno poligonal que limita al poliedro.

Arista: Lados de las caras que limitan dos caras contiguas.

Vértices: Intersección de las aristas. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras de éste.

Ángulo diedro: Región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen dos caras que se cortan.

Ángulo poliedro: Región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen las caras que inciden en un vértice.

Diagonal: Segmento de recta que une dos vértices no situados en una misma cara y que contiene al centro geométrico del poliedro.

5

Anexo de actividades

Tetraedro

Triángulo

Caras

Aristas

VerticesForma dela cara

4

6

4

Pentágono

12

30

20

Dodecaedro

Cuadrado

6

12

8

Hexaedro

Triángulo

20

30

12

Icosaedro

Triángulo

8

12

6

Octaedro

POLIEDROS

RegularesIrregulares

Hace aproximadamente dos mil cuatrocientos años, ya se conocía que únicamente existen cinco poliedros regulares convexos (sólidos platónicos): el tetraedro, el cubo o hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Por lo regular, un poliedro se clasifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y, además, todos los ángulos poliedro son iguales, se le denomina poliedro regular; en caso contrario, se le llama poliedro irregular.

Cara

Ángulo poliedro

Diagonal

Ángulo diedro AristaVértice

6

Matemáticas II

Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal

PRISMAS

Por otra parte, se dice que un poliedro es convexo si todas las caras de este se pueden apoyar completamente sobre el plano en cuestión. Si tiene alguna cara sobre la que no se puede apoyar, se le denomina cóncavo.

Los prismasUnas de las principales formas poliédricas son los prismas, éstos son figuras que están limitadas por dos bases poligonales de igual forma y por caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran según el polígono de su base:

Otras representaciones son las pirámides, siendo éstas poliedros que tienen por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice de la pirámide. Las pirámides se nombran según el polígono de su base:

POLIEDROS

CóncavosConvexos

Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal

PIRÁMIDES

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Anexo de actividades

Competencia genérica.Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

Competencia disciplinar.Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o va-riacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Observa la siguiente imagen y contesta las preguntas.

a) ¿En qué forma poliédrica se puede clasificar la Pirámide del Museo de Louvre?

b) ¿Cuántas aristas tiene?

c) ¿Es un poliedro regular o irregular? ¿Por qué?

d) ¿Es un poliedro convexo o cóncavo? ¿Por qué?

Para arrancar

Competencia genérica. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Competencia disciplinar.Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

1. Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos poliedros regulares convexos existen?

b) ¿Qué otro nombre reciben los poliedros regulares convexos?

Para aplicar

La Pirámide del Museo del Louvre enParís, Francia, es una obra arquitectó-nica diseñada por el arquitecto IeohMing Pei y fue inaugurada en el año1989.

Lo que hay que saber

8

Matemáticas II

c) ¿Cuáles son los poliedros regulares con caras triangulares?

d) ¿Cómo son las caras de un tetraedro?

e) Es el poliedro regular que tiene 12 aristas y 6 vértices.

2. Analiza las siguientes oraciones e indica si son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta.

a) Un cilindro es un poliedro.

b) En cada vértice de una estructura poliédrica concurren al menos tres de sus caras.

c) Una pirámide de base pentagonal es un poliedro.

d) Para poder estar catalogado como un poliedro, un cuerpo geométrico debe de tener como mínimo 10 aristas.

e) Una pirámide cuadrangular es un poliedro regular.

Habilidades

Identifica perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos planos y en el espacio.

Elementos y clasificación

El volumen de un cuerpo se puede definir como el espacio físico que éste ocupa en el uni-verso. Por lo tanto, todos los cuerpos poliédricos tridimensionales (con coordenadas x, y, z) que existen en el espacio, son objetos que tienen tres magnitudes: ancho, alto y largo, y están limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. La fórmula para calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma y estructura.

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Anexo de actividades

Cálculo de área y volúmen de poliedros regulares

Es importante mencionar que todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Cuando se hacen pasar planos por este punto y por todas las aristas, la estructura poliédrica queda descompuesta en tantas pirámides iguales como las caras poligonales por las que está constituida. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro. Es importante mencionar que el volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto de su área por la apotema.

TetraedroSu superficie se conforma por 4 triángulos equiláteros iguales, 4 vértices y 4 aristas.

Área del tetraedro: A 5 3 • a 2

Volumen del tetraedro: V 5 212 • a 2

Ejemplo:

Calcula el volumen de un tetraedro que tiene 12 cm de longitud en una de sus aristas.

V 5 212 • ( 12 ) 3 5 203.6467 cm 3

En equipos, analicen las siguientes figuras. Después contesten las preguntas.

1. ¿Cuál es el volumen del siguiente prisma?

2. ¿Cuál es el volumen del siguiente cuerpo geométrico?

3. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor volumen?

Para arrancar

a) b) c)

10

Matemáticas II

Hexaedro o cuboSu superficie está constituida por 6 cuadrados, 8 vértices y 12 aristas.

Área lateral del hexaedro regular: AL 5 4 • a 2

Área total del hexaedro regular: AL 5 6 • a 2

Volumen del hexaedro regular: V 5 a 3

Ejemplo:

Calcula el volumen de un cubo que tiene 8 cm de longitud en una de sus aristas.

V 5 (8)3 5 512 cm 3

OctaedroSu superficie consta de 8 triángulos equiláteros, 6 vértices y 12 aristas.

Área total del octaedro regular: A 5 2 3 • a 2

Volumen del octaedro regular: V 5 23 a 3

Ejemplo:

Calcula el volumen de un octaedro que tiene 9 cm de longitud en una de sus aristas.

V 5 23 • ( 9 ) 3 5 343.6538 cm 3

DodecaedroSu superficie consta de 12 pentágonos regulares, 20 vértices y 30 aristas.

Área del dodecaedro regular: A 5 30 • a • ap

Volumen del dodecaedro regular: V 5 14 (15 1 7 5 )a 3

Ejemplo:

Calcula el volumen de un dodecaedro que tiene 5 cm de longitud en una de sus aristas.

V 5 14 (15 1 7 √5 ) • (5) 3 5 957.8898 cm3

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Anexo de actividades

IcosaedroSu superficie está compuesta por 20 triángulos equiláteros, 12 vértices y 30 aristas.

Área del icosaedro regular: A 5 5 • 3 • a 2

Volumen del icosaedro regular: V 5 512 (3 1 5 ) a 3

Ejemplo:

Calcula el volumen de un icosaedro que tiene 9 cm de longitud en una de sus aristas.

V 5 512 (3 1 5 ) • (9) 3 5 1 590.4556 cm³

PrismasCuerpos geométricos cuyas bases son dos polígonos iguales y paralelos, y sus caras laterales son paralelogramos.

Volumen:

V 5 Ab • h

Ejemplo:

Calcula el volumen de un prisma triangular que tiene como área de la base 18 cm² y una altura de 9 cm.

V 5 (18)(9) 5 162 cm ³

OrtoedroPrisma cuyas bases son dos rectángulos.

Volumen:

V 5 h • l • a

Ejemplo:

Calcula el volumen de un ortoedro que tiene de longitud 2 m, de altura 1 m y de ancho 4 m.

V 5 (1)(2)(4) 5 8 m³

12

Matemáticas II

PirámidesCuerpos geométricos cuyas bases son un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos.

Volumen:

V 5 13 h • A

b

Ejemplo:

Calcula el volumen de una pirámide cuadran-gular con un área de 56.25 cm² en su base y una altura de 15 cm.

V 5 13 (15)(56.25) 5 843 cm³

Cálculo del volumen de los cuerpos redondos

CilindroEl cilindro es un cuerpo geométrico generado por el giro de una región rectangular (sólido en revolución) a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría. Consta de dos bases circulares y una superficie lateral que al desarrollarse da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro.

Volumen:

V 5 Ab • h

Ejemplo:

Calcula el volumen de un cilindro que tiene de altura 12 cm y el área de su base es de 113.0973 cm².

V 5 (113.0973)(12) 5 1 357.1680 cm³

ConoCuerpo geométrico generado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus ejes de simetría. La altura es la distancia del vértice hacia el centro de la base.

Volumen:

V 5 13 πr 2h

Calcula el volumen de un cono cuya altura mide 6 cm y el radio de su base es de 2.5 cm.

V 5 13 (π × 2.52)(6) 5 39.2699 cm³

13

Anexo de actividades

EsferaCuerpo geométrico generado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

Volumen:

V 5 43 πr 2

Ejemplo:

Calcula el volumen de una esfera con un radio de 2 m que se encuentra dentro de un cilindro que tiene como altura 8 m.

V 5 43 π (2²) 5 16.7551 m³

Competencia genérica.Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

Competencia disciplinar.Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

1. Analiza las siguientes situaciones y responde las preguntas.

a) Observa los siguientes cuerpos geométricos y escribe cuáles se clasifican como poliedros y cuáles no.

b) ¿Existe algún poliedro regular cuyas caras sean pentágonos regulares? Justifica tu respuesta.

2. Resuelve correctamente los siguientes problemas.

a) Calcula la altura del siguiente cuerpo geométrico.

Para finalizar

a) b) c) d) e) f)

3 cm

8 cm

7 cm

r

14

Matemáticas II

b) Calcula el volumen de la siguiente figura.

c) La siguiente figura es un bosquejo del diseño estructural de la parte final de una torre, en una central hi-droeléctrica. Calcula el volumen del cuerpo según las medidas de éste.

d) Calcula el volumen de la siguiente estructura poliédrica.

arista 5 8 cm

15 m

6 m

9 m

a

h 5 12

5 cm

4 cm

15

Anexo de actividades

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se cumple para cualquier valor asignado a éste. En otras palabras, una identidad trigo-nométrica es una igualdad donde se involucran las funciones trigonométricas. Estas identi-dades siempre son útiles cuando necesitamos simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas sin importar los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas.

Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales que pueden ordenarse en tres grupos:

• Recíprocas • De división • De cuadrados o pitagóricas

Identidades Recíprocas

(sen A)(csc A) 5 1 (cos A)(sen A) 5 1 (tan A)(cot A) 5 1

Se puede también expresar como:

sen A 5 1csc A

csc A 5 1sen A

cos A 5 1sec A

sec A 5 1cos A

tan A 5 1cot A

cot A 5 1tan A

Identidades de división o forma de cociente

tan A 5 sen Acos A cot A 5 cos A

sen A

Identidades de cuadrado o pitagóricas

sen 2 A 1 cos 2 A 5 1

sen A 5 1 2 cos 2 A

cos A 5 1 2 sen 2 A

sen 2 A 5 1 1 tan 2 A

sen A 5 1 2 tan 2 A

cos A 5 sen 2 A 2 1

csc 2 A 5 1 1 cot 2 A

csc A 5 1 1 cot 2 A

cot A 5 csc 2 A 2 1

Con base a estos grupos principales se pueden desarrollar otras identidades trigonométricas.

Identidades para el doble de un ángulo

sen 2A 5 2sen A cos A cos 2A 5 cos 2 A 2 sen 2 A

tan 2A 5 2tan A1 2 tan2 A cot 2A 5 cot 2 A 2 1

2cot 2 A

Identidades para la mitad de un ángulo

sen A2

5 1 2 cos A2

cos A2

5 1 1 cos A2

tan A2

5 1 2 cos Asen A

Habilidades

Explica las identidades trigonométricas

16

Matemáticas II

Comprueba que las siguientes identidades trigonométricas cumplan con la igualdad algebraica.

a) (sec x 1 tan x)(1 2 sen x) 5 cos x

b) (1 1 cos x)(1 2 cos x) 5 sen ²x

c) sec x 2 cos x 5 tan x sen x

d) x 5 1 1 cos2θsen2θ

e) x 5 (sec x 2 cos x)(csc x 2 sen x)

Para aplicar