LÍMITES

Vecindad de un punto

Definición.- Sea , se llama vecindad abierta o bola abierta de centro y radio δ>0 y se denota con B(a , δ ), al intervalo ¿a−δ ,a+δ>¿,

ie) B (a , δ )=¿a−δ ,a+δ>¿

ejem.

Propiedades

1) B (a , δ )={x∈ R talque|x−a|<δ }2) La intersección de 2 vecindades de a [B (a , δ 1 ) y B(a ,δ 2)] es una vecindad de a(

B(a , δ )), ie) B (a , δ )=B (a , δ1 )∩B (a ,δ 2) donde δ=mín {δ1 , δ2 }

Límite de una función

Definición.- Sea f :R→R una función y a un punto que no neceriamente pertenece a Df

pero que toda vecindad de a contiene puntos de Df ; se dice que el límite de f (x) es L ,

cuando x tiende hacia a

, y se escribe , cuando

∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ x∈Df , x≠ a y a−δ<x<a+δ⇒L−ε< f ( x )<L+ε

Equivalente a

∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ x∈Df ,0<|x−a|<δ⇒|f ( x )−L|<ε

O también

∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ B (a ,δ )∩D f , x ≠a⇒ f ( x )∈ B(L , ε )

Propiedad de los límites.

Proposición.- Si x∈ R ,x ≥0 tal que x<ε paratodo ε>0 , entonces x=0

Teorema.- Unicidad del límite. El límite de una función, cuando existe, es único, ie), sí

limx→af (x )=L1 y lim

x→af (x)=L2⇒L1=L2

Teorema.- Conservación del signo. Sí el , existe una vecindad B (a , δ )

, tal que: f ( x ) y L tienen el mismo signo ∀ x∈B (a , δ ) , x ≠a .

Teorema.- Sí limx→af ( x )=L, existe una vecindad B (a , δ ) y un número M>0 ,tal que:

|f ( x )|<M , ∀ x∈B (a ,δ ) con x≠a

Teorema.- Sí f y g son dos funciones tales que:

a) f ( x )≤g ( x ) ,∀ x∈ B (a , r ) con x≠a

b) ,

c) Entonces L≤M

, ie)

Teorema del Sandwich.- Sean f , g y h funciones tales que

a) f (x)≤g (x)≤h(x), ∀ x∈B (a , r )con x≠a.

b) ,

Entonces

Teorema.- Sean f y g son dos funciones tales que

a)

b) ∃M>0 tal que |g ( x )|<M ,∀ x∈ B (a , r ) con x≠a.

Entonces

Propiedades operacionales del límite

Teorema.- Sean f

y g

funciones tales que:Entonces:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Corolario.- Sí entonces

1)

2)

Corolario.- Sí entonces

limx→a

[ f (x)]n=[ limx→af ( x )]n=Ln

(sin≤0 , Ldebe ser diferente de cero)

Corolario.- Sí f ( x )=a0 xn+a1 x

n−1+…+an, donde a0 , a1 ,…,an son constantes,

Entonces limx→b

[a0 xn+a1 xn−1+…+an ]=a0bn+a1bn−1+…+an

Teorema.- Sí limx→af ( x )=L

, entonces Donde L≥0 y n

cualquier entero ó L<0 y n cualquier entero positivo impar.

PRÁCTICA DE LÍMITES

Calcular los siguientes límites

1.- donde

2.-

3-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

Límites laterales.-

Definición.- Sea f ua función definida en el intervalo ¿a , c>¿ con c>a , se dice que L es el límite lateralf (x)cuando x tiende hacia a por la derecha y se denota por

Si dado ε>0, existe δ>0 tal que|f ( x )−L|<ε si0<x−a<δ

Definición.- Sea f ua función definida en el intervalo ¿c ,a>¿ con c<a , se dice que M es el límite lateral f (x) cuando x tiende hacia a por la izquierda y se denota por

Si dado ε>0, existe δ>0 tal que0<a−x<δ⇒|f ( x )−M|<ε

Teorema.-

ie), existe límite de una función sí y sólo sí existen los límites laterales y son iguales.

En los siguientes ejercicios, trazar la gráfica y hallar el límite indicado si existe, en caso contrario justifique su respuesta.

1.-

i ¿

2.-

3.-

4.-

Límites al infinito

Definición.- Sea f :<a ,+∞>→R, una función y L∈R, se dice que L es el límite de f ( x )

cuando x

tiende a +∞

, y se escribe: , sí y sólo sí, dado

ε>0 ,∃ N>0 , tal que si x>N⇒|f ( x )−L|<ε

Definición.- Sea g:←∞,a>→R, una función y L∈R, se dice que L es el límite de g ( x ) cuando

x tiende a -

∞, y se escribe: , sí y sólo sí, dado

ε>0 ,∃M>0 , tal que si x←M⇒|g (x )−L|<ε

Proposición.- Sí n es un entero positivo cualquiera, entonces

1) 2)

Proposición.- Sean f y g funciones definidas en ¿a ,+∞> y<b ,+∞>¿, respectivamente. Sí

, entonces:

1)

2)

3)

4)

EJERCICIOS

Calcular los siguientes límites infinitos

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

Límites infinitos

Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número a , a puede o no estar en el dominio de f .

Definición.- Se dice que el límite de f (x) es +∞ cuando x tiende al punto a, y se escribe

,, si dado k≫0

(tan grande como se quiera), δ>0

tal que 0<|x−a|<δ⇒ f ( x )>k

Definición.- Se dice que el límite de f (x) es −∞ cuando x tiende al punto a, y se escribe

, si dado k≫0

(tan grande como se quiera), δ>0

tal que 0<|x−a|<δ⇒ f ( x )← k.

En este caso de límites infinitos, también se puede hablar de límites laterales, ie

, ,

Proposición.- Sí es un entero positivo, entonces:

1)

2) ,

Definición.- Sea f una función cuyo dominio es A. El conjunto A, en 1) y 2), contiene a un intervalo de la forma ¿a ,+∞>¿, y en 3) y 4) contiene a un intervalo de de la forma ←∞ ,a>¿; con estas condiciones se define:

1)

2)

3)

4)

Proposición.- Sea a un número real y

Entonces

1) a través de valores positivos de , entonces,

2) a través de valores negativos de , entonces,

3) a través de valores positivos de , entonces,

4) a través de valores negativos de , entonces,

En resumen

Proposición.- Sean f y g dos funciones tales que:

1)

2)

3)

4)

5)

EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

Límites trigonométricos

Proposición.-

EJERCICIOS

1.- Esbozar la gráfica de las siguientes funciones, cuando

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Calcular los siguientes límites

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Algunos límites de las funciones trigonométricas inversas

Límites hiperbólicos

Ejercicios

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Proposición. Sea definida por , entonces

Proposición.- Si

Proposición.- Algunos límites notables-

Límites de la forma :

Ejercicios

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Definición de una función continua

Sea f una función definida en el conjunto A⊂R y a∈ A.

Definición.- Se dice que f es continua en x=a si:

i

)∃ f (a) ii) iii)

Si por lo menos una de las 3 condiciones no se cumple para x=a, se dice que f es discontinua en a.

-Si una función f es discontinua en a de manera que existe pero

, la discontinuidad se llama discontinuidad evitable o removible, pues se

puede redifinir la función en f en a, de manera que , de modo que la función redifinida resultaría contínua en x=a.

-Si la discontinuidad en x=a no es removible se llama discontinuidad esencial y esta se presenta

cuando f (a )=limx→af (x) no existe o no es finito.

Definición.- f es continua en a sí:

Dado ε>0 ,∃ δ>0 tal quee∈ B(a , δ)⇒ f (x)∈B( f (a ) , ε ) ó

Dado ε>0 ,∃ δ>0 tal que|x−a|<δ⇒|f ( x )−f (a)|<ε

Definición.- (Continuidad en un conjunto): Una función f : A→Rse dice que es contínua en el conjunto B⊂ A cuando f es contínua en a, ∀a∈B .

Teorema.- Sean f y g dos funciones reales continuas en a, entonces:

a) K.f es continua en a, siendo k constanteb) f±g es contínua en ac) f.g es continua en a

d)fg

es contínua en a

e)1g

es contínua en a

f) |f| es contínua en a

Corolario.- Si f es una función polinomial,ie) f :R→R tal que:

f ( x )=a0 xn+a1 x

n−1+…+an , a0≠0, entonces es contínua, ∀ x∈R

Corolario.- Si f es una función racional, ie) f :R→R tal que:

f ( x )=a0 x

n+a1 xn−1+…+an

b0 xm+b1 x

m−1+…+bnes contínua en DF={x∈R tal que(b0 x

m+b1 xm−1+…+bn)≠0 }

Teorema.- Sean f : A→R y g :B→R dos funciones tales que R f⊂B, si f es contínua en a y g

es contínua en b=f (a), entonces g∘ f es contínua en a.

Teorema.- Sean y g :B→R dos funciones tales que R f⊂B y verifican

i)limx→af (x )y ii)g es contínua en b

entonces: limx→ag ( f ( x ) )=g (limx→a f ( x ))=g(b)

Continuidad de funciones de funciones en intervalos

Definición.- Una función f :<a ,b>→R , es contínua en :<a ,b>¿ si es contínua en todo x∈<a ,b>¿

Definición

- Una función es contínua por la derecha en x=a sí limx→a+¿ f (x)=f (a )¿

¿

- Una función es contínua por la zquierda en x=a sí limx→a−¿ f (x)=f (a)¿

¿

Definición.- Una función f es contínua en ¿a ,b¿ sí:

- f es contínua en <a,b> y- f es contínua por la izquierda en b

Definición.- Una función f es contínua en ¿ sí:

- f es contínua en <a,b> y- f es contínua por la derecha en a

Definición.- Una función f es contínua en [a ,b] sí:

- f es contínua en ¿a ,b>¿ y- f es contínua por la derecha en a y- f es contínua por la izquierda en b

Propiedades de las funciones contínuas en intervalos cerrados

Teorema.- Sí: f :R→R , es una función contínua en [a ,b] y f (a ) . f (b )<0, entonces existe por

lo menos un punto un punto c∈<a ,b>¿ tal que f ( c )=0

Teorema.- Sí f es contínua en [a ,b] , entonces f es acotada en [a ,b].

Teorema de Weierstrass.- Sí f es contínua en [a ,b] , entonces ella posee un punto de mínimo y un punto máximo en [a ,b], ie), existen x1 , x2∈[a ,b], tales que:

m=f (x1)=mín {f ( x ) tal que x∈<a ,b>}

M=f (x2)=máx {f ( x )tal que x∈<a ,b>}ó

f (x1 )≤ f ( x )≤ f (x2 ) ,∀ x∈[a ,b]

Teorema de los valores intermedios.- Sí f es contínua en [a ,b], m y M son el mínimo y el máximo de f en [a ,b] y d es tal que m<d<M , entonces existe c∈<a ,b>¿ tal que f ( c )=d

EJERCICIOS

1.- En los siguientes ejercicios, determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

ASÍNTOTAS

Definición.- Si la distancia entre una recta y el punto que se mueve a lo largo de una

curva tiende a cero, cuando el punto tiende al infinito, la recta es llamada asíntota de la

curva; es decir, si

Proposición.- La recta es una asíntota vertical de la curva , si se cumple una de los siguientes enunciados:

a) b) c)

Proposición.- La recta es una asíntota horizontal de la curva si se cumple una de las siguientes condiciones:

a) b)

Proposición.- La recta , es una asíntota oblícua de la curva sí y sólo sí una de las siguientes condiciones se cumplen:

a)

b)

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-