Lmite en un puntoEl lmite de la funcinf(x)en el puntox0, es el valor al que se acercan las imgenes (lasy) cuando los originales (lasx) se acercan al valorx0. Es decir el valor al que tienden las imgenes cuando los originales tienden ax0.Vamos a estudiar el lmite de la funcin f(x) = x2en el punto x0= 2.xf(x)

1,93,61

1,993,9601

1,9993,996001

......

24

xf(x)

2,14.41

2,014,0401

2,0014,004001

......

24

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imgenes se acercan a 4.Se dice que la funcinf(x)tiene como lmite el nmeroL, cuandoxtiende ax0, si fijado un nmero real positivo, mayor que cero, existe un numero positivodependiente de, tal que, para todos los valores dexdistintos dex0que cumplen la condicin|x x0| < , se cumple que|f(x) L| < .

Tambin podemos definir el concepto de lmite a travs de entornos:si y slo si, para cualquier entorno deLque tomemos, por pequeo que sea su radio, existe un entorno dex0,E(x0), cuyos elementos (sin contarx0), tienen sus imgenes dentro del entorno deL,E(L).

Lmites lateralesLmites lateralesLmites lateralesLmites lateralesLimite Laterales

Diremos que el lmite de una funcinf(x)cuandoxtiende haciaapor la izquierda esL, si y slo si para todo > 0existe > 0tal que six(a , a), entonces|f (x) L| < .

Diremos que el lmite de una funcinf(x)cuandoxtiende haciaapor la derecha esL, si y slo si para todo > 0existe > 0tal que six(a, a + ),, entonces|f (x) - L| 0se verifica quef(x) > kpara todos los valores prximos aa.

Ejemplo

Lmite menos infinitoUna funcinf(x)tiene por lmite - cuandoxa, si fijado un nmero real negativoK < 0se verifica quef(x) < kpara todos los valores prximos aa.

Ejemplo

Lmite cuando x tiende a infinito

Lmite cuando x tiende a menos infinito

Ejemplos

Propiedades de los LimitesLmite de una constante

Lmite de una suma

Lmite de un producto

Lmite de un cociente

Lmite de una potencia

Lmite de una funcin

g puede ser una raz, un log, sen ,cos, tg, etc.Lmite de una raz

Lmite de un logaritmo

Caso 1: Si a > 0

Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejemplo

Operaciones con InfinitoDebemos sealar que estas indicacionesno son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver lmites.Debemos tener claro queinfinito no es un nmero.No distinguimos entre + y para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:La regla de los signos y que a-n= 1/anSumas con infinitoInfinito ms un nmero

Infinito ms infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinitoInfinito por un nmero

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y ceroCero partido por un nmero

Un nmero partido por cero

Un nmero partido por infinito

Infinito partido por un nmero

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y ceroUn nmero elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un nmero

Un nmero elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Clculo del lmite en un puntoSif(x)es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el lmite se sustituye en la funcin el valor al que tienden las x.

No podemos calcularporque el dominio de definicin est en el intervalo [0, ), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a 2.Sin embargo s podemos calcular, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= {2, 3}, s podemos tomar valores del dominio tan prximos a 3 como queramos.

Clculo del lmite en una funcin definida a trozosEn primer lugar tenemos que estudiar los lmites laterales en los puntos de unin de los diferentes trozos.Si coinciden, este es el valor del lmite.Si no coinciden, el lmite no existe..En x = 1, los lmites laterales son:Por la izquierda:Por la derecha:Como en ambos casos coinciden,el lmiteexiste y vale 1.En x = 1, los lmites laterales son:Por la izquierda:Por la derecha:Como no coinciden los lmites laterales no tiene lmite en x = 1.Clculo de lmites cuando x tiende Calculo de Limite cuando x tiende &Para calcular el lmite de una funcin cuando x se sustituyen las x por .Lmite de funciones polinmicas en el infinitoEl lmite cuando x de una funcin polinmica es + o segn que el trmino de mayor grado sea positivo o negativo.Ejemplos1.2.Lmite de la inversa de un polinomio en el infinitoSi P(x) es un polinomio, entonces:.Ejemplo

Clculo de lmites cuando x

Ejemplos1.2.3.4.No existe el lmite, porque el radicando toma valores negativos.Lmite de la funcin exponencialLmite de la funcin exponencialCaso 1: Si a > 0

Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejemplos1.2.3.4.

Lmite de la funcin logartmica Teora EjerciciosCaso 1: Si a > 0

Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejemplo

IndeterminacionesUna indeterminacin no significa que el lmite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicacin de las propiedades de los lmites tal como las hemos enunciadas no son vlidas.En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.Tipos de indeterminacin1.Infinito partido por infinito

2.Infinito menos infinito

3.Cero partido por cero

4.Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7.Uno elevado a infinito

Comparaciones de Infinitos

1.f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2.f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

3.f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.Cualquier funcin exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logartmicas.Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

EjemplosHallar los lmites por comparacin de infinitos:1.2.3.

Limite de un nmero partido por cero

El lmite puede ser +, o no tener lmite.EjemplosCalcular el lmite:1.Tomamos los lmites laterales para determinar el signo de .Si le damos a la x un valor que se acerque a 1por la izquierda como 1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el lmite por la izquierda ser: +.

Si le damos a la x un valor que se acerque a 1por la derecha como 0,9. El numerador ser negativo y el denominador positivo, por tanto el lmite por la derecha ser: .

Como no coinciden los lmites laterales, la funcin no tiene lmite cuando x 1.2.

3.

Indeterminacin infinito por infinitoPara resolver resolver la indeterminacin infinito partido infinito podemos utilizar uno de estos dos mtodos:1. Por comparacin de infinitos1.El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El lmite es2.El denominador tiene mayor grado que el numerador.

El lmite es03.Numerador y denominador tienen el mismo grado.

Al tener el mismo grado el lmite es elcociente entre los coeficientes de mayor grado.Ejemplos1.

2.

3.

4.

5.

2 Mtodo1.Si se trata defunciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

2.Si sonfunciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

Indeterminacin infinito menos infinitoPara resolver la indeterminacin tenemos varios mtodos:1. Por comparacin de infinitos

2. Con funciones racionales

Ponemos acomn denominador, para llegar a la indeterminacin /.

3. Con funciones irracionalesCuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

Indeterminacin cero partido por ceroVamos a estudiar la indeterminacin 0/0 en dos casos:Caso 1. Funcin racionalSe descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fraccin.1.

El lmite es0.2.

Tomamos lmites laterales:

No tiene lmite en x = 1Caso 2. Funcin con radicalesEn primer lugarmultiplicamos numerador y denominador por el conjugadode la expresin irracional.Realizamos las operaciones y simplificamos la fraccin.

Indeterminacin cero por infinitoindeterminaciones como/o0/0, que ya hemos visto como se resuelven.

Ejemplo

Indeterminacin uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresin en una potencia del nmero e.

1erMtodo

2 MtodoRealizando la siguiente transformacin:

Ejemplo

Nota: Infinito no es un nmero, las operaciones que realizamos con son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver lmites.1Aplicando la definicin de lmite, probar que:

2Observa la grfica de esta funcin f(x) y calcular estos lmites.

Calcular los siguientes lmites3456789101112131415161718Calcular:12345678

Nota: Infinito no es un nmero, las operaciones que realizamos con son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver lmites.Ejercicio 1 resueltoAplicando la definicin de lmite, probar que:

Para comprobarlo vamos a tomar un = 0,01.

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:

Para x = 0.995 f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.Para x = 1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.Ejercicio 2 resuelto

Ejercicio 3 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 4 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 5 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 6 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 7 resueltoCalcular el lmite de:

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x4, y por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.Ejercicio 8 resueltoCalcular el lmite de:

El denominador es un infinito de orden superior.Ejercicio 9 resueltoCalcular el lmite de:

El numerador es un infinito de orden superior.Ejercicio 10 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 11 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 12 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 13 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 14 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 15 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 16 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 17 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 18 resueltoCalcular:1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Nota: Infinito no es un nmero, las operaciones que realizamos con son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver lmites.1Aplicando la definicin de lmite, probar que:tiene lmite 1 cuando x0Calcular los lmites23456Ejercicio 1 resueltoAplicando la definicin de lmite, probar que:tiene lmite 1 cuando x0

Ejercicio 2 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 3 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 4 resueltoCalcular el lmite de:

El denominador es un infinito de orden superiorEjercicio 5 resueltoCalcular el lmite de:

Ejercicio 6 resueltoCalcular el lmite de: