LLENADO DE HUECOS

Funciones de Base Radial

I Spline de Placa Delgada (TPSj J MlLltinuidTica Inversa J 11- N MulliclJaacutedrica

Ga7Lssmiddotiana

flelas [ri]

Funciones de Base Radial de Soporte Compacto (RBF-SC)

Las funciones de base radial se pueden clasificar de acuerdo con su soporte en funciones de soporte compacto y funciones de soporte global

Una funcioacuten baacutesica 1gt es de soporte compacto si existe un intervalo cerrado [a b] tal que p(x ) = O Ix tt [a b] es decir 1gt se anula por fuera de un intervalo cerrado Si el interpolante S se construye usando funciones de base radial de soporte compacto la matriz definida en la ecuacioacuten 44 es una matriz dispersa (con gran cantidad de entradas nulas) pues to que 1gt se anula en una gran cantidad de valores en otras palabras una gran cantidad de ceptros dejan de tener influencia sobre los otros A la vez desde el punto de vista computacional resolver un sistema con una matriz dispersa es maacutes eficiente que con una matriz densa

Por otra parte las funciones que no son de soporte compacto se llaman de soporte global por ejemplo las funciones de la Tabla 41 son de soporte global

Una definicioacuten tiacutepica de una RBF-SC tiene la forma

si O ~1gt(r) ~ b1 - (ra))np(ra) r lt 1 (46)

de lo contrario

donde P(r) es una funcioacuten polinoacutemica r es el radio de soporte yo se conoce como paraacutemetro de escalamiento

Obseacutervese que este tipo de funciones se anulan para valores de r fuera del intervalo [01 ) lo que hace particularmente interesante la interpolacioacuten con estas funciones pues al escalar r adecuadamente la interpolacioacuten toma la forma local Esto es se produce un ajuste que es localmente detallado

Wendland [112] construyoacute distintas funciones de base radial de soporte compacto de tipo polinoacutemico de miacutenimo grado para un orden de suavidad dado algunas de estas funciones se presentan en la Tabla 42 El radio de soporte de cada una de estas funciones estaacute normashylizado en 1 pero puede ser faacutecilmente escalado a un radio de soporte r tomando 1gt( II ~II ) Se debe tener cuidado al seleccionar este radio de soporte pues cuando eacuteste se elige demasiado pequentildeo la vecindad local a una semilla o centro no apareceraacute capturada correctamente (ver Figura 42( a)) Sin embargo la seleccioacuten de un radio muy grande decrementa la efectividad del algoritmo al generar muchos datos diferentes de cero en la matriz de interpolacioacuten (ver Figura 42(b))

70

bull bull

LLENADO DE HUECOS

F uru iexclOacuteII de SOjJor f ( offlpaclo Orden di S IIuTaud (l middotmiddot 11 x IJ) ~ (0

(l middot 1I J IUIUacute 11 r 11 +1) el (1 11 T II t (3S 11 J lI shy t ] il 11 J 11 1 1) el

(1- lI middotr 1 ) ~( ~2 11 1 Ir -121 11 middotr II - ~K 11 T 11 +1) eh

Tabla 1 FUllciones dlt base radial ce soporte cOlllpacto de tipo polinoacutemico

(1 ) Radi() de sU]J Oltc g lallltk

Figura 41 Problemas COIl el talnantildeo del radio de soporte

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Llenado de Huecos

43 Meacutetodo de Llenado de H lares Empleando FUncion

La revisioacuten de la literatura sobre la problemaacutetici revda nurnero~os inLInh uullU l)iexclhl~ middotmiddot l-~IooIoY~

los puntos en tI de ruido y el 1

buena param complejas En requiere de un~ en la topologiacuteaiexcl

Para el llenad a las teacutecnicas l de rango [33 1 superficies de globalmente s seleccioacuten de u

Carr et al [22] usando funcio eld uso ele un proceso se util una modelaci se utiliza un p treados no un durante la ev tacioacuten fUTlciuumlI a la superficie La principal ( d llenaelo ele

Reuter [iacuteS] pr eacutesta las supe ellas y luego

I garantiza un ~ continuidad ~

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

Jlteacute Campada ()1Iuumln de Swrndld ~ 11 )2 ((1

1 x 11 + 1) eL ~ 18 11 J 1I f3) e Ir ) 11 1 11- +8 11 J II + 1) e

eacuteHlial dI soporte (iexclill enado ele tipo polinoacutemico

43 Meacutetodo de Llenado de Huecos en Mallas Triangushylares Empleando Funciones de Base Radial

La revisioacuten de la literatura sobre la problemaacutetica de la integracioacuten de imaacutegenes de rango revela numerosos intentos por resolver dicho problema Encontrar la conexioacuten correcta entre los puntos en tres dimensiones es generalmente un problema muy complejo La presencia de ruido y el muestreo no uniforme en los datos constituyen tambieacuten un problema difiacutecil de resolver Existen ademaacutes enfoques parameacutetricos usando meacutetodos variacionales Gasados en Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) I para los cuales es necesario disponer de una buena parametrizacioacuten Tal parametrizacioacuten es casi imposible de obtener para topologiacuteas complejas En general la forma parameacutetrica carece de informacioacuten sobre la profundidad y requiere de una parametrizacioacuten global que hace difiacutecil trabajar con deformaciones Y cambios en la topologiacutea de la superficie [ll]

Para el llenado de huecos se utilizan las RBF ya que presentan ventajas comparativas frente a las teacutecnicas tiacutepicamente empleadas para la correccioacuten de anomaliacuteas topoloacutegicas en imaacutegenes de rango [33 106] Con las RBF se obtiene una superficie impliacutecita que permite aproximar superficies de objetos con pocos datos La superficie reconstruida es localmente detallada y

globalmente suave pues el uso de RUF permite altos oacuterdenes de suavidad justificado en la seleccioacuten de una adecuada familia de RBF

Carr et al [22] proponen un meacutetodo para reconstruir superficies a partir de nubes de puntos usando funciones de base radial poliarmoacutenicas el proceso de integracioacuten se logra por medio del uso de una funcioacuten impliacutecita oGtenida a partir de un subconjunto de puntos En este proceso se utilizan meacutetodos raacutepidos para el ajuste y la evaluacioacuten de la RBF lo que permite una modelacioacuten del conjunto completo de puntos Para la reduccioacuten del nuacutemero de centros se utiliza un proceso aleatorio adecuado para reconstruir superficies a partir de datos mult~sshytreados no uniformemente Las zonas con ausencia de informacioacuten son llenadas suavemente durante la evaluacioacuten del interpolante mediante el cambio de la funcioacuten base La represenshytacioacuten funcional genera un modelo soacutelido lo que significa que los gradientes y las normales a la superficie se pueden determinar analiacuteticamente esto ayuda a generar mallas uniformes La principal desventaja de este meacutetodo es la utilizacioacuten de todos los centros resultantes para el llenado de huecos esto hace costoso el proceso computacional

Reuter [~~] presenta una teacutecnica de modelamiento de superficies 3-D basada en los puntos en eacutesta las superficies son modeladas especificando un conjunto de puntos no ordenados sobre ellas y luego se calcula una representacioacuten de la nube de puntos usando RBF el algoritmo garantiza un grado de continuidad especificado como un paraacutemetro del meacutetodo El grado de continuidad deseado se logra adicionando al interpolante un polinomio definido para cada

72

LLENADO DE HUECOS

grado de suavidad [112] ademaacutes la superficie es renderizada directamente con base en el conjunto ele puntos

Con el objetivo ele corregir las anomaliacuteas topoloacutegicas relacionaelas con la ausencia ele inforshymacioacuten en mallas triangulares es necesario generar nuevos puntos en regiones que no han sido sensadas correctamente debido en su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

El meacutetodo propuesto en este capiacutetulo para el llenado de huecos en mallas triangulares se presenta en el Algoritmo 41 el cual consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se detectan los huecos analizando la malla triangular mediante la determinacioacuten de un camino cerrado de aristas liacutemite Posteriormente se analizan los huecos para determinar cuales deben ser llenados y cuales hacen parte ele la topologiacutea del objeto El anaacutelisis ele los huecos consiste en estudiar la torsioacuten de la curva del contorno de cada uno de eacutestos Este anaacutelisis se basa en la idea que cada hueco que pertenece a la superficie es suave y regular pero los huecos generados por la oclusioacuten tienelen a presentar graneles irregularielaeles reflejadas en altas variaciones ele la torsioacuten del contorno El proceso de llenado de huecos es realizado mediante un procedimiento iterativo para la determinacioacuten de los nuevos puntos estos puntos son generados mediante interpoladores locales de funciones de base radial construidos a partir de un vecindario seleccionado alrededor del hueco hasta alcanzar un umbral de ajuste establecido

Correccioacuten del hueco() inicio

1 Id(lltiflcacioacuten de] hueco 2 Anuacutelisis del hucco J Llellado del hueco

fin Algori t mo 41 lvIptodo propuesto para la correcioacuten de hufcOS en mallas

triangulares

En los paacuterrafos siguientes se explicaraacute en detalle cada una de las etapas que componen el meacutetodo propuesto

431 Identificacioacuten del hueco

En esta etapa es posible encontrar dos tipos de huecos presentes en la topologiacutea de un objeto aquellos que pertenecen realmente a la superficie y aquellos que fueron causados por el proceso de adquisicioacuten debido a la oclusioacuten o por un mal proceso de escaneo (ver Figura 43)

Inicialmente el algoritmo toma un triaacutengulo semilla ubicado en cualquier parte de la malla

73

Llenado de Huecos

y busca en ail ai 2 aiacute3

otro triaacutengul arista liacutemite l buacutesqueda re il =- L i liacutemites

Esta buacutesque el triaacutengulo 1 esta buacutesqued los triaacutengulo

Para el proc es eliminado camino que e de huecos

En esta etap ficacioacuten En 1 detectados m anomaliacuteas pre los huecos cor algoritmo det ~

LLENADO DE HUECOS

superficie es renderizada directamente con base en el

Llenado de Huecos

diacuteas topoloacutegicas relacionadas con la ausencia de iruumlorshyesario generar nuevos puntos en regiones que no han m su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

LO para el llenado de huecos en mallas triangulares se consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se Ha triangular mediante la determinacioacuten de un camino ~te se analizan los hllPCOS para determinar cuales deben

naacutelisis de los huecos consiste s Este anaacutelisis se basa en la pero los huecos generados en altas variaciones de la ediante un procedimiento

son generados mediante partir de un vecindario e establecido

s que componen el

iacutea de un objeto s por el proceso

ra 43)

(ii) Hucco de la snpcrfki(

(bJ Hueo gCllprado por oel USiOacutell Y QSUllCO parcial

Figura 43 Tipos de huecos

y busca en toda la malla hasta encontrar un triaacutengulo liacutemite Un triaacutengulo liacutemite Ti = lt aU ai2 ai3 gt es aquel que posee por lo menos una arista que no es compartida por ninguacuten otro triaacutengulo esto es Ot V ai2 V oi 3 rj Tj j = l N 1 i= j a esa arista se le denomina arista liacutemite (ver Figura 44) A partir del primer triaacutengulo liacutemite encontrado se inicia una buacutesqueda recursiva para hallar el camino cerrado Es decir si el objeto es una malla triangular 111 = Li 1 lt i lt N un hueco consiste de un camino cerrado de aristas de triaacutengulos liacutemites

Esta buacutesqueda se realiza determinando la arista liacutemite y mediante el veacutertice finaL encontrando el triaacutengulo liacutemite adyacente hasta formar el contorno cerrado Para realizar eficientemente esta buacutesqueda es necesario construir una estructura de datos que relacione cada veacutertice con los triaacutengulos que lo contienen Adicionalmente cada uno de los triaacutengulos recorridos son marcados como visitados para no repetir triaacutengulos dentro de la buacutesqueda

Para el proceso de llenado el camino que representa el contorno externo de la superficie es eliminado dentro del conjunto de huecos detectados ya que este no es un hueco sino un camino que encierra la superficie El Algoritmo 42 presenta el procedimiento de identificacioacuten de huecos

En esta etapa se realizaron pruebas para verificar la funcionalidad del proceso de identishyficacioacuten En la Figura 45 se muestra la imagen del conejo de Stanford con cinco huecos detectados mediante el algoritmo propuesto Los cinco huecos detectados corresponden a anomaliacuteas presentes en la imagen La cantidad de aristas liacutemite que forman los contornos de los huecos corresponden a 39 22 42 80 y 40 aristas respectivamente En la Figura 46 el algoritmo detectoacute cuatro huecos en la superficie de la maacutescara La cantidad de aristas liacutemite

iacute4

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

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Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

bull bull

LLENADO DE HUECOS

F uru iexclOacuteII de SOjJor f ( offlpaclo Orden di S IIuTaud (l middotmiddot 11 x IJ) ~ (0

(l middot 1I J IUIUacute 11 r 11 +1) el (1 11 T II t (3S 11 J lI shy t ] il 11 J 11 1 1) el

(1- lI middotr 1 ) ~( ~2 11 1 Ir -121 11 middotr II - ~K 11 T 11 +1) eh

Tabla 1 FUllciones dlt base radial ce soporte cOlllpacto de tipo polinoacutemico

(1 ) Radi() de sU]J Oltc g lallltk

Figura 41 Problemas COIl el talnantildeo del radio de soporte

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Llenado de Huecos

43 Meacutetodo de Llenado de H lares Empleando FUncion

La revisioacuten de la literatura sobre la problemaacutetici revda nurnero~os inLInh uullU l)iexclhl~ middotmiddot l-~IooIoY~

los puntos en tI de ruido y el 1

buena param complejas En requiere de un~ en la topologiacuteaiexcl

Para el llenad a las teacutecnicas l de rango [33 1 superficies de globalmente s seleccioacuten de u

Carr et al [22] usando funcio eld uso ele un proceso se util una modelaci se utiliza un p treados no un durante la ev tacioacuten fUTlciuumlI a la superficie La principal ( d llenaelo ele

Reuter [iacuteS] pr eacutesta las supe ellas y luego

I garantiza un ~ continuidad ~

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

Jlteacute Campada ()1Iuumln de Swrndld ~ 11 )2 ((1

1 x 11 + 1) eL ~ 18 11 J 1I f3) e Ir ) 11 1 11- +8 11 J II + 1) e

eacuteHlial dI soporte (iexclill enado ele tipo polinoacutemico

43 Meacutetodo de Llenado de Huecos en Mallas Triangushylares Empleando Funciones de Base Radial

La revisioacuten de la literatura sobre la problemaacutetica de la integracioacuten de imaacutegenes de rango revela numerosos intentos por resolver dicho problema Encontrar la conexioacuten correcta entre los puntos en tres dimensiones es generalmente un problema muy complejo La presencia de ruido y el muestreo no uniforme en los datos constituyen tambieacuten un problema difiacutecil de resolver Existen ademaacutes enfoques parameacutetricos usando meacutetodos variacionales Gasados en Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) I para los cuales es necesario disponer de una buena parametrizacioacuten Tal parametrizacioacuten es casi imposible de obtener para topologiacuteas complejas En general la forma parameacutetrica carece de informacioacuten sobre la profundidad y requiere de una parametrizacioacuten global que hace difiacutecil trabajar con deformaciones Y cambios en la topologiacutea de la superficie [ll]

Para el llenado de huecos se utilizan las RBF ya que presentan ventajas comparativas frente a las teacutecnicas tiacutepicamente empleadas para la correccioacuten de anomaliacuteas topoloacutegicas en imaacutegenes de rango [33 106] Con las RBF se obtiene una superficie impliacutecita que permite aproximar superficies de objetos con pocos datos La superficie reconstruida es localmente detallada y

globalmente suave pues el uso de RUF permite altos oacuterdenes de suavidad justificado en la seleccioacuten de una adecuada familia de RBF

Carr et al [22] proponen un meacutetodo para reconstruir superficies a partir de nubes de puntos usando funciones de base radial poliarmoacutenicas el proceso de integracioacuten se logra por medio del uso de una funcioacuten impliacutecita oGtenida a partir de un subconjunto de puntos En este proceso se utilizan meacutetodos raacutepidos para el ajuste y la evaluacioacuten de la RBF lo que permite una modelacioacuten del conjunto completo de puntos Para la reduccioacuten del nuacutemero de centros se utiliza un proceso aleatorio adecuado para reconstruir superficies a partir de datos mult~sshytreados no uniformemente Las zonas con ausencia de informacioacuten son llenadas suavemente durante la evaluacioacuten del interpolante mediante el cambio de la funcioacuten base La represenshytacioacuten funcional genera un modelo soacutelido lo que significa que los gradientes y las normales a la superficie se pueden determinar analiacuteticamente esto ayuda a generar mallas uniformes La principal desventaja de este meacutetodo es la utilizacioacuten de todos los centros resultantes para el llenado de huecos esto hace costoso el proceso computacional

Reuter [~~] presenta una teacutecnica de modelamiento de superficies 3-D basada en los puntos en eacutesta las superficies son modeladas especificando un conjunto de puntos no ordenados sobre ellas y luego se calcula una representacioacuten de la nube de puntos usando RBF el algoritmo garantiza un grado de continuidad especificado como un paraacutemetro del meacutetodo El grado de continuidad deseado se logra adicionando al interpolante un polinomio definido para cada

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LLENADO DE HUECOS

grado de suavidad [112] ademaacutes la superficie es renderizada directamente con base en el conjunto ele puntos

Con el objetivo ele corregir las anomaliacuteas topoloacutegicas relacionaelas con la ausencia ele inforshymacioacuten en mallas triangulares es necesario generar nuevos puntos en regiones que no han sido sensadas correctamente debido en su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

El meacutetodo propuesto en este capiacutetulo para el llenado de huecos en mallas triangulares se presenta en el Algoritmo 41 el cual consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se detectan los huecos analizando la malla triangular mediante la determinacioacuten de un camino cerrado de aristas liacutemite Posteriormente se analizan los huecos para determinar cuales deben ser llenados y cuales hacen parte ele la topologiacutea del objeto El anaacutelisis ele los huecos consiste en estudiar la torsioacuten de la curva del contorno de cada uno de eacutestos Este anaacutelisis se basa en la idea que cada hueco que pertenece a la superficie es suave y regular pero los huecos generados por la oclusioacuten tienelen a presentar graneles irregularielaeles reflejadas en altas variaciones ele la torsioacuten del contorno El proceso de llenado de huecos es realizado mediante un procedimiento iterativo para la determinacioacuten de los nuevos puntos estos puntos son generados mediante interpoladores locales de funciones de base radial construidos a partir de un vecindario seleccionado alrededor del hueco hasta alcanzar un umbral de ajuste establecido

Correccioacuten del hueco() inicio

1 Id(lltiflcacioacuten de] hueco 2 Anuacutelisis del hucco J Llellado del hueco

fin Algori t mo 41 lvIptodo propuesto para la correcioacuten de hufcOS en mallas

triangulares

En los paacuterrafos siguientes se explicaraacute en detalle cada una de las etapas que componen el meacutetodo propuesto

431 Identificacioacuten del hueco

En esta etapa es posible encontrar dos tipos de huecos presentes en la topologiacutea de un objeto aquellos que pertenecen realmente a la superficie y aquellos que fueron causados por el proceso de adquisicioacuten debido a la oclusioacuten o por un mal proceso de escaneo (ver Figura 43)

Inicialmente el algoritmo toma un triaacutengulo semilla ubicado en cualquier parte de la malla

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Llenado de Huecos

y busca en ail ai 2 aiacute3

otro triaacutengul arista liacutemite l buacutesqueda re il =- L i liacutemites

Esta buacutesque el triaacutengulo 1 esta buacutesqued los triaacutengulo

Para el proc es eliminado camino que e de huecos

En esta etap ficacioacuten En 1 detectados m anomaliacuteas pre los huecos cor algoritmo det ~

LLENADO DE HUECOS

superficie es renderizada directamente con base en el

Llenado de Huecos

diacuteas topoloacutegicas relacionadas con la ausencia de iruumlorshyesario generar nuevos puntos en regiones que no han m su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

LO para el llenado de huecos en mallas triangulares se consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se Ha triangular mediante la determinacioacuten de un camino ~te se analizan los hllPCOS para determinar cuales deben

naacutelisis de los huecos consiste s Este anaacutelisis se basa en la pero los huecos generados en altas variaciones de la ediante un procedimiento

son generados mediante partir de un vecindario e establecido

s que componen el

iacutea de un objeto s por el proceso

ra 43)

(ii) Hucco de la snpcrfki(

(bJ Hueo gCllprado por oel USiOacutell Y QSUllCO parcial

Figura 43 Tipos de huecos

y busca en toda la malla hasta encontrar un triaacutengulo liacutemite Un triaacutengulo liacutemite Ti = lt aU ai2 ai3 gt es aquel que posee por lo menos una arista que no es compartida por ninguacuten otro triaacutengulo esto es Ot V ai2 V oi 3 rj Tj j = l N 1 i= j a esa arista se le denomina arista liacutemite (ver Figura 44) A partir del primer triaacutengulo liacutemite encontrado se inicia una buacutesqueda recursiva para hallar el camino cerrado Es decir si el objeto es una malla triangular 111 = Li 1 lt i lt N un hueco consiste de un camino cerrado de aristas de triaacutengulos liacutemites

Esta buacutesqueda se realiza determinando la arista liacutemite y mediante el veacutertice finaL encontrando el triaacutengulo liacutemite adyacente hasta formar el contorno cerrado Para realizar eficientemente esta buacutesqueda es necesario construir una estructura de datos que relacione cada veacutertice con los triaacutengulos que lo contienen Adicionalmente cada uno de los triaacutengulos recorridos son marcados como visitados para no repetir triaacutengulos dentro de la buacutesqueda

Para el proceso de llenado el camino que representa el contorno externo de la superficie es eliminado dentro del conjunto de huecos detectados ya que este no es un hueco sino un camino que encierra la superficie El Algoritmo 42 presenta el procedimiento de identificacioacuten de huecos

En esta etapa se realizaron pruebas para verificar la funcionalidad del proceso de identishyficacioacuten En la Figura 45 se muestra la imagen del conejo de Stanford con cinco huecos detectados mediante el algoritmo propuesto Los cinco huecos detectados corresponden a anomaliacuteas presentes en la imagen La cantidad de aristas liacutemite que forman los contornos de los huecos corresponden a 39 22 42 80 y 40 aristas respectivamente En la Figura 46 el algoritmo detectoacute cuatro huecos en la superficie de la maacutescara La cantidad de aristas liacutemite

iacute4

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

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Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

Jlteacute Campada ()1Iuumln de Swrndld ~ 11 )2 ((1

1 x 11 + 1) eL ~ 18 11 J 1I f3) e Ir ) 11 1 11- +8 11 J II + 1) e

eacuteHlial dI soporte (iexclill enado ele tipo polinoacutemico

43 Meacutetodo de Llenado de Huecos en Mallas Triangushylares Empleando Funciones de Base Radial

La revisioacuten de la literatura sobre la problemaacutetica de la integracioacuten de imaacutegenes de rango revela numerosos intentos por resolver dicho problema Encontrar la conexioacuten correcta entre los puntos en tres dimensiones es generalmente un problema muy complejo La presencia de ruido y el muestreo no uniforme en los datos constituyen tambieacuten un problema difiacutecil de resolver Existen ademaacutes enfoques parameacutetricos usando meacutetodos variacionales Gasados en Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) I para los cuales es necesario disponer de una buena parametrizacioacuten Tal parametrizacioacuten es casi imposible de obtener para topologiacuteas complejas En general la forma parameacutetrica carece de informacioacuten sobre la profundidad y requiere de una parametrizacioacuten global que hace difiacutecil trabajar con deformaciones Y cambios en la topologiacutea de la superficie [ll]

Para el llenado de huecos se utilizan las RBF ya que presentan ventajas comparativas frente a las teacutecnicas tiacutepicamente empleadas para la correccioacuten de anomaliacuteas topoloacutegicas en imaacutegenes de rango [33 106] Con las RBF se obtiene una superficie impliacutecita que permite aproximar superficies de objetos con pocos datos La superficie reconstruida es localmente detallada y

globalmente suave pues el uso de RUF permite altos oacuterdenes de suavidad justificado en la seleccioacuten de una adecuada familia de RBF

Carr et al [22] proponen un meacutetodo para reconstruir superficies a partir de nubes de puntos usando funciones de base radial poliarmoacutenicas el proceso de integracioacuten se logra por medio del uso de una funcioacuten impliacutecita oGtenida a partir de un subconjunto de puntos En este proceso se utilizan meacutetodos raacutepidos para el ajuste y la evaluacioacuten de la RBF lo que permite una modelacioacuten del conjunto completo de puntos Para la reduccioacuten del nuacutemero de centros se utiliza un proceso aleatorio adecuado para reconstruir superficies a partir de datos mult~sshytreados no uniformemente Las zonas con ausencia de informacioacuten son llenadas suavemente durante la evaluacioacuten del interpolante mediante el cambio de la funcioacuten base La represenshytacioacuten funcional genera un modelo soacutelido lo que significa que los gradientes y las normales a la superficie se pueden determinar analiacuteticamente esto ayuda a generar mallas uniformes La principal desventaja de este meacutetodo es la utilizacioacuten de todos los centros resultantes para el llenado de huecos esto hace costoso el proceso computacional

Reuter [~~] presenta una teacutecnica de modelamiento de superficies 3-D basada en los puntos en eacutesta las superficies son modeladas especificando un conjunto de puntos no ordenados sobre ellas y luego se calcula una representacioacuten de la nube de puntos usando RBF el algoritmo garantiza un grado de continuidad especificado como un paraacutemetro del meacutetodo El grado de continuidad deseado se logra adicionando al interpolante un polinomio definido para cada

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LLENADO DE HUECOS

grado de suavidad [112] ademaacutes la superficie es renderizada directamente con base en el conjunto ele puntos

Con el objetivo ele corregir las anomaliacuteas topoloacutegicas relacionaelas con la ausencia ele inforshymacioacuten en mallas triangulares es necesario generar nuevos puntos en regiones que no han sido sensadas correctamente debido en su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

El meacutetodo propuesto en este capiacutetulo para el llenado de huecos en mallas triangulares se presenta en el Algoritmo 41 el cual consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se detectan los huecos analizando la malla triangular mediante la determinacioacuten de un camino cerrado de aristas liacutemite Posteriormente se analizan los huecos para determinar cuales deben ser llenados y cuales hacen parte ele la topologiacutea del objeto El anaacutelisis ele los huecos consiste en estudiar la torsioacuten de la curva del contorno de cada uno de eacutestos Este anaacutelisis se basa en la idea que cada hueco que pertenece a la superficie es suave y regular pero los huecos generados por la oclusioacuten tienelen a presentar graneles irregularielaeles reflejadas en altas variaciones ele la torsioacuten del contorno El proceso de llenado de huecos es realizado mediante un procedimiento iterativo para la determinacioacuten de los nuevos puntos estos puntos son generados mediante interpoladores locales de funciones de base radial construidos a partir de un vecindario seleccionado alrededor del hueco hasta alcanzar un umbral de ajuste establecido

Correccioacuten del hueco() inicio

1 Id(lltiflcacioacuten de] hueco 2 Anuacutelisis del hucco J Llellado del hueco

fin Algori t mo 41 lvIptodo propuesto para la correcioacuten de hufcOS en mallas

triangulares

En los paacuterrafos siguientes se explicaraacute en detalle cada una de las etapas que componen el meacutetodo propuesto

431 Identificacioacuten del hueco

En esta etapa es posible encontrar dos tipos de huecos presentes en la topologiacutea de un objeto aquellos que pertenecen realmente a la superficie y aquellos que fueron causados por el proceso de adquisicioacuten debido a la oclusioacuten o por un mal proceso de escaneo (ver Figura 43)

Inicialmente el algoritmo toma un triaacutengulo semilla ubicado en cualquier parte de la malla

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Llenado de Huecos

y busca en ail ai 2 aiacute3

otro triaacutengul arista liacutemite l buacutesqueda re il =- L i liacutemites

Esta buacutesque el triaacutengulo 1 esta buacutesqued los triaacutengulo

Para el proc es eliminado camino que e de huecos

En esta etap ficacioacuten En 1 detectados m anomaliacuteas pre los huecos cor algoritmo det ~

LLENADO DE HUECOS

superficie es renderizada directamente con base en el

Llenado de Huecos

diacuteas topoloacutegicas relacionadas con la ausencia de iruumlorshyesario generar nuevos puntos en regiones que no han m su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

LO para el llenado de huecos en mallas triangulares se consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se Ha triangular mediante la determinacioacuten de un camino ~te se analizan los hllPCOS para determinar cuales deben

naacutelisis de los huecos consiste s Este anaacutelisis se basa en la pero los huecos generados en altas variaciones de la ediante un procedimiento

son generados mediante partir de un vecindario e establecido

s que componen el

iacutea de un objeto s por el proceso

ra 43)

(ii) Hucco de la snpcrfki(

(bJ Hueo gCllprado por oel USiOacutell Y QSUllCO parcial

Figura 43 Tipos de huecos

y busca en toda la malla hasta encontrar un triaacutengulo liacutemite Un triaacutengulo liacutemite Ti = lt aU ai2 ai3 gt es aquel que posee por lo menos una arista que no es compartida por ninguacuten otro triaacutengulo esto es Ot V ai2 V oi 3 rj Tj j = l N 1 i= j a esa arista se le denomina arista liacutemite (ver Figura 44) A partir del primer triaacutengulo liacutemite encontrado se inicia una buacutesqueda recursiva para hallar el camino cerrado Es decir si el objeto es una malla triangular 111 = Li 1 lt i lt N un hueco consiste de un camino cerrado de aristas de triaacutengulos liacutemites

Esta buacutesqueda se realiza determinando la arista liacutemite y mediante el veacutertice finaL encontrando el triaacutengulo liacutemite adyacente hasta formar el contorno cerrado Para realizar eficientemente esta buacutesqueda es necesario construir una estructura de datos que relacione cada veacutertice con los triaacutengulos que lo contienen Adicionalmente cada uno de los triaacutengulos recorridos son marcados como visitados para no repetir triaacutengulos dentro de la buacutesqueda

Para el proceso de llenado el camino que representa el contorno externo de la superficie es eliminado dentro del conjunto de huecos detectados ya que este no es un hueco sino un camino que encierra la superficie El Algoritmo 42 presenta el procedimiento de identificacioacuten de huecos

En esta etapa se realizaron pruebas para verificar la funcionalidad del proceso de identishyficacioacuten En la Figura 45 se muestra la imagen del conejo de Stanford con cinco huecos detectados mediante el algoritmo propuesto Los cinco huecos detectados corresponden a anomaliacuteas presentes en la imagen La cantidad de aristas liacutemite que forman los contornos de los huecos corresponden a 39 22 42 80 y 40 aristas respectivamente En la Figura 46 el algoritmo detectoacute cuatro huecos en la superficie de la maacutescara La cantidad de aristas liacutemite

iacute4

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

75

Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

LLENADO DE HUECOS

grado de suavidad [112] ademaacutes la superficie es renderizada directamente con base en el conjunto ele puntos

Con el objetivo ele corregir las anomaliacuteas topoloacutegicas relacionaelas con la ausencia ele inforshymacioacuten en mallas triangulares es necesario generar nuevos puntos en regiones que no han sido sensadas correctamente debido en su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

El meacutetodo propuesto en este capiacutetulo para el llenado de huecos en mallas triangulares se presenta en el Algoritmo 41 el cual consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se detectan los huecos analizando la malla triangular mediante la determinacioacuten de un camino cerrado de aristas liacutemite Posteriormente se analizan los huecos para determinar cuales deben ser llenados y cuales hacen parte ele la topologiacutea del objeto El anaacutelisis ele los huecos consiste en estudiar la torsioacuten de la curva del contorno de cada uno de eacutestos Este anaacutelisis se basa en la idea que cada hueco que pertenece a la superficie es suave y regular pero los huecos generados por la oclusioacuten tienelen a presentar graneles irregularielaeles reflejadas en altas variaciones ele la torsioacuten del contorno El proceso de llenado de huecos es realizado mediante un procedimiento iterativo para la determinacioacuten de los nuevos puntos estos puntos son generados mediante interpoladores locales de funciones de base radial construidos a partir de un vecindario seleccionado alrededor del hueco hasta alcanzar un umbral de ajuste establecido

Correccioacuten del hueco() inicio

1 Id(lltiflcacioacuten de] hueco 2 Anuacutelisis del hucco J Llellado del hueco

fin Algori t mo 41 lvIptodo propuesto para la correcioacuten de hufcOS en mallas

triangulares

En los paacuterrafos siguientes se explicaraacute en detalle cada una de las etapas que componen el meacutetodo propuesto

431 Identificacioacuten del hueco

En esta etapa es posible encontrar dos tipos de huecos presentes en la topologiacutea de un objeto aquellos que pertenecen realmente a la superficie y aquellos que fueron causados por el proceso de adquisicioacuten debido a la oclusioacuten o por un mal proceso de escaneo (ver Figura 43)

Inicialmente el algoritmo toma un triaacutengulo semilla ubicado en cualquier parte de la malla

73

Llenado de Huecos

y busca en ail ai 2 aiacute3

otro triaacutengul arista liacutemite l buacutesqueda re il =- L i liacutemites

Esta buacutesque el triaacutengulo 1 esta buacutesqued los triaacutengulo

Para el proc es eliminado camino que e de huecos

En esta etap ficacioacuten En 1 detectados m anomaliacuteas pre los huecos cor algoritmo det ~

LLENADO DE HUECOS

superficie es renderizada directamente con base en el

Llenado de Huecos

diacuteas topoloacutegicas relacionadas con la ausencia de iruumlorshyesario generar nuevos puntos en regiones que no han m su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

LO para el llenado de huecos en mallas triangulares se consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se Ha triangular mediante la determinacioacuten de un camino ~te se analizan los hllPCOS para determinar cuales deben

naacutelisis de los huecos consiste s Este anaacutelisis se basa en la pero los huecos generados en altas variaciones de la ediante un procedimiento

son generados mediante partir de un vecindario e establecido

s que componen el

iacutea de un objeto s por el proceso

ra 43)

(ii) Hucco de la snpcrfki(

(bJ Hueo gCllprado por oel USiOacutell Y QSUllCO parcial

Figura 43 Tipos de huecos

y busca en toda la malla hasta encontrar un triaacutengulo liacutemite Un triaacutengulo liacutemite Ti = lt aU ai2 ai3 gt es aquel que posee por lo menos una arista que no es compartida por ninguacuten otro triaacutengulo esto es Ot V ai2 V oi 3 rj Tj j = l N 1 i= j a esa arista se le denomina arista liacutemite (ver Figura 44) A partir del primer triaacutengulo liacutemite encontrado se inicia una buacutesqueda recursiva para hallar el camino cerrado Es decir si el objeto es una malla triangular 111 = Li 1 lt i lt N un hueco consiste de un camino cerrado de aristas de triaacutengulos liacutemites

Esta buacutesqueda se realiza determinando la arista liacutemite y mediante el veacutertice finaL encontrando el triaacutengulo liacutemite adyacente hasta formar el contorno cerrado Para realizar eficientemente esta buacutesqueda es necesario construir una estructura de datos que relacione cada veacutertice con los triaacutengulos que lo contienen Adicionalmente cada uno de los triaacutengulos recorridos son marcados como visitados para no repetir triaacutengulos dentro de la buacutesqueda

Para el proceso de llenado el camino que representa el contorno externo de la superficie es eliminado dentro del conjunto de huecos detectados ya que este no es un hueco sino un camino que encierra la superficie El Algoritmo 42 presenta el procedimiento de identificacioacuten de huecos

En esta etapa se realizaron pruebas para verificar la funcionalidad del proceso de identishyficacioacuten En la Figura 45 se muestra la imagen del conejo de Stanford con cinco huecos detectados mediante el algoritmo propuesto Los cinco huecos detectados corresponden a anomaliacuteas presentes en la imagen La cantidad de aristas liacutemite que forman los contornos de los huecos corresponden a 39 22 42 80 y 40 aristas respectivamente En la Figura 46 el algoritmo detectoacute cuatro huecos en la superficie de la maacutescara La cantidad de aristas liacutemite

iacute4

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

75

Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

LLENADO DE HUECOS

superficie es renderizada directamente con base en el

Llenado de Huecos

diacuteas topoloacutegicas relacionadas con la ausencia de iruumlorshyesario generar nuevos puntos en regiones que no han m su mayoriacutea a problemas de oclusioacuten

LO para el llenado de huecos en mallas triangulares se consiste principalmente de tres etapas Inicialmente se Ha triangular mediante la determinacioacuten de un camino ~te se analizan los hllPCOS para determinar cuales deben

naacutelisis de los huecos consiste s Este anaacutelisis se basa en la pero los huecos generados en altas variaciones de la ediante un procedimiento

son generados mediante partir de un vecindario e establecido

s que componen el

iacutea de un objeto s por el proceso

ra 43)

(ii) Hucco de la snpcrfki(

(bJ Hueo gCllprado por oel USiOacutell Y QSUllCO parcial

Figura 43 Tipos de huecos

y busca en toda la malla hasta encontrar un triaacutengulo liacutemite Un triaacutengulo liacutemite Ti = lt aU ai2 ai3 gt es aquel que posee por lo menos una arista que no es compartida por ninguacuten otro triaacutengulo esto es Ot V ai2 V oi 3 rj Tj j = l N 1 i= j a esa arista se le denomina arista liacutemite (ver Figura 44) A partir del primer triaacutengulo liacutemite encontrado se inicia una buacutesqueda recursiva para hallar el camino cerrado Es decir si el objeto es una malla triangular 111 = Li 1 lt i lt N un hueco consiste de un camino cerrado de aristas de triaacutengulos liacutemites

Esta buacutesqueda se realiza determinando la arista liacutemite y mediante el veacutertice finaL encontrando el triaacutengulo liacutemite adyacente hasta formar el contorno cerrado Para realizar eficientemente esta buacutesqueda es necesario construir una estructura de datos que relacione cada veacutertice con los triaacutengulos que lo contienen Adicionalmente cada uno de los triaacutengulos recorridos son marcados como visitados para no repetir triaacutengulos dentro de la buacutesqueda

Para el proceso de llenado el camino que representa el contorno externo de la superficie es eliminado dentro del conjunto de huecos detectados ya que este no es un hueco sino un camino que encierra la superficie El Algoritmo 42 presenta el procedimiento de identificacioacuten de huecos

En esta etapa se realizaron pruebas para verificar la funcionalidad del proceso de identishyficacioacuten En la Figura 45 se muestra la imagen del conejo de Stanford con cinco huecos detectados mediante el algoritmo propuesto Los cinco huecos detectados corresponden a anomaliacuteas presentes en la imagen La cantidad de aristas liacutemite que forman los contornos de los huecos corresponden a 39 22 42 80 y 40 aristas respectivamente En la Figura 46 el algoritmo detectoacute cuatro huecos en la superficie de la maacutescara La cantidad de aristas liacutemite

iacute4

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

75

Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

LLENADO DE HUECOS

Border triangle

lilllit edge

Figura 4A Triaacutengulo liacutemite

Identificacion del hueco() para tOrl08 los triaacutengulos T hacer

si T (8 lmitc entonces Selcccionar una arista liacutelni tc A de T SEIEccionar 1m VErtice V que Cste en A Sdcccionar un triangulo limite K que contenga V mientras K iea difcTcnte de T hacer

Seleccionar una ari~ta liacutemite i de K Sdecciollar un verlice V que este en A SPleccionar Ull trii111gulo limite K que contenga V

fmientras fsi

fpara

Algoritmo 42 iJeacutetoclo para la iclcntincacioacutell c1f huecos

75

Llenado de Huecos

(it ) Vi~teacutel l(llltlal

SI i1 l1joro

que forman los contor

432 Anaacutelisis dJ

Una vez detectados los h si el hueco esLaacute prcs nL etapas intermedias del p

middotde configuraciones de hu pcrtellcncia real del huce exige genfralrllente una procedimiento consiste er

El contorno del hueco p geomeacutetricas (01110 la cur cambio del vector tangen raacutepido o lento la curva c indica UIle medida de la r es decir mide el cambio

clasificacioacuten de las curvas y no leacutel curvatura deuido en un mismo plano por el

LLENADO DE HUECOS

lirnit edge

Llenado de H llecos

(a) Villt-t lilklol ltId cOllejo eJe (1 ) Huccus ilk lltifiCn( lu~ SUlldord

Figurlt-l 4 ) Identificacioacuten de hurcos en el conejo dc Stauford

que forman los contornos de los huecos corresponden a 60 32 57 Y 25 respectivamente

432 Anaacutelisis del hueco

Una vez detectados los huecos se debe determinar si un hueco seraacute llenado o no estableciendo si el hueco estaacute presente en la superficie del objeto real o si fue causado en alguna de las etapas intermedias del proceso de reconstruccioacuten tridimensional Existe un nuacutemero infinito de configuraciones de huecos en los objetos de forma libre que hacen muy difiacutecil establecer la pertenencia real del hueco eacutel la superficie motivo por el cual el proceso de llenado de huecos exige generalmente una interaccioacuten con el usuario Una propuesta para automatizar este procedimiento consiste en analizar la curva de contorno generada por cada uno de los huecos

El contorno del hueco puede ser caracterizado y clasificado de acuerdo a sus propiedades geomeacutetricas corno la curvatura y la torsioacuten Geomeacutetricamente la curvatura es la tasa de cambio del vector tangente con respecto a la longitud de la curva es decir mide que tan raacutepido o lento la curva cambia respecto a un mismo plano (ver Figura 47(a)) La torsioacuten indica una medida de la rotacioacuten del plano oscl1lador con respecto a la longitud de la curva es decir mide el cambio de plano de la curva en el espacio (ver Figura 47(b)) Para la clasificacioacuten de las curvas de contorno de los huecos soacutelo se considera importante la torsioacuten y no la curvatura debido a que la curvatura mide variaciones de una curva consideraacutendola en un mismo plano por el contrario la torsioacuten mide la manera como la curva se desvia de

i(

LLENADa DE HUECOS

3

2

41

Figura 46 Idenitincacioacuten de huecos en la maacutescara

Llenado de Huecos

q

(al Cltlfllbio ele la taniexcliexclClltc

su comportamiento local o corno ca presentes en las vecindades de un con la curvatura

El estudio de la torsioacuten de una c plano osculaoor en un punto 1 c curva en A (ver Figura 48) De plano osculador variacutea en forma si caracterizar la curvatura La vari de arco esto es si j es el aacutengul proacuteximo X Y si 6S es la longit como

I

El signo ele la torsioacuten depen 1 moverse a lo largo de la curv~ una curva en un punto son a pequentildeo Asiacute las propiedad dado de la ecuacioacuten que de

Ti

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

3 e

q

(e) Cumbio de la ta llgcll tC (b) Carllbio del plallo os(ubdor

Figura 17 Propiedades gl~() llllt tlileacuteli de mm curva

su comportamiento local o corno cambia con respecto a un plano Por lo tanto los cambios presentes en las vecindades de un hueco son maacutes faacutecilmente detectables con la torsioacuten que con la curvatura

El estudio de la torsioacuten de una curva depende del comportamiento del plano osculador El plano osculador en un punto 1 es aquel que contiene a la tangente T y la normal N de la curva en A (ver Figura 48) De un punto a otro a lo largo de una curva la posicioacuten del plano osculador variacutea en forma similar a como lo hace la direccioacuten de la tangente que permite caracterizar la eurvatura La variacioacuten del plano osCulador es medida de acuerdo a la longitud de arco esto es si 7) es el aacutengulo entre los planos osculadores en un punto fijo A y un punto proacuteximo X y si 65 es la longitud de arco AX entonces la torsioacuten T en el punto A se definE como

1 T = liacutem - (47)

6s--ltO 68

El signo de la torsioacuten depende del lado de la curva hacia la que gira el plano osculador al moverse a lo largo de la curva Sin emhargo desde la geometriacutea diferencial las propiedades de una curva en un punto son aquellas propiedades que dependen de un entorno arbitrariamente pequentildeo Asiacute las propiedades de este tipo se definen en teacuterminos de derivadas en el punto dado de la ecuacioacuten que define la curva La estimacioacuten de la torsioacuten se define como sigue

I (J(t) x J(t)) J(t) I T= (4 8)

1 f(t) x i(t) 12

IR

LLENADa DE HUECOS

3

2

41

Figura 46 Idenitincacioacuten de huecos en la maacutescara

Llenado de Huecos

q

(al Cltlfllbio ele la taniexcliexclClltc

su comportamiento local o corno ca presentes en las vecindades de un con la curvatura

El estudio de la torsioacuten de una c plano osculaoor en un punto 1 c curva en A (ver Figura 48) De plano osculador variacutea en forma si caracterizar la curvatura La vari de arco esto es si j es el aacutengul proacuteximo X Y si 6S es la longit como

I

El signo ele la torsioacuten depen 1 moverse a lo largo de la curv~ una curva en un punto son a pequentildeo Asiacute las propiedad dado de la ecuacioacuten que de

Ti

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

3 e

q

(e) Cumbio de la ta llgcll tC (b) Carllbio del plallo os(ubdor

Figura 17 Propiedades gl~() llllt tlileacuteli de mm curva

su comportamiento local o corno cambia con respecto a un plano Por lo tanto los cambios presentes en las vecindades de un hueco son maacutes faacutecilmente detectables con la torsioacuten que con la curvatura

El estudio de la torsioacuten de una curva depende del comportamiento del plano osculador El plano osculador en un punto 1 es aquel que contiene a la tangente T y la normal N de la curva en A (ver Figura 48) De un punto a otro a lo largo de una curva la posicioacuten del plano osculador variacutea en forma similar a como lo hace la direccioacuten de la tangente que permite caracterizar la eurvatura La variacioacuten del plano osCulador es medida de acuerdo a la longitud de arco esto es si 7) es el aacutengulo entre los planos osculadores en un punto fijo A y un punto proacuteximo X y si 65 es la longitud de arco AX entonces la torsioacuten T en el punto A se definE como

1 T = liacutem - (47)

6s--ltO 68

El signo de la torsioacuten depende del lado de la curva hacia la que gira el plano osculador al moverse a lo largo de la curva Sin emhargo desde la geometriacutea diferencial las propiedades de una curva en un punto son aquellas propiedades que dependen de un entorno arbitrariamente pequentildeo Asiacute las propiedades de este tipo se definen en teacuterminos de derivadas en el punto dado de la ecuacioacuten que define la curva La estimacioacuten de la torsioacuten se define como sigue

I (J(t) x J(t)) J(t) I T= (4 8)

1 f(t) x i(t) 12

IR

LLENADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

3 e

q

(e) Cumbio de la ta llgcll tC (b) Carllbio del plallo os(ubdor

Figura 17 Propiedades gl~() llllt tlileacuteli de mm curva

su comportamiento local o corno cambia con respecto a un plano Por lo tanto los cambios presentes en las vecindades de un hueco son maacutes faacutecilmente detectables con la torsioacuten que con la curvatura

El estudio de la torsioacuten de una curva depende del comportamiento del plano osculador El plano osculador en un punto 1 es aquel que contiene a la tangente T y la normal N de la curva en A (ver Figura 48) De un punto a otro a lo largo de una curva la posicioacuten del plano osculador variacutea en forma similar a como lo hace la direccioacuten de la tangente que permite caracterizar la eurvatura La variacioacuten del plano osCulador es medida de acuerdo a la longitud de arco esto es si 7) es el aacutengulo entre los planos osculadores en un punto fijo A y un punto proacuteximo X y si 65 es la longitud de arco AX entonces la torsioacuten T en el punto A se definE como

1 T = liacutem - (47)

6s--ltO 68

El signo de la torsioacuten depende del lado de la curva hacia la que gira el plano osculador al moverse a lo largo de la curva Sin emhargo desde la geometriacutea diferencial las propiedades de una curva en un punto son aquellas propiedades que dependen de un entorno arbitrariamente pequentildeo Asiacute las propiedades de este tipo se definen en teacuterminos de derivadas en el punto dado de la ecuacioacuten que define la curva La estimacioacuten de la torsioacuten se define como sigue

I (J(t) x J(t)) J(t) I T= (4 8)

1 f(t) x i(t) 12

IR

LLENADO DE HUECOS

Figura u) Plano osculador P

Para estimar la torsioacuten de la curva de contorno se necesita una ecuacioacuten f(t) que la describa debido a que lo que se tiene es un camino continuo y cerrado de aristas Para obtener una ecuacioacuten del conjunto de aristas eacutestas se aproximan mediante curvas de Beacutezier teniendo en cuenta que la funcioacuten f(t) que describa la curva debe ser diferenciable hasta por lo menos en tercer grado Una curva parameacutetrica de Beacutezier es definida por

11

=0 11

(49) i=O

Z(t) =

11

L Zi Bin(t) = 0

en general Cb( t) = Lo PiBin (t) donde B son los polinomios de Berstein de tercer grado y se definen asiacute

BO3 (1 - T)3

B 13 - 3x(1 - xf (410)

B2 3 3r2 (1 - r)

iacute9

Llenado de Huecos

FigulC U) iProX) y punt

iexcl El contorno es aproximad con conjuntos de cuatro los puntos que conform de la curva la torsioacuten e que la curva obtenida e tal forma que el error el considerablemente la es

Finalmente se calcula valores medidos en ca

Los huecos cuyos con se clasifican como h miento

Ell esta etapa se rea de los huecos medi

112 una esfera (ver Fi Figuras 411 y Lel nivel de variad

LLENADO DE HUECOS

p

tr-K 18 Plano osculador P

lt(t) que la descri ba Para obtener una eacutezier teniendo en a por lo menos en

(c1 9)

tercer grado y

(410)

Llenado de Huecos

1

Cgt4

1 1

jgtC middot ~middot 5 --

o _---~

~gt - ~ 4

1 1 1

O (~--____~

~ 3~ ~(gt~

5

_----__-4- -_- 4 -- __-- 4 _ _--

Figura middott SJ AproximHcioacutell de la lUrViexcl-l d( con OlIlO mediall[cmiddot CUllS Je 13(~zi( r

y puntos sobre los cuales se estima la torsioacuten

El contorno es aproximado parcialmente mediante curvas de Beacutezier de tercer grado obtenidos con conjuntos de cuatro puntos continuos hasta obtener la estimacioacuten de la torsioacuten en todos los puntos que conforman el contorno Una vez obtenidas las ecuaciones de los segmentos de la curva la torsioacuten es evaluada en el uacuteltimo punto Esto debido a que Beacutezier garantiza que la curva obtenida contenga los puntos extremos del conjunto sobre el cual se calcula de tal forma que el error de aproximacioacuten que se presenta en los puntos intermedios no afecta considerablemente la estimacioacuten de la torsioacuten (ver Figura 49)

Finalmente se calcula la varianza de las torsiones para medir el nivel de dispersioacuten de los valores medidos en cada punto asiacute

n ( - 20 i =O Ti - r)

(411 ) n

Los huecos cuyos contornos posean una varianza de torsioacuten superior a un umbral establecido se clasifican como huecos que deben ser corregidos El Algoritmo 43 ilust ra este procedishymiento

En esta etapa se realizaron pruebas para determinar el umbral de torsioacuten para la clasificacioacuten de los huecos mediante la medicioacuten de un conjunto de huecos generados sinteacuteticamente sobre una esfera (ver Figura 4 10) y un conjunto de huecos obtenidos de imaacutegenes reales (ver Figuras 411 y 4 12 ) La generacioacuten sinteacutetica de huecos permite analizar de manera controlada el nivel de variacioacuten del contorno

80

LLENADO DE HUECOS

Anaacutelisis del hueco() para elda wnjunto e de l voacuteticc COILiCCuti IOi hacer

Aproximar e con unel curVel n-Spline Calcular la torsioacutell en el uacuteltimo veacutertice e

fpara Calcular Id media de las (orsic)fl(s estimadas en cada veacutertice hile-ti de C Calcular la variama de la tnrioacuten si varianza gt Umbral entonces

Marcar f-l COlltorno para correccioacuten fsi

Algoritmo 43 ~leacutet()do para anaacutelisis dt huccos _

Resultado del trabajo experimental se encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten de la torsioacuten es 01 De esta manera seraacuten huecos pertenecientes a la topologiacutea de la sushyperficie todos aquellos con valores de variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver Figura 412) Por el contrario los huecos asociados con ausencia de informacioacuten presentan comuacutenmente grandes variaoilidades en la curva de contorno es decir son todos aquellos con valores mayores a 01 (ver Figura 411)

El procedimiento se aplicoacute a un par de imaacutegenes reales para determinar cuales de los huecos detectados deben ser corregidos En la Figura 413 se muestran los huecos identificados en el oojeto denominado conejo de Stanford los cuales tienen un valor de la variacioacuten de la torsioacuten de 00046 y 00030 para la Figura 413(a) y 05230 08020 03120 para la Figura 413(b) respectivamente El procedimiento de anaacutelisis de huecos determinoacute que los huecos 1 y 2 no deoeriacutean ser corregidos por poseer un valor de variacioacuten de la torsioacuten inferior a 01 En la Figura 414( a) los huecos identificados tienen una estimacioacuten de la variacioacuten de la torsioacuten de 0056800874 yen la Figura 414(b) los valores de la estimacioacuten de la varianza de la torsioacuten son 02~96 y 03245 respectivamente con lo cual se determina que los huecos) y 4 deoen ser corregidos

433 Llenado del hueco

Una vez clasificados los huecos que deoeraacuten ser corregidos el proceso de generacioacuten de nuevos puntos requiere que se estime una aproximacioacuten de la superficie faltante Para tal propoacutesito se calcula una funcioacuten f(x) a partir de un conjunto de puntos distribuidos homogeacuteneamente alrededor del contorno del hueco esta funcioacuten es construida corno un interpolante de funcioacuten de base radial

81

Llenado de Huecos

LLENADO DE HUECOS

8 cunwculil IOIi hacer ~plill(

v(rticc e

- tirrHtlliis en caua voacuterti(e lillctl de C

-ioacuten

oacutetodo para anaacutelisis de huccos

e encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten seraacuten huecos pertenecientes ii la topologiacutea ue la sushy

~ variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver ~cos asocia-(lr~ roiacutea de informiicioacuten presentan

cir son touos aquellos con

inar cuales de los huecos uecos identificados en el a variacioacuten ue la torsioacuten para la Figura 413(b) ue los huecos 1 y 2 no

1 inferior a 01 En la

arianza de la torsioacuten ecos J y 4 ueben ser

Llenado de Huecos

(a) S 2FI x 10- 1

(b ) 1 T = 1 X 10

Fi gur~l1luuml iJcuida uc la variacioacuten uc 18 torsioacuten ut la llU(t ud conlJ110 cn seis (-1S0S sillteacuteticos clifcrcutcs

82

LLENADO DE HUECOS

p

tr-K 18 Plano osculador P

lt(t) que la descri ba Para obtener una eacutezier teniendo en a por lo menos en

(c1 9)

tercer grado y

(410)

Llenado de Huecos

1

Cgt4

1 1

jgtC middot ~middot 5 --

o _---~

~gt - ~ 4

1 1 1

O (~--____~

~ 3~ ~(gt~

5

_----__-4- -_- 4 -- __-- 4 _ _--

Figura middott SJ AproximHcioacutell de la lUrViexcl-l d( con OlIlO mediall[cmiddot CUllS Je 13(~zi( r

y puntos sobre los cuales se estima la torsioacuten

El contorno es aproximado parcialmente mediante curvas de Beacutezier de tercer grado obtenidos con conjuntos de cuatro puntos continuos hasta obtener la estimacioacuten de la torsioacuten en todos los puntos que conforman el contorno Una vez obtenidas las ecuaciones de los segmentos de la curva la torsioacuten es evaluada en el uacuteltimo punto Esto debido a que Beacutezier garantiza que la curva obtenida contenga los puntos extremos del conjunto sobre el cual se calcula de tal forma que el error de aproximacioacuten que se presenta en los puntos intermedios no afecta considerablemente la estimacioacuten de la torsioacuten (ver Figura 49)

Finalmente se calcula la varianza de las torsiones para medir el nivel de dispersioacuten de los valores medidos en cada punto asiacute

n ( - 20 i =O Ti - r)

(411 ) n

Los huecos cuyos contornos posean una varianza de torsioacuten superior a un umbral establecido se clasifican como huecos que deben ser corregidos El Algoritmo 43 ilust ra este procedishymiento

En esta etapa se realizaron pruebas para determinar el umbral de torsioacuten para la clasificacioacuten de los huecos mediante la medicioacuten de un conjunto de huecos generados sinteacuteticamente sobre una esfera (ver Figura 4 10) y un conjunto de huecos obtenidos de imaacutegenes reales (ver Figuras 411 y 4 12 ) La generacioacuten sinteacutetica de huecos permite analizar de manera controlada el nivel de variacioacuten del contorno

80

LLENADO DE HUECOS

Anaacutelisis del hueco() para elda wnjunto e de l voacuteticc COILiCCuti IOi hacer

Aproximar e con unel curVel n-Spline Calcular la torsioacutell en el uacuteltimo veacutertice e

fpara Calcular Id media de las (orsic)fl(s estimadas en cada veacutertice hile-ti de C Calcular la variama de la tnrioacuten si varianza gt Umbral entonces

Marcar f-l COlltorno para correccioacuten fsi

Algoritmo 43 ~leacutet()do para anaacutelisis dt huccos _

Resultado del trabajo experimental se encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten de la torsioacuten es 01 De esta manera seraacuten huecos pertenecientes a la topologiacutea de la sushyperficie todos aquellos con valores de variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver Figura 412) Por el contrario los huecos asociados con ausencia de informacioacuten presentan comuacutenmente grandes variaoilidades en la curva de contorno es decir son todos aquellos con valores mayores a 01 (ver Figura 411)

El procedimiento se aplicoacute a un par de imaacutegenes reales para determinar cuales de los huecos detectados deben ser corregidos En la Figura 413 se muestran los huecos identificados en el oojeto denominado conejo de Stanford los cuales tienen un valor de la variacioacuten de la torsioacuten de 00046 y 00030 para la Figura 413(a) y 05230 08020 03120 para la Figura 413(b) respectivamente El procedimiento de anaacutelisis de huecos determinoacute que los huecos 1 y 2 no deoeriacutean ser corregidos por poseer un valor de variacioacuten de la torsioacuten inferior a 01 En la Figura 414( a) los huecos identificados tienen una estimacioacuten de la variacioacuten de la torsioacuten de 0056800874 yen la Figura 414(b) los valores de la estimacioacuten de la varianza de la torsioacuten son 02~96 y 03245 respectivamente con lo cual se determina que los huecos) y 4 deoen ser corregidos

433 Llenado del hueco

Una vez clasificados los huecos que deoeraacuten ser corregidos el proceso de generacioacuten de nuevos puntos requiere que se estime una aproximacioacuten de la superficie faltante Para tal propoacutesito se calcula una funcioacuten f(x) a partir de un conjunto de puntos distribuidos homogeacuteneamente alrededor del contorno del hueco esta funcioacuten es construida corno un interpolante de funcioacuten de base radial

81

Llenado de Huecos

LLENADO DE HUECOS

8 cunwculil IOIi hacer ~plill(

v(rticc e

- tirrHtlliis en caua voacuterti(e lillctl de C

-ioacuten

oacutetodo para anaacutelisis de huccos

e encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten seraacuten huecos pertenecientes ii la topologiacutea ue la sushy

~ variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver ~cos asocia-(lr~ roiacutea de informiicioacuten presentan

cir son touos aquellos con

inar cuales de los huecos uecos identificados en el a variacioacuten ue la torsioacuten para la Figura 413(b) ue los huecos 1 y 2 no

1 inferior a 01 En la

arianza de la torsioacuten ecos J y 4 ueben ser

Llenado de Huecos

(a) S 2FI x 10- 1

(b ) 1 T = 1 X 10

Fi gur~l1luuml iJcuida uc la variacioacuten uc 18 torsioacuten ut la llU(t ud conlJ110 cn seis (-1S0S sillteacuteticos clifcrcutcs

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LLENADO DE HUECOS

Anaacutelisis del hueco() para elda wnjunto e de l voacuteticc COILiCCuti IOi hacer

Aproximar e con unel curVel n-Spline Calcular la torsioacutell en el uacuteltimo veacutertice e

fpara Calcular Id media de las (orsic)fl(s estimadas en cada veacutertice hile-ti de C Calcular la variama de la tnrioacuten si varianza gt Umbral entonces

Marcar f-l COlltorno para correccioacuten fsi

Algoritmo 43 ~leacutet()do para anaacutelisis dt huccos _

Resultado del trabajo experimental se encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten de la torsioacuten es 01 De esta manera seraacuten huecos pertenecientes a la topologiacutea de la sushyperficie todos aquellos con valores de variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver Figura 412) Por el contrario los huecos asociados con ausencia de informacioacuten presentan comuacutenmente grandes variaoilidades en la curva de contorno es decir son todos aquellos con valores mayores a 01 (ver Figura 411)

El procedimiento se aplicoacute a un par de imaacutegenes reales para determinar cuales de los huecos detectados deben ser corregidos En la Figura 413 se muestran los huecos identificados en el oojeto denominado conejo de Stanford los cuales tienen un valor de la variacioacuten de la torsioacuten de 00046 y 00030 para la Figura 413(a) y 05230 08020 03120 para la Figura 413(b) respectivamente El procedimiento de anaacutelisis de huecos determinoacute que los huecos 1 y 2 no deoeriacutean ser corregidos por poseer un valor de variacioacuten de la torsioacuten inferior a 01 En la Figura 414( a) los huecos identificados tienen una estimacioacuten de la variacioacuten de la torsioacuten de 0056800874 yen la Figura 414(b) los valores de la estimacioacuten de la varianza de la torsioacuten son 02~96 y 03245 respectivamente con lo cual se determina que los huecos) y 4 deoen ser corregidos

433 Llenado del hueco

Una vez clasificados los huecos que deoeraacuten ser corregidos el proceso de generacioacuten de nuevos puntos requiere que se estime una aproximacioacuten de la superficie faltante Para tal propoacutesito se calcula una funcioacuten f(x) a partir de un conjunto de puntos distribuidos homogeacuteneamente alrededor del contorno del hueco esta funcioacuten es construida corno un interpolante de funcioacuten de base radial

81

Llenado de Huecos

LLENADO DE HUECOS

8 cunwculil IOIi hacer ~plill(

v(rticc e

- tirrHtlliis en caua voacuterti(e lillctl de C

-ioacuten

oacutetodo para anaacutelisis de huccos

e encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten seraacuten huecos pertenecientes ii la topologiacutea ue la sushy

~ variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver ~cos asocia-(lr~ roiacutea de informiicioacuten presentan

cir son touos aquellos con

inar cuales de los huecos uecos identificados en el a variacioacuten ue la torsioacuten para la Figura 413(b) ue los huecos 1 y 2 no

1 inferior a 01 En la

arianza de la torsioacuten ecos J y 4 ueben ser

Llenado de Huecos

(a) S 2FI x 10- 1

(b ) 1 T = 1 X 10

Fi gur~l1luuml iJcuida uc la variacioacuten uc 18 torsioacuten ut la llU(t ud conlJ110 cn seis (-1S0S sillteacuteticos clifcrcutcs

82

LLENADO DE HUECOS

8 cunwculil IOIi hacer ~plill(

v(rticc e

- tirrHtlliis en caua voacuterti(e lillctl de C

-ioacuten

oacutetodo para anaacutelisis de huccos

e encontroacute que el valor del umbral para la variacioacuten seraacuten huecos pertenecientes ii la topologiacutea ue la sushy

~ variacioacuten de la torsioacuten menores o iguales a 01 (ver ~cos asocia-(lr~ roiacutea de informiicioacuten presentan

cir son touos aquellos con

inar cuales de los huecos uecos identificados en el a variacioacuten ue la torsioacuten para la Figura 413(b) ue los huecos 1 y 2 no

1 inferior a 01 En la

arianza de la torsioacuten ecos J y 4 ueben ser

Llenado de Huecos

(a) S 2FI x 10- 1

(b ) 1 T = 1 X 10

Fi gur~l1luuml iJcuida uc la variacioacuten uc 18 torsioacuten ut la llU(t ud conlJ110 cn seis (-1S0S sillteacuteticos clifcrcutcs

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LLENADO DE HUECOS

(e) 5 Oni

Figura J11 ~Jedicla de 18 variacioacuten de la torsioacuten de la curva dpl contofllo fn lH~ la~os de hUlCU~ gCIlcrado~ por el l-mJCe~o de lllUllstluniuacute ll

en d COlWjO ele Stanford

() ST = U ()()30

Figura J l2 ~Icdicb de la variacioacuten de la torsioacuten de la r-urva cld contorno en lre~ caso~ de huecos que pcrtcncCfIl a la superlicic de la rwbcara y del cOlleja de Stanforel

(al Hnccos 1 y 2 (b) Huccos ~ 4 y J

Figura1l3 Clasificacioacuten ele los huecos iclmtificados ell el conej o ele Stan[ord

83

Llenado de H llecos

Para Por huec

se eg pun

L

Selc

La me lec

ele

(b) s = 012 (e) ST O21G

~i1cioacuten de la torsioacuten de la curva del contorno pn COi generados por el proceso UC lccullslrunioacutell tanforcL

LLEN ADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

(a) Hllecos 1 Y 2 (b) Hllelt()s 3 1

Figma 414 Clasificacioacuten de los huccos iucutifica dos en la maacutescara

Para el llenado de huecos no se calcula un soacutelo interpolante con el conjunto total de puntos Por el contrario se calculan uiferentes e inuepenuientes interpolantes locales a caua uno ue los huecos debido principalmente a que es muy costoso computacionalmente interpolar grandes cantidades de puntos para llenar pequentildeas regiones de superficie faltante Por lo tanto para cada uno de los huecos un interpolante diferente es estimado con un conjunto reducido de puntos (ver Algoritmo 44) El proceso de llenado de huecos inicia con la seleccioacuten de un conjunto de puntos tomados como centros de referencia para la interpolacioacuten con los cuales se construye el interpolantc Este interpolantc es utilizauo para generar el nuevo conjunto de puntos que seraacuten triangulados para reproducir la regioacuten faltante de la superficie

Llenado del hueco() para Cnda hf (co II hacer

miclltras (no gt ttmbraL haccr 1 Scleccioacutell dC cenLros 2 Caacutelculo del interpolaute

fmientras 3 C()[Hracioacuten y triangulacioacuten dc nuevos punlos

fpara

Algoritmo 44 Ieacutetodo parn el llenadu de huccos

Seleccioacuten de centros de interpolacioacuten

La estimacioacuten del vecindario adecuado o conjunto de centros de interpolacioacuten es realizada mediante un proceso iterativo Este proceso inicia con un nuacutemero pequentildeo de centros seshylcccionauos k corno un conjunto ue puntos cercanos a caua uno ue los veacutertices ue la cmva de contorno como se muestra en la Figura 415(a) para cada iteracioacuten un interpolador es

84

bull bull bullbull bullbull bull

bull bull

bull bull

LLENADO DE HUECOS

bull bull

bull

bull

bull

(a) Itemcioacuten 1 (b) lIemcioacuten 2 (e) llemr ioacuten N

Figura 415 Iteraciones para la seleccioacuten de (entros de interpolacion

estimado si el nivel de error no es el deseado se realiza otra itera(ioacuten de seleccioacuten ele (ent ro incrementando el tamantildeo de k a traveacutes del incremento del radio de vecindad de cada punto en la lista de veacutertices de contorno hasta que el interpolador estimado alcance el nivel de error deseado (ver Figuras 415(b) y 415(c))

Una vez obtenido el vecindario inicial es decir el que se obtiene en la primera itcraeioacuten se debe determinar el conjunto de puntos de referencia utilizados para medir la calidad del interpolante Este conjunto de puntos debe permanecer constante en las iteraciones posterioshyres dd algoritmo para medir d error de ajuste El conjunto de puntos dd vecindario inicial es agrupado para obtener regiones homogeacuteneas que describan las diferentes variaciones de la topologiacutea en las regiones alrededor del hueco Un agrupamiento de tipo k-means [54] es utilizado donde la determinacioacuten del paraacutemetro k seraacute igual al nuacutemero de veacutertices que forma el contorno del hueco

Una vez obtenidos los subconjuntos de regiones por cada grupo se selecciona aleatoriamente dentro de cada uno de ellos un punto que representaraacute cada una de las diferentes regiones de esta forma se garantiza que la evaluacioacuten es realizada homogeacuteneamente alrededor dd hueco Si un interpolante alcanza el umbral de ajuste significa que representa con precisioacuten la topologiacutea de la vecindad del hueco por lo tanto se espera reproduzca adecuadamente la regioacuten de la superficie faltante (ver Algoritmo 45)

Caacutelculo del interpolante

Un interpolante es calculado en cada una de las iteraciones hasta alcanzar un valor del error de ajuste igualo inferiuumll a un valor del umbral establecido por el usuario de acuerdo al nivd de suavidad deseado asiacute

8S

Llenado de Huecos

Seleccioacuten de centros() inicio

para iexclmm todos los uaacutetuacutee8 JO dd contoriexcl Slcccionar k vccinos de V para iexclm m todos los I(~middotrtirrs iexcl E k ha(

si i no esuL a ntro entonces Antildeadir el veacutertice i a el cOlljuutlt

fsi fpara

fpara S1 rs lo [rim ra itrme

Agrupar N Funllar e con los

fsi Eliminar ele N el cout

fin Algorit

La evaluacioacuten de la calid c

referencia que inicialmen para calcular el interpola

donde k es el tamantildeo interpolante en el punt

I Generacioacuten y triaJ

En el proceso final d regioacuten debe preservar corno una anomaliacutea tI

1I

(b) s = 012 (e) ST O21G

~i1cioacuten de la torsioacuten de la curva del contorno pn COi generados por el proceso UC lccullslrunioacutell tanforcL

LLEN ADO DE HUECOS

Llenado de Huecos

(a) Hllecos 1 Y 2 (b) Hllelt()s 3 1

Figma 414 Clasificacioacuten de los huccos iucutifica dos en la maacutescara

Para el llenado de huecos no se calcula un soacutelo interpolante con el conjunto total de puntos Por el contrario se calculan uiferentes e inuepenuientes interpolantes locales a caua uno ue los huecos debido principalmente a que es muy costoso computacionalmente interpolar grandes cantidades de puntos para llenar pequentildeas regiones de superficie faltante Por lo tanto para cada uno de los huecos un interpolante diferente es estimado con un conjunto reducido de puntos (ver Algoritmo 44) El proceso de llenado de huecos inicia con la seleccioacuten de un conjunto de puntos tomados como centros de referencia para la interpolacioacuten con los cuales se construye el interpolantc Este interpolantc es utilizauo para generar el nuevo conjunto de puntos que seraacuten triangulados para reproducir la regioacuten faltante de la superficie

Llenado del hueco() para Cnda hf (co II hacer

miclltras (no gt ttmbraL haccr 1 Scleccioacutell dC cenLros 2 Caacutelculo del interpolaute

fmientras 3 C()[Hracioacuten y triangulacioacuten dc nuevos punlos

fpara

Algoritmo 44 Ieacutetodo parn el llenadu de huccos

Seleccioacuten de centros de interpolacioacuten

La estimacioacuten del vecindario adecuado o conjunto de centros de interpolacioacuten es realizada mediante un proceso iterativo Este proceso inicia con un nuacutemero pequentildeo de centros seshylcccionauos k corno un conjunto ue puntos cercanos a caua uno ue los veacutertices ue la cmva de contorno como se muestra en la Figura 415(a) para cada iteracioacuten un interpolador es

84

bull bull bullbull bullbull bull

bull bull

bull bull

LLENADO DE HUECOS

bull bull

bull

bull

bull

(a) Itemcioacuten 1 (b) lIemcioacuten 2 (e) llemr ioacuten N

Figura 415 Iteraciones para la seleccioacuten de (entros de interpolacion

estimado si el nivel de error no es el deseado se realiza otra itera(ioacuten de seleccioacuten ele (ent ro incrementando el tamantildeo de k a traveacutes del incremento del radio de vecindad de cada punto en la lista de veacutertices de contorno hasta que el interpolador estimado alcance el nivel de error deseado (ver Figuras 415(b) y 415(c))

Una vez obtenido el vecindario inicial es decir el que se obtiene en la primera itcraeioacuten se debe determinar el conjunto de puntos de referencia utilizados para medir la calidad del interpolante Este conjunto de puntos debe permanecer constante en las iteraciones posterioshyres dd algoritmo para medir d error de ajuste El conjunto de puntos dd vecindario inicial es agrupado para obtener regiones homogeacuteneas que describan las diferentes variaciones de la topologiacutea en las regiones alrededor del hueco Un agrupamiento de tipo k-means [54] es utilizado donde la determinacioacuten del paraacutemetro k seraacute igual al nuacutemero de veacutertices que forma el contorno del hueco

Una vez obtenidos los subconjuntos de regiones por cada grupo se selecciona aleatoriamente dentro de cada uno de ellos un punto que representaraacute cada una de las diferentes regiones de esta forma se garantiza que la evaluacioacuten es realizada homogeacuteneamente alrededor dd hueco Si un interpolante alcanza el umbral de ajuste significa que representa con precisioacuten la topologiacutea de la vecindad del hueco por lo tanto se espera reproduzca adecuadamente la regioacuten de la superficie faltante (ver Algoritmo 45)

Caacutelculo del interpolante

Un interpolante es calculado en cada una de las iteraciones hasta alcanzar un valor del error de ajuste igualo inferiuumll a un valor del umbral establecido por el usuario de acuerdo al nivd de suavidad deseado asiacute

8S

Llenado de Huecos

Seleccioacuten de centros() inicio

para iexclmm todos los uaacutetuacutee8 JO dd contoriexcl Slcccionar k vccinos de V para iexclm m todos los I(~middotrtirrs iexcl E k ha(

si i no esuL a ntro entonces Antildeadir el veacutertice i a el cOlljuutlt

fsi fpara

fpara S1 rs lo [rim ra itrme

Agrupar N Funllar e con los

fsi Eliminar ele N el cout

fin Algorit

La evaluacioacuten de la calid c

referencia que inicialmen para calcular el interpola

donde k es el tamantildeo interpolante en el punt

I Generacioacuten y triaJ

En el proceso final d regioacuten debe preservar corno una anomaliacutea tI

1I

bull bull bullbull bullbull bull

bull bull

bull bull

LLENADO DE HUECOS

bull bull

bull

bull

bull

(a) Itemcioacuten 1 (b) lIemcioacuten 2 (e) llemr ioacuten N

Figura 415 Iteraciones para la seleccioacuten de (entros de interpolacion

estimado si el nivel de error no es el deseado se realiza otra itera(ioacuten de seleccioacuten ele (ent ro incrementando el tamantildeo de k a traveacutes del incremento del radio de vecindad de cada punto en la lista de veacutertices de contorno hasta que el interpolador estimado alcance el nivel de error deseado (ver Figuras 415(b) y 415(c))

Una vez obtenido el vecindario inicial es decir el que se obtiene en la primera itcraeioacuten se debe determinar el conjunto de puntos de referencia utilizados para medir la calidad del interpolante Este conjunto de puntos debe permanecer constante en las iteraciones posterioshyres dd algoritmo para medir d error de ajuste El conjunto de puntos dd vecindario inicial es agrupado para obtener regiones homogeacuteneas que describan las diferentes variaciones de la topologiacutea en las regiones alrededor del hueco Un agrupamiento de tipo k-means [54] es utilizado donde la determinacioacuten del paraacutemetro k seraacute igual al nuacutemero de veacutertices que forma el contorno del hueco

Una vez obtenidos los subconjuntos de regiones por cada grupo se selecciona aleatoriamente dentro de cada uno de ellos un punto que representaraacute cada una de las diferentes regiones de esta forma se garantiza que la evaluacioacuten es realizada homogeacuteneamente alrededor dd hueco Si un interpolante alcanza el umbral de ajuste significa que representa con precisioacuten la topologiacutea de la vecindad del hueco por lo tanto se espera reproduzca adecuadamente la regioacuten de la superficie faltante (ver Algoritmo 45)

Caacutelculo del interpolante

Un interpolante es calculado en cada una de las iteraciones hasta alcanzar un valor del error de ajuste igualo inferiuumll a un valor del umbral establecido por el usuario de acuerdo al nivd de suavidad deseado asiacute

8S

Llenado de Huecos

Seleccioacuten de centros() inicio

para iexclmm todos los uaacutetuacutee8 JO dd contoriexcl Slcccionar k vccinos de V para iexclm m todos los I(~middotrtirrs iexcl E k ha(

si i no esuL a ntro entonces Antildeadir el veacutertice i a el cOlljuutlt

fsi fpara

fpara S1 rs lo [rim ra itrme

Agrupar N Funllar e con los

fsi Eliminar ele N el cout

fin Algorit

La evaluacioacuten de la calid c

referencia que inicialmen para calcular el interpola

donde k es el tamantildeo interpolante en el punt

I Generacioacuten y triaJ

En el proceso final d regioacuten debe preservar corno una anomaliacutea tI

1I