logr29598

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ

EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MATEMÁTICAS PARA COMPUTADORA

1. LÓGICA MATEMÁTICA

ISC. YAQUELINE PECH HUH

PRESENTACIÓN

Podemos pensar a la lógica como el estudio del razonamiento correcto. El

razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o

hechos. El razonamiento correcto es el razonamiento en el que las conclusiones

se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos.

Este trabajo trata sobre Lógica Matemática y Enseñanza, especialmente

sobre algunos elementos del análisis de tipo lógico que es necesario hacer para

comprender el lenguaje de la matemática y la estructura lógica de sus

demostraciones, a las que consideramos razonamientos correctos.

Una inquietud muy natural en un alumno interesado en un curso de lógica

matemática, es la de "aprender a demostrar en matemáticas". Esta inquietud

proviene del hecho de que el alumno no tiene claro qué es demostrar, ni por qué

hay que demostrar, ni tiene claro el concepto de verdad en matemáticas. Sólo

tiene preparación regular en la manipulación mecánica de algunos conceptos

matemáticos, pero carece de espíritu analítico. Confunde los desarrollos

formalistas mecanicistas y la memorización con el razonamiento correcto. Es

precisamente esa falta de espíritu analítico lo que provoca un rechazo al análisis

de conceptos, principios y métodos básicos de la matemática, como por ejemplo,

el concepto de límite, el principio de inducción matemática y el método de

reducción al absurdo.

Lo primero que hay que aclarar ante esta inquietud, es que no es posible

“enseñar a demostrar en matemáticas”, ya que no hay "recetas" para ello. Sin

embargo, se pueden dar elementos suficientes para que uno mismo vaya

aprendiéndolo.

Con el objeto de subsanar todas las deficiencias antes mencionadas, lo

cual no se hace en ningún curso regular, sino que se efectúa de modo autodidacta

a base de aclarar confusiones y rectificar errores, proponemos un curso básico

que se puede llamar "Análisis Lógico" o "Introducción a la Lógica Básica". Este

curso podría ser un curso propedéutico para licenciaturas relacionadas con

matemáticas, como computación, física, actuaría e ingeniería. No es un curso de

Lógica Matemática propiamente dicho, pero pretende resolver este problema que

tiene el alumno al enfrentarse al lenguaje y técnicas lógico deductivas de la

matemática, antes de poder enfrentarse a la matemática misma.

ÍNDICE DE CONTENIDO 1. PORTADA

2. PRESENTACIÓN

3. OBJETIVOS GENERALES

4. UNIDAD TEMÁTICA

1. LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 Argumentos y Tipos de Proposiciones

1.1.1 Concepto de Argumento

1.1.2 Proposiciones Simples y Compuestas

1.2 Conexiones Lógicas y Jerárquicas

1.2.1 Conjunción

1.2.2 Disyunción

1.2.3 Condicional

1.2.4 Bicondicional

1.2.5 Negación

1.3 Cálculo de Predicados

1.3.1 Definición

1.3.2 Variables

1.3.3 Cuantificadores

1.3.4 Diagramas de Venn

1.4 Algebra declarativa

1.4.1 Conceptos

1.4.2 Tablas de Verdad

1.5 Inducción Matemática

1.5.1 Inducción Matemática (Conceptos)

1.5.2 Pasos de la Inducción Matemática

1.5.3

1.6 Inferencia y evaluación de expresiones

1.6.1 Reglas de Inferencia

1.6.2 Evaluación de Expresiones

1.7 Tautología y Contradicciones

1.7.1 Equivalencias Lógicas

1.7.2 Demostración condicional

1.7.3 Demostración por contradicción

5. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

6. EVALUACIÓN

7. BIBLIOGRAFÍA

OBJETIVOS GENERALES

El alumno

o conocerá los conceptos básicos de la lógica matemática

o Identificará Argumentos dentro de un texto.

o Identificará los diferentes tipos de proposiciones y establecerá

vínculos con programación.

o Utilizará las conexiones lógicas para establecer proposiciones

compuestas, igualmente establecerá su simbología y tablas de

verdad para cada una.

o Utilizará tablas de verdad para decidir si los argumentos son

verdaderos o falsos.

o Utilizará los diagramas de Venn como herramienta para comprobar

si la conclusión es consecuencia lógica de las hipótesis.

o Utilizará la Inducción Matemática como herramienta para

comprobar o determinar si una fórmula se puede utilizar para

cualquier termino incluyendo el n+1

o Conocerá y aplicará las reglas de Inferencia para establecer la

conclusión adecuada para las hipótesis.

o Conocerá las reglas para la evaluación de expresiones y

determinará prioridades.

o Utilizará la demostración directa o condicional y la demostración

por contradicción para probar que los Argumentos son correctos

Utilizando los teoremas, axiomas, términos y términos no definidos.

o Conocerá el concepto de Tautología y Contradicción

1.1. Argumentos y Tipos de Proposiciones

Objetivos Específicos:

Conocerá los conceptos básicos de la lógica Matemática

Identificará el argumento como parte de un enunciado

Conocerá el concepto de Proposición

Aplicará los conceptos para distinguir los enunciados que son

proposiciones Simples o compuestas.

Instrucciones Específicas:

Lee Cuidadosamente el material que se presenta

Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema

EL azul indica el concepto del subtema

Los conceptos más importantes están resaltados con negritas

Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas

Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.

Antecedentes:

LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por

medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es

ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la

filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase

puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el

significado correcto. En la computación para revisar programas. En general la

lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un

procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama

de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha

tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento

lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la

parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que

ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de

izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la

aplicación de la lógica.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de

razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para

determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea

en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para

verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales,

para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida

cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma

constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

1.1.1 Concepto de Argumento

Un argumento es un conjunto finito y ordenado de afirmaciones de las cuales se

dice que la última, llamada conclusión, se sigue de las anteriores, llamadas

premisas. Un argumento es correcto si y sólo si la conclusión es consecuencia

lógica de las premisas; esto quiere decir que para cada interpretación del lenguaje

respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será

necesariamente verdadera.

Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus

interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna

para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Una

proposición es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la

vez. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no

válidas Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos

y la proposición propiamente dicha.

NOTA:

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero;

por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición

valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las

variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta

perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que

esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y

w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de

ellos es un saludo y el otro es una orden.

Ejercicio:

Completa el siguiente enunciado y forma un Argumento

Jalil dice que todos los griegos Mienten

Jail miente si dice la verdad

________________________

jemplo: E

1.1.2 Proposiciones Simples y Proposiciones Compuestas

Una Proposición Simple es una afirmación como

1 + 1 = 3

La cual es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Se usan letras

minúsculas, como p, q o r para denotar las proposiciones.

p : 1 +1 = 3 para definir que p es la proposición.

p : Hay un premio Gramy Latino para los Artistas

q : Los Ovnis provienen de Marte

r : Terminado tu tarea te tienes que bañar

p y q son proposiciones, p es falsa y q es verdadera o falsa pero no

ambas a la vez, pero nadie lo sabe hasta el momento: r no es una

proposición por que r es un mandato no es verdadera ni falsa.

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones

compuestas (formadas por varias proposiciones).

Una Proposición Compuesta es aquella que esta formada por dos o más

proposiciones simples.

E jemplo:

NOTA:

Sea: p: La materia es muy Teórica

q: El examen está fácil

r: el sol está fuerte

La proposición compuesta es: La materia es muy teórica o el examen está fácil.

Ejercicio:

I.- De las siguientes sentencias Identifica cuales son proposiciones y cuales no

1.- Hace calor

2.- Mañana no hay clases

3.- Es tarde

4.- Cuantos años tienes?

5.- Ayer hubo fiesta.

II.- Tomando como base las proposiciones del ejemplo anterior p, q, r escríbelas

como proposiciones compuestas siguiendo las condiciones.

1) p o q entonces r

2) r y p entonces q

E jemplo:

3) no p entonces q o r

EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE

1.- El enunciado ¿lava el coche por favor? es un ejemplo de: a) Un enunciado que no es proposición

b) una proposición

c) Axioma

d) Premisa

e) Conclusión

2.- Encuentra la respuesta al siguiente argumento: Jalil dice que todos los griegos mienten Jalil miente si dice la verdad Entonces:_______________ a) Jalil dice la verdad cuando miente.

b) Jalil miente y los griegos mienten c) Todos los griegos mienten d) no es cierto lo que dice jalil e) Jalil miente todo el tiempo y los griegos no 3.- Determina cual es la expresión simbólica que se aplica para la condición del código: j: = 1; i:=1; while (i<2 and j<5) or i + j = 5 do begin i:= i +2; j:=j +1; End. a) (p Λ q) V r

b) (p V r) V q

c) p → (p Λ q)

d) p V q V r

e) p Λ q Λ r

1.2. Conexiones Lógicas y Jerárquicas


Conocerá el concepto de Conjunción, así como su simbología.

Establecerá los criterios de verdad para la conjunción.

Identificará aplicaciones de la conjunción dentro del esquema de

programación.

Conocerá el concepto de Disyunción, así como su simbología.

Establecerá los criterios de verdad para la Disyunción.

Identificará aplicaciones de la Disyunción dentro del esquema de

programación.

Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando los

criterios de conjunción y disyunción establecidos.

Conocerá el concepto de proposición condicional, así como su simbología.

Establecerá los criterios de verdad para la proposición condicional

Identificará aplicaciones de la proposición condicional dentro del esquema

de programación.

Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando la

proposición condicional.

Conocerá el concepto de proposición Bicondicional, así como su

simbología.

Establecerá los criterios de verdad para la proposición Bicondicional

Identificará aplicaciones de la proposición Bicondicional dentro del esquema

de programación.

Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando la

proposición Bicondicional.

Conocerá el concepto de negación, así como su simbología.

Establecerá los criterios de verdad para la negación

Identificará aplicaciones de la negación dentro del esquema de

programación.

Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando los

conectores jerárquicos mencionados.








1.2.1 Conjunción

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que

se pueda obtener un resultado verdadero.

Se llama conjunción a la proposición p y q y se simboliza p Λ q

Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque

y tiene corriente la batería"

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica es como sigue:

p = q Λ r

Los valores de verdad para la proposición compuesta p Λ q se

representan en la siguiente tabla:

E jemplo:

Donde.

T = verdadero

F = falso

En la Conjunción el resultado solo es verdadero cuando las

proposiciones que las componen ambas son verdaderas, en los

casos restantes el resultado es falso

Utilizando la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina,

r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q r=1 significa que el coche

puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no

tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

p q p Λ q

T T T

T F F

F T F

F F F

Q R p = q r

T T T

T F F

F T F

F F F

E

NOTA:

jemplo:

Ejercicio:

Suponga que p= T, q= F, y r = F determina si las siguientes proposiciones

compuestas son verdaderas o falsas.

1.- Λ

2.- Λ ( Λ )

3.-

p

q

p

r

(p Λ q)

( p Λ r )

1.2.2 Disyunción

Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las

proposiciones es verdadera.

Se llama Disyunción a la proposición p o q y se simboliza p V q

Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque

o tiene corriente la batería"

Sean: p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto

u obtiene un pase".

Donde. p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

E jemplo:

De tal manera que la representación de los enunciado anteriores usando

simbología lógica es como sigue:

p = q V r

Los valores de verdad para la proposición compuesta p V q se

representan en la siguiente tabla:

Donde.

T = verdadero

F = falso

En la Disyunción el resultado solo es Falso cuando las

proposiciones que las componen ambas son falsas en los casos

restantes el resultado es Verdadero

Utilizando la tabla anterior el valor de q=F significa que el no compra su boleto r=T

significa que Obtiene su pase y p = q V r= T significa que el puede entrar al cine.

p Q p V q

T T T

T F T

F T T

F F F

E

NOTA:

jemplo:

Ejercicio:

Suponga que p= T, q= F, y r = F determina si las siguientes proposiciones

compuestas son verdaderas o falsas.

1.- V

2.- V ( V )

3.- p V

p

q

p

r

(p V q)

( p V r )

1.2.3 Condicional

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones

simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p q Se lee "Si p entonces q"

El candidato del PRI dice "Si salgo electo presidente de la República recibirán un

50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se

conoce como condicional.

Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p q

Quedando:

Salió electo Presidente de la República entonces Recibirán un 50% de aumento

en su sueldo el próximo año

E jemplo:

La proposición p se denomina hipótesis (o antecedente) y la proposición q,

conclusión o consecuente.

Los valores de verdad para la proposición condicional p q se representan en

la siguiente tabla:

Donde.

T = verdadero

F = falso

Si la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa entonces

la proposición condicional es falsa. (NO se debe deducir una

conclusión falsa de una hipótesis verdadera)

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la

afirmación del enunciado anterior. Cuando p=T; significa que salió electo, q=T y

p Q p q

T T T

T F F

F T T

F F T

E

NOTA:

jemplo:

recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p q =T; significa que el

candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=T y q=F significa que p q

=F; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.

Cuando p=F y q=T significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50%

en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto;

tampoco mintió de tal forma que p q =T.

Ejercicio:

Expresa de nuevo cada proposición en forma de proposición condicional.

1.- Luis será buen estudiante si estudia mucho

2.- Ana puede cursar Matemáticas para computadora si ha pasado el examen de

concimientos generales o ha ingresado al Itescam

3.- Cuando Patricia canta me duelen los oídos

4.- Una condición necesaria para que el triángulo t sea equilátero es que t tenga

iguales sus tres lados iguales.

Para resolver los ejercicios debes saber que: Una condición

necesaria es otro nombre para la conclusión; Una condición

suficiente es otro nombre para la hipótesis.

NOTA:

1.2.4 Bicondicional

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición

bicondicinal de la siguiente manera:

p q Se lee "p si solo si q"

Sea:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

El enunciado siguiente es una proposición bicondicional

"Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez" quedando expresado en

forma simbólica de la siguiente manera

p q


la siguiente tabla:

E jemplo:

Donde.

T = verdadero

F = falso

La proposición compuesta p q será verdadera cuando ambas

proposiciones p y q sean iguales en sus valores de verdad, es decir

cuando ambas sean verdaderas o ambas falsas.

Ejercicio:

Expresa de nuevo la proposición en forma de proposición bicondicional.

1.- Un triángulo es un triángulo rectángulo cuando a2 + b2 = c2

2.- Encuentra en un periódico ejemplos de proposiciones bicondicionales

p q p q

T T T

T F F

F T F

F F T

NOTA:

1.2.5 Negación

Operador Not (no)

Si p es un proposición la negación de p se obtiene invirtiendo simplemente

los valores de verdad de p. Se simboliza de la siguiente manera.

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición

es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o

negación (falso).

p: Nicole Kitman Protagonizó la película los Otros

:Nicole Kitman Protagonizó la película los Otros


la siguiente tabla:

P

T F

F T

E

p

p

jemplo:

p

ANEXOS

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo

funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado

es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son

verdad el resultado es falso.

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más

complejos. Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no

aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p q r

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los

operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor

(combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier

enunciado con conectores lógicos.

Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la

corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré

prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la

deuda, si solo si soy desorganizado"

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

E jemplo:

Ejercicio:

Expresa en forma de negación los siguientes enunciados

1.- Todos los cuadrados son rectángulos

2.- Ningún par de rectas paralelas se interfecta

3.- Algunos grafos son árboles

4.- algunos lenguajes libres de contexto no son lenguajes regulares.


1.- Evaluar las siguientes proposiciones según los valores de verdad p = F, q = T, r = F y determinar si son verdaderas o falsas.

a) Verdadero, falso, falso

b) falso, falso, falso c) falso, verdadero, falso d) verdadero, verdadero, falso e) verdadero, falso, verdadero. 2.- Tomando como base las proposiciones p:la materia es teórica, q: El examen está difícil, r:El sol está fuerte. La proposición compuesta no p entonces no q o r queda: _____________________

a) La materia es práctica entonces el examen es fácil o el sol esta fuerte

b) La materia no es teórica entonces el examen está fácil o el sol esta fuerte c) La materia es práctica entonces el examen es dificil o el sol esta fuerte d) La materia no es teórica entonces el examen está difícil o el sol no esta fuerte e) No es verdad que la materia es teórica y que el examen esta fácil o el sol está fuerte 3.- Una conclusión suficiente dentro de un argumento es igual a:

a) hipótesis

b) conclusión c) argumento d) axioma e) definición

1.3. Cálculo de Predicados


Identificará el predicado como elemento de una expresión.

Empleará la metodología para estructurar las expresiones en la forma

correcta, resaltando el predicado.

Conocerá las variables que se utilizan para el cálculo de predicados

Identificará los cuantificadores en el mundo real.

Utilizará los cuantificadores para sentar las bases de los diagramas de

Venn

Utilizará los diagramas de Venn como herramienta para comprobar si la

conclusión es consecuencia lógica de las hipótesis.








Realiza los ejercicios correspondientes

1.3.1 Definición

DEFINICIÓN:

Si P es un símbolo de predicado de n argumentos y t1,t2, ..., tn son términos,

Entonces:

P(t1,t2,...tn) es un término.

Ninguna otra expresión puede ser un término.

En la siguiente lectura trataremos la forma como se convierte formulas del Cálculo

de Predicados a formas sin cuantificadores, las cuales son más fáciles de

manejar. Como veremos, estas formas, llamadas formas normales prenexas

permiten un manejo similar al que se hace con el Cálculo de Proposiciones.

El Cálculo de predicados trata solamente con valores de las

proposiciones y cómo se relacionan y se opera con ellos; pero no

dice nada respecto a la relación que pueda existir en el dominio de

interpretación de la proposición.

NOTA:

jemplo E

Es un tratamiento deductivo puramente sintáctico en las variables

preposicionales y en las expresiones no se refleja si hay o no una relación entre p

y q o entre p y r, etc.

Así estas proposiciones pueden representar igualmente:

a)

Juan está cansado o enfermo

Si Juan está cansado, se queda en casa

No se queda en casa. Luego está enfermo

Donde todas las proposiciones están referidas a un mismo elemento del

dominio de interpretación: "Juan".

b)

En el desierto hay arena o Juan tiene gripe

Si en el desierto hay arena entonces tengo hambre

Yo no tengo hambre

Luego, Juan tiene gripe

Donde no hay, aparentemente, ninguna relación entre las proposiciones; sin

embargo, ambas interpretaciones son correctas y la conclusión es válida.

El Cálculo de Predicados refleja las relaciones que existen entre

los elementos del dominio y si estas relaciones están referidas a

NOTA:

parte del dominio o a todo el dominio.

El Cálculo de predicados, resulta útil para muchas aplicaciones

computacionales, entre las que podemos citar, análisis de circuitos, análisis y

confiabilidad de sistemas mediante árboles lógicos, diversas aplicaciones de

satisfactibilidad a problemas de planeación, etc. Sin embargo, existe una gran

cantidad de aplicaciones donde el Cálculo de predicados no se considera

suficiente, debido a que cuenta con una deductibilidad limitada y en donde es

preferible un tipo especial de lógica conocido como Lógica de Predicados (ó

Cálculo de Predicados). Para explicar esta situación, consideremos el argumento

conformado con las siguientes sentencias del Cálculo Proposicional:

p: Todos los mamíferos son mortales

q: Lassie es un mamífero

r: Lasssie es mortal

Las expresiones p, q, r, son proposiciones, puesto que todas ellas son

enunciados que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos). Hay que

hacer notar, sin embargo, que mediante la aplicación de reglas de inferencia del

Cálculo Proposicional, no es posible deducir r a partir de las premisas p y q

anteriores, ya que el Cálculo Proposicional no tiene acceso a los elementos

comunes que conforman estas proposiciones, como son mamífero, mortal y

Lassie, e indispensables para llegar a la conclusión r resultante. Sin embargo, esta

misma expresión en Cálculo de Predicados, se podría escribir distinguiendo los

elementos constitutivos de cada proposición. Es decir, el Cálculo de Predicados se

aplica para las mismas proposiciones que pueden ser enunciadas en Cálculo

Proposicional, con la diferencia que en el primero se tiene acceso a los elementos

constitutivos de cada proposición.

Una de las aplicaciones más importantes del Cálculo de Predicados es la

especificación formal, la cual permite describir lo que el usuario desea que un

programa realice. Ésta es una aplicación que ha empezado a ser empleada para

el desarrollo de al menos las partes críticas de un sistema. De esta manera piezas

de código especificadas formalmente, pueden ser verificadas, en principio,

matemáticamente, incrementando la confiabilidad del sistema completo. Existen

varios lenguajes de especificación formal basados en lógica, como Z o VDM, de

los cuales se hablará más adelante en este curso.

En el caso de la especificación y verificación formal de programas, las

piezas de código son acompañadas por pre y post condiciones, las cuales se

escriben como fórmulas del Cálculo de Predicados. Las pre y postcondiciones

deben ser válidas, antes y después de que la pieza de código correspondiente se

ejecute. Es decir, si la pieza de código satisface su especificación, entonces se

dice que el programa es correcto.

Por otra parte, dada una pieza de código y sus pre y postcondiciones, se

dice que un algoritmo tiene la propiedad de correctividad si se es capaz de decir si

dicha pieza de código es o no correcta. El análisis de la correctividad de

algoritmos es una parte fundamental en Ciencias compuationales. Formalmente,

es necesario asegurar una definición precisa de la pre y post condiciones, de

manera que se interprete de ellas un solo significado; ésto es logrado escribiendo

las pre y post condiciones como fórmulas del Cálculo de Predicados. Éste es

particularmente útil para describir la semántica de los lenguajes de programación,

así como para describir el comportamiento funcional de un programa o una parte

de él.

En el Cálculo de Predicados hay otras diferencias básicas respecto al

Cálculo de predicadosl, entre las que podemos citar:

* Se indican postulados sobre objetos individuales:

Juan es alto

Se puede escribir:

ES_ALTO(JUAN)

Donde ES_ALTO es un símbolo de predicado y JUAN es una constante.

Nótese que el predicado anterior puede ser evaluado como V (verdadero) o F

(falso).

* Se indican postulados relacionando varios objetos.

Es posible expresar:

Juan es tío de María

E jemplo:

jemplo E

En la forma:

ES_TIO (JUAN, MARIA)

Donde ES_TIO es un Símbolo de Predicado que tiene como argumentos a

las constantes

JUAN Y MARIA.

Obsérvese que el predicado anterior podrá ser evaluado como F (falso) o V

(verdadero).

* Se utilizan cuantificadores universales y existenciales.

El argumento anterior sobre Lassie se puede escribir:

for_all (x) MAMÍFERO(x) MORTAL (x)

MAMÍFERO (LASSIE)

MORTAL (LASSIE)

Una posible interpretación de este modelo se presenta a continuación:

i) En este argumento tenemos las siguientes premisas:

La primera proposición señala que todos los elementos x son mamiferos

implican que x es mortal.

La segunda expresión indica que es conocido que Lassie es un

mamífero.

ii) La conclusión de este argumento es:

Lassie es mortal

jemplo E

iii) El único conector lógico de esta expresión es el símbolo el cual es

como en el caso del Cálculo Proposicional, el de implicación. No obstante en

Cálculo de Predicados se pueden utilizar todos los conectores lógicos del Cálculo

Proposicional.

Podríamos interpretar este argumento indicando que si las dos premisas

son verdaderas, entonces se puede deducir que Lassie es mortal

1.3.2 Variables

En el Cálculo de Predicados se usan varios tipos de símbolos:

SÍMBOLOS DE FUNCIÓN: Funciones que definen nuevos individuos en

términos de los previamente conocidos

mas(x,y)

padre(x)

SÍMBOLOS DE PREDICADOS: Predicados que describen un conjunto de

individuos que tienen una propiedad o relación

MAYOR(más(x,1),x)

CONSTANTES. Mantienen la propiedad de todo elemento constante.

CASA, MARÍA

SÍMBOLOS DE VARIABLES. Individuos que pertenecen a un dominio no

vacío o conjunto

x,y

jemplo E

jemplo E

jemplo E

jemplo E

En Cálculo de Predicados, nos referimos a términos cuando hablamos de

constantes, variables o símbolos de función, cuyos elementos sabemos de

antemano que son términos. Así, por ejemplo, la variable x y la constante 1 son

términos. Dado el símbolo de función más de dos argumentos, las siguientes

expresiones también son términos:

más (x,1)

más (más(x,1),1)

El primero de ellos se refiere a la suma x +1, mientras que el segundo a la

suma de los términos correspondientes a x+1 con el término 1.

Como para el caso del Cálculo de Proposiciones, se usan también átomos

en el Cálculo de Predicados, los cuales son enunciados simples (es decir

predicados), que están conformados con símbolos de predicados, con varios

términos como argumentos y que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F

(falsos), de manera que no pueden ser descompuestos en proposiciones más

simples. De esta manera las siguientes expresiones son átomos:

MAMÍFERO(x)

MORTAL (LASSIE)

ES_TIO(JUAN, JOSE)

ES_NIETO(PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI)

Es decir, se puede definir término de la siguiente manera:

Además se trata con formas proposicionales, estructuras que aparecen como

sentencias declarativas, pero que no tienen valores definidos de verdad a causa

de las variables individuales.

Ejemplo:

2+3=4 Es una proposición

x+3=4 Es una forma proposicional, ya que será proposición cuando x

tome algún valor del dominio

Recibe el nombre de Cálculo de Predicados de Primer Orden por tener

cuantificadores sólo sobre el dominio de individuos.

El cálculo de predicado está formado por un conjunto de

predicados concatenados a través de operaciones lógicas.

Igualmente dentro del cálculo de Predicados se utilizan las siguientes simbologías:

Е Existe: : Para todo

Sea el enunciado:

Todos los mamíferos son de sangre caliente.

Expresado usando la simbología del predicado se tiene:

Mamíferos ( X ) Sangre caliente ( X )

NOTA:

jemplo E

Ejercicio:

Traduce en forma simbólica los siguientes enunciados.

1.- Todos los romanos eran leales a Cesar o lo odiaban

2.- Cesar fue un Rey

3.- Todos los pompeyanos fueron Romanos

4.- Marco Trata de asesinar a Cesar

1.3.3 Cuantificadores y restricciones

Existen dos tipos de cantificadores:

Una cuantificación existencial es verdadera respecto a la interpretación dada, si

hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que q es

verdadera respecto a esa interpretación y respecto a ese individuo.

El cuantificador universal utiliza el descriptor todo o nada, es decir se

refiere a todas las acciones que engloban al universo;

Todos los miembros del equipo los Cafés de Calkiní son jugadores de Baseball

Ningún hecho violento merece ser visto

Una cuantificación universal es verdadera respecto a la interpretación dada, si

para todos los individuos en el universo de esa interpretación, q es

verdadera respecto a esa interpretación y respecto a cada uno de ellos.

El cuantificador existencial utiliza el descriptor algún c1 esta en C2, o

algún C1 no esta en C2, es decir se refiere a que algunos elementos

pueden pertenecer o no al conjunto.

NOTA:

NOTA:

jemplo E

Algunos jugadores de béisbol no están en el equipo Cachorros

Algunos números reales no son perfectos

jemplo E

1.3.4 Diagramas de Venn

Es una representación de las clases o conjuntos mediante círculos que se

intersecan.

Sean las clases:

C1: los profesores

C2: los humanos

C3: los buenos docentes

Para poder representar un diagrama de Venn se necesita de un razonamiento de

la siguiente forma (tomando como base las clases):

Todo C1 es C2

Todo C3 es C2

Todo C1 es C3

Los diagramas sirven, en ocasiones, para visualizar las operaciones que se

pueden realizar con conjuntos a si el universo se representa mediante rectángulos

y los conjuntos que se extraen mediante curvas cerradas.

Conjunto o Clase

jemplo E

UNIVERSALES EXISTENCIALES

Todo C1 es C2 Algunos C1 están en C2

Ningún C1 está en C2 Algunos C1 no están en C2

Los diagramas de Venn son útiles para determinar la validez de

razonamientos relacionados con proposiciones categóricas.

Sean los siguientes argumentos

Todos los profesores son humanos

Todos los buenos docentes son humanos

Todos los profesores son buenos docentes

Podemos presentar el razonamiento en la forma:

NOTA:

jemplo E

Todo C1 es C2

Todo C3 es C2

Todo C1 es C3

El diagrama de Venn Que representa la hipótesis se representa:

Considere la región que tiene la marca palomeada, como esta región no esta

sombreada, no es vacía necesariamente, es decir pueden haber elementos de C1

que no estén en C3. Por lo tanto la conclusión no es correcta por lo que Ele

razonamiento es falso.

Ejercicio:

Utiliza diagramas de Venn para determinar si los siguientes razonamientos son

válidos:

1.- Algunos votantes no son Mexicanos

Algunas personas no son votantes

Algunas personas no son Mexicanos

2.- Todos los árboles son grafos

Algunas estructuras no son grafos

Algunas estructuras no son árboles

3.- Todos los perros tienen dos patas

Todos los animales de dos patas son carnívoros

Todos los animales de dos patas son carnívoros

4.- Algunos enteros no son números perfectos

Todos los enteros son números reales

Algunos números reales no son números perfectos


1.- Expresa en forma de predicado el enunciado: Juan es tio de Maria

a) Es tio (Juan, Maria)

b) Es tio (Juan)

c) Es tio (Maria)

d) Es tio (Maria, Juan)

e) Es tio (x)

2.- Es la traducción en forma simbólica del enunciado: Existen personas que toman clase de manejo con luis o sacan su licencia

a) E personas(x) → clases de manejo(x, luis) V licencia(x)

b) E clase de manejo(x) V licencia (x)

c) E personas(x) ↔ clases de manejo(x, Luis) V licencia(x, Luis)

d) E clase de manejo(x, Luis) V licencia (x. Luis)

e) E personas(x) → clases de manejo(x, luis) V licencia(x, Luis)

3.- Identifica el razonamiento que representa el diagrama de Venn

a) ningun c2 es c1

b) algún c1 es c2

c) todo c1 es c2

d) todo c2 es c1

e) algún c1 no es c2

1.4. Algebra Declarativa


Utilizará los conocimientos previos para realizar tablas de verdad de

proposiciones compuestas.

Utilizará las tablas de verdad para decidir si los argumentos son verdaderos

o falsos

Conocerá los conceptos de Axiomas, términos, términos no definidos.

Identificara dentro de un párrafo los Axiomas, términos, términos no

definidos.









1.5.1 Conceptos

Un sistema matemático está formado por: Axiomas, Términos y Términos no

definidos.

Axiomas: Se suponen ciertos.

Definiciones o Términos: Se usan para crear nuevos conceptos en términos de

otros ya existentes.

Términos no definidos: No están definidos explícitamente pero si lo están

implícitamente por los axiomas.

Los números reales constituyen un sistema matemático donde los axiomas son:

Para todo conjunto X y Y, X.Y = Y.X

Existe un subconjunto P de números reales que satisface:

a) si X y Y están en P entonces X + Y y X.Y están en P (Término)

b) Si X es un número real entonces exactamente una de las proposiciones es

verdadera: X está en P, X = 0, -X está en P (Términos no definidos)

Deducción: La deducción lógico matemática consiste en lo siguiente: A partir de

una serie de fórmulas admitidas como ciertas, y denominadas axiomas, hipótesis o

premisas, se obtiene otra fórmula llamada conclusión o tesis, mediante la

aplicación de reglas lógicas precisas. El proceso mediante el cual se pasa de las

hipótesis (premisas) a la tesis, recibe el nombre de demostración.

Un teorema es una fórmula que figura dentro de una demostración. Es decir, un

jemplo E

teorema es una fórmula que es o bien un axioma, o bien, una consecuencia de

éste.

Una fórmula se dice que es falsa si su negación es un teorema.

Una teoría es contradictoria cuando se tiene una fórmula r que es verdadera y

falsa a la vez. Esto es: r y son teoremas de la teoría.

Para demostrar que una fórmula C es un teorema se desarrolla el siguiente

proceso:

Se enuncian los axiomas de la teoría. Para la lógica proposicional se

establecen cuatro axiomas (A) que son :

A1. Axioma de idempotencia. Sea P una fórmula, entonces, la fórmula:

P V P P

es un axioma

A2. Axioma de adjunción. Sean P Y Q fórmulas, entonces, la fórmula:

P V Q

es un axioma.

A3. Axioma de conmutatividad. Sean P, Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:

P V Q V P

es un axioma.

A4. Axioma de adición. Sean P , Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:

(P Q) (R V P V Q)

r

es un axioma.

Se fijan las "reglas lógicas" que permiten deducir dicha fórmula a partir de

los axiomas. Estas reglas son llamadas reglas de validez (RV) y son las

siguientes:

RV1: Dadas las fórmulas R y S; si R S y R son verdaderas, entecos S es

verdadera.

RV2: Si R y S son fórmulas equivalentes, se puede sustituirla una por la otra en

cualquier parte del proceso demostrativo.

Se hace una demostración de la fórmula C, que consiste en obtener a C

como última fórmula de la lista, por aplicación reiterada de RV1 y RV2.

Ejercicio:

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los

símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones

simples sustituidas por cada letra mayúscula.

1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.

2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.

3. O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde.

4. Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.

5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.

6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el

cuadro rojo.

7. A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está

sobre el cuadro rojo.

8. Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.

1.4.2 Tablas de verdad

Los valores de verdad o veracidad de una proposición compuesta pueden

describirse por una tabla de verdad.

La tabla de verdad de una proposición compuesta P = P(p1, p2, p3,… ,pn)

enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, p2,

…,pn.

En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de

verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición

[(p q) ( r) (r q).

p Q r p q ( r ) (p q) ( r) r q [(p q) ( r) (r q)

F F F T T F T T T

F F T T T T T F F

F T F F T F T T T

F T T F T F T T T

T F F T F F F T F

T F T T F T T F F

T T F F T F T T T

T T T F T F T T T

q

jemplo E

q

q

q

q

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables

de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas.

Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del

material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se

esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los

ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes,

deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores

lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de

proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que

el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el

estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber

perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el

conocimiento deberá ser significativo.

Ejercicio:

Realiza la tabla de verdad para las siguientes proposiciones.

1.- p Λ q

2.- V ( Λ q )

3.- p V

p

r

(p V q)

( p V r )


1.- Son los que se suponen ciertos.

a) Axiomas

b) Definiciones

c) Términos

d) Argumentos

e) Predicado

2.- El enunciado: dados 2 puntos distintos, existe una recta única que los contiene. Es : _______________

a) Axioma

b) Teorema c) Postulado d) Término no definido e) Lema 3.- Identifica la proposición compuesta que da por resultado la tabla:

a) (p → q) Λ (q → r) b) p → (q V r) c) (p ↔ q) Λ (q → r) d) (p → q) V (q → r) e) (p → q) Λ (q V r)

1.5. Inducción Matemática


Utilizará inducción matemática para realizar demostraciones

Empleará los pasos del método inductivo para determinar fórmulas así

como sus demostraciones.

Conocerá el término de recursividad.

Enlazará los conceptos con la Materia de Programación y de lenguajes y

Autómatas como elementos previos para la construcción de cadenas.









1.5.1 Principio de Inducción Matemática

Es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer

la veracidad de una lista infinita de proposiciones.

El método puede usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de la

computación. Se utiliza frecuentemente para demostrar que un programa de

computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.

Primer principio de inducción matemática.

Consideremos una lista de proposiciones p (1), p (2), p (3), con índices en los

enteros positivos todas las proposiciones p (n) son verdaderas a condición que

(ß) p(1) sea verdadera

(I) p (n + 1) es verdadera siempre que p (n) lo sea nos referimos a (ß), es decir

al hecho de p(1) es verdadera, como la base de la inducción . Nos referimos a

(I) como el paso inductivo en la notación del calculo proposicional (I) equivale

decir que:

p (n)

n+1 (3R-2) = 1/2(3n2-n) Z

La n-ésima proposición p(n) es verdadera

n (3R-2) = 1/2(3n2-n)

(ß) p(1) = 1 = 1/2[3(1)2-1)] de aqui que 1=1.

(I) p(n+1) n+1 (3R-2) = 1/2[3 (n+1)2-(n+1)]

Utilizando p (n) tenemos que

n+1 (3k-2) = n (3k-2)+[3(k+1)-2]

= n (3k-k)+[3(k+1)]

1/2(3k2-k)+(3k+1) = 1/2 [3(n+1)2-(n+1)]

1/2 3k2 - 1/2 k + 3k + 1

1/2 3k2 + 5/2 k + 1

3k2 + 5 k + 2

(3k-2)(k + 1)

[3(k + 1) - 1](k + 1)

3(k + 1)2 - (k + 1)

1/2[3(k + 1)2 - (k + 1)] ..... Lo que queda demostrado

jemplo E

Ejercicio:

Menciona tres áreas las que consideres que se puede aplicar los conceptos de

Inducción

Encuentra ejemplos de aplicaciones de inducción.

1.5.2 Pasos de la Inducción Matemática

Supóngase que se tiene una proposición s(n) para cada entero positivo (n) la cual

es verdadera o falsa. Se tiene dos pasos que conducen el método inductivo:

Paso Básico:

S (1) es verdadera.

Paso Inductivo.

Si S(i) es verdadera para todo i< n+1,

S(n+1) es verdadera. De modo que s(n) es verdadera para todo entero positivo n.

………….

1 2 3 4 n n+1

Sea s(n) la suma de los n primeros números enteros positivos: s(n) =

1+2+3+4+…+n se afirma que sn = n(n+1) verificar si se cumple el principio para

todos los casos. 2

jemplo E

Paso Básico:

S(1) = 1(1+1) /2 = 1

S(1) = 1

Paso Inductivo:

S(n+1) = (n+1) (n+1+1) /2 = (n+1) (n+2) /2

Comprobación

S(n+1) = (n(n+1) /2 )+ (n+1) s(n+1) = (n (n-1) + 2 (n+1)) / 2

S(n+1) = (n2 +n + 2n + 2 ) / 2 = (n2 + 3n + 2) / 2 = ((n+1) (n+2) ) /2

Ejercicio:

1.- Empleese inducción para probar que el factorial cumple n! > 2n+1 para n=

1+2+3+…+n;

2.- Verifique usando inducción que se cumple la siguiente ecuación 1+ 3 + 5 + … + 2n-1 = n2


1.- Es la verificación de la expresión 1 + 3 + 5 + … + 2n -1 = n² (Aplicando la inducción matemática).

a) Paso básico: 1 = 1² Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )²

b) Paso básico: 3 = n²+1 Paso inductivo: supóngase que es verdadera para n + 1 1+ … + n²+ (n + 1)²= 2 n² c) Paso básico: 1 = 1² Paso inductivo: supóngase que es verdadera para n + 1 1+ … + n² + (n + 1)²= 2 n² d) Paso básico: 1 + 3 + 5 = 9 Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )² e) Paso básico: 2n -1 = n² Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )² 2.- Usando inducción determina cual es el número que sigue en la serie: 2,6, 9, 27, 30, ..

a) 90

b) 39 c) 45 d) 60 e) 33 3.- Supóngase que se tiene una proposición S (n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Es llamado paso inductivo de la inducción matemática a la siguiente expresión:

a) Se considera que: si S (i) es verdadera para todo i < n+1 , entonces s( n + 1 ) es verdadera.

b) S (n) es verdadera para todo entero positivo n. c) Se considera que S (1) es verdadera. d) S (n) es verdadera para cualquier número positivo o negativo. e) Se considera que S (n) es verdadera.

1.6. Inferencia y Evaluación de Expresiones


Utilizará las reglas de inferencia como herramienta para determinar el

resultado de un argumento.

Evaluará expresiones determinando prioridades

Establecerá las bases para la prioridad de expresiones.

Conocerá las reglas de inferencia y sus utilidad.









1.6.1 Reglas de Inferencia

INFERENCIA: De premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones verdaderas.

Cada regla de inferencia tiene su origen en una implicación lógica. En

algunos casos la implicación lógica se establece sin demostración.

Regla Nombre

p

p q

q

Modus Ponens

p q

q r

p r

Ley del silogismo

pq

Modus Tollens

p

q

p Λ q

Regla de la Conjunción

p V q

q

Regla del silogismo

Disyuntivo

F

p

Regla de la contradicción

p Λ q

p

Regla de la simplificación

Conjuntiva

p

p V q

Regla de la simplificación

Disyuntiva

p Λ q

p (q r) r

Regla de la demostración

Condicional

NOTA:

q

p

p

p

p r

q r

( p V q ) r

Regla de la demostración

por casos

p q

r s

p V r

q V s

Regla del dilema

constructivo

p q

r s

__V___

V

Regla del dilema destructivo

1. REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS

Es una regla de inferencia que permite demostrar q a partir de p q y p.

PREMISA 1) Si Pedro está en el partido de Fútbol, entonces Pedro

está en el estadio.

PREMISA 2) Pedro está en el partido de Fútbol.

___________________________________________________

CONCLUSIÓN: Pedro Está en el estadio.

jemplos E

r

p

r

q

Simbólicamente tenemos lo siguiente:

p: Pedro está en el partido de fútbol

q: Pedro está en el estadio

Entonces:

PREMISA 1) p q

PREMISA 2) p

__________

CONCLUSIÓN: q

Esta regla permite pasar de dos premisas a la conclusión, se dice que la

conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, es decir siempre que las

premisas son ciertas, la conclusión es también verdadera.

La misma regla se aplica tanto si el antecedente y el consecuente son

proposiciones atómicas o moleculares.

a) r s b) p c) p q r d) p q r

r p p q p ________________ __________________ ________________ ________________

s r q r

Cuando el MODUS PONENDO PONENS o cualquier otra regla se aplica para

sacar una conclusión de dos o más proposiciones, el orden de las proposiciones

es indiferente.

La abreviatura para esta regla es MP.

jemplo E

q

q

2) DOBLE NEGACIÓN.

Es una regla que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un

ejemplo simple es el de una negación de la negación que se denomina << Doble

negación >>.

Sea la proposición:

No ocurre que Ana no es un estudiante.

De donde se puede sacar la conclusión: Ana es estudiante.

La regla también actúa en sentido contrario. Por ejemplo: de la proposición se

puede concluir la negación de su negación:

Juan toma el autobús par ir a la escuela.

__________________________________________

No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela

Así esta regla tiene dos formas simbólicas:

( p ) y ( p )

( p ) ( p )

La abreviatura para esta regla es DN.

3) MODUS TOLLENDO TOLLENS

La regla de Inferencia que se aplica también a las proposiciones condicionales,

pero en este caso, negando ( tollendo ) el consecuente, se puede negar (tollens )

el antecedente de la condicional.

La deducción siguiente es un ejemplo del uso de esta regla:

PREMISA 1) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella .

PREMISA 2) El astro no es una estrella.

Conclusión: Por lo tanto no tiene luz propia.

Simbolizando: p : Tiene luz propia q : El astro es una estrella.

PREMISA 1) p q PREMISA 2) _______________________ Conclusión: Cuando se trata de proposiciones moleculares puede usarse el paréntesis para

mayor claridad.

La abreviatura para esta regla es TT.

jemplo E

q

p

4) Regla de ADJUNCION Y SIMPLIFICACIÓN. Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. La primera es

Jorge es adulto

La segunda es:

María es adolescente.

Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una

proposición molecular utilizando el término de enlace << y >> y se tendría una

proposición verdadera que se leería:

Jorge es adulto y maría es adolescente.

La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla

de ADJUNCION.

La abreviatura para esta regla es A. De manera simbólica se puede ilustrar la regla así : PREMISA 1) p PREMISA 2) q _____________________

Conclusión 1) p q

Conclusión 2) q p El orden de las premisas es indiferente. Ahora veamos la REGLA DE SIMPLIFICACIÓN Si se tiene una premisa que dice: El cumpleaños de María es el lunes y el mío es el sábado. De esta premisa se pueden concluir:

El cumpleaños de María es el viernes. La otra conclusión: El mío es el sábado. Si la premisa es cierta, cada una de las conclusiones es también cierta. Esta regla se abrevia por S.

En forma simbólica la regla de simplificación es: p q

De la premisa p q _______________ Se concluye: p O se concluye: q 5) REGLA DE MODUS TOLLENDO PONENS

Esta regla dice que negando (tollendo) un miembro de una disyunción, se afirma

(Ponens) el otro miembro.

Simbólicamente tenemos:

De la premisa p v q Y de la premisa _______________ se concluye q O también De la premisa p v q Y de la premisa ________________ se puede concluir p La abreviatura para esta regla es : TP.

p

q

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de

razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la

forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las

variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las

reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una

demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será feliz.

____________________________________________________

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica

de la siguiente manera:

p q

q r

______

p r

Ejemplo 2.

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

Los impuestos bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p q

q

_____

p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá

poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen

reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte

en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla

aplicar para resolver un determinado problema

Ejercicio:

Determina de los siguiente argumentos cuales reglas de inferencia se aplican y

cual es el resultado del argumento.

1.- Ligia gana 10 millones de dólares en la lotería.

Si lidia gana 10 millones de dólares en la lotería entonces José renunciará a su

trabajo.

Por lo tanto: ____________________________________

2.- Si el entero 35, 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35,244 es

divisible entre 66

Si el entero 35, 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35, 244 es divisible

entre 3

Por lo tanto: __________________________________________

3.- Si Alejandra se va de paseo a París entonces tendrá que ganarse una beca

Alejandra se va de paseo a París.

Por lo tanto: _________________________________________

4.- Rita esta horneando un pastel

Si Rita esta horneando un pastel, entonces no está practicando la flauta.

Si Rita no está practicando la flauta, entonces su padre no pagará el seguro.

Por lo tanto: _________________________________________

5.- Si Juan juega Basket entonces será un gran deportista

Si Juan trabaja entonces ahorrará para ir de vacaciones.

Juan juega básquet o estudia Inglés

Por lo tanto: __________________________________________

1.6.2 Evaluación de expresiones

Las expresiones son secuencias de constantes y/o variables separadas por

operadores válidos.

Se puede construir una expresión válida por medio de :

1. Una sola constante o variable, la cual puede estar precedida por un signo +

ó - .

2. Una secuencia de términos (constantes, variables, funciones) separados

por operadores.

Además debe considerarse que:

Toda variable utilizada en una expresión debe tener un valor almacenado

para que la expresión, al ser evaluada, dé como resultado un valor.

Cualquier constante o variable puede ser reemplazada por una llamada a

una función.

Como en las expresiones matemáticas, una expresión en Pascal se evalúa

de acuerdo a la precedencia de operadores. La siguiente tabla muestra la

precedencia de los operadores:

Precedencia de operadores

5 - (Menos unario)

4 Not

3 * / div mod and shl shr

2 + - or xor

1 = <> > < >= <=

Las reglas de evaluación para las expresiones son:

1. Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la

evaluación de las operaciones se realiza de izquierda a derecha.

2. Cuando los operadores sean de diferentes precedencias, se evalúan

primero las operaciones de más alta precedencia (en una base de izquierda

a derecha ), luego se evalúan las de precedencia siguiente, y así

sucesivamente.

3. Las reglas 1) y 2) pueden ser anuladas por la inclusión de paréntesis en

una expresión.

1. 3 + 2*5 {*,+}

4 + 10 =14

2. 20*4 div 5

{Igual prioridad de izquierda a derecha: *,div}

3. 80 div 5 = 16

3 - 5 * (20+(6/2))

3 - 5 * (20+(6/2)) = 3 - 5 * (20 + 3)

{paréntesis más interno}

= 3 - 5 * 23 {segundo paréntesis}

= 3 - 115 {Multiplicación}

= -112 {resta}

Jerarquía de operadores

El orden general de evaluación de los operadores de una expresión va de

izquierda a derecha, con la excepción de las asignaciones que lo hacen de

derecha a izquierda.

jemplo E

Podemos seguir las siguientes tres reglas de evaluación de expresiones:

(Regla 1) En todas las expresiones se evalúan primero las expresiones de

los paréntesis más anidados (interiores unos a otros); y éstos modifican la

prioridad según la cantidad de éstos, los cuales tienen que estar balanceados ( el

mismo número de paréntesis que abren debe ser igual al número de los

paréntesis que cierran).

(Regla 2) Todas las expresiones se evalúan tomando en cuenta la jerarquía

de los operadores.

(Regla 3) Todas las expresiones se evalúan de izquierda a derecha.

La tabla que se muestra abajo, da el orden de precedencia del operador en

Java según el nivel que indica la primera columna de la izquierda. Los operadores

agrupados en bloques comparten la misma jerarquía. Los operadores que se

muestran a en lo alto de la tabla tienen mayor precedencia que los del fondo y, por

tanto, serán evaluados antes que los de precedencia más baja.

Nivel Operador Descripción Ejemplo Tipo de

operador

1 []

Subíndice de

array a[i] Sufijo

.

Utilizado para

acceder a

métodos y

variables

a.b

(paréntesis)

Utilizado para

agrupar

expresiones

(a+b)

expr++ Pos-incremento a++

expr-- Pos-decremento a--

2 ++expr Pre-incremento ++a Unitario

--expr Pre-decremento --a

+expr Unitario mas +a

-expr Negación -a

~ Cortesía ~a

! NOT !a

3 New Creación

new

Clasname() Creación

(parén)exp. Casta (Classname)a Forma

4 * Multiplicación a*b Multiplicador

/ División a/b

% Modulo a%b

5 + Adición a+b Aditivo

- Substracción a-b

6 <<

Desplazamiento

a la izquierda a<<b Desplazamiento

>> Desplazamiento

a la derecha a>>b

<<<

Desplazamiento

con relleno de

ceros a la

derecha

a<<<b

7 < Menor que a<b Relacional

> Mayor que a>b

<= Menor o igual

que a<=b

>= Mayor o igual a>=b

que

instanceof

Comprueba si

una variable

es una instancia

de la clase

especificada

o cualquier

subclase de

aquella clase

instanceof

Classname

8 == Igual a==b Igualdad

!= No igual a!=b

9 & AND bit a bit a&b AND bit a bit

10 ^

XOR exclusivo

bit a bit a^b

XOR exclusivo

bit a bit

11 |

OR inclusivo bit

a bit a|b

OR inclusivo bit

a bit

12 && AND lógico a&&b AND lógico

13 || OR lógico a||b OR lógico

14

?:

Forma

taquigráfica de

una sentencia if

a?b:c Condicional

15 =

Asignación

simple a=b Asignación

*= Multiplicar y

asignar a*=b

/= Dividir y asignar a/=b

%= Módulo y

asignar a%=b

+= Sumar y asignar a+=b

-= Substraer y

asignar a-=b

&= AND y asignar a&=b

|= OR y asignar a|=b

^= XOR y asignar a^=b

<<=

Desplazar a la

izquierda y

asignar

a<<=b

>>=

Desplazar a la

derecha y

asignar

a>>=b

>>>=

Desplazar a la

derecha

rellenando

con ceros y

asignar

a>>>=b

Ejercicio:

1.- Evalúa si el resultado de las siguientes expresiones es correcto. Si es

incorrecta escribe de nuevo la expresión de manera que concuerde con el

resultado.

a) (1* 3) +5 /4 = 2

b) 3 + (5*8) /2 + (3-2) = 24

c) 4 * (2/3) + 6 = 32 / 3


1.- Es una regla que se aplica en la evaluación de expresiones:

a) Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la evaluación de las operaciones se realiza de izquierda a derecha

b) Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, no se puede realizar la evaluación

c) Los paréntesis no influyen en la evaluación de expresiones

d) Los paréntesis se utilizan solo cuando es una división.

e) Cuando los operadores sean de diferente procedencia se evalúan como sea.

2.- Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la evaluación de las operaciones se realiza de _______________________

a) izquierda a derecha.

b) derecha a izquierda

c) primero las sumas

d) primero las multiplicaciones

e) Primero las restas

3.- Es el resultado de la siguiente operación (((4-1)+(2*1))*(10))

a) 50

b) 5

c) 60

d) 15

e) 27

1.7. Tautología y Contradicciones


Utilizará la demostración directa o condicional y la demostración por

contradicción para probar que los Argumentos son correctos Utilizando los

teoremas, axiomas, términos y términos no definidos.

Conocerá el concepto de Tautología y Contradicción

Identificará si una expresión tiene tautología o contradicción









Introducción

Tautología y contradicción.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los

valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya

tabla de verdad se indica a continuación.

p Q

p q (p q)

F F T T T T T

F T T F T T T

T F F T F F T

T T F F T T T

Se debe tomar en cuenta para estos ejemplos que el símbolo ‘

implica negación o not.

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de

la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica

matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para

realizar demostraciones.

A continuación se cita una lista de las tautologías más conocidas y reglas

de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales:

1.- Doble negación.

a). p''p

NOTA:

2.- Leyes conmutativas.

a). (pq)(qp)

b). (pq)(qp)

c). (pq)(qp)

3.- Leyes asociativas.

a). [(pq)r][p(qr)]

b. [(pq)r][p(qr)]

4.- Leyes distributivas.

a). [p(qr)][(pq)(pr)]

b. [p(qr)][(pq)(pr)]

5.- Leyes de idempotencia.

a). (pp)p

b). (pp)p

6.- Leyes de Morgan

a). (pq)'(p'q')

b). (pq)'(p'q')

c). (pq)(p'q')'

b). (pq)(p'q')'

7.- Contrapositiva.

a). (pq)(q'p')

8.- Implicación.

a). (pq)(p'q)

b). (pq)(pq')'

c). (pq)(p'q)

d). (pq)(pq')'

e). [(pr)(qr)][(pq)r]

f). [(pq)(pr)][p(qr)]

9.- Equivalencia

a). (pq)[(pq)(qp)]

10.- Adición.

a). p(pq)

11.- Simplificación.

a). (pq)p

12.- Absurdo

a). (p0)p'

13.- Modus ponens.

a). [p(pq)]q

14.- Modus tollens.

a). [(pq)q']p'

15.- Transitividad del

a). [(pq)(qr)](pr)

16.- Transitividad del

a). [(pq)(qr)](pr)

17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (pq)[(pr)(qs)]

b). (pq)[(pr)(qs)]

c). (pq)[(qr)(pr)]

18.- Dilemas constructivos.

a). [(pq)(rs)][(pr)(qs)]

b). [(pq)(rs)][(pr)(qs)]

Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los

valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p p’ . Como lo

muestra su correspondiente tabla de verdad.

p

F T F

T F F

Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

La proposición p p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es

verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla

de verdad, dan como resultado T y F se le llama contingente.

1.7.1 Equivalencias lógicas y utilizaciones

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o

simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismos valores de

verdad. Se indican como p q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la

tautología en donde se puede observar que las columnas de (p q) y

para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que

La proposición compuesta P = (p1,p2,p3, …., pn) y Q = (q1, q2, q3, …. qn)

son lógicamente equivalentes siempre que dados cuales quiera valores de verdad

a P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas y se simboliza por:

La primera Ley de Morgan:

p q

=

T T F F F F

T F F T F F

F T T F F F

F F T T T T

jemplo E

Implicación Tautológica

Es una proposición compuesta en la que permite unir dos proposiciones

usando una condición si antecedente entonces consecuente.

Por ejemplo: Si tengo Dinero entonces podré comprar una paleta.

La proposición P =P( p1,p2,p3, …,pn) implica lógicamente la proposición

compuesta Q = Q (q1, q2, q3, …., qn), en símbolos P Q siempre que dados

cualesquiera valores de verdad p1,p2,p3,….,pn si P es verdadera Q también lo

es.

Hay que mencionar que esto se cumple precisamente cuando es

una tautología.

Ejercicio:

Elige utilizando tablas de verdad la correspondencia que existe entre las

proposiciones compuestas.

1.- P = p; Q = p Vq

2.-

3.-

4.-

NOTA:

1.7.2 Demostración condicional y directa

Una demostración directa se realiza suponiendo que p es verdadera y después

usando p, axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad, prueba

directamente que q es verdadera.

Demuestra empleando una prueba directa que si x es un número

real, entonces X * 0 = 0, suponga los siguientes teoremas verificados con

anterioridad.

Si a,b,c son R, entonces b+0 = b y a(b+c) = ab + ac.

Si a + b = b + a entonces b = c

Solución

X (0 + 0) = X * 0 + X * 0 entonces X * 0 = 0

Supóngase que p q es una tautología, en donde p y q pueden ser

proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables

propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una

implicación de la forma.

(p1 p2 ....... pn) q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los

valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q

se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.

p1

p2

jemplo E

pn

___

q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una

demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es

verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que

q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por

implicaciones de este tipo.

(p1 p2 ....... pn) q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión.

"Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note

que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino

solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las

tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso

tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces

podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el

coche en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p q r; y r s; entonces s' q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p q) r] [r s] [s' q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 p2 ...... pn q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados

válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus

pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada

como sea necesario y el método debe funcionar.

Ejercicio:

Presenta una prueba directa para los siguientes enunciados.

1.- Sean números reales d, d1, d2 y x demostrar que se cumple que:

si d = min { d1, d2} y x < d entonces x < d1 y x < d2

Utilizando los teoremas siguientes:

Para toda tríada de números reales x, y, z se cumple que si x<y y y<z entonces x<z.

1.7.3 Demostración por contradicción y por inducción

Una demostración por contradicción se realiza suponiendo que p es

verdadera y q es falsa y empleando p y q, axiomas, definiciones y teoremas

establecidos previamente, se deduce una contradicción.

La única diferencia entre la hipótesis en la demostración directa y

la demostración por contradicción es la negación de la

contradicción.

Pruebe presentado una prueba por contradicción que si X * Y = 0, entonces X= 0 o

bien Y = 0. Suponga que si a, b y c son números reales con a * b = a * c y a ≠ o,

entonces b = c;

Resolución

XY = 0 entonces x ≠ 0 o bien Y ≠ 0;

Con X ≠ 0 entonces XY = X*0 = 0

Siendo a = X, b = Y, C = 0 ab= ac entonces XY = X * 0 con x ≠ 0 entonces

concluimos que Y = 0.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se

realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha

NOTA:

jemplo E

demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la

demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo

de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se

indica

p (p r) (q s) t (p s) t

La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la

manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula

en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un

problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos

conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el

camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno

distinto pero que ambos llegan al resultado.

Ejercicio:

Ofrece una prueba por contradicción para el siguiente ejercicio.

Verifique, ofreciendo una prueba por contradicción, que si 100 pelotas se colocan

en 9 cajas, alguna de estas contiene por lo menos nueve pelotas.


1.- La tabla de verdad para la proposición que se presenta es una ____________________

a) Contradicción b) Equivalencia lógica c) Tautología d) Conjunción e) Disyunción 2.- Cuales son los elementos de los que se vale la prueba directa para demostrar que es verdadera

a) Axiomas, teoremas b) Libros y matemáticas

c) Algebra y de los Teoremas

d) Axiomas y de las matemáticas

e) cololarios y razonamientos

3.- Considerando la expresión si p entonces q. Una ________________ supone que es p verdadera y q falsa; empleando p y q, axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad se deduce una contradicción.

a) demostración por contradicción b) proposición bicondicional

c) Demostración directa

d) proposición condicional

e) implicación lógica.


1.- p: Hay un premio Nobel de ciencias de Ciencias de la computación. Es un ejemplo de:

a) Proposición simple

b) Disyunción c) Tautología d) Proposición compuesta e) Negación 2.- Determina cual es el resultado de la siguiente expresión Algunos mamíferos son animales herbívoros Ningún animal herbívoro come carne

Luego__________

a) Algunos animales mamíferos no comen carne

b) ningún animal mamífero come carne

c) Algunos animales mamíferos no son herbívoros

d) todo animal que come carne es mamífero

e) los animales herbívoros no son mamíferos

3.- ______________ permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración

a) reglas de inferencia

b) inducción matemática

c) predicado

d) Variable

e) proposición

4.- Es el nombre que recibe la siguiente regla de inferencia:

a) Ley del silogismo

b) modus ponens

c) modus tollens

d) Regla de la conjunción

e) Regla de la disyunción

5.- Es el nombre que recibe la siguiente regla de inferencia:

a) regla de la conjunción

b) regla de la disyunción

c) ley del silogismo

d) modus ponens

e) modus tollens

6.- La siguiente tabla define los valores de verdad de _______________.

a) proposición bicondicional

b) disyunción

c) conjunción

d) proposición condicional

e) contrarrecíproca

7.- se utilizan para representar gráficamente una proposición, representa las clases mediante círculos que se intersecan.

a) diagramas de Venn

b) diagramas Grant

c) digrafos

d) árboles

e) diagramas de Hasse

8.- Tipo de cuantificador que se tiene si afirman algo que se refiere a Todos los elementos en el universo.

a) Cuantificador universal

b) Cuantificador universal c) cuantificador nominal d) cuantificador existencial e) cuantificador no global 9.- En _____________________ las operaciones se hacen de derecha a izquierda

a) Asignación

b) Comparación c) Sumas d) Restas e) Multiplicación 10.- Dos proposiciones son _______________ cuando todos los valores de una son exactamente igual a los valores de la otra.

a) Equivalentes

b) Contradicción

c) Conjunción

d) Tautología

e) Inducción

BIBLIOGRAFIA.

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logr29598

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