LINEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS

ISOSTATICAS

Se define la línea de influencia de un esfuerzo o de una deformación como la función que proporciona la variación de dicho esfuerzo o deformación, para las distintas posiciones de la carga móvil a lo largo de la estructura, y para un valor unitario de dicha carga. Por lo tanto hay una línea de influencia para cada esfuerzo o deformación de la estructura, y para cada carga móvil distinta que actúe sobre ella. Todas las líneas de influencia se expresan en función de algún parámetro que define la posición de la carga móvil en su trayectoria.

En la mayor parte de las estructuras las cargas exteriores actuantes tienen un único punto de aplicación fijo. Sin embargo hay también muchos casos en los que el punto de aplicación de alguna fuerza puede variar a lo largo de la estructura: por ejemplo un puente recorrido por un vehículo, o una viga carril sobre la que apoya una grúa. En estos casos los esfuerzos y deformaciones en la estructura dependen de la posición que ocupa la carga, y en particular el valor máximo de cada uno de ellos se produce en una cierta posición, en principio desconocida, de la carga. Al ser las cargas móviles se requiere por lo tanto un análisis más complejo que en el caso de cargas fijas, y para ello se utilizan las líneas de influencia.

Ejemplo. Sea una viga con dos apoyos y un voladizo, recorrida por una carga unitaria vertical, como se indica en la figura.

El valor de la reacción en A, es:

La línea de influencia de la reacción en B, supuesta asimismo positiva hacia arriba, se obtiene del equilibrio vertical del conjunto.

Para hallar la línea de influencia del cortante en C se aísla el tramo izquierdo o derecho de la viga, según interese.

Carga a la izquierda de C: aíslo tramo derecha.

Carga a la derecha de C: aíslo tramo izquierda.

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN CELOSÍAS ISOSTÁTICAS

En este caso las líneas de influencia no son continuas, ya que las cargas sólo pueden

estar situadas en los nudos. Como las diversas barras están desconectadas a flexión

unas de otras, y su comportamiento es lineal, ocurre que la línea de influencia cuando

la carga móvil está entre dos nudos es también lineal. Por tanto es suficiente con hallar

la línea de influencia para la carga aplicada en los distintos nudos de su trayectoria, y

unir los valores discretos obtenidos mediante líneas rectas. De esta forma se obtiene

una línea quebrada que es la línea de influencia buscada.

Ejemplo. En la celosía de la figura la carga unitaria se mueve en el cordón inferior.

Las líneas de influencia de las reacciones se calculan aplicando el equilibrio de todo el conjunto.

Para determinar el esfuerzo en el tirante vertical BH se considera el equilibrio vertical del

nudo H: el elemento BH esta sometido a un esfuerzo unidad cuando la fuerza esta justo en

H, y tiene un esfuerzo nulo cuando la fuerza esta otros nudos.

Para la diagonal AB, el equilibrio vertical del nudo A indica que NR

Equilibrio vertical de A

Es nulo cuando la carga esta en A

La línea de influencia del esfuerzo en AB es igual a la de la reacción en A pero cambiada de escala. Sin embargo, hay que notar que cuando la carga está en A el esfuerzo en AB es nulo, por lo que la línea de influencia en el tramo AH es distinta y llega a cero en el punto A.

Equilibrio Horizontal de A

Es nulo cuando la carga esta en A

Líneas de Influencia en Celosías Isostáticas. Diagonal CK

Para la diagonal CK es ventajoso usar el método de las secciones, efectuando un corte

como se indica en la figura siguiente.

Carga entre A y J:

Aíslo parte derecha. Equilibrio vertical.

Carga entre K y G:

Aíslo parte izquierda. Equilibrio vertical.

La línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K. La figura siguiente muestra el resultado.

Para el montante CJ se aplica el método de las secciones con un corte como el indicado en la figura siguiente, y se aísla el trozo de estructura que interese en cada caso.

Carga entre A y J:

Aíslo parte derecha. Equilibrio vertical.

Carga entre K y G:

Aíslo parte derecha. Equilibrio vertical.

Líneas de Influencia en Celosías Isostáticas. Diagonal CK

Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K.

Carga entre A y J:

Aíslo parte derecha. Equilibrio vertical.

Carga entre K y G:

Aíslo parte derecha. Equilibrio vertical.

DETERMINACION DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA

EN ESTRUCTURAS ISOSTATICAS MEDIATE EL USO

DE TRABAJOS VIRTUALES

El Principio de los Trabajos Virtuales brinda un método muy interesante para la determinación de líneas de influencia en estructuras isostáticas. Si en una estructura isostática se elimina el esfuerzo cuya línea de influencia se desea hallar, la estructura se

convierte en un mecanismo, con lo cual puede tener movimientos de sólido rígido, que se producen sin acumulación de energía elástica. De acuerdo con el

Principio de los Trabajos Virtuales se cumple que el trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura es nulo, al no acumularse energía elástica:

Sobre la estructura, transformada en mecanismo, actúan las siguientes fuerzas:

la fuerza unitaria móvil, el esfuerzo cuya línea de influencia se desea hallar, llamado genéricamente E, y las reacciones en los apoyos, que no producen trabajo virtual.

Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo E cuya línea de influencia se busca, la estructura adopta una configuración deformada como sólido rígido. En esta configuración deformada se denomina E al desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo buscado Y i al desplazamiento en la dirección de la fuerza unitaria móvil. El trabajo virtual producido por ambas fuerzas es:

W=.E+.1 (2)

De donde se calcula el valor de la línea de influencia:

E=-I/E (3)

Si se elige el desplazamiento virtual de tal manera que valga la unidad (E=1) Se obtiene:

E=-I (4)

Esta expresión indica que la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera en una estructura isostática es igual a la deformada - cambiada de signo - que adopta la trayectoria de la carga móvil, cuando se aplica un desplazamiento virtual unitario en la dirección del esfuerzo.

Esta deducción es general, sea cual sea el tipo de esfuerzo. Para reacciones, el desplazamiento virtual unitario se impone en la dirección supuesta para la reacción. Para esfuerzos internos, se debe imponer un desplazamiento virtual unitario relativo entre las dos caras donde actúa el esfuerzo interno. Además debe tenerse cuidado de que al imponerse esta deformación relativa unitaria se mantengan constantes las demás deformaciones, de tal forma que los otros esfuerzos existentes en la sección no produzcan trabajo virtual.

W=U=0 (1.1)

Es importante hacer notar que al haberse obtenido la línea de influencia como una deformada, el signo del esfuerzo E debe interpretarse como positivo cuando la fuerza móvil actúa en la dirección de la deformada y negativo cuando actúa en sentido contrario.

Aunque aquí se ha presentado como una mera utilización del Principio de los Trabajos Virtuales, este método fue presentado por Müller-Breslau en 1887, conjuntamente con su método para el cálculo de líneas de influencia en estructuras hiperestáticas, que se explica más adelante.

Ejemplo. En una viga simplemente apoyada, la línea de influencia de la reacción en A se obtiene desplazando hacia arriba una unidad el apoyo A y calculando la deformada de la estructura, que gira como un sólido rígido alrededor de B.

Para el esfuerzo cortante en C, punto medio de AB, se aplica un movimiento vertical relativo de valor unidad entre ambas caras, manteniendo el mismo giro en ambas. Con ello el momento flector en C no produce trabajo virtual.

OTROS TIPOS DE CARGAS MÓVILES

El concepto de línea de influencia ha sido presentado como la variación de una magnitud cualquiera de la estructura cuando una carga unitaria móvil se mueve sobre ella. En la realidad son muy pocos los casos en los que la carga móvil es una única y de módulo unidad: lo habitual es que se trate de conjuntos de cargas móviles situadas a distancias

fijas unas de otras y con módulos diferentes (por ejemplo las cargas debidas a un vehículo).

También puede ocurrir que sobre una viga muy larga actúen varias cargas puntuales situadas muy próximas unas a otras, que se pueden representar como una carga distribuida (por ejemplo las cargas debidas a un tren sobre un puente muy largo). Se hace por lo tanto necesario aplicar el concepto de línea de influencia a estas otras situaciones.

Al haberse supuesto comportamiento lineal, se cumple que la línea de influencia debida a un sistema de cargas cualquiera es igual a la suma de las líneas de influencia de cada una de las cargas. A su vez cada una de éstas es igual a la línea de influencia debida a la carga unidad, multiplicada por el valor real de la carga. Esta consideración general se puede

expresar de forma analítica distinta según sea el tipo de carga.

Trenes de cargas puntuales

Sea un conjunto de N cargas puntuales p1 situadas a unas distancias d a la primera de ellas (con d1=0) y sea LI(z) la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera E, calculada para una carga unitaria, y que se denomina línea de influencia básica. Para situar el tren de cargas en la viga se emplea la coordenada de posición de la primera carga z, por lo que las restantes cargas están situadas en unas posiciones Z=Z-D I=N-1.

Esta expresión indica que el valor del esfuerzo E debido al tren de cargas se calcula sencillamente sumando el valor que tiene la línea de influencia básica en la posición de cada carga, multiplicado por el valor de la carga correspondiente, con su signo.

La expresión analítica de la línea de influencia correspondiente al tren de cargas se obtiene sumando, para cada carga, la línea de influencia básica, trasladada en la separación de dicha carga respecto de la primera (z-d ) y multiplicada por el valor de la carga P .

En realidad la principal aplicación práctica de las líneas de influencia es la determinación de los valores máximos de los esfuerzos, por lo que raras veces se recurre a obtener la expresión analítica completa de la línea de influencia del tren de cargas. Para la determinación de los valores máximos de los esfuerzos se parte de la línea de influencia básica para una carga unidad y se determinan, por inspección, las posiciones críticas que puede adoptar el tren de cargas alrededor de cada punto máximo de dicha línea de influencia básica, teniendo en cuenta el módulo y la dirección de las cargas.

Cargas distribuida

El caso de una carga distribuida móvil es similar al de un tren de cargas puntuales, pero considerando que las cargas están infinitamente próximas. Sea una carga distribuida móvil de módulo q(x), actuando sobre una zona de la viga de longitud d. La posición de esta carga en la viga se define mediante la coordenada z de su extremo izquierdo.

Es decir que el valor del esfuerzo E, para una posición determinada de la carga móvil, es igual al área situada bajo la curva que se obtiene al multiplicar la línea de influencia básica por la carga distribuida. Al igual que para el caso de fuerzas puntuales, lo habitual es utilizar este resultado para el cálculo de los valores máximos de los esfuerzos, determinando por inspección la situación pésima de la carga móvil.

Ejemple de Cargas Móviles