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8/18/2019 LOGICO - JULIO.doc

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GRADO6TOLÓGICO MATEMÁTICO I

1SISTEMAPASCUALSACO

“Unicamente la

obediencia,tiene derecho al

mando”

MES DE :


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C O N T E N I D O

ARITMÉTICA

* Números primos y compuestos.* M !imo comú! mú"tip"o #MCM$* M%&imo comú! 'i(isor #MCD$

ÁLGEBRA

Oper)cio!es co! e&presio!es)" e+r)ic)s* A'ici,! y Sustr)cci,!* Mu"tip"ic)ci,! 'e +i!omio por

po"i!omios

GEOMETRÍA

S,"i'os -eom tricos Po"ie'ros Re u")res Co!strucci,! 'e "os Po"ie'ros

Re u")res

TRIGONOMETRÍA

R)/o!es Tri o!om tric)sII #T)! e!te 0 Cot)! e!te$


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ARITMÉTICA

ERATÓSTENES

Er)t,ste!es #c. 1230c. 451 ). C.$6 m)tem%tico6 )str,!omo6 e, r)7o6 7i",so7o y poet) rie o.8ue e" primero 9ue mi'i, co! r)! e&)ctitu' e" meri'i)!o terrestre. P)r) e""o i'e, u! sistem)) p)rtir 'e ") seme:)!/) 'e tri%! u"os. Er)st,te!es me'io e! primer "u )r ") 'ist)!ci) e!tre

'os ciu')'es e ipci)s 9ue se e!cue!tr)! e! e" mismo meri'i)!o; Sie!e #Assu%!$ y A"e:)!'r ).

Esto "o @m.6 ci7r) 9ue e&ce'e ) ") me'i') re)" s,"o e! u!4? . Er)t,ste!es t)m+i ! mi'i, ") o+"icui')' 'e ") ec" ptic) #") i!c"i!)ci,! 'e" e:e terrestre$co! u! error 'e s,"o B 'e )rco6 y cre, u! c)t%"o o #)ctu)"me!te per'i'o$ 'e ?B= estre"")s7i:)s. Su o+r) m%s import)!te 7ue u! tr)t)'o 'e eo r)7 ) e!er)". Tr)s 9ue')rse cie o6

muri, e! A"e:)!'r ) por i!)!ici,! (o"u!t)ri).


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4SISTEMAPASCUALSACO

LOS NÚMEROS Y SUSCURIOSIDADES

Ciertos !úmeros tie!e! ") propie')' 'e 9ue )" ser mu"tip"ic)'os por otros ')! e" mismo

resu"t)'o. As 6 e" !úmero B mu"tip"ic)'o por "os mú"tip"os 'e 6 ') ") serie si uie!te;

. B 444

? . B 111

5 . B DDD

41 . B 333

4= . B ===

T)m+i ! se pue'e est)+"ecer ")s si uie!tes series;

. ?B 444 444

?? . ?B 111 111

55 . ?B

4 . 5 F 1 44

41 . 5 F 444

41 . 5 F 3 4444

41 3 . 5 F = 44444


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NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1 . Númer Pr!m A"# $%& 'Es )9ue" !úmero 9ue tie!e s,"o 1 'i(isores 9ue so! e"mismo !úmero y ") u!i')'.E(em)$ '

2 ; 3 ; 7 ; 2 9 ;

1 2 1 3 1 7 1 29

*. Númer # Pr!m # e+&re #, -P.E.S.I 'L")m)'os t)m+i ! primos re")ti(os. Es e" co!:u!to'e

1 o m%s !úmeros 9ue )'mite! como ú!ico 'i(isor comú! ) ") u!i')'.E(em)$ '

5, 8 ; 9,12, 8 ; 1, 20Divisor común G

1 1 1

/ . Númer 0 m)%e#& 'Es )9ue" !úmero 9ue )'mite m%s 'e 1 'i(isores.E(em)$ '

6

; 10

; 4

Diviso res: 1, 2, 3, 6 1, 2, 5,10 1, 2, 4

N O TA' E" !úmero u!o #4$6 !o es primo )+so"uto !i compuesto y) 9ue tie!e u! so"o'i(isor # " mismo$


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1 . Escri+e "e "etr) P si e" !úmero es Primo y u!) C si es compuesto.

Núm e ro Prim o o Co m pue s to

37

35

45

59

13

11

15

19

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁ IMO COMÚN DI2ISOR

MCM'Se 'e!omi!) MCM )" me!or !úmero 9ue co!tie!e e&)ct)me!te ) otros !úmeros')'osE(em)$ '

MCM 'e 3 y ? MCMMú"tip"os comu!es 41 6 13 6 ? 6 32 6 ?> 6 B1

-1 H)""e e" m !imo comú! mú"tip"o 'e;)$ ? 2 y 41+$ 5 41 4= y 42c$ 4 1 y 3'$ B1 y 433e$ 1> y 3>7$ 41 43 y 4?

$ 31 ? y 32 432 y 1>>

MCD' Se 'e!omi!) MCD 'e ()rios !úmeros !)tur)"es ) )9ue" !úmero 9ue cump"e co!'i(i'ir e&)ct)me!te ) "os !úmeros ')'os y ser "o m)yor posi+"e.E(em)$ '

MCD 'e ? y 13Di(isores comu!es ; 46 16 6 36 ? y 41 MCD

N ú m e ro Prim o o Co m pue s to

2

5

17

20

21

23

49

29


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-* H)""e e" m%&imo comú! 'i(isor 'e ;)$ 1 2 y 41

+$ 4> 41 42 y 13c$ 1 y ?3'$ 1> = y ?>e$ 13 ? y 327$ 3 42 1 y 4>>

$ > ?> y ?> y 5>

PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBRE M.C.M.

3 1 . E" pro'ucto 'e 'os !úmeros es 4?> y e" M.C.D. es 3. JCu%" es e" m !imo comú!mú"tip"oK

A$ 4= $ 13 C$ 3> D$ 1

3 * . E" M.C.M. 'e 1 !úmeros es B1 y su M.C.D. es . Si u!o 'e "os !úmeros es 5.JCu%" es e" otroK A$ 13 $ 42 C$ ? D$ 4?

3 / . JCu%" es ") me!or sum) i u)" 'e 'i!ero 9ue se pue'e te!er e! +i""etes 'e 1>6 'e =>6 'e4>>

y 'e 1>> so"esK A$ 1>> $ >> C$ 3>> D$ =>> E$ ?>>

3 4 . 8e"ipe6 Pe'ro y Mi ue" so! 7)!%ticos 'e" ci!e. 8e"ipe )siste c)') ' )s Pe'ro c)')? ' )s y Mi ue" c)') = ' )s. Los tres ()! :u!tos u! ' )6 J'e!tro 'e cu%!tos' )s ir%! otr) (e/ :u!tosK A$ 4> $ 1> C$ > D$ = E$ 3>

3 5 . U!) "i+rer ) tie!e ")piceros 'e ? 2 y 41 so"es c)') u!o.#)$ JCu%" es ") me!or sum) i u)" 'e 'i!ero 9ue so! !eces)rios p)r) compr)r u!

!úmero e&)cto 'e ")picerosK

#+$ JCu%!tos ")piceros 'e c)') precio po'r ) compr)r co! es) c)!ti')' 'eso"esK


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PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBREM.C.D.

3 1 . E! e" co"e io se 'ese) rep)rtir 5> cu)'er!os6 41> "%pices y 42> +orr)'ores6 e!tre u!cierto !úmero 'e )"um!os6 'e t)" m)!er) 9ue c)') u!o reci+e u! !úmero e&)cto 'ecu)'er!os6 'e "%pices6 +orr)'ores6 JCu%" es e" m)yor !úmero 'e )"um!os 9ue pue'e!+e!e7ici)rse 'e es) 7orm)K A$ 13 $ 1= C$ > D$ N.A.

3 * . Se tie!e 1> @ . y ? @ . 'e )rro/ 'e 4r) y 1') c)"i')'. Se 9uiere e!()s)r e! +o"s)s'e i u)" t)m) o si! me/c")r"os. JCu%" es e" m)yor !úmero 'e +o"s)s 'e c)') c)"i')'K A$ 42 y 1> $ 1> y 13 C$ 11 y 1? D$ 1> y 14

3 / . U! s)",! 'e +)i"e 'e B>m. 'e ")r o por =>m. 'e )!cm1 y "ote Cco!

3>>m1. Dese) ce'er"os ) u! rupo 'e ')m!i7ic)'os 'e m)!er) 9ue "es to9ue 4> "otes'e ") mism) e&te!si,! ;#)$ JCu%" es ") m)yor e&te!si,! 9ue pue'e te!er c)')"oteK #+$ JA cu%!t)s ')m!i7ic)'os po'r% e!tre )r"esK

3 5 . Se tr)t) 'e ()ci)r +)rri"es 9ue co!tie!e! "ec


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ÁLGEBRA

LAGRANGE, JOSEPH LOUISDE

E" 7 sico 7r)!c s osep< Louis6 co!'e 'e L) r)! e6 !)ci'o e!E!e. 1=6 4B ?6 muerto e! A+r. 4>6 424 6 7ue u!o 'e "oscie!t 7icos m)tem%ticos y 7 sicos m%s import)!tes 'e 7i!)"es'e" si "o VIII. I!(e!t, y m)'ur, e" c%"cu"o 'e ()ri)cio!es ym%s t)r'e "o )p"ic, ) u!) !ue() 'iscip"i!) ") Mec%!ic)

Ce"esti)"6 so+re to'o )"


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OPERACIONES CON POLINOMIOS

1 ADICIÓN DE POLINOMIOS

* L) sum) sue"e i!'ic)rse i!c"uye!'o "os sum)!'os 'e!tro 'e" p)r !tesis )s ;

E(em)$ ' D)'o "os po"i!omios;

A = 3 x2

+ 3 xy + 5 y2

B = x2 − 2 xy − 2 y

2 Ha lla r A+ B

A + B = ( 3 x 2 + 3 xy + 5 y 2 ) + ( x2

− 2 xy − 2 y 2 )

A


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* SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

E(em)$ ' D)'os po"i!omios

P ?&3 F 3&1 F 3 3&3 F 1&1 F H)"")r P

* L) sustr)cci,! se i!'ic) i!c"uye!'o e" sustr)e!'o e! u! p)r !tesis prece'i'o 'e"si !o

0 )s ;

P ?&3 F 3&1 F 3 # 3&3 F 1&1 F $

A


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+ = +− = +

− = −

+ = −


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E(em)$ 'E7ectu)r ; 2 x 1 F B x F ? # 1 x 1 F = x 5$

S $%0! + ' 8 x 2 + 7 x + 6 + 2 x2

– 5 x + 9

⇒ 10 x2 + 2 x + 15

1 . D)'os "os po"i!omios ; A = x F ? x 1 F ? x F 5B 1 x 1 x 1 3 x F ?C x x 1 F x 2

H)"")r A F B F C

* . D)'os "os po"i!omios ; A x 3 F 2 x 1 F 1 x F x F ?B ? x 1 x F 2 F = x 3

C 5 x 3 B x 1 F 4 x 3C)"cu")r A F B F C

/ . H)"")r A B s)+ie!'o 9ue ; A 3 x F = x 1 F x F 2B x 1 F ?


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4 . H)"")r A B s)+ie!'o 9ue ; A 4> x 1 B x 3 F ? x F 5

B 3 x 1 = F x

5 . D)'os "os po"i!omios ;

A x = F 1 x 3 F ? x F 4?

B 4> x 3 F 1 x = x F 3

C 1 x = 2 x 3 F x F 41C)"cu")r ; # A + B – C $

6 . E"imi!) "os si !os 'e ) rup)ci,! y


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15SISTEMAPASCUALSACO

1 . D)'os "os po"i!omios ; A x = F 1 x 3 F B x 1 F 2 x F 5

= x 3 F 2 x = x 1 x F 3C 1 x = 1 x 1 ?

H)"")r ;)$ A + B +$ A + C c$ A + B + C '$ A – C

* . D)'os "os po"i!omios ; A x 3 F 1 x 1 F ? x F 2B B x 1 F 5 x F 44C B x F = x D x 1 3 x 3 F 4

H)"")r ;)$ A + B +$ B + C c$ B + D'$ B – D e$ A + B + C 7$ A – C

/ . E"imi!) "os si !os 'e ) rup)ci,! y


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MULTIPLICACIÓN DE E PRESIONESALGEBRAICAS

P)r) mu"tip"ic)r e&presio!es )" e+r)ic)s6 estu'i)remos "os si uie!tes c)sos ;

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOSSe mu"tip"ic)! "os coe7icie!tes y ")s p)rtes "iter)"es 'e c)') mo!omio.

E(em. ; Mu"tip"ic)r ; #1a 1$ #a $#1a 1$ #a $ 1. .a 1.a ?a 1F ?a =

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIOSe mu"tip"ic) e" mo!omio por c)') u!o 'e "os t rmi!os 'e" po"i!omio6 te!ie!'o e! cue!t)6e! c)') c)so6 ") re ") 'e "os si !os y se sep)r)! "os pro'uctos p)rci)"es co! sus propiossi !os.

E(em. ; Mu"tip"ic) ;# x 1 ? x F B$ #3ax 1$# x 1 ? x F B$ #3ax 1$ x 1 #3ax 1$ ? x #3ax 1$ F B #3ax 1$

41ax 3 13ax F 12 ax 1

MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIOSe mu"tip"ic)! to'os "os t rmi!os 'e" 4er. 7)ctor por c)') u!o 'e "os t rmi!os 'e" 1'o. 7)ctorySE REDUCEN LOS TWRMINOS SEME ANTES.

E(em. ; Mu"tip"ic) ;

#)1 0 1) F ) $ #) F 4$E&iste! 1 7orm)s 'e 'es)rro"")r 9ue so! ;

Primera Forma:#a 1 1a F a $ #a F 4$ a 1 #a $ Fa 1 #4$ 1a #a $ 1a #4$ Fa #a $ Fa #4$ a = F a 1a 3 1a F a F a

Or'e!)!'o ;a = F a 1 1a 3 1a F a ? F a


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Se !"#a Forma:

Or'e!)!'o ;

#a 1 1a F a $ #a F 4$

a F a 1 1aa F 4

a ? F a = 1a 3F a F a 1 1a

a?

F a= 1a

3F a F a

1 1a

Mu"tip"ic)r;

1 . # x 1F xy F y 1$ # x y $ * . #a 1Fb1 0 1ab $ #a – b $

/ . #a 1 F b1 F 1ab $ #a F b$ 4 . # x x 1 F 4$ # x F $

5 . #a a F a 1$ #a 4$ 6 . #m3 F m1n1 F n3$ #m1 n1$

7 . # x 1 x 1 F x 4$ #1 x F $ 8 . # y F = ?y $ #y 1 F 1$


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1 . #m m1 F m$ #am F a $

* . # a 1 =ab F 1b1$ #3a =b$

/ . #=m3

m1n

1

F n3

$ # m n$

4 . #a 1 F a F 4$ #a F 4$

5 . # x F 1 x 1 x $ # x 1 1 x $

6 . # x 1 F 4 F x $ # x 1 F x $

7 . #m 3m F m1$ #m F 4$

8 . #n1 1n F 4$ #n1 4$

9 . #1y F y y 1$ #1y F =$

1 3 . # x a F 1)&1$ #1a 1 x 1$


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GEOMETR$A

BANACH,STEFAN

Ste7)! )!)c


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GRADO6TO LÓGICO MATEMÁTICO I

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Ami uito ) tr)( s 'e" m)p) co!ceptu)"po'r%s 'escu+rir 9u es u! s,"i'o

eom trico

Sólidos

Geométricos

!e"en ser

#!$er%icie&!rva

'iene &!er$os(e"on"os

olie"ros 'iene #!$er%icie $lana

)s%era

&ono

&ilin"ro

&omo (e*!lares

#on

'e rae"ro(e*!lar

He,ae"ro(e*!lar

-c ae"ro(e*!lar

.cosae"ro(e*!lar

Do"ecae"ro(e*!lar


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POLIEDROS O SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

U! po"ie'ro es ") 7i ur) 9ue "imit) u!) re i,! 'e" esp)cio me'i)!te cu)tro o m%s re io!espo"i o!)"es p")!)s.

ELEMENTOS DE UN POLIEDRO

)$ C:r:#'Est)s so! c)') u!) 'e ")s re io!es po"i o!)"es p")!)s

+$ Ar#!&:#'So! "os ")'os 'e ")s c)r)s.

c$ 2;r&!0e#'So! "os ( rtices 'e ")s c)r)s.

'$ Á+


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POLIEDROS REGULARES

S,"o e&iste! =6 "os cu)"es tie!e! )rist)s co! rue!tes6 %! u"os 'ie'ros co! rue!tes y %! u"ospo"ie'ros co! rue!tes.

1 . T E T R AE D R O 'Est% 7orm)'o por 3 c)r)s 9ue so! tri%! u"ose9ui"%teros. Tie!e 3 ( rtices y ? )rist)s. h

* . E AE D R O 'L")m)'o t)m+i ! cu+o6 est% 7orm)'o por ?c)r)s 9ue so! cu)'r)'os. Tie!e 2 ( rtices y41 )rist)s.

/ . O C TAE D R O 'Est) 7orm)'o por 2 tri%! u"ose9ui"%teros. Tie!e ? ( rtices y 41 )rist)s.

4 . D O D E C AE D R O 'Est) 7orm)'o por 41 pe!t% o!osre u")res. Tie!e 1> ( rtices y > )rist)s.


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5 . I C O S AE D R O 'Est) 7orm)'o por 1> tri%! u"os

e9ui"%teros. Tie!e 41 ( rtices y > )rist)s.

Resumie!'o te!emos ") si uie!te t)+");

Nombre delPoliedro Regular

FIG Número !Forma

de lascaras

Número de"ristas

Número de#értices

'e+rae"ro

),ae"ro/c! o

-c+ae"ro

Do"ecae"ro

.cosae"ro

214 'ri n*!los

6 4) !il eros

22 6 &!a"ra"os 12 8

238 'ri n*!los

12 6) !il eros

24 12 en *onos 30 20(e*!lares

2520 'ri n*!los

30 12) !il eros

AC T I 2 I D AD 'Co! ") )yu') 'e tu pro7esor co!struye "os po"ie'ros re u")res6 Túpue'esXXX


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GRADO6TO LÓGICO MATEMÁTICO I


25/36



26/36


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TRIGONOMETR$A

NAPIER, JOHN %&&' (%)%*

E" escoc s N)pier estu'i, m)tem%tic) s,"o como u! .

Es por eso 9ue "")m)mos "o )ritmos 'e +)se 4> ) "os "o )ritmos.


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RA>ONES TRIGONOMÉTRICAS II

R:? +e# Tr!< + m;&r!0:#

Te!emos 9ue recor')r9ue;

ATe!emos 9ue

recor')r; E!to!ces;

&a e o-$!es o c bc.o* T)! e!te 'e

α;

*α =&a e o o$!es o

c.a

α B a C

&a e o a" acen e

* Cot)! e!te 'e α ;

&a e o A" acen e

E(em)$ #'

1 . C)"cu")r t α si; A Re# $%0! +'

c *α = &a e o a " a cen e

&a e o o$!es o

3 c.o5

c.aα

B 4 C

S)+emos 9ue; * C)teto Opuesto * C)teto A'y)ce!te 3

*α = 3

4

* . C)"cu")r ") ct βRe# $%0! +'S)+emos 9ue

4c.o

c.aβ

8

c *β = &a e o A" acen e

&a e o -$!es o

c *β = 8

⇐ #im$li%ica n"o4


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1 9 4SISTEMAPASCUALSACO

ct β 1


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PRÁCTICA

1 . C)"cu")r t θ si; / . C)"cu")r 3t γ si;

15γ

120

θ 252

* . C)"cu")r t θ si; 4 . C)"cu")r ct α si;

4 1

θ α

8 3


32/36


5 . C)"cu")r ct α si; 7 . C)"cu")r P 1ct β

5

β1

12 13α

3

6 . C)"cu")r 4>ct φ si;

24

8 . C)"cu")r N t θ F ct θ

1025 7

φ θ

10


33/36

9 . C)"cu")r 3t 1φ 1 1 . C)"cu")r E t 1α

1 3

φ α2 4

1 3 . C)"cu")r; M tα . ct β 1 * . C)"cu")r =t β F 4> ct β

α6 2

β β

8 5


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1 . C)"cu")r t θ si; / . C)"cu")r M t α . ct β

β4

6

θ α12 10

* . C)"cu")r E t α F ct* α3

4 . C)"cu")r *α 2 +

7

16

43

α α4


35/36

5 . C)"cu")r ct α si; 7 . C)"cu")r N t φ F ct* φ1

φ42

α8

6 . C)"cu")r P 1ct β 8 . C)"cu")r #tβ$#ct β$

6 1

β β12 1


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