VACIADO DE TANQUES

Problemas físicos dependen de

geometría

salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo

La forma del recipiente

determina el comportamiento físico del líquido

Recipiente lleno de agua hasta cierta altura “h”

fluye a través de un orificio de

sección transversal “a”, el cual está en la base del tanque.

establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero

𝑣=𝑐√2 h𝑔

gravedad

V(t)h(t)

C coef. de descarga

Ley de Torricelli (variación del volumen con respecto al tiempo)

𝑑𝑉𝑑 𝑡

=−𝑎𝑣• Sustituyendo la velocidad

𝑑𝑉𝑑 𝑡

=−𝑎𝑐√2 h𝑔• Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,

aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

𝑉=∫0

h

𝐴 (h ) h𝑑

• Mediante el teorema fundamental del cálculo

𝑑𝑉𝑑 𝑡

=𝐴 (h ) h𝑑𝑑𝑡

• Comparando las ecuaciones anteriores

𝐴 (h ) h𝑑𝑑𝑡

=−𝑎𝑐√2 h𝑔

PROBLEMA

• El diámetro del orificio inferior es de 1 pulgada

Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque?

Sustituyendo a, c, g, y A(h) en la ecuación:

Ecuación diferencial asociada al problema

• Determinamos k, sustituyendo las condiciones iniciales.

t=0 y h=20ft

Tanques agitados

Agua a un tanque agitado

Ecuación diferencial de primer orden

Balance de masa, energía o

momentum

Flujos varían según la entrada

y salida

Balance de masa según la

variación de flujo

Flujo que ingresa Flujo que sale

Cantidad interior

generada

Cantidad interior

consumida

Acumulación de masa en el

tanque

𝑑 (𝜌𝑉 )𝑑 𝑡

=𝐹𝑖−𝐹 𝑠+𝐹𝑔−𝐹 𝑐

Supóngase que se tiene un tanque agitado, al cual entra agua a 0,2m3/s, y sale con una velocidad de 0,15m3/s. determine la altura del tanque después de transcurrir 30 segundos, si la altura inicial del tanque cilíndrico era de 1,8m, con un área de sección transversal de 1,5m2.

Balance de masas:

Sustituyendo cantidades:

• Condicion Inicial:

Bibliografía:

• ZILL D., “Ecuaciones Diferenciales”