lina llanos- algebra

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 1

Revista 360/ N

o.6/ 2011

Enseñanza del Álgebra y la Resolución de Problemas

Prof. Lina Soraya Llanos Vargas

Introducción

La matrícula de los cursos de matemática básica a nivel universitario es, por lo general,

numerosa. Los estudiantes traen consigo diversos trasfondos educativos, poseen sus propias

motivaciones, necesidades e intereses. Esta situación requiere el empleo de diversas experiencias

de aprendizaje de parte del profesorado que satisfagan tanto las necesidades educativas, así como

los intereses de los estudiantes matriculados. El curso requiere que los estudiantes utilicen y

desarrollen destrezas de alto nivel de pensamiento como lo son: la capacidad de interpretar,

evaluar, analizar y, sobre todo, de resolver problemas.

A este contexto, se suma que muchos de nuestros estudiantes tienen una precaria

apropiación del conocimiento Algebraico; los estudiantes tienen problemas relativos a la

naturaleza y significado de los símbolos y las letras, el uso inapropiado de fórmulas o

procedimientos, la traducción entre diferentes lenguajes, y se les dificulta resolver problemas

verbales. Lo anteriormente expuesto, impide al estudiante aplicar el Álgebra al interior de la

Matemática misma y en otras áreas del saber. A la luz de la alta incidencia de fracasos en el

curso de Fundamentos de Álgebra y al pobre dominio de las destrezas de pensamiento de los

estudiantes universitarios (Colom, 1995; Torres, 1989 y Vera, 1993), se reconoce la inmensa

necesidad de implantar estrategias de enseñanza y el diseño de nuevos materiales metodológicos

que contribuyan a desarrollar las competencias del estudiante y su aprendizaje sea significativo.

El conocimiento Algebraico es esencial por su aporte a la comunicación y expresión de las

matemáticas, a la construcción de modelos y a la estructuración de formas de razonamiento

(Pérez, 1997). El Álgebra no debe ser vista de forma abstracta, árida y descontextualizada que

desmotive a los estudiantes y los lleve a limitarse a memorizar conceptos y procedimientos sin

comprender su verdadero significad: la solución de problemas de la vida cotidiana. Los

estudiantes deben visualizar que hacer o desarrollar matemáticas incluye el resolver problemas,

abstraer, inventar, probar y encontrar el sentido a las ideas matemáticas. Según Santos (1995), los

estudiantes tienen dificultades para solución de problemas en matemáticas, cuando precisamente

los problemas son los que realmente pueden potenciar el aprendizaje de la matemática y

evidenciar su utilidad. Por lo tanto, es necesario innovar el currículo mediante la utilización de


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estrategias de enseñanza en las cuales los estudiantes les den sentido a las matemáticas en un

contexto auténtico basado en problemas.

Para Guzmán (1989), la resolución de problemas se considera en la actualidad la parte

más esencial de la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes

experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. El Consejo

Nacional de Profesores de Matemáticas [NCTM], (2000), en Estados Unidos, hace más de diez

años, declaró que el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser

otro que el de la resolución de problemas. Según Hofsdadter (1999), las capacidades básicas de

la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas,

siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única

(conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que

el alumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones. De acuerdo con Santaló (1985),

enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas

no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas. Según Polya (1995), la resolución

de problemas es la espina dorsal de la enseñanza de las matemáticas desde la época del papiro de

Rhind. Expuso Polya que está bien justificado que todos los textos de matemáticas contengan

problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la

educación matemática.

El enfoque de George Polya en la resolución de problemas

El célebre matemático George Polya nacido en Hungría, analiza los procesos de quienes

resuelven bien los problemas matemáticos, con el fin de mejorar la resolución de problemas en

la clase de matemáticas. Para Polya (1957), el núcleo fundamental de la actividad matemática es

sin duda la resolución de problemas, la investigación actual en Educación Matemática consagra

una buena parte de sus esfuerzos en desentrañar en qué consiste la actividad eficaz de resolución

de problemas y cuáles son los mecanismos adecuados para conseguir que los estudiantes logren

convertirse en expertos resolviendo problemas. Según el autor, en la Resolución de Problemas,

hay muchos aspectos transmisibles del buen quehacer del gran experto. Esta transmisión tiene

lugar adentrándose en el taller del experto, adivinando sus esquemas de percepción, de

pensamiento, reflexionando explícitamente sobre las formas peculiares de proceder del maestro.

En especial, se le da crédito a la propuesta de Polya por la atención moderna que le otorga a la

idea griega de la heurística para resolver problemas.


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Para Polya (1957) los algoritmos son procesos bien definidos, que determinan o son

determinantes y garantizan una solución; por el contrario, en la heurística la solución no está

garantizada (es posible o probable). Esto, naturalmente genera muchos problemas en los

estudiantes, quienes prefieren los algoritmos. En su famoso libro Cómo Plantear y Resolver

Problemas, que se ha traducido a 15 idiomas, Pólya proporciona la existencia de varios tipos de

heurística:

Una primera heurística sería cuando, tratando de resolver un problema, surge en algún

momento la pregunta sobre aquello que se está buscando- (lo desconocido). Polya (1995) llegó a

esta idea cuando estaba trabajando con uno de sus estudiantes. Para ayudar al alumno, Polya le

presenta la metáfora del puente. El problema consiste en encontrar la ruta que lleva, de donde

uno se encuentra, hasta donde uno quiere llegar, es decir, a lo desconocido. Un segundo ejemplo

de heurística, es el de dibujar una figura del problema que uno está tratando de resolver. En la

clase de matemáticas, no les gusta hacer dibujos para representar el problema que están tratando

de resolver, aunque habitualmente es una herramienta muy útil. La dificultad que encuentran los

alumnos radica en que no se les ocurre lo que hay que pintar. Una de las heurísticas más

poderosas, que puede utilizar una persona en matemáticas, es pensar en un problema más

sencillo que tenga las mismas características y brinda las pautas para poder solucionar el

problema más complejo.

Para Polya (1995), un verdadero problema es cuando estando en una situación inicial bien

conocida, es necesario llegar a otra situación algunas veces conocida o someramente conocida y

no se conoce el camino. Un verdadero problema debe suscitar interés entre las personas que

quieran resolverlo, las cuales a su vez deben tener algún conocimiento sobre el tema que los

ocupa. Según Polya, existen cuatro tipos de problemas: problemas por resolver, por demostrar,

de rutina y prácticos, y abiertos y cerrados.

En los problemas por resolver, su propósito es “descubrir cierto objeto, la incógnita del

problema”. Los elementos estructurales de este tipo de problemas son la incógnita (lo buscado),

los datos (lo dado) y la condición (la vía de solución). En los problemas por demostrar, el

propósito es “mostrar de un modo concluyente, la exactitud o falsedad de una afirmación

claramente enunciada”. Los elementos estructurales son aquí la premisa y la conclusión. Un

problema de rutina es todo aquel problema que se puede resolver ya sea sustituyendo


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simplemente nuevos datos en el lugar de los de un problema ya resuelto, ya sea siguiendo paso a

paso, sin ninguna originalidad, la traza de algún viejo ejemplo.

En el trabajo de Polya (1995), se trata el grado de dificultad de los problemas, pero no se

atiende sistemáticamente a la relación entre los elementos estructurales de los mismos, cuestión

ésta que hace que, la decisión del grado de dificultad de uno a otro problema, sea relativa y

ambigua. Los problemas abiertos son aquellos que admiten varias respuestas o los problemas que

aún no han sido resueltos, y los problemas cerrados son los problemas de única solución.

Según Polya, para resolver un problema se necesitan los siguientes cuatro pasos:

a) Comprender el problema

Comprender el problema consiste en saber qué es lo que se pregunta y cuál es la información

que se da y las condiciones que caracterizan el problema. No tiene sentido responder a una

pregunta que no se comprende, se debe familiarizarse con el problema, hacer el esfuerzo por

entender el significado de las palabras que puedan ser importantes en el enunciado. Ayuda a

comprender un problema, responder las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son

los datos? ¿Cuál es la condición o condiciones? Un problema se ha comprendido completamente

cuando puede repetirse el enunciado en forma ligeramente distinta pero equivalente, cuando

pueden separarse claramente los datos, la incógnita y la condición. Mientras un problema no se

comprenda, no vale la pena avanzar en dirección alguna.

b) Concebir un plan

Concebir un plan hace que entre en juego la necesidad de recurrir a la experiencia, a la forma

en que se han solucionado problemas anteriores, a los conocimientos adquiridos, a comparar una

situación con hechos conocidos o ayudarse al solucionar problemas más simples, a aplicar las

condiciones dadas una tras otra hasta completar las solicitadas en el problema. Aparece la

heurística, las preguntas orientadoras serían: ¿Se conocen problemas semejantes? ¿Cómo se

relacionan con los actuales? ¿Conoce algún teorema útil para aplicarlo? ¡Busque problemas que

involucren menos variables! ¿Empleó todos los datos y condiciones? Generalmente un plan se

consolida cuando llega una idea brillante. Se le debe sacar el máximo provecho a los intentos

fallidos por resolver el problema, éstos alguna enseñanza deben dejar. Un plan en realidad

consiste en determinar una relación entre los datos y la incógnita. La consideración de

problemas auxiliares es definitiva en este proceso. Los dibujos son importantes en la concepción

del plan.


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c) Ejecución del plan

Consiste en desarrollar la idea brillante del plan del problema. La ejecución del plan solo

debe empezar cuando se tenga certeza de estar en el correcto punto de partida y de poder suplir

todos los detalles menores que puedan presentarse. No es conveniente dejar de considerar

detalles por pequeños que sean. De esta manera la solución que se obtenga estará libre de

cualquier duda o sospecha.

d) Examinar la solución

Todo problema puede comprobarse de una o varias formas. Debe mirarse la incógnita

obtenida desde varios puntos de vista; mirar los casos extremos del resultado y observar que

concuerda con problemas o resultados anteriores. Finalmente, se debe intentar revisar de nuevo

la solución a fin de agotar la posibilidad de otra solución más sencilla.

Respecto a las preguntas

En su trabajo, Polya presta especial atención a las preguntas en el momento de abordar un

problema. Según el autor, el profesor debe realizar preguntas con el fin de orientar la resolución

de algún problema. Estas preguntas deben tener características especiales con el fin de no

desorientar y desmotivar al estudiante. Las preguntas que se formulen en la resolución de

problemas deben tener las siguientes características:

De sentido común, naturales, sencillas y obvias.

Para volver interesante el problema las preguntas deben orientar al alumno hacia un

aspecto interesante del problema, a un punto de vista que el alumno ni imagina o

llevándolo a actividades cercanas a él o hacia un juego.

Aplicables a la vida diaria, deben mostrar ejemplos afines en los cuales se solucionen

problemas de la vida diaria.

Acordes al nivel de dificultad, en este sentido, el maestro debe ser cuidadoso al formular

preguntas técnicas, de tal forma que el alumno comprenda lo que se quiere decir o que lo

lleve a conocimientos adquiridos.

No deben ser directas, deben llevar a una solución no inmediata, no deben entregar todas

las herramientas al alumno, más bien, deben presentar sugerencias para que el interesado

mismo descubra la solución.

Las analogías directas y personales


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El método de resolución de problemas debe llevar al alumno a desarrollar afición a los

problemas e interés personal a solucionar cualquier tipo de problemas matemáticos que

encuentre en libros, revistas, artículos etc., y a que él mismo invente situaciones problemáticas.

Para Polya (1995), la relación de analogías en la resolución de problemas puede ser muy

provechosa. Es decir, comparar una situación problemática con otra parecida y tener la seguridad

que la solución es semejante.

Ensayo y error

Los métodos heurísticos de Polya (1995) consisten en realizar ensayos y errores, utilizar

métodos gráficos o estrategias para solucionar problemas teóricos, utilizar particularización para

comprobar con un ejemplo, etc. La sagacidad es ser capaz de encontrar caminos no pensados e

interesados, tener seguridad en el uso de la intuición y no decaer en su empeño. La habilidad

para ligar definiciones dadas por diccionarios, encontrar definiciones en éstos y ser capaz de

ligarlas a su definición matemática y la utilización adecuada de éstas. La habilidad para suprimir

términos técnicos con el fin de hacer más comprensible el problema. La habilidad para aplicar

teoremas conocidos, saber que lo aprendido anteriormente, de algún modo puede ayudar a

solucionar un determinado problema, la experiencia le ayuda a visualizar posibles herramientas.

La definición múltiple, es decir, que algunos teoremas que tienen diferentes posibilidades de

aplicación para su uso, estén al alcance y puedan ser interpretados.

La creatividad y el descubrimiento

La resolución de problemas debe llevar a que el alumno sea un ser creativo, que invente

nuevos problemas y posibles soluciones que no hayan sido exploradas. Para Polya (1995),

resolver problemas es una cuestión de habilidad práctica, como por ejemplo: nadar. La habilidad

práctica se adquiere mediante la imitación y la acción, al tratar de nadar se imita los movimientos

de pies y manos que hacen las personas que logran así mantenerse a flote, y finalmente se

aprende a nadar practicando la natación. El profesor que desee desarrollar en sus alumnos la

actitud para resolver problemas, debe motivar y despertar el interés facilitando el mayor número

posible de ocasiones de imitación y práctica. Si el maestro quiere desarrollar en sus alumnos el

proceso mental que corresponde a las preguntas y sugerencias anteriores, deben emplearse tantas

veces como vengan al caso de un modo natural. Cuando el maestro resuelve un problema ante la

clase debe dramatizar un poco sus ideas y emplear las preguntas claves. El alumno descubre, sin


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duda, la manera de utilizar las preguntas y sugerencias adquiriendo conocimientos más

importantes que los de un simple hecho matemático.

De acuerdo con Polya, es tonto contestar a una pregunta que no se comprende, es deplorable

trabajar con un fin que no se desea, sin embargo, tales errores se cometen con frecuencia. Se

deben escoger problemas adecuados, ni muy fáciles, ni muy difíciles, y debe dedicarse un cierto

tiempo a exponerse de un modo natural e interesante. El enunciado verbal debe comprenderse,

el alumno debe separar las principales partes del problema: incógnita, datos y condición. Para

Polya (1957), la heurística es el estudio de las reglas y métodos de descubrimientos y de

numeración. La heurística moderna trata de comprender el método que conduce a la solución de

problemas. A continuación se analizan los siguientes problemas sobre ecuaciones lineales,

utilizando las cuatro reglas de oro de Polya (1995):

Problema 1. La cabeza de un pez mide 10 cm, la cola es tan larga como la cabeza más la

mitad de su tronco, el tronco es tan largo como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuánto mide el

pez?

Los conceptos básicos para que el estudiante resuelva este problema es el de Ecuaciones de

Primer Grado. Para hacer interesante el problema, puede pensarse que el cuerpo del pez consta

de tres partes, en su orden: cabeza, tronco y cola, que la suma de las medidas de cada parte del

cuerpo será la medida total del pez, y de menor a mayor de acuerdo con el tamaño de las partes,

se tiene la cabeza, la cola y el tronco. El pez en mención es uno de la dimensión de un salmón

puesto que su cabeza tiene un promedio aproximado de 10 cm.

a) Comprensión del problema

Los datos del problema son la medida de la cabeza 10cm, el tronco y la cola del pez. La

incógnita es un número que represente la medida del pez. Las condiciones del problema son las

siguientes: La cola es tan larga como la cabeza más medio tronco. El tronco es tan largo como la

cabeza y la cola juntas. Conocidas las relaciones anteriores entre las partes del cuerpo, se

pregunta por la medida total del pez.

b) Concepción de un Plan

La idea brillante es pensar que la medida del pez es la suma de las medidas de las partes del

cuerpo del pez, P=X+Y+Z. Para reducir el problema a otro más sencillo, podría ser uno con la

misma incógnita y las mismas relaciones entre las partes del cuerpo, en este caso se conocerían

las medidas de la cabeza y el tronco, respectivamente 10cm y 60cm. Medio tronco es 30cm,


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luego la cola mediría 40cm (la medida de la cabeza más medio tronco). Sumando las partes

10cm + 60cm + 40 cm = 110cm, que es un pez bastante grande.

Regresando al problema original, se tomará una notación adecuada, sea X la cabeza, Y el

tronco y Z la cola del pez. Las relaciones entre las partes del pez son:

X=10cm

Z=10cm + (Y/2) la cabeza más medio tronco

Y=10cm + Z la cabeza y la cola juntas

De esta manera, la condición es suficiente y necesaria para resolver el problema.

c) Ejecución del Plan:

X=10cm

Z=10cm + (Y/2) ecuación (1)

Y=10cm +Z ecuación (2)

Se presenta una incógnita en términos de la otra de la siguiente manera: Remplazando (1) en (2)

para obtener (3)

Z=10cm + Y/2 (1)

Y=10cm + Z luego Y=10cm + 10cm + (Y/2)

Y=20cm + (Y/2) (3)

Despejando de (3) Y, se tiene que:

Y=40cm.

Remplazando este valor en la ecuación (1) Z=10cm+ (Y/2), Z=10cm+ (40/2)

Z=30cm

El pez mide P= X+Y+Z

P=10+40+30=80

d) Visión Retrospectiva:

La solución del problema es consistente con las condiciones del problema.

Z=10+Y/2 (Cola = Cabeza + medio tronco)

30=10+40/2

Y=10+Z

40=10+30


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Problema 2. Tengo un criadero de pollos y conejos. En el criadero hay un total de 76 ojos y

124 patas, ¿Cuántos pollos y conejos tengo en el criadero?

a) Comprensión del Problema

Los datos del problema son: 76 ojos y 124 patas que representan el número de ojos y de patas

respectivamente. La incógnita son dos números que expresan la cantidad de pollos y la cantidad

de conejos. El problema tiene dos condiciones: una expresa que entre pollos y conejos se tienen

76 ojos en un criadero y la otra es que hay 124 patas entre todos los animales del criadero.

Para hacer este problema interesante, hay que tener en cuenta que cada pollo en condiciones

normales tiene 2 ojos y 2 patas, pero cada conejo también en condiciones normales tiene 2 ojos

y 4 patas para moverse.


La idea brillante es que cada animal posee 2 ojos, cada pollo posee dos patas y cada conejo

posee 4 patas. Supóngase que en mi criadero tenga 10 pollos y 20 conejos. Por parte de los pollos

se obtienen 20 ojos y 20 patas, mientras que de parte de los conejos se obtienen 40 ojos y 80

patas. Si se suma el total de ojos y de patas, existen 60 ojos y 100 patas. Pueden suponerse más

cantidades de pollos y más cantidades de conejos para coincidir con el problema en mención.

Sean m la cantidad de pollos, y n la cantidad de conejos. Cada pollo tiene 2 ojos, la cantidad

total de ojos de pollo es 2m. Cada pollo tiene 2 patas, la cantidad total de patas de pollo es 2m.

Cada conejo tiene 2 ojos, la cantidad total de ojos de conejo es 2n. Cada conejo tiene 4 patas, el

número total de patas de conejo es 4n. Se obtienen entonces las relaciones:

2m+2n=76 y

2m+4n=124

c) Ejecución del Plan

2m+2n=76 (1) el número total de ojos entre pollos y conejos es 76

2m+4n=124 (2) el número total de patas entre pollos y conejos es 124

Se resta la ecuación (1) de (2) y se obtiene n=24.

Este valor se reemplaza en la ecuación (1), y se obtiene m=14.

En el criadero existen 14 pollos y 24 conejos.

d) Visión Retrospectiva:

Si existen en el criadero 14 pollos y 24 conejos pueden deducirse que por parte de los pollos

existen 28 ojos y 28 patas, y por parte de los conejos existen 48 ojos y 96 patas. Si se suma el


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total de los ojos se obtienen 76 ojos y un total de 124 patas. Se debe tener en cuenta que todo

animal en condiciones normales tiene solo dos ojos, dos o cuatro patas a excepción de los peces

y algunos insectos.

Cuando m=14 y n=24 se cumplen las igualdades:

2m+2n=76 y

2m+4n=124.

Problema 3. Un ladrillo está en equilibrio en una balanza con ¾ de ladrillo y una pesa de ¾

libra. ¿Cuánto pesa el ladrillo?

a) Comprensión del Problema

Los datos del problema son: el ladrillo, ¾ de ladrillo, una pesa de ¾ de libra. La incógnita

es un número que expresa el peso del ladrillo. La condición es que un ladrillo está en equilibrio

con ¾ de él mismo, más una pesa de ¾ de libra. Un ladrillo normalmente pesa más que una

libra, tómese la notación adecuada.

Sea X el peso del ladrillo, Y una libra.


La idea brillante es que un ladrillo pesa ¾ de ladrillo más ¼ de ladrillo.

Es decir, X= 3/4X +1/4X.

La condición del problema es:

X=3/4X +3/4Y

c) Ejecución del plan

Las dos ecuaciones anteriores son equivalentes a la única ecuación:

1/4X=3/4Y

O sea, X=3Y

Esto significa que cada ladrillo pesa 3 libras.

d) Visión Retrospectiva

Si x=3y se cumple la igualdad en:

x=3/4x+3/4y

De donde finalmente se obtiene que: 3y = 3y


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Referencias

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estudiantes de nuevo ingreso a la universidad y la demanda cognoscitiva del curso

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de Puerto Rico. Hato Rey, Puerto Rico.

Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM). Standards 2000 Project.

Recuperado de http://standards.nctm.org/document/chapter2/htm

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http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm

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Polya, G. (1995). Cómo Plantear y Resolver Problemas (2da ed.). México: Editorial

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pensamiento de los estudiantes de primer año del colegio universitario de Cayey. Cayey,

Puerto Rico: Universidad de Puerto Rico.

Vera, L. (2006). Assessment: Medición y evaluación del aprendizaje. Hato Rey, Puerto

Rico: Publicaciones Puertorriqueñas, Inc.

Prof. Lina Soraya Llanos Vargas, [email protected]. M.A. Matemática Aplicada, M.S. Física

Especialización en Educación Matemática con énfasis en los sistemas dinámicos. Universidad Interamericana de

Puerto Rico-Recinto de San Germán.

mailto:[email protected]

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