los números complejos

IEM- Tartagal Matemática 5º año “A” y “B”

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El conjunto de los números complejos (C)

La radicación de base negativa e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales

, ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé

por resultado un número negativo.

Se define entonces un nuevo número, llamado i, cuyo cuadrado es igual a -1.

Dicho número es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos.

Representación gráfica y expresión cartesiana de un complejo

Se define al conjunto de los números complejos C como:

A cada número complejo le corresponde un punto del plano.

Todos los números de la forma (a;0) son números reales y los de la forma (0;b) son números

imaginarios puros.

Un número real es un número complejo cuya segunda componente es igual a 0.

El número imaginario de segunda componente igual a 1 es lo unidad imaginaria.

Expresión binómica de un complejo

Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada componente del complejo

por el escalar.

i2 = -1

i =

R

R

b

a

z=(a;b)


2

a) b)

c) d)

Actividades

1) Unan con una flecha cada número complejo con su expresión binómica.

(-1;1) -i

(-1;0) 1 + i

(1;-1) - 1 - i

(1;1) - 1

(0;-1) 1 - i

- 1 + i

2) Representen gráficamente cada uno de los siguientes números complejos.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

3) Hallen el valor de cada una de las siguientes raíces.

a) b)

c) d)

4) Hallen los valores reales de x e y que verifiquen las siguientes igualdades

a) b)

c) d)


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Módulo de un complejo. Complejos conjugados

Módulo de un complejo

A cada número complejo z = (a; b) le está asociado un vector ,

con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto

(a; b). De este modo se puede hacer corresponder a cado

número complejo un vector.

z=(a;b)R

R

b

a

v

El módulo de ese vector es el módulo del complejo y se represento con la letra p.

Al ángulo se lo llama argumento

R

R

z= (a;b)b

aϕ

IzIρ=

Complejos conjugados

Dado un complejo z, se define como su conjugado al complejo

que tiene la misma parte real y opuesta su parte imaginaria.

Un complejo y su conjugado son simétricos respecto del eje x.

b

-b

a

z= (a;-b)

z= (a;b)

R

R

a) b) c)

Forma polar o trigonométrica de un complejo


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Forma polar o trigonométrica

z= (a;b)b

a

R

R

= IzIρ

ϕ

a) Expresar el complejo en forma trigonométrica,

b) Expresar el complejo en forma binómica y cartesiana.

Actividades

5) Hallen el módulo y el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos.

a)

b)

c)

6) Expresen en forma trigonométrica cada uno de los siguientes números complejos.

a) b)

c) d)

7) Expresen en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos.

a)

ρ= 3π3

z1

b)


5

Adición y sustracción de complejos

Para sumar o restar dos números complejos, en forma cartesiana, se suman o restan las

componentes reales e imaginarias respectivamente.

db

R

a c

a+c

b+dz1

z2

z +z 21

R

R

b

d

b-dc a

a-c

21z -z

z1

z2

R

a)

b)

c)

d)

Para sumar o restar dos números complejos, en forma binómica, se suman o restan las partes

reales e imaginarias respectivamente.

a)

b)

c)

d)

Adición y sustracción de complejos conjugados

La suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de la componente real


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a)

b)

La resta de dos complejos conjugados es igual al duplo de la componente imaginaria.

a)

b)

Actividades

8) Efectúen las siguientes adiciones y sustracciones.

a) b)

c) d)

9) Resuelvan las operaciones.

a) z1 + z2= b) z3 –z6= c) z5 + z4= d) z7 – z3=

e) z8 + z1= f) z2 – z5= g) z4 - z6= h) z5 – z7=


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10) Resuelvan cada una de las siguientes operaciones combinadas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Multiplicación y división de complejos

Multiplicación de complejos

Para multiplicar dos números complejos en forma binómica, se aplica la propiedad distributiva de

la multiplicación respecto de la suma y/o resta.

Producto de complejos conjugados


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El producto de dos números complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de la parte

real e imaginaria.

a)

b)

División de complejos

Para dividir dos números complejos en forma binómica, se multiplica al dividendo y al divisor por el c: godo del

divisor y luego se resuelven las operaciones resultantes.

a)

b)

Actividades

11) Encuentren los siguientes productos de complejos conjugados.

a)

b)

c)

12) Resuelvan las siguientes multiplicaciones.

a)

b)

c)

d)

13) Resuelvan las siguientes divisiones:

a)


9

b)

c)

d)

Potencias de la unidad imaginaria

Aplicando las propiedades de la potenciación en R, se puede hallar la potencia enésima de la unidad imaginaria i.

Y así sucesivamente, se observa que:

i

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