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Lógica proposicional 9. Metateoría
Juan Carlos León Universidad de Murcia
Esquema del tema
9.1. Lógica y metalógica 9.2. Las nociones de consistencia, corrección
y completitud 9.3. La corrección del método de árboles 9.4. La completitud del método de árboles 9.5. La noción de decidibilidad. Los árboles
como procedimiento decisorio 9.6. Potencia expresiva de conjuntos de
conectivas
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Lógica proposicional 9. Metateoría
9.1. Lógica y metalógica
Dos sentidos de “lógica”
La lógica en sentido estricto se ocupa de determinar qué argumentos son válidos y qué proposiciones son lógicamente verdaderas
En un sentido amplio, la lógica incluye lo anterior (la lógica en sentido estricto), y el discurso acerca de ella
La metateoría de la lógica (o metalógica) se considera por supuesto como parte de la ciencia de la lógica; y quizá como la parte más importante
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Lógica y metalógica
En la práctica, decimos que nos ocupamos de cuestiones lógicas cuando nos interesamos por un sistema deductivo con el fin de investigar cuáles son sus teoremas, cómo se desarrollan en él determinadas inferencias, etc.
En cambio, cuando nos preguntamos por el sistema deductivo en sí mismo, y nos planteamos si no conduce a ninguna contradicción, o si incluye entre sus teoremas todos aquellos que serían deseables, entonces podemos convenir en decir que estamos tratando cuestiones metalógicas
Teoremas y metateoremas
Los teoremas son leyes lógicas: son verdaderos con independencia de los hechos, y no cabe, por tanto, la posibilidad de que sean falsos
Un metateorema no es una ley lógica, sino una proposición verdadera de hecho acerca de un sistema de lógica (pero que, como cualquier verdad de hecho, podría haber sido falsa)
Un metateorema no es formalmente demostrable sin partir de ningún supuesto previo
Podemos probar que es verdadero, pero partiendo de los hechos acerca de un sistema formal
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Metalógica y filosofía de la lógica
La filosofía de la lógica tiene relación con la metateoría de la lógica, pero es bien distinta de ella
La metalógica estudia las propiedades de los sistemas lógico-formales
La filosofía de la lógica también puede tratar de tales sistemas lógicos, pero se ocupa de cuestiones filosóficas más que de cuestiones puramente formales
Ejemplo La filosofía de la lógica puede ocuparse de las
relaciones entre la lógica proposicional bivalente y la multivalente, y preguntarse si realmente unas son alternativas a las otras, o qué consecuencias tendría para el concepto de verdad la adopción de un sistema multivalente, etc.
La metateoría de la lógica puede ayudar mucho a resolver cuestiones de este tipo, pero no puede liquidarlas
Por ejemplo, parece relevante para una valoración filosófica de las lógicas multivalentes el hecho de que la mayoría de ellas están contenidas en la lógica bivalente (es decir, que todos sus teoremas también lo son de la lógica bivalente, pero no a la inversa)
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Lógica proposicional 9. Metateoría
9.2. Las nociones de consistencia, corrección y completitud
Consistencia simple y absoluta
Un sistema formal es simplemente consistente sii para ninguna fbf A sucede que ├ A y ├ ¬A. Tendríamos una inconsistencia simple si
hubiera un par de teoremas contradictorios Un sistema es absolutamente consistente sii
no para toda fbf A sucede que ├ A. Tendríamos una inconsistencia absoluta
cuando todas las fbfs (o sea, cada fbf y su contradictoria) fueran teoremas
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La consistencia del método de árboles
Si en un sistema se cumple A ∧ ¬A ├ B entonces la inconsistencia simple implica la inconsistencia absoluta, y viceversa
En el método de árboles se cumple el principio ex contradictione quodlibet
Además, no sucede que ├ p, por ejemplo Luego, es absoluta y simplemente
consistente
Corrección
Un sistema es correcto cuando todo argumento derivable es válido (e incorrecto cuando permite derivar algún argumento inválido). Es decir, cuando Si Γ├ A, entonces Γ╞ A
Para el caso particular en que Γ fuera un conjunto vacío, tendríamos que Si ├ A, entonces ╞ A o sea, que todo teorema es válido
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Corrección y consistencia
La corrección implica la consistencia, pues en un sistema inconsistente para alguna fbf A sucedería que ├ A y ├ ¬A y entonces, si fuera correcto, tendríamos que ╞ A y ╞ ¬A lo cual es imposible: dos fbfs válidas no pueden ser contradictorias
Luego, basta demostrar la corrección para tener también probada la consistencia (pero no a la inversa)
Completitud
La completitud es la inversa de la corrección Un sistema es completo cuando todo
argumento válido es derivable (e incompleto cuando algún argumento válido no es derivable). Es decir, cuando Si Γ╞ A, entonces Γ├ A
Para el caso particular en que Γ fuera un conjunto vacío, tendríamos que Si ╞ A, entonces ├ A o sea, que toda fbf válida es un teorema
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Adecuación
Decimos que un sistema es adecuado con respecto a su interpretación semántica cuando es correcto y completo: Γ├ A sii Γ╞ A
Hay entonces una plena correspondencia entre sintaxis y semántica: “├” y “╞” pueden intercambiarse libremente
Lógica proposicional 9. Metateoría
9.3. La corrección del método de árboles
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El metateorema de corrección
La corrección (si Γ├ A, entonces Γ╞ A), para el caso concreto de los árboles significa que Si {Γ,¬A} tiene un árbol cerrado, entonces {Γ,¬A} es
insatisfacible Por contraposición, eso equivale a
Si {Γ,¬A} es satisfacible, entonces {Γ,¬A} tiene un árbol terminado y abierto
Más generalmente, lo que probaremos como metateorema de corrección es que Si la lista inicial es satisfacible, el árbol terminado
estará abierto
Adecuación de las reglas La prueba de corrección (y también después la de
completitud) se basa en el siguiente Lema de adecuación de las reglas: la premisa de una
regla es verdadera en las mismas interpretaciones en que lo son todas las líneas de alguna de sus listas de conclusiones
Las reglas que bifurcan la rama tienen dos listas de conclusiones; las que no, sólo tienen una. Cada una de esas listas puede tener una o dos líneas
La prueba del lema, para cada una de las reglas, es obvia (A ↔ B, por ejemplo, es verdadera cuando A y B son veraderas o cuando lo son ¬A y ¬B)
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Adecuación descendente y ascendente
El lema de adecuación tiene, en realidad dos partes: Adecuación descendente: si la premisa de una regla
es verdadera para una interpretación, entonces también lo son todas las líneas de alguna de sus listas de conclusiones
Adecuación ascendente: Si todas las líneas de una de las listas de conclusiones de una regla son verdaderas para una interpretación, entonces también lo es la premisa
Usaremos la primera parte para demostrar la corrección, y la segunda en la prueba de completitud
Hipótesis
Supongamos que la lista inicial de un árbol es simultáneamente satisfacible
Eso significa que hay una interpretación I que hace verdaderas a todas sus líneas
De ahí se sigue que en el momento inicial el árbol está abierto Si estuviera cerrado la lista inicial contendría
como líneas una fbf y la negación de esa misma fbf. Y esas dos líneas no serían ambas verdaderas para I
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Estrategia Para probar la corrección bastará demostrar que
cuando un árbol crece por la aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama satisfacible, y por tanto abierta Si la lista inicial está abierta y cada vez que
aplicamos una regla volvemos a tener una rama abierta, el árbol completo tendrá una rama abierta
Suponemos entonces a) que en una rama R de un árbol sin terminar, todas las
líneas son verdaderas para una interpretación I b) que hacemos crecer el árbol aplicando una regla a
una de sus líneas L (la cual puede pertenecer o no a R: lo que nos obliga a considerar dos casos)
Caso 1 Si L está en R, entonces, según (a), L es verdadera
para I Apelando al lema (la adecuación descendente de la
regla aplicada a L), serán verdaderas para I todas las líneas de al menos una de las listas de conclusiones añadidas a R
Luego, R junto con esa lista de conclusiones forma una rama del árbol extendido en la cual todas sus líneas son verdaderas para I
Luego, si L está en R, cuando el árbol se extiende por aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama en la que todas sus líneas son verdaderas para I
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Caso 2 Si L no está en R, entonces al aplicar una regla a L,
no añadimos nada a R En este caso, la propia R es una rama del árbol
extendido en la cual todas las líneas son verdaderas para I
Luego también si L no está en R, cuando el árbol se extiende por aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama en la que todas sus líneas son verdaderas para I
Por tanto, sea cual sea el caso, ha de haber una rama tal (y por tanto abierta) en el árbol terminado, con lo que se completa la prueba de la corrección
Lógica proposicional 9. Metateoría
9.4. La completitud del método de árboles
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El metateorema de completitud
La completitud (si Γ╞ A, entonces Γ├ A), para el caso concreto de los árboles significa que Si {Γ,¬A} es insatisfacible, entonces {Γ,¬A} tiene un
árbol cerrado Por contraposición, eso equivale a
Si {Γ,¬A} tiene un árbol terminado y abierto, entonces {Γ,¬A} es satisfacible
Más generalmente, lo que probaremos como metateorema de completitud es que Si hay una rama abierta en un árbol terminado, la lista
inicial es satisfacible
Hipótesis
Supongamos que un árbol terminado contiene una rama abierta R
Puesto que está terminado, habrán sido marcadas todas las líneas de R que no sean letras proposicionales o letras proposicionales negadas. O sea, todas las líneas con una longitud de 3 símbolos o más, si es que las hay
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Estrategia
Consideremos una interpretación I que asigna V a aquellas letras proposicionales que figuran como líneas independientes en R, y F a todas las demás
Consecuentemente, todas las líneas sin marcar de R (las líneas de longitud 1 y 2) serán verdaderas para I
Demostraremos entonces que todas las líneas de R son verdaderas para I, o sea que todas ellas son simultáneamente satisfacibles
Con ello quedará probado que la lista inicial, que forma parte de R, es satisfacible
Prueba
Si consideramos la adecuación ascendente de las reglas, la verdad para I de las líneas más cortas implicará la de las premisas más largas a partir de las cuales se obtuvieron como conclusiones
De este modo, en un número finito de pasos (uno para cada regla aplicada), partiendo de la verdad para I de las líneas de longitud 1 ó 2, llegaríamos hasta las fbfs iniciales de R
Luego todas las fbf de R son verdaderas para I, y por tanto las fbfs iniciales son satisfacibles
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Lógica proposicional 9. Metateoría
9.5. La noción de decidibilidad. Los árboles como procedimiento decisorio
Decidibilidad
Decimos que un sistema formal es decidible cuando existe un algoritmo, un procedimiento mecánico o computacional, para establecer, en un número finito de pasos, si una conclusión se sigue o no de ciertas premisas (y si una proposición es o no una ley lógica)
Para el caso del método de árboles el metateorema a probar es éste: Decidibilidad: si la lista inicial es finita, la prueba
termina tras un número finito de pasos (Se da un paso cada vez que se aplica una regla)
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Decidibilidad del método de árboles
Los hechos en que se apoya la prueba son los siguientes: El método comienza con número finito de fbfs, cada
una de las cuales tiene una longitud finita: un número finito de símbolos, contando letras proposicionales, conectivas y paréntesis (sin omitir ninguno)
Cada vez que aplicamos una regla, marcando una premisa, introducimos un número finito de nuevas líneas, cada una de las cuales es más corta (en número de símbolos) que la premisa
Por tanto, si el árbol no cierra (si cerrase terminaría), llegará un momento en que todas las líneas sin marcar, en las ramas abiertas, serán de longitud 1 ó 2 (letras proposicionales o negaciones de letras proposicionales), con lo que el árbol también termina
Censos de árboles Definamos el censo de un árbol como una secuencia
infinita de números: el primero es el número de líneas sin marcar de longitud 1 que hay en el árbol, el segundo el número de líneas sin marcar de longitud 2, y así sucesivamente
Puesto que un árbol sólo contiene un número finito de líneas, tarde o temprano en esa secuencia sólo aparecerán ceros hasta el infinito
Cada vez que apliquemos una regla, el censo se hará más pequeño en el sentido siguiente: el nuevo censo contendrá un número menor que el censo anterior en la posición más a la derecha en la que ambos censos difieran
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Ejemplo 1
Árbol:
1. ((p ∨ q) → r) (prem.) 2. ¬r (prem.) 3. ¬(p ∧ q) (¬con.)
4. ¬(p ∨ q) 5. r (de 1) 6. ¬p (de 7. ¬q 4)
8. ¬p 9. ¬q (de 3)
Censos:
Inicio: 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0…
Paso 1: 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0…
Paso 2: 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0…
Paso 3: 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0…
Ejemplo 2
Árbol:
1. (p → (q ∨ r)) (prem.) 2. p (prem.) 3. ¬(¬p → ¬q) (¬con.) 4. ¬p (de 5. ¬¬q 3)
Censos:
Inicio: 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0…
Paso 1: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0…
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Censos y decidibilidad Cualquier secuencia de censos más y más pequeños (en
el sentido indicado) ha de terminar tras un número finito de pasos, ya que que las cadenas descendentes siempre son finitas A partir de cualquier censo, es obvio que podemos hacerlo
crecer (ascender, en el sentido indicado) de forma indefinida Pero si en cada paso hacemos descender el censo,
obteniendo uno más pequeño, tarde o temprano llegaríamos al censo nulo (una cadena infinita de ceros)
(Obviamente, en el caso de censos de árboles, el descenso terminaría antes, cuando sólo sean positivos los dos primeros números de la secuencia, o cuando el árbol se cierre; pero este hecho es irrelevante para la prueba)
Lógica proposicional 9. Metateoría
9.6. Potencia expresiva de conjuntos de conectivas
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Adecuación de conectivas
Se dice que un conjunto de conectivas resulta adecuado cuando un lenguaje formal que cuenta con ellas, y no con otras, tiene la potencia suficiente para expresar todas las funciones de verdad existentes
Ello significa que, para cada función de verdad, existe en el lenguaje formal al menos una fbf cuya tabla de verdad coincide justamente con esa función
Tipos de funciones veritativas
Las funciones de verdad pueden ser funciones de un argumento, de dos, de tres, etc.
Las conectivas monádicas (como “¬”) formalizan las funciones veritativas de un argumento
Las diádicas (como “∧”, “∨”, “→” y “↔”), las de dos argumentos
Las triádicas (que podríamos inventar) formalizarían las de tres argumentos, etc.
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Funciones de un argumento
Hay exactamente 4 funciones de verdad de un argumento, algunas de las cuales tienen nombre familiar y otras no. Son éstas:
Sin nombre Identidad Negación Sin nombre
V V V F F
F V F V F
Funciones de dos argumentos (1)
Hay exactamente 16 funciones de verdad de dos argumentos, algunas de las cuales tienen nombre y otras no:
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
V V V V V V V V V V F F F F F F F F
V F V V V V F F F F V V V V F F F F
F V V V F F V V F F V V F F V V F F
F F V F V F V F V F V F V F V F V F
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Funciones de dos argumentos (2) De éstas, las más conocidas son:
f2: la disyunción (“∨”) f5: el condicional (“→”) f7: el bicondicional (“↔”) f8: la conjunción (“∧”)
Otras son menos conocidas, aunque también existen nombres para ellas: f3: el condicional converso f9: la barra de Sheffer (“⏐”) o negación de la conjunción f10: la disyunción exclusiva o negación del bicondicional (“∨∨”) f12: la negación del condicional f14: la negación del condicional converso f15: la función de Peirce (“↓”) o negación de la disyunción
Finalmente, carecen de nombre: f1, f4, f6, f11, f13 y f16
Infinitas funciones de verdad Hay exactamente 256 funciones de verdad de tres
argumentos, ninguna de las cuales tiene nombre familiar
En general, se cumple la regla de que existen 22n funciones de verdad de n argumentos
Hay, desde luego, una infinita cantidad de diferentes funciones de verdad
Pero formalizando sólo unas pocas, e incluso una sólo, pueden expresarse todas las demás
El conjunto de conectivas que hemos introducido en nuestro lenguaje formal es excesivo: podríamos habérnoslas apañado con un menor número de conectivas, sin pérdida alguna de potencia expresiva
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El conjunto {¬, ∧, ∨} es adecuado Un lenguaje formal que tenga esas tres conectivas
contará entre sus fbfs con fbfs en forma normal disyuntiva (FND)
Una fbf está en forma normal disyuntiva sii es una disyunción de n disyuntos (n ≥1), cada uno de los cuales es una conjunción de m conyuntos (m ≥ 1), cada uno de los cuales es una letra proposicional o una letra proposicional precedida de negación
Demostraremos que, para cualquier función de verdad, podemos construir una fbf en FND cuya tabla de verdad coincida con esa función, con lo cual quedará probada la adecuación del conjunto {¬, ∧, ∨}
Peculiaridades de las fbfs en FND
Podemos hablar de disyunciones y conjunciones de un solo miembro (a las que llamamos “degeneradas”) ya que ambas conectivas son idempotentes: A ┤├ A ∨ A A ┤├ A ∧ A
Además, en las FND hacemos uso del hecho de que ambas conectivas cumplen la propiedad asociativa
De la definición de FND se sigue que Una negación no puede tener mayor alcance que una
conjunción ni que una disyunción Una conjunción no puede tener mayor alcance que
una disyunción
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Ejemplos
Fbfs en FND: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬q ∧ r) p ∨ (q ∧ ¬r) ¬p ∨ q ∨ ¬r p ∧ ¬q p
Fbfs que no están en FND: (p ∨ ¬q) ∧ ¬r (¬p ∧ q) ∨ ¬(p ∧ r) p ∨ ¬(q ∨ r)
Estrategia de la prueba Tomemos una función de verdad cualquiera, con un
número cualquiera n de argumentos. La tabla correspondiente tendrá 2n filas. Consideremos la última columna de la tabla; podemos encontrarnos con tres posibilidades: caso 1: que en la última columna sólo aparezca F caso 2: que haya únicamente una V y el resto sea F caso 3: que haya más de una V (posiblemente todas)
Mostraremos, para cada uno de estos tres casos, cómo se construye una fbf en FND con n letras proposicionales, y cuya tabla de verdad coincide con la función en cuestión
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Caso 1 (todo F)
Entonces p1 ∧ ¬p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn
es una fbf en FND cuya tabla de verdad coincide con la de la función en cuestión
En efecto, “p1 ∧ ¬p1” siempre tiene el valor F, y por tanto hace que en ninguna valoración la fbf resulte V
Ejemplo
La fbf
p ∧ ¬p ∧ q ∧ r
está en FND y tiene justamente esa tabla de verdad
V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F F
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Caso 2 (sólo una V)
Sigamos la fila de la tabla que termina en V Si el primer término de esa fila es V, escribamos “p1”;
si es F, escribamos “¬p1” Si el segundo término de la fila es V, escribamos “p2”;
si es F, escribamos “¬p2” Así sucesivamente hasta llegar al n‑ésimo término: si
es V, escribamos “pn”; si es F, escribamos “¬pn” Finalmente formemos la conjunción de todo lo que
hemos escrito La fbf resultante estará en FND y tendrá la misma
tabla de verdad que la función en cuestión
Ejemplo
La fbf
¬p ∧ q ∧ ¬r
está en FND y tiene justamente esa tabla de verdad
V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F V F F V F F F F F
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Caso 3 (más de una V)
Procedamos, igual que en el caso 2, a construir del mismo modo una fbf para cada fila que adopte el valor V
Formemos luego la disyunción de todas esas fbfs
La fbf resultante estará en FND y tendrá la misma tabla de verdad que la función en cuestión
Esto completa la prueba de la adecuación del conjunto {¬, ∧, ∨}
Ejemplo 1
La fbf que buscamos es
(p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)
V V V F V V F V V F V F V F F F F V V F F V F V F F V F F F F V
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Ejemplo 2
La fbf que buscamos es
(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
V V V V F V F V V F F V
El conjunto {¬, →} es adecuado Partimos de la adecuación de {¬, ∧, ∨} Tomemos una función de verdad cualquiera, y
construyamos una fbf en FND que tenga la misma tabla de verdad que esa función
Eliminemos de esa fbf cada una de las apariciones de “∧” y “∨”, sustituyéndolas por “¬” y “→”, de acuerdo con los siguientes esquemas tautológicos: 1) ╞ A ∧ B ↔ ¬(A → ¬B) 2) ╞ A ∨ B ↔ (¬A → B)
El resultado será una fbf cuyas únicas conectivas serán “¬” y “→” y cuya tabla de verdad coincidirá con la de la función en cuestión. Luego, {¬, →} es adecuado
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Ejemplo
La fbf en FND que buscamos es (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
Aplicando el esquema (1), obtenemos ¬(p → ¬q) ∨ ¬(¬p → ¬q)
Y aplicando el esquema (2), resulta finalmente ¬¬(p → ¬q) → ¬(¬p → ¬q)
V V V V F F F V V F F F
Los conjuntos {¬, ∨} y {¬, ∧} son adecuados Nos apoyamos en ambos casos en la adecuación de
{¬, ∧, ∨} {¬, ∨} es adecuado: basta usar el esquema
tautológico ╞ (A ∧ B) ↔ ¬(¬A ∨ ¬B)
para eliminar las conjunciones de las fbfs en FND {¬, ∧} es adecuado: es suficiente usar el esquema
╞ (A ∨ B) ↔ ¬(¬A ∧ ¬B) para eliminar las disyunciones de las fbfs en FND
(No todos los conjuntos adecuados incluyen la negación, como veremos a continuación)
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Los conjuntos {→, ∨∨}, {↓} y {⏐} son adecuados {→, ∨∨} es adecuado: partimos ahora de la
adecuación de {¬, →}, y usamos el esquema ╞ ¬A ↔ (A ∨∨ (A → A))
{↓} es adecuado: nos apoyamos en la adecuación de {¬, ∧}, y usamos los esquemas ╞ ¬A ↔ (A ↓ A) ╞ A ∧ B ↔ ((A ↓ A) ↓ (B ↓ B))
{⏐} es adecuado: se prueba a partir de la adecuación de {¬, ∨}, usando los esquemas ╞ ¬A ↔ (A⏐A) ╞ A ∨ B ↔ ((A⏐A)⏐(B⏐B))
Los dos últimos metateoremas muestran cómo una sola conectiva puede ser adecuada
Conjuntos no adecuados Los siguientes resultados se basan en que los conjuntos de
conectivas que se citan son incapaces de expresar la función veritativa de la negación: {∧, ∨} no es adecuado {∧, →} no es adecuado {∨,→} no es adecuado {→, ↔} no es adecuado
El resultado siguiente se justifica considerando que el condicional no puede expresarse mediante ninguna combinación de “¬” y “↔”: {¬, ↔} no es adecuado
Finalmente, como de las otras tres funciones de verdad de un argumento, sólo la de la identidad puede expresarse en términos de la negación (mediante una doble negación), tenemos que {¬} no es adecuado
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Las conectivas de Sheffer y Peirce Especial interés tiene este último metateorema:
Las únicas conectivas diádicas que resultan adecuadas por sí solas son “↓” y “⏐”
La prueba procede por reducción al absurdo Supongamos que existiera otra conectiva diádica que
fuera adecuada por sí sola, y llamémosla “*” Si “*” ha de ser capaz de expresar la negación,
entonces debe cumplirse ╞ ¬A ↔ (A * A)
Esto nos permite afirmar que su tabla de verdad ha de arrojar F como resultado de la primera fila, y V como resultado de la cuarta
La (supuesta) conectiva “*”
Con respecto a las filas segunda y tercera, tenemos cuatro casos a considerar:
Caso 1: que ambas den V Caso 2: que ambas den F Caso 3: que la segunda dé V y la tercera F Caso 4: que la segunda dé F y la tercera V
A B A * B V V F V F ? F V ? F F V
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La conectiva “*” no existe El caso 1 es imposible, pues “*” coincidiría con “⏐” El caso 2 tampoco es posible, porque “*” sería la
misma conectiva que “↓” En el caso 3 tendríamos que
(A * B) ↔ ¬B Y en el caso 4
(A * B) ↔ ¬A Pero sabemos que “¬” no es adecuada por sí sola Luego, si la tabla de verdad de “*” fuera como se
describe en el caso 3 o en el caso 4, {*} no sería adecuado, con lo que tampoco son posibles
En conclusión, cualquier conectiva diádica que no sea “↓” o “⏐” es inadecuada por sí sola
Charles S. Peirce y Henry M. Sheffer