logica de cuantores 2

8/20/2019 Logica de Cuantores 2

1/9

1

LÓGICA DE PRIMER ORDEN YPERSPECTIVAS ACTUALES EN LA LÓGICASIMBÓLICA

LÓGICA CUANTIFICACIONAL.

Hay argumentos que pueden ser formalizados y resueltos mediante los mecanismos quenos proporciona la lógica de enunciados. sin embargo, existen otros muchosenunciados, que aún siendo elementales no pueden ser resueltos por la lógica deenunciados. Por ejemplo:

- Todo griego es europeo- Todo ateniense es griego

________________________- Todo ateniense es europeo

Este argumento es formalmente válido, sin embargo, las estructuras lógicas quelo justifican no son las que se utilizan en la lógica de enunciados, y esto lo podemosobservar porque si asignamos una letra proposicional a cada uno de los enunciados, laformulación resultante no resultaría convincente:

-p, q r

Por que no hay ninguna ley de la lógica proposicional que permita concluir ' r' partiendo de las premisas 'p' y 'q'. Esto sucede porque la forma lógica de esteargumento no puede ser captada con los medios de la lógica de enunciados. Para captarla forma lógica de estos argumentos es necesario penetrar en la estructura interna de los

predicados. Así, en el caso anterior, la pieza clave de la estructura que justifica suvalidez la forman las palabras "todo" y "algún". Estos términos rebasan el ámbito de lalógica de enunciados.

La Lógica Cuantificacional o Lógica de Predicados, a diferencia de la lógica proposicional, se interna en las proposiciones y las examina por dentro. Esto no quieredecir que la lógica cuantificacional abandone la lógica proposicional. La lógica no

puede considerarse como un conjunto de cálculos desperdigados o un conjunto de

cálculos superpuestos unos encima de otros de forma que unos sean la negación de losdemás. La lógica es más bien una acumulación organizada de cálculos donde cada unode los cuales supone la integración de los anteriores en un sistema más amplio.

El análisis de la lógica cuantificacional descubre en los enunciados dos cosasfundamentales:

i. Expresiones que se refieren a individuosii. Expresiones que refieren a propiedades

iii. Expresiones que atribuyen propiedades a individuos.[Cuantificadores]


2/9

2

Cuantificador universal

Se presenta mediante un condicional, ya que todo enunciado universal expresauna conexión entre dos predicados, de tal forma, que todos los sujetos del primero sonsujetos del segundo. Así, si decimos "Todas las personas normales son aburridas" lo

representaríamos del modo siguiente:x (Px Qx)Donde:„P‟ representa la propiedad de „ser una persona normal‟ „R‟ representa la propiedad de „ser aburrida‟ „x‟ es una variable que representa a los sujetos sobre los que se predica la

propiedad.La expresión anterior se leería: Para todo x, si x es una persona normal,

entonces x es una persona aburrida.

Cuantificador existencial

Está ligado a la conjunción en un sentido y a la disyunción en otro. El particularizador se expresa mediante una conjunción porque lo que afirmamos medianteél es que hay ciertos individuos que a la posesión de una cierta propiedad unen la

posesión de otra. lo que se expresa es la coincidencia de predicados . Así, si decimos :"Algunos vampiros son hemofílicos" lo formalizamos del siguiente modo:

x (Px Qx)

Mediante esta formalización, lo que se quiere decir es que si, el universo de los

vampiros está formado por cuatro elementos: {a, b, c, d }, entonces, 'a' es un vampiro yes hemofílico, o bien lo es 'b', o 'c' o lo es 'd'; o lo que es lo mismo, estamos presentandola siguiente disyunción (Pa Qa) (Pb Qb) (Pc Qc) (Pd Qd)

El cuantificador existencial recibe su nombre porque al usarlo estamosafirmando la existencia de algo. Nos comprometemos a admitir que en el mundo se dandeterminadas entidades.(Vampiros ¡ uhh!).

CUANTIFICADORES NUMÉRICOS

Mediante la relación de identidad podemos ampliar el radio expresivo del

lenguaje simbólico de la lógica. Si mediante el cuantificador universal podemos afirmarque todos los individuos de un determinado conjunto poseen una determinada

propiedad, y mediante el cuantificador existencial afirmamos que sólo un determinadonúmero de individuos poseen un propiedad, mediante la relación de igualdad y con laayuda de los cuantificadores podemos expresar formalmente enunciados como:

a) Hay al menos un individuo que pose la propiedadP: x Px

b) Hay al menos dos individuos que poseen lapropiedad P:

xy (Px

Py)

(x

y)


3/9

3

c) Hay a lo sumo un individuo que posee la propiedadP:

xy (Px Py) (x = y) d) Hay a lo sumo dos individuos que poseen la

propiedad P

xyz (Px Py Pz) [ (x = y) (y = z) (x = z)] e) Hay exactamente un individuo que tiene la

propiedad P

(xPx) (xy) [(Px Py) (x = y)

LÓGICA DE RELACIONES

Tal y como señala De Morgan la lógica tradicional es incapaz de resolver argumentoscomo el siguiente:

"Todo caballo es animal. Por lo tanto, toda cabeza de caballo es la cabeza de

un animal" . Realmente, si intentamos resolver este razonamiento mediante la lógicacuantificacional veremos que esto no es posible. La clave está en que tanto la expresión"cabeza de caballo" como la expresión "cabeza de animal" no son predicadosabsolutos, sino dos combinaciones de predicados relativos (El mismo en cada una deellas) con un predicado absoluto (Distinto en cada una).

La lógica simbólica ha hecho dos interpretaciones de la lógica de relaciones, así,ante la oración: "Pepe es menchevique" podemos interpretarla de dos modos distintos: o

bien como un enunciado que expresa que un cierto individuo posee una cierta propiedad, o bien, como la aserción de que el individuo pertenece a una clase dada.

Según la interpretación que se de a la frase, esta tomará la forma lógica de ' Pa ' o „a

A‟.

Adoptando los términos clásicos de intensión e intensión cabría decir que cadaclase es la extensión de un predicado, en la medida en que reúne a todos los individuosde los que ese predicado es verdadero, o bien, que los predicados son clases vistas en suintensión, en la medida en que sabiendo lo que significa un predicado, sabemos lo quesignifica pertenecer a la clase correspondiente.

PERSPECTIVAS ACTUALES EN LA LÓGICA SIMBÓLICA

Los intentos por adaptar el aparato estándar de los sistemas formales a losrequisitos propios de sistemas de argumentación informal han provocado diversasrespuestas:

a) Excluir del campo de la lógica todos os argumentos informales a los queno se les pueda aplicar el aparto estándar de la lógica clásica.

b) Admitir los argumentos informales y el sistema formal de la lógicaclásica, pero reajustando estos argumentos para que puedan encajar enlos sistemas formales estándar

c) Modificar el sistema formal de manera que pueda tratar los argumentos

informales. Para ello es necesario añadir operadores, axiomas e incluir eltratamiento de oraciones del tipo interrogativas o imperativas


4/9

4

Un sistema lógico es divergente con respecto a la lógica clásica si incorpora elvocabulario de esta pero dispone de un conjunto diferente de teoremas o de inferenciasválidas.

¿Qué debemos entender por lógica clásica? Por lógica clásica debemos entender

la forma que adopta la lógica contemporánea a partir de su construcción algebraica porBoole, Peirce y Schröder en el siglo XIX y que axiomatizó Frege en 1879; la lógica quese encuentra en la obra de Russell y Whitehead los principia Mathematica (1910-13).Cuando se hable entonces de lógicas no clásicas o de lógica divergentes hay que teneren cuenta que se hace referencia a lógicas que difieren de esta otra lógica.

Si atendemos a las características de la lógica clásica, podemos decir que lalógica clásica es:

i. Apofántica, esto es, que todos sus enunciados están provistos de un valor deverdad, y dejan fuera por lo tanto el tratamiento de todos aquellos enunciados delos cuales no pueda decirse con sentido si son verdaderos o falsos.

ii. Bivalente porque no admite más que dos valores de verdad posibles para loenunciados.

iii. Asertórica. Dado que no admite modalidades o matizaciones sobre los valoresde verdad de los enunciados; es decir, los enunciados son verdaderos o falsos sincuestionarse nada más sobre su valor de verdad.

iv. Extensional . Las conexiones entre los enunciados quedan definidas comofunciones de verdad. Con esto se quiere decir que los valores de verdad de unenunciado molecular están en función de los enunciados atómicos que locomponen. La lógica clásica es extensional en la medida en que sólo tiene encuenta la extensión de los enunciados, esto es, su valor de verdad.

Susan Haack en su obra Filosofía de las lógicas (1982) hace la siguienteclasificación de la lógica formal:

Lógica “tradicional” Silogística aristotélicaLógica “clásica” Cálculo bivalente de oraciones

Cálculo de predicadosLógicas “extendidas” Lógicas modales

Lógicas temporalesLógicas deónticasLógicas epistémicas

Lógicas imperativasLógicas de la preferenciaLógicas erotéticas (interrogativas)

Lógicas “divergentes” Lógicas plurivalentesLógicas intuicionistasLógicas cuánticasLógicas libres

Lógicas “inductivas”


5/9

5

LÓGICA PLURIVALENTE.

Cualquiera que haya padecido la visualización de la película Terminator ocualquiera de sus infumables secuelas, se habrá enfrentado a la terrible tragedia dediscutir con los amigos sobre qué demonios pasa en el futuro con el dichoso niño y su

madre. Esta trascendental discusión probablemente habrá concluido con algúncomentario dirigido al más freaky del tipo “¡tú estás flipao!”. Para ayudar a aquellas

personas que no dejan de preguntarse acerca de si el futuro está determinado por losacontecimientos que ocurren en el presente, vamos a ver cómo se construye una

paradoja y cómo la lógica puede ayudarnos a aclarar nuestros sesudos razonamientos.Para comeduras de coco sobre el futuro yo prefiero El planeta de los simios.

Veamos cómo podemos construir una paradoja a partir del siguiente enunciado:«Mañana los alumnos/as de bachillerato prepararán su examen de lógica». Pongámonosen la situación menos probable de que el enunciado es verdadero hoy (en un tiempo

presente). De ser esto así, el futuro estaría predeterminado: nada podría impedir que los

alumnos/as estudiaran su examen de lógica. ¡Já! Permitidme que me ría. Pensemos en laopción más probable: el enunciado es falso y por lo tanto no habrá posibilidad alguna deque estudien y preparen su examen. De nuevo el futuro se nos impone.

Las situaciones que se nos presentan serían las siguientes:

a) El enunciado es una verdad necesaria lo que la convierte en una tautología b) El enunciado es falso y nos encontraríamos ante una imposibilidadc) El enunciado es una verdad contingente es decir, ni necesario ni imposible.

Como vemos la paradoja surge si aceptamos que todo enunciado acerca deeventos futuros contingentes es, en el momento de ser proferido, o verdadero o falso.Para escapar de la paradoja que presentan enunciados como este o como este otro«dentro de cien años las máquinas habrán esclavizado al hombre» tenemos que aceptarque en el momento de ser proferidos no son ni verdaderos ni falsos y que por lo tanto,tendrán que tener un tercer valor de verdad.

Aunque fue Aristóteles ( De interpretatione, 9, 18a28-19b4) el primer pensadoren denunciar las dificultades que entrañan la afirmación de un enunciado como«mañana habrá una batalla naval», sería el lógico polaco Lukasiewicz el primero encuestionar el llamado «Principio de bivalencia»

La lógica trivalente de Lukasiewicz puede evitar lo que Reichenbach llamó“anomalías causales”, esto es, enunciados acerca de fenómenos de la mecánica cuánticaque entran en contradicción con las leyes de la física clásica para objetosmacroscópicos. En este tipo de lógica los enunciados podían tener tres valores de verdadv (verdad), f (falsedad) e i (indeterminado) Si hacemos una tabla de verdad podríamosver que:


6/9

6

p q pq pq p→q v v v v v

v i i v i

v f f v f

i v i v v

i i i i vi f f i i

f v f v v

f i f i v

f f f f v

LÓGICA MODAL

La lógica modal aparece por primera vez en la Lógica de Aristóteles, se desarrolla en laEdad Media y es a principios del siglo XX donde encontramos con la formalización dela lógica modal contemporánea. La lógica modal aparece como una reacción frente a lalógica clásica y en concreto ante la insuficiencia que parece mostrar la constante lógica„→‟. Dentro de los esquemas de la lógica clásica de un argumento como el siguiente“no es cierto que si Dios existe entonces el juicio final será inminente” se seguiría que

efectivamente Dios existe. Lo que parece extraño en este razonamiento es que existauna relación de consecuencia lógica entre la premisa y la conclusión.

En 1918 C. I. Lewis publica A Survey of Symbolic Logic donde plantea unainterpretación novedosa del condicional para recoger el significado de “si...entonces” en

los casos del lenguaje natural. Este nuevo condicional que llamó „Implicación estricta‟requiere una relación más fuerte entre el antecedente del condicional y el consecuente.El condicional estricto se construye a partir del condicional clásico más el operadormodal „‟ que se lee „necesariamente‟. (p→q) se leería „necesariamente p entonces

q‟.

La lógica modal añade a la lógica clásica los operadores uniposicionales “”

que se lee necesariamente, “” que se lee posiblemente y el operador biposicional “

Los operadores uniposicionales son interdefinibles, esto quiere decir que se puede tomar a uno de ellos como primitivo y definir el otro a partir de este. Porejemplo:

A=df. ¬ ¬AA=df. ¬ ¬A

A su vez el operador biposicional se define como:

A B= df.(A→B)

Algunas reglas de la lógica modal proposicional serían:1) p→ p


7/9

7

2) p→ p 3) ( p→q) →( p→q)4) ¬ (pq)(¬ p ¬q)

La lógica modal fue objeto de duras críticas: por un lado, no existe una

axiomatización de la lógica modal yal y como existe en la lógica clásica, sino que lasnociones modales dieron lugar a distintos sistemas axiomáticos; Quine, a su vez, criticóla noción de implicación propia de la lógica modal; y por último, el desarrollo de lalógica modal se realizó sin un análisis semántico. Sería el trabajo de Saul Kripke a partirde los años sesenta del pasado siglo quien aportó las herramientas necesarias para eldesarrollo de la lógica modal: la semántica de mundos posibles. Según el sistema demundo posibles, decir que la oración “posiblemente A” (A) es verdadera, es decir quees verdadera en algún mundo posible; y a su vez, decir que A es verdadera es decirque es verdadera en todo mundo posible.

LÓGICA DIFUSA

Una gran parte del discurso informal se nos presenta en gran medida como undiscurso vago, poco definido si lo comparamos con la exactitud del lenguaje formal, ysurge por ello la necesidad de si la lógica debería de tener en cuenta este hecho, y de serasí cómo. En el lenguaje natural existen numerosas ocasiones en las que las oraciones senos presentan vagamente definidas, nos dan un discurso difuso que muchas vecesnecesitará del contexto para que puedan ser significativas, sin embargo, estas oracionesdesempeñan un papel importante en la argumentación.

Estos enunciados difusos presentan ciertas dificultades para la aplicación delaparato lógico estándar y esta situación nos lleva a idear algún sistema lógico formalalternativo que se aplique a estos enunciados.

Este tipo de lógica llamada Lógica difusa fue propuesta por Zadeh sobre la basede una teoría no estándar de conjuntos. Mientras que en la teoría clásica de conjuntos unobjeto pertenece o no pertenece a un conjunto dado, en la teoría difusa de conjuntos la

pertenencia es una cuestión de grados. El grado de pertenencia a un conjunto vago se presenta por medio de un número real comprendido entre 0 y 1, donde 0 denota nula pertenencia y 1 pertenencia completa.

Ahora bien, la lógica difusa de conjuntos puede utilizarse para caracterizarsemánticamente a la lógica no estándar o lógica divergente . Así, como valores de letrasoracionales tendremos, en lugar de los valores clásicos, un número indeterminado -en

principio- de valores del intervalo (0 1).

Aplicaciones de la lógica difusa

Un tipo de lógica que reconoce más que simples valores verdaderos y falsos. Con lógicadifusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad o falsedad.Por ejemplo, la sentencia "hoy es un día soleado", puede ser 100% verdad si no haynubes, 80% verdad si hay pocas nubes, 50% verdad si existe neblina y 0% si llueve todo

el día.


8/9

8

La Lógica Difusa ha sido probada para ser particularmente útil en sistemas expertos yotras aplicaciones de inteligencia artificial. Es también utilizada en algunos correctoresde voz para sugerir una lista de probables palabras a reemplazar en una mal dicha. LaLógica Difusa, que hoy en día se encuentra en constante evolución, nació en los años 60como la lógica del razonamiento aproximado, y en ese sentido podía considerarse una

extensión de la Lógica Multivaluada. La Lógica Difusa actualmente está relacionada yfundamentada en la teoría de los Conjuntos Difusos. Según esta teoría, el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto va a venir determinado por una función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el intervalo[0,1].

La Lógica Difusa (llamada también Lógica Borrosa por otros autores) o FuzzyLogic es básicamente una lógica con múltiples valores, que permite definir valores enlas áreas oscuras entre las evaluaciones convencionales de la lógica precisa: Si / No,Cierto / Falso, Blanco / Negro, etc. Se considera un súper conjunto de la LógicaBooleana. Con la Lógica Difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados

de certeza o falsedad. La lógica tradicional de las computadoras opera con ecuacionesmuy precisas y dos respuestas: Si o no, uno o cero. Ahora, para aplicaciones decomputadores muy mal definidas o sistemas vagos se emplea la Lógica Difusa.

Por medio de la Lógica Difusa pueden formularse matemáticamente nocionescomo un poco calientes o muy frías, para que sean procesadas por computadoras ycuantificar expresiones humanas vagas, tales como "Muy alto" o "luz brillante". De esaforma, es un intento de aplicar la forma de pensar humana a la programación de loscomputadores. Permite también cuantificar aquellas descripciones imprecisas que seusan en el lenguaje y las transiciones graduales en electrodomésticos como ir de aguasucia a agua limpia en una lavadora, lo que permite ajustar los ciclos de lavado a travésde sensores. La habilidad de la Lógica Difusa para procesar valores parciales de verdadha sido de gran ayuda para la ingeniería. En general, se ha aplicado a:

Sistemas expertos.Verificadores de ortografía, los cuales sugieren una lista de palabras probables parareemplazar una palabra mal escrita.Control de sistemas de trenes subterráneos.

Circuitos lógicos

Los operadores lógicos pueden ser sustituidos por componentes de circuitosque realicen operaciones análogas a estos. A este tipo de circuitos se les llama Circuitoslógicos. Los componentes de estos circuitos lógicos que realizan las operacionescorrespondientes a la disyunción, conjunción y negación se les llaman componentesbásicos. El resultado de combinar dos o más componentes básicos da lugar a loscomponentes combinados. Un componente combinado es, por ejemplo un BUFFER,cuya misión es regular la intensidad de la señal adaptándola.Todos los componentes de los circuitos lógicos deben emitir una señal de salida quedependerá de la señal de entrada que reciban. La entrada de un circuito lógico es lacompuerta, y se construye mediante transistores, diodos etc., conectados de manera que,en función de los valores que reciban y de cómo estén combinados se obtendrá unadeterminada respuesta de salida.


9/9

9

La siguiente tabla muestran los componentes de los circuitos lógicos:

CONECTOR/COMPUERTA,ENTRADA(S), SALIDA CONNECTOR/GATE,INPUT(S), OUTPUT

NOMBRE NAME

TABLA DE VERDAD TRUTH TABLE

AMORTIGUADOR BUFFER

A Z 0 0 1 1

Y AND

A B Z 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

O (O, en sentido inclusivo) OR

A B Z 0 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1

OE (O, en sentido exclusivo) XOR (EXCLUSIVE-OR)

A B Z 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

N, NEG o INVERSOR NOT or INVERTER

A Z 0 1 1 0

NY (N Y) NAND (NOT AND)

A B Z 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

NO (N O) NOR (NOT OR)

A B Z 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0

NOE (N OE)

NXOR (NOT EXCLUSIVE-OR)

A B Z 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

De la asociación de componentes resultan elementos más complejos que ya no se llaman

"componentes",

por ejemplo: sumadores (adders), decodificadores (decoders), multiplexores (multiplexers),

memorias

(memories) y microprocesadores (microprocessors). Para representar un circuito lógico se

puede emplear símbolos para componentes (básicos y combinados) y elementos complejos,

pero siempre esa representación se puede reducir a otra que sólo incluya los componentes

básicos.

logica de cuantores 2

Documents