Línea de Simson

Las proyecciones de un punto sobre los lados de un triángulo son colineales si y sólo si el punto se encuentra sobre el circuncírculo del triángulo.

En otras palabras, dado un punto P sobre el plano de un triángulo ABC, denotemos por D, E y F a las proyecciones desde P a los lados BC, CA y AB del triángulo, respectivamente. Entonces D, E y F son colineales si y sólo si P se encuentra sobre el circuncírculo de ABC. Demostración.

Notemos que D, E y F son colineales si los ángulos CDE y BDF son iguales. Entonces podemos establecer la siguiente serie de relaciones:

,                  

180

180

     

                 

D E y F son colineales CDE BDF CPE BPF

EPF CPB BAC CPB

CPB BAC

ABCP es cíclico

P está sobre el circuncírculo de ABC

⇔ ∠ =∠ ⇔∠ =∠

⇔∠ =∠ ⇔ °−∠ = ∠

⇔∠ +∠ = °

⇔

⇔

Otra Demostración.

Notemos que DEF es el triángulo pedal del punto P con respecto a ABC,

entonces DEF tiene lados 2

AB CPDE

R

⋅= ,

2

BC APEF

R

⋅= y

2

AC BPFD

R

⋅= , donde R es

el circunradio de ABC. Entonces tenemos que: ,               

2 2 2

                                  (             )

                 

D E y F son colineales ED DF EF

AB CP AC BP BC AP

R R RAB CP AC BP BC AP

ABPC es cíclico por el teorema de Ptolomeo

P está en el circuncírculo de ABC

⇔ + =

⋅ ⋅ ⋅⇔ + =

⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅

⇔

⇔

A continuación veremos algunas propiedades y teoremas que iremos demostrando para reforzar la práctica de cuadriláteros cíclicos y la recta de simson.

Propiedades Elementales de la Recta de Simson

• Si P es un punto del circuncírculo del triángulo ABC y si la perpendicular al lado BC que pasa por P corta al circuncírculo en U, sucede que: AU y la línea de Simson de P son paralelas.

E

A B

C P

D

F

Esto es inmediato de observar que los cuadriláteros PAUC y PB’A’C son cíclicos, ya que en tal caso se tienen las identidades:

' ' 'PUA PCA PCB PA B∠ = ∠ = ∠ = ∠ ,

luego la línea PU corta a las líneas AU y C’A’ en ángulos correspondientes iguales, por tanto, las dos líneas AU y C’A’ son paralelas. Veamos ahora qué sucede con las líneas de Simson de dos puntos P y P’ sobre el circuncírculo de ABC. Por lo anterior, el ángulo entre las líneas de Simson es igual al ángulo entre las líneas AU y AU’, donde U’ se construye igual que U; es decir, es la intersección del circuncírculo con la perpendicular a BC por P’.

B C

A

C’

P

U

B’

A’

U

B C

A

P’

U’

P

O

Como las cuerdas PU y P’U’ son perpendiculares a BC, estas son paralelas y entonces los arcos UU’ y PP’ son iguales, luego:

1 1' ' '2 2

UAU UOU POP∠ = ∠ = ∠ .

Lo anterior nos permite concluir que:

• El ángulo entre dos líneas de Simson correspondientes a dos puntos P y P’ del circuncírculo es igual a la mitad de la medida angular del arco PP’.

Un caso especial es cuando los puntos P y P’ son diametralmente opuestos; según el resultado anterior, se tiene que las líneas de Simson son perpendiculares. Recíprocamente, tenemos:

• Si las líneas de Simson de dos puntos P y P’ son perpendiculares, los puntos son diametralmente opuestos.

Si AU y AU’ son perpendiculares, AUU’ es un triángulo rectángulo y UU’ es un diámetro, las perpendiculares a BC desde U y U’ encuentran al circuncírculo en los puntos P y P’; como los ángulos en P y P’ son rectos tenemos que PUP’U’ es un rectángulo y entonces P y P’ son diametralmente opuestos.

• Para cada dirección hay una línea de Simson paralela a la dirección dada. Por A tracemos la línea con la dirección dada; ésta cortará al circuncírculo en un punto U (en el caso que la dirección coincida con la dirección de la tangente en A tomamos U = A). Si ahora trazamos la perpendicular a BC por U, ésta cortará al circuncírculo en un punto P. La línea de Simson del punto P es la que tiene la dirección dada, ya que AU y la línea de Simson de P son paralelas.

U

B C

A

P’

U’ P

La línea de Steiner Sea P un punto del plano, A’’, B’’ y C’’ los reflejados de P respecto a los lados BC, CA y

AB de un triángulo ABC. Los puntos A’’, B’’ y C’’son colineales si y sólo si P está sobre el circuncírculo de ABC. Demostración.

La demostración es sencilla, basta observar que si A’, B’, C’ son los pies de las perpendiculares de P a los lados BC, CA, AB, se tiene que las figuras A’B’C’ y A’’B’’C’’ son figuras nomotéticas, con centro de homotecia P y razón de homotecia 1:2. Además por el Teorema de Simson sabemos que A’, B’, C’ son colineales si y sólo si P se encuentra en el circuncírculo de ABC.

B C

P

U A

C’ A’

B’

B C

A C’

P

B’

A’

A’’

B’’

C’’

Definición. Para un punto P sobre el circuncírculo del triángulo ABC, la línea por A’’, B’’ y

C’’ se llama la línea de Steiner. La línea es paralela a la línea de Simson.

Propiedades de las líneas de Steiner

• La línea de Steiner pasa por el ortocentro H del triángulo ABC. Antes de iniciar la demostración necesitamos hacer una observación: Si aH es el punto de intersección de la altura AD con el circuncírculo y H es el ortocentro

de ABC, entonces HD = aDH . (Justificación: el cuadrilátero CAFD es cíclico, luego

son iguales los ángulos ∠ FAD y ∠ FCD, pero ∠ FAD = ∠ aBCH ya que abren el

mismo arco, por tanto los triángulos rectángulos HDC y aH DC son congruentes y

entonces HD = aDH ).

Ahora, si P es un punto del circuncírculo, A’ su proyección sobre BC y A’’ el reflejado de P con respecto a BC, tenemos que HA’’ y aH P concurren en un punto

X sobre el lado BC, ya que PA’ = A’A’’ y HD = aDH .

Como los triángulos aHH X y PA’’X son isósceles y como ''a aH PA H AU∠ = ∠ por

abrir el mismo arco, se tiene que HA’’ es paralela a AU y entonces a la línea de Simson de P, luego HA’’ se encuentra sobre la línea de Steiner.

B C

A

P

A’

A’’

C’’

H

Ha

D

X

U B C

A

F E

D

H

Ha

• El segmento PH es bisecado por la línea de Simson de P. Sabemos que A’’H, AU y A’C’ son paralelas. En el triángulo A’’HP se tiene que A’ es el punto medio del lado A’’P, por tanto, la paralela a HA’’ por A’ deberá cortar al lado HP en el punto medio, luego el resultado.

• El punto de bisección del segmento HP se encuentra sobre la circunferencia de los nueve puntos del triángulo ABC.

Recordemos que la circunferencia de los nueve puntos pasa por los puntos medios L, M, N, de AH, BH y CH, lo que muestra que la circunferencia de los nueve puntos y el circuncírculo son nomotéticos desde H en razón 1:2, por lo que para cualquier P en el circuncírculo, el punto medio de PH está sobre el círculo de los nueve puntos, de allí el resultado. Los siguientes teoremas serán enunciados solamente, sin demostración alguna. Su prueba se dejará como ejercicio al lector.

Teoremas de Miquel Teorema de las seis circunferencias de Miquel

Cuatro circunferencias 1C , 2C , 3C , 4C , son tales que 1C y 2C se intersectan en A y

A’, 2C y 3C se intersectan en B y B’, 3C y 4C se intersectan en C y C’, y 4C y 1C se

intersectan en D y D’. Entonces los puntos A, B, C, D son concíclicos si y sólo si los puntos A’, B’, C’, D’ son concíclicos.

C B

A

F

E

D

H

L

M N

P

B C

A

P

A’

A’’

C’

H

Ha

D

U

B’

Este teorema admite varias configuraciones, sin embargo, para todas ellas sigue siendo válido. Lema de Miquel

Si A’, B’, C’ son puntos sobre los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC, entonces los circuncírculos de los triángulos AB’C’, A’BC’ y A’B’C tienen un punto en común.

Primer Teorema de Miquel

Sean A’, B’, C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC. Si A’, B’, C’ son colineales, entonces los circuncírculos de los triángulos AB’C’, A’BC’, A’B’C y ABC son concurrentes.

A

B

C

D

D’

C’

B’

A’

B A C’

A’

C

B’

Recíproco del Primer Teorema de Miquel

Sean A’, B’, C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC. Si los circuncírculos de los triángulos AB’C’, A’BC’, A’B’C y ABC son concurrentes, entonces A’, B’, C’ son colineales.

A C’ B

A’

C

B’

A C’

B

A’

C

B’

Segundo Teorema de Miquel Si los puntos A’, B’, C’ sobre los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC son

colineales, entonces los centros de los circuncírculos de los triángulos AB’C’, A’BC’, A’B’C y ABC forman un cuadrilátero cíclico. Además el circuncírculo del cuadrilátero pasa por el punto de concurrencia de los cuatro circuncírculos.

En los siguientes problemas se aplican las propiedades de las líneas de Simson.

Problemas 1. Si A’ es el punto diametralmente opuesto al vértice A del triángulo rectángulo

ABC sobre el circuncírculo, la línea de Simson de A’ con respecto a ABC es BC. 2. Las líneas de Simson de los vértices A, B y C con respecto a ABC, son

concurrentes. 3. Demuestra que si PA, PB, PC son tres cuerdas de una circunferencia y estas se

toman como diámetros de tres circunferencias, entonces las circunferencias se intersectan por pares en otros tres puntos que son colineales.

4. Demuestra que si tres circunferencias de diámetros PA, PB, PC se intersectan

por pares en tres puntos colineales, entonces los puntos A, B, C y P se encuentran sobre una misma circunferencia.

A C’ B

A’

C

B’

O

Oa

Ob

Oc

P

5. Una circunferencia variable que pasa por dos puntos fijos A y D, corta a dos líneas fijas por A, en los puntos B y C. Encuentre el lugar geométrico de los ortocentros del triángulo variable ABC.

6. Los vértices de los triángulos ABC y A’B’C’ son diametralmente opuestos (A es

opuesto a A’, etc.). Muestre que las líneas de Simson de un punto del circuncírculo, con respecto a cada uno de los dos triángulos, son perpendiculares.

7. La línea de Simson de P con respecto a ABC, intersecta a BC en L y a la altura

AD en K. Muestre que PK y LH son paralelas, desde luego H es el ortocentro de ABC.

8. Demuestra que si la línea de Simson de P con respecto a ABC, es paralela a OA,

entonces PA es paralela a BC. (O es el circuncentro de ABC.) 9. Si la línea de Simson de P con respecto a ABC, pasa por el punto

diametralmente opuesto a P (sobre el circuncírculo de ABC), muestre que también pasa por el centroide de ABC.

10. Los vértices B, C y el circuncírculo O de un triángulo variable ABC, están fijos.

Si P y P’ son dos puntos fijos sobre O, muestre que el punto de intersección de las líneas de Simson de P y P’ con respecto a ABC, se mueve dibujando una circunferencia, al variar C.

11. Un triángulo variable ABC tiene un centroide y un circuncírculo fijos. Muestre

que las líneas de Simson de estos triángulos, para un punto fijo del circuncírculo, pasan por un punto fijo.

12. Sean ABC un triángulo, D, E, F puntos sobre los lados BC, CA, AB y alineados.

Se conoce que los circuncírculos de ABC, BDF, AEF y DEC son concurrentes en un punto M (punto de Miquel).

Muestre que los ortocentros de ABC, BDF, AEF y DEC, son colineales (están sobre la línea de Steiner de M). Muestre que existe una parábola tangente a AB, BC, CA y DE.

13. Demuestra que las líneas de Simson de un punto P del circuncírculo con

respecto a ABC y con respecto a a b cH H H son perpendiculares, donde aH es la

intersección de AH con el circuncírculo (análogamente se definen bH y cH ).

14. Muestre que si tres circunferencias de centros A, B, C pasan por un mismo

punto P del circuncírculo de ABC, entonces las circunferencias se intersectan por pares en tres puntos colineales.

Recíprocamente, si tres circunferencias que tienen un punto en común se intersectan por pares en tres puntos colineales, entonces el punto común es concíclico con los centros de las circunferencias.

15. Considere una circunferencia C, un punto P sobre C, y una línea L. Muestre que

hay una infinidad de triángulos inscritos en C, que tienen a L como línea de Simson respecto a P. Encuentre el lugar geométrico de los ortocentros de estos triángulos.

16. Las líneas de Simson de dos puntos diametralmente opuestos P y Q, con

respecto a un triángulo, cortan al diámetro PQ en P’ y Q’, respectivamente. Muestre que la circunferencia de diámetro P’Q’ es tangente a la circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

17. Si se proyectan los vértices A, B, C de un triángulo sobre un diámetro DE, en A’,

B’, C’, respectivamente, demuestra que las perpendiculares trazadas desde A’ al lado BC, desde B’ al lado CA y desde C’ al lado AB, son concurrentes en un punto W. Demuestra también que el punto W es el punto de intersección de las líneas de Simson de D y E con respecto a ABC.

18. Sea DD’ un diámetro del circuncírculo de ABC y sean L, M, N las intersecciones

de DD’ con BC, CA y AB, respectivamente. Muestre que las circunferencias de diámetros AL, BM y CN son concurrentes.

19. Muestre que el Lema de Miquel es el caso especial del teorema de las seis

circunferencias, cuando dos circunferencias consecutivas de las dadas degeneran en líneas.

20. Sean A’, B, C’ puntos sobre los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC,

respectivamente. Si A’, B’, C’ son colineales y P es el punto común de los circuncírculos de los triángulos AB’C’, A’BC’, A’B’C y ABC, muestre que los ángulos entre PA’ y BC, entre PB’ y CA, y entre PC’ y AB, son iguales.

21. Demuestra que dadas cuatro rectas (no tres de ellas concurrentes), existe una

parábola tangente a las cuatro líneas y cuyo foco es el punto de intersección de los cuatro circuncírculos que se forman al tomar tres de las cuatro rectas.

22. Demuestra que dadas cinco rectas (no tres de ellas concurrentes), existen cinco

parábolas, cada una tangente a cuatro líneas y cuyos focos están sobre una misma circunferencia.

23. Teorema de Clifford.

(a) Primer teorema de Clifford. Sean 1α , 2α , 3α y 4α cuatro circunferencias que

pasan por un punto A. Sea ijA el segundo punto de intersección de iα y jα ,

y sea ijkα el circuncírculo de ij jk kiA A A . Muestre que las cuatro

circunferencias 123α , 124α , 134α y 234α , tienen un punto común 1234A .

(b) Segundo teorema de Clifford. Si 5α es una quinta circunferencia que pasa

por A, entonces los cinco puntos 1234A , 1235A , 1245A , 1345A y 2345A se

encuentran sobre una circunferencia 12345α .

(c) Tercer teorema de Clifford. Si partimos de seis circunferencias 1α , 2α , 3α ,

4α , 5α y 6α , entonces las seis circunferencias 12345α , 12346α , 12356α , 12456α ,

13456α y 23456α , tienen un punto común 123456A .

24. Si ABCD es un cuadrilátero cíclico, demuestra que las líneas de Simson de A, B,

C y D con respecto a BCD, ACD, ABD y ABC, respectivamente, son concurrentes.

25. Sean A, B, C, P, Q cinco puntos sobre una circunferencia, tales que PQ es un

diámetro. Muestra que las líneas de Simson de P y Q son respecto a ABC se intersectan en un punto concíclico con los puntos medios de ABC.

26. Sea I el incentro de un triángulo ABC, y D, E, F las proyecciones desde I sobre

BC, CA, AB, respectivamente. El incírculo de ABC corta a los segmentos AI, BI, CI en M, N, P, respectivamente. Muestra que las líneas de Simson de cualquier punto sobre el incírculo con respecto al triángulo DEF y MNP son perpendiculares.