CALCULO DE PREDICADOS La lógica proposicional presenta las siguientes falencias:

No puede representar la estructura interna de los enunciados.

La notación utilizada es difícil manejar con un número infinito de proposiciones.

Las leyes o reglas son insuficientes para efectuar la demostración de cierto conjunto de proposiciones.

Ejemplo: Observe el siguiente caso donde se parte de las siguientes afirmaciones.

Todos los ingenieros se preparan en matemáticas

Daniela es ingeniera

es razonable y válido deducir la proposición

Daniela tiene preparación en matemáticas.

En el contexto de la lógica proposicional e identificando las tres proposiciones de la siguiente forma:

P : Todos los ingenieros se prepararon en matemáticas

Q : Daniela es ingeniera

R : Daniela se preparó en matemáticas

se tratará de demostrar si: P Q R

P Q R P Q P Q R

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

La lógica proposicional no puede explicar porqué R se deduce de P y de Q.

Por otra parte, el cálculo proposicional no puede representar proposiciones que contienen variables como:

"x + 1 > 3" , "z = x + 2" , "y + z =x".

El cuadrado de todo impar es impar.

"P(n) es verdadero para todo n", "P(n) es verdadero para algún n" donde n pertenece a los naturales" significa que "P(0) es verdadero", P(1) es verdadero", ...etc.

Por lo tanto expresiones que involucran variables tales como:

1. “x > 3” 2. “x = y + 3” 3. “x +y = z”

son encontradas frecuentemente en declaraciones matemáticas y programas de computador. Cuando los valores de las variables no son especificados, estas expresiones no son verdaderas o falsas. En esta sección discutiremos las formas en las cuales las proposiciones pueden ser producidas de tales expresiones. Para 1 la expresión tiene 2 partes: 1. la variable x es el sujeto de la expresión 2. “es mayor que” es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresión puede tener) Podemos denotar la expresión “x es mayor que 3” por P(x), donde P denota el predicado “es mayor que 3” y x es la variable. La expresión P(x) será el valor de la función proposicional P en x. Una vez un valor le es asignado a la variable x, la expresión P(x) se convierte en una proposición y tiene su valor de verdad. Ejercicios:

Sea Q(x,y) la función proposicional para 2. Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones Q(3,2) y Q(5,2)?

Sea R(x,y,z) la función proposicional para 3. Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones R(1,2,3) y R(0,0,1)? En general una expresión que involucra las n variables x1, x2, ..... xn puede ser denotado por P(x1, x2, ..... xn). Una expresión de la forma P(x1, x2, ..... xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1, x2, ..... xn) y P es también llamado un predicado.

CUANTIFICADORES

Cuando a todas las variables en una función proposicional le son asignados valores, la expresión resultante tiene un valor de verdad. A través de la cuantificación también se pueden crear proposiciones desde una función proposicional. Cuantificación universal La cuantificación universal de P(x) es la proposición “P(x) es verdad para todos los valores de x en el universo de discurso”.

La notación xP(x) denota la cuantificación universal de P(x). Aquí es llamado el cuantificador

universal. La expresión xP(x) es también expresada como: “para todo x P(x)” o “para cada x P(x)” Ejemplo1 Denotar la expresión: “cada estudiante en esta clase ha estudiado calculo” como una cuantificación universal. R//

1. Sea P(x) que denota la expresión “x ha estudiado cálculo” entonces se puede expresar como: xP(x), donde el universo de discurso consiste de los estudiantes en esta clase.

2. También puede ser expresado como: x(S(x) P(x)) donde S(x) es la expresión “x esta en esta clase” y el universo de discurso es el conjunto de todos los estudiantes. Ejemplo2

Sea Q(x) la expresión “x<2” cuál es el valor de verdad de la cuantificación xP(x), donde el universo de discurso es el conjunto de los números reales? R//

Q(x) no es verdadera para todos los números reales x. Por ejemplo Q(3) es falsa. Así xQ(x) es falsa. Cuando todos los elementos del universo de discurso pueden ser listados- digamos x1 x2, ..... xn se sigue

que la cuantificación universal xP(x) es la misma como la conjunción P(x1) P(x2) ..... P(xn) puesto que esta conjunción es verdad si y solo si son todas verdad. Ejemplo3

Cuál es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 < 10” y el universo de discurso consiste de los enteros positivos que no sobrepasan al 4? R//

La expresión xP(x) es la misma como la conjunción P(1) P(2) P(3) P(4) puesto que el universo de discurso consiste de los enteros 1, 2, 3 y 4. Puesto que P(4) es la expresión “42 < 10” es falsa, entonces se

sigue que xP(x) es falsa. Cuantificación existencial La cuantificación existencial de P(x) es la proposición “existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

La notación xP(x) denota la cuantificación existencial de P(x). Aquí Es llamado el cuantificador

existencial. La expresión xP(x) es también expresada como: “hay un x tal que P(x)” o “hay al menos un x tal que P(x)” o “para algún x P(x)” Ejemplo1

Sea Q(x) que denota la expresión “x = x + 1” Cual es el valor de verdad de xQ(x), donde el universo de discurso es el conjunto de los números reales? R//

Puesto que Q(x) es falso para cada número real x, la cuantificación existencial de Q(x), la cual es xQ(x), es falsa. Cuando todos los elementos del universo de discurso pueden ser listados- digamos x1, x2, ..... xn la

cuantificación existencial xP(x) es la misma como la disyunción P(x1) P(x2) ..... P(xn) puesto que esta disyunción es verdad si y solo si al menos una de P(x1), P(x2),..... P(xn) es verdad Ejemplo2

Cuál es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresión “x2 > 10” y el universo de discurso consiste de los enteros positivos que no sobrepasan al 4 ? R//

La expresión xP(x) es la misma como la disyunción P(1) P(2) P(3) P(4). Ya que P(4) la cual es la

expresión “42 > 10” es verdad, entonces se sigue que xP(x) es verdad. Ejemplo3

Trasladar la expresión dada a continuación al español, donde C(x) es “x tiene un computador”, F(x,y) es “x y y son amigos” y el universo de discurso para ambas x y y es el conjunto de todos los estudiantes en su

escuela x(C(x) y(C(y) F(x,y))) R// Cada estudiante en su escuela tiene un computador o tiene un amigo quien tiene un computador.

Ejercicios

1. Algún estudiante de esta clase visitará Cali y cada estudiante de esta clase visitará Medellín o Cali. 2. Todos tenemos exactamente un mejor amigo. 3. Si m es un entero par, entonces m + 7 es impar. 4. Todos los leones son fieras. 5. Algunos leones no toman café. 6. Algunas criaturas salvajes no son de África. 7. Algunos números negativos no son enteros. 8. Algunos gobiernos no respetan la libertad. 9. Si todo es rojo, hay algo rojo. 10. Todo estudiante de la EIS tiene un computador o existe un estudiante que tiene un computador.

Negaciones

El cuantificador universal puede aparecer negado, como en el enunciado:

"No todos son mecánicos". xM(x) donde M(x) : "x es mecánico" conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición "ninguno es mecánico" no equivale a la proposición "no todos son mecánicos" sino a la expresión

"para todo x, x no es mecánico" que se simboliza x(M (x)).

Expresiones como "no es cierto que hay fantasmas" xF(x) donde F(x) : "x es un fantasma". Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales

puede tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como x ( M(x)) donde M(x) : "x es mortal".

Por ejemplo, consideremos la negación de la declaración:

“cada estudiante en la clase ha tomado un curso de cálculo” o xP(x). Donde P(x) es la declaración “x ha tomado un curso de cálculo”. La negación de esta declaración es: “no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de cálculo” o “hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de cálculo”. En esta última declaración se ve que es simplemente la cuantificación existencial de la negación de la

función proposicional original. Es decir xP(x). Considere la negación de la declaración:

“hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de cálculo” o x P(x). Donde P(x) es la declaración “x ha tomado un curso de cálculo”. La negación de esta declaración es:

“no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de cálculo” o “cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de cálculo”. En esta última declaración se ve que es simplemente la cuantificación universal de la negación de la función

proposicional. Es decir xP(x). Ejemplo1 Cuáles son las negaciones de las declaraciones:

“Hay un político honesto” R// Sea H(x) que denota “x es honesto” donde el universo de discurso son todos los políticos. Entonces la

declaración se puede simbolizar como: xH(x). Luego la negación es xH(x), la cual es equivalente a

xH(x) la cual corresponde a “Cada político es honesto”

Todos los americanos comen hamburguesas R// Sea C(x) que denota “x come hamburguesas” donde el universo de discurso son todos los americanos.

Entonces la declaración se puede simbolizar como: xC(x). Luego la negación esxC(x), la cual es

equivalente axC(x) la cual corresponde a “Hay un americano quien no come hamburguesas” Ejemplo2 Cuáles son las negaciones de:

x(x2>x)

R

x(x2>x) la cual es equivalente a x(x2>x). Lo cual puede ser reescrito como x (x2x)

x(x2 = 2)

R

x(x2=2) la cual es equivalente a x(x2=2). Lo cual puede ser reescrito como x (x22)

Ejercicios:

1. Alguien no es perfecto. 2. No hay cosas sólidas. 3. Nada se mueve. 4. No todo es perecedero. 5. Nada es perecedero. 6. Ningún estudiante de sistemas deja las tareas inconclusas.

7. x(x2>=x+1)

8. x(x2>x x>0)

9. x (x2 x-2)

10. x (x2x x>0)

11. x (x2>=x+1)

12. x (x2x x>0)

Reglas en la Lógica de Predicados A continuación se listan otras reglas que pueden ser demostradas para la lógica de predicados.

x (P[x] Q[x]) x P[x] x Q[x]

x (P[x] Q[x]) x P[x] x Q[x]

x P[x] x P[x] Ley de De Morgan

x P[x] x P[x] Ley de De Morgan

x P[x] x Q[x] x (P[x] Q[x])

x (P[x] Q[x]) x P[x] x Q[x]

x y P(x,y) y x P(x,y)

x y P(x,y) y x P(x,y)

x y P(x,y) y x P(x,y)

y x P(x,y) x y P(x,y)

y x P(x,y) x y P(x,y)

x y P(x,y) y x P(x,y)

x y P(x,y) y x P(x,y)

y x P(x,y) x y P(x,y)

x y P(x,y) y x P(x,y)

Variables Libres y Ligadas Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valor a esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable está ligada. Una ocurrencia de una variable que no está ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se dice que es libre. Todas las variables que ocurren en una función proposicional deben estar ligadas para tornarla en una proposición. Esto se puede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, existenciales y asignación de valores. La parte de una expresión lógica para la cual un cuantificador es aplicado es llamada el alcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera del alcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable.

Ejemplo 1

En la declaración xQ(x,y), la variable x está ligada por la cuantificación existencial x, pero la variable y es libre porque no está ligada por un cuantificador y ningún valor es asignado a esta variable. Ejemplo 2

En la declaración x(P(x) Q(x)) xR(x), todas las variables están ligadas. El alcance del primer

cuantificador, x, es la expresión P(x) Q(x). El alcance del segundo cuantificador, x, es la expresión R(x). Es decir el alcance de los 2 cuantificadores no se sobrelapan. Ejemplo 3

(∀i :: x * i = 0)

Esta expresión asegura que x multiplicada por cualquier número entero es cero. Lo cual es cierto siempre que x = 0, de modo que es equivalente a la expresión x = 0, por lo tanto el valor de la expresión depende del valor de x en algún estado pero no depende del valor que pueda asumir la variable i. Ejemplo 4 Comparemos las expresiones

i ≤ 2 * i − 1

y

(∀i : 1 ≤ i ≤ 29 : i ≤ 2 * i − 1)

En la primera la variable i puede tomar cualquier valor dentro del tipo correspondiente, mientras que en la segunda la variable i está restringida por el cuantificador universal a tomar valores dentro del rango de

especificación. En el primer caso la variable i está “libre” mientras que en el segundo caso se dirá que está “ligada”.

Ejercicios varios:

1. P(x,y) : " y es madre de x" x y P(x,y) o y x P(x,y)

2. P(x,y) : " x < y" x y P(x,y) o y x P(x,y)

3. P(x,y) : " y > 2^x" x y P(x,y) o y x P(x,y)

4. P(x,y) : " x + y = 0" x y P(x,y) o y x P(x,y)

5. P(x,y) : " xy = 0" x y P(x,y) o y x P(x,y)

6. Para cada número real x, si x >1, entonces x + 1 > 1

7. Para cada número real x, x^2 - 1 > 0

8. Para algún número real x, x/ x^2 + 1 = 2/5 9. Para algún número real x, 1/x + 1> 1

10. Todos los enteros son números racionales. 11. Todos los ciudadanos respetuosos de la ley pagan sus impuestos. 12. Todos los cursos de matemáticas son divertidos

13. Hay cisnes negros. 14. Existen animales carnívoros. 15. Hay números perfectos. 16. Existen ciudades de clima frío. 17. Todos los nevados son colombianos