Logia Difusa

IntroduccinIncertidumbreSe relaciona a la informacin (falta de informacin).Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento.No se conoce una teora que explique el fenmeno.

ProbabilidadEs una propiedad fsica de los objetos, determina la posibilidad de que cierto evento puede ocurrir.Se calcula y verifica por experimentacin.

Imprecisin (ambigedad).Es una caracterstica del lenguaje de comunicacin humano.Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre.

IncertidumbreSe trabaja con niveles de creencias.Rango de valores [0,1]Cundo va ha suceder un terremoto?Silencio ssmicoAprobar el curso?Estudiaste?, le dedicaste tiempo?, hiciste tus trabajos?Si tiro la moneda, saldr cara o sello?la moneda est sesgada?Cul es la respuesta para una pregunta con V o F?Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.

ProbabilidadEjemplos:

P (X = cara) = 0.5

P (X = hombre) = 0.5

P (X = ROJO) = 2/7

AmbigedadLa ambigedad es incertidumbre determinstica

Ambigedad est relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.

Por ejemplo, el grado de juventud de una persona es un evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio.

Lgica Difusa

Historia

Historia

Lgica DifusaLa lgica difusa es una extensin de la lgica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre absolutamente cierto y absolutamente falso

Lgica booleanaLgica difusa

Conjuntos Difusos y Lgica DifusaLa palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y se traduce por difuso o borroso.Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teora (Zadeh, 1965).Importancia: En la actualidad es un campo de investigacin muy importante, tanto por sus implicaciones matemticas o tericas como por sus aplicaciones prcticas.Revistas: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...Bibliografa Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994), (Mohammd, 1993), (Pedrycz, 1998)...

Problemas Bsicos subyacentes:Conceptos SIN definicin clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definicin clara: Qu es una persona alta? A partir de qu edad una persona deja de ser joven?

La lgica clsica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmacin puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).Yo leer El Quijote: En qu medida es cierto? Depende de quien lo diga y...l es bueno en Fsica: Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular?

Conjuntos Difusos y Lgica Difusa

EjemploDefina los siguientes conceptos:

Algunas mujeres jvenes son inteligentes.

Algunos hombres maduros son responsables.

Sgueme de cerca.

El carro est limpio.

Otros ejemplos . . . . . . .

Cundo usar la lgica difusa?En procesos complejos, si no existe un modelo de solucin sencillo.En procesos no lineales.Cuando haya que introducir la experiencia de un operador experto que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).

Cundo no usar la lgica difusa?Si puedes resolver el problema con otra tcnica ms sencilla.

VentajasLa lgica clsica no admite espacios grises entre lo verdadero y lo no verdadero, tambin conocido como falso.

Muchos de los conceptos que manipulamos a diario no encajan en la categora:

Hace Frio?Es pesado eso?Sigo siendo joven?

AplicacionesControl de sistemas: Control de trfico, control de vehculos (helicpteros...), control de compuertas en plantas hidroelctricas, centrales trmicas, control en mquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conduccin, precisin en las paradas y ahorro de energa), ascensores...Prediccin y optimizacin: Prediccin de terremotos, optimizar horarios...Reconocimiento de patrones y Visin por ordenador: Seguimiento de objetos con cmara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensacin de vibraciones en la cmaraSistemas de informacin o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos

Conjuntos Difusos

Conjuntos Clsicos El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene todos los elementos de cada contexto aplicacin en particular.

Los conjuntos clsicos se pueden definir de las siguientes maneras:Mtodo de Lista (Finito) (extensin)Mtodo de Regla A = {x U / x cumple ciertas condiciones} (comprensin)Mtodo de membresa (comprensin)

EjercicioDefina el conjunto A mediante los tres mtodos de representacin de conjuntos:

EjemploExtensin:A = {A, B, C, D, F, J, H}

Comprensin:A = {x / A x H & xE & xG}

Membresa:

Conjuntos ClsicosConjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...

Conjuntos DifusosConjunto ClsicoConjunto Difuso

Conjuntos Difusos (fuzzy):

EjemploSea el conjunto difuso joven.A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0,35) }grado de pertenenciaedad

EjemploSea el conjunto difuso joven.A = {1/10, 1/15, 0.80/20, 0.60/25, 0.40/30, 0.20/35, 0/40 }A = {(1,10), (1,15), (0.8,20), (0.60,25), (0.40,30), (0.20,35), (0,40) }grado de pertenenciaedad

Funciones de Membresa

Funcin de membresaSe pueden definir como:Una funcin con parmetros pk(x) del elemento x.

Una enumeracin de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

donde no representa una suma, sino una agregacin de pares. A(x)/x no representa ningn cociente, sino un par (posibilidad / elemento)

Ejemplo 4Sea el conjunto de las personas altas definido sobre el conjunto de la poblacin y considerando un elemento del mismo denominado pepe. pepe pertenece o no al conjunto de las personas altas?Esto se puede resolver atendiendo a la medida altura(pepe) y una funcin que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la altura.

Ejemplo

La escala vertical representa la opinin de los especialistas sobre lo que es rpido. El valor 1 significa que el 100 % opina que una aceleracin por debajo de los 8 segundos supone un carro rpido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos de aceleracin, nadie cree que un carro sea rpido

Ejemplo

En ella se muestra que slo el 50 % de los especialistas considerar que un tiempo por debajo de los 8 segundos es rpido. En cualquier caso, l numero entre 0 y 1 da un valor que indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala.

EjemploGrafique el conjunto difuso cerca de 50 aos

Ejemplos de Funciones de Membresa

Triangular

Triangular

Trapezoidal

Trapezoidal

Gaussiana

Campana

Sigmoide

Ejemplo de funcin de membresa

Conceptos Relacionados con Conjuntos Difusos

Conceptos Bsicos

SoporteEl soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto crips que contiene todos los elementos de U que tenga valores de membresa 0 en A.

Suporte(A) = {x U / A(x) > 0}

SoporteSi el soporte de un conjunto difuso es vaco, este es llamado conjunto difuso vaco (empty fuzzy set).

Si el conjunto soporte est representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).

El punto de cruce (crossover point) de un conjunto difuso es el punto en U donde el valor de membresa en A es 0.5.

NcleoEl conjunto x, donde A(x) alcanza el valor de 1 se denomina ncleo (core).

AlturaLa altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresa logrado por algn punto.En un conjunto difuso normal la altura es 1.

normal: se A(x) = 1subnormal: se A(x) 1

Reglas Difusas If....ThenLos conjuntos y los operadores difusos son los sujetos y predicados de la lgica difusa. Las reglas if-then son usadas para formular las expresiones condicionales que abarca la lgica difusa

if x is A then y is B

Donde A y B son los valores lingsticos definidos por los conjuntos definidos en los rangos de los universos de discurso llamados X e Y, respectivamente.

La parte if de la regla x es A es llamada el antecedente o premisa, mientras la parte then de la regla y es B es llamada la consecuencia o conclusin

Estructura del SistemaLas entradas son nmeros limitados a un rango especifico. Entradas no difusas.Las reglas son evaluadas en paralelo usando un razonamiento difuso.Los resultados de las reglas son combinadas y defusificadas.El resultado es un valor numrico no difuso.

DefusificacionForma continuaPara calcular el algoritmo del centro de gravedad (cog, siglas en ingles) dividimos al Momento de la funcin por el Area de la funcin:

Forma discretaSe divide la funcin en partes iguales y se calcula haciendo la sumatoria de todos los puntos de la siguiente manera:

Hay que tener en cuenta que al dividir en partes iguales al conjunto de salida se simplifican los z, si las particiones fueran diferentes habra que tener en cuenta el z porque sino se pierde el sentido de Momento y Area de la funcin.

DefusificacionForma continua:Forma discreta para 10 muestras:

EjemploCon cuanta temperatura hace mucho calor?

Bajo el acercamiento tradicional 30 se considera caluroso, pero 28 no.

En cambio bajo el acercamiento difuso tanto 28 como 30 se ubican en la frontera del conjunto difuso.

Contraste con las Funciones de Pertenencia UsualesQu tan joven es pepe?

Funcin de PertenenciaQu tan joven es pepe?

AlturaLa altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresa logrado por algn punto.En un conjunto difuso normal la altura es 1.

normal: se A(x) = 1subnormal: se A(x) 1