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Los 17 grupos cristalográficos planos
Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2.
1Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2010-2011
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Procedimiento general
• Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual.
• De G se obtienen T,J.• De T se obtiene el retículo L.• J debe ser un subgrupo del grupo de
isometrías lineales que fijan L.• En algunos casos, hay varias posibilidades para
G a partir de los mismos T y J.
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Retículo oblicuo
• En este caso, las unicas isometrías lineales que dejan fijo el retículo son Id, Aπ
• Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son– {Id}– {Id,Aπ}
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(p1)Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T
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(p2)Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π
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Retículo rectangular• Las isometrías lineales que son simetrías de un
retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}.• Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a
ser J, son:– {Id} (p1)– {Id,Aπ} (p2)– {Id,B0}– {Id,Bπ} (análogo al anterior)– {Id,Aπ,B0,Bπ}
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(pm)J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0)
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(pg)J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0)
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(pmm)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G
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(pmg)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G
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(pgg)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G
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Retículo rectangular centrado
• Las isometrías lineales que son simetrías vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}.
• Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son:– {Id} (de nuevo es (p1))– {Id,Aπ} (p2)– {Id,B0} o {Id, Bπ}– {Id,Aπ,B0,Bπ}
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(cm)J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de G. (sería análogo con B0)
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(cmm)J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπ vienen de reflexiones
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Retículo cuadrado
• Las isometrías lineales que dejan fijo el retículo son D4=< Aπ/2,B0>.
• Los únicos casos nuevos que aparecen corresponden a los subgrupos– <Aπ/2>– D4
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(p4)J=<Aπ/2>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones
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(p4m)J=D4 y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G
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(p4g)J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G
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Retículo hexagonal
• Las simetrías del retículo en este caso son D6=<Aπ/3,B0>
• Los únicos subgrupos que suponen casos nuevos son– <A2π/3>– <A2π/3,B0>– <A2π/3,Bπ/3>– <Aπ/3>– <Aπ/3,B0>
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(p3)J=<A2π/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones
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(p31m)J=<A2π/3,B0> y B0 viene de una reflexión en G.
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(p3m1)J=<A2π/3,B π/3 >. Por tanto, no hay reflexiones con eje paralelo al retículo.
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(p6)J=<Aπ/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones.
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(p6m)J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión.
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Teselaciones aperiódicas
• Penrose: “darts” and “kites”.
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Prob 15: Hawaii
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Prob 15: Egipto1
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Prob 15: Egipto2
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Prob 15: Alhambra
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Prob 15: Tapiz persa
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Prob 15: Asiria
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Prob 15: Linóleo (EEUU)
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Prob 15: China
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