MECÁNICA CUÁNTICA

ANTECEDENTES ELECTROMAGNÉTICOS

En el siglo XVIII, el físico francés Coulomb demostró que dos cuerpos

eléctricamente cargados ejercen una fuerza de atracción o repulsión entre sí similar a la

fuerza gravitacional: proporcional a la magnitud de la carga e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre ellas. Pero, a diferencia de la fuerza gravitacional, que

siempre es atractiva la fuerza eléctrica puede ser repulsiva o atractiva, si las cargas de los

cuerpos son del mismo signo o de signo contrario. (Existen en la naturaleza cargas

eléctricas positivas y negativas: por ejemplo, un átomo está constituido por un núcleo con

carga positiva, rodeado de electrones de carga negativa; en condiciones normales, las dos

cargas se compensan exactamente entre sí y la carga total de un átomo es cero.)

El hecho de que el magnetismo está relacionado con la electricidad se hizo evidente

cuando el físico danés Hans Christian Oersted descubrió, a principios del siglo XIX, que las

corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas que influyen sobre los imanes: una

brújula tiende a alinearse perpendicularmente a un cable por donde pasa una corriente

eléctrica suficientemente fuerte. Posteriormente, el científico francés Jean-Marie Ampère

encontró una ley que relaciona la corriente eléctrica con la fuerza magnética que genera.

Pero el fenómeno más importante que pone de manifiesto la relación entre

electricidad y magnetismo fue descubierto por el físico inglés Michael Faraday en 1831.

Faraday notó que el movimiento de un imán puede inducir una corriente eléctrica en un

cable, sin necesidad de pilas. En su época, este fenómeno parecía tener poca importancia,

pero un siglo después el efecto de Faraday sirvió para generar y utilizar la energía eléctrica.

Tal era la situación de la electricidad y el magnetismo hasta mediados del siglo

XIX: una serie de fenómenos y leyes aislados que relacionaban entre sí la electricidad y el

magnetismo. Hacía falta una formulación unificada de estas leyes que permitiera una

comprensión más profunda de la naturaleza de estas fuerzas. Tal obra fue realizada por

Maxwell en la formulación matemática de las leyes del electromagnetismo, los fenómenos

unificados de la electricidad y el magnetismo. Maxwell logró expresar las leyes

descubiertas por Coulomb, Faraday y Ampère en un conjunto de fórmulas (ecuaciones

diferenciales, en lenguaje técnico) que relacionan matemáticamente las distribuciones de

cargas y corrientes con las fuerzas eléctricas y magnéticas que generan en cada punto del

espacio.

Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el

magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el electromagnetismo:

un cuerpo eléctricamente cargado y en movimiento produce una fuerza electromagnética

sobre otro cuerpo cargado; la magnitud y la dirección de tal fuerza electromagnética

dependen de la carga del cuerpo que lo produce y también de su velocidad. Un ligero

inconveniente es la existencia de una aparente acción a distancia entre los cuerpos.

Maxwell no resolvió ese problema, pero inventó un concepto que desde entonces se ha

utilizado constantemente en la física: el campo electromagnético. Según esta interpretación,

en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una fuerza electromagnética, cuya

intensidad y dirección están definidas por medio de unas fórmulas matemáticas. En

realidad, más que un concepto, el campo es una definición que da cierta consistencia a la

idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra lejana, sin tener que recurrir a una acción a

distancia. Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este concepto, pero en

tiempos de Maxwell el campo electromagnético era una noción matemática sumamente útil,

descrita por ecuaciones, pero cuya realidad física trascendía toda interpretación teórica.

El primer éxito, y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la elucidación de la

naturaleza de la luz. Maxwell demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz

es una onda electromagnética que consiste en oscilaciones del campo electromagnético. Así

quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal

como lo pensaba Huygens y en contra de la opinión de Newton.

Pero ¿qué sustenta a una onda en el espacio? Este problema no parecía haber

avanzado más allá de las primeras suposiciones de Newton. No quedó más recurso a

Maxwell que recurrir a la existencia del misterioso éter como un medio físico que

transporta las ondas electromagnéticas y da cierto sustento al concepto del campo. Pero el

problema del éter estaba relacionado con otro aspecto, enigmático, de la teoría de Maxwell:

la aparente necesidad de un espacio absoluto.

Las leyes de la física deben ser independientes de todo sistema de referencia, de

acuerdo con el principio de relatividad de Galileo. Sin embargo, las leyes del

electromagnetismo, tal como las planteaba Maxwell, no cumplían este principio: al pasar de

un sistema de referencia a otro, las ecuaciones de Maxwell tomaban una forma distinta, lo

que implicaba leyes de la física diferentes. De hecho las ecuaciones del electromagnetismo

en la forma deducida por Maxwell sólo podían ser válidas en un sistema de referencia muy

especial, y los físicos especularon que ése no podía ser otro que el espacio absoluto.

La existencia de un sistema de referencia absoluto es perfectamente aceptable si uno

admite la realidad del éter como una sustancia universal que sustenta los fenómenos

electromagnéticos. El sistema absoluto es aquél donde el éter está en reposo y debe

coincidir con el sistema de referencia en el que las estrellas, en promedio, parecen estar

fijas. De hecho, la manera más directa de determinar la velocidad de un sistema de

referencia con respecto al éter es medir la velocidad de la luz. Siendo esta velocidad

definida con respecto al éter en reposo, debe variar de acuerdo con la velocidad del sistema

de referencia. Este hecho se utilizó en el primer intento de medir la velocidad de la Tierra

en el éter: el experimento que realizaron en 1887 los norteamericanos Albert Abraham

Michelson y Edward W. Morley.

EL EXPERIMENTO MICHELSON-MORLEY.

Desde 1865, con la teoría del electromagnetismo de Maxwell, estaba

definitivamente zanjado el problema de la naturaleza de la luz. Según esta teoría, la luz era

una onda. Como todas las ondas deben viajar en un medio, y la luz es capaz de viajar por el

espacio, en el espacio debía existir el medio en el cual viajaba la luz. A este medio se le

llamó ÉTER.

Las ondas se caracterizan porque su velocidad depende sólo del medio y no de la

velocidad del foco emisor o del receptor. Así, por ejemplo, una onda sonora viajará

respecto del medio (por ejemplo, aire) siempre a la misma velocidad (240 m/s),

independientemente de las velocidades a las que se muevan emisor y receptor. Las

velocidades del emisor y receptor cambiarán la frecuencia de las ondas produciendo efectos

Doppler, pero no cambiarán la velocidad de la onda respecto del medio.

Sin embargo, si el medio se mueve (por ejemplo, si para el sonido es el aire, nos

referimos al viento), entonces, respecto de un receptor en reposo, la velocidad total de la

onda será la suma vectorial de la velocidad de la onda respecto de medio y la velocidad del

medio respecto del receptor.

En el caso de la onda de luz y el éter, como medio en el cual se desplaza, la Tierra,

en su traslación alrededor del Sol y este a su vez, viajando a través de la galaxia, hacen que

la Tierra viaje a una velocidad v por el espacio (ya casi 30 Km/s solo por su velocidad de

traslación en la órbita). En estas condiciones, Puesto que el éter debe llenar el espacio

“vacío”, la Tierra debe mostrar algún movimiento perceptible respecto del éter, en alguna

dirección.

En el experimento de Michelson y Morley se intentaba medir cual era la velocidad

de luz en la Tierra, en distintas direcciones, a distintas horas y en distintos momentos del

año, suponiendo que el movimiento relativo del éter no puede ser igual, a la vez, en dos

direcciones distintas.

Una forma de entender el experimento es imaginarlo parecido al de medir la

velocidad de una onda de sonido cuando hay viento. Es decir, lo que se pretendía con este

experimento era calcular la velocidad del “viento” de éter luminífero.

Método:

La razón teórica clásica de este experimento se basa en que la luz viaja a una

velocidad c (300.000 km/s) respecto de su fuente y en un medio en reposo. Como la Tierra

se mueve a una velocidad v (30 km/s), la velocidad relativa de la Tierra, en las distintas

direcciones, respecto del éter (medio en el que se mueve la luz), varía a lo largo del día y de

los meses. En consecuencia, la velocidad de la luz medida en la Tierra en condiciones

óptimas (es decir, cuado la tierra se mueve en la misma dirección del éter), debería ser:

• c – v en la dirección y sentido del movimiento de la Tierra.

• c + v en la dirección y sentido contrario del movimiento de la Tierra.

• √c2−v2 en la dirección perpendicular al movimiento de la Tierra.

El método práctico consistía en utilizar lo

que se conoce como interferómetro de

Michelson: un aparato utilizado para

medir las distancias con precisión. En un

sistema en el que el éter estuviera en

reposo respeto del observador y la fuente,

el interferómetro funcionaría de la

siguiente forma:

Si el éter se moviera (como si midiéramos

la velocidad de las ondas sonoras en aire

en movimiento), las trayectorias de los

rayos serían (visto desde el sistema en

reposo):

Visto desde el observador las trayectorias

y velocidades a partir de las cuales se

calcularán los supuestos teóricos del

experimento (que expondremos a

continuación) serán:

En el caso del trayecto OM1, se recorre una distancia b a una velocidad c-v. El

tiempo necesario para recorrer esa distancia será b/(c-v). En el viaje de vuelta, el rayo de

luz viaja a velocidad c hacia un espejo que viaja a su encuentro, por lo que en este caso se

deben sumar las velocidades. El tiempo empleado en el recorrido de vuelta será b/(c+v).

Por consiguiente, el tiempo total de ambos recorridos será:

b/(c-v)+b/(c+v) = (b(c+v)+b(c-v))/(c-v)(c+v) = (bc+bv+bc-bv)/(c²-v²) = 2bc/(c²-v²)

Si el mismo recorrido se realizase en

sentido perpendicular al movimiento de

la Tierra, tendremos que tener en cuenta

que mientras el rayo de luz avanza hacia

el espejo M2, éste, con toda la Tierra, se

desplaza a la derecha, por lo que el rayo

de luz hará un recorrido en diagonal.

Siendo t el tiempo que la luz tarda en

recorrer esa diagonal, tenemos las

siguientes medidas:

Y según el teorema de Pitágoras: (ct)² = b² + (vt)²; de donde despejamos t para

obtener t = b/√(c²-v² ) .

Como el camino de regreso hasta O se producirá por una diagonal idéntica, hay que

multiplicar este resultado por dos, con lo que obtenemos el resultado definitivo: 2b/

√(c²-v² ) .

Ya tenemos todos los datos necesarios, el tiempo preciso para ir hasta un espejo y

volver en el mismo sentido de la marcha de la Tierra es 2bc/(c²-v²), y en sentido

perpendicular 2b/√(c²-v² ) . De aquí llegamos a la conclusión de que en un sistema móvil,

el tiempo que tarde un rayo de luz en ir y volver hasta un espejo en sentido de la marcha

será siempre inferior a empleado en el mismo recorrido en sentido perpendicular al

movimiento.

Resultado del experimento:

Los resultados del experimento, tal como se consignaron en la publicación A. A.

Michelson and E.W. Morley, Philos. Mag. S.5, 24 (151), 449-463 (1887), fueron

negativos. Esto es, independientemente de la dirección la medida, la hora, el día y el mes

los resultados son que el tiempo que tardan ambos rayos de luz en recorrer ambas

distancias no presenta desfase, como cabría esperar, sino que son exactamente el mismo,

como si el sistema de referencian (la Tierra) estuviera en reposo respecto del éter.

Conclusiones:

Las conclusiones de este experimento fueron básicamente cuatro:

• El éter no debía existir.

• En 1902 Lorentz supuso que en la dirección del movimiento, el brazo del

interferómetro sufría una contracción precisamente en un factor √1−v2/c2.

• En 1904 Lorentz enmarca la contracción (que ya se empezaba a conocer como

contración de Lorentz) en el conjunto de un cambio a las transformaciones de Galileo. A

estas transformaciones de Galileo modificadas se les llamó Transformaciones de Lorentz.

• En 1905 Einstein propone que las transformaciones de Galileo son una

consecuencia de un principio más general: La constancia de la velocidad de la luz en los

sistemas inerciales.

LAS INVESTIGACIONES DE EINSTEIN: LA TEORÍA DE LA

RELATIVIDAD ESPECIAL.

Los resultados del experimento Michelson-Morley dejaron perpleja a toda la

comunidad científica, que se vio incapaz de dar una explicación plausible a los mismos,

más allá de desestimar la inmovilidad de la Tierra que parecían plantear. Albert Einstein

fue uno de los científicos que se dedicó a buscar una solución razonable a los datos

empíricos, dado que uno de los problemas que más le interesaba en aquella época era la

aparente incompatibilidad entre el principio de relatividad galileano y la teoría

electromagnética de Maxwell (como ya vimos).

Sobre este tema, y antes de Einstein, habían trabajado el físico holandés Hendrik

Lorentz y el matemático francés Henri Poincaré. El problema que se habían planteado era

el siguiente: Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo

electromagnético en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo (o, en términos

un poco más matemáticos, dicho campo depende de tres coordenadas espaciales, digamos

x, y, z, y el tiempo t) Ahora bien ¿se pueden cambiar la posición y el tiempo en las

ecuaciones de Maxwell sin alterar su forma? En el caso de las ecuaciones de la mecánica

newtoniana, la respuesta es afirmativa debido al principio de relatividad de Galileo: se

puede pasar de un sistema de referencia a otro sin cambiar la forma de las ecuaciones (las

leyes de la física son invariantes), si el tiempo medido en cada sistema es el mismo.

Evidentemente, en el caso del electromagnetismo, el problema es más complicado porque,

no se puede recurrir a la relatividad galileana. Sin embargo, Lorentz demostró que existe

una transformación matemática que deja invariante la forma de las ecuaciones de

Maxwell, siempre y cuando se cambie no sólo la posición de un punto sino también el

tiempo. El mismo resultado fue obtenido y generalizado por Poincaré.

En su época, el trabajo de Lorentz fue considerado una curiosidad matemática,

ingeniosa pero desprovista de sentido físico. En efecto; ¿cómo puede el tiempo transcurrir

en forma diferente en sistemas de referencia distintos? La misma experiencia diaria y el

sentido común parecen negar tal posibilidad. Pero Einstein postuló que las ecuaciones de

Maxwell deben tener la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial y que, por

lo tanto, es imposible distinguir, a partir de experimentos electromagnéticos, un sistema de

referencia inercial de otro. Para que este principio de relatividad se cumpla, es necesario

que las transformaciones de Lorentz sean físicamente válidas; en consecuencia, el tiempo

medido entre dos sucesos depende del movimiento de quien lo mide.

Embarcado en tales consideraciones, ideó un problema sencillo respecto del

funcionamiento de la luz: ¿qué ocurriría si se moviera junto a ella, a su misma velocidad?

Por ejemplo, si me muevo a la velocidad de la luz mientras sostengo un espejo, ¿qué

ocurriría?, ¿vería mi reflejo en él, o no? En principio, se puede pensar que la respuesta

obvia es que sí vería mi imagen reflejada en el espejo, lo cual implicaría que la luz viajaría

a c (300.000 km/s) respecto de mi, pero un observador externo a mi vería la luz alejándose

de mi rostro a la suma de mi velocidad más la suya propia, es decir, 2c (600.000 km/s). Sin

embargo, la cuestión es más compleja de lo que parece, ya que, como había demostrado

Maxwell, la luz es una onda electromagnética, de modo que su velocidad es independiente

de la de su foco emisor o del receptor, por lo cual un observador externo a mi debería ver

la luz moviéndose a la misma velocidad que la debería ver yo, esto es, c (300.000 km/s), lo

cual significaría que la luz no podría abandonar mi rostro (al moverme yo en su mismo

sentido y velocidad) y yo no me vería reflejado en el espejo.

Para resolver el problema, Einstein echó mano de dos teorías ya existentes para

plantear un nuevo modelo explicativo: el principio de la relatividad de Galileo y la crítica

de Ernst Mach a Newton:

Según el principio de la relatividad de Galileo, todo movimiento uniforme es

relativo y no se lo puede detectar si no es por referencia a un punto exterior al

sistema en movimiento.

Según Ernst Mach, una teoría física sólo debía basarse en percepciones

provenientes de los sentidos primarios, de modo que no debía incluir

consideraciones metafísicas. Así, nadie está cualificado para hacer afirmaciones

acerca del espacio absoluto y del movimiento absoluto; dichas afirmaciones son

meras ideas, construcciones puramente mentales, que no pueden demostrarse

mediante la experiencia.

Basándose en el principio de relatividad galileano, Einstein afirmó que debíamos

ver nuestra imagen reflejada en el espejo normalmente aunque nos moviéramos a la

velocidad de la luz, ya que si desapareciera al hacerlo podríamos saber que nos movemos a

la velocidad de la luz con sólo mirar el espejo, sin necesidad de referencia a un punto

externo, lo cual violaría el principio de relatividad de Galileo. Basándose en la teoría de

Mach, Einstein plantea la constancia de la velocidad de la luz, independientemente de la

velocidad del observador, lo cual, unido a la clásica fórmula t = s/v, le lleva a desechar las

teorías newtonianas acerca del espacio y del tiempo absolutos y repensar los conceptos de

espacio y tiempo a fin de llegar a una explicación correcta: tanto yo como un observador

desde la Tierra ven la luz alejándose de mi rostro a c, por lo que, si la velocidad es la

misma, lo que observan son tiempos diferentes (como planteaban las ecuaciones de

Lorentz).

Así, en 1905, publicará en una revista alemana, llamada Anales de física (Annalen

der physik), un pequeño artículo titulado Sobre la electrodinámica de los cuerpos en

movimiento que revolucionará la ciencia: en ese artículo planteará su famosa Teoría de la

relatividad. En ese artículo Einstein establece dos postulados fundamentales: en primer

lugar, el principio de la relatividad (no importa cómo se propague la luz cuando un

observador está en reposo, cuando está en movimiento se propaga exactamente de la

misma manera) y, en segundo lugar, que la luz siempre se propaga por el espacio vacío

con una velocidad determinada, c, que es independiente del estado de movimiento del

cuerpo emisor o receptor. Con ello Einstein postuló que no existen un tiempo absoluto ni

un espacio absoluto y, por lo tanto, tampoco un éter. Pero, si no existe el éter ¿con respecto

a qué debe medirse la velocidad de la luz? La respuesta fue tajante: la velocidad de la luz

(en el vacío) es la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Después de todo, eso

es lo que indicó el experimento Michelson-Morley. En consecuencia, algunas ideas

convencionales acerca del tiempo, las longitudes, la masa y la velocidad debían ser

eliminadas y reemplazadas por otras.

Teniendo en cuenta que Maxwell y Hertz demostraron que las interacciones

electromagnéticas sólo podían tener lugar a una velocidad máxima determinada y que la

transmisión de cualquier efecto electromagnético requiere un tiempo, Einstein propuso que

no existía ninguna interacción instantánea en la naturaleza (todas requieren tiempo), por lo

cual postuló que debe existir una velocidad máxima de interacción: la velocidad máxima

de interacción en la naturaleza es la velocidad de interacción electromagnética (según el

principio de la relatividad), esto es, la velocidad de la luz. Así, la velocidad de la luz es una

constante universal, una constante fundamental de la naturaleza, independientemente de

quién la mida (todos observamos la luz desplazándose a la misma velocidad, nos movamos

como nos movamos y, evidentemente, nada puede moverse a mayor velocidad que la luz;

la velocidad máxima posible es una propiedad del cosmos).

Recapitulemos el nuevo modelo físico establecido por Einstein:

1. No existen interacciones instantáneas en la naturaleza.

2. Por ese motivo, debe haber una velocidad máxima de interacción.

3. La velocidad máxima de interacción es la velocidad de interacción

electromagnética.

4. La velocidad de interacción electromagnética es la velocidad de la luz.

5. La velocidad de la luz es la velocidad máxima posible.

Las diferencias con la mecánica clásica newtoniana son patentes, ya que en tal

modelo se afirmaba que el intervalo de tiempo y espacial (longitud) entre los hechos era

independiente del movimiento del observador, de modo que los intervalos de tiempo y

espacio eran absolutos y la velocidad de la luz era relativa, mientras que Einstein sostiene

que la velocidad de la luz es absoluta y que los intervalos de tiempo y espacio son

relativos.

Para probar su nuevo modelo Einstein realizó un análisis de los hechos

simultáneos, argumentando que aquellos hechos que eran simultáneos en un sistema de

referencia, no serían necesariamente simultáneos si se los contemplaba desde otro sistema

de referencia, fenómeno al que denominaba relatividad de la simultaneidad, y para

constatarlo ideó la siguiente figura experimental:

En primer lugar debemos imaginar un

primer sistema de referencia, al que

denominaremos S, el cual se encuentra en

movimiento, a una velocidad v; en este

sistema de referencia se encuentra un

reloj luminoso (como el diseñado por el

físico estadounidense R. P. Feynman),

cuya bombilla emite pulsaciones

regulares que llegan a un espejo situado

enfrente, rebotan y vuelven al contador,

que los registra. Tal como muestra la

imagen:

Ahora imaginemos un segundo

sistema de referencia, al que

denominaremos S’, estático,

desde el cual se observa al

anterior sistema S, en

movimiento respecto de S’, de

modo que el fenómeno

anteriormente descrito en S se observará en S’ del

modo ilustrado en la imagen:

Einstein señala que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores,

por lo cual para el observador transcurre un tiempo mayor entre la emisión y la recepción

de los rayos luminosos del reloj visto desde S’ (observador estático) que visto desde S

(observador en movimiento), ya que vista desde S’ la trayectoria es más extensa.

Comprobémoslo de manera deductiva: en primer lugar calcularemos el tiempo (t) que

transcurre durante el experimento medido desde dentro de S; el haz de luz que sale del

emisor debe recorrer la distancia L hasta el espejo, y luego volver al receptor recorriendo

nuevamente la misma distancia L, todo ello a una velocidad c. De modo que podemos

deducir que, desde S, t = 2L/c.

A continuación calcularemos, midiendo desde el sistema S’, ese mismo tiempo del

experimento (t’); el haz de luz que sale del emisor debe recorrer la distancia h hasta el

espejo, y luego volver al receptor recorriendo nuevamente h, todo ello a una velocidad c

(que es constante para todos los observadores). Así t’ = 2h/c.

Para saber si t es igual o no que t’

debemos relacionar L y h, para lo cual

emplearemos el teorema de Pitágoras

como se muestra en la siguiente imagen,

teniendo en cuenta que S avanza a una

velocidad v, de modo que d = v∙t’.

Aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos que h2=( 12

d )2

+L2. Ahora debemos

hacer tres precisiones:

1. Antes dijimos que t’ = 2h/c, o, lo que es lo mismo, h = c∙t’/2.

2. También dijimos que d = v∙t’, o, lo que es lo mismo, ½ d = ½ v∙t’.

3. Y, por último, que t = 2L/c, o, lo que es igual, L = c∙t/2.

Pues bien, ahora estamos en condiciones de sustituir estas afirmaciones en la

fórmula que obtuvimos al aplicar el teorema de Pitágoras, de modo que de la anterior

h2=( 12

d )2

+L2pasaremos a ( 12

ct ')2

=( 12

v t ')2

+( 12

ct)2

. A partir de aquí podemos despejar el

tiempo que transcurrió durante el experimento medido desde S’:

c2t ' 2

4= v2t ' 2

4+ c2t 2

4t ' 2 ( c2−v2 )=c2 t 2 t ' 2= c2t 2

c2−¿ v2

¿

t '=√ c2t 2

c2−v2t '= ct

√c2−v2t '=

ctc

√ c2−v2

c2

t '= t

√1−v2

c2

Esta fórmula conseguida por Einstein, además de demostrar que los dos tiempos son

distintos, se corresponde con la ecuación de las transformaciones de Lorentz, cuya validez

física demuestra de este modo, tal como pretendía desde un principio. Veamos las

implicaciones de su descubrimiento con un sencillo ejemplo: un astronauta se lanza en un

cohete a 0.8c respecto de la Tierra. Después de transcurridos 30 años en el cohete, ¿cuánto

tiempo ha transcurrido en la Tierra? Aplicando la ecuación tenemos que:

t '= t

√1−v2

c2

t '= 30

√1−0.82c2

c2

= 30

√1−0.64 c2

c2

= 30

√1−0.64 ¿ 30

√0.36=30

.6=50

Mientras que en el cohete en movimiento han transcurrido 30 años, en la Tierra han

transcurrido 50 años; el tiempo transcurrido en el cohete es un tiempo más prolongado

como consecuencia del movimiento, el reloj avanza con mayor lentitud cuando está en

movimiento que cuando está en reposo. Por cierto, todo lo dicho para el tiempo vale de la

misma forma para el espacio, que también es relativo a la velocidad del observador, de

modo que una longitud L medida desde un sistema en reposo, resultará, si la medimos

respecto de un sistema en movimiento, de esta forma: L'=L√1−v2 ¿c2

Tras haber demostrado que el principio de relatividad de Galileo se aplica a todos

los fenómenos naturales, incluidos los del electromagnetismo, y que la velocidad de la luz

es una constante universal, modificándose por su acción el tiempo y el espacio, a Albert

Einstein sólo le restaba demostrar que la velocidad máxima de interacción en la naturaleza

era la velocidad de las interacciones electromagnéticas, esto es, la velocidad de la luz, y que

nada podía superar tal velocidad.

Para ello habría que considerar qué ocurriría si la velocidad de un objeto se

aproximaba a la velocidad de la luz. Para poner en movimiento un objeto se le debe aplicar

una fuerza, cuando un objeto cobra mayor velocidad decimos que se acelera, y la

aceleración de un objeto está relacionada con su masa (o inercia) y con la fuerza mediante

la fórmula clásica de Newton: F = m∙a, de modo que a = F/m, es decir, la aceleración es

directamente proporcional a la fuerza aplicada a un objeto e inversamente proporcional a su

masa. Es decir, cuanto mayor es la fuerza aplicada, menos tarda un objeto en cobrar

velocidad, y cuanto mayor es la masa o inercia, más le cuesta adquirir velocidad.

Imaginemos que aplicamos una fuerza a un electrón, si está en reposo su aceleración

dependerá de la fórmula clásica (a = F/m), pero ¿qué ocurrirá si el electrón se encontraba

ya en movimiento con una velocidad v? En tal caso el electrón se encuentra en reposo

respecto de un sistema de referencia S que está en movimiento a una velocidad v respecto

de otro sistema en reposo S’ (como en la figura experimental analizada anteriormente).

Entonces, con relación a S el electrón tendrá una aceleración de acuerdo a a = F/m de

modo que el electrón se mueve más rápido a causa de la fuerza aplicada, pero en S el

tiempo que actúa la fuerza se hace cada vez menor en comparación con S’ (el tiempo

avanza más lentamente en sistemas en movimiento, ¿recuerdan?); de modo que en S,

cuanto más se acerca el electrón a la velocidad de la luz, la fuerza actúa en un tiempo cada

vez más breve. Según se observa desde S’ el tiempo durante el cual el electrón recibe su

impulso es casi nulo. Einstein expresa este proceso mediante una nueva fórmula:

La fórmula de Newton de 1686 La fórmula de Einstein de 1905

a= Fm

a= Fm (1− v2

c2 )32

Esta nueva fórmula expresa el nuevo modelo físico creado por Albert Einstein, de

modo que cuando v = c, a = cero, de modo que aunque se siga impulsando al electrón este

no adquiere mayor velocidad, sino que se vuelve cada vez más pesado al incrementar su

masa o inercia, y se hace cada vez más difícil incrementar su velocidad. Nada en la

naturaleza puede sobrepasar la velocidad de la luz, que resulta ser la velocidad máxima de

interacción física.

Para finalizar, Einstein se planteó la relación de sus descubrimientos con el

concepto de energía; en la mecánica clásica newtoniana cuando una fuerza F actúa sobre un

cuerpo de masa m a lo largo de una distancia d se dice que se ha efectuado un trabajo T

sobre el cuerpo, lo que se expresa mediante la fórmula T = F∙d. Si empleamos ahora la

fórmula F = m∙a podemos deducir que el trabajo expresado en T = F∙d es exactamente

igual a 1/2mv2, a lo cual se denomina como energía cinética del cuerpo. Cuanto mayor

trabajo (F∙d) se efectúa al impulsar un cuerpo, este adquiere mayor energía cinética

(1/2mv2).

Sin embargo, Einstein plantea el cálculo de la energía en objetos que se puedan

mover a velocidades muy elevadas, como por ejemplo el electrón anterior, de modo que en

el nuevo modelo de la física de Einstein la fórmula clásica se transforma, ya que, como

vimos, nada puede superar la velocidad de la luz, tal como expresa la fórmula F= ma

(1− v2

c2 )32

(fórmula que también expresa que la aplicación de trabajo vuelve a un cuerpo más pesado),

por lo cual debemos pasar de la clásica definición de energía cinética de T = 1/2mv2 a la

transformación T= mc2

(1− v2

c2 )12

−mc2

. Además, Einstein propone que denominemos (1− v2

c2 )12

a la energía del electrón (E), de modo que la fórmula quedaría T = E – mc2; si despejamos

E, entonces pasaríamos a tener E = T + mc2. Así, vemos que aunque no se aplique ningún

trabajo (T = cero) sobre el electrón, este seguirá teniendo una energía equivalente a mc2,

esto es, la masa de un cuerpo es la medida de su energía: E = mc2. Einstein concluyó que

un cuerpo aun en reposo posee una energía almacenada en forma de masa. La fórmula de

Einstein afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la

energía que se consume en la Tierra en una hora (concretamente 1 Kg = 9∙1016 Julios; o, lo

que es lo mismo, 2.5∙1010 KWh = 25.000.000.000 KWh. La creación invirtió hace miles de

millones de años 2.5∙1010 KWh en crear cada Kilogramo de masa existente en el Universo,

y en el proceso inverso, cada Kg de materia nos debe devolver esos mismos 2.5∙1010 KWh).

Para explicar la relación que había descubierto entre la energía y la masa, Albert

Einstein escribió en 1905 un breve artículo de tres páginas titulado ¿Depende la inercia de

un cuerpo de su contenido de energía?

EL CAMINO A LA BOMBA ATÓMICA

En 1938, Otto Hahn y Fritz Strassmann del Instituto de Fisica Kaiser Wilhelm en

Berlín partieron por primera vez el núcleo atómico del Uranio bombardeándolo con

neutrones, dejando como residuo núcleos de Bario (Ba56) y generando en el proceso 200

millones de electrón-voltios de energía radiante. El núcleo de Uranio se estaba partiendo

por la mitad, pero el material que resultaba (núcleos de Bario) pesaba menos que el núcleo

original de Uranio. La científica Judía Lise Meitner y su sobrino Otto Frisch

proporcionaron la base teórica que le faltaba a los resultados de Hahn. Era evidente que la

masa estaba desapareciendo en el proceso de fisión (partición) del núcleo de Uranio. ¿A

dónde se estaba yendo la masa perdida, y cuál era el origen misterioso de la energía

liberada? Meitner comprendió que la ecuación E = mc2 de Einstein era la clave de este

rompecabezas. Si multiplicamos la masa desaparecida por c2 se obtienen 200 millones de

electrón-voltios, exactamente de acuerdo con la teoría de Einstein (el factor de conversión

de electrón-volts a KWh es 1 eV = 4.45∙10-26 KWh). Cuando Niels Bohr fue informado de

esta sorprendente primera comprobación de la ecuación de Einstein, se llevo las manos a la

frente y dijo; “Dios mío, que insensatos hemos sido en dudar de la validez de esta teoría”

(refiriéndose a la Relatividad Especial).

En Marzo de 1939, Enrico Fermi y Frederic Joliot-Curie (yerno de Marie Curie)

descubrieron que al partir el núcleo de Uranio se liberaban 2 neutrones con una alta energía

cinética. Si estos 2 neutrones se utilizan para partir otros 2 núcleos de Uranio, esto

produciría otros 4 neutrones, después 8, después 16, después 32, y así sucesivamente, hasta

que la inimaginable potencia de la fuerza nuclear seria liberada en una reacción en cadena.

En una fracción de segundo, la partición de un solo átomo de Uranio podía desencadenar la

partición de trillones de otros átomos de este elemento, generando enormes cantidades de

energía. De aquí a la construcción de una bomba atómica ya no había más que un paso.

Desde el ascenso al poder de Hitler y el Nazismo en Alemania se volvió palpable

para las democracias occidentales que este régimen no se detendría ante nada y utilizaría

todos los medios a su alcance para dominar al mundo entero. El Bureau de Armamentos

Alemán empezó su proyecto para construir una bomba atómica en Septiembre de 1939 con

el brillante físico Werner Heisenberg como su líder. Heisenberg era famoso por haber

descubierto el Principio de la Incertidumbre, una de las bases de la nueva ciencia conocida

como Mecánica Quántica.

En los Estados Unidos de América se habían refugiado un gran número de

científicos Europeos (siendo muchos de ellos judíos que seguramente hubieran sido

exterminados en los campos de concentración Nazis de no haber escapado a tiempo). El

más conocido de todos era Albert Einstein, quien ocupaba un puesto importante en el

Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton, en Nueva Jersey.

Un grupo de estos científicos inmigrantes, todos físicos nucleares, entre los que

destacaban Leo Szilard, Edward Teller, y Eugene Wigner, veían con horror la posibilidad

de que Hitler tuviera en sus manos una o varias bombas atómicas, ya que no vacilaría en

utilizarlas contra sus enemigos. Estos científicos pensaban que el Presidente de los Estados

Unidos Franklin Delano Roosevelt no estaba percatado del inminente peligro de una

Alemania Nazi con armas nucleares, y como creían que ellos no tenían suficiente

influencia, recurrieron a Einstein para que él convenciera al Presidente de la necesidad

urgente de un programa atómico propio. En Junio de 1939 el grupo encabezado por Szilard

visita a Einstein en Princeton y lo convencen de que escriba una carta a Roosevelt

urgiéndolo a que empiece un programa para construir una bomba atómica antes de que lo

hagan los Nazis. Después de varias reuniones, la carta final es mecanografiada en la

máquina de escribir de Einstein con fecha 2 de Agosto de 1939. Al recibirla, Roosevelt

consulta con sus colaboradores más cercanos y al poco tiempo se inicia el súper-secreto

Proyecto Manhattan para construir varias bombas atómicas. El director general del proyecto

fue el General Leslie R. Groves, y el director de los laboratorios de investigación y

construcción en Los Álamos, Nuevo México, fue el Doctor Robert Oppenheimer.

Alemania tuvo varios contratiempos con su programa nuclear: recursos financieros

cada vez más escasos a medida que avanzaba la guerra, diseños defectuosos y muy poco

prácticos por parte del equipo de Heisenberg, y sobre todo el sabotaje por parte de los

servicios de inteligencia Británicos a su suministro de agua pesada que su diseño requería

como amortiguador y controlador de los neutrones de alta velocidad que bombardeaban los

núcleos de Uranio. El proyecto Manhattan avanzo rápidamente introduciendo 2 factores

que eran claramente superiores al diseño Alemán: A) Utilizaban como medio amortiguador

grafito, que es abundante, barato, y fácil de producir, en vez de la costosísima y

problemática agua pesada que requería el diseño de Heisenberg; B) La masa de Uranio

necesaria para la reacción en cadena tenía una geometría ovalada (en forma de huevo) lo

que maximizaba su utilización, mientras que el diseño Alemán era a base de laminas que

reducían enormemente la eficacia y aumentaban el volumen físico de la bomba.

El 16 de Julio de 1945 el proyecto Manhattan hizo su primera prueba y explotó

exitosamente la primera bomba atómica que conoció el Mundo. Fue una bomba de Plutonio

suspendida sobre una torre de acero de 100 pies de altura (30.5 metros) construida en medio

del desierto de Nuevo México, en un lugar llamado Trinity (Trinidad).

El 6 de Agosto de 1945 el bombardero B-29 Enola Gay, pilotado por el Coronel

Paul Tibbets, dejo caer sobre la ciudad Japonesa de Hiroshima la bomba atómica bautizada

como “Little Boy” (niño pequeño). Esta bomba era del tipo de cañón, en la que la masa

crítica de material fisionable (material cuyos núcleos atómicos pueden ser partidos) se

obtiene cuando un proyectil de Uranio que es sub-critico es lanzado a través del barril de un

cañón a un objetivo de Uranio que también es sub-critico. La masa de Uranio resultante

compuesta del proyectil y el objetivo se vuelve critica y comienza la reacción en cadena.

Little Boy pesaba en total 9.700 libras (4.409 Kg), media 10 pies de largo (3 m) con

un diámetro de 28” (71.1 cm), su combustible era Uranio U235 altamente enriquecido. El

proyectil era de 55 lb (25 Kg) y el objetivo de 85 lb (38.6 Kg) para un total de 140 lb (63.6

Kg) fisionables. Las componentes de Little Boy fueron llevadas en el Crucero USS

Indianápolis a la isla Tinian del Pacifico, donde fue ensamblada. La eficiencia de Little Boy

fue sumamente baja, solo aproximadamente el 1.38% del Uranio combustible fue fisionado.

La energía liberada por esta bomba, de acuerdo con la ecuación de Einstein fue de:

E = mc 2; m = 0.0138 ∙ 63.6 Kg = 0.87768 Kg; c2 = 9∙1016 m2/seg2

E = 0.87768 ∙ 9 ∙ 1016 Julios = 7.9 ∙ 1016 Julios; E 8 ∙ 1016 Julios

La reacción en cadena que desató esta enorme energía sucedió en un tiempo

aproximado de 100 milésimas de segundo:

t = 100 ∙ 10-3 seg = 10-1 seg

Y la potencia de esta bomba fue:

P = E = 7.9 x 1016 watts; t = 10-1 seg

P = 7.9 ∙ 1017 W = 7.9 ∙ 1014 KW = 7.9 ∙ 1011 MW

P 8 ∙ 1011 MW = 800.000.000.000 MW

Una ciudad occidental moderna de un millón de habitantes requiere de

aproximadamente 400.000 KW de potencia eléctrica para sus necesidades normales. Little

Boy desató en fracción de segundos sobre los habitantes de Hiroshima 2.000.000.000 de

veces más potencia que la que consume normalmente una gran ciudad en una hora. Esta

potencia en forma de energía radiante es equivalente a 15.000 toneladas del explosivo TNT

(dinamita). Se estima que unas 60.000 personas murieron instantáneamente en Hiroshima y

unas 100.000 murieron después a consecuencia de las radiaciones. Solo unos cuantos

edificios de la ciudad quedaron en pie.

Como aun después de esto Japón se rehusó a firmar una rendición incondicional, 3

días después los Estados Unidos de América dejaron caer sobre Nagasaki una bomba más

eficiente y más potente llamada “Fatman” (hombre gordo), con una fuerza explosiva de

21.000 toneladas de TNT. La 2ª Guerra Mundial llegaba a su fin.

Las estimaciones de las autoridades militares de los USA varían desde 200.000

hasta 1.000.000 de vidas de soldados Americanos que no se perdieron al no tener que

invadir Japón. Se da esta como la principal razón para haber arrojado las bombas atómicas

sobre el país del Eje. Cuando se lanzó la primera bomba sobre Hiroshima, Albert Einstein

exclamó: “¡Si hubiera sabido lo que harían, me habría dedicado a fabricar zapatos!”.