Lmite matemticoEnmatemtica, el concepto delmitees unanocin topolgicaque formaliza la nocin intuitiva de aproximacin hacia un punto concreto de unasucesino unafuncin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor.Enclculo infinitesimal(especialmente enanlisis realymatemtico) este concepto se utiliza paradefinirlos conceptos fundamentales deconvergencia,continuidad,derivacin,integracin, entre otros. Si bien, el concepto de lmite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio eucldeo, es la clase deconjuntos abiertosinducidospor dicha mtrica, lo que permite definir rigurosamente la nocin de lmite.El concepto se puede generalizar a otrosespacios topolgicos, como pueden ser lasredes topolgicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemtica, como puede ser lateora de categoras.Para frmulas, ellmitese utiliza usualmente de forma abreviada mediantelimcomo en lim(an) =ao se representa mediante la flecha () como enana.ndice[ocultar] 1Lmite de una sucesin 2Lmite de una funcin 2.1Importancia 2.2Lmites laterales 3Lmite de una sucesin de conjuntos 4Lmite en espacios topolgicos 4.1Redes 4.2Filtros 5Lmite de Banach 6Lmites en teora de categoras 7Vase tambin 8Referencias 8.1Bibliografa 8.2Enlaces externosLmite de una sucesin[editar]

La sucesinparaconverge al valor 0, como se puede ver en la ilustracin.Artculo principal:Lmite de una sucesinLa definicin de lmite matemtico para el caso de unasucesinnos indica intuitivamente que los trminos de la sucesin se aproximan arbitrariamente a un nico nmero o punto, si existe, para valores grandes de. Esta definicin es muy parecida a la definicin dellmite de una funcincuandotiende a.Formalmente, se dice que la sucesintiende hasta su lmite, o queconvergeoes convergente(a), y se denota como:

si y solo sipara todovalor real>0 se puede encontrar unnmero naturaltal que todos los trminos de la sucesin, a partir de un cierto valor naturalmayor queconverjanacuandocrezca sin cota. Escrito en unlenguaje formal, y de manera compacta:Este lmite, si existe, se puede demostrar que es nico. Si los trminos de la sucesin no convergen a ningn punto especfico, entonces se dice que la sucesin esdivergente.Lmite de una funcin[editar]

Visualizacin en un sistema decoordenadas cartesianasde los parmetros utilizados en la definicin de lmite.Artculo principal:Lmite de una funcinEnanlisis realparafuncionesde una variable, se puede hacer unadefinicinde lmite similar a la de lmite de una sucesin, en la cual, los valores que toma la funcin dentro de unintervalooradio de convergenciase van aproximando a un punto fijadoc, independientemente de que ste pertenezca al dominio de la funcin. El punto c es punto de acumulacin del dominio de la funcin.1Esto se puede generalizar an ms afunciones de varias variableso funciones en distintosespacios mtricos.Informalmente, se dice queel lmite de la funcin f(x) esLcuandoxtiende ac, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasin unxsuficientemente cerca dectal que el valor de f(x) sea tan prximo a L como se desee.Para un mayor rigor matemtico se utiliza ladefinicinpsilon-deltade lmite, que es ms estricta y convierte al lmite en una gran herramienta delanlisis real. Su definicin es la siguiente:"El lmite def(x)cuandoxtiende aces igual aLsi y slo sipara todonmero realmayor que cero existe un nmero realmayor que cero tal que si la distancia entrexyces menor que, entonces la distancia entre laimagendexyLes menor queunidades".Esta definicin, se puede escribir utilizando trminoslgico-matemticosy de manera compacta:

Esta definicin es equivalente al lmite de una sucesin, una funcin es continua si:

Para la funcin f(x) = x2- 9/ x - 3 se tiene lmite en el punto 3, que no est en el dominio, cuando los valores del dominio se acercan a 3, los valores de la funcin se aproximan a 6. 3 es un punto de acumulacin de Df2Importancia[editar]El concepto de lmite es importante en anlisis matemtico; una herramienta bsica para definir la derivada e integral definida, la existencia de nmero real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de , genial creatura de Arqumedes.3Lmites laterales[editar]Adems del lmite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los lmites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El lmite por la derecha (cuando existe) es el lmite de la sucesin:

Anlogamente el lmite por la izquierda (cuando existe) es:

para una funcin continua encse tiene que.PLmite de una sucesin de conjuntos[editar]Artculo principal:Lmite (sucesin de conjuntos)Enteora de conjuntostambin se utiliza el concepto de lmite, que se puede calcular sobre una sucesin de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser lamonotona(creciente o decreciente). De manera ms general, y utilizando la definicin delmite superior y lmite inferiorpara una sucesin de conjuntos cualquiera, se dice que el lmite de esta sucesin existe si el lmite superior y lmite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

Si el lmite primer trmino y el penltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy tiles en disciplinas de las matemticas como lateora de la medida, especialmente enespacios de probabilidad. No es difcil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

Lmite en espacios topolgicos[editar]Redes[editar]Vase tambin:Red (matemticas)Todas las nociones anteriores de lmite pueden ser unificadas y generalizadas aespacios topolgicosarbitrarios mediante la introduccin deredestopolgicas y la definicin de sus lmites.Seaunespacio topolgicoyuna red en. Se dice quees unpunto lmitede la redsi la red est eventualmente en cadaentornode, es decir, si cualquiera que sea el entornode(esto es, cualquiera que sea el conjuntode forma que exista unabiertotal que) existe unde tal forma que para cadaconse cumple que.Filtros[editar]Vase tambin:Filtro (matemticas)En el caso defiltros, por ser objetos matemticos similares a redes topolgicas, tambin es posible la definicin de lmite. En efecto, seaXun espacio topolgico yxun punto deX. Se dice que un filtro baseBconverge ax, denotado comoBxo, si para todoentornoUdex, existe unB0Btal queB0U. En este caso,xse llama lmite deByBse denomina filtro base convergente.45De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definicin decontinuidada stas. SiX,Yson dos espacios topolgicos yf:XYes una funcin, siendoBun filtro entorno enXde un puntoaperteneciente aX, entonces el lmite con respecto al filtroBdefesy, denotado como

siBconverge aa, luegofconverge ay; dicho de otra forma,yes el lmite defen el puntoa.4Lmite de Banach[editar]Artculo principal:Lmite de BanachEnanlisis funcional, un lmite de Banach es unfuncional linealcontinuodefinido sobre elespacio de Banachpara todasucesinacotada denmeros complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que sies unasucesin convergente, entonces, generalizando el concepto de lmite. Por lo tanto,es una extensin del funcional continuo6En particular, la existencia del lmite de Banach no es nica.6Lmites en teora de categoras[editar]Artculo principal:Lmite (teora de categoras)Enteora de categoras, una rama de lamatemtica, se define el concepto abstracto de lmite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales comoproductosylmites inversos.