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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

ESCUELA DE ECONOMIA

CATEDRA DE MATEMATICAS I

PROFA. MA. RITA AMELII

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO DE LIMITES

1. Si f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x ; calcular:

a. (f + g)(x)

b. (f - g)(x)

c. (f.g)(x)

d. (f/g)(x)

Resolución :

Hallamos cada uno de los límites por separado f(x) = 2 ² + 2 = 11 y g(x) = 1/3

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 11 + 1/3 = 34/3

b. (f - g)(x) = f(x) - g(x) = 11 - 1/3 = 32/3

c. (f.g)(x) = f(x) . g(x) = 11.(1/3) = 11/3

d. (f/g)(x) = f(x) / g(x) = 11/(1/3) = 33

2. Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4), cuando x 1

Resolución:

(2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) = (2.x³ - 1)/ (3.x ² + 4) = 1/7

3. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x 2

2

Resolución:

(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/ (x ² + 3.x - 10) =

= (2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios

(Numerador) P(x) = x³ - 2.x ² - 6.x + 12 = (x - 2).(x ² - 6)

(Denominador) Q(x) = x ² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)

- El límite del cociente P(x)/ Q(x) es:

(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = [(x - 2).(x ² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)]

= (x ² - 6)/(x + 5) = -2/7

4. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 4.x)/x, cuando x 0

Resolución :

(3.x ² - 4.x)/x = (3.x ² - 4.x)/ x = 0/0, indeterminación.

- Se simplifican numerador y denominador (factor común)

(3.x ² - 4.x)/x = x.(3.x - 4)/x

= (3.x - 4) = -4

5. Calcular 1/(x - 3) ²

Resolución :

1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ²

= 1/0, indeterminación.

Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.

1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ² = 1/0 = + ∞

3

1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ² = 1/0 = + ∞

Como los límites laterales coinciden, 1/(x - 3) ² = + ∞

6. Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x 1.

Resolución :

1 / (x - 1) = 1 / (x - 1)

= 1/0, indeterminación.

- Se estudian los límites laterales:

1/(x - 1) = 1 / (x - 1)

= 1/0 = + ∞

1/(x - 1) = 1 / (x - 1)

= 1/0 = - ∞

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.

7. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 2.x - 5)/(x - 4), cuando x ∞

Resolución :

En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.

(3.x ² - 2.x - 5) / (x - 4) = 3.x ²/x

= 3.x/1 = +∞

8. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x ² - 4), cuando x ∞

Resolución :

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:

4

(x³ - 5)/(-x ² - 4) = x³/(-x ²)

= = x/(-1) = -∞

9. Calcular (-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4)

Resolución :

El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:

(-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4) = (-3.x ²)/(4.x ²) L = -3/4

10. Calcular (x ² - x + 1)/(x³ - 4.x + 3)

Resolución :

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:

(x ² - x + 1) / (x³ - 4.x + 3) = x ²/x³

= 1/x L= 0

11. Resolver el limite

Resolución :

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite 0/0.

Factorizando:

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12. Resolver el siguiente limite:

Resolución :

Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:

13. Calcular el siguiente limite:

Resolución :

Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

14. Calcular

Resolución :

6

Calcular el límite:

Resolución :

Multiplicando numerador y denominador por la expression conjugada del denominador:

15. Encontrar la solución del siguiente limite

Resolución :

La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma 0/0.

Debido a que se puede expresar como

por lo que:

16. Resolver el siguiente limite:

7

Resolución :

Como el límite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100

con lo que:

por lo tanto:

17. Calcular :

Resolución :

Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Dividiremos entre la variable de mayor potencia:

por lo tanto

8

18.

19.

Solución:

La solución del límite da una indeterminación de la forma

Para resolver este límite aplicamos la siguiente expresión:

Aplicando al límite:

Pasando al límite: L = 1

9

20.

 

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