105

III. Lneas de influencia

3.1. Definicin

Es un diagrama que muestra la variacin de la magnitud y del sentido de una

incgnita, sea sta una fuerza cortante, axial, momento flector, reaccin, etc. o un

desplazamiento lineal o rotacional, cuando una carga unitaria se moviliza de un punto

a otro en una estructura. Cada ordenada del diagrama representa el valor que toma la

incgnita, cuando la carga unitaria est ubicada en el punto de abscisa correspondiente a

esa ordenada. En otras palabras, el diagrama de influencia corresponde a una funcin

matemtica, donde la variable independiente es la posicin de la carga unitaria y la

variable dependiente es la incgnita

Las lneas de influencia permiten determinar los puntos o los tramos donde

colocar las cargas vivas, para que causen la condicin mas desfavorable sobre el punto

de la estructura estudiado. No obstante, se debe tener presente que las lneas de

influencia proporcionan informacin sobre una incgnita a la vez.

Para ilustrar el concepto observe la fig. 1, la cual muestra la Lnea de Influencia

para la reaccin vertical en A de una viga simplemente apoyada.

A B

1

fig. 1

106

La grfica muestra como varan los valores de la reaccin vertical en A, cuando

una carga unitaria se moviliza desde el punto A hasta el punto B. Se observa que

cuando la carga est situada en A, la incgnita toma su mayor valor condicin mas

desfavorable y que disminuye su valor a medida que la carga se aleja del punto A,

hasta llegar a un valor cero cuando la carga est ubicada sobre el punto B.

3.2. Construccin de lneas de influencia.

A continuacin se determinan, para la viga de la fig. 1, las ecuaciones de las

lneas de influencia, utilizando las ecuaciones de equilibrio esttico.

3.2.1. Ejemplo N 1

Lnea de Influencia para la reaccin vertical en A.

A O B

L

Se sabe que la nica carga que solicita a la viga es unitaria y est ubicada en

cualquier punto entre A y B, se puede indicar entonces que est ubicada a una distancia

x del punto A, con x variando entre 0 y L 0 x L.

Aplicando sumatoria de momento en el punto B, se tiene que

+ MB 0 - RA * L + 1 * L x 0.

Despejando se obtiene: RA 1 x / L 1

107

La grfica de esta ecuacin, es una lnea recta de pendiente negativa, tal como se

muestra en la fig. 1

Se debe tener presente que x representa los diferentes puntos donde puede estar

situada la carga unitaria, y que para conocer el valor de RA, cuando la carga unitaria

esta ubicada en un punto en particular, basta con sustituir x por el valor de la abscisa de

ese punto en la ecuacin 1.

3.2.2. Ejemplo N 2

Se puede determinar la Lnea de Influencia de RB por equilibrio esttico,

obteniendo: RB x / L, ecuacin correspondiente a una lnea recta de pendiente

positiva, tal como se muestra a continuacin:

1

fig.2

Se observa claramente que RB alcanza su mximo valor cuando la carga unitaria

est ubicada en el punto B, y que disminuye su valor a medida que se aleja de B. De

manera que si se desea disear el apoyo B para una viga con una carga puntual que se

moviliza entre A y B, debemos disearlo cuando la carga est ubicada en B, por ser esta

la condicin mas desfavorable.

Se dice que se tiene la condicin mas desfavorable cuando se obtiene el mayor

valor que puede alcanzar una fuerza, dado que, mientras mas grande es una fuerza, se

requiere de elementos estructurales de mayor resistencia para soportarla, es decir

elementos con mayor inercia, o mayor rea transversal o de un mdulo de elasticidad

108

mayor, dependiendo de las caractersticas de la fuerza, lo que est relacionado

directamente con los costos.

Al disear con la condicin ms desfavorable se garantiza que la estructura

trabajar adecuadamente para cualquier condicin de carga.

3.2.3. Ejemplo N 3

Lnea de Influencia del momento flector en un punto intermedio C

A C B

n

L

Se tendr en este problema dos casos, cuando la carga se moviliza entre A y C, y

cuando se moviliza entre C y B

Caso A: Se supone que la carga se moviliza entre A y C

El clculo del momento, por equilibrio esttico ser:

Mc

n RB x / L

Mc RB * n x / L * n

109

Caso B: Se supone que la carga se moviliza entre C y B

El clculo del momento, por equilibrio esttico ser:

Mc

RA 1 x / L

L - n

Mc RA *L n 1 x / L*L n

Nuevamente se observa que se generaron dos lneas rectas, cuyas grficas se

muestran a continuacin:

A C B

fig. 3

3.2.4. Ejemplo N 4

Lnea de Influencia de la fuerza cortante en el punto C.

A C B

n

L

110

Se tendrn nuevamente dos casos, cuando la carga se moviliza entre A y C, y

cuando se moviliza entre C y B

Caso A: Se supone que la carga se moviliza entre A y C

El clculo de la fuerza cortante, por equilibrio esttico ser:

n

Vc RB x / L

Vc - RB - x / L

Caso B: Se supone que la carga se moviliza entre C y B

El clculo de la fuerza cortante, por equilibrio esttico ser:

L - n

RA 1 x / L Vc

Vc RA 1 x / L

Nuevamente se observa que se generan dos lneas rectas, cuyas grficas se

muestran a continuacin:

A C B

fig. 4

111

Hasta ahora se han aplicado solo las ecuaciones de equilibrio esttico. Para

determinar las ecuaciones de las lneas de influencia, las mismas resultan poco prcticas

para estructuras ms complejas. Por lo que a continuacin se presenta un

procedimiento, basado en el Principio de Mller-Breslau y en la Ley de Betti, de fcil

aplicacin para ese tipo de estructuras.

3.3. PRINCIPIO DE MLLER BRESLAU

Enunciado:

La lnea de influencia de cualquier incgnita fuerza axial, fuerza de corte,

momento o reaccin en un punto de una estructura, es proporcional a la elstica que se

obtiene eliminando la restriccin que impone dicha incgnita, e introduciendo en su

lugar una deformacin correspondiente, en la estructura primaria resultante.

Este principio es de una importancia fundamental, porque permite conocer sin

necesidad de clculo, la lnea de influencia de una incgnita en un punto de una

estructura, lo cual es de mucha utilidad porque cuando se realiza un proyecto

estructural, es necesario conocer qu elementos deben cargarse para lograr la condicin

mas desfavorable; puesto que al disear en esta condicin, se garantiza un

comportamiento adecuado del sistema estructural en cualquier circunstancia.

3.4. Ley de Betti o Ley de los Trabajos Recprocos.

Enunciado:

En una estructura constituida por un material que sigue la Ley de Hooke, no

existiendo cambios de temperatura ni movimiento de los apoyos, el trabajo virtual

realizado por un sistema de fuerzas Pm sobre los desplazamientos producidos por otro

112

sistema de fuerzas Pn es igual al trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas Pn

sobre los desplazamientos producidos por el sistema de fuerzas Pm.

Esta Ley se puede expresar simblicamente como:

it ju

Pmi*min Pnj*njm

i1 j1

Donde:

t: es el nmero de fuerzas, pertenecientes al sistema de fuerzas Pm.

u: es el nmero de fuerzas, pertenecientes al sistema de fuerzas Pn.

i : toma valores 1,2,3,..., t.

j : toma valores 1,2,3,..., u.

Pmi: fuerza i correspondiente al sistema de fuerzas Pm.

Pnj: fuerza j correspondiente al sistema de fuerzas Pn.

min: Desplazamiento en la direccin de la fuerza Pmi, producido por el sistema

de fuerzas n.

njm: Desplazamiento en la direccin de la fuerza Pnj, producido por el sistema

de fuerzas m.

113

3.5. Frmula General para obtener las ecuaciones de la Lnea de

Influencia.

Se desea determinar la lnea de influencia para el momento flector en el punto B,

de la siguiente viga:

A B

A 0 L B 0

Aplicando el Principio de Mller-Breslau, se tiene que:

1 I

O Sistema m

A 0 B 0

L

Tomando un sistema, con la misma geometra del anterior, solicitado como se muestra.

1 2 I

Sistema n

L

Aplicando la Ley de Betti con el sistema m y con el sistema n, se obtiene:

p*1 + I*2 I*B 0

114

As que:

I -1/2,

Sea: v -1

d 2

Entonces: I v / d

Donde:

I : Ecuacin de la Lnea de Influencia.

v : Desplazamiento en la direccin y en el punto de aplicacin de la carga

unitaria, producido por la incgnita.

d : Desplazamiento en la direccin y en el punto de aplicacin de la

incgnita, producido por ella misma.

Para demostrar la facilidad de aplicacin de este procedimiento, se solucionaran

los problemas planteados en los ejemplos 1, 2, 3 y 4, antes resueltos por las ecuaciones

de la esttica.

Ejemplo N 1

Lnea de Influencia para la reaccin vertical en A.

A B

L

Aplicando el Principio de Mller-Brelau, se tiene la estructura primaria

mostrada, la que se somete a una fuerza en la direccin de la incgnita, para obtener la

115

elstica que ser proporcional a la lnea de influencia para la reaccin vertical en el

punto A.

A B

L

La elstica de esta estructura es:

A B

La cual corresponde a una lnea recta de ecuacin v -/L*x +

En este caso d ser igual a . As aplicando la ecuacin I v / d, se obtiene:

I -1/L*x + 1, ecuacin que corresponde a la lnea de influencia de la reaccin vertical

en A y su grfica se presenta en la fig.1, antes mostrada.

Ejemplo N 2

Para el caso del ejemplo 2, la estructura primaria ser:

Su elstica es:

A B

116

De manera que: v /L*x y d

Aplicando I v / d, se puede obtener que I 1/L*x , cuya ecuacin corresponde

a la grfica mostrada en la fig. 2.

Ejemplo N 3

La estructura primaria para el caso de la lnea de Influencia del momento flector

en un punto intermedio C es:

A C B

n

L

La elstica de la estructura primaria es:

1 2

1 2

A C B

Se tienen dos lneas rectas, cuyas ecuaciones, considerando el origen en A, son

las siguientes:

v tan 1 * x, valida para 0 x L - n

v - tan 2 * x + *L /n, valida para L - n x L

117

Como se recordar d es el desplazamiento en la direccin y en el punto de

aplicacin de la incgnita, por lo tanto viene dado por la suma de los ngulos 1 y 2

tan 1 / L-n , por lo tanto tan 1 * L-n

tan 2 /n, por lo tanto tan 2 * n

Como se conoce, por matemtica, la tangente de un ngulo pequeo se

aproxima al mismo ngulo. Sabiendo que se est trabajando con deformaciones de

estructuras, las cuales son valores muy pequeos, se considerar lo antes indicado. As

se tiene, igualando las expresiones anteriores, que: 1 * L-n 2 * n, entonces:

2 1 * L-n / n.

Se tendr, entonces: d 1+ 2 1 + 1 * L-n / n L/n * 1.

Aplicando la frmula I v / d, se tienen las ecuaciones de la Lnea de Influencia

para el momento flector en C.

Mc I n * x/L, valida para 0 x L n

Mc I - L-n / L * x + L-n 1-x/L * L-n , valida para L - n x L

Se puede observar que el resultado es idntico al obtenido, cuando se resolvi

este problema empleando solamente las ecuaciones de la esttica y su grfica

corresponde a la presentada en la fig. 3.

Se debe tener presente que estas ecuaciones representan los diferentes valores

que toma el momento en el punto C, la primera cuando una carga unitaria se desplaza

entre A y C, y la segunda cuando se desplaza entre C y B.

Ejemplo N 4

Para el caso de la Lnea de Influencia de la fuerza cortante en el punto C.

Se tiene la estructura primaria siguiente:

118

A C B

n

L

Su elstica es la siguiente:

1 2 1

1

Nuevamente se tienen dos lneas rectas, cuyas ecuaciones, considerando el

origen en A, son las siguientes:

v - tan 1 * x, valida para 0 x L - n

v - tan 1 * x L + n + 2, valida para L - n x L

En este caso d ser la suma de 1 y 2, as que usando la aproximacin

matemtica referida a que la tangente de un ngulo pequeo es igual al ngulo, se tiene:

d 1 + 2 L-n * 1 + n * 1 L*1

Usando la expresin I v/d, se obtienen las ecuaciones de la Lnea de influencia

para la fuerza cortante en el punto C.

Vc I -x/L, valida para 0 x L n

Vc I -1/Lx-L+n + n/L 1-x/L, valida para L - n x L

Se observa la identidad entre este resultado y el obtenido al resolver el problema,

usando las ecuaciones de la esttica. La grfica de estas funciones se presentan en la

fig. 4.

119

Se puede observar la veracidad del Principio de Mller-Breslau referente a que

las Lnea de Influencia de cualquier incgnita es proporcional a la grfica de la

deformada de la estructura primaria, ntese que es posible demostrarlo

matemticamente puesto que al realizar la divisin v/d, se est dividiendo la ecuacin

de la elstica v entre un escalar d, resultando la ecuacin de la lnea de influencia, lo

que evidencia que son directamente proporcionales entre si.

Para problemas que poseen mas de tres miembros, resulta adecuado aplicar este

ltimo procedimiento por la facilidad que ofrece, como ejemplo se usar para

determinar Lneas de Influencia en estructuras hiperestticas.

3.6. Ejemplo N 5

Para el sistema estructural mostrado, trace la lnea de influencia para el

momento flector, en el punto G, cuando la carga unitaria se moviliza entre B y D.

B G C D

S2 S2

S1 S1 S1 3,5m

A E F

3m 3m 3m 3m

Datos: Todos los elementos son de concreto armado con las

siguientes caractersticas:

S1: 30cmx30cm

S2: 30cmx45cm

fc = 280 Kg/cm2

120

Solucin:

Estudio Esttico:

Uv. ext. = 06

Uv. int. = 04

G.L. mbros = 09

Grados de Indeterminacin = 06 + 04 09 = 01

Estudio Cinemtico:

El sistema estructural es estable.

Siendo la estructura estable, se puede proceder a la solucin del problema.

Para encontrar las ecuaciones de la lnea de influencia, se aplicar la frmula:

I = v/d, donde v, es el desplazamiento, en la estructura primaria, en la direccin

de la carga unitaria y d, en este caso, es la rotacin en G.

La incgnita I, en este caso, es el momento flector en G. Para aplicar el

Principio de Mller Breslau, se debe liberar la restriccin que impone la incgnita,

esto es, el desplazamiento rotacional en el punto G.

Al liberar la rotacin en el punto G, se encuentra la estructura primaria, la cual

posee un grado de hiperestaticidad menos que la original.

v y d son desplazamiento en la estructura primaria, el primero en la direccin de

la carga unitaria y el segundo, en este caso, es la rotacin en G. d, es un valor puntual,

pero v depende de la posicin de la carga unitaria, por lo tanto es una funcin que

depende del valor de x. Se aplicar el mtodo de la viga conjugada para determinar

stos desplazamientos.

121

Estructura primaria 1 1

B C D

G

3.5m

A E F

3m 3m 3m 3m

Para aplicar el mtodo de la viga conjugada se requiere el diagrama

de momento flector, de la estructura primaria

Clculo de la estructura primaria.

Como la estructura es isosttica, puede resolverse aplicando las ecuaciones de

equilibrio esttico.

MB - E = 0 EH = 0

FH = 0 AH = 0

MB A = 0 AV = 0

+ MG E = 0 - EV * 3 + 1 = 0 EV = 1/3

+ MF = 0 1/3 * 6 + DV * 3 = 0 DV = 2/3

FV = 0 -1/3 - 2/3 + FV = 0 FV = 1

Realizando el despiece, se obtiene:

B G 1 1 G C 2 2 C 2 2 C D

1/3 1/3 1/3 1/3 2/3 2/3

1/3 1 2/3

122

Diagrama de momento flector

2t.m

1t.m

B G C D

Aplicacin del mtodo de la viga conjugada.

El mtodo de la viga conjugada se utiliza para encontrar desplazamientos

lineales y rotacionales. A partir del diagrama de momento de la viga real, se construye

la viga conjugada empleando las equivalencias mostradas en la tabla siguiente:

VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

Y

(Desplazamiento

lineal)

M

(Momento flector)

(Desplazamiento

rotacional)

V

(Fuerza cortante)

M/EI

q

(Carga)

tabla. 2

Construccin de la viga conjugada

Se construye la viga conjugada estudiando los desplazamientos de la estructura

primaria, as se tiene que:

YB = 0 YG 0 YC = 0 YD = 0

B 0 GIZQ Gder C 0 D 0

123

La equivalencia entre viga conjugada y viga real es como se presenta en la

tabla. 2, as que los desplazamientos verticales en el sistema primario, se convierten en

momentos en la viga conjugada y las rotaciones se transforman en fuerzas cortantes.

Por lo tanto:

MB = 0 MG 0 MC = 0 MD = 0

VB 0 VGIZQ VGder VC 0 VD 0

Se forma la viga conjugada, con estas ltimas condiciones y con el diagrama de

momento flector, dividido entre el modulo de elasticidad y la inercia,

2t.m/EI

1t.m/EI

B G C D

3m 3m 3m

Solucin de la viga conjugada

+ MC D = 0 DV

* 3 2/EI * 3/2* 1/3 * 3 = 0

DV = 1/EI t.m

+ MG = 0 - BV * 3+1/EI * 6 2/EI * 3/2 * (1/3 * 3+3) 2/EI * 6/2 *

(3 1/3*6)=0

BV = - 4/EI BV = 4/EI

+ FV = 0 2 * 9/2 EI + 4/EI 1/EI GV = 0 GV = 12/EI

124

TRAMO: B-G 0 x 3 Por integracin

q(X) = 1/(3EI) * x

V(X) = 4/(EI) + 1/3EI * x2/2

M(X)

M(X) = 4/(EI)* x + 1/(6EI)*x3/3

4/EI

x =1/(EI) (4*x + 1/18 * x3)

M(X) = 4/(EI) * x + q(X) * x/2 * 1/3 * x

= 4/(EI) * x + 1/(3EI) * x * x/2 * 1/3 * x

= 1/(EI) (4*x + 1/18 * x3) 5.5/(EI) 6.5/(EI)

M(3) = 13.5/EI 12/(EI)

V(3) = 5,5/EI

TRAMO: G-C 0 x 3

q(X) = (1/3 * x + 1) * 1/EI

13,5/EI M(X)

6,5/EI

x

M(X) = -6,5*x + 1* x2/2 + 13.5 * 1/EI+ (q(X) 1/EI)* x/2 * 1/3*x

M(X) = -6,5*x + x2/2 + 13,5 + 1/3*x * x

2/6 * 1/EI

M(X) = x3/18 + x

2/2 6,5*x + 13,5 * 1/EI

Por Integracin

V(X) = -6,5 + 1/3 * x2/2 + x * 1/EI

V(X) = -6,5 + x + 1/6 * x2 * 1/EI

M(X) = 13,5 6,5 * x + x2/2 + x

3/18 * 1/EI

125

V(3) = -2/(EI)

M(3) = 0

TRAMO: C-D 0 x 3

q(X) = (-2/3 * x + 2)*1/EI

2/EI

M(X)

x

2/(EI)

M(X) = -2/EI*x + q(X)*x2/2 + (2/EI-q(X))* x/2*2/3*x

M(X) = -2*x + (-2/3*x + 2)*x2/2 + 2/3*x*x/2*2/3*x *1/EI

M(X) = 2/9*x3 2/6*x3 + x2 2*x *1/EI

M(X) = -2/18*x3 + x

2 2*x *1/EI

Por Integracin

V(X) = -2 2/3*x2/2 + 2*x *1/EI

V(X) = -2 2/6*x2 + 2*x *1/EI

M(X) = -2*x 2/6*x3/3+2*x

2/2 *1/EI

M(X) = -2/18*x3 + x

2 2*x *1/EI

V(3) = 1/(EI)

M(3) = 0

EN RESUMEN:

TRAMO: B-G 0 x 3

M(X) = 1/EI ( 4*x + 1/18*x3 )

126

TRAMO: G-C 0 x 3

M(X) = 1/EI *( 13,5 6,5*x + x2/2 + x

3/18 )

TRAMO: C-D 0 x 3

M(X) = 1/EI ( -2*x + x2 2*x3/18 )

Nuevamente aplicando el cuadro de equivalencia, entre viga real y viga

conjugada, se obtiene que las ecuaciones de momento encontradas en la viga conjugada,

son las ecuaciones de desplazamientos verticales(v) del sistema primario; y el corte en

el punto G, de la viga conjugada, es la rotacin(d) en ese punto en el sistema primario.

Se encuentran las ecuaciones de la lnea de influencia dividiendo v entre d, tal

como sigue:

Aplicacin de la Ecuacin: I = v/d = MG , d = GV =12/EI

Ecuaciones de la Lnea de Influencia.

A continuacin se presentan las ecuaciones de las lneas de influencia para el

momento flector en el punto G.

TRAMO: B-G 0 x 3

MG = x/3 + 1/216*x3

TRAMO: G-C 0 x 3

MG = 1,125 0,542*x + x2/24 + x

3/216

TRAMO: C-D 0 x 3

MG = -x/6 + x2/12 x3/108

127

Las grficas de estas ecuaciones se muestran en la fig. 5,

Trazando un eje de coordenadas al inicio de cada tramo

x Tramo BG Tramo GC Tramo CD

0 0,000 1,125 0,000

0,5 0,167 0,865 -0,064

1 0,338 0,629 -0,093

1,5 0,516 0,421 -0,094

2 0,704 0,245 -0,074

2,5 0,906 0,103 -0,041

3 1,125 -0,001 0,000

- 0 ,2

0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

1 ,2

0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5 5 ,5 6 6 ,5 7 7 ,5 8 8 ,5 9

Fig. 5

B G C D

128

3.7. Aplicacin de los diagramas de influencia para el clculo de fuerzas.

3.7.1. Caso de cargas puntuales.

Utilizando las ecuaciones de influencia, pueden calcularse directamente la

magnitud de la incgnita, provocada por cualquier tipo de carga sobre la estructura.

Como se recordar, las ordenadas del diagrama de influencia son la magnitud de

la fuerza (incgnita) representada, debido a una carga unitaria ubicada en cualquier

punto sobre la estructura. Para obtener el valor de la fuerza originado por cualquier

carga real, solo se multiplica el valor de la carga por la ordenada del diagrama en la

posicin de la carga.

3.7.1.1. Ejemplo N 6

Supongamos la estructura del ejemplo 5 con las siguientes cargas, se desea

calcular el valor del momento flector en el punto G, para esta situacin particular.

3 t 5 t

B G C D

S2 S2

S1 S1 S1 3.5m

A E F

3m 3m 3m 3m

Se procede a calcular el valor del momento flector en G, cuando la carga unitaria

est ubicada en ese mismo punto, su valor se multiplica por 3 t, luego se calcula el valor

del momento flector en el punto G, cuando la carga unitaria est ubicada en el punto

medio de la barra CD y su valor se multiplica por 5 t, se suman estos dos resultados

129

para encontrar el valor real del momento flector en el punto G, para la condicin de

cargas mostrada, esto es:

Se toma la ecuacin del tramo B-G

TRAMO: B-G 0 x 3

MG = x/3 + 1/216*x3

Se evala en 3 m

MG(3) = 3/3 + 1/216*(3)3

= 1,125 tm

Para la carga de 3 t, MG = 3* 1,125 = 3,375 tm

Se toma la ecuacin del tramo C-D

TRAMO: C-D 0 x 3

MG = -x/6 + x2/12 x3/108

Se evala en 1,5 m

MG(1,5) = -1,5/6 +(1,5)2/12 2*(1,5)3/216 = - 0.094 tm

Para la carga de 5 t, MG = - 0,469 tm

Para el sistema de carga mostrado en la figura, MG = 3,375 tm 0,469 tm = 2,906 tm

3.7.2. Caso de cargas distribuidas.

Tambin es posible calcular fuerzas debidas a cargas distribuidas, usando las

ecuaciones de influencia.

Las cargas distribuidas pueden ser tratadas como una serie de cargas puntuales

muy cercanas.

Una carga distribuida puede dividirse en una serie de rectngulos (ver fig. 6),

donde el rea de cada rectngulo (A), representa una carga puntual, sea por ejemplo:

Ai = wi * xi ,

130

donde:

xi : es el ancho del rectngulo i

wi : es el promedio de la carga distribuida en el intervalo xi

wi

w

x

xi

El efecto de un rectngulo es R = wi * xi * yi y la respuesta debido a todas las

cargas puntuales producidas por n rectngulos, ser:

i=n

R = wi * xi * yi i=1

Donde: yi es la ordenada de la lnea de influencia en el punto de ubicacin del

rectngulo Ri

Para minimizar el error al calcular las reas de los rectngulos, aplicamos el

lmite cuando el ancho del rectngulo tiende a cero, es decir:

i=n

R = Lim wi * xi * yi x0 i=1

Luego, por definicin de integral, se tiene que:

L

R = w(x) * I(x) dx

0

L

fig. 6

131

3.7.2.1. Ejemplo N 7

Supongamos la estructura del ejemplo 5 con una carga distribuida en forma de

trapecio, se desea calcular el valor del momento flector en el punto G, para esta nueva

situacin.

2t/m

1 t/m

B G C D

S2 S2

S1 S1 S1 3.5m

A E F

3m 3m 3m 3m

Ecuaciones de Carga.

Las ecuaciones de las cargas de la estructura original, se obtienen trazando un

eje de coordenadas al inicio de cada tramo, como se muestra a continuacin:

TRAMO: B-G 0 x 3

La ecuacin de la carga, ser la de una lnea recta que pasa por los puntos: 0,2 y

3,5/3.

W(X) = -1/9*x + 2

TRAMO: G-C 0 x 3

La ecuacin de la carga, ser la de una lnea recta que pasa por los puntos: 0,5/3 y

3,4/3.

W(X) = -1/9*x + 5/3

132

TRAMO: C-D 0 x 3

La ecuacin de la carga, ser la de una lnea recta que pasa por los puntos: 0,4/3 y

3,1.

W(X) = -1/9*x + 4/3

Clculo del momento flector en G.

Para calcular el valor del momento debido a las cargas que actan sobre la estructura

original, se aplica la frmula:

L

MG = w(x) * I(x) dx

3 0

MG = ( -1/9*x + 2 ) ( 1/3*x + 1/216*x3 ) dx

0

3

+ ( -1/9*x + 5/3 ) ( 1,125 0,542*x + x2/24 + x3/216 ) dx

0 3

+ ( -1/9*x + 4/3 ) (-x/6 + x2/12 x3/108 ) dx

0

MG = 2,829 + 2,202 0,221

MG = 4,810 tm.m