Lógica de predicados

Cálculo de predicados

Hay ciertos argumentos que parecen ser perfectamente

lógicos y que no pueden ser especificados usando cálculo

proposicional.

Ejemplos:

Todos los gatos tienen cola

Tomás es un gato

De estas dos oraciones, uno podría concluir que

Tomás tiene cola

Para mostrar que este argumento es valido, debemos

identificar individuos como Tomás, junto con sus propiedades

y predicados.

Este es el objetivo del cálculo de predicados.

Cálculo de predicados

Generalmente los predicados son usados para describir ciertas propiedades o relaciones entre individuos u objetos.

Ejemplo:

◦ “María y Ana son hermanas”,

◦ las frase “son hermanas” es un predicado.

◦ Las entidades conectadas en esta forma, María y Ana, se llaman términos.

◦ Además de los términos y predicados, se usa también cuantificadores.

◦ Los cuantificadores indican qué tan frecuentemente una cierta afirmación es verdadera.

Específicamente, el cuantificador universal se usa para indicar que una afirmación es siempre verdadera, mientras que el cuantificador existencial indica que una afirmación es algunas veces verdadera.

Cálculo de predicados

El cálculo de predicados es una generalización del cálculo proposicional.

Además de los términos, predicados y cuantificadores, el cálculo de predicados contiene proposiciones y conectivos como parte del lenguaje.

El predicado “Juana es la madre de Pablo” puede sólo ser valorada dentro de un cierto contexto. Hay mucha gente llamada Juana y Pablo, y sin más información la oración en cuestión puede referirse a mucha gente diferente, lo cual hace esto ambiguo.

Cálculo de predicados

El universo de discurso o dominio es la colección de personas, ideas, símbolos, estructuras de datos, etc., que afecta el argumento lógico bajo consideración. Los elementos del universo de discurso se llaman individuos.

La veracidad de una afirmación puede depender del dominio seleccionado. “Hay un número que es el más pequeño” es verdadera en el dominio de los números naturales, pero falsa en el dominio de los enteros.

Para evitar casos triviales, se estipula que cada universo de discurso debe contener al menos un individuo. Para referirse a un individuo en particular u objeto, se usan identificadores. Estos identificadores se llaman constantes individuales.

Cálculo de predicados

Ejemplos de universo de discurso

◦ Personas, las constantes individuales pueden ser sus nombres.

◦ En los números naturales, las constantes individuales son los dígitos que representan a los números.

◦ Cada constante individual debe identificar a un individuo en particular. Por ejemplo, si el universo de discurso consta de personas, no debe haber dos personas con el mismo nombre.

Generalmente, los predicados hacen afirmaciones sobre individuos.

◦ María y Pablo son hermanos

◦ Juana es la madre de María

◦ Tomás es un gato

◦ La suma de 2 y 3 es 5

Cálculo de predicados

En cada una de estas afirmaciones, hay una lista de individuos, los cuales vienen dados por la lista de argumentos, junto con las frases que describen ciertas relaciones o propiedades entre los individuos de la lista de argumentos. Estas propiedades o relaciones son llamadas predicados.

En la afirmación “María y Pablo son hermanos”

◦ la lista de argumentos está dada por María y Pablo, mientras que el predicado se describe por la frase “son hermanos”.

Los elementos de la lista de argumentos se llaman argumentos. Los argumentos pueden ser variables o constantes individuales.

Cálculo de predicados

En el cálculo de predicados, a cada predicado se le da un nombre, el cual es seguido por la lista de argumentos.

La lista de argumentos se encierra en paréntesis. Por ejemplo para expresar que “Juana es la mamá de María”, uno podría escoger un identificador, digamos “madre”, para expresar el predicado “es mamá de” y uno escribiría

madre(Juana, María)

Muchos usan sólo una letra como nombres de predicados y constantes. Así el predicado se escribiría como M(j, m).

Note que el orden de los argumentos es importante. Claramente, las afirmaciones madre(Juana, María) y madre(María, Juana), tienen un significado diferente.

Cálculo de predicados El número de elementos en la lista de predicados se llama la aridad del

predicado.

Ejemplo

◦ madre(Juana, María) tiene una aridad de 2.

La aridad de un predicado es fija. Un predicado no puede tener 2 argumentos en un caso y 3 en otro.

Un predicado con aridad n se llama un predicado de n-plazas. Un predicado de una plaza se llama una propiedad.

El predicado “es un gato”, es un predicado de una plaza, o una propiedad. El predicado “es mamá de” es un predicado de dos plazas.

Un nombre de un predicado, seguido por una lista de argumentos entre paréntesis, se llama una fórmula atómica.

Cálculo de Predicados

Ejemplo: Juana es madre de María,

fórmula atómica

madre(Juana, María)

afirmación compuesta,

madre(Juana, María) → madre(María, Juana)

Ejemplo:

gato(Tomás)

tienecola(Tomás) fórmulas atómicas,

podemos formar

gato(Tomás) → tienecola(Tomás)

Si todos los argumentos de un predicado son constantes individuales, entonces la fórmula atómica resultante debe ser verdadera o falsa. Esto es parte de la definición de un predicado.

Cálculo de predicados

Si el universo de discurso consiste de Juana, Diego, María y Pablo, debemos conocer para cada par ordenado de individuos si el predicado “es mamá de ” es verdadero. Esto se puede hacer en forma de tabla.

Cualquier método que asigne valores de verdad a todas las posibles combinaciones de individuos de un predicado se llama asignación del predicado. Por ejemplo la tabla anterior es una asignación del predicado “madre”.

Diego

Juana

María

Pablo

Diego

F

F

F

F

Juana

F

F

V

V

María

F

F

F

F

Pablo

F

F

F

F

Ejemplos: madre(x, y)

madre(Juana, Pablo) = V

Dominio: 1,2,3,4

Predicado: “mayor” es verdadero si el primer argumento

es mayor que el segundo

renglón

primer argumento

columna

segundo argumento

1

2

3

4

1

F

F

F

F

2

V

F

F

F

3

V

V

F

F

4

V

V

V

F

Cálculo de Predicados

En un universo de discurso finito, uno puede

representar la asignación de predicados con arreglos de dimensión n por n.

Note que los símbolos matemáticos y son predicados. Sin embargo, estos predicados son usados normalmente en notación infija. Por esta razón son colocados entre los argumentos. Por ejemplo para expresar que 2 es mayor que 1, escribimos 2 1, en lugar de (2, 1).

Cálculo de Predicados

Ejemplos de expresiones que contienen

variables

gato(x) tienecola(x)

perro(y) café(y)

grado(x) (x 0) (x 100)

Cuantificadores

Cuantificador universal

Considere las siguiente afirmaciones:

1. Todos los gatos tienen cola

2. Todos conseguimos un descanso de vez en cuando

Todas estas afirmaciones indican qué tan frecuentemente ciertas cosas son verdaderas.

Sea A una expresión, y sea x una variable. Si queremos indicar que A es verdadera para todos los valores posibles de x, escribimos x A.

Aquí x es llamado el cuantificador universal, y A se llama el ámbito o alcance del cuantificador. La variable x se dice que está ligada al cuantificador. El símbolo se pronuncia “para todo”.

Cuantificadores

Universal

Oraciones que contienen palabras como:

◦ cada, cada uno, y todos usualmente indican cuantificación universal.

◦ “para cada x”, lo cual se traduce como x.

Ejemplo:

“Todos conseguimos un descanso de vez en cuando”

Definimos B =“conseguir un descanso de vez en cuando”.

B(x) = x consigue un descanso de vez en cuando.

La palabra “Todos” indica que esto es verdadero para toda x. Esto lleva a x B(x).

Cuantificadores

Ejemplo:

“Todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.

Primero encontramos el alcance del cuantificador universal, el cual es “Si x es un gato entonces x tiene cola”. Después de escoger los símbolos de predicado descriptivos, expresamos esto por la siguiente fórmula compuesta:

gato(x) → tienecola(x)

Esta expresión debe ser cuantificada universalmente para hallar la solución requerida.

x (gato(x) → tienecola(x))

Otra forma de expresar esta afirmación es

y (gato(y) → tienecola(y))

Aquí, la variable ligada es y en lugar de x, generalmente el nombre de la variable usada para la cuantificación es indistinto

Cuantificadores

Si A representa una expresión, y x representa a una variable. Si queremos indicar que A es verdadero para al menos un valor de x, escribimos x A. Esto se pronuncia “Existe una x tal que A”.

Aquí x es llamado el cuantificador existencial, y A se llama el alcance o ámbito del cuantificador existencial. La variable x se dice que está ligada al cuantificador.

Afirmaciones que contienen frases como “algunos”, “al menos uno” sugieren cuantificación existencial. Y deben ser reescritos como “Hay un x tal que”, lo cual se traduce en x.

Sea P la propiedad “le gusta la carne cruda”. Entonces x P(x) se puede traducir como “Hay personas a las que les gusta la carne cruda” o “A algunas personas les gusta la carne cruda”.

Cuantificadores

Si A representa una expresión, y x representa a una variable. Si queremos indicar que A es verdadero para al menos un valor de x, escribimos x A (Existe una x tal que A).

Aquí x es llamado el cuantificador existencial, y A se llama el alcance o ámbito del cuantificador existencial. La variable x se dice que está ligada al cuantificador.

Afirmaciones que contienen frases como “algunos”, “al menos uno” sugieren cuantificación existencial. Y deben ser reescritos como “Hay un x tal que”, lo cual se traduce en x.

Sea P la propiedad “le gusta la carne cruda”. Entonces x P(x) se puede traducir como “Hay personas a las que les gusta la carne cruda” o “A algunas personas les gusta la carne cruda”.

Cuantificadores

Ejemplos:

“Hay alguien que conoce a todos”

x(x conoce a todos). Aquí “x conoce a

todos” está todavía en español y significa

que para todo y es verdad que x conoce a y.

Por tanto x conoce a todos = y C(x, y).

Finalmente se añade el cuantificador

existencial y obtenemos x y C(x, y).

Ejemplo

“Cualquiera tiene alguien quien es su madre”

Definimos M como el predicado “madre”; esto es, M(x, y) significa que “x es la madre de y”.

La oración “Alguien es la madre de y” se traduce como x M(x, y).

Para expresar que esto debe ser verdad para toda y, agregamos el cuantificador universal, lo cual queda como y x M(x, y)

Cuantificadores

Ejemplo: “Nadie es perfecto”

Incluye un cuantificador, “Nadie”, el cual es la ausencia de un individuo con una cierta propiedad.

En cálculo de predicados el hecho de que nadie tenga una propiedad P, no puede ser expresada directamente. Para expresar el hecho de que no hay x para la cual una expresión A es verdadera, uno puede usar x A o x P(x), indica que nadie es perfecto.

En el primer caso, decimos, en traducción verbal, “No se da el caso de que exista alguien quien sea perfecto”, mientras que en el segundo caso decimos “Para cualquiera, no se da el caso de que sea perfecto”. Los dos métodos para expresar que nadie es A deben por supuesto ser lógicamente equivalentes; esto es,

x A x P(x).

Variables ligadas y libres

Las variables que aparecen en el

cuantificador es una variable ligada.

Ejemplo: x (P(x) → Q(x)),

◦ x aparece tres veces, y cada vez x es una

variable ligada.

Cualquier variable que no está ligada a un

cuantificador se llama variable libre.

x (P(x,y) → Q(x))

Ejercicio

Encontrar las variables libres y ligadas en

z (P(z) Q(x)) y Q(y)

z (P(z,x) xQ(x)) y Q(y,z)

x y (P(x,y) → Q(x,z)) z Q(y,z)

Formalización

Los animales forman el universo de discurso.

Formaliza: “Todos los animales son mamíferos”

Considere primero las oraciones

◦ “Todos los perros son mamíferos”. Ya que el cuantificador se debe restringir a los perros, uno re-escribe la afirmación como “Si x es perro, entonces x es un mamífero”. Esto da lugar a

x(Perro(x) → Mamífero(x))

Generalmente, la oración

x(P(x) → Q(x))

puede ser traducida como “Todos los individuos con propiedad P además tienen la propiedad Q”.

Formalización Ejemplo:

“Algunos perros son cafés”.

◦ Esta afirmación significa que hay algunos animales que son perros y que son cafés. Por supuesto que, la afirmación “x es un perro y x es café” puede ser traducida como Perro(x) Café(x).

“Hay algunos perros cafés” se puede traducir como

x (Perro(x) Café(x))

La afirmación x (P(x) Q(x))

Puede en general ser interpretada como “Algunos individuos con propiedad P también tienen la propiedad Q”.

Note que si el cuantificador universal se aplica sólo a individuos con una propiedad dada, entonces se usa el condicional para restringir el universo de discurso. Por otro lado, si se restringe la aplicación del cuantificador existencial, se usa la conjunción.

Cuantificadores: valor de verdad

Ahora discutiremos posibles interpretaciones de x P(x), donde P es el predicado “ha pagado”. Para encontrar una interpretación, se necesita una lista de consumidores, el cual provee el universo de discurso requerido. Asumamos que hay solo hay tres consumidores J, M y S. Estas abreviaciones son las constantes individuales. Luego, se necesita una asignación para P(x). Si J y M han pagado pero S no, esta asignación está dada como sigue

Ahora no hay dificultad en determinar el valor de verdad para x P(x). Obviamente, la afirmación es falsa. En nuestra interpretación, x P(x) es sólo verdad si P(J), P(M) y P(S) son todos verdaderos, y este no es el caso. S no ha pagado, es decir, P(S) es falso.

P(x)

V

V

F

J M S

Cuantificadores: valor de verdad

Universal

Para la interpretación, seleccionamos un

dominio finito de n individuos a1, a2,...,

an,

x P(x) es verdadera sólo si P(a1),

P(a2),...,P(an) son todas verdaderas. Por

tanto x P(x) viene dada por

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)

Cuantificadores: valor de verdad

Existencial

x P(x) es verdad si hay al menos una x para la cual P(x) se satisface. En la interpretación dada, P(J) es verdadera y esto es suficiente para hacer x P(x) verdadera.

Hay un consumidor, J, quien ha pagado. En un dominio con n individuos a1, a2,..., an, x P(x) es verdadera en cada interpretación que hace a P(a1) verdadera o P(a2) verdadera, ... , o P(an) verdadera. Consecuentemente,

x P(x) P(a1) P(a2) ... P(an)

Ejercicio: verifica las respuestas

p x x

q x x

r x x x

s x x

( ):

( ):

( ):

( ):

0

0

3 4 0

3 0

2

2

2

x p x r x TRUE

x p x q x TRUE

x p x q x TRUE

x q x s x FALSE

x r x s x FALSE

x r x p x FALSE

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

[ ( ) ( )]:

x=4

x=1

x=1,0.5,...

x=-1

El universo de discurso es los números reales