localización de puntos en una subdivisión del plano

Matemática Aplicada I

Clara I. Grimahttp://www.personal.us.es/grima

Geometría Computacional

Localización

Planteamiento del problema

Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda




Localización


Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

Elija su pais de destino:




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Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

Atlas cerebrales




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Casos simples

Método de la banda

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Método de la banda

PSLG




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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera:

Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda.

El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución.

El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente.

Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada.

Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera:

Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda.

El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución.

El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente.

Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada.

(31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650) (31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650)

René DescarteRené Descarte

Discurso del métodoDiscurso del método




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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

PSLG




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Método de la banda

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Casos simples

Método de la banda




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Método de la banda

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Casos simples

Método de la banda

Teorema 2.1: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar.

Teorema 2.1: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar.

Corolario 2.1: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n).

Corolario 2.1: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n).

¿Es óptimo?¿Es óptimo?




Localización


Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima?


preprocesamiento

procesmiento

K veces

Algoritmo 1 0 O(n) O(kn)

Algoritmo 2 O(n log n) O(log n) O(klog n + nlog n)




Localización


Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

1 2 5 6 8 9 10 11 13

Insertar un número en una lista ordenada

(Búsqueda binaria)

44

1 2 5 6 8 9 10 11 13

1 2 5 6

1 2

¿4 < 5?NOSI

¿4 < 2?NOSI

NOSI¿4 < 8?

4 está inmediatamente a la derecha de 2




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Método de la banda

Localización


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Método de la banda

Ordenar n números O(nlog n)

Insertar un número en una lista

ordenada (Búsqueda binaria)

O(log n)




Localización


Casos simples

Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda



preprocesamiento

procesmiento

K veces

Algoritmo 1 0 O(n) O(kn)

Algoritmo 2 O(n log n) O(log n) O(klog n + nlog n)




Localización


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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda




Localización


Casos simples

Método de la banda

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Método de la banda

1.- Localizar un punto en el interior del polígono 1.- Localizar un punto en el interior del polígono




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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

1.- Localizar un punto en el interior del polígono

2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono.

3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.







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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda







O(n log n)




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Método de la banda

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Método de la banda

4.- Localizamos en qué región angular estamos.




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Método de la banda

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Método de la banda


5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono.




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Método de la banda

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Método de la banda



O(log n)




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Método de la banda

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Método de la banda



O(log n)







O(n log n)

Teorema 2.2: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n log n) de preprocesamiento.




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Método de la banda




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Método de la banda

Decimos que p está en el núcleo de P (p ker P), si para todo q P se verifica que el segmento pq está incluido en el interior de P.

Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n)



O(log n)







O(n log n)

núcleo




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Método de la banda

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Método de la banda

Teorema: La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo O(n log n)

Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n)




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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda4.- Localizamos en qué región angular estamos.


O(log n)







O(n log n)

núcleo




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Método de la banda

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Casos simples

Método de la banda




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Método de la banda

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Método de la banda

Problema de la Galería de Arte

En 1973, Víctor Klee planteó el problema de determinar el mínimo número de guardias suficientes para cubrir el interior de una galería de arte con un número n de paredes.

En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.




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Método de la banda

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Método de la banda

Teorema: n/3 guardianes son siempre suficientes y ocasionalmente necesarios para vigilar un polígono de n lados.




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Método de la banda

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Método de la banda

http://www.ual.es/~jcaceres/ArtGallery/portada.htm

http://www.cs.mcgill.ca/~thierry/artgallery.html




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Método de la banda

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Método de la banda

PSLG




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Método de la banda

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Método de la banda




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Método de la banda

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Casos simples

Método de la banda

• Rectas horizontales por los puntos.

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Localizar la banda en la que está el punto.

• Localizar los dos segmentos entre los que se

encuentra el punto.

• Ordenar los segmentos en cada banda. Pre

pro

ces

amie

nto

El método de las bandas




Localización


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Método de la banda

Localización


Casos simples

Método de la banda

• Rectas horizontales por los puntos.

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Localizar la banda en la que está el punto.

• Localizar los dos segmentos entre los que

se encuentra el punto.

• Ordenar los segmentos en cada banda. Pre

pro

ces

amie

nto

n2log (n)

log (n)

El método de las bandas




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Método de la banda

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Método de la banda

Tiempo de ejecución del método de las bandas: O(logn)

Carga de datos:O(n2) (normalmente, O(n3/2)

Mejora en la carga de datos:

Mapas trapezoidales

Método de la cadena




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Método de la banda

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Método de la banda

Bibliografía

Computational Geometry: an introduction.F. P. Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag, 1985.

Computational Geometry in C.J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.




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EJERCICIOS




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Método de la banda

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Casos simples

Método de la banda

Ejercicios1.Dar un ejemplo de un pslg en el que el método de la banda requiera un

preprocesamiento O(n2). 2.Dar un ejemplo en el que el método de la banda requiera un

preprocesamiento O(n). 3.Diseñar un algoritmo que resuelva el siguiente problema:

Dada una colección P de n puntos en el plano, encontrar un valor l>0 tal que si transformamos cada punto (x,y) de P en el (x+ly,y), el orden de los puntos de P no cambia en la dirección del eje de las X.

4.Un corte en un rectángulo es en guillotina si es paralelo a uno de los lados y es maximal en el subrectángulo en el que es dado. Esto es: el primer corte ha de ir de lado a lado y divide el rectángulo en dos subrectángulos, el siguiente corte también ha de ir de lado a lado en alguno de los subrectángulos obtenidos en el paso anterior y así sucesivamente.

• Diseñar un algoritmo que determine si un rectángulo está dividido por cortes en guillotina.

• Diseñar un algoritmo que determine, dado un rectángulo dividido por cortes en guillotina, el orden en el que se han producido dichos cortes.

• Diseñar un algoritmo que localice un punto en un rectángulo dividido por cortes en guillotina.




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Casos simples

Método de la banda

EJERCICIO 1Dar un ejemplo de un pslg en el que el método de la banda requiera un preprocesamiento O(n2).

EJERCICIO 3Diseñar un algoritmo que resuelva el siguiente problema:Dada una colección P de n puntos en el plano, encontrar un valor l>0 tal que si transformamos cada punto (x,y) de P en el (x+ly,y), el orden de los puntos de P no cambia en la dirección del eje de las X.

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