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Lógica Matemática

Facultad de Informática Culiacán ® Lic. Roy Jonny Sida López 1

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INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una

disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si

un argumento es válido.

La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía,

matemáticas, computación,... etc.

En la filosofía para determinar si un razonamiento es

válido o no, ya que una frase puede tener diferentes

interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el

significado correcto.

En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir

resultados matemáticos que puedan ser aplicados en

investigaciones.

En la computación para revisar programas.

En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo;

para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha

tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no

prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene

pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso,

todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es muy importante; ya que permite resolver problemas a los que nunca se ha

enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de

conocimientos acumulados, pudiendo obtener nuevos inventos e innovaciones a los ya

existentes o simplemente utilización de los mismos.

Bloque 1 Lógica Matemática


DESARROLLO DE LA LÓGICA

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona

reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en

matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los

programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la

vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Indudablemente se usa en forma constante el razonamiento

lógico para realizar cualquier actividad.

PROPOSICIONES

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso

o verdadero pero no ambas a la vez.

La proposición es un elemento fundamental de la lógica

matemática.

Ejemplo.

:p La tierra es plana.

:q 17 38 21

:r 7x y

:s El Morelia será campeón.

:t Hola ¿Cómo estás?

:w Lava el coche por favor.

Los casos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El caso r

también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en

determinado momento. El caso s también está perfectamente expresado aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que

esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un

valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.



CONECTIVOS LÓGICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS.

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (proposición formada por varias

proposiciones).

Los operadores o conectores básicos son:

OPERADOR NOT

(Negación)

Su función es negar la proposición y se

representa mediante:

El símbolo .

El símbolo .

Un apostrofe o comilla „

TABLA DE VERDAD

p p

V F

F V

Ejemplo. Sea la proposición

:p Está lloviendo en este momento.

Entonces

:p No está lloviendo en este momento.

Valor de verdad

_____

_____

OPERADOR AND

(Conjunción)

Se utiliza para conectar dos proposiciones.

Se representa mediante:

El símbolo .

El símbolo

Un punto

La letra “y”

Se le conoce como la multiplicación lógica.

TABLA DE VERDAD

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean: :p El coche enciende.

:q Tiene gasolina el tanque.

:r Tiene corriente la batería.

La representación del enunciado anterior usando simbología lógica es: p q r



OPERADOR OR

(Disyunción)

Se utiliza para conectar dos proposiciones.

Se representa mediante:

El símbolo

El símbolo

El signo +.

La letra “o”.

Se le conoce como la suma lógica.

TABLA DE VERDAD

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Ejemplo “Una persona puede entrar al cine si obtiene un pase o compra su boleto”

Sean:

:p Entrar al cine.

:q Obtener un pase.

:r Comprar su boleto.

La representación del enunciado anterior usando simbología lógica es: p q r

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.

Ejemplo: Sea: :p Hoy hay examen. :q Tengo que estudiar lógica. :r Aprobaré el curso.

“Hoy hay examen y tengo que estudiar lógica o no aprobaré el curso”

Se representa simbólicamente como: _________________________.



PROPOSICIONES CONDICIONALES

Una proposición condicional es aquella proposición compleja cuya conectiva dominante es el condicional. En matemáticas se suele

utilizar muy frecuentemente la proposición <<Si p entonces q >>. Tales proposiciones se llaman condicionales.

PROPOSICIÓN

CONDICIONAL

(Implicación)

Está formada por dos proposiciones simples

(o compuestas) p y q se indica de la

siguiente manera: p q

Se lee:

“Si p entonces q ”

“ p implica q ”

TABLA DE VERDAD

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplo “Si soy electo presidente de la República recibirán un aumento en su sueldo el próximo año”

Sean:

:p Salió electo Presidente de la República.

:q Recibirán un aumento en su sueldo el próximo año.

Así, el enunciado se puede expresar de las siguiente manera: p q

Otra proposición que se presenta con frecuencia es de la forma « p si, y solamente si, q » que se abrevia « p ssi q ».

PROPOSICIÓN

BICONDICIONAL

Está formada por dos proposiciones simples

(o compuestas) p y q se indica de la

siguiente manera: p q

Se lee:

“ p si y solo si q ”

TABLA DE VERDAD

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo ““Es buen estudiante, si y solo sí; tiene promedio de diez”

Sean: :p Es buen estudiante.

:q Tiene promedio de diez.

Así, el enunciado se puede expresar de las siguiente manera: p q



EJERCICIOS

1. De los siguientes enunciados, determina cuales son proposiciones e indique si son atómicas (simples) o compuestas.

a) Es primavera.

b) Los gatos y los perros son mascotas.

c) ¿Juan es amigo de Pedro?

d) Dos es mayor que tres.

e) Algunos estudiantes estudian y aprueban.

f) Si llueve y hace sol sale el arco iris.

g) Cierra la puerta

h) O vienes o te quedas.

i) El cielo es azul y los campos son verdes.

2. Escribe con las conectivas y símbolos de la lógica proposicional las siguientes proposiciones.

a) A pesar de que el coche no aceleró, hubo un accidente.

b) Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir.

c) Si no vienes ya, nos vamos a desayunar.

d) Sólo nos vamos a desayunar si no vienes ya.

e) Si no vienes, jugaremos al baloncesto, sólo si viene José y el árbitro se presenta o manda a un sustituto.

f) Juan canta sólo si está contento.

g) Si Juan está contento, entonces canta.

h) Juan canta si está contento y está contento si canta.

i) María estudiará durante todo el verano si no aprueba lógica ni programación.

j) Si María aprueba lógica hará una fiesta y sino estudiará durante el verano.

3. Supongamos que cuatro personas, Pepe, Quimo, Raquel y Sonia van al cine y optan entre dos películas. Formaliza los siguientes

enunciados usando las letras de proposición que indicamos:

:p Pepe ve la película de vaqueros.

:q Quimo ve la película de vaqueros.

:r Raquel ve la película de vaqueros.

:s Sonia ve la película de vaqueros.

a) Si Pepe o Raquel ven la película de vaqueros, entonces Sonia no es la única que ve la misma película que Pepe.

b) Solo si Raquel no ve la misma película que Sonia, Pepe y Quimo ven la película de vaqueros.

c) Quimo y Sonia no ven la película de vaqueros a menos que Sonia, Raquel y Pepe vean la misma película.

4. Encuentre la negación de las expresiones siguientes:

a) Júpiter es un planeta.

b) El pizarrón es verde.

c) El número real x es negativo.

d) Ningún pez respira fuera del agua.

e) Todos los leones son feroces.



5. Dadas las siguientes proposiciones.

:a Elizabeth cumple con sus obligaciones.

:b Elizabeth aprueba el examen.

:c Elizabeth se va de vacaciones.

:d Elizabeth trabaja.

Traducir literalmente las siguientes proposiciones:

a) :c d

b) :b c d

c) :b c d

d) :a b c d

6. Encuentre la traducción al lenguaje formal de la proposición

“Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”

Siendo las proposiciones:

:p Tú eres inteligente.

:q Tú actúas con prudencia.

:r Tú eres un ignorante en la materia.

7. Sean las proposiciones:

:a Hoy es miércoles.

:b Tengo que hacer un examen.

:c He estudiado.

:d Saldré mal del examen.

Encuentre la traducción al lenguaje formal de la proposición:

“Hoy es miércoles y tengo que hacer un examen, pero sí he estudiado entonces no saldré mal en el examen”



TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta,

para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

En la elaboración de una tabla de verdad es necesario determinar el número de renglones y columnas de la tabla; el número de

reglones depende del número de proposiciones simples de la expresión y el número de columnas depende de las proposiciones y

los conectores lógicos incluidos en la expresión lógica en cuestión.

No. reglones = 2n Donde n = número de proposiciones simples.

No. de columnas

Una columna por cada proposición.

Una columna por cada conector lógico

Ejemplo: Realizar la tabla de verdad para la proposición 'p q q r r q

No. reglones = 2n 32 8

p q r q‟ pq q‟r (pq) (q‟r) rq [(pq) (q‟r) (rq)

No. De Columnas

3 proposiciones, 1 negación, 1 disyunción, 1 conjunción, 2 condicionales y 1 bicondicional.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICA

TAUTOLOGÍA. Es aquella proposición (compuesta) que es verdadera para todos los valores de verdad de sus proposiciones simples.

CONTRADICCIÓN. Es aquella proposición (compuesta) que es falsa para todos los valores de verdad de sus proposiciones simples.

EQUIVALENCIA LÓGICA

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes, si coinciden sus resultados para los mismos valores

de verdad.

Se indican p q .



EJERCICIOS

1. Indique si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones.

a) p q r p r q q

b) p q r p q r

c) p q p r q q

2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones.

a) No es verdad que: 2+7=9; si y sólo si 2+1=5; entonces 5+5=8

b) Si 4+4=8; entonces no es verdad que 2+1=3 y 5+5=10

3. Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones cuando:

p: verdadera; q: verdadera; r: falsa

a) p q r p q r

b) p q r p q p r

4. Considere el siguiente argumento:

“Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar mi auto en mi casa.

Por consiguiente, si no puedo guardar el auto en mi casa, entonces no ahorro”

a) Escriba el argumento en lenguaje simbólico.

b) Pruebe la validez del argumento. (use tabla de verdad).



CUANTIFICADORES

PROPOSICIÓN ABIERTA Es un enunciado declarativo que depende de una o más variables dentro de un universo de discurso,

de modo que se convierte en una proposición para cada valor o reemplazo de la variable.

Ejemplo: 7x .

Él es abogado.

|y y es un entero.

Las sentencias mostradas en el ejemplo anterior no pueden ser comprobadas ni refutadas. Sin embargo, cuando asignamos

valores a estas variables el valor de verdad puede ser conocido. Tales declaraciones cuyos valores de verdad dependen de los

valores que tengan las variables se conocen como predicados.

Es importante observar que en lógica proposicional una variable toma valores (falso, verdadero)

y en lógica de predicados una variable toma valores de un universo de discurso U

Las variables 1 2; ; ; nx x x en 1 2; ; ; nP x x x son llamadas variables libres del predicado. Por consecuencia, el valor de

verdad del predicado 1 2; ; ; nP x x x varia conforme 1 2; ; ; nx x x asumen valores en U

Ejemplo: : |P x x x . es abogado.

: |Q y y y es hombre.

Podríamos formar un predicado P x Q y y asignando un valor se convierte a

una proposición del tipo P Juan Q Pedro .

Frecuentemente nos encontramos con proposiciones abiertas descritas de la manera siguiente:

Algunos programadores son inteligentes.

Todos los municipios tienen escuelas públicas.

Existe un número impar que no es primo.

Cada declaración conlleva una aserción común a algunos objetos que pertenecen a un universo. Puesto que las declaraciones para

todos y existe (o para algún) no están disponibles en lógica proposicional, ninguna de estas declaraciones puede ser escrita en

forma lógica. Cuando agregamos símbolos para estas declaraciones junto con las reglas de uso en lógica proposicional, obtenemos

lógica de predicados.



CUANTIFICADOR UNIVERSAL

El cuantificador universal es utilizado para crear una proposición xP x leída como:

“para todo x , P x es verdadero".

Esta proposición es verdad si y sólo si P x es verdad para cada x en un universo U .

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

El cuantificador existencial es usado para formar una proposición xP x leída como:

“existe un x tal que P x es verdadero" o “para algún x , P x es verdadero".

Esta proposición es verdad si y sólo si P x es verdad para al menos un x en U .

PROPIEDADES DE LOS CUANTIFICADORES

Los cuantificadores del mismo tipo pueden ser intercambiados y combinados sin cambiar el valor de verdad de las declaraciones:

, , , ,x yP x y y xP x y x y P x y

, , , ,x yP x y y xP x y x y P x y

Pero esto no puede ser hecho con cuantificadores de diferentes tipos.

ESCRITURA DE DECLARACIONES

Una sentencia que afirma que todo bajo cierta categoría tiene una propiedad se traduce como:

x

Donde el antecedente es una proposición verdadera únicamente si se cumple el criterio de la categoría.

Ejemplo. Si queremos expresar: “Todas las manzanas son malas" escribiríamos x A x B x

Una sentencia que afirma que algún objeto u objetos bajo cierta categoría tienen una propiedad se traduce como:

x

Ejemplo. Si queremos expresar “Algunas manzanas son malas" se escribe como x A x B x



EJERCICIOS.

Utilizando los cuantificados lógicos represente las siguientes expresiones simbólicamente.

1. Hay cisnes negros.

2. Existen animales carnívoros.

3. Hay números perfectos.

4. Existen ciudades de clima frío.

5. Todos los nevados son colombianos.

6. Hay cetáceos que son peces.

7. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones.

8. Todo cetáceo es un pez.

9. Toda hormiga es un insecto.

10. Todos los alumnos han estudiado programación.

11. No todos son alumnos.

12. Cada estudiante tiene una computadora o tiene al menos un amigo que tiene una computadora.

13. Existen climas absolutamente fríos y donde no se puede vivir.

14. Nadie es eterno en el mundo

15. Ningún limón es dulce

16. Ningún gato es canino

17. Todos los caballos son cuadrúpedos.

18. Existen hombres sabios.

19. No existen jóvenes perezosos.

20. Para Todos los x se cumple que si se puede escuchar, se puede cantar y tocar.



NEGACIÓN EN LOS CUANTIFICADORES

Sea P un predicado no cuantificado en x , entonces:

xP x x P x

xP x x P x

Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador existencial, y se niega la

función proposicional, similarmente, para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia el cuantificador

universal, y se niega la función proposicional.

Ejemplo: “Todos los alumnos de mi colegio son aplicados”

(Escribirla en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario)

Solución. Podemos observar que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:

:p x Es alumno de mi colegio.

:q x Es aplicado.

Entonces podemos escribirla como: x p x q x

Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:

x p x q x

Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: “Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados”.

EJERCICIOS.

Escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario las siguientes proposiciones:

a) “Todos los hombres son estudiantes”

b) “Existen números enteros pares que son divisibles entre 3”

c) “Todos los metales son buenos conductores del calor”

d) “Algunos números primos no son impares”



EJERCICIOS ADICIONALES DE PROPOSICIONES LÓGICAS Y CONECTORES

1. Determine cuáles de las siguientes expresiones del idioma son proposiciones lógicas.

a) Colón descubrió América en miércoles.

b) 2 + 2 = 5.

c) Espérame un momento.

d) Estudien mucho.

e) x + 1 < 4.

f) Estoy mintiendo.

g) Todos los pericos son verdes.

h) La mesa es de color rojo.

i) Un ángulo recto mide 90 grados.

j) 2 + x2 = 8 – 3x.

2. Niegue las expresiones siguientes

a) Algunos peces pueden nadar.

b) El agua es transparente.

c) México está en América.

d) La mesa es azul.

e) Todos los días hace calor.

f) Ningún oso polar tiene frío.

g) Algún sabio no toma café.

3. Analiza los siguientes enunciados o proposiciones:

:p "Llueve"

:q "Hace sol"

Escribe con las conectivas y símbolos de la lógica proposicional las siguientes proposiciones.

a) Llueve y hace sol.

b) Llueve y no hace sol.

c) Llueve o hace sol.

d) Si no llueve, hace sol.

e) No es cierto que llueva.

f) No es cierto que no llueva.

g) Hará sol si y sólo si no llueve.




:p "Las estrellas emiten luz"

:q "Los planetas reflejan la luz”

:r "Los planetas giran alrededor de las estrellas"


a) Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas.

b) Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas.

c) Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas.

d) Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces éstos no giran alrededor de ellas.


:p "Pablo atiende en clase"

:q " Pablo estudia en casa”

:r "Pablo fracasa en los exámenes"

:s "Pablo es aplaudido"


a) Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido.

b) Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido.

c) Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido.

d) Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido.

6. Otorga, ordenadamente, variables proposicionales a las diferentes oraciones de cada caso.

a) "Si escoges tus deseos y tus miedos, no existirá para tí ningún tirano". Epicteto

b) "Quién tiene un porqué para vivir puede soportar cualquiera como". Nietzsche

c) "El mundo entero es un escenario y todos los humanos somos unos actores". Shakespeare

d) "Cuando uno no tiene imaginación, la muerte es poca cosa; cuando uno la tiene, la muerte es demasiado". Céline

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