ndice generalI Conjuntos, Relaciones y Funciones 21. Un poco sobre Teora de Conjuntos 31.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Un poco de terminologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Un par de smbolos ms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4. Sobre la negacin de los cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5. Algunas reglas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6. Ejemplos de inclusin e igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7. Propiedades de la inclusin y la igualdad de conjuntos . . . . . . . . . 91.2. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Algunas cosas que conviene tener presentes . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Interseccin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Propiedades bsicas de la interseccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2. Sobre el uso de diagramas o pinturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Unin de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Propiedades bsicas de la unin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. La doble distributividad de las operaciones y ' . . . . . . . . . . . . 141.5. Complemento y diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Algunas propiedades del complemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2. Leyes de De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. La diferencia simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.1. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2. Algunas propiedades de la diferencia simtrica . . . . . . . . . . . . . 191.7. Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7.1. Unas palabras sobre los pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7.2. Denicin del producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8.1. Interseccin de familias nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8.2. Unin de familias nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8.3. Generalizacin de las leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . 25i1.8.4. Generalizacin de las leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.5. Generalizacin del producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.6. Familias contables de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9. Ejemplos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332. Relaciones binarias 372.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.1. Relacin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2. Composicin de relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.3. Representaciones grcas de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. Funciones 503.1. Introduccin histrica sobre el concepto de funcin. . . . . . . . . . . . . . . 503.1.1. Los babilonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2. Los griegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3. La edad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.4. Desarrollo del lgebra literal y simblica . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.5. El siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.6. El papel preponderante del concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . 533.1.7. La nocin general de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2. El concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.1. Denicin y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2. Imgenes directas e inversas de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.3. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.4. Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.5. La funcin identidad y las funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . 623.3. Grcas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.1. Funciones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2. Funciones anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3. Uso del valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.4. Grcas que involucran parbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4. Bsqueda de dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5. Diferentes operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.1. Suma de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.2. Producto de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.3. Cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75iiII Construccin de Conjuntos Numricos 814. Los nmeros naturales 824.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2. El principio de induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.1. Extensiones y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2. Deniciones por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.3. Sobre los conjuntos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Sistemas de numeracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.1. Un poco sobre la divisin euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2. Bases de numeracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.3. De vuelta a la niez! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.4. Algunos comentarios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.5. Algoritmos de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105. Los Nmeros Enteros 1125.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2. Construccin como un conjunto cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2.1. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.2. Leyes de cancelacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3. Representacin geomtrica y orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.4. El valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.5. El principio del buen orden visto en Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3.1. Mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.2. Nmeros primos y primos entre s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.3. El mnimo comn mltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Los Nmeros Racionales 1336.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Construccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2.1. Multiplicacin en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2.2. Z visto como una parte de Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2.3. La divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2.4. Representacin cannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2.5. Denicin de la suma en Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.2.6. Q es un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.7. Leyes de cancelacin en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139iii6.2.8. Orden y valor absoluto en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.9. Sobre la incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.10. Potenciacin en Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.2.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.3. Representacin de racionales en diferentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3.1. Una particin de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3.2. El subconjunto Qo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3.3. Acerca de la expresin decimal de los racionales de Qo . . . . . . . . . 1496.3.4. De regreso al conjunto de los racionales Qj. . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.5. Unas palabras sobre la divisin en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577. El paso de los racionales a los reales 1617.1. Incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1.1. Incompletitud geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1.2. Otras evidencias de la incompletitud de los racionales . . . . . . . . . 1627.1.3. Versin analtica de la incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.2. Axiomatizacin de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2.1. Axiomas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2.2. Clculo de cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2.3. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.2.4. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.2.5. Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.6. Una copia de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.3.1. Consecuencias de la completitud de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3.2. Existencia de raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.3.3. Los nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.4. Sumatorias, conteo y existencia de races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.4.1. Repaso de sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.4.2. Propiedades de las sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.4.3. Combinatoria y frmula del binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.4.4. Un poco de conteo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.4.5. Existencia de races. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190A. Axiomatizacin de la aritmtica 192A.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.2. Operaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194A.2.1. La suma en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194ivA.2.2. La multiplicacin en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.2.3. Orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197A.2.4. La ley de tricotoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.2.5. La resta y la divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199B. Construccin del conjunto de los nmeros reales 200B.1. Un poco de intuicin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200B.2. Denicin de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201B.2.1. Denicin del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202B.2.2. Operaciones en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.3. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206B.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207vPrefacioEl presente trabajo es fruto de varios aos de experiencia, impartiendo los primeros nivelesde la carrera de Enseanza de la Matemtica en la Universidad de Costa Rica. En el ao1999, la Escuela de Matemtica comenz un proceso de reestructuracin de esta carrera,con la consigna de transmitir a los nuevos estudiantes, un conocimiento ms acorde con sucondicin de futuro docente de la enseanza media. Se elaboraron programas y comenzamosa editar unos apuntes informales, que han ido tomando forma a travs de los aos.El trabajo nace de la necesidad de dotar al futuro docente, de una herramienta de vitalimportancia para su desempeo acadmico y profesional. Se ha preparado pensando no solo enestudiantes de enseanza de la matemtica, sino tambin en aquellos docentes ya consagradosque sientan la necesidad de refrescar un poco su memoria, o simplemente disfrutar de lalectura.Uno de los objetivos principales del trabajo, es enfatizar la intuicin como herramienta bsicaen la construccin del conocimiento matemtico, sin perder de vista la rigurosidad. Con estaconsigna, en el primer captulo no hemos querido profundizar en la axiomtica de la teora deconjuntos, menos an hacer un estudio minucioso de las ltimas corrientes de ideas en estetema. Pero s lo hemos concebido como un apoyo valioso para el lector interesado en aprenderlos fundamentos de la teora y entrenarse un poco en las tcnicas bsicas de demostracin,as como su utilizacin en la resolucin de problemas de matemtica elemental.Aunque a lo largo del trabajo se hacen constantes invitaciones al lector para que veriqueo demuestre ciertas armaciones, queremos insistir en que la idea es sentirse libre de usarla intuicin y no dejarse abrumar por el rigor. En temas como los tratados aqu, un dibujosiempre ayuda a entender conceptos y a deducir resultados que, de otra manera, aparecerancomo construcciones antojadizas y carentes de signicado.El libro consta de dos partes, en cierta forma independientes, pero a la vez complementarias.La primera establece el lenguaje sobre el que descansa la segunda; la segunda realiza la con-struccin de los conjuntos numricos que sirven de modelo a la teora desarrollada en laprimera. Ambas son imprescindibles para comenzar a caminar sin tropiezos hacia las pro-fundidades de la matemtica. Un lector un poco osado podra comenzar directamente con lasegunda parte, y ehar una mirada a la primera cuando as lo requiera. Con esto en mente, nonos hemos sometido a una presentacin lineal. Por lo general el lector ha estado en contactovi1con las nociones bsicas de los conjuntos numricos, por lo que los ejemplos desarrolladosen la primera parte, echan mano a varios de esos conceptos. El lector que del todo no hayaestado en contacto con R por ejemplo, podr brincarse los ejemplos que hacen mencin adicho conjunto sin ningn problema.Aunque la segunda parte trata de la construccin de conjuntos numricos, no hemos queridoabrumar al lector con muchos detalles tcnicos, por que hemos dejado de lado la axiomati-zacin de la aritmtica y la construccin rigurosa de R. Con la idea de salvar la conciencia,y para aquellos lectores interesados, estos temas han sido desarrollados al nal, a modo deapndices.El material aqu expuesto, ha pasado por muchas transformaciones desde su cruda concepcinhace ya ms de una dcada. A lo largo de este tiempo, son muchas las personas que, de unau otra forma, han contribuido a estas transformaciones. Entre ellos contamos varios colegasque, al utilizar el material, lo han criticado en forma muy constructiva y nos han animadoa realizar esta publicacin. Pero sobre todo nos hemos valido mucho de las reacciones delos estudiantes, ellos son los verdaderos termmetros que han valorado los ejercicios, noshan permitido ver cules son interesantes y cules no, y cules formas de presentar ciertostemas son ms idneas que otras. A todas estas personas les expresamos nuestro ms sinceroagradecimiento.Parte IConjuntos, Relaciones y Funciones2Captulo 1Un poco sobre Teora de Conjuntos1.1. Introduccin1.1.1. Un poco de historiaLa teora de conjuntos como se conoce hoy en da, comienza a desarrollarse a partir de lostrabajos de Georg Cantor1(1845 1918), realizados a nales del siglo XIX. Su estudio de lasseries trigonomtricas lo llev a la necesidad de comparar magnitudes de conjuntos innitosy a establecer as la nocin de equipotencia de conjuntos. El concepto de potencia paraconjuntos innitos lo llev a generalizar los nmeros naturales, obteniendo as los cardinalesinnitos y a desarrollar la teora y aritmtica de nmeros transnitos.Los trabajos de Cantor motivaron que otros matemticos se involucraran en intentos porpresentar la teora de conjuntos como un sistema de principios lgicos. Quiz el esfuerzo msevidente en esta direccin, est representado por los dos volmenes de la obra de GottlobFrege2, en la que indicaba cmo la matemtica poda ser desarrollada de una serie de princi-pios que l consideraba principios lgicos. Pero no haba aparecido an el segundo volumen,cuando Bertrand Russell3apunt la existencia de una paradoja que se derivaba de esos prin-1Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, naci el 3 de marzo de 1845. Descendiente de judos y nacidoen Rusia, vivi en Alemania desde los once aos, adoptando nalmente esta nacionalidad. A su traslado aAlemania, asisti a varias escuelas privadas de Francfort y Damstandt, e ingres en el Instituto de Wiesbadenen 1860. Comenz sus estudios universitarios en Zurich, en 1862, y al siguiente ao pas a la Universidadde Berln, donde se especializ en Matemticas, Filosofa y Fsica. Entre sus profesores de Matemtica, secuentan Kummer, Weierstrass, y Kronecker. En 1874 aparece su primer trabajo revolucionario sobre la teorade conjuntos, en el que demuestra que no existe una biyeccin entre el conjunto de los nmeros reales y elconjunto de los nmeros naturales. A partir de 1879 publica una serie de trabajos estableciendo los conceptosgenerales de conjuntos abstractos y nmeros transnitos. Su trabajo fue bien recibido por grandes matemticosde la poca, entre ellos Richard Dedekind, no as por otros como Kronecker, quien atac duramente su tratocon los conjuntos innitos en la misma forma como si fueran nitos. Cantor muri el 6 de enero de 1918 enHale, Alemania. A la fecha ya su obra haba sido reconocida, y le haban otorgados mltiples honores.2Friedrich Ludwig Frege, naci el 8 de noviembre de 1848, y muri el 26 de julio de 1925. Fue un matemtico,lgico y lsofo alemn, fundador de la moderna lgica matemtica y la losofa analtica.3Bertrand Arthur William Russell, naci en 1872 y muri en 1970. Fue un lsofo, matemtico y escritor3Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 4cipios y que pareca destruir toda posibilidad de fundamentar la matemtica en los principiosde Frege.La primera axiomatizacin de la teora de conjuntos fue publicada por Ernst Zermelo4en1908, mientras que en 1922 Abraham Fraenkel5y otros propusieron un axioma ms (axioma dereemplazo), que complet lo que hoy en da se conoce como la teora de Zermelo-Fraenkel (ZF).Una axiomatizacin alternativa fue iniciada por John von Neumann6en 1925 y completadapor Paul Bernays7a partir de 1937 y por Kurt Gdel8en 1940. Este enfoque se conoce comola teora de von Neumann-Bernays, o tambin Gdel-Bernays.En la actualidad podra decirse que la teora de conjuntos ha alcanzado su madurez, aunquesiguen apareciendo nuevas teoras que amplan las existentes y sugieren nuevas formas deconceptualizar ideas que han sido manejadas de una manera intuitiva por varias generaciones.En este sentido conviene mencionar la teora axiomtica del anlisis no estndar, dondenuevos axiomas se unen a los axiomas clsicos de Zermelo-Fraenkel para dar origen a nuevoselementos de la recta real que escapan a nuestra intuicin geomtrica clsica.El lector interesado en ampliar sus conocimientos sobre el desarrollo histrico de la teorade conjuntos, puede consultar la basta literatura al respecto, entre ellos: [2], [5], [8] y [10].Para un estudio axiomtico riguroso de la teora de conjuntos recomendamos leer [6]. Unapresentacin ms amena e informal puede hacerse leyendo [11].britnico. Escribi sobre diversos temas, desde los fundamentos de las matemticas y la teora de la relativi-dad al matrimonio, los derechos de las mujeres y el pacismo. Su vida fue apasionada, intensa y larga. Enmatemticas su gran contribucin es la Principia Mathematica con Alfred North Whitehead, libro en tresvolmenes en donde a partir de ciertas nociones bsicas de la lgica y la teora de conjuntos se pretendadeducir la totalidad de las matemticas. Este libro contribuy al desarrollo de la lgica, la teora de conjuntos,la inteligencia articial y la computacin as como la formacin de pensadores de la talla de David Hilbert yKurt Gdel.4Ernst Friederich Ferdinand Zermelo, matemtico y lsofo alemn. Naci en Berln el 27 de julio de 1871,y muri el 21 de mayo de 1953.5Adolf Abraham Halevi Fraenkel, matemtico alemn de origen judo, nacido en Munich el 17 de febrerode 1891, muri en Jerusalem, Israel, el 15 de octubre de 1965.6John Von Neumann (Neumann Jnos Lajos), matemtico hngaro - estodounidense, de ascendencia juda.Naci el 28 de diciembre de 1903 y muri el 8 de febrero de 1957.7Paul Isaac Bernays, matemtico suizo, naci en 1888 en Londres y muri en 1977 en Zurich. Jug un papelcrucial en el desarrollo de la lgica matemtica del siglo XX. Fue asistente y colaborador cercano de DavidHilbert.8Kurt Gdel (28 de abril de 1906 14 de enero de 1978). Fue un lgico, matemtico y lsofo austriaco-estadounidense. Reconocido como uno de los ms importantes lgicos de todos los tiempos, el trabajo deGdel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento cientco y losco del siglo XX. Gdel, al igual queBertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intent emplear la lgica y la teora de conjuntos paracomprender los fundamentos de la matemtica. Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud,publicados en 1931 a los 25 aos de edad, un ao despus de nalizar su doctorado en la Universidad de Viena.Tambin demostr que la hiptesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teorade conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 51.1.2. Un poco de terminologaGeneralmente, en una teora matemtica, los trminos que denotan las nociones primariasde esa teora no se pueden denir. As por ejemplo, en geometra resulta difcil dar unadenicin de trminos como punto, recta y plano. Usualmente, para estas nocionesprimarias, se dan algunos axiomas que sirven para jar las reglas del juego en su utilizacin.Siguiendo con el ejemplo de la geometra, recordemos una serie de axiomas como: dos puntosdistintos determinan una recta; tres puntos no colineales determinan un plano; una rectaconteniendo dos puntos comunes con un plano est enteramente contenida en ese plano; etc.En el caso de la teora de conjuntos sucede algo similar.Primeramente, de acuerdo con lo que acabamos de explicar, un conjunto es una nocin pri-maria que no deniremos. Todos los conjuntos, salvo desde luego el conjunto vaco (denotadopor O), estn formados por elementos. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto,utilizamos el smbolo de pertenencia . As, si a es un elemento del conjunto , escribimosa , que se lee: a pertenece a o a es elemento de . Para indicar que a no es unelemento del conjunto , se utiliza la negacin del smbolo de pertenencia \ , ". Es decir, sia no es un elemento de , escribimos a , .Ejemplo 1.1.1 Si es el conjunto vaco, tenemos r , para cualquier r.Si y 1 son dos conjuntos, diremos que son iguales si tienen exactamente los mismoselementos y escribimos = 1. Esto, en la teora axiomtica, es conocido como el axioma deextensin. Como quiera que se vea, este hecho corresponde con la idea intuitiva de que losconjuntos consisten de elementos y nada ms; esto es, conocer un conjunto es conocer suselementos.Nota: Cuando decimos que dos conjuntos y 1 son iguales, realmente queremos decir quelos smbolos y 1 representan el mismo conjunto.Ejemplo 1.1.2 Si es el conjunto formado por todos los nmeros naturales9menores que0, entonces = O.Si y 1 son dos conjuntos, diremos que es subconjunto de 1 si todo elemento de estambin elemento de 1. Para indicar que es subconjunto de 1, utilizamos el smbolo deinclusin \ _ "; escribimos _ 1. Tambin se dice que est contenido en 1, o que 1contiene a .Ejemplo 1.1.3 El conjunto de los nmeros naturales est contenido en el conjunto de losnmeros enteros: N _ Z. Adems Z _ Q y Q _ R.9En esta primera parte del documento, emplearemos los conjuntos numricos sin preocuparnos de su exis-tencia, utilizando el conocimiento previo, ya sea terico o emprico, que el lector posee de su formacin en laeducacin media.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 6Ahora, qu signica que no sea subconjunto de 1?. Si no es subconjunto de 1, no secumple la armacin todo elemento de es tambin elemento de 1 y debe existir entoncespor lo menos un elemento de que no sea elemento de 1. Simblicamente se escribe * 1.Ejemplo 1.1.4 Note que Z * N, pues existen enteros r que no son naturales. Basta conobservar que 1 Z y 1 , N.Ejemplo 1.1.5 El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto.En efecto, sea un conjunto cualquiera. Si fuera falso que O _ , debera existir al menosun r O tal que r , , pero como no existe ningn r O, esto es imposible. Aqu aplicamosun argumento de reduccin al absurdo, o demostracin por contradiccin.Recordemos que los conjuntos estn formados por elementos. Si queremos denir un conjuntoparticular, es necesario precisar los elementos que lo forman. Para esto se procede de dosmaneras:Por enumeracin de todos sus elementos (extensin).Ejemplo 1.1.6 El conjunto formado por las letras a, c, i, o, n.Enunciando una propiedad caracterstica de sus elementos (comprensin).Ejemplo 1.1.7 El conjunto de los nmeros enteros mltiplos de 3.Para denotar los conjuntos utilizaremos los smbolos , as :a, c, i, o, n se leer el conjunto formado por las letras a, c, i, o, n .r : r es entero mltiplo de 3 se leer el conjunto de las r tales que r es un enteromltiplo de 3.Ejemplo 1.1.8 _r : r es entero y r2+ 3r + 2 = 0_= 1, 2Ejemplo 1.1.9 _r : r es entero y r22 = 0_= OEn teora de conjuntos, la utilizacin de algunos smbolos facilita la escritura. Dos de esossmbolos son los llamados cuanticadores:\ : que se lee para todo y se denomina cuanticador universal, : que se lee existe y se denomina cuanticador existencial.Estos nos permiten escribir de manera abreviada las deniciones dadas anteriormente.Por ejemplo: _ 1 lo escribimos : \r , se tiene r 1 (para todo r elemento de , se tiene quer es elemento de 1 ). En algunos contextos se suele abreviar ms:(\r ) (r 1) .Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 7 * 1 la escribimos: r tal que r , 1 (existe un r elemento de que no eselemento de 1). Ms abreviadamente:(r ) (r , 1) .La relacin de inclusin, nos permite dar una denicin alternativa de igualdad entre conjun-tos. Recordemos que = 1 si tienen exactamente los mismos elementos, lo que es equivalentea decir que _ 1 y 1 _ . Claramente, para que sea distinto de 1 ( ,= 1 ), debeocurrir que * 1 o 1 * . Dicho de otro modo, ,= 1 si ocurre alguno de los siguientescasos:1. existe al menos un elemento a tal que a , 1, o2. existe al menos un elemento / 1 tal que / , .1.1.3. Un par de smbolos msEl smbolo \ = " se lee \implica y se utiliza para sustituir la frase: si... entonces.... Porejemplo, en lugar de: Si r entonces r 1, podemos escribir:r =r 1.Un ejemplo un poco ms elaborado es el siguiente: Sabemos que si _ 1 entonces todoelemento de es elemento de 1. Utilizando el \implica lo podemos escribir as: _ 1 =(\r) (r =r 1) .En algunos casos, se puede demostrar que un cierto implica es vlido y que tambin esvlida la otra direccin. Por ejemplo, si = 1 se tiene en particular que _ 1 y 1 _ .Pero tambin se puede demostrar que estas dos condiciones implican = 1. En este casoescribimos: = 1 =( _ 1 y 1 _ )y decimos que ambas proposiciones son equivalentes.El smbolo \ =" se lee \si y solo si y a veces se abrevia sii.1.1.4. Sobre la negacin de los cuanticadoresEn general, si j(r) es cierta armacin sobre el elemento r, podemos formar nuevas arma-ciones:(\r ) j(r) para todo r en se cumple j(r)(r ) j(r) existe r en tal que se cumple j(r)Por ejemplo, si j(r) es la proposicin r2+ 1 = 0 y si = R, entonces podemos formar lanueva proposicin(r R)_r2+ 1 = 0_,Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 8la cual es falsa. La negacin de esta:(\r R)_r2+ 1 ,= 0_,es verdadera. En general, la negacin de (\r ) j(r) est dada por(r ) (qj(r)) ,donde qj(r) es la negacin de j(r). La negacin de (r ) j(r) est dada por(\r ) (qj(r)) .En matemtica, a veces se utiliza un conjunto de referencia 1 (que contiene a todos losconjuntos con los que se est trabajando). Se entiende entonces que todo elemento en elcontexto pertenece a 1, as que no es necesario escribir r 1. Por ejemplo, la proposicin:(\r 1) j(r) se escribira abreviadamente como: (\r)j(r).Bajo esa convencin, la denicin de subconjunto se puede reescribir as: _ 1 =(\r ) (r 1) .La igualdad estara dada por: = 1 =(\r) (r =r 1) .Finalmente, utilizaremos la notacinr 1 : j (r)para denotar al conjunto de elementos de 1 que satisfacen la propiedad j (r) . Si no hayambigedad, se escribe simplemente r : j (r) .1.1.5. Algunas reglas importantesDado un elemento a y un conjunto 1, entre las dos relaciones a 1 y a , 1, una y solo unaes verdadera. Aqu se aplica el principio del tercero excluido. El principio de nocontradiccin permite concluir que las dos proposiciones no son ciertas simultneamente.Finalmente, decimos que un conjunto 1 est bien denido si para todo elemento a siemprees posible decidir si pertenece o no al conjunto 1.Por mucho tiempo se acostumbr denir un conjunto con solo dar cierta condicin sobresus elementos. Sin embargo, al aparecer ciertas paradojas de la teora de conjuntos, debipensarse en una teora axiomtica que evitara ese tipo de situaciones. Por ejemplo:No podemos hablar del conjunto de todos los conjuntos.Un conjunto no puede ser considerado como elemento de s mismo.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 9Supongamos, por ejemplo, que podemos hablar del conjunto de todos los conjuntos, al cualdenotamos por A. Siendo A un conjunto debe ser elemento de A, es decir A A. Tenemosentonces dos categoras de conjuntos: los que son elementos de s mismos y los que no lo son.Sea 1 el conjunto de todos los conjuntos de la segunda categora, es decir1 = A : , .La pregunta siguiente es: En cul categora podemos ubicar al conjunto 1 ?.Si 1 1 entonces, puesto que los elementos de 1 son los conjuntos que no son elementos des mismos, tenemos 1 , 1 . Obtenemos una contradiccin y por lo tanto es falso que 1 1.Pero entonces 1 , 1 y por denicin de 1 se sigue que 1 1, llegando nuevamente a unacontradiccin. Esto demuestra que A no es un conjunto.1.1.6. Ejemplos de inclusin e igualdad de conjuntosEjemplo 1.1.10 Considere los conjuntos = r Z : r es par y 0 < r < 15, 1 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.Entonces = 1.Ejemplo 1.1.11 Considere los conjuntos = r Z : r es mltiplo de 3 y 1 = 9, 12, 27.Entonces tenemos 1 _ , pero * 1, dado que por ejemplo 6 y 6 , 1. Consecuente-mente se tiene tambin ,= 1.Ejemplo 1.1.12 Sean = 1, 2, 3, 4, 6 y 1 = 3, 5, 6, 10, 12. Entonces * 1, pues 4 y 4 , 1. Por otro lado, 1 * pues 12 1 y 12 , .Ejemplo 1.1.13 Sea = : N : : es impar y sea 1 = : N : : es primo . Entoncesse tiene ,= 1, pues por ejemplo 9 , pero 9 , 1. En particular no se tiene _ 1 (estoes * 1). Tampoco se tiene 1 _ , pues 2 1 y 2 , .Ejemplo 1.1.14 Sea = _: N : 3 < :2< 30_ y sea 1 = 2, 3, 4, 5 . Entonces = 1.Para ver esto tenemos que demostrar que _ 1 y 1 _ . Para demostrar que 1 _ nadams hay que observar que el cuadrado de cada elemento de 1 es un nmero natural entre 3y 30, lo cual es evidente. Para ver que _ 1, tomemos un elemento : de . Entonces debetenerse 2 _ : _ 5 y esto signica : 1.1.1.7. Propiedades de la inclusin y la igualdad de conjuntosEs bastante evidente que la igualdad de conjuntos satisface las siguientes propiedades:Reexividad: Para todo conjunto se tiene = Simetra: Si = 1 entonces 1 = Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 10Transitividad: Si = 1 y 1 = C, se sigue que = C.En efecto, estos son axiomas lgicos de igualdad, vlidos en cualquier contexto de matemti-ca clsica. En el captulo siguiente estudiaremos las relaciones de equivalencia, que son sim-plemente una abstraccin del concepto de igualdad, en el sentido que satisfacen estas trespropiedades.La inclusin satisface las siguientes propiedades:Reexividad: Para todo conjunto se tiene _ .Antisimetra: Si _ 1 y 1 _ entonces = 1.Transitividad: Si _ 1 y 1 _ C, se sigue que _ C.Las relaciones que cumplen estas propiedades se llaman relaciones de orden, de acuerdo conlo que estudiaremos en el captulo siguiente.1.2. Conjunto potenciaAntes de dar una denicin formal del conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto,veamos un ejemplo.Ejemplo 1.2.1 Si 1 = a, /, c, los subconjuntos de 1 son los conjuntos: 1, O, a, /,c, a, /, a, c, /, c. Al conjuntoT(1) = 1, O, a, /, c, a, /, a, c, /, cse le llama el conjunto potencia de 1 o el conjunto de partes de 1.Denicin 1.2.1 En general, si 1 es un conjunto cualquiera, el conjunto de todos los sub-conjuntos de 1 se llama Conjunto Potencia de E, o Conjunto de Partes de E y se denotapor T(1) o 21. Simblicamente se tieneT(1) = A : A _ 1.De acuerdo con la denicin de inclusin, 1 es subconjunto de s mismo para cualquierconjunto 1. Por lo tanto, 1 T(1), e igualmente O T(1). Como consecuencia se tieneT(1) ,= O.Ejemplo 1.2.2 Si 1 = O, se tiene que T(O) = O. Es importante recalcar que O , = O.Ejemplo 1.2.3 Sea 1 = r Z : r es mltiplo de 3 y 9 _ r < 18 = 9, 12, 15. EntoncesT(1) = O, 9, 12, 15, 9, 12, 15, 9, 12, 9, 15, 12, 15.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 11Ejemplo 1.2.4 Si 1 = 3, 4, entonces T(1) = O, 3, 4, 3, 4.Observe que para el caso 1 = O se tiene T(1) = O. En este caso 1 tiene cero elementosy T(1) tiene un elemento (o sea 20elementos). Para el caso 1 = 3, 4, 1 consta de doselementos y T(1) = O, 3, 4, 3, 4 consta de cuatro elementos (22elementos). Final-mente, el conjunto 1 = 9, 12, 15 est formado por tres elementos, mientras que T(1) estformado por ocho elementos (23elementos).De manera general, se puede demostrar usando un argumento inductivo que: si 1 es unconjunto formado por : elementos, entonces el conjunto de partes T(1) est formado por2aelementos. Esto se puede intuir del hecho que, para _ 1, cada elemento de 1 tienedos posibilidades: pertenecer a o no pertenecer a . Como son : elementos, en total hay222 = 2aposibilidades de escoger el conjunto .1.2.1. Algunas cosas que conviene tener presentesSi es un elemento de T(1) y si 1 _ , entonces 1 tambin es un elemento de T (1) .En efecto, note que T(1) signica que _ 1. As, se tiene que 1 _ y _ 1 yconsecuentemente 1 _ 1. Es decir, 1 T(1).Para cualquier conjunto 1 se tiene: T(1) ,= O y T(1) ,= 1. En efecto, 1 _ 1 y porlo tanto 1 T(1) con lo cual resulta que T(1) ,= O. Adems, del hecho que 1 , 1 y1 T(1), resulta 1 ,= T(1).El conjunto T(1) est formado por elementos que son a su vez conjuntos: todos lossubconjuntos de 1.Dados dos conjuntos y 1 se tiene: _ 1 =T() _ T(1).En los ejercicios se invita al lector a vericar este resultado.Seguidamente, vamos a considerar un conjunto de referencia 1 y, sobre T(1), deniremosuna serie de operaciones.1.3. Interseccin de conjuntosDados dos conjuntos y 1, se llama interseccin de A y B al conjunto formado por loselementos que pertenecen simultneamente al conjunto y al conjunto 1. Tal conjunto sedenota por 1. Simblicamente 1 = r : r y r 1 = r : r 1 .Note que si suponemos que todos los conjuntos considerados son elementos de T(1), se veclaramente que a partir de dos conjuntos dados y 1, la interseccin nos permite crear untercer conjunto que tambin pertenece a T(1).Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 12Ejemplo 1.3.1 Sea 1 el conjunto de los nmeros naturales y considere los conjuntos: = r 1 : r es divisor de 181 = r 1 : r es divisor de 45Por extensin tenemos: = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 1 = 1, 3, 5, 9, 15, 45.Luego 1 = 1, 3, 9. Observe que los elementos de 1 resultan ser los divisores comunesde 18 y 45.Ejemplo 1.3.2 Sea 1 el conjunto de los naturales y sean = r 1 : r es mltiplo de 41 = 1 = r 1 : r es imparNote que = 4, 8, 12, 16, 20, ... y 1 = 1, 3, 5, 7, 9, 11, .... Entones 1 = O. En casoscomo este se dice que y 1 son disjuntos.1.3.1. Propiedades bsicas de la interseccin1. Para todo par de conjuntos y 1 se cumple: 1 _ , 1 _ 1, 1 1(1).En efecto, 1 _ puesto que todo elemento comn de y 1 es elemento de . Demanera anloga 1 _ 1. Por otro lado, como 1(1) tenemos _ 1 y como 1 _ , se concluye que 1 _ 1, esto es 1 1(1).2. La interseccin de conjuntos es conmutativa: 1 = 1 .3. La interseccin es asociativa: ( 1) C = (1 C).4. Si _ 1 se tiene 1 = 1.5. Para todo 1, tal que 1 _ y 1 _ 1, se cumple 1 _ 1.Se invita al lector a convencerse de estos resultados y a intentar una demostracin de cadauno de ellos.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 131.3.2. Sobre el uso de diagramas o pinturasA veces es conveniente utilizar diagramas para darse una idea geomtrica de lo que signicauna operacin entre conjuntos, o cierta identidad. En dichos diagramas los conjuntos se pintancomo regiones o guras geomtricas en un plano, por lo que debe tenerse cuidado y recordarque estas pinturas son solo un articio para simplicarse las cosas y no sustituyen en absolutoel concepto. En el caso de la interseccin, la podemos representar as:ABRepresentacin grca de la interseccin de conjuntos.Debe insistirse en que la forma que tengan las guras, o la ubicacin que les demos conrespecto a las otras, en general no tienen nada que ver con los conjuntos en s.Una buena prctica para el lector es convencerse de las propiedades enunciadas arriba, me-diante el uso de diagramas.1.4. Unin de conjuntosDados dos conjuntos y 1, se llama unin de y 1 al conjunto formado por loselementos que pertenecen al menos a uno de ellos. Lo denotamos por '1. Simblicamente:' 1 = r : r . r 1.Grcamente podramos representar la unin de conjuntos as:ABRepresentacin grca de la unin de conjuntos.Ejemplo 1.4.1 Sea 1 = N y sean = r 1 : r es divisor de 201 = r 1 : r es divisor de 16 .Tenemos = 1, 2, 4, 5, 10, 20 y 1 = 1, 2, 4, 8, 16. Luego' 1 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 141.4.1. Propiedades bsicas de la unin1. Para cualesquiera dos conjuntos y 1 se tiene que: _ ' 1 y 1 _ ' 1.2. La unin de conjuntos es una operacin conmutativa: ' 1 = 1 ' .3. La unin de conjuntos es una operacin asociativa: (' 1) ' C = ' (1 ' C).4. Si _ 1 se tiene ' 1 = 1.5. Para todo 1 tenemos _ 1 y 1 _ 1 =' 1 _ 1.Las primeras cuatro propiedades se dejan de ejercicio. Para demostrar la propiedad 5, primerosuponemos que _ 1 y 1 _ 1; entonces dado r ' 1 se tiene r o r 1 y, comoambos son subconjuntos de 1, se tiene r 1. Recprocamente, suponga que ' 1 _ 1;entonces como _ ' 1 (por la propiedad 1) se sigue de la transitividad que _ 1 ysimilarmente 1 _ 1. 1.4.2. La doble distributividad de las operaciones y '1. La unin es distributiva con respecto a la interseccin' (1 C) = (' 1) (' C)2. La interseccin distribuye con respecto a la unin (1 ' C) = ( 1) ' ( C)La primera de estas identidades se puede visualizar geomtricamente en las siguientes guras.En la primera se sombre '(1 C) , en la segunda se sombre '1 y en la tercera 'C.La identidad dice que la parte sombreada de la primera gura, es la interseccin de las partessombreadas en las otras dos guras.ABCACBACABACARepresentacin grca de la distributividad.En los ejercicios se le pide al lector demostrar estas dos propiedades.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 151.5. Complemento y diferencia de conjuntosDados dos conjuntos y 1, la diferencia 1 se dene como el conjunto formado por loselementos de 1 que no estn en . Ms precisamente se tiene1 = r 1 : r , .ABARepresentacin grca de la diferencia de conjuntos.Si es subconjunto de un conjunto 1, se llama complemento de con respecto a 1 alconjunto 1 . Este conjunto lo denotaremos por {1. Se tiene entonces:{1 = 1 = r 1 : r , .Es muy importante tener presente que {1 es un subconjunto de 1 _{1 1(1)_ y que elconjunto de referencia 1 es fundamental pues {1 vara cada vez que vara 1. Cuando en elcontexto no hay ambigedad sobre quin es 1, se suele escribir simplemente { y tambinse denota c.El complemento de en 1 lo podemos representar como se muestra en la siguiente gura:AERepresentacin grca del complemento.Ejemplo 1.5.1 Si = [5, ] y 1 = 1, 2, 3, 4, 5 , tenemos 1 = 4, 5 .Ejemplo 1.5.2 Sea 1 = R y sea = r R : r < 2. Entonces{1 = r R : r _ 2.Ejemplo 1.5.3 Sean = [1, 4] y 1 = [3, 6]. Entonces ' 1 = [1, 6], 1 = [3, 4] y1 = [1, 3[.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 161.5.1. Algunas propiedades del complemento1. Si _ 1, entonces {1 = 1 = = O.DemostracinRecordemos que para demostrar una doble implicacin o equivalencia, se debe demostrarla veracidad del implica en las dos direcciones.\ = " Supongamos que = O y probemos que {1 = 1. Por la denicin, sabemosque {1O _ 1 y bastara entonces con demostrar que 1 _ {1O. Dado r 1, como r , Otenemos r {1O. Esto demuestra el resultado.\ =" Suponiendo que {1 = 1, debemos demostrar que = O. Si no lo fuera, existiraal menos un r . Pero como _ 1, se tiene r 1 = {1, lo que implica r , .Como esto es contradictorio, se sigue que = O.2. Consideremos _ 1. De acuerdo con la denicin de complemento, hemos visto que{1 _ 1 y por lo tanto tiene sentido hablar de {1_{1_. Mostraremos que:{1_{1_= .Esta es conocida como la ley de involucin. Para demostrarla basta con observar que,para todo r 1, se tienen las equivalencias siguientes:r {1_{1_=r , {1 =r .Se invita al lector a escribir esto con ms detalle.3. Sea _ 1. Entonces {1 = O = = 1.DemostracinPor la propiedad 1 tenemos{1 = O ={1_{1_= 1,y por la propiedad 2, = {1_{1_. Entonces {1 = O = = 1. Las demostraciones de las siguientes propiedades se dejan como ejercicio.4. Si y 1 son subconjuntos de 1 entonces _ 1 ={1 {115. Si y 1 son subconjuntos de 1 se tiene1 = {11.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 171.5.2. Leyes de De MorganSi y 1 son subconjuntos de 1, se tiene:{1(' 1) = {1 {11{1( 1) = {1' {11Estas dos propiedades se conocen como las leyes De Morgan. Vamos a demostrar la primerapropiedad y, para esto, tomamos r {1('1). Por denicin de complemento se tiene quer 1 y r , '1, lo cual garantiza que r , y r , 1. Esto demuestra que r {1{11y luego {1(' 1) _ {1 {11.Por otro lado, si r {1 {11 tenemos r 1, r , , r , 1 y por lo tanto r 1 yr , ' 1, con lo cual r {1( ' 1). Esto demuestra la otra inclusin y por lo tanto laigualdad.1. La demostracin de la segunda ley de De Morgan, se deja como ejercicio para el lector.

Nota: Las frmulas de De Morgan, de manera abreviada, se enuncian como sigue:El complemento de la unin es la interseccin de los complementos,y el complemento de la interseccin, es la unin de los complementos.En caso que y 1 no estn contenidos en 1, las leyes de De Morgan toman la siguienteforma:1 (' 1) = (1 ) (1 1)1 ( 1) = (1 ) ' (1 1) .La demostracin es idntica al caso de complementos.En algunos casos, la utilizacin de las leyes de De Morgan y la ley de involucin_{1_{1_= _,permite hallar fcilmente el complemento de una expresin en la que guren uniones e inter-secciones. Consideremos el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.5.4 Hallar el complemento (en 1) de _{1' 1__C ' {11_.Por las frmulas De Morgan y la ley de involucin se tiene:{1__{1' 1__C ' {11__= _{1_{1' 1_'_{1_C ' {11_= _{1_{1_ {11'_{1C {1_{11_= _ {11_'_{1C 1_= (1) ' (1 C) .Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 181.6. La diferencia simtricaDenicin 1.6.1 Dados los conjuntos y 1, se llama diferencia simtrica de y 1 alconjunto (1) ' (1 ) .ARepresentacin grca de la diferencia simtrica.La diferencia simtrica de y 1 es entonces el conjunto de puntos que pertenecen a uno ysolo uno, de estos conjuntos. Se denota por 1, esto es1 = (1) ' (1 ) .En algunas ocasiones, es muy til expresar la diferencia simtrica en trminos de las opera-ciones de unin, interseccin y complemento.Teorema 1 Sean , 1 1(1). Entonces(a) 1 = _ {11_'_1 {1_(b) 1 = (' 1) ( 1)DemostracinLa parte (a) es una consecuencia inmediata de las deniciones. Mostremos la parte (b):Por las leyes de De Morgan y de distributividad tenemos(' 1) ( 1) = (' 1) ( 1)c= (' 1) (c' 1c)= ( c) ' ( 1c) ' (1 c) ' (1 1c)= O ' (1) ' (1 ) ' O= 1. 1.6.1. Algunos ejemplosEjemplo 1.6.1 1, 2, 3, 42, 5, 4, 7 = 1, 3, 5, 7Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 19Ejemplo 1.6.2 Sea 1el conjunto de los nmeros naturales pares y Q el conjunto de losprimos. Entonces1Q = (1 ' Q) (1 Q)= r N : r es par o primo r N : r es par y primo= r N : r es par o primo 2 .Ejemplo 1.6.3 Sea = [1, 4] y 1 = [3, 6]. Entonces 1 = [1, 3[']4, 6].1.6.2. Algunas propiedades de la diferencia simtricaTeorema 2 Sean , 1, C T(1), entonces(a) O = (b) = O(c) 1 = 1 (propiedad conmutativa)(d) (1)C = (1C) (propiedad asociativa)(e) (1) C = ( C) (1 C) (propiedad distributiva de la interseccin con respectoa la diferencia simtrica).DemostracinProbaremos la parte (d), la cual requiere de ms cuidado. El resto se deja de ejercicio.Primero observemos que(1)C = [(1) C] ' [C (1)] .Desarrollemos la primera parte del lado derecho:(1) C = __ {11_'_1 {1_ {1C= __ {11_ {1C'__1 {1_ {1C= _ {1 (1 ' C)_'_1 {1 (' C)_= [(1 ' C)] ' [1 (' C)] .Para la segunda parte observemos queC (1) = C {1_[' 1] {1 [ 1]_= C _{1 (' 1) ' ( 1)= _C {1 (' 1)' [C ( 1)]= [C (' 1)] ' ( 1 C) .Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 20Pegando las dos partes calculadas obtenemos(1)C = [(1 ' C)] ' [1 (' C)]'[C (' 1)] ' [ 1 C] .Ahora observemos que la expresin del lado derecho no cambia al intercambiar , 1 y C, loque implica que(1)C = (1C)y nalmente, por la conmutatividad obtenemos el resultado. Nota: La propiedad (d) nos permite escribir 1C sin ambiguedad.ABCRepresentacin grca de 1C.1.7. Producto cartesiano de conjuntosPara formar el producto cartesiano de un conjunto con un conjunto 1, el cual denotamospor 1, se deben considerar los pares ordenados de elementos de con elementos de 1.1.7.1. Unas palabras sobre los pares ordenadosUsualmente cuando hablamos de pareja ordenada o par ordenado, decimos que se toma un a y un / 1 y que formamos el par ordenado (a, /). Sin embargo, no se precisa qu signicapar ordenado. Debemos indicar que en una denicin de par ordenado, es fundamental poderdistinguir entre el primer y el segundo elemento, as como poder precisar cuando dos parejasordenadas son iguales.Una manera de lograr esto es mediante la denicin:(a, /) = a, a, / .Vamos a vericar que esta denicin de par ordenado nos proporciona los elementos deseados.Veamos primero que esta denicin nos permite distinguir entre el a y el /. En efecto, si a ,= /tenemos a , = / , = a, / , as que(a, /) = a, a, / , = /, a, / = (/, a).Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 21Veamos ahora que(a, /) = (c, d) =a = c . / = d.= Observe que si a = c y / = d, entonces(a, /) = a, a, / = c, c, d = (c, d).= Supongamos que (a, /) = (c, d) y demostremos que a = c y / = d. La hiptesis esa, a, / = c, c, d .Tenemos entonces que a c, c, d y por lo tanto hay dos posibilidades:Si a = c entonces a = c.Si a = c, d se sigue que a = c = d.En ambos casos concluimos que a = c. Consecuentemente a, / = a, d , de donde se sigueque / = d. 1.7.2. Denicin del producto cartesianoDenicin 1.7.1 Sean y 1 dos conjuntos. Se dene el producto cartesiano de por 1de la siguiente manera:1 = (a, /) : a , / 1 .Ejemplo 1.7.1 Sean = 1 y 1 = 3. Entonces 1 = (1, 3) y 1 = (3, 1).Esto muestra que en general 1 ,= 1 .Ejemplo 1.7.2 Sea = 1, 2 y 1 = 3, 4. Entonces1 = (1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4),1 = (3, 1) , (3, 2) , (4, 1) , (4, 2).Ejemplo 1.7.3 Considere los intervalos = r R : a _ r _ / = [a, /],1 = j R : c _ j _ d = [c, d],donde a, /, c, d R son tales que a < / y c < d. Entonces1 =_(r, j) R2: r [a, /] . j [c, d]_es un rectngulo con borde.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 22a bcdRepresentacin grca del producto cartesiano de intervalos.Comentario: Sean y 1 dos conjuntos no vacos. Si a y / 1 se tiene:a _ ' 1 ya, / _ ' 1.Resulta entonces que(a, /) = a, a, / _ T (' 1) ,es decir:(a, /) T (T (' 1)) .Por lo tanto, una denicin precisa del producto cartesiano de y 1 sera:1 = (a, /) T (T (' 1)) : a y / 1 .Conviene notar que en general(1 C) ,= (1) Cya que los elementos de (1 C) son pares ordenados de la forma (a, (/, c)) , con a y(/, c) 1 C, mientras que los elementos de (1) C son pares ordenados de la forma((a, /) , c) , con (a, /) 1 y c C.Las siguientes propiedades merecen ser recordadas:1. O = O para cualquier conjunto .En efecto, si O tuviera algn elemento, este sera un par ordenado (a, /), con a y / O. Pero como no hay ningn / O, no existe tal par ordenado.2. Si ,= O y 1 ,= O, entonces 1 ,= O. En efecto, como existe a y existe / 1, sesigue que existe al menos un (a, /) 1.3. La propiedad anterior se puede enunciar tambin as: Si 1 = O, entonces =O . 1 = O4. (1 ' C) = (1) ' (C) . Esta es la propiedad distributiva del productocartesiano con respecto a la unin (demustrela).Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 23Ejemplo 1.7.4 Sean = 1, 2, 1 = 4 y C = 5, 6. Vamos a vericar que(1 ' C) = (1) ' (C)en este caso particular:(1 ' C) = 1, 2 (4 ' 5, 6)= 1, 2 4, 5, 6= (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6)= (1, 4) , (2, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 5) , (2, 6)= (1, 4) , (2, 4) ' (1, 5) , (1, 6) , (2, 5) , (2, 6)= (1, 2 4) ' (1, 2 5, 6)= (1) ' (C) .1.8. Familias de conjuntosHemos dicho que los conjuntos se denotan con letras maysculas del alfabeto. Si pensamosen que cada letra del alfabeto , 1, C, . . . , 7 denota un conjunto, entonces tenemos unafamilia nita de conjuntos. Sin embargo, el usar las letras del alfabeto para denotar familias deconjuntos tiene un problema, cual es el vernos limitados a trabajar con familias cuyo nmerode miembros no sobrepase el nmero de letras del alfabeto. Para resolver esta limitacin,vamos a utilizar los subndices. La idea es utilizar una letra cualquiera con subndices paradenotar los conjuntos de cierta familia. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, . . . . De esta forma,podemos trabajar con familias de conjuntos sin importar el nmero de miembros que lascompongan. Por supuesto que en algunos casos es necesario hacer una escogencia adecuadadel conjunto de ndices (conjunto al cual pertenecen los subndices). Veamos algunos ejemplos:Ejemplo 1.8.1 Sea G una familia compuesta por 2 elementos. Entonces escribimosG = G1, G2Ejemplo 1.8.2 Sea F una familia compuesta por 535 conjuntos.Entonces escribimosF = 11, 12, 13, . . . , 15351.8.1. Interseccin de familias nitasDenicin 1.8.1 Sean 11, 12, 13, . . . , 1a, : conjuntos dados. Se llama interseccin de 11, 12,13, . . . , 1a al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultneamente a todoslos : conjuntos dados.La interseccin de los conjuntos 11, 12, 13, . . . , 1a se denota por11 12 . . . 1a, o tambin pora

i=11iUn poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 24De forma abreviada se puede escribira

i=11i = r : r 1i para cada i = 1, 2, . . . , :Algunos ejemplos aclararn mejor este concepto.Ejemplo 1.8.3 2, 5, 8, 9 5, 9, 11 1, 3, 5, 8, 9 10, 5, 9 = 5, 9.Ejemplo 1.8.4 Consideremos los conjuntos: 1i = 1, . . . , i, con i = 1, 2, . . . , :. Es decir:11 = 1, 12 = 1, 2, 13 = 1, 2, 3, . . . , 1a = 1, 2, . . . , :. Entoncesa

i=11i = 1.Ejemplo 1.8.5 Consideremos los siguientes conjuntos:1 : Conjunto de todos los cuadrilteros.2 : Conjunto de todos los polgonos con ngulos congruentes.3 : Conjunto de todos los polgonos con lados congruentes.Entonces resulta que:1 2 3 es el conjunto de todos los cuadrados.Nota: Todos los resultados vlidos para la interseccin de dos conjuntos, siguen siendo vlidospara el caso de la interseccin de : conjuntos. Por ejemplo, es claro quea

i=1i _ ), para cada , = 1, . . . , :.Adems, si C _ i para cada i = 1, . . . , : se sigue queC _a

i=1i.Invitamos al lector a ensayar una demostracin de estos resultados.1.8.2. Unin de familias nitasDenicin 1.8.2 Sean 11, 12, . . . , 1a conjuntos dados. Se llama unin de 11, 12, . . . , 1a,al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los : conjuntos dados.La unin de los conjuntos 11, 12, . . . , 1a se denota por 11' 12' . . . ' 1a, o por ai=11i.En forma abreviada podemos escribira_i=11i = r : r 1i para algn i = 1, 2, . . . , :Por ejemplo tenemos:Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 25Ejemplo 1.8.6 Si 11 = 1, 2, 3, 12 = 1, 5, 13 = 2, 7, 9 y 14 = 4, 5, 8 se tiene4_i=11i = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9Ejemplo 1.8.7 Para los conjuntos del ejemplo 1.8.4 se tienea_i=11i = 1a = 1, 2, . . . , :.Ejemplo 1.8.8 Sea el conjunto formado por los nmeros de cuatro cifras que tienen porlo menos un cero. Para i = 1, 2, 3, sea i el conjunto de nmeros de cuatro cifras que tieneni ceros y las 4 i cifras restantes diferentes de cero. Entonces1' 2' 3 =3_i=1i = .En efecto, si r entonces tiene por lo menos un cero; si tiene tres cifras diferentes de ceropertenece a 1, si tiene dos cifras diferentes de cero pertenece a 2 y si tiene una sola cifradistinta de cero pertenece a 3. En cualquiera de los tres casos r 3

i=1i, de donde resultaque _3

i=1i.Por otro lado, si r 3

i=1i se tiene que r i para algn i = 1, 2, 3 y, como cada i _ ,resulta r .Al igual que en el caso de la interseccin, se generalizan las propiedades de unin al caso deuniones nitas:) _a_i=1i, para cada , = 1, . . . , :.Tambin, si i _ 1 para cada i = i, . . . , : entoncesa_i=1i _ 1.1.8.3. Generalizacin de las leyes de De MorganLas frmulas De Morgan se pueden generalizar al caso de : conjuntos de la manera siguiente:(a) {1_ a

i=1i_=a

i=1{1i(b) {1_ a

i=1i_=a

i=1{1iUn poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 26Para demostrar la primera, tomemos r {1_ a

i=1i_. Esto signica que r 1 y r , a

i=1i.Pero por denicin de unin, esto es equivalente a tener r {1i para cada i = 1, . . . , :.Finalmente, por denicin de interseccin esto signica r a

i=1{1i. Los pasos anteriores sepueden recorrer en la otra direccin, demostrando la igualdad deseada. La otra ley se deja como ejercicio.1.8.4. Generalizacin de las leyes distributivasSimilarmente, las leyes distributivas se pueden generalizar al caso de uniones e interseccionesde : conjuntos.(a) _a

)=11)_=a

)=1( 1))(b) '_a

)=11)_=a

)=1(' 1))Demostremos la segunda igualdad:Primero, dado r '_a

)=11)_ se tiene r . r a

)=11). Si r entonces r ' 1)para cada ,, con lo que r a

)=1(' 1)) . Si r , entonces r a

)=11), lo que signica quer 1) para cada , = 1, . . . , :. Luego, como 1) _ '1), tenemos r '1) para cada , yesto implica r a

)=1(' 1)) .Recprocamente, si r a

)=1(' 1)) , tenemos r ' 1) para cada ,. Si r entoncesr '_a

)=11)_. Si r , , se sigue que r 1) para cada , y consecuentemente r a

i=11).Luego r '_ a

i=11)_. La primera identidad se deja como ejercicio.1.8.5. Generalizacin del producto cartesianoAs como se ha denido el concepto de par ordenado, podemos denir tripletas ordenadas,de manera que se cumplan las condiciones anlogas. Ms precisamente, requerimos que secumpla:(a, /, c) = (r, j, .) =(a = r) . (/ = j) . (c = .) .Una manera es denir(a, /, c) = ((a, /) , c) .Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 27Es decir, bajo esta denicin, una tripleta es un par ordenado en el cual la primera componentees a su vez otro par ordenado. Utilizando el criterio de igualdad de pares ordenados se tiene:(a, /, c) = (r, j, .) =(a, /) = (r, j) . c = . =(a = r) . (/ = j) . (c = .) .Una vez denidas las tripletas, podemos denir1 C = (a, /, c) : a , / 1, c C .Ntese que bajo esta denicin se tiene 1 C = (1) C.Ejemplo 1.8.9 Si = 1 , 1 = 3, 4 y C = 1, 2 se tiene1 C = (1, 3, 1) , (1, 3, 2) , (1, 4, 1) , (a, 4, 2) .Ejemplo 1.8.10 Si = O entonces 1C = O. En efecto, si existiera (a, /, c) O1C,entonces se tendrra a O, lo cual es imposible.Nota: A los conjuntos , 1 y C les podemos llamar factores del producto 1C. Engeneral, el producto es vaco si y solo si al menos uno de los tres factores es vaco.Dados 1, . . . , a conjuntos, se puede denir recursivamente el producto cartesiano de ellosde la siguiente manera: Como ya hemos denido 123, se puede denir1234 = (123) 4,y as sucesivamente. Denotandoa

i=1i = 12. . . ase tiene entonces quea+1

i=1i =_ a

i=1i_a+1.Ejemplo 1.8.11 Si i = i se tiene4

i=1i = (1, 2, 3, 4) .Ejemplo 1.8.12 Si i = i, i + 1 entonces:3

i=1i=3

i=1i, i + 1 = 1, 2 2, 3 3, 4= (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 3) , (1, 3, 4) , (2, 2, 3) , (2, 2, 4) , (2, 3, 3) , (2, 3, 4) .Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 28Ejemplo 1.8.13 Si i =_1, 1+(1)i2_ se tiene:4

i=1i= 0, 1 1 0, 1 1= (0, 1, 0, 1) , (0, 1, 1, 1) , (1, 1, 0, 1) , (1, 1, 1, 1) .Ejemplo 1.8.14 Si 1 = y 2 = 3 = 1 , tenemos:3

i=1i = (r, 1, 1) : r .Si 1 = 2 = . . . = a = , se denotaa=a

i=1i = . . . .Nota: El productoa

i=1i es vaco si y solo si alguno de sus factores es vaco.1.8.6. Familias contables de conjuntosEn muchos casos se hace necesario trabajar con familias que no son nitas, como lo muestranlos siguientes ejemplos.Ejemplo 1.8.15 Consideremos el conjunto N de los nmeros naturales y denamos:1a = :, : + 1, con : N.La familia B = 11, 12, . . . , 1a, . . . es una familia innita de conjuntos, indexada por N.Se denota tambinB = 1a : : N .Ejemplo 1.8.16 Para cada : N considerea = r R : : _ r _ :.Note que a es el intervalo [:, :]. Se tiene:0 = 0 , 1 = [1, 1] , 2 = [2, 2] , ctc.La familia A = 0, 1, . . . , a, . . . es una familia indexada por N.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 29En general, consideraremos familias de conjuntos de la formaF = 10, 11, 12, . . ., que tambin se denota F = 1a : : N .Las familias indexadas por N se llaman familias numerables. Una familia se llama contable sies nita o numerable. Hasta este momento, hemos denido las nociones de unin e interseccinde un nmero nito de conjuntos. Ahora, vamos a extender estas nociones al caso de familiascontables.Denicin 1.8.3 Sea F = 1a : : N una familia contable de conjuntos. Se dene lainterseccin de la familia F as:

a2N1a = r : r 1a para cada : N,mientras que la unin se dene por_a2N1a = r : r 1a para algn : N.Ejemplo 1.8.17 Consideremos la familia de conjuntos formada porA = 0, 1, . . .,donde a = [:, :] . En este caso se tiene(a) a2Na = 0 = 0 ,(b) a2Na = R.Demostremos que a2Na = 0. En efecto, note que los elementos de la familia Acumplen:0 _ 1 _ 2 _ . . . a _ a+1. . .de donde resulta que 0 _ a2Na. Por otro lado, sea r a2Na. Entonces r apara todo : N y en particular r 0. Por lo tanto a2Na _ 0.Demostremos que a2Na = R. Sabemos que a _ R para todo : N y por lo tanto

a2Na _ R. Para la otra inclusin, sea r R. Debemos demostrar que existe algn: N tal que r a, o equivalentemente : _ r _ :. Esto se obtiene inmediatamentede la arquimedianidad de R. En efecto, si r R existe : N tal que [r[ _ : y entoncesr a.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 30Ejemplo 1.8.18 Denimos las familiasB = 1a : : N, A = a : : Ncon 1a = :, : + 1, . . . y a = 0, 1, . . . , : para cada : N. Entonces:_a2N1a=N,

a2N1a = O,_a2Na=N,

a2Na = 0.Se invita al lector a realizar una comprobacin.Las leyes de De Morgan y las leyes distributivas, se generalizan al caso de familias contables.Veamos:Teorema 3 Sea A = a : : N una familia contable de subconjuntos de 1. Entonces(1) Leyes de De Morgan___(a) {1_ a2Na_= a2N{1a(b) {1_ a2Na_= a2N{1a(2) Si 1 es cualquier conjunto, entonces___(a) a2N(1 a) = 1 _ a2Na_(b) a2N(1 ' a) = 1 '_ a2Na_DemostracinVamos a demostrar 1(b). Para demostrar que {1_ a2Na_ _ a2N{1a consideramosr {1_ a2Na_. Entonces r 1 y r, a2Na, lo que signica que para algn: N se tiene r , a y esto indica que r {1a para dicho :. Consecuentementer a2N{1a.Recprocamente, si r a2N{1a entonces para algn : N se tiene r {1a, esdecir que r , a. Luego r , a2Na y consecuentemente r {1_ a2Na_. La proposicin 1(a) se demuestra de manera anloga.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 31Demostremos ahora 2(a). Vamos a demostrar primero que a2N(1 a) _ 1_ a2Na_.Si r a2N(1 a) , entonces para algn : N se tiene r 1 a y esto signicar 1 y r a. As que r 1 y r a2Na, demostrando que r 1 _ a2Na_.Recprocamente, si r 1 _ a2Na_, entonces r 1 y r a2Na. Esto quiere decirque r 1 y r a para algn : N. Por lo tanto r 1 a para algn : N, loque signica r a2N(1 a) . La parte 2(b) se demuestra de manera totalmente anloga.1.9. Ejemplos adicionalesTerminamos este captulo con unos cuantos ejemplos elementales que, de alguna manera,muestran como la teora de conjuntos puede ayudar a entender mejor algunos de los problemasque se presentan en secundaria. Por ejemplo, al resolver un sistema de ecuaciones, realmente seest hallando la interseccin de varios conjuntos, al analizar una ecuacin con valor absoluto,se separa la recta numrica como unin disjunta de conjuntos, en los que el anlisis es mssimple y, al nal, se deben unir las soluciones encontradas en cada caso. Como veremos en elsiguiente captulo, algo similar pasa al encontrar dominios de funciones.Ejemplo 1.9.1 Sea = r R : [2r + 1[ _ 3 . Note que es el conjunto solucin de lainecuacin [2r + 1[ _ 3. Resolviendo tenemos:[2r + 1[ _ 3 =3 _ 2r + 1 _ 3 =4 _ 2r _ 2 =2 _ r _ 1.Entonces = [2, 1].Ejemplo 1.9.2 Sea = _r R : r2+ 3r + 2 < 0_. Note r2+ 3r + 2 = (r + 2) (r + 1) esnegativo cuando 2 < r < 1. Luego =] 2, 1[.Ejemplo 1.9.3 Consideremos el problema de resolver la inecuacin [r + 1[ _ 3r. El lectorposiblemente recuerda que en estos casos se analizan las dos posibilidades: r _ 1 y r < 1.En el primer caso la ecuacin se convierte en r + 1 _ 3r, de donde r _12. Se obtiene lasolucin parcial o1 = _1, 12. En el segundo caso se convierte en r 1 _ 3r, de donder _ 14. Esta condicin es satisfeccha por todos los elementos bajo consideraccin.Al nal deben unirse las dos soluciones, obteniendo que el conjunto solucin es =] , 1] '_1, 12_=_, 12_.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 32Visto desde la teora de conjuntos, lo que hacemos es tomar = r R : [r + 1[ _ 3r y1 = [, 1[. Entonces: = _1 ' {1_= ( 1) '_ {1_,donde 1 = r < 1 : [r + 1[ _ 3r= _r < 1 : r _ 14_= ] , 14]y similarmente {1 = _1, 12. El lector puede interpretar el resultado desde el punto devista geomtrico, usando la siguiente gura:Interpretacin grca de la solucin.Ejemplo 1.9.4 Resolver el sistema de ecuaciones en dos variables:_ 2r + 4j = 3r 3j = 4Se trata de hallar la interseccin de los conjuntos =_(r, j) R2: 2r + 4j = 3_, 1 =_(r, j) R2: r 3j = 4_.Algebraicamente, de la segunda ecuacin se deduce que j =13 (r 4) y al sustiyuir en laprimera se obtiene2r + 43 (r 4) = 3 =10r 16 = 9 =r = 52.Luego j = 13_52 4_= 12. El conjunto solucin es entonces 1 =__52, 12__.Geomtricamente, lo que buscamos es la interseccin de las rectas de ecuaciones dadas:Interpretacin grca de la solucin.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 331.10. Ejercicios1. Sean = a, /, c, d, c, 1 = a, c, c, q, C = /, d, ). Halle 1, '1, 1, C,1 C, 1 ' C, 1 , C , (1 ' C) , (1 C) , 1. Cuntos elementostiene 1 ?2. Sea 1 = : N : : es par y sean = : 1 : :10, 1 = : 1 : 2: + 1 _ 25.Demuestre que = 1.3. Sean = [1, 3] '7 y 1 =]0, 5[. Halle '1, 1, 1, 1, 1, {R y {R1.4. Sea = r R : [r + 1[ +[r 2[ _ 3 . Halle ], 1[ , [1, 2] y ]2, [.Exprese como unin de intervalos.5. Repita el ejercicio anteior con = r R : [r + 1[ +[r 2[ _ 4 .6. Exprese como intervalo, o unin de intervalos, cada uno de los siguientes conjuntos: =_r R : 3 +r2< 7_1 =_r R : 3 r2< 3_1 =_r R : r2+ 4r + 3 _ 0 _1 =_r R :_r24_ _r29_ 0_C =_r R : 1r +11 r0_G =_r R : (r + 1)_r24_< 0 _1 =_r R : r 1r + 10_H = r R : (r 1) (r + 3) (2r + 3)0 .7. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones, explicando con detalle las operacionescon conjuntos involucradas:[r 2[ _ 5 [r + 1[ +[r 2[1[r + 1[ < 3 [r2+ 3r + 2[0[r21[3 [r2+ 3r + 2[1[r 1[ [r + 1[ < 1 [r2+ 3r + 2[ _ 148. Determine en qu casos el conjunto dado es vaco: =_r N : r2= 12_1 =_r R : r2= 7 y r3= 12_C =_r R : r2= 2r 1_1 =_r R : r2= 2r + 1_1 =_r R : r2= r 1_1 = A T(N) : Z _ A9. Halle el conjunto potencia de cada uno de los siguientes conjuntos:a) = 1, 2, Ob) 1 = 1, 1, 1Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 34c) C = O, O, O, O10. En cada caso, d ejemplos de conjuntos tales que:a) T() tenga 512 elementos.b) T(T()) tenga 256 elementos.c) T(T(T())) tenga 16 elementos.d) T(' T()) tenga 32 elementos.e) T(' T() ' T(T())) tenga 4 elementos.11. En cada caso, determine si es posible hallar un conjunto tal que:a) T() tenga 3 elementos?b) T() tenga 3 elementos?c) T(T()) tenga 8 elementos?d) T(' T()) tenga 16 elementos?12. En cada caso halle, si es posible, ,= O tal que:a) _ T()b) () ,= Oc) _ T()13. Demuestre que para cualesquiera conjuntos , 1 y C se tiene:a) 1 _ _ ' 1b) 1 = 1 c) ' 1 = 1 ' d) (' 1) ' C = ' (1 ' C)e) ( 1) C = (1 C)f ) ' = = 14. Demuestre las leyes distributivas: (1 ' C) = ( 1) ' ( C) , ' (1 C) = (' 1) (' C) .15. Demuestre la segunda ley de De Morgan:{1 ( 1) =_{1_'_{11_.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 3516. Demuestre que:a) Si _ 1 y C _ 1, entonces ' C _ 1 ' 1 y C _ 1 1.b) Si _ 1, entonces ' 1 = 1 y 1 = .c) _ 1 si y solo si ' 1 = 1.d) _ 1 si y solo si 1 = O.17. Sea 1 el conjunto de referencia y denote por cal complemento de en 1. Demuestreque para , 1 _ 1, se tiene:a) ' c= 1.b) c= O.c) (c)c= .d) 1 = 1c.18. Demuestre la generalizacin de las leyes distributivas y de las leyes de De Morgan parael caso de : conjuntos.19. Si _ C y 1 _ 1, demuestre que 1 _ C 1.20. Sean , 1 y C conjuntos. Demuestre quea) ( 1) C = (C) (1 C).b) (1 C) = (1) (C).c) (' 1) C = (C) ' (1 C).d) (1 ' C) = (1) ' (C).e) (1) C = (C) (1 C).f ) (1 C) = (1) (C).21. Sea T una familia de subconjuntos de 1. Se dene_S2Fo = r : r o para algn o T = r : (o T ) (r o) ,

S2Fo = r : r o para todo o T = r : (\o T ) (r o) .a) Demuestre las leyes de De Morgan:{1__S2Fo_= S2F{1o, {1_

S2Fo_= _S2F{1o.Un poco sobre teora de conjuntos A. Duarte & S. Cambronero 36b) Si _ o, para todo o T, demuestre que _ S2F o.c) Si o _ 1, para todo o T, demuestre que S2F o _ 1.22. Halle a2Noa y a2Noa para:a) oa = [1a, 2] d) oa =] 1a, 1a[/) oa = [1a, 1[ c) oa = [1 + (1)a, 3]c) oa = [aa+1, a+1a] )) oa =_1a, 2a, . . . , a1a_.23. Si T (1) = O , demuestre que 1 = O.24. Demuestre que si y 1 son conjuntos tales que _ 1, entonces T() _ T(1). Sercierto el recproco?. Es decir, ser cierto que si T() _ T(1) entonces _ 1 ?25. Qu se puede armar de dos conjuntos y 1 tales que T(T()) = T(T(1))?26. Si , 1 T(1) demuestre que:a) T( 1) = T() T(1).b) T(' 1) _ T() ' T(1). Ser cierto la inclusin para el otro lado?.27. Supongamos que _ 1 y _ 1. Existe alguna relacin general entre {1, {1 y{1[1 ?28. Sean 11, 12, . . . , 1a conjuntos dados. Demuestre que para 1 _ , < : se cumple_)

i=11i___a

i=)+11i__=a

i=11i.29. Para 11, . . . , 1a conjuntos, demuestre quea_i=1T (1i) _ T_ a_i=11i_Captulo 2Relaciones binariasPodra decirse que la Matemtica consta de conjuntos y de relaciones entre estos. Las mssimples de estas relaciones son las relaciones binarias, esto es, relaciones entre los elementos dedos conjuntos dados. Estas son usadas muchas veces de una manera inconsciente, sin necesidadde hacer mencin explcita de ellas. Sin embargo, si se quiere tener cierta rigurosidad al hablarde temas tan simples como por ejemplo los nmeros enteros, es indispensable construir ciertateora de relaciones binarias. En este captulo abordamos este tema de una manera elemental,restringindonos nicamente a estudiar aquellos conceptos que son estrictamente necesariospara desarrollar los captulos posteriores.El concepto de relacin binaria, aunque ms abstracto que el de funcin, es de gran utilidadpara darle rigor a las construcciones de los conjuntos numricos, tarea que abordaremosen captulos posteriores. El estudiar las relaciones binarias en su generalidad, nos permitedisponer de un lenguaje mucho ms apropiado a la hora de hablar de conceptos como lacomposicin de funciones y las funciones invertibles, por mencionar algunos.2.1. Conceptos bsicosDados dos conjuntos y 1 y dado 1 _ 1, podemos pensar en 1 como una relacin queasocia elementos de con elementos de 1. Ms precisamente, podemos decir que a serelaciona con / 1 si (a, /) 1. Podra pensarse entonces que una relacin de en 1 esun subconjunto de 1, pero para evitar ambigedades, vamos a dar una denicin msprecisa.Denicin 2.1.1 Dados dos conjuntos y 1, una relacin binaria de en 1 es una tripleta = (, 1, 1), donde 1 _ 1. El conjunto es el conjunto de salida de la relacin, 1es el conjunto de llegada y 1 es el grco de la misma.Cuando a se relaciona con / bajo la relacin , escribimos a/. En caso contrario escribimosa / /37Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 38Ejemplo 2.1.1 Sean = 1, 2, 3 , 1 = a, / , 1 = (1, a) , (1, /) , (2, a) , (3, /) . Tenemosentonces que 1a, 1/, 2a, 3/. Adems 2 / / y 3 / a.Ejemplo 2.1.2 Sean = 1 = N, 1 = (:, 2:) : : N _ N N. Entonces 00, 36, 48y en general :2:.Ejemplo 2.1.3 Sea = N, 1 = 0, 1 , 1 = (:, 0) : : es par ' (:, 1) : : es impar .Entonces 00, 11, 20, 31, etc.En la prctica se piensa una relacin como una ley que asocia elementos de con elementosde 1. De hecho, la manera ms comn de denir una relacin es dando explcitamente esaley. Para ilustrar esto, observe que la relacin del ejemplo 2.1.2 puede escribirse como::: sii : = 2:,En el ejemplo 2.1.3 podemos denir:j sii : +j es par.Tambin podemos decir que :j sii j es el resto que se obtiene al dividir : por 2 (recordemosque j 0, 1).2.1.1. Relacin InversaAntes de entrar a dar una denicin precisa de la relacin inversa, veamos la siguiente relacin denida sobre N

:rj =r es divisor de j.Resulta claro que 36, 927, 525 y adems 3 / 7, 5 / 11. Ahora consideremos otra relacinT denida sobre N

de la siguiente manera:n =n es mltiplo de .Comparando las dos relaciones y T, se puede observar que n = nT. En este casodecimos que T es la relacin inversa de y escribimos T = 1.De manera general, a toda relacin = (, 1, 1) le corresponde una relacin inversa 1,que denimos a continuacin. Primero denimos el grco inverso 11as:11= (/, a) : (a, /) 1 .Note que 11_ 1 y por lo tanto dene una relacin de 1 en .Denicin 2.1.2 Si = (, 1, 1) es una relacin binaria, la relacin inversa 1se denecomo1=_1, , 11_.Es decir, para a y / 1 se tiene:/1a =a/.Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 39Veamos algunos ejemplos:Ejemplo 2.1.4 Sean = 1, 2, 3 , 1 = a, / , 1 = (1, a) , (1, /) , (2, a) , (3, /) . Entonces11= (a, 1) , (/, 1) , (a, 2) , (/, 3) . En particular a11, /11, etc.Ejemplo 2.1.5 Sean = 1 = N y denamos como sigue::: =: +: es par.Entonces 1= . En efecto, como = 1, y 1tienen mismo conjunto de salida y dellegada. Adems se tiene:1: =:: =: +: es par =::.Ejemplo 2.1.6 Sean = N, 1 = 0, 1 y denamos la relacin o de a 1 como sigue::o: =: +: es par.Esta es la misma relacin del ejemplo 2.1.3, pero no es la misma del ejemplo anterior dadoque dieren en el conjunto de llegada. Ahora o1se dene igual que o ::o1: =:+: es par,pero o1,= o dado que los conjuntos de salida y de llegada son diferentes.2.1.2. Composicin de relaciones binariasConsidere dos relaciones = (, 1, 1) y o= (1, C, o) . Para entender el concepto decomposicin de relaciones, pensemos en una relacin como un conjunto de puentes entre loselementos del conjunto de salida y el de llegada. La composicin de o con ser entoncesel conjunto de todos los puentes entre elementos de y de C. Para poder llegar de a ac C, debe existir un / 1 que haga la conexin. Es decir, diremos que a se relacionacon c C si existe / 1 tal que a/ y /oc. Para precisar esto, se dene el grcoo 1 = (a, c) C : / 1 con a/ . /oc ,y luego o = (, C, o 1) .Ejemplo 2.1.7 Considere las relaciones = (N, Z, 1) y o = (Z, N, o) , con1 = ([.[ , .) : . Z , o = (., [.[ .) : . Z .La composicin o viene dada por o = (N, N, T) , dondeT = (:, 0) = : N ' (:, 2:) : : N .El lector puede convencerse de esto.Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 402.1.3. Representaciones grcas de relacionesExiste varias maneras de representar relaciones binarias, dependiendo de su naturaleza. Acontinuacin explicamos algunas de ellas. La ms comn parece ser la que se usa en secundaria,mediante el uso de diagramas de echas. En el caso que los conjuntos y 1 sean nitos, o sial menos se pueden numerar de cierta manera, se pueden representar los elementos de estosconjuntos en regiones de un plano, donde la relacin de dos elementos se simboliza con unaecha de sale del primero y llega al segundo. En el caso del ejemplo 2.1.1, la relacin se puederepresentar as:_`

123 _a/

..........En caso de relaciones denidas de un conjunto en s mismo, se pueden pintar los elementosen una misma regin y unir con echas aquellos que se relacionan. Por ejemplo, la gura:a/dcc/ q

```

`

- -`puede representar la relacin = (1, 1, 1) , donde 1 = a, /, c, d, c, q, / y1 = (a, d) , (d, /) , (d, c) , (c, d) , (c, c) , (/, c) , (c, /) , (q, /) , (/, q) .2.2. Tipos de relacionesEn esta seccin consideramos nicamente relaciones binarias de la forma = (1, 1, 1), estoes, relaciones denidas de un conjunto 1 en s mismo. Como iremos dndonos cuenta, lostipos de relaciones que describiremos a continuacin, son de gran importancia en Matemtica.Denicin 2.2.1 Se dice que: es reexiva si para cada a 1 se tiene aa. Esto es, todo elemento de 1 serelaciona consigo mismo. es simtrica si para a, / 1 se tiene: a/ =/a.Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 41 es transitiva si para a, /, c 1 se tiene: a/ . /c =ac. es antisimtrica si para a ,= / se tiene que a/ =/ / a. Equivalentemente, si paraa, / 1 se tiene (a/ . /a) =a = /.Veamos algunos ejemplos:Ejemplo 2.2.1 Sean 1 = 1, 2, 3 y 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 3) . Entonces es reexiva pues 11, 22, 33. no es simtrica pues 12 pero 2 / 1. no es transitiva pues 12, 23, pero 1 / 3. es antisimtrica, pues 2 / 1, 3 / 2.Ejemplo 2.2.2 Si 1 = 1, 2, 3 y 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (1, 3) , (2, 3) , tenemos no es reexiva pues 2 / 2. no es simtrica pues 13 y 3 / 1. no es transitiva pues 21 y 12, pero 2 / 2. no es antisimtrica pues 12 y 21.Ejemplo 2.2.3 Si 1 = 1, 2, 3 , 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) . Es fcil vericarque es reexiva, simtrica y transitiva, pero no es antisimtrica.Ejemplo 2.2.4 Sea 1 cualquier conjunto, R=(a, a) : a 1 . Esto es, a/ :ii a = /. En-tonces es reexiva, simtrica, transitiva y antisimtrica. De hecho, es la nica relacin queposee las cuatro propiedades.Ejemplo 2.2.5 Sea 1 = N y dena :: sii : _ :. Entonces es reexiva, antisimtricay transitiva. No es simtrica.Ejemplo 2.2.6 Con 1 = N otra vez, dena :: sii : < :. Entonces no es reexivani simtrica. S es transitiva y antisimtrica, esto ltimo pues es imposible tener : < : y: < : a la vez.Ejemplo 2.2.7 Con 1 = N se dene la relacin: rj =r = j2. Esta relacin no es reex-iva, pues : ,= :2casi siempre. Adems no es simtrica ni transitiva. Ser antisimtrica?2.2.1. Relaciones de ordenUna relacin = (1, 1, 1) se llama relacin de orden si es reexiva, antisimtrica y tran-sitiva. Por ejemplo, ya vimos en el ejemplo 2.2.5 que \ _ " es una relacin de orden en N.Podra decirse que este es el ejemplo tpico de una relacin de orden. Veamos otros ejemplos:Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 42Ejemplo 2.2.8 Para 1 = N

se dene por:: sii : es divisor de :.Esta relacin es claramente reexiva. Adems es antisimtrica debido a que, en particular,si : es divisor de : debe tenerse : _ :. Ahora, si : es divisor de : tenemos : = :/,para algn / N. Si adems : es divisor de j, tenemos j = :|, para algn | N y luegoj = :| = :(/|), lo que demuestra que : es divisor de j. Entonces es tambin transitiva ypor lo tanto de orden. Note que esta relacin es una subrelacin de _, en el sentido queel grco de la primera est contenido en el de la segunda.Ejemplo 2.2.9 Sea A un conjunto y sea 1 = T(A). Se dene en 1 la relacin1 sii _ 1.Como los elementos de 1 son conjuntos, preferimos usar , 1, ctc. en vez de r, j, ctc. Comosiempre ocurre _ , tenemos que es reexiva. Adems, por denicin de igualdadtenemos que _ 1 y 1 _ implica = 1. Finalmente, sabemos que _ 1 y 1 _ Csiempre implica _ C. La relacin _ es entones una relacin de orden en 1.En el estudio de las relaciones de orden, se distinguen las de orden total y las de orden pacial,de acuerdo con la siguiente denicin.Denicin 2.2.2 Una relacin de orden = (1, 1, 1) se llama un orden total sobre 1 si,para todo par r, j 1, se tiene rj .jr. Si es un orden total sobre 1, el par ordenado(1, ) se llama conjunto totalmente ordenado. Una relacin de orden que no es total, sellama un orden parcial. En tal caso, (1, ) se llama conjunto parcialmente ordenado.Ejemplo 2.2.10 El ejemplo tpico de un orden total es la relacin de orden usual sobre N.El ejemplo tpico de un orden parcial, es la relacin de inclusin del ejemplo 2.2.9, siempreque A tenga al menos dos elementos.Denicin 2.2.3 Considere un conjunto 1 dotado de una relacin de orden denotada _ .Para 1 _ 1, un elemento : 1 se llama cota superior de 1si para cada j 1se tienej _ :. Cuando tal : existe, 1 se llama acotado superiormente.Ejemplo 2.2.11 Si 1 = N con el orden usual, considere el conjunto1 = : N : : es un nmero de tres cifras .Claramente : _ 1635 para cada : 1, as que : = 1635 es una cota superior de 1. En estecaso, :0 = 999 es la menor de las cotas superiores.Desde luego que en N se pueden encontrar muchos subconjuntos que no son acotados su-periormente, es decir que no tienen cota superior. Por ejemplo, el conjunto de los nmerospares.Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 43Denicin 2.2.4 Decimos que : es el elemento mximo de 1 _ 1, si : es cota superiorde 1 y adems : 1.Observe que en este caso, si / es otra cota superior de 1 se tiene : _ / y, en consecuencia, unelemento mximo es la menor cota superior. De la existencia de un elemento mximo para 1,se sigue inmediatamente que 1 es acotado superiormente. Sin embargo, bien puede sucederque 1 sea acotado superiormente y no posea un mayor elemento.Ejemplo 2.2.12 El conjunto 1 = r Q : 0 < r < 1 es acotado superiormente en 1 = Q,pero no posee mayor elemento.De manera anloga, un elemento : 1 se llama cota inferior de 1 si : _ j para cada j 1.Si 1 posee una cota inferior, se dice que es acotado inferiormente. Un elemento j se llama elmnimo de 1 si j 1 y es cota inferior de 1.Ejemplo 2.2.13 Dada la relacin de orden en N

denida por:: =: es divisor de :,el conjunto 1= : _ 30 : : es mtiplo de 7 tiene a : = 7 como mnimo y / = 28 comomximo. El conjunto = 3, 5, 6, 8 tiene a / = 120 como la menor cota superior, Es estecaso no tiene mximo. Note adems que : = 1 es la nica cota inferior de y que notiene mnimo.2.2.2. Relaciones de EquivalenciaEl concepto de relacin de equivalencia generaliza el concepto de igualdad en un sentido queir aclarndose conforme avancemos en ejemplos y aplicaciones del mismo. En Matemticase utiliza mucho este concepto en diferentes contextos, para identicar objetos que, aunquediferentes, comparten una serie de propiedades que nos permiten tratarlos como iguales. Unade las primeras aplicaciones interesantes que haremos de las relaciones de orden, es en laconstruccin de Q a partir de Z, donde identicamos todas las fraccionesna que denen unmismo racional.Denicin 2.2.5 Una relacin = (1, 1, 1) se llama relacin de equivalencia si es reex-iva, simtrica y transitiva.Es muy comn usar el smbolo s para denotar relaciones de equivalencia, en vez de .Ejemplo 2.2.14 Sean 1 = 1, 2, 3 y 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) .En un ejemplo previo vimos que esta relacin es reexiva, simtrica y transitiva. Por lo tantoes una relacin de equivalencia.Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 44Ejemplo 2.2.15 Sea 1 cualquier conjunto, 1=(a, a) : a 1 . Esto es, a/ sii a = /.Entonces es una relacin de equivalencia. De hecho, es la relacin de equivalencia mssimple que existe.Ejemplo 2.2.16 En 1 = N denimos la relacin: s : =: +: es par.Note que si : s : y : es par, entonces : es par y viceversa. Esto demuestra que en estecaso, : s : sii : y : tienen la misma paridad. Dicho de otra forma, todos los nmerospares se relacionan entre s, lo mismo que todos los impares. Dejamos al lector la tarea deconvencerse de que esta relacin es de equivalencia.Ejemplo 2.2.17 En 1 = N N dse dene la relacin:(:, :) s (j, ) =:+ = : +j.Veamos que esta es una relacin de equivalencia:Reexividad: Dado que :+: = : +:, tenemos que (:, :) s (:, :) para cada (:, :).Simetra: Si (:, :) s (j, ) tenemos :+ = :+j y esto se puede reescribir como j+: = +:.Esto signica que (j, ) s (:, :).Transitividad: Si (:, :) s (j, ) y (j, ) s (r, :), tenemos:+ = : +j, j +: = +r.Luego :+ +j +: = : +j + +r, de donde :+: = : +r. Esto signica (:, :) s (r, :).Ejemplo 2.2.18 En 1 = Z se dene la relacin: s : =:: es mltiplo de 5.La reexividad y simetra se dejan como ejercicio. Para la transitividad supongamos que: s : y : s j. Entonces :: = 5/ y : j = 5|, donde /, | Z. Luego:j = (::) + (: j) = 5(/ +|),y esto implica : s j . La relacin ~ es entonces de equivalencia.Clases de equivalenciaLa idea de introducir una relacin de equivalencia es, como dijimos, identicar elementos queson equivalentes entre s. Es por eso natural pensar en los conjuntos formados por esos elemen-tos, los cuales llamaremos clases de equivalencia. Identicar elementos equivalentes signicaconsiderar las clases como elementos de un nuevo conjunto, llamado conjunto cociente. MsRelaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 45precisamente, dada una relacin de equivalencia sobre el conjunto 1 y dado a 1, denimosla clase de equivalencia de a como[a] = r 1 : a s r .La mejor manera de aclarar este concepto es mediante los ejemplos. Retomemos los estudiadosarriba:Ejemplo 2.2.19 Sea 1 = 1, 2, 3 , 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) .En este caso [1] = 1, 2 = [2] , [3] = 3.Ejemplo 2.2.20 Sea 1 cualquier conjunto y la relacin de igualdad en 1. Entonces paracada a 1 se tiene [a] = a.Ejemplo 2.2.21 Para la relacin del ejemplo 2.2.16 tenemos[0] = : N : : es par = [2] = [4] = ctc.mientras que[1] = : N : : es impar = [3] = [5] = ctc.En otras palabras, solo hay dos clases, la formada por los pares y la formada por los impares.Ejemplo 2.2.22 Para la relacin del ejemplo 2.2.17 tenemos:[(:, 0)] = (j, ) N N : :+ = j = ( +:, ) : N ,[(0, :)] = (j, ) N N : = : +j = (j, j +:) : j N .El lector puede convencerse de que stas son todas las clases de equivalencia en este caso.Ejemplo 2.2.23 Para la relacin del ejemplo 2.2.18 tenemos[0] = 5/ : / Z = . . . , 5, 0, 5, 10, . . .,[1] = 5/ + 1 : / Z = . . . , 4, 1, 6, 11, . . .,[2] = 5/ + 2 : / Z = . . . , 3, 2, 7, 12, . . .,[3] = 5/ + 3 : / Z = . . . , 2, 3, 8, 13, . . .,[4] = 5/ + 4 : / Z = . . . , 1, 4, 9, 14, . . ..Note que [: + 5] = [:] para cada : Z, as que estas cinco clases de equivalencia son lasnicas.Es importante observar que, que por simetra, en la denicin de clase de equivalencia puedeescribirse tambin r s a en vez de a s r. A continuacin enumeramos algunas propiedadesde las clases de equivalencia:Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 461. Para a 1 tenemos a [a] _ 1. En particular [a] ,= O.2. Si / [a] entonces [/] = [a].En efecto, como / [a] tenemos que a s /. Luego, para r [/] tenemos por transitividadque a s r, esto es r [a]. De la misma forma r [a] implica r [/].Nota: Dada una clase de equivalencia C = [a], decimos que a es un representante dedicha clase. Cualquier / C puede usarse como representante de C, de acuerdo conesta propiedad.3. Si [a] ,= [/], entonces [a] [/] = O.En efecto, si existiera c [a] [/], entonces por la propiedad 2 tendramos [a] = [c] = [/].4. La unin de todas las clases de equivalencia determinadas por s es 1. Esto es_o21[a] = 1.La demostracin se deja como ejercicio.Denicin 2.2.6 Un conjunto T de partes de 1 se llama una particin de 1 si sus elementosson disjuntos dos a dos ( 1 = O para , 1 T distintos) y su unin es 1, es decir1 = 12P1.De acuero con lo anterior, las clases de equivalencia de una relacin de equivalencia sobre 1,forman una particin de 1.Conjunto cocienteVolviendo a la idea de considerar todos los elementos de una clase como uno solo, vamos adenir el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de s . A este conjunto lellamaremos el conjunto cociente denido por 1 y s y lo denotamos 1,s . Precisamente:1,s = [a] : a 1 .Volviendo a los ejemplos de la seccin anterior tenemos:Ejemplo 2.2.24 Si 1 = 1, 2, 3 , 1 = (1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) , tenemos1, = [1], [3] = 1, 2, 3 .Ejemplo 2.2.25 Sea 1 cualquier conjunto y la relacin de igualdad en 1. Entonces1, = a : a 1 .Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 47Ejemplo 2.2.26 En 1 = N, con la relacin del ejemplo 2.2.16 se tiene1,s = [0], [1] = 1, 1donde 1 es el conjunto de los pares e 1 es el conjunto de los impares.Ejemplo 2.2.27 Para la relacin del ejemplo 2.2.17 tenemos1,s = [(:, 0)] : : N ' [(0, :)] : : N .Para : ,= 0 denotamos +: = [(:, 0)] y : = [(0, :)] y tambin 0 = [(0, 0)] . El conjunto 1,spuede ser identicado con Z. Esta idea puede ser usada para para dar una construccin delconjunto Z de nmeros enteros, a partir del conjunto N de nmeros naturales.Ejemplo 2.2.28 Para la relacin del ejemplo 2.2.18 tenemos1,s= [0], [1], [2], [3], [4] .Este conjunto se denota por Z5.Ejemplo 2.2.29 En general, dado un entero j0, se dene la relacin en Z mediante:: =:: es mltiplo de j.Este relacin resulta de equivalencia y el conjunto cociente Z, se denota por Zj.Las ideas expresadas en estos ejemplos, pueden ser usadas para construir los conjuntos numri-cos. Esto lo haremos en la segunda parte, mientras en el captulo siguiente estudiaremos otrotipo especial de relaciones binarias, que posiblemente le es familiar al lector.2.3. Ejercicios1. En cada caso, d un ejemplo de relacin binaria que cumpla las propiedades enunciadas:a) Reexiva pero no simtrica, transitiva ni antisimtrica.b) Reexiva y simtrica, pero no transitiva.c) Reexiva y transitiva, pero no simtrica.2. Qu se puede decir de una relacin = (, , 1) que sea reexiva, simtrica y anti-simtrica?3. En N dena la relacin: :: sii : _ : _ : + 2. Es esta relacin de orden?, deequivalencia?Relaciones Binarias A. Duarte & S. Cambronero 484. En Z dena la relacin : ~ : sii : : es mltiplo de 7. Demuestre que esta es deequivalencia y halle Z,~ .5. Considere la relacin del ejemplo 2.2.29. Demuestre que es de equivalencia y queZ, tiene exactamente j elementos.6. En 1 = R se dene la relacin: rj = r j es racional. Es esta relacin de equiva-lencia? Justique su respuesta. Qu pasa si se cambia racional por irracional?7. Sea 1 = N ' ., donde . , N. En 1 se dene la relacin de grco 1 = G '(:, .) : : 1 , donde G es el grco de la relacin _ en N. En otras palabras, esuna extensin de _, donde :. para todo : 1. Demuestre que es una relacin deorden total en 1.8. En 1 = R se dene la relacin mediante: rj =rj0. Demuestre que esta relacinno es de equivalencia. Sin embargo, si se cambia R por R

, la relacin resultante s esde equivalencia. Halle R

,.9. En Z se dene la relacin o por:ao/ =a2/2= a /.Demuestre que esta relacin es de equivalencia. Cuantos elementos tiene cada clase deequivalencia?10. Repita el ejercicio anterior, cambiando a2/2por a3/3y luego por a4/4.11. En R2se dene la relacin - por:(a, /) - (c, d) =(a _ c . / _ d) .Demuestre que esta relacin es de orden. Para (a, /) dado, dibuje el conjunto de puntos(r, j) tales que (a, /) - (r, j). Es esta relacin de orden total?12. Sea = (, , 1) una relacin reexiva. Se dene o mediante:ao/ =(a/ . /a) .Demues