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LÍMITES DE FUNCIONES

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el

que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

Debes saber:

CÁLCULO DE LÍMITES:

1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a

siempre es o , dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del

polinomio:

Ejemplos.

2. Indeterminación

: Si tenemos que hacer el límite cuando x tiende a de un

cociente de polinomios nos encontraremos con esta indeterminación, la forma de

resolverla es dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado, pero

siempre siguen la siguiente regla:

2

Ejemplo.

3. Indeterminación : En esta indeterminación podemos tener dos casos, tener

una resta de cocientes en cuyo caso se pone común denominador y se hace la resta,

o tener una raíz, en tal caso hay que multiplicar y dividir por el conjugado de la resta

que aparece: *No entra para 1º matemáticas C.S.

Ejemplos.

La resolución de estos límites se limita a los 3 casos anteriores puesto que:

Ejemplo.

3

1. Límites laterales: Se define el límite lateral por la derecha de la de la función f(x), y se

expresa como:

Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores mayores que .

Por ejemplo si tomaremos un valor muy cercano a 2 por la derecha, 2’01.

De igual modo, Se define el límite lateral por la izquierda de la de la función f(x), y se

expresa como:

Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores menores que .

Por ejemplo si tomaremos un valor muy cercano a 2 por la izquierda, 1’99.

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente

que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

2. Indeterminación

: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios

y el numerados no se anula pero el denominador sí, en este caso sabemos que el

límite es , pero para resolverlo hay que hacer los límites laterales como se explica

en el punto anterior

Ejemplo.

4

3. Indeterminación

: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios

y tanto el numerados como el denominador se anulan, en este caso debemos

factorizar (normalmente por el método de Ruffini) numerador y denominador para

poder simplificar el cociente y volver a hacer el límite.

Ejemplo.

En este caso el denominador no se puede factorizar pero el numerador sí, y queda:

Para practicar:

1. 163lim 2

1

xx

x

2. 12lim 2

xxx

3. xxx

33lim

4. 1

lim5

24

x

xx

x

5. xx

x

x 5

25lim

2

2

5

6. 12

3lim

2

25

x

xx

x

7. 1

5634

23

1

xxx

xxxlimx

8.

43

3 3

1lim

x

x

x

9. 13

2lim

4

24

x

xx

x

10. 1

1lim

5

2

1

x

x

x