2.2 LIMITES Y CONTINUIDAD

En esta sección se desarrolla la terminología que nos ayudara a estudiar diferenciaciónde funciones de varias variables en la sección 2.3. Este material está centrado en losconceptos de conjunto abierto, límite y continuidad; los conjuntos abiertos sonnecesarios para entender límites, y, a su vez, los límites son necesarios para entendercontinuidad y diferenciabilidad.

Comenzamos la formulación del concepto de conjunto abierto mediante ladefinición de disco abierto. Sea x y sea un número real positivo. El disco abierto!

8− V <(o bola abierta) de radio y centro x se define como el conjunto de todos los puntos x< !

tales que x x . Este conjunto se denota por x , y es el conjunto de puntosm m < H! < !a bx en cuya distancia (ver la sección 1.5) a x es menor que . Nótese que incluimosV <8

!

solo aquellas x para las cuales se cumple la desigualdad estricta. El disco x seH< !a bilustra en la figura 2.2.1 para y . En el caso y x , el disco abierto8 œ "ß # $ 8 œ " − V!

H B <ß B < B − V< ! ! !a b a bx es el intervalo abierto , que consta de los números queestán estrictamente entre y . En el caso , x , x es elB < B < 8 œ # − V H! ! ! < !

# a b"interior" del disco de radio con centro en x . En el caso , x , x es el< 8 œ $ − V H! ! < !

$ a b"interior" de la bola de radio con centro en x .< !

DEFINICIÓN Sea (esto es, sea un subconjunto de ). Decimos que esY § V Y V Y8 8

un conjunto abierto cuando para cualquier punto x en existe algún tal que! Y < !H Y H § Y< ! < !a b a bx está contenido en ; en símbolos, x (ver la f i gura 2.2.2).

Figura 2.2.1 Apariencia de los discos x en (a) 1, (b) 2, y (c) 3 dimensiones.H< !a b

Nótese que el número depende del punto x , en general disminuir< ! <!

conforme x se acerca al "borde" de . Hablando intuitivamente, un conjunto es! Y Yabierto cuando los puntos "frontera" de no pertenecen a . En la figura 2.2.2, laY Ylínea punteada no está incluida en , y en la figura 2.2.1(c), la frontera de la esfera noYestá incluida.

Figura 2.2.2 Un conjunto abierto es aquel que incluye completamente algún discoYH< ! !a bx alrededor de cada uno de sus puntos x .

Además establecemos la convención de que el conjunto vacio (el conjunto quegno tiene elementos) es abierto. Hemos definido un disco abierto y un conjunto abierto. Según hemos escogidolos términos, parece que un disco abierto también deberá ser un conjunto abierto.

TEOREMA 1 Para cada x y x es an conjunto abierto.! < !8− V < !ß H a b

Es útil tener un nombre especial para un conjunto abierto que contenga unpunto dado x, ya que esta idea se presenta frecuentemente al estudiar límites ycontinuidad. Así, designaremos como una vecindad de x a un conjunto abierto − V Y8

que contiene al punto x. Por ejemplo, x es una vecindad de x para cualquierH< ! !a b< !.

DEFINICIÓN Sea . Un punto x es punto frontera de si toda vecindadE § V − V E8 8

de x contiene al menos un punto en y al menos un punto fuera de .E E

En esta definición, x puede estar o no en ; si x , entonces x es un puntoE − Efrontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto que no esté en (yaEcontiene un punto en , a saber, x). De manera análoga, si x no está en , es un puntoE Efrontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto de .E Estaremos particularmente interesados en puntos frontera de conjuntosabiertos. Por la definición de conjunto abierto, ningún punto de un conjunto abierto E

puede ser un punto frontera de . Así, un punto x es un punto frontera de un conjuntoEabierto si y solo si x no está en y toda vecindad de x tiene intersección no vacía conE EE. Esto expresa en términos precisos la idea intuitiva de que un punto frontera deE E es un punto justo en el "borde" de .

Ahora nos ocuparemos del concepto de límite. Durante toda la exposición siguiente, eldominio de definición de la función será un conjunto abierto . Estamos interesados0 Een hallar el límite de cuando x tienda a un punto de o a un punto frontera de0 − E EE. El estudiante probablemente ya aprendió, del cálculo de una variable, unadefinición de ite para una función de un subconjunto lim

BÄB!

0ÐBÑ œ 6 0 À E § V Ä V E

de números reales a los números reales. Intuitivamente, esto significa que conforme Bse acerca más y más a x los valores se acercan más y más a . Para colocar esta!ß 0ÐBÑ 6idea intuitiva sobre una base firme, precisa y manejable desde el punto de vistamatemático, por lo general se introduce el "método de epsilon y delta " o ela b a b% $

"método de las vecindades". Lo mismo sucede con las funciones de varias variables. Acontinuación desarrollaremos el enfoque de las vecindades para el concepto de límite.

DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea , donde es un conjunto abierto.0 À E § V Ä V E8 7

Sea x un punto en o en la frontera de , y sea una vecindad de . Decimos!7E E Z , − V

que esta finalmente en conforme x tiende a x si existe una vecindad de x tal0 Z Y! !

que x x , x y x implica x . (En la figura 2.2.3 se ilustra el significadoÁ − Y − E 0Ð Ñ − Z!

geométrico de esta afirmación; nótese que x no necesariamente debe estar en el!

conjunto , de modo que no necesariamente esta definida x .) Decimos que xE 0 0Ð Ña b!

tiende a cuando x tiende a x o, en símbolos,, ß!

ite x o cuando x xlimBÄB

!!

0Ð Ñ œ , 0ÐBÑ Ä , Ä ß

cuando, dada cualquier vecindad de , esta finalmente en conforme x tiende a xZ , 0 Z !

(esto es, " x esta cerca de si x esta cerca de x "). Puede ser que cuando x tienda a x0Ð Ñ , ! !

los valores de x no se acerquen a un número particular. En este caso decimos que0Ð Ñlimite x no existe.

BÄB!

0Ð Ñ

De ahora en adelante, cuando consideremos el concepto de ite x ,limBÄB!

0Ð Ñ

supondremos que x pertenece a cierto conjunto abierto donde está definida f, o bien!

está en la frontera de dicho conjunto. Una de las razones por las que insistimos en la definición de lmite, en quex x , será clara si recordamos, del cálculo de una variable, que nuestra intención esÁ !

definir la derivada de una función en un punto x mediante0 B 0w! !a b

0 B œ ßw!

BÄB

0 B 0 BBBa b limite

!

!

!

a b a b

y esta expresión no está definida en .B œ B!

Figura 2.2.3 Limites en términos de vecindades; si x esta en , entonces x estaráY 0Ð Ñen . (Los pequeños círculos huecos denotan el hecho de que y Z +ß 0 + B ß 0 Ba b a ba b a b! !

no están en la gráfica.)(a) (b) . (La línea punteada no0 À E œ +ß B Ä VÞ 0 À E œ Ö Bß C lB C "× Ä Va b a b!

# #

esta en la gráfica de f.)

EJEMPLO (a) Este ejemplo ilustra un límite que no existe. Considerar la función"0 À V Ä V definida por

0 B œ" B !

" B Ÿ !a b œ si

si

No existe el ite x pues hay puntos arbitrariamente cerca de con ,limBÄB

" "!

0Ð Ñ B ! 0 B œ "a by también hay puntos arbitrariamente cerca de con esto es, no hayB ! 0 B œ "# #a bun solo número cerca del cual este cuando este cerca de (ver la figura 2.2.4). Si se0 B !restringe al dominio o , entonces el limite existe. ¿Pueden ver por qué?0 !ß " "ß !a b a b

Figura 2.2.4 No existe el límite de esta función cuando x 0.Ä

(b) Con este ejemplo se ilustra una función cuyo límite existe, pero cuyo valor limite noes igual a su valor en el punto donde se toma el limite. Definir mediante0 À V Ä V

0 B œ" B Á !

" B œ !a b œ si

si

Es cierto que ite x , pues para cualquier vecindad de , y limBÄ!

0Ð Ñ œ ! Y ! B − Y B Á !

implica que . Si no hubiésemos insistido en que entonces0ÐBÑ œ ! B Á B ß!

Figura 2.2.5 El límite de esta función cuando 0 es cero.B Ä

el limite (suponiendo que usamos la definición anterior de límite sin la condición x x )Á !

no existiría. Así, estamos realmente interesados en el valor al que se acerca cuando0

B Ä Ä 00 (o, en general, cuando x x ). En la gráfica de la figura 2.2.11 vemos que !

tiende a cuando 0; no nos importa si toma otro valor en , o no está definida! B Ä 0 !ahí.

EJEMPLO Usar la definición para verificar que se cumple el "limite obvio"#limite x x , donde x y x .

BÄB! !

8

!

œ − V

SOLUCIÓN Sea la función definida por x x, y sea cualquier vecindad de x .0 0Ð Ñ œ Z !

Debemos mostrar que x esta finalmente en cuando x x . Así, por la definición,0Ð Ñ Z Ä !

debemos hallar una vecindad de x con la propiedad de que si x x y xY Á − Y ß! !

entonces x . Escoger . Si x , entonces x ; como x x , se sigue0Ð Ñ − Z Y œ Z − Y − Z œ 0Ð Ñque x . Así, hemos mostrado que ite x x .0Ð Ñ − Z œlim

BÄB!

!

De manera análoga tenemoslimite x x etc.a b a bBßC Ä B ßC

!! !

œ ß

TEOREMA 2: UNICIDAD DE LOS LÍMITESSi ite x y ite x , entonces .lim lim

BÄB BÄB" # " #

! !

0Ð Ñ œ , 0Ð Ñ œ , , œ ,

Para realizar cálculos prácticos con limites necesitamos algunas reglas, por ejemplo, queel límite de una suma es la suma de los limites. Estas reglas se resumen en el siguienteteorema.

TEOREMA 3 Sean x un elemento de o un0 À E § V Ä V ß 1 À E § V Ä V ß E8 7 8 7!

punto frontera de , y ; entoncesE , − V - − V7

(i) Si ite x , entonces ite x , donde estálim limBÄB BÄB

7

! !

0Ð Ñ œ , -0Ð Ñ œ -, -0 À E Ä V

definida por x c x .È 0a ba b(ii) Si ite x y ite x entonces ite x ,lim lim lim

BÄB BÄB BÄB" # " #

! ! !

0Ð Ñ œ , 1Ð Ñ œ , ß 0 1 Ð Ñ œ , ,a bdonde está definida por x x x .a b a b a b0 1 À E Ä V È 0 17

(iii) Si , ite x y ite x entonces ite x ,7 œ " 0Ð Ñ œ , 1Ð Ñ œ , ß 01 Ð Ñ œ , ,lim lim limBÄB BÄB BÄB

" # " #! ! !

a bdonde está definida por x x x .a b a b a b01 À E Ä V È 0 1

(iv) Si , ite x y para todo x entonces7 œ " 0Ð Ñ œ , Á ! 0ÐBÑ Á ! − EßlimBÄB!

limite x , donde está definida por x x .BÄB!

"Î0Ð Ñ œ "Î, "Î0 À E Ä V È "Î0a b

(v) Si x x x donde , , son las funciones0Ð Ñ œ 0 ß Þ Þ Þ0 0 À E Ä V 3 œ "ß Þ Þ Þ ß 7a ba b a b" 7 3

componentes de , entonces ite x si y sólo si0 0Ð Ñ œ , œ , ß Þ Þ Þ ß ,limBÄB

" 7!

a blimite x para cada .

BÄB3 3

!

0 Ð Ñ œ , 3 œ "ß Þ Þ Þß 7

DEFINICIÓN Sea una función dada con dominio . Sea x .0 À E § V Ä V E − E8 7!

Decimos que es continua en x si y sólo si0 !

limite x xBÄB

!!

0Ð Ñ œ 0 Þa b

Si decimos simplemente que es continua, queremos decir que es continua en cada0 0punto x de .! E

Como la condición ite x x significa que x esta cerca de xlimBÄB

! !!

0Ð Ñ œ 0 0Ð Ñ 0a b a bcuando x está cerca de x , vemos que nuestra definición corresponde, en efecto, al!

requerimiento de que la gráfica de f no esté rota (ver la figura 2.2.15, donde se ilustra elcaso ). El caso de varias variables es mas fácil de visualizar si trabajamos con0 À V Ä Vfunciones con valores reales, digamos . En este caso podemos visualizar 0 À V Ä V 0#

trazando su gráfica, formada por todos los puntos en con . Laa b a bBß Cß D V D œ 0 Bß C$

continuidad de significa entonces que su gráfica no tiene "brincos".0

Figura 2.2.6 (a) Función discontinua para la cual no existe limite ; (b) funciónBÄB!0ÐBÑ

continua para la cual existe el límite y es igual a .0ÐB Ñ!

TEOREMA 4 Sean , y un número real.0 À E § V Ä V ß 1 À E § V Ä V -8 7 8 7

(i) Si es continua en x también lo es , donde x x .0 -0 -0 œ -Ò0 Ó! a ba b a b

(ii) Si y son continuas en x , también lo es , donde0 1 0 1!a ba b a b a b0 1 œ 0 1x x x .

(iii) Si y son continuas en x y , entonces la función producto definida0 1 7 œ " 01!

por x x x es continua en x .a ba b a b a b01 œ 0 1 !

(iv) Si es continua en x y no se anula en , entonces el cociente0 À E § V Ä V E8!

"Î0 "Î0 œ "Î0 es continuo en x , donde x x .! a ba b a b(v) Si y x x x , entonces es continua en x0 À E § V Ä V 0 œ 0 ß Þ Þ Þ ß 0 08 7

" 7 !a b a ba b a bsi y sólo si cada una de las funciones con valores reales es continua en x .0 ß Þ Þ Þ ß 0" 7 !