Liceo Matilde Brandau de Ross

Analizar el conjunto de Números Complejos, sus relaciones, operaciones y propiedades para la resolución de problemas.

DEFINICIÓN

• Los Números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real.

Características Principales: • Este conjunto se representa por I. • Este conjunto posee elementos que se obtienen a

partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

−7 3 −2 3 + −10

Entenderemos como Unidad Imaginaria a :

Definición:

La que se conoce como RAÍZ Imaginaria

NOTA:

EJEMPLOS

𝑖𝑚 ⟹ m es un entero positivo ; 𝑚 ≥ 4.

1.- Divida el exponente 𝒎 por 𝟒 y el resultado será elevado al resto de la división.

𝑚 ∶ 4 = 4𝑞 + 𝑟 𝑚 4 𝑟 𝑞

2.- Luego para simplificar use; 𝑖𝑚 = 𝑖4𝑞+𝑟 = 𝑖𝑟 3.- Sí 𝑖 = −1

Todas las potencias al dividir por cuatro dará como resultado o lo que es equivalente decir que: 𝒊𝒏

Resultado 1 si 𝒏: 𝟒 tiene resto 0 Resultado 𝒊 si 𝒏: 𝟒 tiene resto 1 Resultado −𝟏 si 𝒏: 𝟒 tiene resto 2 Resultado −𝒊 si 𝒏: 𝟒 tiene resto 3

EJEMPLO:

𝑎) 𝑖235 → 235: 4 = 58 35 3 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

→ 𝑖235 = −𝑖

𝑏)2𝑖209 + 3𝑖403 = Dividamos: 209:4=52 403:4=10 09 00 1 03 ∴ 𝑖209= 1 ∧ 𝑖403 = −𝑖 Tenemos que: 2𝑖209 + 3𝑖403 = 2 ∙ 𝑖 + 3 ∙ −𝑖 = 2𝑖 − 3𝑖 = −𝑖

EJEMPLOS:

𝑖151 = 𝑖3 151 4 31 37 3

151 = 37 ∙ 4 + 3

Ejercicios: 𝑖0 = 1 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖 𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 ∙ −1 = 1

Este último resultado hace que las potencias de "𝑖“ solo tengan como resultados a: 𝑖 , −𝑖 , 1 𝑦 -1 .

Calcule las siguientes raíces:

1) −4 = 4 ∙ −1 = 2 −1 = 2𝑖 2) −25 = 25 ∙ −1 = 5𝑖 3) −12 = 4 ∙ 3 ∙ −1 = 2 3𝑖 4) −11 = 11 ∙ −1 = 11 𝑖

Los Números Complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. También se dice que es el conjunto de los pares ordenados de los reales. Son de la forma:

DEFINICIÓN:

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑎, 𝑏)

Donde 𝒂 y 𝑏 pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.

IMPORTANTE SABER: El conjunto de todos los números complejos se

designa por ℂ: ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖 /𝑎, 𝑏 ∈ ; 𝑖 = −1}

La expresión 𝒂 + 𝒃𝒊, se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes:

Los números complejos , poseen: Elemento neutro, opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso. Con estas operaciones los complejos tiene la estructura de cuerpo conmutativo.

• COMPLEJOS CONJUGADOS : Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imaginarias.

Ejemplo: 𝒛 = 𝟔 + 𝟓𝒊 𝒛 =6-5i conjugada

• COMPLEJOS OPUESTOS: Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las partes como las imaginarias.

Ejemplo: 𝒛 = 𝟗 − 𝟒𝒊 −𝐳 = −𝟗 + 𝟒𝐢

Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje “X” se representa los números reales y las cantidades imaginarias en el eje “Y” . Al plano formado por los ejes real e imaginario se denomina llama Plano de Gauss. El número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊 mediante el punto (a,b), que se llama su afijo, o mediante un vector (fecha) de origen (0,0) y extremo (a,b).

EJEMPLO

1.- Graficar el siguiente número complejo: 𝒛 = 𝟗 − 𝟒𝒊

2.- Dado el número complejo: 𝒛 = 𝟓 + 𝟒𝒊 Graficar: • El número complejo. • El opuesto del número complejo • La conjugada del número complejo.

El módulo de un número complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, es la longitud del vector. El módulo de dicho número se representa por 𝒛 .

DEFINICIÓN:

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑟2

𝑧 = 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2

1.- Suma de Complejos:

Definición: Sea: 𝒛𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 y 𝒛𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 ∴ 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 + (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒊

Ejemplos: 𝑧1 = 2 + 2𝑖 𝑧2 = −3 + 𝑖

Solución: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟐 + 𝟐𝒊 + (−𝟑 + 𝒊)

𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 + 𝟏 𝒊 𝒛𝟏+𝒛𝟐 = (−𝟏 + 𝟑𝒊)

2.- Resta de Complejos:

Definición: Sea 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y 𝒘 = 𝒄 + 𝒅𝒊 ∴ 𝒛 − 𝒘 = 𝒂 + 𝒃𝒊 − (𝒄 + 𝒅𝒊) 𝒛 − 𝒘 = 𝒂 − 𝒄 + 𝒃 − 𝒅 𝒊

Ejemplos 1: 𝑧 = 4 + 7𝑖 𝑤 = 2 + 3𝑖

Solución:

𝒛 − 𝒘 = 𝟒 + 𝟕𝒊 − 𝟐 + 𝟑𝒊 𝒛 − 𝒘 = 𝟒 − 𝟐 + 𝟕 − 𝟑 𝒊

𝒛 − 𝒘 = (𝟐 + 𝟒𝒊)

Ejemplos 2: Si 𝑧1 = 2 − 3𝑖 y 𝑧2 = −3 + 𝑖 Solución: ⟹ 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = 𝟐 − 𝟑𝒊 − (−𝟑 + 𝒊) 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = 𝟐 − 𝟑𝒊 + 𝟑 − 𝒊 = 𝟓 − 𝟒𝒊

3.- Producto o Multiplicación de Complejos:

𝑎) Multiplicación de un número real por un número complejo: Donde: 𝜶 es el número real y 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 el número complejo 𝜶 ∙ 𝑧 = 𝜶 ∙ 𝑎 + 𝑏𝑖

𝜶 ∙ 𝑧 = 𝜶𝑎 + 𝛼𝑏𝑖

Ejemplo 1:

Sea: z = 4 + 3𝑖 y w = −3 + 5𝑖

b) Multiplicación de dos números complejos: Siendo: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖

𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 ; pero 𝑡2 = −1 𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 −1 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

Ejemplo 2:

Sea: 𝛼 = 6 y 𝑧 = 7 + 5𝑖 𝛼 ∙ 𝑧 = 6 7 + 5𝑖 𝛼 ∙ 𝑧 = 42 + 30𝑖

𝑧 ∙ 𝑤 = 4 + 3𝑖 ∙ −3 + 5𝑖 𝑧 ∙ 𝑤 = −12 + 20𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2 ; pero 𝑖2 = −1 𝑧 ∙ 𝑤 = −12 + 15 ∙ −1 + 20 − 9 𝑖 𝑧 ∙ 𝑤 = −12 − 15 + 11 𝑖 𝑧 ∙ 𝑤 = −27 + 11𝑖

4.- Cociente o División de Complejos:

a) División de un número complejo para un número real: Sean 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y 𝜶 un número real.

𝑧

𝛼=

(𝑎 + 𝑏𝑖)

𝛼=

𝑎

𝛼+

𝑏

𝛼𝑖

Ejemplo 1:

Sea 𝛼 = 4 y 𝑧 = 8 + 6𝑖 Solución: 𝑧

𝛼=

(8+6𝑖)

4=

8

4+

6

4𝑖

𝑧

𝛼= 2 +

3

2𝑖

b) División de un número complejo por otro número complejo: Sean 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y 𝒘 = 𝒄 + 𝒅𝒊 , son dos números complejos y 𝒘 ≠ 𝟎. Para este proceso tenemos tres maneras de solución: i) Por medio común, es decir formando ecuaciones:

𝑧

𝑤= 𝑥 + 𝑦𝑖

(𝑎 + 𝑏𝑖)

(𝑐 + 𝑑𝑖)= (𝑥 + 𝑦𝑖)

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ∙ 𝑥 + 𝑦𝑖

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐𝑥 + 𝑐𝑦𝑖 + 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑖2

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦(−1) → 𝑡2 = −1

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐𝑥 − 𝑑𝑦 + 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥 𝑖

𝑎 = 𝑐𝑥 − 𝑑𝑦 1

𝑏 = 𝑑𝑥 + 𝑐𝑦 2

De la ecuación “1” despejamos x:

𝑥 =𝑎 + 𝑑𝑦

𝑐

"𝒙“ reemplazamos en la ecuación 2 y despejamos “y”:

𝑏 = 𝑐𝑦 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑦

𝑐

𝑏𝑐 = 𝑐2𝑦 + 𝑎𝑑 + 𝑑2𝑦 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = 𝑦(𝑐2 + 𝑑2)

𝑦 =𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2

EJEMPLOS RESUELTOS

Dado 𝑧 = 4 + 3𝑖 y 𝑤 = 3 + 2𝑖

Determinar 𝑧

𝑤

Solución: 𝑧

𝑤=

(4+3𝑖)

(3+2𝑖)∙

3−2𝑖

3−2𝑖=

4 3 − 4 2 𝑖+ 3 3 𝑖−(3)(2)𝑖2

32+22 , pero 𝑖2 = −1

𝑧

𝑤=

12 − 8𝑖 + 9𝑖 + 6

9 + 4

𝑧

𝑤=

18 + 1𝑖

13=

18

13+

1

13𝑖

Dado