Formas Indeterminadas II•Función Racional

•Función Irracional

MATEMÁTICA II

Prof. Carlos Deudor Gomez

FORMA

Para levantar la indeterminación se factoriza el numerador y denominador en función de la variable independiente elevada a la mayor potencia que aparece en la expresión, se simplifica luego se evalúa.

2

Funciones Racionales

Operaciones con ± ∞Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número.Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número.

Sea a un número real cualquiera.a + ∞ =+ ∞ , a – ∞ =– ∞ + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞Si a >0 a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞(+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞Si a <0 a .(+ ∞) =- ∞ , a.(– ∞) =+ ∞(+ ∞) /a =- ∞ , (– ∞) /a =+ ∞(+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+ ∞)(+ ∞).(- ∞) =(- ∞) , (– ∞).(+ ∞)=(- ∞)

3

TeoremaSi n, es un número entero positivo,

entonces1lim 0nx x

4

1lim 0nx x

5

2010lim 0x x

Ejemplos

5 10

3 4lim 0 0 0x x x

6

11limx

xx 5

1limx x

0

5

dividimos entre x 2

2

2

7 4 8lim4 9 4x

x xx x

2

2

2

2

7 4 8

4 9 4

x xx

x xx

2

2 2 2

2

2 2 2

7 4 8

4 9 4

x xx x xx xx x x

2

2

4 87

9 44

x x

x x

Reemplazando y tomando el límite2

2

4 87lim

9 44x

x x

x x

7 0 04 0 0

74

Ejemplos

Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 7

4

6

Ejercicios del texto

AutoevaluaciónPágina 51– Ejercicios 8 , 10 , 12Página 61– Ejercicios 46 hasta 51

7

FORMA

Para levantar la indeterminación se debe tener en cuenta

Funciones Irracionales

2 si 0 si 0x x

x xx x

4 2x x

3 3x x

si

si

x x x

x x x

8

25 11 4lim8 7x

x xx

recordando

Ejemplos

25 11 4x x 22

11 45xx x

2

11 45xx x

si x x x

2

11 45lim

78x

xx x

xx

2

11 45lim

78x

x x

x

5 0 08 0

Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 5

8

9

236 7 4 2lim10 19x

x x xx

recordando

Ejemplos

236 7 4x x

si x x x

22

7 436xx x

2

7 436xx x

2

7 436 2lim

1910x

x xx x

xx

2

7 436 2lim

1910x

xx x

xx

2

7 436 2lim

1910x

x x

x

36 0 0 2lim10 0x

6

10

10

3 3

11 5lim8 7x

xx

Ejemplos

333

78xx

3 3 33

78xx

33

7. 8xx

reemplazando

33

11 5lim

7. 8x

xx

xx

33

11 5lim

78x

x

x

3

0 58 0

Significa que cuando la variable x aumenta indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 5 2,5

2

11

Ejercicios del texto

AutoevaluaciónPágina 51– Ejercicios 13 hasta el 24