los enteros y los racionales: semejanzas y...
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1. Los enteros y los racionales: semejanzas y diferencias
1.1. Introduccion. Es usual observar que en el trabajo con los numeros, algunas conclusiones y metodosque son correctos y utiles en el contexto de los numeros enteros, se extienden a los racionales aun cuandoen el nuevo contexto carezcan de validez.
Por ejemplo, no es inusual que ante el pedido que se ordenen de menor a mayor los siguientes numeros:0.9, 0.23 y 1 un alumno responda: 1 < 0.9 < 0.23. Esto se debe a una extrapolacion de la siguientedesigualdad que es correcta a nivel de los numeros enteros: 1 < 9 < 23, al caso de la representacion decimalde los racionales mencionados. Se podrıa decir que el error responde a la logica al extrapolar de un contextoconocido a otro que se esta conociendo.
Otra situacion relacionada tambien con el orden, es que tratandose de fracciones se comparen en forma
independiente numerador y denominador como por ejemplo para ordenar2
3y
1
9. En este caso, como nueve
es el mayor de los dıgitos involucrados se escribe que2
3<
1
9.
Tambien se cometen errores cuando se extiende equivocadamente el concepto de sucesor y predecesor quees valido para los enteros al campo numerico de los racionales en que no es valido. Por ejemplo, es frecuenteque los alumnos piensen que entre 0.3 y 0.4 no hay ningun otro numero racional.
Otra confusion de ese tipo, aparece cuando se usa la representacion decimal y se piensa que a semejanzade lo que sucede con los enteros, un numero con mas cifras es automaticamente mayor que otro con menoscifras (por ejemplo que 1,8 es mayor que 2).
Si bien es util que para trabajar sobre los errores se marquen en todas las circunstancias las diferencias,tambien es muy importante tener en cuenta que no todo son diferencias entre los enteros y los racionales.Algunas de las propiedades y de las tecnicas de trabajo con los enteros, se generalizan a los racionales. Porejemplo, de la misma forma que todo entero tiene un opuesto (por ejemplo el opuesto de 2 es -2 y el de -7es 7), tambien todo numero racional tiene un opuesto. Y lo mismo vale para muchas de las propiedadesoperatorias.
Otra semejanza importante es que tanto los enteros como los racionales admiten una representaciondecimal, aunque en el caso de los racionales en algunos casos esta representacion puede ser infinita –ver lasnotas tituladas: Los racionales.
El objetivo de estas notas –y los correspondientes ejercicios– es el de ilustrar este tipo de situaciones desemejanzas y de diferencias. Comenzaremos con las semejanzas mas notorias y luego trataremos algunas delas diferencias mas importantes teniendo en cuenta sobre todo los errores mas frecuentes realizados por losalumnos.
Recordamos que los enteros son:
Z = {· · · ,−n, · · · ,−1, 0, 1, · · · , n, · · · },
y los racionales son:
Q = {ab
: a, b ∈ Z , b 6= 0}.
Un entero n se puede interpretar como el racionaln
1y de esta forma se logra que Z ⊂ Q1.
En estas notas la operacion de suma se representa siempre como + y la operacion de producto se representade las siguientes formas: a× b = a.b = ab, siendo la mas usual la tercera excepto en caso que pueda haberconfusiones.
1.2. Las semejanzas.
1En estas notas trabajaremos principalmente con enteros positivos –numeros naturales– y con racionales positivos. Haremosalgunos comentarios sobre el caso general en el apendice.
1
2
1.2.1. Las operaciones. Tanto en los enteros Z como en los racionales Q, se pueden realizar las operacionesde suma y de producto. Ellas tienen las propiedades algebraicas usuales –asociativa, conmutativa, dis-tributiva, existencia del neutro de la suma y del producto –el cero y el uno– y existencia del opuesto –yconsecuentemente de la resta–. Todos estos temas se desarrollan en las notas: “Los naturales y los enteros”y “Los racionales” elaboradas por el programa ProRazona. Como se explica en las notas, una diferenciacentral entre ambos campos numericos es que para los enteros en general no hay inverso multiplicativo nidivision exacta2.
1.2.2. La representacion decimal. Tanto los numeros enteros como los racionales admiten una representaciondecimal. Esta representacion consiste en escribir a los numeros –ya sean enteros o racionales– a partir delas cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}3.
En el caso de los numeros enteros no aparecen terminos a la derecha de la coma, que por ser innecesariase omite. Por ejemplo el numero dos mil doce, se representa como 2012 y eso corresponde a la igualdad2012 = 2000 + 10 + 2 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2. Frecuentemente se omiten los sumandos que vanmultiplicados por cero y en los que estan multiplicados por uno tambien se omite el correspondiente factoruno.
Por ejemplo 10111 = 104 + 102 + 10 + 1.Los numeros racionales tambien admiten una representacion decimal que puede ser finita o infinita y que
–salvo si el numero es entero– necesariamente incluye una coma y terminos de ambos lados de la coma. Enel caso que sea infinita habra una periodicidad –o sea habra un bloque que se repite indefinidamente a laizquierda de la coma. Esto se explica en detalle en las notas mencionadas anteriormente.
Por ejemplo el numero1
2admite la representacion decimal 0, 5 y el numero
5
2= 2, 5 tiene a 2 como parte
entera y 0, 5 como parte fraccionaria –tambien llamada parte decimal4.
La representacion decimal de1
3es un poco mas compleja. Esta serıa
1
3= 0, 333 . . ., donde los puntos
suspensivos indican que tenemos una repeticion infinita del numero 3. En este sentido tenemos que1
3=
0, 333 . . . 6= 0, 3 =3
10.
La representacion decimal de1
7= 0, 142857142857 . . ., donde el “paquete” 142857 se repite indefinida-
mente.Cuando se da una situacion como las anteriores en que un paquete de cifras se repite indefinidamente se
escribe una lınea arriba de las cifras que se repiten.Por ejemplo
1
3= 0, 3
1
7= 0, 142857
1
6= 0, 16.
El paquete que se repite se llama perıodo, el perıodo de1
3= 0, 333 . . . es 3 y el de
1
7= 0, 142857142857 . . .
es 142857.
En las representaciones finitas, por ejemplo en el caso de1
2= 0, 5 o
1
4= 0, 25, se puede tambien interpretar
que hay un cero que se repite indefinidamente, o sea que podemos pensar que1
2= 0, 50 y
1
4= 0, 250. Estas
representaciones en definitiva tambien pueden verse como periodicas.
2Vale la pena aclarar que los unicos enteros que admiten inverso multiplicativo son el uno y el menos uno, mientras que encasos bastante generales puede asegurarse la existencia de la division exacte, p.e. 3, 6, 9, 12, · · · son todos divisibles por tres.
3No solo los racionales admiten una representacion decimal sino que la admite cualquier numero real, la diferencia importantees que en la representacion decimal de los racionales tendremos siempre una periodicidad –ver las notas Los racionales elaboradaspor el programa ProRazona.
4Tambien se puede representar la fraccion cinco medios como5
2= 2, 5 = 2
1
2, lo que se llama a veces la representacion mixta.
3
Cuando representamos racionales menores que uno, la parte entera es cero y son de la forma de un ceroy una coma seguida de dıgitos, como por ejemplo 0, 3. Cuando el racional es mayor que uno, por ejemplo7
3, su representacion decimal incluye una parte entera y es de la forma
7
3= 2, 3.
En resumen, tanto los enteros como los racionales admiten una representacion decimal, pero en el casode los enteros esta representacion no tiene terminos luego de la coma.
1.3. Las diferencias.
1.3.1. La representacion. A nivel de la representacion –si bien tanto los enteros como los racionales admitenuna representacion decimal– y en ese sentido encontramos semejanzas, se presenta una gran diferenciacuando a los racionales los representamos como fracciones.
Un numero entero se representa por:
Uno o varios dıgitos que van del cero al nueve, ademas el numero posee un signo que en caso de ser positivose omite. Por ejemplo el numero siete se representa como 7 el dos mil doce como 2012 y el menos treintay siete5 como −37. Esa representacion se puede tomar ya sea como un paquete indiferenciado o como elresultado de una operacion que involucra potencias positivas o nulas de diez interpretando siempre que100 = 1 y que 101 = 10. Por ejemplo:
• Siete se interpreta simplemente como 7 o si se quiere como 7 = 7 · 100.• 2012 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2.• 11111 = 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 10 + 1.
Un numero racional se representa por:
Un par de enteros uno de los cuales se llama numerador y otro –que no puede ser cero– que se llama
denominador. Si a y b son dichos numeros el racional correspondiente se escribe comoa
b.
Ademas de que necesitamos un par de enteros para representar al numero racionala
b, este par de enteros
no es unico –de hecho hay infinitos pares que representan el mismo racional. Por ejemploa
b=
13a
13b=−a−b
o mas concretamente1
2=
2
4=
6
12=
100
200, etc. Dos pares que representan el mismo racional se dicen
equivalentes. El par (a, b) es equivalente con (c, d) si a × d = b × c. Eso se simboliza escribiendo que
(a, b) ∼ (c, d) y en ese casoa
b=
c
dy esto se lee: “a sobre b es igual a c sobre d ”. El hecho que un numero
racional admita muchas representaciones como par de enteros, es una de las diferencias sustanciales entrelos enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a dificultades en la comprension y el trabajo con estetipo de numeros. Sin embargo, a pesar de admitir infinitas representaciones como un par de enteros, hayuna de ellas, llamada la representacion irreducibe que tiene propiedades que la distinguen de las otras. Estolo veremos en el Apendice 2.
En el grafico de abajo ilustramos la igualdad
5
2=
10
4
| | • | • | • | • | • 52 = 10
40 14
12
34
1 54
32
74
2 94
Ejercicio 1.3.1. Representar todos los puntos del segmento dibujado arriba en terminos de expresionescon denominador 4. ¿Se pueden representar todos mediante expresiones con denonominador 2?¿ Cuales sepueden representar mediante expresiones con denonominador 8? ¿Cuales se pueden representar medianteexpresiones con denonominador 3?
5En el apendice consideraremos representaciones de numeros negativos como el -37.
4
1.3.2. El orden. En el conjunto de los enteros el orden queda definido de la siguiente forma: a < b si b estaa la derecha de a en la representacion de los enteros en la recta real o en el listado de los enteros comoZ = {· · · ,−n, · · · ,−1, 0, 1, · · · , n, · · · } 6, por ejemplo:
−27 < −3 < 2 < 2012.
Desde el punto de vista grafico en la recta real –ver las notas tituladas “Los naturales y los enteros”–tenemos la siguiente representacion que nos permite visualizar el orden en el caso anterior:
• • | | | | • | •−27 −2−3 −1 0 1 2 3 2012· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
En el conjunto de los racionales representados como fracciones:
Q = {ab
: a, b ∈ Z, b 6= 0},
el orden es algo mas complejo pues para representar un racional necesitamos un par de enteros y pararepresentar dos racionales necesitamos cuatro. El orden involucrara entonces esos cuatro enteros.
La forma mas rapida de describir el orden es la siguiente: un numero racional positivo7 siempre se puederepresentar con denominador y numerador positivos.
De esta forma sia
byc
dson dos racionales representados con numerador y denominador positivos, entonces:
a
b<
c
dsi a× d < b× c.
De esta forma una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdad ahora en Z (observar quetanto ad como bc son enteros) que involucra a los cuatro elementos constitutivos de los dos racionales.
Ejemplo 1.3.2. • En el caso en que a = c = 1 y b, d > 0, para verificar la desigualdad1
b<
1
d, debemos
saber que d = 1d < b1 = b, o sea que concluimos que:
1
b<
1
dsi y solo si d < b.
• Por ejemplo1
5<
1
3porque 3 < 5.
• Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo.
Si aplicamos el criterio anterior para comparara
byc
b. Sabemos que
a
b<
c
bsi y solo si ab < cb y como
b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente ala desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0:
a
b<
c
bsi y solo si a < c.
• Por ejemplo1
5<
3
5porque 1 < 3.
• En la recta real las desigualdades anteriores se ilustran abajo:
| | ||0 1
513
35
6Como b esta a la derecha de a si y solo si b se obtiene a partir de a sumandole un numero natural, se podrıa definir en formamas precisa –ver las notas tituladas: “Los naturales y los enteros”– el orden de la siguiente forma: a < b si y solo si b− a ∈ N.
7En el apendice se considerara el caso de racionales no necesariamente positivos.
5
Como observamos mas arriba vemos es insuficiente comparar en forma independiente numerador y denom-inador para establecer relaciones de orden entre dos fracciones, es necesario considerar todas las componentesde los racionales involucrados.
Sin embargo se pueden hacer algunas reducciones usando el hecho que los racionales admiten diferentesrepresentaciones.
Por ejemplo si tenemos que comparar2
3con
7
10usando el metodo general, esta desigualdad se reduce a
la desigualdad 10 · 2 = 20 < 21 = 7 · 3 de donde concluimos que2
3<
7
10.
Otra posiblidad es usar el metodo de unificar denominadores escribiendo ambas fracciones con el mismo
denominador. Es claro que2
3=
20
30y
7
10=
21
30. Una vez hecho eso basta comparar los numeradores y como
20 < 21 concluimos que2
3<
7
10.
1.3.3. El orden y la representacion decimal. Queremos considerar el orden y tambien otras propiedades delos racionales en terminos de la representacion decimal.
(1) La representacion decimal y la representacion como fraccion. En primer lugar considera-remos como pasar de la representacion decimal de un numero racional a su representacion fraccionariay viceversa.
Dado un numero racional en la formaa
bpara hallar su representacion decimal, se procede mediante
divisiones sucesivas como se ilustra en el caso que sigue8:
Para hallar la representacion decimal de9
7procedemos como
sigue:
9÷ 7 = 1 resto 2
20÷ 7 = 2 resto 6
60÷ 7 = 8 resto 4
40÷ 7 = 5 resto 5
50÷ 7 = 7 resto 1
10÷ 7 = 1 resto 3
30÷ 7 = 4 resto 2
20÷ 7 = 2 resto 6
60÷ 7 = 8 resto 4
40÷ 7 = 5 resto 5
...
Estas operaciones se ilustran en la figura de abajo:
8Por mas detalles ver las notas “Los racionales” mencionadas anteriormente
6
Por lo tanto9
7= 1, 285714.
En este caso tenemos una representacion infinita y periodica. Cuando se repite un resto, en estecaso el 2, los restos sucesivos tambien se repiten y se obtiene la periodicidad.
Es claro que este procedimiento de divisiones sucesivas produce una representacion periodica ouna representacion finita. La representacion finita se obtiene cuando en determinado momento seobtiene un resto cero como se ilustra el siguiente ejemplo.
Para hallar la representacion decimal de71
16procedemos como
sigue:
71÷ 16 = 4 resto 7
70÷ 16 = 4 resto 6
60÷ 16 = 3 resto 12
120÷ 16 = 7 resto 8
80÷ 16 = 5 resto 0
Por lo tanto71
16= 4, 4375.
Para realizar el proceso opuesto en que a partir de la representacion decimal pretendemos encontraruna fraccion correspondiente, debemos tomar ciertos cuidados.
Si la representacion es finita el proceso es simple y siempre se obtiene con un denominador que es
una potencia de diez, por ejemplo: 1, 123 =1123
1000, 3, 75 =
375
100y 23, 1 =
231
10.
Ilustremos con ejemplos el procedimiento para calcular la fraccion correspondiente a un numeroracional de representacion periodica. Por ejemplo si queremos calcular una fraccion que me da comoresultado 0, 12 procedemos como sigue.
7
x = 0, 12
100x = 12, 12
100x− x = 12
99x = 12
x =12
99
Si el numero fuera por ejemplo 5, 7 se separa como 5 + 0, 7 y se calcula primero la representacioncomo fraccion de 0, 7 por el mismo procedimiento que antes.
5, 7 = 5 + 0, 7
x = 0, 7
10x = 7, 7
10x− x = 7
9x = 7
x =7
9
5, 7 = 5 + 0, 7 = 5 +7
9=
52
9
(2) La representacion decimal y el orden.
Si bien, la relacion de orden entre dos numeros enteros –que suponemos positivos– es intuitiva-mente evidente, puede valer la pena considerarla desde la siguiente perspectiva.
Para ordenar dos numeros enteros dados en su representacion decimal, el primer paso consiste enescribirlos con la misma cantidad de dıgitos usando el principio que el cero a la izquierda no tieneningun valor.
Por ejemplo, supongamos que queremos comparar los numeros 1324 y 234. Primero escribimos234 como 0234 y luego nos planteamos el problema de comparar dos numeros que ahora cuentancon cuatro dıgitos: 0234 y 1234. Para compararlos los empezamos a recorrer de izquierda a derecha.Como el primer dıgito de 0234 es menor que el primer dıgito de 1234 concluimos que 234 = 0234 <1234.
En situaciones menos evidentes, p.e. si queremos comparar 12345678777 con 12345679333 hacemosel mismo procedimiento. Vamos de izquierda a derecha con los dıgitos y en este caso tenemos quelos siete primeros dıgitos, que son 1,2,3,4,5,6,7 son iguales. El octavo dıgito del primer numero es 8y del segundo numero es 9. Esto nos asegura que 12345678777 < 12345679333 independiente de loque pasa despues del octavo dıgito.
En definitiva, para decidir si un entero es menor que otro –suponiendo que son ambos positivos–se escriben ambos con la misma cantidad de dıgitos –agregando eventualmente ceros a la izquierda–y se van comparando los dıgitos de izquierda a derecha hasta el momento que uno de los dıgitos esmenor que el correspondiente en el otro numero. Sabremos de ese modo cual es menor. En particularde ahı se deduce que cualquier numero que tenga menos dıgitos que otro es menor. Esto puesto quecuando los escribimos como teniendo la misma longitud, le agregamos ceros que son menores quecualquier otro numero.
Por ejemplo: 1999 < 11111 porque lo que tenemos que comparar son 01999 con 11111 y comocero es menor que uno concluimos lo que querıamos.
Para numeros racionales se procede de manera semejante, ya sea su representacion finita o infinita.
8
Para poder ordenar racionales necesitamos en forma semejante a lo anterior agregarle dıgitos auno de ellos para luego poderlo comparar con el segundo.
Esto es posible pues a diferencia de lo que sucedıa con los enteros, agregar ceros a la derecha dela coma no afecta el resultado siempre que la representacion del numero sea finita9.
Por ejemplo 1, 2 = 1, 20 = 1, 200 = · · · y tambien 7, 123123 = 7, 1231230 = 7, 12312300 = · · · .Ahora queremos ilustrar porque el numero 17, 3 es menor que 17, 3.Al agregar los ceros para que sean comparables, deberıamos considerar 17, 3000 · · · y 17, 3333 · · ·
y si los recorremos de izquierda a derecha como antes, las tres primeras cifras son iguales (el uno elsiete y el tres) pero en la cuarta cifra (la segunda despues de la coma) tenemos una diferencia, enel primer numero aparece el cero y el en segundo el 3. De esta forma concluimos que 17, 3 < 17, 3independientemente de lo que sucede con el resto de las cifras.
Por otro lado obtenemos la misma conclusion si los representamos como fracciones, el primero es17, 3 = 173/10 y el segundo es 17, 3 = 17 + 1/3 = 52/3. Ahora:
173
10<
52
3si 519 = 173× 3 < 10× 52 = 520.
De esta forma tambien concluımos que 17, 3 < 17, 3.En definitiva, al considerar el orden y la representacion decimal se ven algunas semejanzas y
algunas diferencias entre los enteros y los racionales. Como semejanza tenemos que en ambos casoshay un procedimiento mecanico para decidir sobre el orden entre dos numeros. El procedimientoconsiste en agregar ceros hasta obtener la misma cantidad de dıgitos para luego ir recorriendo elnumero de izquierda a derecha.
Sin embargo hay tambien diferencias significativas. Por ejemplo, no basta con que un numerofraccionario tenga mas dıgitos que otro para que sea mayor, cosa que sı sucede entre enteros. Porejemplo 567 < 1234 porque 1234 tiene cuatro dıgitos –y consecuentemente es mayor que mil– mientrasque 567 al tener tres es menor que mil. Por otro lado 0, 567 > 0, 1234 y esto se puede comprobarmediante el procedimiento explicado mas arriba.
(3) El concepto de sucesor y predecesor en Z, la densidad de QUna de las diferencias mas importantes entre los enteros y los racionales es que fijado un racional,
por ejemplo1
2siempre podemos encontrar otro racional tan cerca como se quiera del original, esta
propiedad se conoce con el nombre de densidad de Q.Esta propiedad no vale para los enteros pues todo entero tiene un sucesor y un predecesor.
Por ejemplo, si representamos a1
2= 0, 5 es claro que 0, 51 es otro racional (que vale 51/100) que
esta muy cerca de 0, 5. Esto porque 0, 51− 0, 5 = 0, 01 = 1/100 por lo que la diferencia entre amboses de un centesimo.
Si quisieramos aproximarnos mas aun a 0, 5 podrıamos tomar 0, 501 (que de hecho vale 501/1000)
y al compararlo con el original tenemos 0, 501− 0, 5 = 0, 001 =1
1000.
Si el racional fuera de representacion decimal infinita se procede en forma semejante. Si el racional
es 0, 12 =12
99podemos tomar por ejemplo 0, 122212 · · · y de esa forma 0, 122212 · · ·− 0, 121212 · · · =
0, 001 =1
1000. O sea que el racional 0, 122212 · · · se aproxima al original 0, 12 =
12
99en
1
1000.
Ejercicio 1.3.3. Escribir el numero racional 0, 122212 como fraccion.
9Observar que agregar ceros a la derecha en representaciones infinitas carece de sentido. ¿Como podrıamos agregar un cero
a la derecha de la infinita sucesion de tres en la escritura de1
3= 0, 333333 · · · ?
9
Otra propiedad relacionada con la anteriormente mencionada para los numeros racionales, es lasiguiente. Dados dos numeros racionales siempre existe uno que esta entre ellos –para obtenerlobasta tomar el promedio–.
Ejercicio 1.3.4. (a) Mostrar usando representaciones decimales que entre los racionales 0, 12 y0, 13 hay algun numero racional.u
(b) Dado el racional de representacion decimal 0, 31 hallar un racional que se aproxime a el en
menos de1
100y que no sea el original.
(c) ¿Se pueden hacer aproximaciones por ambos lados tan chicas como se quieran? O sea, pre-guntamos por ejemplo, si se pueden encontrar numeros mayores que 0, 31 que lo aproximan en
menos de1
100y otro que sea menor y lo aproxime tambien en menos del mismo valor.
Por otro lado, si nos limitamos a trabajar con los numeros enteros la propiedad de la aproximacionno se cumple y la de la existencia de enteros intermedios no vale.
Si miramos la propiedad de la aproximacion observamos que los dos enteros mas proximos a n sonn+1 y n−1, que se llaman el sucesor y el predecesor. Es claro entonces que la aproximacion maximaque se puede obtener al numero n es de una unidad. Como hemos observado esto es notoriamentediferente de lo que sucede en Q.
Por otro lado, dados dos enteros no siempre existe un entero entre ellos, por ejemplo entre n yn + 1 no hay ningun entero.
Ejercicio 1.3.5. Explicar porque falla el metodo de tomar el promedio en el caso de los enteros.
2. Apendice 1: enteros y racionales negativos
En este Apendice para completar las observaciones anteriores que estan concentradas en el caso de numerospositivos, consideraremos el caso de numeros enteros y racionales negativos.
(1) La representacion decimal. En el caso que el numero sea negativo, simplemente se le agrega unsigno de menos antes de la representacion decimal del correspondiente numero positivo. Por ejemplo
−10111 = −(104 + 102 + 10 + 1) y el −1
2admite la representacion decimal −0, 5.
(2) Otros ejemplos son: −37 = −(3 · 10 + 7), −1
3= −0, 3.
(3) El orden entre fracciones no necesariamente positivas. Un numero racional cualquiera –negativo o positivo– siempre se puede representar con denominador positivo. Por ejemplo, el racional
−1
2=
1
−2=−1
2, el racional
1
2ya esta expresado como queremos y el racional −11 =
−11
1, etc. En
este caso, sia
by
c
dson dos racionales representados con denominadores positivos, entonces:
a
b<
c
dsi ad < bc.
De la misma forma que antes, una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdadahora en Z (observar que tanto ad como bc son enteros) y que involucra a los cuatro elementosconstitutivos de los dos racionales.
(4) En el caso en que a = c = 1 y b, d < 0, para verificar la desigualdad1
b<
1
d, debemos primero
escribirlos con denominador positivo. O sea que b = −B y d = −D con B,D > 0 y en ese
caso escribimos:1
b=−1
By
1
d<−1
D. Una vez hecho eso observamos que
−1
B<−1
Dsi y solo si
−1 ·D < −1 · B o sea que −D = d < −B = b. Llegamos entonces a la misma conclusion que antesaun cuando los denominadores sean negativos.
10
1
b<
1
dsi y solo si d < b.
Por ejemplo1
−2<
1
−3.
(5) Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo.
Si aplicamos el criterio anterior para comparara
byc
b. Sabemos que
a
b<
c
bsi y solo si ab < cb y como
b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente ala desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0:
a
b<
c
bsi y solo si a < c.
(6) El orden en el caso de numeros racionales cualesquiera tambien se puede ver de la siguiente manera. Sir, s ∈ Q son racionales cualesquiera y los queremos ordenar, se pueden dar las siguientes situaciones.(a) Tanto r como s son positivos. En ese caso se procede como indicamos anteriormente.(b) Uno es positivo y el otro es negativo. En ese caso es claro que el negativo sera menor que el
positivo.(c) Ambos son negativos. En ese caso se toman los opuestos que son positivos R = −r y S = −s.
El orden entre r y s es el contrario del orden entre R y s. Por ejemplo: si queremos comparar−1, 3 con −1, 3 y con −1 en primer lugar consideramos sus opuestos: 1, 3 , 1, 3 y 1, como1 < 1, 3 < 1, 3, concluimos que 1, 3 < −1, 3 < −1.
•• • • • ••−1.3−1.3
−1
0
1
1.3 1.3
3. Apendice 2: mas sobre las representaciones de los racionales
3.1. Numeros con varias representaciones decimales. En primer lugar realicemos el calculo de 0, 9.
x = 0, 9
10x = 9, 9
10x− x = 9
9x = 9
x = 1
De esta forma nos encontramos con la sorpresa de que la igualdad 1 = 0, 9 es valida.Esto tiene importantes consecuencias. La primera es que la representacion decimal de un racional no es
unica.
Por ejemplo podemos representar 2 = 1, 9, 2012 = 2011, 9, etc.Por otro lado es claro que de la igualdad
1 = 0, 9
se deduce dividiendo por 10, por 100,... que
0, 1 = 0, 09 0, 01 = 0, 009...
Ejercicio 3.1.1. (1) Mediante la representacion de 0, 9, 0, 99, 0, 999, .. en la recta real, interpretar laigualdad 0, 9 = 1.
(2) Mostrar que valen las igualdades 1, 25 = 1, 249, 12345678, 12345678 = 12345678, 123456779.(3) Escribir otras igualdades del mismo tipo.
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(4) Sea r un numero racional de representacion finita (o sea con la propiedad que a la derecha de lacoma hay solo una cantidad finita de cifras, como por ejemplo los considerados anteriormente: 1, 25,12345678, 12345678). Probar que r se puede representar con una cantidad infinita de nueves.
3.2. Numeros racionales escritos como fracciones irreducibles. Una fraccion p/q se dice que esirreducible, si no hay factores comunes al numerador y al denominador.
Por ejemplo 2/3 es irreducible pero 4/6 no lo es.Es facil ver que todo numero racional se representa por una fraccion irreducible. Para probarlo, basta
tomar una fraccion cualquiera y eliminar todos los factores comunes al numerador y al denominador. Alfinal del proceso se llega a una fraccion irreducible que representa al mismo racional que la original.
Por ejemplo 30/45 = 10/15 = 2/3.Un resultado importante que aparece probado en las notas “Los racionales” asegura que si se tienen dos
representaciones del mismo numero racional r = a/b = c/d donde la primera representacion es irreducible,entonces c = ma y d = mb para algun entero m.
O sea, estamos diciendo que si conocemos la representacion irreducible de un racional, conocemos todaslas otras que se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo entero.