libro de memorias xii festival internacional de

Libro de Memorias

XII Festival Internacional de Matemaacuteticas

XXII Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad

Editor Carlos Alberto Monge Madriz

ISBN 978-9930-541-86-9

XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad

2

XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XII Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad

(2020 octubre 13-17 Costa Rica) - Cartago Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2021

171 paacuteginas

ISBN 978-9930-541-86-9

1 Matemaacutetica 2 Educacioacuten 3 Ciencias 4 Tecnologiacutea 5 Sociedad

Lic Carlos Alberto Monge Madriz

Editor


3

Iacutendice de contenidos

Presentacioacuten 5

Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea en tercera dimensioacuten usando el

software GeoGebra (XII FIMAT) 9

Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud y Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez

Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de

Desastres Un ejemplo de aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista

(XXI CONCITES) 22

German Alvarado Luna y Neyfren Salazar Aguilar

El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para queacute (XXI CONCITES) 30

Antonio Alejandro Lorca Mariacuten y Diego Armando Retana Alvarado

El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo (XXII CONCITES) 38

Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado

Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica (XXI CONCITES) 45

Carla Goacutemez Quiroacutes

Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como herramienta de apoyo en la construccioacuten

de las figuras (XII FIMAT) 53

Estiacutebaliz Rojas Quesada y Eric Padilla Mora

Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura (XXII CONCITES) 63

Daniel Clark Orey y Milton Rosa

Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a nuestras clasesrdquo (XXI CONCITES) 74

Carlos L Chanto Espinoza y Marlene Duraacuten Loacutepez

Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticas (XII FIMAT) 81

Marcela Garciacutea Jesennia Chavarriacutea Mariacutea Elena Gavarrete y Margot Martiacutenez

Homotecias con GeoGebra (XII FIMAT) 88

Grethel Ramiacuterez Goacutemez

Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y formacioacuten del profesorado (XXII

CONCITES) 94

Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo y Juan Felipe Herrera Polaniacutea

Polinomios generadores de nuacutemeros primos (XII FIMAT) 104

Ronald Cordero Meacutendez


4

Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten

Abierta (XII FIMAT) 117

Charlene Loacutepez Quesada Luis Fernando Mejiacuteas Molina y Jennifer Tatiana Quesada

Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno privado (XII FIMAT) 128

Jennifer Aragoacuten Monge y Paulina Coto Mata

Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver problemas estocaacutesticos (XXII CONCITES)

137

Greivin Ramiacuterez Arce

Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano (XXII CONCITES) 154

Guillermo Alfonso Brenes Tencio

Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear problemas de modelizacioacuten matemaacutetica

(XII FIMAT) 164

Karen Porras Lizano y Gilberto Chavarriacutea Arroyo


5

Presentacioacuten

En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES

Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional

En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se

unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020

El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado

El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de

Costa Rica

Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute

esfuerzos

El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas

Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y

universitarios (TEC)

Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020

Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de

Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca

Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de

Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto

Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a

Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar

Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores

ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional

Comiteacute cientiacutefico FIMAT

Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED

Lic Carlos Monge Madriz TEC

Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED

Comiteacute cientiacutefico CONCITES

Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA

MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC

Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR

M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED


6

Patrocinaron

Componentes Intel fue el patrocinador oficial

Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO

Alcances

Asistieron 325 participantes

Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea

Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute

108 ponentes respondieron a la convocatoria

Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas

Programa

Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y

conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en

httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf

Ponentes internacionales

Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp

Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU

Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade

Federal de Ouro Preto Brasil

Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad

de La Rioja Espantildea

Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico

Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU

Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la

Ciencia UNAM Meacutexico

Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto

Brasil

Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU

Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM

coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico

Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea

Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico

Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea


7

Mesas Redondas y Conversatorios

Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil

Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea

Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina

Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia

Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala

Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile

Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia

Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea

Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil

Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia

Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del

Medio Ambiente Chile

Aacutelbum de fotos

Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual

httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396

Edicioacuten y publicacioacuten de videos

Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten

del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito

es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo

publicado en www youtubecomcientec

Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina

en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)

1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie

Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8

2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza

TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8

3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge

Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc

4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-

Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8

5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-

Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4

6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile

y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM

7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw

8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw


8

9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley

School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA

10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley

School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk

11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele

Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc

12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas

Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc

13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia

Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I

Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que

iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje

El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -

Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020

Alejandra Leoacuten Castellaacute

Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC


9

Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea

en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra

Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud

Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica

jose03pcggmailcom

Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez


stevengabriel26gmailcom

Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software

GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de

la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las

herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de

superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la

tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos

geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a

tercera dimensioacuten

Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea

1 Introduccioacuten

El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con

solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a

los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es

fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla

curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con

las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad

Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en

las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea

espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al

desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad

matemaacutetica con la espacial

En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones

(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten

baacutesica del uso del software GeoGebra

2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP

En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio

draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas

tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria

Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla

curricular del MEP (2012) propone que


10

1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos

2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica

3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo

4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas

Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por

fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben

realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten

espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos

entre otros

Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con

relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La

importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto

matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)

Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que

requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar

los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos

Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico

en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en

otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)

Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten

del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos

oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la

formacioacuten matemaacutetica

3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten

La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la

formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento

loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica

algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no

profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)

Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una

rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las

habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u

orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en

la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas

Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante

promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el

cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y


11

transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario

abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer

relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)

Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin

el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una

manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y

Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de

desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento

4 Curvas superficies y parametrizacioacuten

Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes

curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo

el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos

conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra

a la hora de generar dichas construcciones

41 Curvas

Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una

partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un

paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese

entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo

la correspondencia a una casa

Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva

parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que

120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ

42 Superficies

Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno

similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se

coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa

De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como

119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2

Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el

software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de

forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado

anteriormente


12

5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D

El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de

las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto

de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera

dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)

GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir

dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo

(dos dimensiones)

Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear

Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Circunferencias

Elipses

Aacutengulos

Figura 1

Vista Graacutefica ndash GeoGebra

Nota Elaboracioacuten Propia

Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear

Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Planos

Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma

y esferas)

Aacutengulos

Deslizadores imaacutegenes botones etc

Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras

(transformaciones en el plano)


13

Figura 2

Vista 3D - GeoGebra


El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo

ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo

6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten

GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que

nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo

momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas

predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las

curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el

caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3

Figura 3

Comandos de curvas


De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas

en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su

visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten


14

Figura 4

Visualizacioacuten de curva

Nota Elaboracioacuten propia

Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura

5

Figura 5

Comandos de superficies


En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores

se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos

paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su



15

Figura 6

Visualizacioacuten de superficie


Ejemplo Cono truncado

Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias

herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten

el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos

circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con

la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte

del cono y generar el cono truncado por siacute mismo

Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta

ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute

el cono truncado

1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el

radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que

represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo


16

Figura 7

Cono dependiente del deslizador


2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este

deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del

deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al

plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma

herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)

Figura 8

Cortes en el cono



17

3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la

generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que

pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el

triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia

de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el

plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia

De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos

Figura 9

Semejanza de triaacutengulos


4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las

circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten

desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores

5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente

comando en la barra de entrada

(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))


18

Figura 10

Cono generado con parametrizacioacuten


6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del

deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado

y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que

tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)

r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)

Figura 11

Cono parametrizado con deslizadores


7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se

pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del

deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono

truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera


19

Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)

Figura 12

Cono parametrizado

Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma

manera que en la Figura 13

Figura 13

Construccioacuten del cono truncado finalizada


7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas

El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al

estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio

discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta


20

Figura 14

Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas


8 Conclusiones

Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software

GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la

geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de

ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso

Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental

para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no

hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien

puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo

Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones

que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como

por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples

Referencias Bibliograacuteficas

Gamboa R y Ballestero E (2010) La ensentildeanza y aprendizaje en secundaria la perspectiva de los

estudiantes Educare 17(2) 125-142 httpswwwredalycorgpdf1941194115606010pdf

Gonzato J Cajaraville J y Godino J (2011) Una aproximacioacuten ontosemioacutetica a la visualizacioacuten en

educacioacuten matemaacutetica Ensentildeanza de las Ciencias 30(2) 109-130

httpswwwracocatindexphpEnsenanzaarticleview254506

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21

Peacuterez J (2014) Curso Curvas y Superficies Universidad de Granada

httpwpdugres~jperezwordpresswp-contentuploadsraizCySpdf


22

Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la

Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de

aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista

German Alvarado Luna

Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista

Costa Rica

gdal5hotmailcom

Neyfren Salazar Aguilar

Colegio Teacutecnico Profesional de Mora

Costa Rica

neyfren11gmailcom

Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la

ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea

participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente

dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al

aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como

conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los

objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje

significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados

Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres

Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo

1 Introduccioacuten

La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas

primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque

socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos

de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca

que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que

puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)

En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten

formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva

ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor

potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de

Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones

metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis

fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden

actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)

Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva

para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos

y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con

metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma


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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de

alternativas de futuro

No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el

profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume

un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo

Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)

La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar

En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento

necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos

de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la

cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean

quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de

transformacioacuten (Patintildeo 2017)

En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute

fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este

documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea

participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8

estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten

Humanista en San Rafael de Escazuacute

Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los

aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De

la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas

las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad

de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)

En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los

estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos

memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales

otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de

cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las

cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa

conceptual

2 Meacutetodos

Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada

informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los

estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten

participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada

por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje

planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no

En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes

Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales


24

relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25

iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto

Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18

iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos

esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute

trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los

estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de

18 iacutetems correctos

Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de

clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de

la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten

completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el

ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos

Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como

teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes

conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica

del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe

acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue

leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se

optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se

aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo

Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones

praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios

categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes

y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones

praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente

forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten

complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones

praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe

acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo

3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller

En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media

El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos

siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la

presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le

dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir

de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva

En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la

GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los

subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar

si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes


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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron

corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute

Figura 1

Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten

El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea

participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de

amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos

esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a

intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)

y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron

comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de

este taller se cumplioacute

El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la

comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos

previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso

colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas

geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que

hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los

registros oficiales presentados

El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades

del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales

de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres

actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la

simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda

actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de

Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la

sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de

zonas de riesgo alto medio y bajo

La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que

interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y


26

aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades

inmediatas

Figura 2

Presentaciones de mapas

Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la

geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio

marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes

definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya

que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de

riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio

primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican

El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y

volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol

de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se

pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-

se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del

grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos

temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten

Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron

los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los

objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del

tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos

de facilitar el siguiente taller

El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el

cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la

GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los

estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una

matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio


27

Figura 3

Disentildeo de propuestas de solucioacuten

Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la

GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y

correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con

ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la

participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en

condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten

planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de

los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten

Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para

ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la

segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de

creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que

evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo

la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea

4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del

aprendizaje significativo

A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos

estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las

orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo

fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas

Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en

desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior

presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron

completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del



28

La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute

dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse

mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la

observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante

utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual

5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos

siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes

El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro

50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes

interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de

cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los

conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes

No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si

se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy

poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los

de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar

parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco

fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten

6 Conclusioacuten

En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza

de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes

significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se

cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en

mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con

la temaacutetica

Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes

no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron

haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos

(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos

talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo

Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues

resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de

modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas

y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza

de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la

efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)


29

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30

El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para

queacute

Antonio Alejandro Lorca Mariacuten

Universidad de Huelva Espantildea

antoniolorcaddccuhues

Diego Armando Retana Alvarado

Universidad de Costa Rica Costa Rica

diegoarmandoretana ucraccr

Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e

incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende

sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten

se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un

taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas

perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las

asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en

ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como

metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones

El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al

pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas

Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos

maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias

1 Introduccioacuten

El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel

dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una

actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten

para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten

et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este

sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las

ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la

aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es

incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los

contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)

No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes

de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes


31

Figura 1

Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad

de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten

Figura 2

Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten

entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten

De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar

como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y

partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura

podemos encontrar (ver Figura 3)


32

Figura 3

Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias

Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015

No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe

preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute

ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas

Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se

erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo

plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas

de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son

elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el

contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de

aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la

reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales

esenciales para la consecucioacuten de los objetivos

Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no

siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de

aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos

a llevarlo a cabo

La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las

ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de

ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno

debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes

Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados

obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas

maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos

para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar

respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)


33

Figura 4

Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten

Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017

Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros

alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos

personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos

proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada

uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de

cualquier proceso

En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la

realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten

(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son

conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores

Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el

individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta

el individuo

Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por

Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el

agua

Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o

Masavolumendensidad

Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza

soacutelo existe si provoca movimiento


34

Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de

estado

Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor

conductor del calor

Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que

Son estables en el tiempo y resistentes al cambio

Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura

Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito

Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico

Son ideas funcionales que buscan utilidad

Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones

Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico

2 Objetivos

Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en

forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en

metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos

propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias

STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre

otras

En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten

espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las

Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las

disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas

estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando

distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas

cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar

individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias

3 El taller

La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente

se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el

saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe

fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de

aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata

de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de

los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde

el punto de vista educativo parte de elementos claves


35

Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia

contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a

trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del

conocimiento didaacutectico del contenido

Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los

conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas

especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten

nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza

Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los

distintos contenidos a trabajar

Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten

evaluacioacuten entre otros

Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las

concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de

ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten

concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros

Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad

actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas

La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las

ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento

criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto

homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal

(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las

distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH

3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se

sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)

Figura 5

Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia


36

Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando

un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros

de crecimiento entre otras cuestiones

4 Conclusioacuten

La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias

destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos

y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos

pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para

describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones

que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros

Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos

de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica

Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo

del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e

indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal

en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos

que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y

donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves

La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los

contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en

materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se

publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan

este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos

Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40

toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento

criacutetico y esceacutepticos

Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear

ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad

del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el

medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos

y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a

partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el

que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento

como una religioacuten

Agradecimientos

Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad

de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa

Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten

cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten


37

COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de

Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia


Driver R (1989) Studentsrsquo conceptions and the learning of science International Journal of Science

Education 11(5) 481-490

Linn MC Davis EA y Bell P (2004) Internet Environments for Science Education Erlbaum

Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Delgado-Algarra E J (2018) El uso de las redes sociales

en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A

Coruntildea Servicio de Publicaciones

Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Velo Ramiacuterez MS (2019) Ciencia frente a

seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias

experimentales (97) 57-61

Martiacutenez-Chico M Loacutepez-Gay R Jimeacutenez-Liso M y Trabaloacuten Oller M (2017) Una propuesta

integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante

indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias

(Extra) 115-122


38

El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo


International Christian School Costa Rica

hgzalvaradogmailcom

Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales

humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres

elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo

El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de

aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme

se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales

para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones

facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje

Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten

educativa TICs TACs

1 Introduccioacuten

La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten

de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo

que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad

El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda

de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los

educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje

Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que

rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de

recursos educativos peculiares como lo son los memes

2 Los memes iquestqueacute son

Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y

variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color

utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los

memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde

aacutembitos locales internaciones y glocales

Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos

de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el

internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados


39

como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a

Barroso y Cabero 2016)

3 El meme como recurso pedagoacutegico

Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor

grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten

masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)

Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando

procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos

permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento

Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la

tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los

docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y

reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se

pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del

curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas

que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten

de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico

El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje

son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos

retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza

en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad

En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos

1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que

aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del

conocimiento

Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden

realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar

para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca

la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos

de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea

una nueva ruta de conocimiento

La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen

hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos

seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)

4 El meme como recurso evaluativo

La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante

en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala

numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para

los objetivos planteados


40

Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del

aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso

de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo

que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de

conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)

El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican

las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de

evaluacioacuten que existen

El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con

herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede

hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados

El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una

ruacutebrica soacutelida y objetiva

El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta

metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un

aprendizaje formativo

5 Materiales y meacutetodos

Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas

educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un

grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a

20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco

Tulio Salazar

La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de

Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten

regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07

Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y

dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con

el fin de contrastar los resultados

6 Discusioacuten de resultados

Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado

a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante


41

Figura 1

Uso que se le dan a los memes

Nota Creacioacuten propia

Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten

de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme

es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a

partir de diferentes estrategias y herramientas

En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples

beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de

comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita

procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de

las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que

ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo

cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito

educativo del siglo XXIrdquo (p 5)

Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase

si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en

contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos

inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad

empoderamiento y felicidad de las lecciones

Figura 2

Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes


42

Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les

preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso

pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3

Figura 3



Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en

las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas

generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases

Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina

aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando

el aprendizaje significativo

La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la

relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional

necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado

anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva

Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar

una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social

cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo

del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como

docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los

memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad

el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar

el arte de educar

7 Conclusiones

Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que

El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones


43

Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de

conocimiento a niveles superiores

Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el

aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo

La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante

El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten

con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas


Balda P (2019) La caricatura y los memes como herramienta de divulgacioacuten matemaacutetica Una

experiencia de aula Nuacutemeros Revista de Didaacutectica de las matemaacuteticas 102 29-41

Catald Z y Dominighni C (sf) La generacioacuten millenial y la educacioacuten superior Los retos de un nuevo

paradigma Revista de Informaacutetica Educativa y Medios Audiovisuales 12 (19) 14-21

Lewin L (2017) Que ensentildees no significa que aprendan Bonum

Vera E (2016) El meme como nexo entre el sistema educativo y el nativo tres propuestas para la

ensentildeanza del lenguaje Revista Educacioacuten y Tecnologiacutea 1-15

httpsdialnetuniriojaesdescargaarticulo6148882pdf

Apeacutendices

Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura


44

Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas

Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica


45

Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica


Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica

cgomezq296ulacitedcr

Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar

metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo

se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en

forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria

como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica

inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos

y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron

que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia

Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten

1 Introduccioacuten

La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten

secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las

carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado

que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en

muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia

(Nakamatsu 2012)

Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral

que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo

2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo

cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten

Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)

En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten

superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta

percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que

fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta

asignatura

Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten

consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el

empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad

desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la

concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los

estudiantes


46

Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien

experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la

oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir

conocimiento de manera efectiva

Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para

propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de

este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten

en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje

significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes

permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten

y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico

No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias

depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego

para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado

en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)

citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa

en el cumplimiento de los siguientes puntos

a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula

b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes

c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores

d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades

e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten

f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior

evaluacioacuten de competencias

En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para

la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica


Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute

una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias

de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos

para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por

Corchuelo (2018)

21 Definicioacuten de los objetivos educativos

De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten

de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar

los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los

conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo

anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes


47

22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes

Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten

en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia

a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se

procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia

23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores

La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de

Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades

dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia

procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27

(12) hombres

24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades

La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos

dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1

Tabla 1

Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso

Unidad Detalle

I Introduccioacuten a la quiacutemica

II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico

III Reacciones quiacutemicas y cantidades

IV Estados de la materia

V Agua Disoluciones y coloides

VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base

Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las

actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en

horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con

una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)

revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase

25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica

De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de

conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El

nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel

submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o

partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el


48

uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los

niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes

Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la

dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes

251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos

La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al

nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia

consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten

mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee

los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se

observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar

especies diferentes

Figura 1

Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos

Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones

monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la

formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura

252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y

Estructuras de Lewis

Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente

consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de

gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema

de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)

La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en

papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows

como se muestra en la Figura 2


49

Figura 2

Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y

estructuras de Lewis

La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits

para construccioacuten de moleacuteculas

253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET

La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el

estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se

clasifica como nivel submicroscoacutepico

La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se

plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo

finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles

o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico

tal y como se observa en la Figura 3

Figura 3

Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas


50

Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten

consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de

donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las

simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de

httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry

26 Recursos y herramientas necesarias

Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias

de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se

observan en la Tabla 2

Tabla 2

Encuesta aplicada a los estudiantes

Pregunta Tipo de pregunta

iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten

Opcioacuten muacuteltiple

iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica

inorgaacutenica

Dicotoacutemica

iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por

las actividades Puede marcar varias opciones


iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de

modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos


iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y

atractivas para los estudiantes

Dicotoacutemica

iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los

conceptos involucrados

Dicotoacutemica

iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como

alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica

inorgaacutenica a nivel universitario

Dicotoacutemica

iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las

actividades realizadas

Abierta

3 Resultados y Discusioacuten

De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de

los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos

tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la

actividad de los dados de iones

En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes

consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su


51

aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la

utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4

donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten

Figura 4

Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades

En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten

mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la

necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la

transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor

medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron

que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el

contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la

vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral

4 Conclusiones

Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar

conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de

manera efectiva

Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una

transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo

Agradecimientos

El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de

mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria

San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso

durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del

personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten


52

Referencias bibliograacuteficas

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estudiantes y dinamizar contenidos en el aula EDUTEC Revista Electroacutenica de Innovacioacuten

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Hernaacutendez-Chaverri R Montero-Miranda E amp Villalobos-Gonzaacutelez W (2017) Evaluacioacuten del

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Ortegoacuten M (2016) Gamificacioacuten de las matemaacuteticas en la ensentildeanza del valor posicional en cantidades

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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models


53

Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como

herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras

Estiacutebaliz Rojas Quesada

Universidad Estatal a Distancia

erojasqunedaccr

Eric Padilla Mora


epadillaunedaccr

Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y

validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos

ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios

tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software

GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems

generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su

formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea

Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems

Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la

Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las

figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos

Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como

estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos

Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador

Cantidad maacutexima de participantes 15 personas

1 Introduccioacuten

La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de

los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un

medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las

necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad

continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades

formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las

fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera

individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)


54

Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en

los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el

propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares

de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos

que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes

En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez

2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean

relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio

de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores

de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)

Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los

examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research

Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es

maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren

realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar

iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes

Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general

se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no

contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la

medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para

elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo

El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de

iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos

para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se

brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir

con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute

implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica

especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea

2 Actividades del taller

I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems

Tiempo aproximado 35 minutos

Actividad 1

Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de

iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos

Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa

Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como


55

Las experiencias de aula y el contexto del estudiante

Los objetivos o habilidades especiacuteficas

Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo

Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar

Cuidar el puntaje de los iacutetems

Evitar la redaccioacuten en forma negativa

Realizar la tabla de especificaciones

Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas

que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de

los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo

Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo

para el cual se aplicaraacute

Revisar el tecnicismo propio de la asignatura

Revisar la redaccioacuten

Resolver el iacutetem

Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad

Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas

Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)

Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad

Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem

Actividad 2

Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con

geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez

dificultad alternativas y sensibilidad


Actividad 3

Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran

y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el

anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos








56




II Parte

GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas


Actividad 1

Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra


Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload

Actividad 2

Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra

De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que

GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente

geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en

hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en

crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y

aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual

para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias

ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La

comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten

clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)

Un vistazo a GeoGebra

Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo

mostrado a continuacioacuten


57

Figura 1

Ambiente de trabajo de GeoGebra



Actividad 3

Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra

Diversas vistas de trabajo de GeoGebra

Menuacute principal

Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos


58

Figura 2

Menuacute principal y menuacute de creacioacuten

NotaElaboracioacuten propia


Actividad 4

Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra

Figura 3

Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra



59

Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas

Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud


Actividad 5

Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B

respectivamente

Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular

destaque un punto y denoacutetelo con la letra C

Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC

Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales

se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos

De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe

Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC

De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe


Actividad 6

Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo


Actividad 7

Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera

parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos

Actividades optativas

Actividad 8

Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho

triaacutengulo


60

Actividad 9

Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada

Verificar que el aacuterea satisface que 2

b aA

donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida

de la altura trazada sobre dicho lado

Actividad 10

Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro

Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea

Actividad 11

Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono

Actividad 12

Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular

Actividad 13

Construir un cubo


American Educational Research Association American Psychological Association y National Council

Measurement in Education (2018) Estaacutendares para Pruebas Educativas y Psicoloacutegicas (M

Lives Trans) American Educational Research Association

Fernaacutendez F (23 de febrero 2018) La evaluacioacuten y su importancia en la educacioacuten [blog]

httpseducacionnexoscommxp=1016

Geogebra (2020) Geogebra- Aplicaciones matemaacuteticas [Sitio Web] httpswwwgeogebraorg

Martiacutenez R (2005) Psicometriacutea Teoriacutea de los tests psicoloacutegicos y educativos Editorial Siacutentesis

Martiacutenez F (2008) El dossier de aprendizaje Teacutecnica de evaluacioacuten alternativa Cuaderno de docencia

universitaria (3)

httpswww3ujies~betoretFormacionEvaluacionDocumentacionCuaderno20Octoedro2

0320ICE-UB20La20evaluacion20alternativa20de20los20aprendizajespdf

Meneses J Barrios M Bonillo A Cosculluela A Lozano L Turnaby J y Valero S (2013)

Psicometriacutea Editorial UOC


61

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita

fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP

la_prueba_escrita_2011pdf

Anexos

Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21

1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861

Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala

De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a

( ) 59 cm

( ) 43 cm

( ) 43 cm2

( ) 59 cm2

2 Considere la siguiente figura

Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto

1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o

intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el

contenido entre otros


62

iquestCuaacutel es su nombre _________________

Coloree con azul cuatro triaacutengulos

Coloree con verde un cuadrilaacutetero

Coloree con rojo un pentaacutegono

3 Considere el siguiente texto y la figura

Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio

del lado opuesto

El texto dado hace referencia a la definicioacuten de

( ) Mediatriz

( ) Mediana

( ) Altura

( ) Ninguna de las anteriores

3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por

disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute

que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono

regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4

cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita

a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa

Valor 3 puntos

b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada

chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos


63

Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura

Daniel Clark Orey

Universidad Federal de Ouro Preto Brasil

oreydcufopedubr

Milton Rosa


miltonrosaufopedubr

Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido

como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas

representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a

traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una

accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes

en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca

proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos

matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el

escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la

etnomodelacioacuten

Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten

1 Consideraciones Iniciales

Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de

problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por

medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la

etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia

pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas

en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten

criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas

enfrentadas en el cotidiano

Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los

alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)

comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la

resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las

metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en

el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en

detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento

Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar

reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de

situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son

representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de

grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el


64

uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el

patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas

matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)

Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del

establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten

En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el

entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas

necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de

sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales

objetivos de estas dimensiones son

Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como

ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia

realidad

Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos

proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad

Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los

alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los

contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten

inseridos

La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la

comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes

de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando

prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a

estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una

determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas

corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el

objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias

(DrsquoAmbrosio 1990)

Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la

etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes

investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese

entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de

otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con

la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute

relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la

elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos

2 Las etnomatematicas y la modelacion

Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues

abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en


65

entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la

reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y

poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada

La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que

trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis

cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio

1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten

nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas

formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)

En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el

estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el

cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas

matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento

que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que

pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y

acadeacutemicas

La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de

grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del

conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La

modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten

entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos

Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de

representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de

representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico

presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico

desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos

contextos culturales (globales)

Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales

(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre

esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las

etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los

marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos

globales

De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios

geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en

actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre

sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute

relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo

cultural entre los miembros de grupos culturales distintos


66

3 Etnomodelacioacuten

Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para

registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en

diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas

a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento

matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las

id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos

Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que

agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten

relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la

astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos

asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y

elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la

vida cotidiana

Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten

incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas

matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y

transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores

un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y

contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten

Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la

traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese

sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de

modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en

otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se

configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las

etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos

tres campos de estudio


67

Figura 1

Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento

Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)

De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es

considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales

(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa

a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento

matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)

a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)

El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes

de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una

visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo

la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al

interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en

la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo

escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos

culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)

El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas

matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que

las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento

estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales

culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados

en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y

apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)


68

La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten

local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones

compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El

conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de

los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local

b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)

El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres

provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo

cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey

2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de

conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que

fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las

culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)

En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre

diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre

distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local

(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser

comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este

conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y

praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por

observadores externos (Rosa y Orey 2012)

El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los

observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en

particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de

integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de

ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores

externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global

c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)

Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos

eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en

las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se

combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una

perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el

reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del

conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en

contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)

Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de

hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y

locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los


69

estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas

aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales

(Rosa y Orey 2017a)

En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la

interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y

globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la

aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos

culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)

De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la

inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad

social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar

una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las

poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas

sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de

las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de

grupos culturales distintos

4 Indicadores Descriptivos Culturales

De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el

concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas

que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores

descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y

sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado

histoacutericamente por la humanidad

a) Artefactos

Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales

necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes

Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en

la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias

matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas

aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo

del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en

contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)

Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la

tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus

necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)

Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones

teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de

tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten

agriacutecola


70

b) Mentefactos

Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en

generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos

indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo

miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje

matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de

grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos

Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero

valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo

individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos

culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones

cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad

humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se

miden otros aspectos culturales

De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de

conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base

del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen

los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis

c) Sociofactos

Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que

influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y

matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con

viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son

consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las

normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las

instituciones poliacuteticas

Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las

familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en

los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades

socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social

con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras

familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales

Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos

porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten

relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa

(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida

cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el

perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus

identidades culturales


71

Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo

escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la

etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la

humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del

curriacuteculo matemaacutetico

5 Consideraciones Finales

Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas

matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de

ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un

enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural

a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)

Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas

matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y

transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser

documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas

matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten

ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un

conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y

justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa

para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por

la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar

Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una

perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de

distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la

comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto

mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto

es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social

la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes

que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el

respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)

Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los



En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico

que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde

dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute

relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los

miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico


72

asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas

pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes

en todo el contexto sociocultural de los alumnos

Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los

sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las

formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo

la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la

etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten

en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos

culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos

resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo

cultural


Bassanezi R C (2002) Ensino-aprendizagem com modelagem matemaacutetica Contexto

DrsquoAmbrosio U (1990) Etnomatemaacutetica Aacutetica

DrsquoAmbrosio U (2001) Etnomatemaacutetica elo entre as tradiccedilotildees e a modernidade Autecircntica

Eglash R (2006)Culturally situated designed tools ethnocomputing from field site to

classroom American Anthropologist 108(2) 347-362

Huxley J S (1955) Evolution cultural and biological en W L Thomas Jr (Ed) Yearbook

of Anthropology (pp 2ndash25) University of Chicago Press

Rosa M (2010) A mixed-method study to understand the perceptions of high school leaders

about English language Learners (ELLs) the case of mathematics [Doctorate

Dissertation California State University] CSUS

Rosa M y Orey D C (2003) Vinho e queijo etnomatemaacutetica e modelagem BOLEMA

16(20) 1-16

Rosa M y Orey D C (2010) Ethnomodeling an ethnomathematical holistic tool

Academic Exchange Quarterly 14(3) 191-195

Rosa M Orey D C (2012) O campo de pesquisa em etnomodelagem as abordagens

ecircmica eacutetica e dialeacutetica Educaccedilatildeo e Pesquisa 38(4) 865-879

Rosa M y Orey D C (2017a) Influecircncias etnomatemaacuteticas em salas de aula caminhando

para a accedilatildeo pedagoacutegica Appris


73

Rosa M y Orey D C (2017b) Etnomodelagem a arte de traduzir praacuteticas matemaacuteticas

locais Livraria da Fiacutesica

Saaresranta T (2011) Perspectivas hacia una educacioacuten intracultural en el contexto indiacutegena

originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143


74

Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a

nuestras clasesrdquo

PhD Carlos L Chanto Espinoza

Universidad Nacional de Costa Rica

carloschantoespinozaunacr

Msc Marlene Duraacuten Loacutepez


marleneduranlopezunacr

Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts

como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la

innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia

en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en

las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor

y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay

profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la

participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar

diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su

parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta

educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse

Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla

nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el

estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se

ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo

Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital

1 Introduccioacuten

Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y

Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo

que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas

filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet

Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez

es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un

100 por ciento en su modalidad de aprendizage

La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de

la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan

servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas

Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los

alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir

clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas


75

que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje

de una manera dinaacutemica e interactiva

Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad

para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial

Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes

capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas

2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases

En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica

de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan

muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin

mencionar el manejo de alguna segunda lengua

La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas

busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener

un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando

junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten

brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo

Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios

para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos

aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y

transmitirlardquo (paacuterr3)

Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de

informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas

informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es

significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un

mejor rendimiento y eficiencia de estas

Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos

que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su

desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten

amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el

estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip

uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la

posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la

accioacuten educativardquo (p 15)

En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la

utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten

de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de

que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir


76

La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir

la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el

aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe

aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer

comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo

(paacuterr7)

Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la

tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas

basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar

tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales

y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)

En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible

y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose

(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional

hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas

como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas

otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y

respuestas humanas

Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de

los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las

necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las

nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya

sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o

auxiliaresrdquo

De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el

campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades

en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples

sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global

De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por

dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas

para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el

sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia

3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC

Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que

la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos

Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y

precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos

interactivos que consienten edificar el conocimiento


77

Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash

aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas

educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que

existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones

presenciales

Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases

eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos

incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta

innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio

de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en

videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y

exaacutemenes en liacutenea

Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas

razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr

sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como

asistir al trabajo o atender a sus familias

La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases

tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada

diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi

imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo

establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que

hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)

La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de

los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los

educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a

cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet

Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el

modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado

Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es

una parte vital de ellardquo (paacuterr1)

Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente

este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer

una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le

encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa

4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda

La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante

los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten

general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten


78

entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de

cada uno

No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso

educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que

hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea

En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha

brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y

facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria

La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la

educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un

pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo

Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una

separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)

El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar

el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y

requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un

entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas

Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante

actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser

eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas

Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado

dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje

es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las

actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC

El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos

documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute

complementa la lectura

El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha

transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea

de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un

examen virtual desde la comodidad de la casa

Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de

ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades

Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un

buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden

adquirir al exceder el uso y mal uso de estas


79

5 Conclusiones

El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda

alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario

sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten

educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente

se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten

tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje

informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen

tengan que desaparecer

Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos

sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo

el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte

de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten

en progreso ha sido exitosa

Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y

perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes

metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir

que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC

para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial

Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-

aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los

programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de

Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar

cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos


Almenara J (2007) Las nuevas tecnologiacuteas en la Sociedad de la Informacioacuten Hernaacutendez

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81

Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear

matemaacuteticas

Marcela Garciacutea Borboacuten

Universidad Nacional Costa Rica

marcelagarciaborbonunaaccr

Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez


jchaunaaccr

Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde


mgavarreteunaaccr

Margot Martiacutenez Rodriacuteguez


mmartiunaaccr

Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas

formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica

en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a

docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de

matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento

De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros

(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original

El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de

la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades

matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios

Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el

Ministerio de Educacioacuten en sus programas

Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo

cultural

1 Objetivos

Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las

direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la

ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria

2 Fundamentacioacuten teoacuterica

El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en

2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas

metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de

docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la

educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una

respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la

educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten


82

de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos

basados en la realidad cercana

Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales

de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en

cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica

elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea

Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos

primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura

material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar

en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de

interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con

el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten

Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas

involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo

de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en

distintos ambientes

Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las

seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en

este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar

La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar

el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de

conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se

trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del

espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones

que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute

a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas

y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto

Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la

descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo

et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen

y manipulan las representaciones mentales del espacio

Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar

doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro

elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de

la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales

y distancias con respecto a otro lugar

Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las

Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente

en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en


83

el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada

por cada cultura a partir de sus necesidades

3 Metodologiacutea de trabajo

El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas

localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica

como un signo cultural de nuestro paiacutes

Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten

Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con

el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo

del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con

la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio

pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los

maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en

Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca

de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como

la Geografiacutea y los Estudios sociales

A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales

como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que

se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas

referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede

influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones

Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma

virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que

logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore

nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas

de referencia

En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad

(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el

propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con

la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto

como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este

signo cultural


84

Figura 1

Croquis de la comunidad

La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para

desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades

(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se

presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento

Figura 2

Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro

Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen

una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del

espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)


85

Figura 3

Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en

un plano como un modelo matemaacutetico

La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute

al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como

iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa

iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados

iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados

popularmente

4 Planificacioacuten del taller

A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute

como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)

Tabla 1

Actividades a realizar

Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado

Presentacioacuten y

Conceptos

fundamentales

Contextualizacioacuten

activa localizacioacuten

pensamiento espacial

distancia estimacioacuten

direccioacuten

Acceso a la

plataforma Zoom

10 minutos

Anote la direccioacuten

exacta de su casa

Puntos de referencia

puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

10 minutos


86

Utilizando otro

punto de referencia

anote de nuevo la

direccioacuten exacta de

su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

6 minutos

Verifique la

estimacioacuten de

medidas y direccioacuten

del desplazamiento

de las direcciones

de las Actividades 1

y 2

Puntos cardinales

medicioacuten

Google maps Waze u

otra aplicacioacuten similar

de localizacioacuten

10 minutos

Reflexioacuten sobre

elementos

matemaacuteticos

presentes en la

ubicacioacuten en el

espacio

Distancia puntos

cardinales rectas

paralelas ubicacioacuten

espacial sistemas de

referencia

Carpeta Drive

compartida con los

participantes

8 minutos

Elaboracioacuten de un

croquis del pueblo

Distancia puntos

cardinales rectas


espacial

Papel laacutepices

teleacutefono para hacer la

fotografiacutea

15 minutos

Dibujar dos

trayectorias

diferentes para

desplazarse de un

lugar a otro

Paint u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos

Cambie el origen hellip Google maps Waze u


de localizacioacuten Paint

u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos

Socializacioacuten Carpeta Drive

compartida con los

participantes

11 minutos


87


Bishop A J (1999) Enculturacioacuten Matemaacutetica Paidoacutes

Gallo Mesa O Gutieacuterrez Mesa J Jaramillo Loacutepez C Monsalve Posada O Muacutenera

Coacuterdoba J Obando Zapata G Posada Balvin F Silva Restrepo G y Vanegas

Vasco M (2006) Moacutedulo 4 Pensamiento Espacial y Sistemas Geomeacutetricos

Universidad de Antioquiacutea

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) Programas de Estudio de Matemaacuteticas Reforma

Curricular en Eacutetica Esteacutetica y Ciudadaniacutea Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de la

Repuacuteblica de Costa Rica

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2013) Programas de Estudio Estudios Sociales y

Educacioacuten Ciacutevica Primero y Segundo Ciclos de la Educacioacuten General Baacutesica

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de la Repuacuteblica de Costa Rica

Oliveras ML (1996) Etnomatemaacuteticas Formacioacuten de profesores e innovacioacuten curricular

Comares


88

Homotecias con GeoGebra


Liceo de Poaacutes Costa Rica

grethelramirezgomezgmailcom

Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la

tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y

especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones

sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio

conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar

con las diferentes actividades propuestas

Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten

1 Introduccioacuten

Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute

pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea

ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en

el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica

(2012)

El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten

validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las

respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis

de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y

congruencia de triaacutengulos

Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los

minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos

comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando

como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples

que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo

La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas

informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan

obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la

sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)

Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo

del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca

obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la

herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la

participacioacuten


89

2 Desarrollo del taller

En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una

homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de

inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la

homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas

figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor

de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez

se produjeron varias inquietudes

iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia

iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras

iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para

mantener el intereacutes del tema

Figura 1

Construccioacuten simple de un cuadrado

Nota Fuente elaboracioacuten propia

Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y

sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los

pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)

pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de

esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a

rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda

se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la

necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta


90

Figura 2

Figura con homotecia de escala entre cero y uno


Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio

de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es

donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo

sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)

Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje

adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de

secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose

dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y

observando lo mismo y cumpliendo el objetivo


91

Figura 3

Homotecia con factor de escala negativo


De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre

no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar

con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste

al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)

Figura 4

Homotecia con imagen



92

Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la

manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el

incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado

Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e

incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el

caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice

Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto

interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al

reveacutes

Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien

nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando

asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica

Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que

somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes

de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por

lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue

maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los

ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias

lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema

3 Conclusiones

El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa

disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una

herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de

geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a

nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute

mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como

una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado

Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del

conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala


93

para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras

una vez aplicadas los factores escala

El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos

facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el

conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y

se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje

Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener

presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos

como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una

comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la

experiencia


Barahona F Barrera O Vaca B e Hidalgo B (2015) GeoGebra para la ensentildeanza de la

matemaacutetica y su incidencia en el rendimiento acadeacutemico estudiantil Revista

Tecnoloacutegica - ESPOL 28(5)

httprteespoleduecindexphptecnologicaarticleview429

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) Programa de Estudio de Matemaacuteticas I II III

Ciclos de la Educacioacuten General Baacutesica y Ciclo Diversificado Ministerio de

Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica


94

Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y

formacioacuten del profesorado

Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo

Universidad Surcolombiana Colombia

eliasamorteguiuscoeduco

Juan Felipe Herrera Polaniacutea


felipepolania19gmailcom

Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta

y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha

desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de

organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico

fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de

ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes

experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-

Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales

y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos

el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su

ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes

Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado

experiencias educativas

1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad

Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial

principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a

acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas

amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital

importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin

embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de

biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los

diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes

estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en

investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros

(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han

imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso

A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de

Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de

todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo

en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por

uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que

posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de

los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute


95

biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales

son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un

porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)

Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas

las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes

ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez

2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de

paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es

importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la

Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad

Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en

diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente

emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el

disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor

fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales

2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad

Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel

epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales

solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera

directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y

profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten

vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros

contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007

Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes

heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas

guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)

De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes

de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el

Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico

(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el

Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del

Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)

encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya

relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado

a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de

docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento

bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el

Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto

Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo

profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se


96

interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las

mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es

la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales

(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes

que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea

viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del

profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico

Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes

estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal

razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones

debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)

reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas

finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad

3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten

En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta

de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la

proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho

del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia

gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes

Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por

factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo

anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas

ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan

garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia

Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la

conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la

conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible

MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de

programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran

mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales

maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos

de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que

promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede

relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia

trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos

Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea

de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes

haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)


97

El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto

que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas

lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica

resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con

base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la

conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de

acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado

proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia

bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)

Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente

por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas

tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados

por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales

predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores

criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para

promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las

razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no

carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas

series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes

que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento

bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes

puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia

eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados

con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a

partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)

Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de

preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas

debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso

relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones

referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de

distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la

importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que

esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009

Almeida et al 2017)

Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la

conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar

diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr

diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este

tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la

construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas

criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva


98

relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el

quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)

4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos

Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante

destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de

ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable

valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta

ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas

obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en

entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y

Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten

generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia

necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009

Amoacutertegui y Correa 2012)

A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de

estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un

nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes

desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y

en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios

especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza

(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de

las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos

relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones

sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que

es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente

a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y

aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea

El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de

problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la

contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes

este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el

conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante

y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la

participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-

ambiental (Banet 2010)

Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que

se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las

aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos

(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas

de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no

carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje


99

favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de

actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al

2014)

Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la

Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los

uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas

didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos

de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos

(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios

(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto

permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia

ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la

amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido

realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la

construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas

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Universidad San Isidro Labrador Costa Rica

Ronaldcomegmailcom

Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =

(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin

35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de

la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +

1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =

(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊

35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil

en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea

Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler

1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros

primos)

Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que

contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que

diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en

la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que

la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y

Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto

por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de

1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia

(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII

Otra frase que lo afirma dice

El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en

queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no

tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes

grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten

siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003

mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)

Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una

foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o

por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean

consecutivos


105

En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros

primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar

nuacutemeros primos grandes

Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta

ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus

2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de

encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de

polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son

generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un

procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos

2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783

Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los

nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223

251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033

1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601

cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros

primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este

poliomio se le llama polinomio de Euler

Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los

nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40

Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =

0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie

Legendre

Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el

Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute

en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute

cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo

lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro

2004 paacuterr1)


106

3 Los nuacutemeros afortunados de Euler

Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar

un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para

coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales

El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =

0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos

nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros

del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica

Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163

Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =

minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos

posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163

4 Aplicaciones del teorema

41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ

Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊

ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten

de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =

minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901

Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los

polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre

un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten

1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)

Aplicacioacuten 1

Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41

119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904

rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus

(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)

rArr 119875(1215) = 35797


107

Por otro lado

119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901

rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269

Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos

Aplicacioacuten 2

Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces

rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904

rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +

(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41

rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +

1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41

rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47

rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901

Por otro lado

119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast

277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41

rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +

(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41

= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)


108

Se necesitariacutea un ordenador para probar que

2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros

primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes

Aplicacioacuten 3

Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5


rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus

1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499

Por otro lado

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1500 800) = 1438208851501

Ahora


119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast

299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =

1438208851501 lowast 128577882900087005

Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto

Aplicacioacuten 4

119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que

119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +

11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast

33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos

Aplicacioacuten 5

119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que

119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast

34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1

= 48992509494599562853310298151


109

= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y

10642288263263 son nuacutemeros primos

Aplicacioacuten 6

119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1

= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros

primos

Aplicacioacuten 7

119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +

453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde

1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos

Aplicacioacuten 8

Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que

119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131

Sea 119896 = 8 entonces

119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349

rArr 119899 = 4612494805381

Luego

119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +

(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y

2030653873 son primos

Observemos que

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873

con 119899 = 4612494805381

Aplicacioacuten 9

Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten

119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348

119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493


110

119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211

El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)

119901(119904119909) o utilizando la foacutermula

119875(119899)

119875(119904119909)=

499455493

7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +

41 = 69263

Ademaacutes

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263

Aplicacioacuten 10

Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten

119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783

119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851



119875(119899)

119875(119904 119909)=

130399348783

59851= 2178733

119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733

Asiacute

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733

Aplicacioacuten 11

Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41

119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten

119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156


111

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533

Entonces

119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651



119875(119899)

119875(119904 119909)=

1113355239533

10651= 104530583

O tambieacuten

119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583

Luego

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583

5 La Criba de los 119951 Cordero

Tenemos que


donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ

Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la

paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)

Figura 1

Paraacutebola


112

Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos

119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901

119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901

O sea da el mismo valor

El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)

Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus

2119909 + 119901

Definimos el conjunto de funciones

119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901

Resolver la inecuacioacuten

119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +

2119886 + 119901

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [

O tambieacuten

[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1

2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ

Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el

intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos

51 Aplicaciones

Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =

1 119896 = 1 119910 119901 = 41

119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481

minus20 le 119909 le 22

Obtenemos

119899

= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481

Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten


113

Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481

minus13 le 119909 le 14

Obtenemos

119899

= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271

291312 334357 381 406 432 459

Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481

minus10 le 119909 le 11

Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242

255 283 298 330 347 383 402 442 463


minus8 le 119909 le 9

119899

= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460



119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477



119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431


119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431




119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427



114


119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480



119899 = 409410 428 431 467 472



119899 = 450 451 471474



119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466



119899 = 407 416418 445 449

Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481

La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se

puede observar en la Figura 2

Figura 2

Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos


115

En total obtenemos los valores para 119899

4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136

138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204

205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249

251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289

291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328

329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373

374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420

421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466

467471 472 473474 477 480 481

En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros

compuestos

Cribando estos nuacutemeros obtenemos

01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32

33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64

66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99

100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129

131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157

158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192

193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224

225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262

263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297

303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333

335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362

363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397

398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434

435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462

464 465 468 469 470 475 476 478 479

En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un

nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son

4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503

547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447

15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347

3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443

5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161

9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697

12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333

17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093


116

22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763

28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347

33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841

40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547

49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923

57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473

70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847

81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597

95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047

104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033

120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847

128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793

142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883

155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197

171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371

187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403

200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947

215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961

O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros

compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos

En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande

es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961

Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o

nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la

criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar

programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten

necesaria a nivel personal como a nivel mundial


Aznar E (2007) Leonhard Euler Matemaacutetico (1707 Basilea Suiza 1783 San Petersburgo

Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm

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httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml


117

Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de

Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta

Licda Charlene Loacutepez Quesada

Universidad de Costa Rica

charlenelopezucraccr

Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina


luismejiasmolinaucraccr

Licda Jennifer Tatiana Quesada

Canales


jenniferquesadacanalesucraccr

Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de

sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea

de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos

al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor

docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades

presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica

Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas

juegos programa de estudios matemaacutetica

1 Introduccioacuten

El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por

esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades

amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos

adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las

Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)

Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de

sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria

educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de

quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo

(Blanco 2009)

Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero

03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de

alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica

educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto

transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo

Superior de Educacioacuten 2017)

Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja

social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se

evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como

privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)


118

El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la

educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de

educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten

dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito

Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite

a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la

educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica

El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las

habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la

mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten

directa docente en el aulardquo (p 14)

Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de

Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se

colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que

dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como

pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la

proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio

El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste

en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera

independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se

decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para

cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los

estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en

esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales

Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)

propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de

interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de

Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)

mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento

Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas

al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta

a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor

parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense

Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica

de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia

matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar

sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar

habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera

que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten


119

Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de

estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los

estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover

formas diferentes de pensamiento

Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a

los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo

cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin

importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas

necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un

mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social

Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra

evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse

en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de

enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha

importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones

complejas de la vida cotidiana

De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero

dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para

realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como

ejercicios de reforzamiento de los conocimientos

2 Propuesta metodoloacutegica

La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten

Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se

ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica

La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de

Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones

presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el

moacutedulo de trabajo en clase

La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante

donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo

durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos

de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de

los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia

tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)

La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes

de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de

esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el

moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de


120

la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada

moacutedulo mencionado

Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta

Modalidad de la propuesta

- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP

Conocimientos por desarrollar

- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones

Habilidades por desarrollar con la propuesta

- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y

algebraico

- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones

Materiales por utilizar

- Paacuteginas interactivas

- Juego Eslabones y Cadenas

Moacutedulo 1

Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace

httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes

ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen

las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente

ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que

trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que

tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra

opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los

estudiantes que no tienen acceso a internet

El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un

problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la

aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos

A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo

- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los

estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema

contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento

Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el


121

contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no

ejercicios

- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran

necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar

teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas

- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los

que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y

encontrar teacuterminos de una sucesioacuten

Moacutedulo 2

Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente

donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen

situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden

interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente

institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto

se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten

A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas

Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de

explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con

el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo

Juego Eslabones y Cadenas


- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)

- Disentildeo de las pizarras

- Papel cartulina tamantildeo carta

- Impresora (o acceso a una)

- Plaacutestico

- Tijeras o guillotina

- Marcadores de pizarra

Pasos por seguir

- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina

- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde

se hagan emplasticados para un mejor acabado)


122

- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al

final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)

numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten

- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras

Instrucciones del juego

Significado de las cartas de accioacuten

- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero

o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es

la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador

- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador

Objetivo del juego

- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar

en orden

Las tres misiones son

- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres

cartas con el mismo color

- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro


- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco


Antes de comenzar

Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo

Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera

misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo

en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera

carta de la pila de descarte

Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar

queacute necesitan para completar la misioacuten

Desarrollo del juego

El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de

los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una

carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las

siguientes acciones


123

- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la

misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]

que va de dos en dos

- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo

antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador

- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten

Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte

Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente

misioacuten

Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca

abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra

completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las

pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899

representa el valor de la carta en la posicioacuten

Variantes en el juego

- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y

segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede

jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones

- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la

cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones


- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del

juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes

sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente

las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede

decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo

pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse

de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones

- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido

defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se

conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando

alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego

cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice

la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada

equipo para que vayan completando las tablas

En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la

segunda carta


124

Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten

que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo

Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear

una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten

- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar

las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y

de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes

situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo

extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para

que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten

A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio

para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute

la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema

Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al

lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren

realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee

a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo

Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece

ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con

las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de

un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)

Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor

queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les

ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo

consigo el que va en la posicioacuten 97

Moacutedulo 3

Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace

httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de

reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la

visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y

movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer

poacutester interactivo


- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un

video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones

- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de

ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos


125

para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso

de aprendizaje de las sucesiones

3 Conclusioacuten

En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el

MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica

de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad

Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera

que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de

educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario

sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad

ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo

Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las

letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas

los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar

satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un

adecuado disentildeo de la misma

Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de

estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco

tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables

entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de

evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un

autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida

especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP

sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades

de cada modalidad de estudio

Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze

Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento

de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye

que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas

de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean

entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el

desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase

Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de

evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios

en la propuesta

Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen

insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico


126

Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin

embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones

maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la

falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica

En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el

programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a

pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del

aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los

docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se

presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar

sea mayoritariamente trabajado en la propuesta

Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se

destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por

lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la

analogiacutea de la TSD

Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el

programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades

planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada

debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten

tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con

el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten

fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los

estudiantes que les impidieron estudiar para la clase

Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las

consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron

incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que

podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo

esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta

Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica

planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones

en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el

MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el

cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las

sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la

motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones


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permanente para todos httpsunesdocunescoorgark48223pf0000245656_spa


128

Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno

privado

Jennifer Aragoacuten Monge

Universidad Estatal a Distancia Costa Rica

jaragonunedaccr

Paulina Coto Mata


pcotomunedaccr

Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los

docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron

muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso

educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar

estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado

y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la

informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones

socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se

muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas

Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las

Matemaacuteticas

1 Introduccioacuten

Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar

centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron

las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos

como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de

ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos

Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a

pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron

a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes

despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual

Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los

docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado

superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad

El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos

aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a

algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas

que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios


129

2 Colegio Mariacutea Inmaculada

21 Contexto Institucional

El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de

Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la

educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea

Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de

la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)

Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean

ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante

bien

Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con

muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en

el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar

cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas

22 La evolucioacuten de las clases

Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea

claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas

el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la

plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la

paacutegina web El Comercio (2020)

Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad

de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales

como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes

cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada

la pandemia del coronavirus (paacuterr3)

Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas

por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los

estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban

teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era

unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas

por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada

A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera

video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar

la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los

estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar

grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje


130

En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas

usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo

tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva

se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por

grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos

conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual

lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes

que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para

los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre

ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad

Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la

plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se

pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la

administracioacuten

Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales

en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante

23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada

En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente

en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se

ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por

grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a

equivocarse y que su duda quede grabada en un video

Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del

psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la

clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente

de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia

como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases

Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula

virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial

y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por

una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo

no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora

la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)

En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por

los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos

sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa

Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido

Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y

recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera


131

se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional

que se veniacutea aplicando

Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El

docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio

Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano

tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales

que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual

Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de

PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su

realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro

archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen

No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los

medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a

aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla

En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la

prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar

que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso

educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores

propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)

Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje

La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo

los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar

de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar

anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos

Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A

continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica

Figura 1

Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica


132

Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los

padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente

adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante

descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el

Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios

de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar

lo sobrecargos de labores

3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica

31 Unidad Pedagoacutegica San Diego

Contexto Institucional

La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de

La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y

secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450

estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos

Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente

de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel

universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes

principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de

alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto

porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no

gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet

La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen

un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas

donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los

joacutevenes

32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual

El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a

partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de

agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras

pruebas escritas del primer trimestre

Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook

del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se

pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las

pruebas escritas con toda normalidad

Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las

aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos

de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un


133

acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo

mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo

Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los

estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio

de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los

estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)

Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde

los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase

(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de

mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes

online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)

Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre

son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y

ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera

independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las

dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia

Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego

Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para

conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los

resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y

constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora

o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales

En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo

con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles

es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto

debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en

general no cargan

Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es

no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5

lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor

determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran

intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso

real por parte de los encargados legales en todo este proceso

Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente

matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no

estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras

que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo

este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo


134

Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar

en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten

educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten

Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas

las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la

ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)

Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes

estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la

necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se

hacen video llamadas para explicar un determinado tema

Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla

es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la

docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a

la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute

lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona

en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso

Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y

alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto

personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una

actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del

alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los

estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales

formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre

un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los

conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)

A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando

Whastapp

Figura 2

Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp


135

Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la

imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos

no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean

adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en

los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el

estudiante construya su propio conocimiento

Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento

matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde

eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje

que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten

Puacuteblica 2012 p37)

La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una

calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se

les proponiacutean en la GTA

4 Conclusiones y recomendaciones

De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se

puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues

no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos

necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos

que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que

se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa

Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera

podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos

Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos

responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si

estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo

esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo

Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la

importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta

y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial

desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que

no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas

habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si

se estuviera en forma presencial

Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en

una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas

tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo

Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de

trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten


136

Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la

informacioacuten


Aragoacuten J [Jenny Aragon] (2020a noviembre 19) Ejemplo de una clase virtual participativa

[Video]Youtube httpsyoutube8IqLR4nlLO8

Aragoacuten J [Jenny Aragon] (2020b noviembre 20) Extraclase de Matemaacuteticas Deacutecimos antildeos 2020

[Video] httpsyoutube8IqLR4nlLO8

Baena A Ruiz P (Ed) (2019) Metodologiacuteas activas en ciencias de la educacioacuten volumen 1

Editorial Wanceulen

Colegio Mariacutea Inmaculada (2020) Nuestra misioacuten

httpwwwmariainmaculadaedcrmoravianosotros

El comercio (2020) iquestQueacute es Google Classroom y para queacute sirve esta herramienta

httpselcomercioperespuestasquegoogle-classroom-que-es-para-que-se-utiliza-y-cuales-

son-sus-ventajas-google-g-suite-aplicaciones-educacion-en-linea-revtli-noticiaref=ecr

Martiacutenez J (2020) Estos son los beneficios de usar Teams en Secundaria Recuperado de

httpswwweducaciontrespuntocerocomexperienciasestos-son-beneficios-teams-

secundaria

Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica [MEP] (2012) Programas de Estudio de Matemaacuteticas I II y III

Ciclos de la Educacioacuten General Baacutesica y Ciclo Diversificado

httpswwwmepgocrsitesdefaultfilesprogramadeestudioprogramasmatematicapdf

Monzoacuten M (2018) Evaluacioacuten del aprendizaje un recorrido epistemoloacutegico Revista de Ciencias

de la Educacioacuten Academucis 1(6)12-24

httpwwwiceuabjomxmedia15201704Art6_2pdf

Suarez B (2018) WhatsApp su uso educativo ventajas y desventajas Revista de Investigacioacuten en

Educacioacuten 6(2) 121 ndash 135

httpreinedwebsuvigoesindeyt5xphpreinedartic2018leview342386


137

Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver

problemas estocaacutesticos


Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica

gramirezitcraccr

Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la

herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web

gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la

representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es

baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva

solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos

del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad

geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas

Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad

1 Introduccioacuten

En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la

probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos

en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede

aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos

de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional

Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan

su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo

matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea

Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve

como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos

como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten

Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en

Espantildea entre otros

La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute

una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde

el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y

el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones

El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una

herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el

acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y

entonces tomar decisiones


138

Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg

Requerimientos del taller

Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea

2 Actividades

21 Simulacioacuten de autobuses

Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada

cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la

posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno

que te lleve a tu destino

Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software

Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro

autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)

Asiacute

Figura 1

Creacioacuten de la distribucioacuten


a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco

con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten


139

Figura 2

Simulacioacuten del primer experimento


En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino

b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras

en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino

c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no

Figura 3

Cuenta eacutexitos


d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el

nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a

la estacioacuten pudo ir a su destino


140

Figura 4

Probabilidad de eacutexito


e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la

cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total

de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten

pudieron ir a su destino

Solucioacuten teoacuterica

Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera

aleatoria

119883~119861 (119899 = 5 119901 =1

4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por

119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5

119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1

4)

1198965

119896=1

(3

4)

5minus119896

=781

1024asymp 0762695

22 Encuentro entre amigos

Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno

de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan

16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren

a Arrastre una tabla con las siguientes columnas


141

Figura 5

Definicioacuten de variables


b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8

y las 9

Figura 6

Tiempo de llegada de los amigos


c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos

d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada

Figura 7

Diferencias en tiempos de llegada


e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica

de que los dos amigos se encuentren


142

iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren

iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante


23 Torres de Electricidad

Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A

y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta

severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y

es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea

eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D

despueacutes de una tormenta severa o que no haya

a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC

LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD

b Asigne a cada atributo la foacutermula


143

Figura 8



Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un

defecto en la Liacutenea

Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados

d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de

la siguiente forma

Figura 9

Electricidad en el pueblo D



144

Otras opciones

if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))

if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))

if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))

Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D

Figura 10

Graacutefico de frecuencias del pueblo D


iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o

que no haya



145

Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =

07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)

24 Los signos del zodiaco

Problema 1

Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el

mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es

igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad

a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software

b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute


146

Figura 10



c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco

con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione

START para iniciar la animacioacuten

En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del

zodiaco

d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas

con el mismo signo del zodiaco Asiacute


147

Figura 11

Tienen mismo signo


Se define la foacutermula en MismoSigno

if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +

if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =

Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1

1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1

0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +

if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)

e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas

tengan el mismo signo del Zodiaco


148

Figura 12

Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal



Sean

X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco

seleccionadas

el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco

seleccionadas


149

Problema 2

Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un

grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute

El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso

a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona

que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute

Figura 13

Tienen signo Caacutencer


b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella

tenga signo Caacutencer


150

Figura 12

Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer



Sean


seleccionadas


seleccionadas


151

25 El banco

Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de

clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una

liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se

atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en

la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente

Minuto Nuacutemero de clientes

que llegan

Nuacutemero de clientes

esperando en liacutenea

Tiempo de espera

para la uacuteltima

persona (minutos)

1 3 1 1

2 4 3 2

1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos

2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10

3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero

4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos

5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de

ventanillas

a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas

Figura 13

Creacioacuten de variables


En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco

b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto

c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en

cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco

por minuto Asiacute


152

Figura 14

Personas que arriban al banco por minuto


d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula

asignada a NumClientesenLinea

Figura 15

Personas hacen fila


e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la

foacutermula


153

Figura 16

Tiempo en la fila de la uacuteltima persona


f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora

g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos

iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas


Biehler R et al (2013) Technology for enhancing statistical reasoning at the school level

En Clements M et al (Ed) Third international handbook of mathematics education

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designed technology enhanced learning communities (pp 25-37) Springer

The Concord Consortium (2019) CODAP [Software] httpscodapconcordorg


154

Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano


Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica

guillermobrenestenciomepgocr

Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de

retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII

Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial

1 iquestQueacute se entiende por retrato

El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011

Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato

forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida

por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada

2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea

eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite

hispanoamericana

2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales

Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes

Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los

detalles

Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo

Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las

cualidades fiacutesicas morales y sociales

Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de

trascender

Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los

conventos femeninos


155

3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano

31 Retratos de virreyes

El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo

Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo

del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer

con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la

dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos

del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o

sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble

linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)

Figura 1

Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada

Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII

Nota Museo Colonial de Bogotaacute


156

32 Retratos de damas de la elite virreinal

Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis

(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela

china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel

social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata

realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente

tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y

el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)

Figura 2

Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis

marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII



157

33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica

El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute

representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso

traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de

madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad

religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La

imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe

y de una vida religiosa presuntamente ejemplar

Figura 3

Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo

sobre tela Siglo XVIII

Nota Museo de Bellas Artes de Boston


158

34 Retratos de monjas coronadas

Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales

de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin

2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute

(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un

almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la

muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo

de pureza de la fenecida (Figura 4)

Figura 4

Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII

Nota Anoacutenimo


159

4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip

41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz

La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran

inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de

la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido

bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en

una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena

ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj

(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)

Figura 5

Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de

Soumaya

Nota Anoacutenimo


160

42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz

Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa

fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash

convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso

y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario

siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)

Figura 6

Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo

XVIII

Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico


161

43 Don Antonio Caballero y Goacutengora

Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue

flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute

(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una

medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y

bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su

poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda

del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos

inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora

Figura 7

Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara

Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII



162

44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel

La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza

una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de

perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la

que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel

es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de

notable familia neogranadina (Figura 8)

Figura 8

Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa

Clara de Bogotaacute

Nota Anoacutenimo


163

5 Conclusiones

1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el

uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la

figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad

poliacutetica y militar)

2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo

cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y

raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas

3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor

evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros

4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos

y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)

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colectiva en una sociedad en transicioacuten Cataacutelogo de la Exposicioacuten Instituto

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164

Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear

problemas de modelizacioacuten matemaacutetica

Karen Porras Lizano

Universidad Nacional Ministerio de

Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica

Karenporraslizanounaaccr

Gilberto Chavarriacutea Arroyo


gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr

Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral

del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de

gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue

siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades

para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas

adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea

donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede

servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo

propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica

permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades

cognitivas superiores

Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten

secundaria

1 Introduccioacuten

En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y

comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben

aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de

la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de

ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como

praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un

papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados

de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento

juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el

conocimiento que se construye

Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia

por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la

matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini

2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales

y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten

y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo


165

habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y

Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)

En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del

proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana

2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de

modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de

ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de

modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las

preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el

modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)

2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica

En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el

antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de

educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de

Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de

la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso

con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo

nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas

conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)

planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)

Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas

perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo

coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura

matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco

transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de

modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten

del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo

matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten

matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la

solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten

En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del

problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema

creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia

como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades

estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su

propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o

interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)

A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de

problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y

construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las


166

estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los

conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el

problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su

vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha

alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento

que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que

reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas

Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al

ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes

incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad

imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los

procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica

motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en

el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y

profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas

entre otros

3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas

La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo

de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el

potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y

variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con

modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya

habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros

Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se

pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)

situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los

estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los

estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a

cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un

problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes

de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos

Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el

profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo

elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes

y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes

de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de

preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas

semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar

pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar

motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas


167

En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el

profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo

de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto

recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre

o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la

informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se

requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes

El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del

estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes

que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto

matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas

Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo

las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante

Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes

pueden realizar durante la tarea

4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas

Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos

creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de

planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten

Figura 1

Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas

Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya

habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad

directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa

porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de

seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de

proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos

conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal

tabular graacutefica y algebraica

Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras

la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con

los precios de estos productos construye un problema de tal manera

que involucre a la vez el IVA


168

Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se

necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes

fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria

Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de

educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten

puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute

en la prueba piloto

Figura 2

Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa

En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para

simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del

tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea

comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como

impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo

porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede

involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes

como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando

una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se

expone la invencioacuten del estudiante


169

Figura 3

Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa

En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el

planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas

por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten

desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y

organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan

estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia

y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera

verdadera

En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra

generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial

de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera

transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos

precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA

utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la

regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser

un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico

numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios

del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del

problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una

revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final

del problema


170

Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y

experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten

significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el

profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes

de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros

impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes

5 Conclusiones

El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la

modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes

en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos

del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas

matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen

un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que

ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con

el planteamiento de problemas

Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades

y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas

oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado

matemaacutetico en contextos escolares


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2

XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XII Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad

(2020 octubre 13-17 Costa Rica) - Cartago Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2021

171 paacuteginas

ISBN 978-9930-541-86-9

1 Matemaacutetica 2 Educacioacuten 3 Ciencias 4 Tecnologiacutea 5 Sociedad

Lic Carlos Alberto Monge Madriz

Editor


3


Presentacioacuten 5






(XXI CONCITES) 22




















CONCITES) 94





4







137





(XII FIMAT) 164



5

Presentacioacuten







Costa Rica


esfuerzos























6

Patrocinaron



Alcances






Programa
















Brasil








7














Aacutelbum de fotos

























8


















9





jose03pcggmailcom













1 Introduccioacuten






















10









entre otros






























11















41 Curvas








120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ

42 Superficies





119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2




anteriormente


12








(dos dimensiones)


Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Circunferencias

Elipses

Aacutengulos

Figura 1




Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Planos


y esferas)

Aacutengulos





13

Figura 2

Vista 3D - GeoGebra











Figura 3

Comandos de curvas






14

Figura 4




5

Figura 5








15

Figura 6












el cono truncado





16

Figura 7








Figura 8

Cortes en el cono



17








Figura 9










18

Figura 10








Figura 11








19


Figura 12

Cono parametrizado



Figura 13








20

Figura 14



8 Conclusiones

























21




22






Costa Rica

gdal5hotmailcom



Costa Rica

neyfren11gmailcom











1 Introduccioacuten




















23































conceptual

2 Meacutetodos










24











































25



Figura 1





























26


inmediatas

Figura 2



























27

Figura 3




























28



















6 Conclusioacuten






la temaacutetica













29





el aula











y Ciencias







cadapdf







428


Troya


21(53) 103-112


30


queacute




















1 Introduccioacuten














31

Figura 1



Figura 2








32

Figura 3


















a llevarlo a cabo











33

Figura 4








cualquier proceso







el individuo



agua


Masavolumendensidad




34


estado


conductor del calor









2 Objetivos






otras









3 El taller










35



























Figura 5



36




4 Conclusioacuten































Agradecimientos






37





Education 11(5) 481-490











(Extra) 115-122


38




hgzalvaradogmailcom










educativa TICs TACs

1 Introduccioacuten




















39

























conocimiento
















40






















Tulio Salazar











41

Figura 1




















Figura 2



42




Figura 3




















el arte de educar

7 Conclusiones




43

















Apeacutendices



44




45














1 Introduccioacuten






(Nakamatsu 2012)










asignatura






estudiantes


46
































Corchuelo (2018)








47











(12) hombres




Tabla 1


Unidad Detalle



















48












especies diferentes

Figura 1















49

Figura 2














Figura 3



50










Tabla 2






inorgaacutenica

Dicotoacutemica









Dicotoacutemica



Dicotoacutemica




Dicotoacutemica



Abierta









51




Figura 4










4 Conclusiones



manera efectiva



Agradecimientos







52





















53





erojasqunedaccr

Eric Padilla Mora


epadillaunedaccr
















1 Introduccioacuten










54
































Actividad 1






55





















Actividad 2





Actividad 3











56




II Parte



Actividad 1




Actividad 2
















57

Figura 1




Actividad 3



Menuacute principal



58

Figura 2




Actividad 4


Figura 3




59




Actividad 5


respectivamente










Actividad 6



Actividad 7




Actividad 8


triaacutengulo


60

Actividad 9



b aA



Actividad 10



Actividad 11


Actividad 12


Actividad 13

Construir un cubo










universitaria (3)






61




Anexos





( ) 59 cm

( ) 43 cm

( ) 43 cm2

( ) 59 cm2







62







del lado opuesto


( ) Mediatriz

( ) Mediana

( ) Altura








Valor 3 puntos




63


Daniel Clark Orey


oreydcufopedubr

Milton Rosa


miltonrosaufopedubr










etnomodelacioacuten
























64













realidad






inseridos






















65
















acadeacutemicas

















globales








66














vida cotidiana
















67

Figura 1

























68









































69



(Rosa y Orey 2017a)





















a) Artefactos















agriacutecola


70

b) Mentefactos


















c) Sociofactos






















71








































72












cultural













16(20) 1-16








73






74

























1 Introduccioacuten















75







































76






(paacuterr7)












respuestas humanas






auxiliaresrdquo
















77





presenciales



































78


cada uno




































79

5 Conclusiones



































80























81


matemaacuteticas






jchaunaaccr



mgavarreteunaaccr



mmartiunaaccr














cultural

1 Objetivos













82
















distintos ambientes

























83


























de referencia






signo cultural


84

Figura 1






Figura 2






85

Figura 3








popularmente




Tabla 1



Presentacioacuten y

Conceptos

fundamentales





direccioacuten

Acceso a la

plataforma Zoom

10 minutos


exacta de su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

10 minutos


86

Utilizando otro

punto de referencia

anote de nuevo la


su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

6 minutos

Verifique la

estimacioacuten de


del desplazamiento

de las direcciones


y 2

Puntos cardinales

medicioacuten

Google maps Waze u



10 minutos


elementos

matemaacuteticos

presentes en la


espacio

Distancia puntos

cardinales rectas



referencia

Carpeta Drive

compartida con los

participantes

8 minutos


croquis del pueblo

Distancia puntos

cardinales rectas


espacial

Papel laacutepices


fotografiacutea

15 minutos

Dibujar dos

trayectorias

diferentes para

desplazarse de un

lugar a otro


imaacutegenes

10 minutos




u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos


compartida con los

participantes

11 minutos


87














Comares


88












1 Introduccioacuten





(2012)



















participacioacuten


89













Figura 1












90

Figura 2













91

Figura 3







Figura 4




92









reveacutes











3 Conclusiones











93











experiencia










94











































95










































96








































97


































Almeida et al 2017)









98











































99



2014)



















4812-a54f-5362379662c640sessionmgr101














httpsdoiorg1010800261976820151113252




100


httpsdoiorg101017S0814062600000823






85(4) 26-453 httpsdoiorg101002sce1017






httpsdoiorg1010800892793620171270584



235-245 httpsdoi1012973ijese2014213








7(13) 165 ndash 175












101



Tierra 19(1) 39-47


Caldasia 33(2)2-5























978-958-8896-36-6










102










Science 269 347-350





314 DOI 1010800021926620161217910























103



DOI 101016jbiocon201405027






101007s10972-009-9131-1








Ediciones


104




Ronaldcomegmailcom











primos)




















consecutivos


105














251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033

1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601








Legendre






2004 paacuterr1)


106























Aplicacioacuten 1

Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41



(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1


rArr 119875(1215) = 35797


107

Por otro lado



Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269


Aplicacioacuten 2






1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41


Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1



Por otro lado




Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)


(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41



108




Aplicacioacuten 3

Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5



1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499

Por otro lado

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1500 800) = 1438208851501

Ahora



299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =

1438208851501 lowast 128577882900087005


Aplicacioacuten 4





Aplicacioacuten 5

119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que


34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1

= 48992509494599562853310298151


109



Aplicacioacuten 6




primos

Aplicacioacuten 7

119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +

453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde


Aplicacioacuten 8


119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131



rArr 119899 = 4612494805381

Luego




Observemos que


con 119899 = 4612494805381

Aplicacioacuten 9


Solucioacuten


119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493


110

119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211



119875(119899)

119875(119904119909)=

499455493


41 = 69263

Ademaacutes

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263

Aplicacioacuten 10

Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten


119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783




119875(119899)

119875(119904 119909)=

130399348783

59851= 2178733


Asiacute

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733

Aplicacioacuten 11


119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten



111

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533

Entonces




119875(119899)

119875(119904 119909)=

1113355239533

10651= 104530583

O tambieacuten


Luego

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583


Tenemos que





Figura 1

Paraacutebola


112







2119909 + 119901



Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901



2119886 + 119901

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [

O tambieacuten

[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1

2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ




51 Aplicaciones


1 119896 = 1 119910 119901 = 41

119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481

minus20 le 119909 le 22

Obtenemos

119899

= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481



113


minus13 le 119909 le 14

Obtenemos

119899

= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271

291312 334357 381 406 432 459


minus10 le 119909 le 11

Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242

255 283 298 330 347 383 402 442 463



119899

= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460



119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477



119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431


119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431




119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427



114


119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480



119899 = 409410 428 431 467 472



119899 = 450 451 471474



119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466



119899 = 407 416418 445 449




Figura 2



115


4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136

138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204

205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249

251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289

291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328

329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373

374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420

421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466

467471 472 473474 477 480 481


compuestos


01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32

33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64

66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99

100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129

131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157

158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192

193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224

225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262

263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297

303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333

335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362

363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397

398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434

435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462

464 465 468 469 470 475 476 478 479



4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503

547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447

15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347

3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443

5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161

9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697

12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333

17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093


116

22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763

28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347

33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841

40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547

49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923

57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473

70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847

81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597

95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047

104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033

120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847

128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793

142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883

155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197

171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371

187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403

200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947

215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961




es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
















117










Canales











1 Introduccioacuten










(Blanco 2009)












118









































119








































120










algebraico





Moacutedulo 1



















121


ejercicios







Moacutedulo 2

















- Plaacutestico



Pasos por seguir





122











Objetivo del juego


en orden








Antes de comenzar












siguientes acciones


123









misioacuten




























segunda carta


124


























Moacutedulo 3













125



3 Conclusioacuten
































en la propuesta




126









































127





f









Matemaacuteticas


pdf






128


privado



jaragonunedaccr

Paulina Coto Mata


pcotomunedaccr











Matemaacuteticas

1 Introduccioacuten


















129










bien




























130














administracioacuten



























131



























Figura 1



132

























joacutevenes














133



























general no cargan













134



























Whastapp

Figura 2



135









































136


informacioacuten







Editorial Wanceulen








secundaria











137





gramirezitcraccr










1 Introduccioacuten























138




2 Actividades









Asiacute

Figura 1






139

Figura 2







Figura 3

Cuenta eacutexitos






140

Figura 4









aleatoria

119883~119861 (119899 = 5 119901 =1


119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5

119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1

4)

1198965

119896=1

(3

4)

5minus119896

=781

1024asymp 0762695







141

Figura 5




y las 9

Figura 6





Figura 7






142















143

Figura 8







la siguiente forma

Figura 9




144

Otras opciones





Figura 10




que no haya



145




Problema 1







146

Figura 10







zodiaco




147

Figura 11

Tienen mismo signo












148

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


149

Problema 2






Figura 13






150

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


151

25 El banco







que llegan



Tiempo de espera

para la uacuteltima

persona (minutos)

1 3 1 1

2 4 3 2






ventanillas


Figura 13







por minuto Asiacute


152

Figura 14





Figura 15

Personas hacen fila



foacutermula


153

Figura 16


















154















hispanoamericana




detalles





trascender


conventos femeninos


155











Figura 1





156









Figura 2





157









Figura 3





158









Figura 4


Nota Anoacutenimo


159










Figura 5


Soumaya

Nota Anoacutenimo


160







Figura 6


XVIII



161










Figura 7





162








Figura 8



Nota Anoacutenimo


163

5 Conclusiones












Bibliografiacutea




Criacutetica


Cultura








Colonial





164



Karen Porras Lizano



















secundaria

1 Introduccioacuten


















165










































166
















entre otros


























167




















Figura 1















168







en la prueba piloto

Figura 2













169

Figura 3









verdadera













del problema


170







5 Conclusiones























Matemaacutetica






162


171






Erlbaum Associates

























3


Presentacioacuten 5






(XXI CONCITES) 22




















CONCITES) 94





4







137





(XII FIMAT) 164



5

Presentacioacuten







Costa Rica


esfuerzos























6

Patrocinaron



Alcances






Programa
















Brasil








7














Aacutelbum de fotos

























8


















9





jose03pcggmailcom













1 Introduccioacuten






















10









entre otros






























11















41 Curvas








120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ

42 Superficies





119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2




anteriormente


12








(dos dimensiones)


Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Circunferencias

Elipses

Aacutengulos

Figura 1




Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Planos


y esferas)

Aacutengulos





13

Figura 2

Vista 3D - GeoGebra











Figura 3

Comandos de curvas






14

Figura 4




5

Figura 5








15

Figura 6












el cono truncado





16

Figura 7








Figura 8

Cortes en el cono



17








Figura 9










18

Figura 10








Figura 11








19


Figura 12

Cono parametrizado



Figura 13








20

Figura 14



8 Conclusiones

























21




22






Costa Rica

gdal5hotmailcom



Costa Rica

neyfren11gmailcom











1 Introduccioacuten




















23































conceptual

2 Meacutetodos










24











































25



Figura 1





























26


inmediatas

Figura 2



























27

Figura 3




























28



















6 Conclusioacuten






la temaacutetica













29





el aula











y Ciencias







cadapdf







428


Troya


21(53) 103-112


30


queacute




















1 Introduccioacuten














31

Figura 1



Figura 2








32

Figura 3


















a llevarlo a cabo











33

Figura 4








cualquier proceso







el individuo



agua


Masavolumendensidad




34


estado


conductor del calor









2 Objetivos






otras









3 El taller










35



























Figura 5



36




4 Conclusioacuten































Agradecimientos






37





Education 11(5) 481-490











(Extra) 115-122


38




hgzalvaradogmailcom










educativa TICs TACs

1 Introduccioacuten




















39

























conocimiento
















40






















Tulio Salazar











41

Figura 1




















Figura 2



42




Figura 3




















el arte de educar

7 Conclusiones




43

















Apeacutendices



44




45














1 Introduccioacuten






(Nakamatsu 2012)










asignatura






estudiantes


46
































Corchuelo (2018)








47











(12) hombres




Tabla 1


Unidad Detalle



















48












especies diferentes

Figura 1















49

Figura 2














Figura 3



50










Tabla 2






inorgaacutenica

Dicotoacutemica









Dicotoacutemica



Dicotoacutemica




Dicotoacutemica



Abierta









51




Figura 4










4 Conclusiones



manera efectiva



Agradecimientos







52





















53





erojasqunedaccr

Eric Padilla Mora


epadillaunedaccr
















1 Introduccioacuten










54
































Actividad 1






55





















Actividad 2





Actividad 3











56




II Parte



Actividad 1




Actividad 2
















57

Figura 1




Actividad 3



Menuacute principal



58

Figura 2




Actividad 4


Figura 3




59




Actividad 5


respectivamente










Actividad 6



Actividad 7




Actividad 8


triaacutengulo


60

Actividad 9



b aA



Actividad 10



Actividad 11


Actividad 12


Actividad 13

Construir un cubo










universitaria (3)






61




Anexos





( ) 59 cm

( ) 43 cm

( ) 43 cm2

( ) 59 cm2







62







del lado opuesto


( ) Mediatriz

( ) Mediana

( ) Altura








Valor 3 puntos




63


Daniel Clark Orey


oreydcufopedubr

Milton Rosa


miltonrosaufopedubr










etnomodelacioacuten
























64













realidad






inseridos






















65
















acadeacutemicas

















globales








66














vida cotidiana
















67

Figura 1

























68









































69



(Rosa y Orey 2017a)





















a) Artefactos















agriacutecola


70

b) Mentefactos


















c) Sociofactos






















71








































72












cultural













16(20) 1-16








73






74

























1 Introduccioacuten















75







































76






(paacuterr7)












respuestas humanas






auxiliaresrdquo
















77





presenciales



































78


cada uno




































79

5 Conclusiones



































80























81


matemaacuteticas






jchaunaaccr



mgavarreteunaaccr



mmartiunaaccr














cultural

1 Objetivos













82
















distintos ambientes

























83


























de referencia






signo cultural


84

Figura 1






Figura 2






85

Figura 3








popularmente




Tabla 1



Presentacioacuten y

Conceptos

fundamentales





direccioacuten

Acceso a la

plataforma Zoom

10 minutos


exacta de su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

10 minutos


86

Utilizando otro

punto de referencia

anote de nuevo la


su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

6 minutos

Verifique la

estimacioacuten de


del desplazamiento

de las direcciones


y 2

Puntos cardinales

medicioacuten

Google maps Waze u



10 minutos


elementos

matemaacuteticos

presentes en la


espacio

Distancia puntos

cardinales rectas



referencia

Carpeta Drive

compartida con los

participantes

8 minutos


croquis del pueblo

Distancia puntos

cardinales rectas


espacial

Papel laacutepices


fotografiacutea

15 minutos

Dibujar dos

trayectorias

diferentes para

desplazarse de un

lugar a otro


imaacutegenes

10 minutos




u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos


compartida con los

participantes

11 minutos


87














Comares


88












1 Introduccioacuten





(2012)



















participacioacuten


89













Figura 1












90

Figura 2













91

Figura 3







Figura 4




92









reveacutes











3 Conclusiones











93











experiencia










94











































95










































96








































97


































Almeida et al 2017)









98











































99



2014)



















4812-a54f-5362379662c640sessionmgr101














httpsdoiorg1010800261976820151113252




100


httpsdoiorg101017S0814062600000823






85(4) 26-453 httpsdoiorg101002sce1017






httpsdoiorg1010800892793620171270584



235-245 httpsdoi1012973ijese2014213








7(13) 165 ndash 175












101



Tierra 19(1) 39-47


Caldasia 33(2)2-5























978-958-8896-36-6










102










Science 269 347-350





314 DOI 1010800021926620161217910























103



DOI 101016jbiocon201405027






101007s10972-009-9131-1








Ediciones


104




Ronaldcomegmailcom











primos)




















consecutivos


105














251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033

1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601








Legendre






2004 paacuterr1)


106























Aplicacioacuten 1

Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41



(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1


rArr 119875(1215) = 35797


107

Por otro lado



Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269


Aplicacioacuten 2






1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41


Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1



Por otro lado




Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)


(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41



108




Aplicacioacuten 3

Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5



1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499

Por otro lado

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1500 800) = 1438208851501

Ahora



299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =

1438208851501 lowast 128577882900087005


Aplicacioacuten 4





Aplicacioacuten 5

119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que


34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1

= 48992509494599562853310298151


109



Aplicacioacuten 6




primos

Aplicacioacuten 7

119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +

453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde


Aplicacioacuten 8


119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131



rArr 119899 = 4612494805381

Luego




Observemos que


con 119899 = 4612494805381

Aplicacioacuten 9


Solucioacuten


119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493


110

119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211



119875(119899)

119875(119904119909)=

499455493


41 = 69263

Ademaacutes

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263

Aplicacioacuten 10

Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten


119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783




119875(119899)

119875(119904 119909)=

130399348783

59851= 2178733


Asiacute

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733

Aplicacioacuten 11


119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten



111

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533

Entonces




119875(119899)

119875(119904 119909)=

1113355239533

10651= 104530583

O tambieacuten


Luego

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583


Tenemos que





Figura 1

Paraacutebola


112







2119909 + 119901



Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901



2119886 + 119901

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [

O tambieacuten

[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1

2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ




51 Aplicaciones


1 119896 = 1 119910 119901 = 41

119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481

minus20 le 119909 le 22

Obtenemos

119899

= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481



113


minus13 le 119909 le 14

Obtenemos

119899

= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271

291312 334357 381 406 432 459


minus10 le 119909 le 11

Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242

255 283 298 330 347 383 402 442 463



119899

= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460



119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477



119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431


119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431




119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427



114


119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480



119899 = 409410 428 431 467 472



119899 = 450 451 471474



119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466



119899 = 407 416418 445 449




Figura 2



115


4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136

138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204

205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249

251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289

291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328

329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373

374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420

421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466

467471 472 473474 477 480 481


compuestos


01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32

33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64

66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99

100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129

131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157

158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192

193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224

225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262

263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297

303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333

335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362

363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397

398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434

435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462

464 465 468 469 470 475 476 478 479



4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503

547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447

15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347

3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443

5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161

9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697

12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333

17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093


116

22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763

28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347

33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841

40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547

49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923

57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473

70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847

81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597

95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047

104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033

120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847

128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793

142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883

155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197

171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371

187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403

200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947

215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961




es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
















117










Canales











1 Introduccioacuten










(Blanco 2009)












118









































119








































120










algebraico





Moacutedulo 1



















121


ejercicios







Moacutedulo 2

















- Plaacutestico



Pasos por seguir





122











Objetivo del juego


en orden








Antes de comenzar












siguientes acciones


123









misioacuten




























segunda carta


124


























Moacutedulo 3













125



3 Conclusioacuten
































en la propuesta




126









































127





f









Matemaacuteticas


pdf






128


privado



jaragonunedaccr

Paulina Coto Mata


pcotomunedaccr











Matemaacuteticas

1 Introduccioacuten


















129










bien




























130














administracioacuten



























131



























Figura 1



132

























joacutevenes














133



























general no cargan













134



























Whastapp

Figura 2



135









































136


informacioacuten







Editorial Wanceulen








secundaria











137





gramirezitcraccr










1 Introduccioacuten























138




2 Actividades









Asiacute

Figura 1






139

Figura 2







Figura 3

Cuenta eacutexitos






140

Figura 4









aleatoria

119883~119861 (119899 = 5 119901 =1


119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5

119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1

4)

1198965

119896=1

(3

4)

5minus119896

=781

1024asymp 0762695







141

Figura 5




y las 9

Figura 6





Figura 7






142















143

Figura 8







la siguiente forma

Figura 9




144

Otras opciones





Figura 10




que no haya



145




Problema 1







146

Figura 10







zodiaco




147

Figura 11

Tienen mismo signo












148

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


149

Problema 2






Figura 13






150

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


151

25 El banco







que llegan



Tiempo de espera

para la uacuteltima

persona (minutos)

1 3 1 1

2 4 3 2






ventanillas


Figura 13







por minuto Asiacute


152

Figura 14





Figura 15

Personas hacen fila



foacutermula


153

Figura 16


















154















hispanoamericana




detalles





trascender


conventos femeninos


155











Figura 1





156









Figura 2





157









Figura 3





158









Figura 4


Nota Anoacutenimo


159










Figura 5


Soumaya

Nota Anoacutenimo


160







Figura 6


XVIII



161










Figura 7





162








Figura 8



Nota Anoacutenimo


163

5 Conclusiones












Bibliografiacutea




Criacutetica


Cultura








Colonial





164



Karen Porras Lizano



















secundaria

1 Introduccioacuten


















165










































166
















entre otros


























167




















Figura 1















168







en la prueba piloto

Figura 2













169

Figura 3









verdadera













del problema


170







5 Conclusiones























Matemaacutetica






162


171






Erlbaum Associates

























4







137





(XII FIMAT) 164



5

Presentacioacuten







Costa Rica


esfuerzos























6

Patrocinaron



Alcances






Programa
















Brasil








7














Aacutelbum de fotos

























8


















9





jose03pcggmailcom













1 Introduccioacuten






















10









entre otros






























11















41 Curvas








120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ

42 Superficies





119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2




anteriormente


12








(dos dimensiones)


Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Circunferencias

Elipses

Aacutengulos

Figura 1




Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Planos


y esferas)

Aacutengulos





13

Figura 2

Vista 3D - GeoGebra











Figura 3

Comandos de curvas






14

Figura 4




5

Figura 5








15

Figura 6












el cono truncado





16

Figura 7








Figura 8

Cortes en el cono



17








Figura 9










18

Figura 10








Figura 11








19


Figura 12

Cono parametrizado



Figura 13








20

Figura 14



8 Conclusiones

























21




22






Costa Rica

gdal5hotmailcom



Costa Rica

neyfren11gmailcom











1 Introduccioacuten




















23































conceptual

2 Meacutetodos










24











































25



Figura 1





























26


inmediatas

Figura 2



























27

Figura 3




























28



















6 Conclusioacuten






la temaacutetica













29





el aula











y Ciencias







cadapdf







428


Troya


21(53) 103-112


30


queacute




















1 Introduccioacuten














31

Figura 1



Figura 2








32

Figura 3


















a llevarlo a cabo











33

Figura 4








cualquier proceso







el individuo



agua


Masavolumendensidad




34


estado


conductor del calor









2 Objetivos






otras









3 El taller










35



























Figura 5



36




4 Conclusioacuten































Agradecimientos






37





Education 11(5) 481-490











(Extra) 115-122


38




hgzalvaradogmailcom










educativa TICs TACs

1 Introduccioacuten




















39

























conocimiento
















40






















Tulio Salazar











41

Figura 1




















Figura 2



42




Figura 3




















el arte de educar

7 Conclusiones




43

















Apeacutendices



44




45














1 Introduccioacuten






(Nakamatsu 2012)










asignatura






estudiantes


46
































Corchuelo (2018)








47











(12) hombres




Tabla 1


Unidad Detalle



















48












especies diferentes

Figura 1















49

Figura 2














Figura 3



50










Tabla 2






inorgaacutenica

Dicotoacutemica









Dicotoacutemica



Dicotoacutemica




Dicotoacutemica



Abierta









51




Figura 4










4 Conclusiones



manera efectiva



Agradecimientos







52





















53





erojasqunedaccr

Eric Padilla Mora


epadillaunedaccr
















1 Introduccioacuten










54
































Actividad 1






55





















Actividad 2





Actividad 3











56




II Parte



Actividad 1




Actividad 2
















57

Figura 1




Actividad 3



Menuacute principal



58

Figura 2




Actividad 4


Figura 3




59




Actividad 5


respectivamente










Actividad 6



Actividad 7




Actividad 8


triaacutengulo


60

Actividad 9



b aA



Actividad 10



Actividad 11


Actividad 12


Actividad 13

Construir un cubo










universitaria (3)






61




Anexos





( ) 59 cm

( ) 43 cm

( ) 43 cm2

( ) 59 cm2







62







del lado opuesto


( ) Mediatriz

( ) Mediana

( ) Altura








Valor 3 puntos




63


Daniel Clark Orey


oreydcufopedubr

Milton Rosa


miltonrosaufopedubr










etnomodelacioacuten
























64













realidad






inseridos






















65
















acadeacutemicas

















globales








66














vida cotidiana
















67

Figura 1

























68









































69



(Rosa y Orey 2017a)





















a) Artefactos















agriacutecola


70

b) Mentefactos


















c) Sociofactos






















71








































72












cultural













16(20) 1-16








73






74

























1 Introduccioacuten















75







































76






(paacuterr7)












respuestas humanas






auxiliaresrdquo
















77





presenciales



































78


cada uno




































79

5 Conclusiones



































80























81


matemaacuteticas






jchaunaaccr



mgavarreteunaaccr



mmartiunaaccr














cultural

1 Objetivos













82
















distintos ambientes

























83


























de referencia






signo cultural


84

Figura 1






Figura 2






85

Figura 3








popularmente




Tabla 1



Presentacioacuten y

Conceptos

fundamentales





direccioacuten

Acceso a la

plataforma Zoom

10 minutos


exacta de su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

10 minutos


86

Utilizando otro

punto de referencia

anote de nuevo la


su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

6 minutos

Verifique la

estimacioacuten de


del desplazamiento

de las direcciones


y 2

Puntos cardinales

medicioacuten

Google maps Waze u



10 minutos


elementos

matemaacuteticos

presentes en la


espacio

Distancia puntos

cardinales rectas



referencia

Carpeta Drive

compartida con los

participantes

8 minutos


croquis del pueblo

Distancia puntos

cardinales rectas


espacial

Papel laacutepices


fotografiacutea

15 minutos

Dibujar dos

trayectorias

diferentes para

desplazarse de un

lugar a otro


imaacutegenes

10 minutos




u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos


compartida con los

participantes

11 minutos


87














Comares


88












1 Introduccioacuten





(2012)



















participacioacuten


89













Figura 1












90

Figura 2













91

Figura 3







Figura 4




92









reveacutes











3 Conclusiones











93











experiencia










94











































95










































96








































97


































Almeida et al 2017)









98











































99



2014)



















4812-a54f-5362379662c640sessionmgr101














httpsdoiorg1010800261976820151113252




100


httpsdoiorg101017S0814062600000823






85(4) 26-453 httpsdoiorg101002sce1017






httpsdoiorg1010800892793620171270584



235-245 httpsdoi1012973ijese2014213








7(13) 165 ndash 175












101



Tierra 19(1) 39-47


Caldasia 33(2)2-5























978-958-8896-36-6










102










Science 269 347-350





314 DOI 1010800021926620161217910























103



DOI 101016jbiocon201405027






101007s10972-009-9131-1








Ediciones


104




Ronaldcomegmailcom











primos)




















consecutivos


105














251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033

1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601








Legendre






2004 paacuterr1)


106























Aplicacioacuten 1

Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41



(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1


rArr 119875(1215) = 35797


107

Por otro lado



Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269


Aplicacioacuten 2






1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41


Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1



Por otro lado




Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)


(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41



108




Aplicacioacuten 3

Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5



1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499

Por otro lado

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1500 800) = 1438208851501

Ahora



299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =

1438208851501 lowast 128577882900087005


Aplicacioacuten 4





Aplicacioacuten 5

119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que


34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1

= 48992509494599562853310298151


109



Aplicacioacuten 6




primos

Aplicacioacuten 7

119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +

453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde


Aplicacioacuten 8


119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131



rArr 119899 = 4612494805381

Luego




Observemos que


con 119899 = 4612494805381

Aplicacioacuten 9


Solucioacuten


119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493


110

119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211



119875(119899)

119875(119904119909)=

499455493


41 = 69263

Ademaacutes

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263

Aplicacioacuten 10

Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten


119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783




119875(119899)

119875(119904 119909)=

130399348783

59851= 2178733


Asiacute

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733

Aplicacioacuten 11


119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten



111

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533

Entonces




119875(119899)

119875(119904 119909)=

1113355239533

10651= 104530583

O tambieacuten


Luego

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583


Tenemos que





Figura 1

Paraacutebola


112







2119909 + 119901



Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901



2119886 + 119901

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [

O tambieacuten

[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1

2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ




51 Aplicaciones


1 119896 = 1 119910 119901 = 41

119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481

minus20 le 119909 le 22

Obtenemos

119899

= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481



113


minus13 le 119909 le 14

Obtenemos

119899

= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271

291312 334357 381 406 432 459


minus10 le 119909 le 11

Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242

255 283 298 330 347 383 402 442 463



119899

= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460



119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477



119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431


119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431




119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427



114


119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480



119899 = 409410 428 431 467 472



119899 = 450 451 471474



119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466



119899 = 407 416418 445 449




Figura 2



115


4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136

138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204

205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249

251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289

291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328

329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373

374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420

421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466

467471 472 473474 477 480 481


compuestos


01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32

33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64

66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99

100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129

131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157

158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192

193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224

225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262

263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297

303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333

335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362

363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397

398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434

435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462

464 465 468 469 470 475 476 478 479



4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503

547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447

15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347

3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443

5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161

9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697

12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333

17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093


116

22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763

28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347

33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841

40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547

49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923

57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473

70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847

81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597

95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047

104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033

120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847

128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793

142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883

155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197

171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371

187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403

200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947

215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961




es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
















117










Canales











1 Introduccioacuten










(Blanco 2009)












118









































119








































120










algebraico





Moacutedulo 1



















121


ejercicios







Moacutedulo 2

















- Plaacutestico



Pasos por seguir





122











Objetivo del juego


en orden








Antes de comenzar












siguientes acciones


123









misioacuten




























segunda carta


124


























Moacutedulo 3













125



3 Conclusioacuten
































en la propuesta




126









































127





f









Matemaacuteticas


pdf






128


privado



jaragonunedaccr

Paulina Coto Mata


pcotomunedaccr











Matemaacuteticas

1 Introduccioacuten


















129










bien




























130














administracioacuten



























131



























Figura 1



132

























joacutevenes














133



























general no cargan













134



























Whastapp

Figura 2



135









































136


informacioacuten







Editorial Wanceulen








secundaria











137





gramirezitcraccr










1 Introduccioacuten























138




2 Actividades









Asiacute

Figura 1






139

Figura 2







Figura 3

Cuenta eacutexitos






140

Figura 4









aleatoria

119883~119861 (119899 = 5 119901 =1


119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5

119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1

4)

1198965

119896=1

(3

4)

5minus119896

=781

1024asymp 0762695







141

Figura 5




y las 9

Figura 6





Figura 7






142















143

Figura 8







la siguiente forma

Figura 9




144

Otras opciones





Figura 10




que no haya



145




Problema 1







146

Figura 10







zodiaco




147

Figura 11

Tienen mismo signo












148

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


149

Problema 2






Figura 13






150

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


151

25 El banco







que llegan



Tiempo de espera

para la uacuteltima

persona (minutos)

1 3 1 1

2 4 3 2






ventanillas


Figura 13







por minuto Asiacute


152

Figura 14





Figura 15

Personas hacen fila



foacutermula


153

Figura 16


















154















hispanoamericana




detalles





trascender


conventos femeninos


155











Figura 1





156









Figura 2





157









Figura 3





158









Figura 4


Nota Anoacutenimo


159










Figura 5


Soumaya

Nota Anoacutenimo


160







Figura 6


XVIII



161










Figura 7





162








Figura 8



Nota Anoacutenimo


163

5 Conclusiones












Bibliografiacutea




Criacutetica


Cultura








Colonial





164



Karen Porras Lizano



















secundaria

1 Introduccioacuten


















165










































166
















entre otros


























167




















Figura 1















168







en la prueba piloto

Figura 2













169

Figura 3









verdadera













del problema


170







5 Conclusiones























Matemaacutetica






162


171






Erlbaum Associates

























5

Presentacioacuten







Costa Rica


esfuerzos























6

Patrocinaron



Alcances






Programa
















Brasil








7














Aacutelbum de fotos

























8


















9





jose03pcggmailcom













1 Introduccioacuten






















10









entre otros






























11















41 Curvas








120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ

42 Superficies





119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2




anteriormente


12








(dos dimensiones)


Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Circunferencias

Elipses

Aacutengulos

Figura 1




Puntos

Rectas o segmentos

Poliacutegonos

Planos


y esferas)

Aacutengulos





13

Figura 2

Vista 3D - GeoGebra











Figura 3

Comandos de curvas






14

Figura 4




5

Figura 5








15

Figura 6












el cono truncado





16

Figura 7








Figura 8

Cortes en el cono



17








Figura 9










18

Figura 10








Figura 11








19


Figura 12

Cono parametrizado



Figura 13








20

Figura 14



8 Conclusiones

























21




22






Costa Rica

gdal5hotmailcom



Costa Rica

neyfren11gmailcom











1 Introduccioacuten




















23































conceptual

2 Meacutetodos










24











































25



Figura 1





























26


inmediatas

Figura 2



























27

Figura 3




























28



















6 Conclusioacuten






la temaacutetica













29





el aula











y Ciencias







cadapdf







428


Troya


21(53) 103-112


30


queacute




















1 Introduccioacuten














31

Figura 1



Figura 2








32

Figura 3


















a llevarlo a cabo











33

Figura 4








cualquier proceso







el individuo



agua


Masavolumendensidad




34


estado


conductor del calor









2 Objetivos






otras









3 El taller










35



























Figura 5



36




4 Conclusioacuten































Agradecimientos






37





Education 11(5) 481-490











(Extra) 115-122


38




hgzalvaradogmailcom










educativa TICs TACs

1 Introduccioacuten




















39

























conocimiento
















40






















Tulio Salazar











41

Figura 1




















Figura 2



42




Figura 3




















el arte de educar

7 Conclusiones




43

















Apeacutendices



44




45














1 Introduccioacuten






(Nakamatsu 2012)










asignatura






estudiantes


46
































Corchuelo (2018)








47











(12) hombres




Tabla 1


Unidad Detalle



















48












especies diferentes

Figura 1















49

Figura 2














Figura 3



50










Tabla 2






inorgaacutenica

Dicotoacutemica









Dicotoacutemica



Dicotoacutemica




Dicotoacutemica



Abierta









51




Figura 4










4 Conclusiones



manera efectiva



Agradecimientos







52





















53





erojasqunedaccr

Eric Padilla Mora


epadillaunedaccr
















1 Introduccioacuten










54
































Actividad 1






55





















Actividad 2





Actividad 3











56




II Parte



Actividad 1




Actividad 2
















57

Figura 1




Actividad 3



Menuacute principal



58

Figura 2




Actividad 4


Figura 3




59




Actividad 5


respectivamente










Actividad 6



Actividad 7




Actividad 8


triaacutengulo


60

Actividad 9



b aA



Actividad 10



Actividad 11


Actividad 12


Actividad 13

Construir un cubo










universitaria (3)






61




Anexos





( ) 59 cm

( ) 43 cm

( ) 43 cm2

( ) 59 cm2







62







del lado opuesto


( ) Mediatriz

( ) Mediana

( ) Altura








Valor 3 puntos




63


Daniel Clark Orey


oreydcufopedubr

Milton Rosa


miltonrosaufopedubr










etnomodelacioacuten
























64













realidad






inseridos






















65
















acadeacutemicas

















globales








66














vida cotidiana
















67

Figura 1

























68









































69



(Rosa y Orey 2017a)





















a) Artefactos















agriacutecola


70

b) Mentefactos


















c) Sociofactos






















71








































72












cultural













16(20) 1-16








73






74

























1 Introduccioacuten















75







































76






(paacuterr7)












respuestas humanas






auxiliaresrdquo
















77





presenciales



































78


cada uno




































79

5 Conclusiones



































80























81


matemaacuteticas






jchaunaaccr



mgavarreteunaaccr



mmartiunaaccr














cultural

1 Objetivos













82
















distintos ambientes

























83


























de referencia






signo cultural


84

Figura 1






Figura 2






85

Figura 3








popularmente




Tabla 1



Presentacioacuten y

Conceptos

fundamentales





direccioacuten

Acceso a la

plataforma Zoom

10 minutos


exacta de su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

10 minutos


86

Utilizando otro

punto de referencia

anote de nuevo la


su casa


puntos cardinales

estimacioacuten de

distancia

Carpeta en Drive

compartida con los

participantes

6 minutos

Verifique la

estimacioacuten de


del desplazamiento

de las direcciones


y 2

Puntos cardinales

medicioacuten

Google maps Waze u



10 minutos


elementos

matemaacuteticos

presentes en la


espacio

Distancia puntos

cardinales rectas



referencia

Carpeta Drive

compartida con los

participantes

8 minutos


croquis del pueblo

Distancia puntos

cardinales rectas


espacial

Papel laacutepices


fotografiacutea

15 minutos

Dibujar dos

trayectorias

diferentes para

desplazarse de un

lugar a otro


imaacutegenes

10 minutos




u otro editor de

imaacutegenes

10 minutos


compartida con los

participantes

11 minutos


87














Comares


88












1 Introduccioacuten





(2012)



















participacioacuten


89













Figura 1












90

Figura 2













91

Figura 3







Figura 4




92









reveacutes











3 Conclusiones











93











experiencia










94











































95










































96








































97


































Almeida et al 2017)









98











































99



2014)



















4812-a54f-5362379662c640sessionmgr101














httpsdoiorg1010800261976820151113252




100


httpsdoiorg101017S0814062600000823






85(4) 26-453 httpsdoiorg101002sce1017






httpsdoiorg1010800892793620171270584



235-245 httpsdoi1012973ijese2014213








7(13) 165 ndash 175












101



Tierra 19(1) 39-47


Caldasia 33(2)2-5























978-958-8896-36-6










102










Science 269 347-350





314 DOI 1010800021926620161217910























103



DOI 101016jbiocon201405027






101007s10972-009-9131-1








Ediciones


104




Ronaldcomegmailcom











primos)




















consecutivos


105














251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033

1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601








Legendre






2004 paacuterr1)


106























Aplicacioacuten 1

Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41



(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576

Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1


rArr 119875(1215) = 35797


107

Por otro lado



Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269


Aplicacioacuten 2






1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41


Ahora

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1



Por otro lado




Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)


(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41



108




Aplicacioacuten 3

Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5



1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499

Por otro lado

119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1

rArr 119875(1500 800) = 1438208851501

Ahora



299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005

Por el teorema

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)

rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =

1438208851501 lowast 128577882900087005


Aplicacioacuten 4





Aplicacioacuten 5

119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que


34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1

= 48992509494599562853310298151


109



Aplicacioacuten 6




primos

Aplicacioacuten 7

119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que

119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +

453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde


Aplicacioacuten 8


119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131



rArr 119899 = 4612494805381

Luego




Observemos que


con 119899 = 4612494805381

Aplicacioacuten 9


Solucioacuten


119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493


110

119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211



119875(119899)

119875(119904119909)=

499455493


41 = 69263

Ademaacutes

119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263

Aplicacioacuten 10

Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten


119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783




119875(119899)

119875(119904 119909)=

130399348783

59851= 2178733


Asiacute

119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733

Aplicacioacuten 11


119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)

Solucioacuten



111

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533

Entonces




119875(119899)

119875(119904 119909)=

1113355239533

10651= 104530583

O tambieacuten


Luego

119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583


Tenemos que





Figura 1

Paraacutebola


112







2119909 + 119901



Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901



2119886 + 119901

Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901

119901 119904 119896 ∊ ℕ

119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1

y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [

O tambieacuten

[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1

2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ




51 Aplicaciones


1 119896 = 1 119910 119901 = 41

119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481

minus20 le 119909 le 22

Obtenemos

119899

= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481



113


minus13 le 119909 le 14

Obtenemos

119899

= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271

291312 334357 381 406 432 459


minus10 le 119909 le 11

Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242

255 283 298 330 347 383 402 442 463



119899

= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460



119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477



119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431


119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431




119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427



114


119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480



119899 = 409410 428 431 467 472



119899 = 450 451 471474



119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466



119899 = 407 416418 445 449




Figura 2



115


4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136

138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204

205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249

251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289

291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328

329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373

374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420

421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466

467471 472 473474 477 480 481


compuestos


01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32

33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64

66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99

100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129

131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157

158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192

193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224

225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262

263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297

303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333

335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362

363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397

398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434

435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462

464 465 468 469 470 475 476 478 479



4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503

547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447

15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347

3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443

5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161

9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697

12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333

17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093


116

22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763

28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347

33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841

40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547

49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923

57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473

70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847

81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597

95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047

104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033

120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847

128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793

142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883

155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197

171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371

187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403

200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947

215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961




es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
















117










Canales











1 Introduccioacuten










(Blanco 2009)












118









































119








































120










algebraico





Moacutedulo 1



















121


ejercicios







Moacutedulo 2

















- Plaacutestico



Pasos por seguir





122











Objetivo del juego


en orden








Antes de comenzar












siguientes acciones


123









misioacuten




























segunda carta


124


























Moacutedulo 3













125



3 Conclusioacuten
































en la propuesta




126









































127





f









Matemaacuteticas


pdf






128


privado



jaragonunedaccr

Paulina Coto Mata


pcotomunedaccr











Matemaacuteticas

1 Introduccioacuten


















129










bien




























130














administracioacuten



























131



























Figura 1



132

























joacutevenes














133



























general no cargan













134



























Whastapp

Figura 2



135









































136


informacioacuten







Editorial Wanceulen








secundaria











137





gramirezitcraccr










1 Introduccioacuten























138




2 Actividades









Asiacute

Figura 1






139

Figura 2







Figura 3

Cuenta eacutexitos






140

Figura 4









aleatoria

119883~119861 (119899 = 5 119901 =1


119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5

119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1

4)

1198965

119896=1

(3

4)

5minus119896

=781

1024asymp 0762695







141

Figura 5




y las 9

Figura 6





Figura 7






142















143

Figura 8







la siguiente forma

Figura 9




144

Otras opciones





Figura 10




que no haya



145




Problema 1







146

Figura 10







zodiaco




147

Figura 11

Tienen mismo signo












148

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


149

Problema 2






Figura 13






150

Figura 12




Sean


seleccionadas


seleccionadas


151

25 El banco







que llegan



Tiempo de espera

para la uacuteltima

persona (minutos)

1 3 1 1

2 4 3 2






ventanillas


Figura 13







por minuto Asiacute


152

Figura 14





Figura 15

Personas hacen fila



foacutermula


153

Figura 16


















154















hispanoamericana




detalles





trascender


conventos femeninos


155











Figura 1





156









Figura 2





157









Figura 3





158









Figura 4


Nota Anoacutenimo


159










Figura 5


Soumaya

Nota Anoacutenimo


160







Figura 6


XVIII



161










Figura 7





162








Figura 8



Nota Anoacutenimo


163

5 Conclusiones












Bibliografiacutea




Criacutetica


Cultura








Colonial





164



Karen Porras Lizano



















secundaria

1 Introduccioacuten


















165










































166
















entre otros


























167




















Figura 1















168







en la prueba piloto

Figura 2













169

Figura 3









verdadera













del problema


170







5 Conclusiones























Matemaacutetica






162


171






Erlbaum Associates
























libro de memorias xii festival internacional de

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