Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 09 de Julio 2005

Lógica de Predicados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

22 /42/42

Tabla de Contenido

1. Introducción.

2. Semántica.

3. Sintaxis

4. Ejercicios

5. Bibliografía

33 /42/42

Objetivos

• Presentar los conceptos básicos de la lógica de predicados.

• Presentar una lógica suficiente para construir agentes basados en el conocimiento.

44 /42/42

INTRODUCCION

55 /42/42

Lógica de Predicados• Lógica de primer orden.

• Es una lógica con suficiente expresividad para representar nuestro sentido común.

• La lógica de predicados tiene alcances ontológicos más amplios.

• Considera el mundo constituido por objetos y propiedades que los distingan, a diferencia de la lógica proposicional que sólo permite representar hechos.

66 /42/42

Lógica de Predicados• Está basada en la idea de que las sentencias realmente

expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos.

• Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos.

• Las cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.

• Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.

77 /42/42

Predicado• Un predicado es lo que se afirma del sujeto.

Predicado.• Propiedades• Cualidades• Relaciones• Atributos.• Funciones

Sujeto.• Argumentos• Términos• Objetos, Personas, Conceptos

predicado

sentencia

sujeto objeto

88 /42/42

Proposiciones y Predicados

• Un proposición es una oración completa donde se afirma algo acerca de un sujeto identificado.

• Una sentencia en lógica de predicados es una oración completa donde se afirma algo acerca de un sujeto. El sujeto puede ser una constante o una variable.

sentencia = oración = enunciado

99 /42/42

Ejemplos• Objetos:

– personas, casas, números, la SUNAT, USMP, colores, guerras, siglos, . . . .

• Relaciones:– diferente_que, hermano-de, cerca_de, amigo_de, de_color,

hijo_de_y_padre_de, vive_en, es_el_dueño.

• Propiedades:– Rojo, redondo, pisos,

• Funciones:– el_siguiente, mayor_que, sumatoria,

1010 /42/42

Ejercicio• Uno más dos es igual a tres

– Objetos: uno, dos, tres, uno más dos.

– Relación: igual Función: más

• Los cuadros cercanos al wumpus apestan– Objetos: cuadros, wumpus

– Propiedad: apestoso Relación: cercanía

• Wayra vive en la provincia de condorcanqui y chaccha coca.– Objetos: WAYRA, CONCORCANQUI, COCA

– Relación: vive, chaccha Propiedad: provincia

igual(mas(UNO, DOS),TRES)

cercano(WUMPUS, cuadrado) apestoso(cuadrado)

provincia(CONDORCANQUI), vive(WAYRA,CONDORCANQUI),chaccha(WAYRA, COCA)

1111 /42/42

Aplicaciones• Especificación formal de

programas, la cual permite describir lo que el usuario desea que un programa realice, mediante piezas de código.

• Verificación formal de programas, las piezas de código son acompañadas por pre y post condiciones, las cuales se escriben como fórmulas del Cálculo de Predicados.

1212 /42/42

SEMÁNTICA

1313 /42/42

Semántica• En lógica de proposiciones para definir la semántica nos

apoyamos en los conceptos de interpretación y satisfacción.

• En lógica de predicados se debe de añadir el de asignación, que consiste en «dar valores» a las variables y, en general, a los términos.

EstructuraUna estructura está constituida por un conjunto que se designa como universo U y la interpretación I de las relaciones que actúan sobre los

elementos de dicho universo, su notación es: < U, I>

1414 /42/42

Interpretación• Interpretación Lógica Proposicional.

– Una fórmula tiene una interpretación cuando al asignar valores de verdad a sus átomos se obtiene un valor de verdad (cierto o falso) para la fórmula completa.

• Interpretación Lógica de Predicados.– Una interpretación está asociada a un dominio, que es un

conjunto de valores que las variables pueden tomar.– Para cualquier interpretación de una fórmula sobre un dominio,

la fórmula puede ser evaluada como cierta o falsa.

1515 /42/42

Asignación• Asignación de variable:

Una asignación es una función que va desde el conjunto de las variables a un determinado universo.

A: V → U

1616 /42/42

Satisfacción• Satisfacción en Lógica Proposicional.

– La satisfacción de una sentencia es relativa a la interpretación.

• Satisfacción en Lógica de Predicados.– Las satisfacción es relativa a la asignación de términos.– En lugar de variables proposicionales hay átomos formados con

predicados, y un predicado representa a una relación de la conceptuación.

– Diremos que un átomo se satisface («es verdadero» ) para una determinada interpretación y una determinada asignación si asignando los valores a sus términos e interpretándolo, el resultado es una tupla de la relación representada.

1717 /42/42

SINTAXIS

1818 /42/42

Sintaxis (1)El alfabeto está formado por: • Sentencia atómica:

predicado (término, ....)termino = término

• Sentencias: sentenciasentencias_atómicas.(sentencia conectiva sentencia)

cuantificador variable, ...., sentencia

• Término:función términoconstantevariable

• Símbolos de conectivas:(, , , , y )

• Cuantificador universal: (para todos)

• Cuantificador existencial: (existe al menos uno)

1919 /42/42

Sintaxis• constantes lógicas: Verdadero, Falso

• símbolos de constantes A, D (letras mayúsculas).

• símbolos de variables x, z (x, y, z) • símbolos de predicados y funciones (letras minúsculas).

2020 /42/42

Sintaxis• Oraciones atómicas

– Los términos y signos de predicado se combinan para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos.

– Una oración atómica está formada por un signo de predicado y por una lista de términos entre paréntesis, ejemplo

Hermano (Ricardo, Juan)

Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan))

– Se dice que una oración atómica es verdadera si la relación a la que alude el signo de predicado es válida para los objetos a los que aluden los argumentos.

2121 /42/42

Sintaxis• Oraciones

– Mediante los conectores lógicos se pueden construir oraciones más complicadas, ejemplo:

Hermano (Ricardo, Juan) Hermano (Juan, Ricardo)Mayor (Juan, 30) Menor (Juan, 30)Mayor (Juan, 30) Menor (Juan, 30)Hermano (Robin, Juan)

2222 /42/42

Sintaxis• Términos.

– Es una expresión lógica que se refiere a un objeto.– Es el argumento del predicado.

– Cuando un término no tiene variables se le conoce como término de base.

2323 /42/42

Cuantificadores• Cuantificadores

– Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos completos de objetos en vez de enumerarlos por sus nombres.

– La lógica de primer orden contiene dos cuantificadores estándar, denominados universales y existenciales.

2424 /42/42

Cuantificación universal ()• Cuantificación universal ()

– Facilita la expresión de reglas generales, ejemplo: en vez de decir “Mancha es un gato” y “Mancha es un mamífero” se usa: x Gato (x) Mamífero (x)

– Lo cual equivale a• Gato (Mancha) Mamífero (Mancha) Gato (Rebeca)

Mamífero (Rebeca) Gato (Félix) Mamífero (Félix) Gato (Juan) Mamífero (Juan) …

– Por lo tanto la primera expresión será valida si y sólo si todas estas últimas son también verdaderas, es decir, si P es verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a se le conoce como cuantificador universal.

2525 /42/42

Cuantificación existencial ()• Cuantificación existencial ()

– Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha tiene un hermano que es un gato:

x Hermano (x, Mancha) Gato (x)

– En general, x P es verdadero si P es verdadero para cierto objeto del universo.

x Hermano (x, Mancha) Gato (x) equivale a las oraciones:• (Hermano (Mancha, Mancha) Gato (Mancha)) (Hermano

(Rebeca, Mancha) Gato (Rebeca)) (Hermano (Félix, Mancha) Gato (Félix)) (Hermano (Ricardo, Mancha) Gato (Ricardo)) …

– Así como es el conector natural para es el conector natural para .

2626 /42/42

Cuantificadores anidados• Para toda x y toda y, si x es el padre de y, entonces y es

el hijo de x x,y Padre (x,y) Hijo (y,x)

• Para toda x y toda y, si x es hermano de y, entonces y es hermano de x x,y Hermano (x,y) Hermano (y,x)

• Todas las personas aman a alguien x y Aman (x,y)

• Siempre hay alguien a quien todos aman y x Aman (x,y)

2727 /42/42

Fórmula bien configurada• Una oración como x P (y), en la que y

carece de cuantificador, es incorrecta.

• El término fórmula bien configurada o fbc se emplea para calificar oraciones en las que todas sus variables se han introducido adecuadamente.

∼f (A) f ( P(A)) Q{ f (A), [P (B) ⇒Q (C) ] } A ∨⇒( ∀∼)

fbcfbc

2828 /42/42

Relaciones entre y • Relaciones entre y

– Ambos cuantificadores están estrechamente relacionados entre sí mediante la negación.

– A todos les desagradan las espinacas No hay alguien a quien le gusten las espinacas x LeGustan(x, espinacas) x LeGustan (x,

espinacas)

– A todos les gusta el helado No hay alguien a quien no le guste el helado x LeGusta(x, helado) x LeGusta (x, helado)

2929 /42/42

Relaciones entre y • Relaciones entre y

– Puesto que es una conjunción (Λ) de objetos del universo y es su disyunción (V), es natural que obedezcan las leyes de De Morgan:

x P x P

x P x P

x P x P

x P x P

P Q (P Q)

(P Q) P Q

P Q (P Q)

P Q (P Q)

3030 /42/42

Igualdad

• Igualdad– Para formular aseveraciones en las que los dos

términos se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de igualdad:

• Padre(Juan) = Enrique

– El signo de igualdad sirve para describir las propiedades de una función determinada o se puede emplear en la negación para insistir en que dos términos no son el mismo objeto: x,y Hermano(Mancha, x) Hermano(Mancha, y) (x=y)

3131 /42/42

Ejercicio• Todas ciudades tienen un policía que ha sido mordido por

todos los perros de la Ciudad.( x) { ciudad(x) ( y) {policía (x, y) ( z) ∀ ⇒ ∃ ∧ ∀{ [perro(z) vive_en(x, z)] mordido (z, y)}}}∧ ⇒

• Para cada conjunto x, hay un conjunto y tal que el cardinal de y es mayor que el cardinal de x.( x) {conjunto(x) ( y)( u)( v) ∀ ⇒ ∃ ∃ ∃ [conjunto(y) ∧cardinal(x,u) cardinal(y,v) mayor (u,v)∧ ∧ ]}

• Todos los bloques que están encima de bloques que han sido movidos o que están unidos a bloques que han sido movidos, también han sido movidos.( x)( y) { {bloque(x) bloque (y) ∀ ∀ ∧ ∧

[ encima(x, y) unido(x, y) ] movido(y)} movido(x) }∨ ∧ ⇒

3232 /42/42

Ejercicio

1. Algunos estudiantes llevaron Chino en el verano

2. Todos los estudiantes que llevaron Chino, pasaron

3. Únicamente un estudiante llevó Inglés en el verano

4. La mejor nota en Inglés es siempre mayor que la mejor nota en Chino.

5. Toda persona que compra un político es inteligente.

6. Ninguna persona compra un político caro.

7. Este es un agente quién vende políticos únicamente a personas que no son seguras.

8. Hay un barbero en la ciudad, quien afeita a todos los hombres quienes no se pueden afeitar por si mismos.

3333 /42/42

Solución1. ∃x [estudiante(x) llevo_curso (x, Chino, Verano)]∧

2. ∀x [[estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Chino)] ⇒ paso(x, Chino)]⇒

3. ∃! x estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano) alternativamente ∃x [estudiante(x) Λ llevo_curso(x, Ingles, Verano)] Λ y ∀[estudiante (y) Λ llevo_curso (y, Ingles, Verano) (x = y))]⇒

4. ∀x, y [ [mejor_nota(x, Ingles) mejor_nota (y, Chino)] mayor(x,y) ]∧ ⇒

5. ∀x,y [ [persona(x) politico(y) compra(x, y)] inteligente(x) ] ∧ ∧ ⇒alternativamente x ∀compra(x, Politico) inteligente(x)⇒

6. ¬[ x persona(x) compra (x, Politico) caro(Politico)]∃ ∧ ∧

7. ∃x y [ vende_politicos(x, y) persona_insegura(y) ]∀ ⇒

8. ∃x barbero(x) Λ y [ hombre(y) ¬ afeita_a(y, y) afeita_a(x, y)]∀ ∧ ⇒

3434 /42/42

Bibliografía• AIMA. Capítulo 7, primera edición.• AIMA. Chapter 8, second edition.

3535 /42/42

PREGUNTAS