limite strigo no mtr i cos
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Limites trigonometricosTRANSCRIPT
Coordinación de Matemática I
Instituto Universitario de Tecnología “Alonso Gamero” I Semestre del 2006
Cátedra: Matemática I
LIC. LILA V. LUGO G.
Límites Trigonométricos
De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad
trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar
algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o
aplicar las propiedades de los límites.
A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.
Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES
1) 10
=→ x
senxLimx
2) 10
=→ senx
xLimx
3) 00
=→
senxLimx
4) 10
=→ Kx
senKxLimx
5) 1cos0
=→
xLimx
6) 0cos1
0=
−
→ x
xLimx
7) 2
1cos120
=−
→ x
xLimx
8) 1tan
0=
→ x
xLimx
9) 1tan0
=→ x
xLimx
10) 1tan
0=
→ Kx
KxLimx
Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son:
� Identidades Básicas
ecxsenx
cos
1=
xx
sec
1cos =
anxx
cot
1tan =
x
senxx
costan =
senx
xanx
coscot =
� Identidades Fundamentales de la Trigonometría
sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x
� Identidades de la suma de ángulos
sen(x±y)=senx cosy±cosx seny senxseny cosxcosyy)cos(x m=±
2
2cos12 xxsen
−=
2
2cos1cos
2 xx
+=
� Identidades de ángulos Doble
sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x
� Identidades de ángulos medio
2
cos1)2/(
xxsen
−±=
2
cos1)2/cos(
xx
+±=
Ejemplos:
1.
2.
3. si decimos que x-1 = y entonces tendremos: 1lim0
=→ y
seny
y
4. de igual manera
5.
6. 0
0
)0(3
0
3
2lim
0==
→
sen
x
xsen
x
3
2
2
2lim2
3
12lim
3
1
3
2lim
000===
→→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
7. 0
0
2cot
2cos
cot
coslim
2
==→ π
π
π
ananx
x
x
12
limcos
coslim
cos
coslim
222
====→→→
π
πππsensenx
x
xsenx
senx
x
x
xxx
8.
recordando que sen2x + cos2x=1 ⇒ sen2x= 1-cos2x
9.
recordando que x
senxx
costan =
Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos
límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el
conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de
que es
10. al evaluar resulta:
3cos21
)33
(
π
ππ
−
−sen=
0
0
11
0
2
121
)0(=
−=
−
sen
Desarrollemos : recordando la identidad: sen(x±y)= senx cosy ± cosx seny
Luego:
11. 0
0
)11(2
11
)4
tan1(2
4tan1
)tan1(2
tan1lim
224
=−
−=
−
−=
−
−
→ π
π
π x
x
x
( ) ( )∞====
−
−=
−
−=
−
−=
−
−
→→→→→ 0
1
0
0coscoslim
)cos1(
coscos1lim
cos
coscos1lim
cos
cos1lim
tan
cos1lim
00000 sensenx
x
xsenx
xx
xsenxsenx
xx
senxx
senx
x
senxx
x
xxxxx
12. 0
0
)11(
0
0cos1
0tan
cos1
tanlim
22
0=
−=
−=
−→ x
x
x
( ) ( )
( )( )
( ) xx
xx
xx
x
xx
xsen
x
x
senx
x
x
xxxxx 202
2
02
2
0
2
0
2
0 coscos1
cos1cos1lim
coscos1
cos1lim
coscos1lim
cos1
coslim
cos1
tanlim
−
+−=
−
−=
−=
−
=− →→→→→
( ) ( )
21
11
0cos
0cos1
cos
cos1lim
2220=
+=
+=
+
→ x
x
x
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) 2
1
2lim
0=
→ xsen
x
x
2) 2
3
2
3lim
0=
→ xsen
xsen
x
3) 2cos
2lim
20
=→ x
xsen
x π
4) ∞=→ senx
x
x
tanlim
2π
5) = 9
6) 0cos1
tanlim
0=
−
−
→ x
xsenx
x
7) 2
2
tan1
coslim
4
−=
−
−
→ x
xsenx
x π
8) 0cos1
tanlim
0=
−
−
→ x
senxx
x
9) 0tan
lim0
=−
→ x
xsenx
x
10) = -2
11) 2tan1
tan1lim
2
4
=−
−
→ x
x
x π
12) 4
1cos1lim
20=
−
→ x
x
x
13) 2
1cos1lim
20=
−
→ xsen
x
x
14) = 2
15) = 3/5
16) = 3/5
17) 111
lim0
=−−+
→ x
senxsenx
x
18) 3
1
23
2cos1lim
4
=−
→ xxsen
x
x π