límites

Matemtica Aplicada a la Medicina

LIMITES


Limite: Significa valor ms prximo. Definicin: Dada una funcin ( )f x y un punto x a= , se dice que el lmite de ( )f x cuando x se acerca a a es L y se expresa como: lim ( )x a

f x L

= Cuando: Dado 0 > , existe 0 > talque siempre que | |x a < , entonces | ( ) |f x L < . Lo que viene a expresar esta formulacin matemtica es que si xest suficientemente cerca de a , entonces su imagen ( )f x tambin est muy prxima a L .


Definicin: Se define el lmite lateral por la derecha de a de la funcin ( )f x , y se expresa como: lim ( )

x af x

+

Al lmite al que se acerca ( )f x cuando x Se acerca a a y toma valores mayores que a . De igual modo, el lmite lateral por la izquierda de a de la funcin ( )f x se expresa como: lim ( )

x af x

y se define como el lmite

al que se acerca ( )f x cuando x se acerca a a y toma valores menores que a . Propiedad: Para que una funcin ( )f x tenga lmite en x a= es necesario y suficiente que existan ambos lmites laterales y coincidan, es decir: lim ( ) lim ( ) lim ( )

x a x a x af x f x f x

+ = =

lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x +

=

Ejemplo:

2x4xlim

2

2x

42x4xlim

4limlim1,4)x(flim1,2x

9.3)x(flim9,1x

2

2x

2x2x1,2x

9,1x

=

=

==

==

+

Ejemplo: ?

x1lim

0x=

/=

=

=

x1lim

x1lim

?x1lim

0x

0x

0x


Propiedades de los lmites: 1) El lmite de una funcin, si existe, es nico.

2) lim ;

x ak k k

=

3) lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )

x a x a x af x g x f x g x

=

4) lim ( ) lim ( )

x a x akf x k f x

=

5) [ ]lim ( ) ( ) (lim ( ))(lim ( ))

x a x a x af x g x f x g x

=

6) lim ( )( )lim ; lim ( ) 0

( ) lim ( )x a

x a x ax a

f xf x g xg x g x

=

7) lim ( )( )lim ( ) (lim ( ))x a g xg x

x a x af x f x

=

8) lim ( ( )) (lim ( ))

x a x af g x f g x

=

Formas Determinadas: 1)

0lim ( 0)x

k kx= >

2) lim 0 ( 0)

x

k kx= >

3) , 1lim ( 0)0 , 1

x

x

xk k

x >

= >


Formas Indeterminadas: 1)

00

2)

3) ;0. 4) 1 ;1 5) 0 00 ;0 ; Ejemplos 1.- Calcular los siguientes lmites: a) 2 2

0 0 0lim ( ) lim lim 1x xx x x

x e x e

+ = + =

b)

1 1 1lim 5 ln 5lim .lim ln 0x x x

x x x x

= =

c) 33

3

33

lim 22 29lim1 lim 1 2

xx

x

xxx x

++= =

d) 2 2

2 23 30 0

lim ( 1) (lim ( 1)) 1x x

x x

= =


Lmites de Funciones Trigonomtricos Sea a un nmero real en el dominio de la funcin trigonomtricas dada. Entonces

1) lim 2) lim cos cos

3) lim tan tan 4) lim

5) limsec sec 6) lim csc csc

x a x a

x a x a

x a x a

senx sena x a

x a ctgx ctga

x a x a

= =

= =

= =

Teorema: Si ( ) ( ) ( )h x f x g x para todo x en el intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el propio a, y si: lim ( ) lim ( )x a x a

h x L g x

= = , entonces lim ( )x a

f x

existe y es igual a L. Dos Lmites Trigonomtricos Especiales:

0 0

1 cos1) lim 1 2) lim 0x x

senx xx x

= =

Ejemplos:

0 0

0 /4

tan (5 )1) lim 2) lim

tan cos3) lim 4) lim1 tan

5) lim

x x

x x

x

x sen xx x

x x senx xsenx x

senxx

+


EJERCICIOS 01) Calcular:

32

2

2

6 7 3lim2 11 12x

x xx x

+

02) Calcular: 3 2

3 22

3 4lim7 16 12x

x xx x x

+ +

03) Calcular:

7x416x3lim

2x

04) Calcular: x51x53lim

4x +

05) Si: 3x2)x(f 2 = y a1x)x(g ++= . Hallar los

valores de a si: 5))x(g(flim0x

=

06) Calcular: )x(flim

1x

Si:

>+

+=

1xsi;51x

1x:si,x2x3)x(f

2

07) Calcular:

x2

1x8

12lim32x

08) Calcular:

1x1xlim

4

3

1x

09) Si sabemos que:

2

3 23

1x

321x

x1

xx12xlimB

x1

3

1x

2limA

++=

+

=

Determinar: BABA

+


10) Calcular: 201 1lim

x

xx+

11) Calcular: 2

20

1 1lim16 4x

xx

+

+

12) Calcular:

5

5lim5x

xx

13) Calcular:

2

1

1 2lim1x

xx+

14) Calcular: 2 212 4lim( )

5 4 3( 3 2)xx x

x x x x+

+ + +

15) Calcular el : 311 1lim ( )

1 1x x x

LIMITES EN EL INFINITO

1. Lmites de Polinomio: El lmite de cualquier polinomio cuando x tiende a siempre es + o dependiendo del coeficiente del trmino de mayor grado del polinomio.

Ejemplos:

a) 4lim( 3 2)x

x x

+ = +

b) 5lim( 2 5 2)x

x x x

+ + =

Pues en el primer caso el coeficiente de 4x es positivo, y en el segundo caso

el coeficiente de 5x es negativo. 2. Indeterminacin


Si tenemos un cociente de polinomios nos encontramos con una indeterminacin de este tipo. Para resolver basta recordar la siguiente regla: Si tenemos:

, : ( ( )) ( ( ))( )lim 0, : ( ( )) ( ( ))( )

, : ( ( )) ( ( ))x

si grado p x grado q xp x si grado p x grado q xq x

a si grado p x grado q xb

>

=


Ejercicios

1. Calcular los siguientes limites:

a) 23 2 5lim

4xx x

x

b) 3

2

5lim4x

xx

c) 2

2

3 2 5lim4 4xx x

x +

d) 2

3

1lim4 3x

x xx x

+ +

e) 4

4

5lim2 3xxx++

f) 3

2

2 3lim1x

x xx+

g) 5

4

5 1lim1x

x xx+ +

h) 2

4

5lim2 3xxx+

i) 2

2

3 5lim5 3 1x

xx x

++

j) 5 1lim

2xx

x+

k) 3lim4 1x

xx

l) 3lim

4 1xxx+

m) 26 5lim

(1 )(2 3)xx xx x+

+

n) 27 5lim

4xx

x x

+

o) 2

lim2x

xx +

p) 3 2

3 2

( 1)lim4 9xx x x

x x

q) 2

6

9lim2 7x

xx+

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS Espinoza Ramos, E. (2002). Matemtica Bsica. Editorial Servicios Grficos JJ.

Per.

James Stewart, Clculo de una variable. Editores Cengage learning Mxico 2008.

Moiss, Lzaro. (2007). Matemtica Bsica Tomos I y II. Editorial Moshera. Per.

Venero Baldeon, Armando. Matemtica Bsica.

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