LICEO TAJAMARPROVIDENCIA

GUÍAS DE APRENDIZAJE DE LA ETAPA 4 DE GEOMETRÍA N°4.1 - Nº4.2

Nombre de la Guía de Aprendizaje: Thales y la CircunferenciaSECTOR: Matemática NIVEL: 2º medioPROFESOR(A): María Cecilia Palma Valenzuela

UNIDAD TEMÁTICA: nº 4 : SEMEJANZA y nº5: CIRCUNFERENCIA

CONTENIDOS DE LA UNIDAD: • Teorema de Thales –Teorema general de Thales - Aplicación del teorema de Thales . Circunferencia - Ángulos interiores y exteriores de la circunferencia – Proporcionalidad en la circunferencia – Aplicación de la circunferencia en diversos problemas

OBJETIVO DE APRENDIZAJE: • Reconocer teorema de Thales - Identificar diversa s aplicaciones del teorema de Thales• Aplican el teorema de Thales en la resolución de problemas.• Identifican elementos de la circunferencia - Ángulos en la circunferencia - Proporcionalidad en la circunferencia

e-mail DE LOS PROFESORES CON RESPONSABILIDAD EN EL NIVEL:María Cecilia Palma V¨: maricecpalv@gmail. (2º A, 2ºB, 2ºG) Carmen Quintanilla: carmenquintanilla@hotmail.com (2ºC, 2ºD, 2ºE, 2ºF, 2ºH)

Trabajo Individual o grupal (máx. integrantes): Máximo tres integrantes Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: 5 días hábiles cada una desde la fecha en que las Guías estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.

Las guías deben ser enviadas por email. Las consultas pueden darse por email o en las tutorías. No olviden revisar el libro de 2º medio de Matemática, y revisar los ejercicios en la Unidad nº4 y la nº5

Las pruebas deben ser entregadas PERSONALMENTE EL DÍA QUE CORRESPONDE AL CALENDARIO DADO POR UTP.

TEOREMA DE THALES Y SUS APLICACIONES

MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

TEOREMA DE THALES Y SUS APLICACIONES

MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

teoremas

En la figura L // En la figura L // I)I)

II)II)

III) III)

IV) IV)

V)V)

1 2L

BD

PB

AC

PA

PB

PD

PA

PC

BD

PD

AC

PC

CD

AB

PC

PA

CD

AB

PD

PB

En la figura

• i)

• ii)

• iii)

21 // LL

PC

BP

PD

AP

PD

AP

DC

AB

PC

BP

DC

AB

EJERCICIOS DESARROLLADOS

• 1. En la siguiente figura L1//L2

a) PC = 12 cm. PB =6cm., BD = 2 cm., AC = ?

a) PC = 12 cm. PB =6cm., BD = 2 cm., AC = ?

2

812

AC

AC8

24

AC3

USANDO LA MISMA FIGURA SE RESUELVEN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

b) CD = 8cm., PA = 3cm , AC = 5 cm., AB = ?

b) CD = 8cm., PA = 3cm , AC = 5 cm., AB = ?

c) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

PB = 24 – 6 = 18cm.

PA = 12cm

c) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

PB = 24 – 6 = 18cm.

PA = 12cm

CD

AB

PC

PA

89

3 AB

AB9

823

AB24

18

2416

PA

24

1816PA

Con la figura se realizan los siguientes ejercicios

• b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?

• 4x + 52 = 10x + 40 52 – 40 = 10x – 4x 12 = 6x 12 / 6 = x 2= x• AP = x + 13 = 2+13• AP = 15

• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm. AD =?

• AP =13,71 cm.

4

10

4

13

x

x

14

16

12

AP

14

1216AP

2. En la siguiente figura L1//L2.

• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

PC

BP

CD

AB

4

6

3

AB

cmAB

AB

5,4

4

18

MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIACORPORACION DE DESARROLLO SOCIALLICEO “TAJAMAR”SANTIAGODepto Matemática/ MCPV

GUÍA Nº4.1 TEOREMA DE THALES

Nombre(S):_______________________ Curso: 2º _____

Fecha :_______ Ptje. Real ________ Nota:_________

Instrucciones: Las guías debe ser enviada por email o entregada personalmente o

durante las tutorías, en la fecha estipulada por UTP y avisada con anterioridad en el correo del Liceo www.cdstajamar.cl

Puede ser resuelta por una o tres personas como máximo

1. En la siguiente figura L1//L2

• a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?

• b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?

• c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.

• d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

• a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?

• b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?

• c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.

• d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

• e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?

• f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?• g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD

= ?• h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1.

Determina PC y CD.• i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD =

• e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?

• f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?• g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD

= ?• h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1.

Determina PC y CD.• i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD =

2. En la siguiente figura L1//L2.

• a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?

• b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.

• c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.

• d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?

• a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?

• b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.

• c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.

• d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?

3. En la siguiente figura L1//L2.

• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., • CD = 3 cm., AB = ? • b) AP = x + 13, BP = 10 cm., • PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,• DP = 12 cm., AD = ?

• d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,

• CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.

• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., • CD = 3 cm., AB = ? • b) AP = x + 13, BP = 10 cm., • PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,• DP = 12 cm., AD = ?

• d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,

• CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en

el centro

OBJETIVOS DE LA UNIDAD de LA CIRCUNFERENCIA

Conocer y aplicar a la resolución de problemas el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos de una circunferencia Conocer y distinguir entre un ángulo del centro y un ángulo inscrito en una circunferencia. Aplicar la noción de semejanza en las relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en la circunferencia

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DiámetroAB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR LR

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

QR

M

N

MQ PM PQ R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

mBDmAC CD // AB :Si

A B

C D

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferenciales corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

mCD mAB CD AB:Si

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

d = Cero ; d : distancia

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + r

R r

d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.

R r

Punto de tangencia

Distancia entrelos centros (d)

d

d = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunesque son las intersecciones.

( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entrelos centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

d

d < R - r d: Distancia entre los centros

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a lasemisuma de las medidas de los arcosopuestos

2

mCDmAB

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A

B

C

2

mAB

A

B

C O

5.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Esigual a la semidiferencia de las medidas de los arcosopuestos.

+ mAB = 180

2

mAB - mACB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a lasemidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otrasecante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de losarcos opuestos.

2

mBC - mAB

EJERCICIOS RESUELTOS

5070º+x

XR

S

Q

140

2X

X + (X+70) + 50 = 180

X = 30

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2

mQRSPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ.

20

70X

X = 40R

Q

En el triángulo rectángulo RHS

140 Es propiedad, que:

140 + X = 180

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQRº70 mQR = 140

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

x130

A

C

B

DX = 40

50

Problema Nº 3

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

mBC130mBC = 50

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medidadel ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 4

70

B

A

X P

Resolución:Medida del

ángulo inscrito:

2

mABº70 mAB=140º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

140º + x = 180º

Resolviendo: X = 40º

2a + 80º = 360ºa = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a

5) Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .

MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA

CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G OSubsector MatematicaProfesora : María C. Palma V.

GUÍA Nº 4.2 de ángulos en la circunferencia

Nombre:_______________ Curso: 2º____ Fecha:______Ptje:____ Nota:_________ La guía consta de dos ítems, las respuestas deben ser enviadas a sus respectivas docentes

1) x = ?

2) x = ?

3) < ABC = 60°, AB es diámetro

1) x = ?

2) x = ?

3) < ABC = 60°, AB es diámetro

4) <CAO = 20º;<AOB = 100°;¿x=

5) <BOC = 140º; <ABC = 80°;< OAB =?

6) < OCB = 55°; x =?

4) <CAO = 20º;<AOB = 100°;¿x=

5) <BOC = 140º; <ABC = 80°;< OAB =?

6) < OCB = 55°; x =?

O

30

x

O40

x

x

C

BOA

A

B

OC

Ax

BO

C

A

xB

O

C

7) AB//CD; <COE = 30º;< EOD = 70° ; < DOB =?

8) Recta AB tangente; <AOC = 110º; < x =?

9) <CAB = 50º; <ABO = 30º; OB bisectriz< x=?

7) AB//CD; <COE = 30º;< EOD = 70° ; < DOB =?

8) Recta AB tangente; <AOC = 110º; < x =?

9) <CAB = 50º; <ABO = 30º; OB bisectriz< x=?

10) Los arcos MN, NP, y PQ son iguales; <MOP = 100º; <POQ = ?

11) Los arcos MN, PQ y NP son Iguales a 120º; <MOQ ;?<MRP = ?

12)OS//QP; PQR = 30º ; < SOP=?

10) Los arcos MN, NP, y PQ son iguales; <MOP = 100º; <POQ = ?

11) Los arcos MN, PQ y NP son Iguales a 120º; <MOQ ;?<MRP = ?

12)OS//QP; PQR = 30º ; < SOP=?

A x BO

CE D

A

xBO

C

A

x

B

O

C

O

Q

PM

R

N

O

Q

PM

R

N

O

P

Q

RS

13) z = 100º; x + y = ?

14) x = ?

15) <SOD = 110º;<LSD = 80º; x = ?

13) z = 100º; x + y = ?

14) x = ?

15) <SOD = 110º;<LSD = 80º; x = ?

16) <MPQ = 20º;MN : diámetro < X =?

17) ¿Qué parte del circulorepresenta el sector OBA?

16) <MPQ = 20º;MN : diámetro < X =?

17) ¿Qué parte del circulorepresenta el sector OBA?

OC

A

By

x

z

S

xL D

O

O

N

QM

P

x

20OB

A

x

40

O

B

II) Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:

1) x = ? a) 60º b) 30ºc) 120º d) 100º

1) x = ? a) 60º b) 30ºc) 120º d) 100º

2) Recta AB tangente;    

<AOC = 110º; x = ?

a) 110º b) 90ºc)200º d)160º

2) Recta AB tangente;    

<AOC = 110º; x = ?

a) 110º b) 90ºc)200º d)160º

o

30

x

A

x

BOC

3) x = ?a) 80º b) 40ºc) 20º d) N.A.

4) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x = ?a) 30º

b) 60º

c) 120º

d) 50º

3) x = ?a) 80º b) 40ºc) 20º d) N.A.

4) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x = ?a) 30º

b) 60º

c) 120º

d) 50º

5) <ABC =60º, AB diámetro; x = ?a) 60ºb) 120ºc) 30ºd) 45º

6) AB tangente; <AOB = 70º a) 20ºb) 70ºc) 160ºd) 110º

5) <ABC =60º, AB diámetro; x = ?a) 60ºb) 120ºc) 30ºd) 45º

6) AB tangente; <AOB = 70º a) 20ºb) 70ºc) 160ºd) 110º

O

40

X

A

x

B

O

C

x

C

BOA

O

A

Bx

7) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x = ? a) 20º b) 50ºc) 30º d) 100º

8) Los arcos AB, BC y CA son iguales ; x + 2z = ? a) 160ºb)170ºc)180ºd)90º

7) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x = ? a) 20º b) 50ºc) 30º d) 100º

8) Los arcos AB, BC y CA son iguales ; x + 2z = ? a) 160ºb)170ºc)180ºd)90º

9) z = 100º; x + y = ?a)40º b)25ºc) 18º d) N.A

• x + y = ?

a) 50ºb) 65ºc) 130ºd) 240º

9) z = 100º; x + y = ?a)40º b)25ºc) 18º d) N.A

• x + y = ?

a) 50ºb) 65ºc) 130ºd) 240º

A

x

B

O

C

OC

A

B

y

x

z

O

A

B

C

z

x

y

65

X

60o

11)<OCB = 55º; x = ?

a) 90º b)110ºc) 55º d) 35º

12)¿Qué parte del circulo representa el sector OBA?

a) 30% b) 20%c) 5,5% d) N.A.

11)<OCB = 55º; x = ?

a) 90º b)110ºc) 55º d) 35º

12)¿Qué parte del circulo representa el sector OBA?

a) 30% b) 20%c) 5,5% d) N.A.

13) AB//CD; <COE = 30º; <EOD = 70º; <DOB = ?

a) 40º b) 80º

c) 70º

d) 30º

14) x = ?a) 54ºb) 18ºc) 108ºd) 56º

13) AB//CD; <COE = 30º; <EOD = 70º; <DOB = ?

a) 40º b) 80º

c) 70º

d) 30º

14) x = ?a) 54ºb) 18ºc) 108ºd) 56º

A

xBO

C

20OB

A

A x BO

CE D

x

C

OA

B

Da

3a6a

15) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ? a) 140ºb) 60ºc) 80ºd) 70º

16) <MPQ = 20º; x = ? a)140ºb)40ºc)20ºd)N.A.

15) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ? a) 140ºb) 60ºc) 80ºd) 70º

16) <MPQ = 20º; x = ? a)140ºb)40ºc)20ºd)N.A.

17) ABC triángulo equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?

a) 120ºb) 60ºc) 30ºd) 40º

18) AB tangente; <AOB = aº ; x = ?a)45º + ab)90 + ac)360 – ad)N.A.

17) ABC triángulo equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?

a) 120ºb) 60ºc) 30ºd) 40º

18) AB tangente; <AOB = aº ; x = ?a)45º + ab)90 + ac)360 – ad)N.A.

A

C

B

O

Dx

S

x

L D

O

O

N

QM

P

x

A

C BOx

19) x = ?a) 40ºb) 80ºc) 70ºd) 160º

19) x = ?a) 40ºb) 80ºc) 70ºd) 160º

20) El arco AB es el 15% de la circunferencia;

<AOB = ?

a)38%b)55%c)54%d)28%

20) El arco AB es el 15% de la circunferencia;

<AOB = ?

a)38%b)55%c)54%d)28%x

40

O

B

O

A

B

1) 8) 15)

2) 9) 16)

3) 10) 17)

4) 11)

5) 12)

6) 13)

7) 14)

MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O

Prof: María C. Palma V

Nombre:______________________ Fecha:_________Curso:____________ Puntaje :___________ Nota:________

Planilla de respuestas de la guía nº4.2

Nº PGTA.

A B C D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nº PGTA

A B C D

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Teor emas

1)

2)

3)

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

1)

BPCPAP 2

5202 AP

100AP

10AP

2)

15 · 6 = 8 ·

CPDPAPBP

PD

8

90PD

25,11PD

3)

EDCEEBAE

5102 AEAE

2

502AE

525 AE

EJERCICIOS RESUELTOS

1) 5) 9)

2) 6) 10)

3) 7) 11)

4) 8) 12)

Planilla de respuestas sobre proporcionalidad en la circunferencia

Nombre:______________________ Fecha:_________Curso:____________ Puntaje :___________ Nota:________

MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O

Prof: María C. Palma V