CEMATH LÍMITES DE FUNCIONES II

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LÍMITES DE FUNCIONES II

Recuerda los infinitésimos equivalentes en 0x →

( )

( )

2

1 12

1 1

1 1 1 1

− +

− −

+ − + +

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

x x

nn

senx x tan x x

arcsenx x arctan x x

xcos x ln x x

e x a x ln a

xx x nx

n

Ejercicio 1

Aplica los infinitésimos para calcular ( )

2

20

2sinlim

1 cosx

x

x x→ +

Solución

( ) ( )

2 2

2 20 0 0

2sin 2 2 2lim lim lim 1

1 cos 1 cos 1 cos 2x x x

x x

x x x x x→ → →= = = =

+ + +

Ejercicio 2

Calcular 0

1lim

sin 2

x

x

e

x→

−

Solución

0 0

1 1lim lim

sin 2 2 2

x

x x

e x

x x→ →

− = =

Ejercicio 3

Calcular ( )

0

ln 1lim

1x

x

x→

+−

Solución

( )

0 0

ln 1lim lim 0

1 1x x

x x

x x→ →

+= =

− −

Ejercicio 4

Calcular 2 2

20

sinlimx

x

x→

Solución

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( )222 22

2 20 0 0

sinlim lim lim 0x x x

xxx

x x→ → →= = =

Ejercicio 5

Hallar ( )4 4lim 1x

x x→∞

+ −

Solución

( )4 4 4 44 4

1 1lim 1 lim 1 lim 1 1x x x

x x x x xx x→∞ →∞ →∞

+ − = + − = + −

Si hacemos 4

1 Si 0z x z

x= → ∞ ⇒ →

34 4

44 4 40 0 0

1 1 1 4lim 1 1 lim lim lim 04x z z z

zz z

xx z z→∞ → → →

+ −+ − = = = =

Ejercicio 6

Hallar ( )2

40

1 coslim

sinx

x x

x→

−

Solución

( )

22

2

4 40 0 0

1 cos 1 12lim lim lim2 2sinx x x

xxx x

x x→ → →

−= = =

Ejercicio 7

Calcula 0

2 sinlim

1 cosx

x x

x→

−−

Solución

20 0 0 0

2 sin 2lim lim lim lim 2 2

1 cos22

x x x x

x x x x xxx x→ → → →

− −= = = =−

Ejercicio 8

Calcula 3

lim 1 1x

xx→∞

+ −

Solución

3lim 1 1x

xx→∞

+ −

Si hacemos

3 Vemos, que si 0z x z

x= → ∞ ⇒ →

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( )0 0

33 3 32lim 1 1 lim 1 1 lim2x z z

zx z

x z z→∞ → →

+ − = + − = =

Ejercicio 9

Calcular 20

tan sinlimx

x x

x→

−

Solución

30

tan sin 0lim

0x

x x

x→

− = Aplicamos L´Hôpital

3 22

2 2 20 0 0 0

1cos

tan sin 1 cos 1 3cos sin 0coslim lim lim lim 02 2 12 cos cos 2 cos sinx x x x

xx x x x xx

xx x x x x x x→ → → →

−− −= = = = =−

Ejercicio 10

Calcular aplicando L´Hôpital 1

lim1

x

x

e

x

+

→∞ −

Solución

1 1

lim lim1 1

x x

x x

e e

x

+ +

→∞ →∞= = ∞

−

Ejercicio 11

Calcular aplicando L´Hôpital ( )0

lim sinx

xx

→

Solución

( ) 0

0lim sin 0

x

xx

→= Para transformarla en

∞∞

tomamos logaritmos:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0

ln sinlim sin ln lim sin lim ln sin lim ln sin lim

1x x x

x x x x x

xx x x x x

x+ + + + +→ → → → →

−∞ ⇒ = = = = = ∞

( )2 2

0

0 0 0 02

cos cos 0 2 cos sinsinlim lim lim 0 lim sin 11 sin 0 cos

x

x x x x

xx x x x x xx x e

x xx

+ + + +→ → → →

− = = = = ⇒ = =

Ejercicio 12

Hallar ( )0

1 1lim

ln 1x x x→

− +

Solución

( )( )

( )0 0

ln 11 1 0lim lim

ln 1 ln 1 0x x

x x

x x x x→ →

− +− = ∞ − ∞ = = + +

Aplicamos L´Hôpital

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1 1 11 01 1lim lim lim

1 1 ln 1 1 ln 1 0ln 11 1

x x x

xxx x

x x x x x xx xx x

→ → →

+ −−+ += = =

+ + + + + ++ ++ +

Aplicamos L´Hôpital

( ) ( ) ( )0 0

1 1 1lim lim

1 ln 1 1 1 2ln 1 1 11

x x xx xx

→ →= =

+ + ++ + + ++

Ejercicio 13

Calcular 2

0lim lnx

x x+→

Solución

( )2

2

1 3 1 3 10 0 0 0 0 02 2 2 2 2

2 2lnln 2ln 2

lim ln 0 lim lim lim lim lim 01 1 1 12 2 4 4

x x x x x x

xx xx xx xx x x x x

+ + + + + +→ → → → → →− − − − −

−∞= −∞ = = = = = = =∞ − −

Ejercicio 14

Calcular ( )1 sin

2

lim tanx

x

xπ

−

→

Solución

( )1 sin 0

2

lim tanx

x

xπ

−

→= ∞ Tomamos logaritmos para aplicar L´Hôpital

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 sin 1 sin

2 2 2 2

ln tanln lim tan lim ln tan lim 1 sin ln tan 0 lim

11 sin

x x

x x x x

xx x x x

xπ π π π

− −

→ → → →

∞ = = − = ⋅∞ = = = ∞ −

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 22

3 2 2

2 2 2 2 22

1ln tan 1 sin 1 sin 1 sincos tanlim lim lim lim lim

1 cos cos tan cos sin 1 sin sin1 sin 1 sin

x x x x x

x x x xx xx x x x x x x

x x

π π π π π→ → → → →

− − −⋅= = = = =⋅ ⋅ − ⋅

− −

( )2

1 sin 0lim 0

1 sin sin 2x

x

x xπ→

− = = ⇒+ ⋅

( )1 sin 0

2

lim tan 1x

x

x eπ

−

→= =

Ejercicio 15

Calcular ( )3 3lim 1n

x x→∞

− −

Solución

( ) ( )( ) ( )

3 3

23 2 33

1 1lim 1 lim 0

1 1n n

x xx x

x x x x→∞ →∞

− −− − = = =

∞+ − + −

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Ejercicio 16

Calcular

3 7lim

5 4

x

xx→+∞

+−

Solución

3 73 73 7 0 05 55lim lim lim 0

45 45 4 1 0155

xx

x xx

xxx x x

xx

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + + = = = =−− −−

Ejercicio 17

Calcula

2

2 11 3lim

5 3

x

x

x

x

x

−

→∞

+ +

Solución

2 2 2 21 3 1 3 5 3 1 3 5 3 1 3 5 3lim 1 lim lim2 1 2 1 5 3 2 1 2 15 3 5 3 1 3 5 31 3

lim 15 3

x x x x x x x x x x xx x x x xx x x xx x x

x

xe e e

x

+ + − + + − + + + +− − − + − −+ + + + +∞ →∞ →∞ →∞

→∞

+ = = = = = +

( ) ( ) ( ) ( )

2 21 3 5 3 4 4lim lim 4 12 1 5 3 1 3 5 3 2 1 5 3 1 3 5 3 2 3 3 3 4 3 3

x x x xx x x xx x x x xn

e e e e e

+ − − − − − − − + + + +→∞ − + + + + ⋅ +→∞ ⋅= = = =