Capítulo 1

Oscilador Armónico Simple

Oscilaciones.

Como se mencionó antes, la onda puede ser descrita como una perturbación que se propaga a través de un

medio, transportando energía de un lugar a otro. El medio puede ser la materia (en sus tres estados) o el vacío. Los

elementos constituyentes del medio (partículas, átomos, moléculas) realizarán movimientos vibratorios u

oscilatorios alrededor de su posición de equilibrio en respuesta a la perturbación. El medio se comporta como un

continuo de osciladores, acoplados entre sí. Las características físicas que describen a las ondas pueden ser

determinadas observando el comportamiento de estos elementos. Al describir su movimiento, estaremos

describiendo la perturbación que lo produjo.

En la naturaleza encontramos innumerables ejemplos de movimiento oscilatorio: el movimiento de los

electrones en una antena receptora o transmisora, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de los átomos de

un sólido alrededor de su punto de inserción en la red. Los anteriores son ejemplos de osciladores armónicos.

Iniciaremos el estudio del movimiento oscilatorio con el análisis de los sistemas físicos más sencillos: los

osciladores armónicos simples. En la figura 1.1 se muestran algunos de estos sistemas.

Figura 1.1 Osciladores armónicos simples: (a) Péndulo simple; (b) Circuito LC; (c) Sistema masa-resorte; (d) Carga negativa restringida a moverse en el eje del

anillo cargado;(e) Péndulo de torsión.

Todos estos sistemas físicos tienen en común las siguientes características: 1) Al ser ligeramente desplazados de su

posición de reposo o de equilibrio, experimentan una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento y

que actúa intentando regresarlos a su posición de equilibrio; 2) Están representados por una ecuación diferencial de

segundo orden cuya estructura matemática es idéntica y, por lo tanto, su solución es una función que representa el

comportamiento de todos los sistemas citados; 3) Están constituidos, en general, por tres elementos: a) elementos

de inercia, b) elementos de rigidez y c) elementos de disipación. El elemento de inercia almacena y libera energía

cinética; el elemento de rigidez almacena y libera energía potencial y el elemento de disipación o amortiguamiento,

es el responsable de que el sistema pierda energía.

La figura 1.2 muestra la gráfica de la Fuerza restauradora en función de la posición. Para oscilaciones pequeñas, la

curva se aproxima a una recta cuya pendiente es dxdF .

1

Figura 1.2: Fuerza restauradora en función de la posición.

Nótese la linealidad para desplazamientos pequeños.

kdx

dF−= ; k = constante. Ec (1.1)

la pendiente negativa significa que el sentido de la fuerza aplicada y el desplazamiento son opuestas.

Reescribiendo e integrando la ecuación anterior, nos queda: ∫∫ −=x

x

F

0 equi

dx.kdF Y resolviendo obtenemos la

expresión de la fuerza proporcional al desplazamiento, es decir, la fuerza restauradora.

)xx(k)x(Fequi

−−=

; Ec (1.2)

equix es la posición de equilibrio En la figura 1.2 0x

equi=

La acción de esta fuerza restauradora da origen al más sencillo de los movimientos oscilatorios: el Movimiento

Armónico Simple (MAS).

Tomemos uno de estos sistemas físicos, por ejemplo, una cuerpo de masa m unido a un resorte de

constante de elasticidad k (también llamada rigidez). El otro extremo del resorte está fijo a una pared. Supondremos

que la masa del resorte es despreciable frente a m, el cuerpo está restringido a moverse en la dirección x y no hay

fuerzas disipativas actuando sobre él (ver figura 1.3).

Figura 1.3: Sistema masa-resorte

Si desplazamos la masa separándola de su posición de equilibrio una cantidad x, la fuerza restauradora que

actúa sobre la masa viene dada por la Ley de Hooke, que establece que la fuerza es proporcional al estiramiento del

resorte o, lo que es lo mismo, igual al desplazamiento que realiza la masa medido desde su posición de equilibrio. En

forma vectorial, )xx(k)x(Fequi

−−= Ec.(1.3)

De esta forma, si x>xequi la fuerza apunta en sentido negativo, y tiende a reducir la posición de la masa,

dada por x, para que recupere su posición de equilibrio. Si x<xeq la fuerza apunta en sentido positivo, y tiende a

empujar la masa hacia valores de x más grandes, de modo que se acerque a su posición de equilibrio.

2

En la figura 4 se muestra el sistema masa-resorte para tres casos: a) resorte sin deformar; b) resorte

comprimido y c) resorte estirado. Por conveniencia escogimos xequi=0

Figura 1.4: Sistema masa-resorte. a) en equilibrio; b) y c) situación dinámica.

la única fuerza horizontal que actúa sobre la masa es la que ejerce el resorte. En el eje vertical, los módulos del peso

gm

y la fuerza normal N

son iguales y su suma es cero, por tanto no hay movimiento en ese eje.

La ecuación de movimiento de la masa se obtiene de aplicar las leyes de la dinámica.

∑ =xx

maF .

2

x 2

d xa x

dt= = , es la aceleración en el eje x.

Sustituyendo la fuerza y la aceleración anterior obtenemos la ecuación diferencial:

kx mx− = k

x x 0m

+ = Ec.(1.4)

Observamos que el término mk tiene las unidades de inverso de tiempo al cuadrado

2

22s

s

1

kgms

mkg −==××

×

Ya que estamos analizando un sistema oscilatorio, deberemos relacionar el término anterior con la

frecuencia de la oscilación, la cual tiene unidades de s-1, por lo que el término mk tiene unidades de frecuencia al

cuadrado. La frecuencia está relacionada con el período T (tiempo durante el cual el sistema realiza una oscilación

completa) a través de las siguientes relaciones:

1f

T= ; Frecuencia (a veces llamada Frec. lineal)

T

2f2

π=π=ω ; Frecuencia angular Ec.(1.5)

Utilizaremos la ecuación (1.5), por ser la más apropiada para describir el comportamiento oscilatorio. (En la

sección 1.2 quedará justificado el uso deω ).

; La frecuencia ωωωω es llamada frecuencia natural de oscilación.

En el resto del libro será denominada ωωωω0.

2 k

mω =

3

Al sustituir en la ecuación (1.4) obtenemos la ecuación del Oscilador Armónico Simple (OAS)

Ec.(1.6)

La ecuación (1.6) es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes

constantes. La solución de esta ecuación es una función que representa el comportamiento del oscilador armónico

simple.

Antes de proceder a resolver la ecuación del OAS, veamos algunos ejemplos de otros sistemas oscilatorios

ideales.

Ejemplo 1. Oscilador Vertical:

Los principios desarrollados para un sistema masa-resorte horizontal, también son válidos para un cuerpo

que cuelga de un resorte vertical (fig.5). Aquí el peso gm

del cuerpo estirará al resorte hasta una nueva posición de

equilibrio equi

y .

Figura 1.5 Oscilador vertical. (a) Resorte sin estirar; (b) Sistema en equilibrio; (c) Condición dinámica

La figura 1.5.a muestra un resorte sin estirar. En la figura 1.5.b se cuelga el cuerpo y se lleva lentamente

hacia abajo, hasta que llegue a la posición en la cual está en equilibrio. La figura 1.5.c es la condición dinámica, en la

cual se comprime (o estira) el resorte. Aplicando las leyes de la dinámica:

y equiF (y) k(y y ) mg my= − − − =∑ Ec. 1.7

Como mgkyequi

= , la ecuación (1.6) queda

k

y y 0m

+ = . Llamando 2

0 k mω = obtenemos la ecuación del OAS

2

0y y 0+ ω = ;

Ejemplo 2. Péndulo simple:

Un péndulo simple es un sistema ideal que consiste en un cuerpo de masa m suspendido de una cuerda, sin

masa e inextensible, de longitud l. En la figura 1.6 tenemos una representación del péndulo simple. Al separar la

masa de su posición de equilibrio ( 0≠θ ) y soltarla, el péndulo comenzará a oscilar en el plano, alrededor de su

posición de equilibrio y bajo la acción de la gravedad. Lo primero que debemos hallar es la fuerza restauradora que

trata de volverlo al equilibrio.

2

0x x 0+ ω =

4

Figura 1.6 Péndulo simple

Observamos que las fuerzas que actúan sobre la masa son el peso

mg y la tensión de la cuerda

T . La

trayectoria que describe la masa es un arco de circunferencia de radio l por lo que es conveniente descomponer el

peso en una componente radial, cuyo módulo es mg cos(θ), y una componente tangencial, cuyo módulo es mg

sen(θ) . La componente radial es la responsable de que la masa describa la trayectoria curvilínea y la componente

tangencial es la fuerza restauradora que actúa sobre m obligándola a regresar a su posición de

equilibrio. )(senmgFtan

θ⋅−= Εc.(1.8)

el signo menos indica que la fuerza se opone al movimiento en la dirección del incremento de θ.

La ecuación (1.6) no es proporcional al desplazamiento de la masa (relacionado con el incremento o

decremento angular), sino al seno del ángulo, con lo cual el movimiento resultante no es un MAS. Sin embargo, para

oscilaciones pequeñas (θ pequeños), ( )θ ≅ θsen y ( ) ( )θ ≅ θsen tan . La tabla 1.1 muestra estos valores.

Tabla 1.1

Para oscilaciones pequeñas, el desplazamiento es casi una trayectoria rectilínea.

5

Podemos sustituir sen(θ) por x/l en la ecuación (1.6), y obtenemos una fuerza restauradora proporcional al

desplazamiento.

l

xmgF

tan−=

Aplicando las leyes de la dinámica

x

mg mxl

− = Ec.(1.7)

Observamos que el término lmg tiene las mismas unidades que el coeficiente de rigidez k del sistema masa-

resorte.

22

s

kg

ms

mkg=

×

×, ⇒

l

g.mk =

De la ecuación (1.7) obtenemos la ecuación de movimiento del OAS

2

0x x 0+ ω = , con l

g2

0=ω .

Al analizar la expresión anterior, podemos deducir que la frecuencia del péndulo aumentará (disminuirá) si

disminuye (aumenta) su longitud.

Ejemplo 3. Circuito LC:

Para el análisis del circuito LC de la figura 7, utilizaremos las leyes de Kirchoff.

Figura 1.7 Circuito LC ideal (sin elementos resistivos).

Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV)

LC

VV = Ec.(1.8)

Pero C

V q C= y ( )LV L di dt= − . El signo menos indica que la fem inducida en el inductor se opone al aumento

de la corriente.

Sustituyendo en la ecuación (1.8)

q(t) di(t)

LC dt

= −

También usamos la definición de corriente instantánea i dq dt= . Al sustituir en la ecuación anterior,

obtenemos una ecuación diferencial de 2do. orden para la carga q.

2

2

d q qL 0

dt C+ = . Ec.(1.9)

Utilizando la notación correspondiente a la derivada segunda y reordenando

1

q q 0LC

+ =

6

Al explorar las unidades del término (LC)-1, encontramos que tiene unidades de inverso de frecuencia al

cuadrado (se deja como ejercicio): 2

0 1 LCω =

Sustituyendo en la ecuación diferencial del circuito LC

2

0q q 0+ ω =

Concluimos que el circuito LC es un oscilador armónico!!!

En estos tres ejemplos anteriores hemos obtenido la misma ecuación diferencial. Esto significa que el

comportamiento de los tres sistemas físicos es exactamente el mismo, es decir, cada uno de ellos es un oscilador

armónico simple. Basta con resolver uno sólo de ellos y automáticamente tendremos la solución de cualquier otro

oscilador armónico simple.

Volvamos a nuestro sistema masa-resorte. La solución de la ecuación diferencial de movimiento

2

0x x 0+ ω =

es una función x(t) que representa el comportamiento del OAS. Hay varias maneras de resolver una ecuación

diferencial de este tipo. Una de ellas es proponer una solución, derivarla dos veces, sustituirla en la ecuación

diferencial y comprobar que satisfaga la ecuación de movimiento.

Proponer una solución en este caso es relativamente fácil. Basta con imaginar la trayectoria que describe la

masa. Las posiciones que ésta ocupa se repiten en el tiempo, es decir, reproduce el movimiento en ciclos regulares,

cada uno de estos representa una oscilación completa. Por otra parte, del análisis de la ecuación diferencial

observamos que la variable x y su derivada segunda aparecen en ella. Por lo tanto, estamos buscando una función

cuya derivada segunda sea de nuevo la misma función pero con signo cambiado (para que puedan anularse).

Proponemos la siguiente función periódica como solución de la ecuación del OAS: (En el Anexo I se describe el

método general para la solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes

constantes)

)tcos(A)t(x0

ω= ; A es una constante con las mismas unidades de x.

derivamos dos veces y sustituimos en la ec. diferencial

0 0x(t) A sen( t)= −ω ω

2 2

0 0 0x(t) A cos( t) x= −ω ω = −ω .

la solución propuesta cumple con la ec. diferencial. Si probamos la solución

)tsen(B)t(x0

ω= ; Donde B es una constante con las mismas unidades de A

0x(t) Bcos( t)= ω ω

2 2

0 0 0x(t) Bsen( t) x= −ω ω = −ω .

también satisface la ecuación del OAS.

Si para una ecuación diferencial lineal, existen varias soluciones, la solución general será la superposición de

las soluciones individuales encontradas.

)t(senB)tcos(A)t(x00

ω+ω= . Ec.(1.10)

Podemos comprobar que es solución, derivando dos veces y sustituyendo en la ec. diferencial.

2 2

0 0 0 0x(t) A cos( t) Bsen( t) x

= −ω ω + ω = −ω

7

A y B representan las 2 constantes de integración de la ecuación diferencial. Se determinan por los valores de )t(x y

x(t) en un instante t dado. En la figura 1.8 está representada la función hallada.

Figura 1.8 Gráfico de la solución )t(senB)tcos(A)t(x00

ω+ω= del OAS

El significado físico de la ecuación (1.10) se manifiesta cuando reescribimos las constantes A y B de la

siguiente manera:

A a sen( )= φ B a cos( )= φ ; ( )2 2 2 2 2A B a sen cos+ = φ + φ

a y φ constantes. Sustituyendo en la ecuación (1.10)

0x(t) a sen( t )= ω + φ Ec.(1.11)

Podemos encontrar el significado físico de a usando la ecuación (1.11). El valor máximo de x será

[ ]max 0 0 maxmax

x(t) a sen( t ) a sen( t )

= ω + φ = ω + φ

Pero el valor máximo de la función seno es 1± , lo que nos revela que a es el valor máximo que puede tomar la

variable )t(x

a)t(xmax

±= .

Figura 1.9 Gráfico de la solución

0x(t) a sen( t )= ω + φ del OAS

Por otra parte, el ángulo φ se denomina constante de fase (o ángulo inicial de fase) y está determinado, al igual que

la amplitud máxima a, por la posición y velocidad de la partícula en t = 0 (condiciones iniciales).

8

Ejercicio 1: Cálculo de las constantes A y φφφφ a partir de las condiciones iniciales

Hallar la ecuación que describe el oscilador armónico simple, no amortiguado, cuya frecuencia natural de

oscilación es ω0 [s-1

] y en t = 0 su posición es x0 [m] y su velocidad es v0 [m/s].

Para hallar la ecuación que describe el comportamiento del oscilador armónico del problema, utilizamos la

ecuación general que describe a todos los OAS.

0x(t) a sen( t )= ω + φ . Con: 0

(0)x x= y 0

x(0) v=

0 0x(t) a cos( t )= ω ω + φ

Evaluamos )t(x y x(t) en t = 0

0(0)x x a sen= = φ

Tenemos dos ecuaciones con 2 incógnitas: a y φ . Resolviendo y sustituyendo en la ecuación general, arribamos a la

expresión que buscábamos

ω+ω

ω+= −

0

001

0

2

0

02

0

v

xtantsen

vxa)t(x

Relación entre el Movimiento Armónico Simple MAS y el Movimiento Circular Uniforme

MCU.

Es muy útil describir el movimiento armónico simple MAS como la proyección de un movimiento

circular uniforme MCU sobre un diámetro de la circunferencia. Estudiaremos el sistema físico representado por una

partícula de masa m, que describe una trayectoria circular de radio r, con rapidez constante v y velocidad angular ω0.

En particular escogemos el diámetro paralelo al eje x para estudiar la proyección de este MCU, tal como lo muestra

la figura 1.10, y demostraremos que esta proyección realiza un MAS.

Figura 1.10: Movimiento circular uniforme de una partícula y su proyección en el eje x.

Nótese que, aún cuando su rapidez es constante, las componentes vx y vy de la velocidad cambian constantemente,

tal como lo revela el espaciamiento no uniforme de la proyección, sobre el eje x, de los puntos de la trayectoria.

Expresamos la aceleración que experimenta cualquier cuerpo que realiza un MCU como:

0 0(0)x v a cos= = ω φ

9

2va

r=

Ec.(1.12)

donde a

es la aceleración centrípeta, v es la rapidez y r es el radio de la trayectoria circular.

Figura 1.11: Movimiento circular uniforme

De la figura 1.11 observamos que la componente x de la aceleración, ax, es

x

va cos

r= − θ

2

; Ec.(1.13)

θ es el ángulo medido, en sentido antihorario, desde el eje x: 0tθ = ω + φ ; y φ es el ángulo inicial (en t = 0). Usando

la segunda Ley de Newton

xF v

cosm r

= − θ2

; despejamos la fuerza Fx de la ecuación anterior

x

vF m cos

r= − θ

2

; Ec.(1.14)

Como es un MCU, podemos escribir vt=s , donde s es un segmento de la trayectoria circular. Para un ciclo

completo 2 r= πs y t es un período ( Tt = =2π/ω0).

Sustituyendo en la ecuación (1.14)

2

2

x 02

4 mrF cos m r cos

T

π= − θ = − ω θ

Pero km 2

0=ω , y de la figura 1.11, observamos que la proyección de r en el eje x es: r cos xθ = .

Sustituyendo en la expresión anterior

kxFx

−=

obtenemos una fuerza directamente proporcional al desplazamiento. En otras palabras, al estudiar la proyección

sobre un diámetro de una partícula que efectúa un MCU, cuya posición viene determinada por un vector en rotación

r (llamado también vector rotatorio o fasor), obtenemos la expresión de una fuerza restauradora exactamente igual

a la que origina un MAS.

El uso de los vectores rotatorios o fasores será de gran utilidad en el análisis del comportamiento de un

oscilador armónico bajo la acción simultánea de varios movimientos periódicos (Sección 1.5). Si hacemos r = a,

podemos escribir la proyección sobre el eje x como

( )x a cos a cos t= θ = ω + φ

10

Con lo cual obtenemos la solución del OAS, similar al encontrado en la sección 1.

Figura 1.12: Relación entre el MAS y el MCU.

En la figura 1.12 observamos que el ángulo φn (n = 0,1,….,6), cuyo rango de valores varía entre 0 y 2π [rad], es

el desplazamiento angular en t=0 y define la posición (dentro del ciclo de oscilación) para el instante inicial.

Velocidad y aceleración en el Movimiento Armónico Simple

La velocidad y la aceleración en el MAS, pueden ser evaluadas a partir de la ecuación general del MAS

(Ec.1.11) 0x(t) a sen( t )= ω + φ .

La velocidad se obtiene derivando la ecuación 1.11 con respecto al tiempo (usaremos la notación x y x para

la primera y segunda derivada temporales)

0 0x(t) a cos( t )= ω ω + φ . Ec.(1.15)

El valor máximo de la velocidad será [ ] [ ]0 0 0max maxx(t) a cos( t ) a= ω ω + φ = ±ω .

Podemos observar que la velocidad adelanta en un ángulo de π/2 al desplazamiento, es decir precede en un cuarto

de ciclo al desplazamiento.

La aceleración se obtiene derivando dos veces la ecuación 1.11 con respecto al tiempo

2

0 0x(t) a sen( t )= −ω ω + φ . Ec.(1.16)

El valor máximo de la aceleración será

[ ] [ ]2 2

0 0 0max max(t )x a sen( t ) a= −ω ω + φ = ±ω .

La aceleración se encuentra en contrafase, u

oposición de fase, con el desplazamiento, de manera que cuando

uno de ellos tiene el valor máximo positivo, el otro tiene el valor

máximo negativo y viceversa. La figura 1.13 permite apreciar

estos desfasajes.

( t 0)x a sen= = φ

11

Figura 1.13: Gráfica de desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo

Energía de un Oscilador Armónico Simple

Uno de los más importantes aspectos del estudio del movimiento oscilatorio es el que se refiere a la energía.

En el sistema bajo estudio podemos reconocer que existe energía cinética (la masa está moviéndose) y energía

potencial (el resorte se deforma). Comencemos el estudio de esta magnitud física señalando que en el caso ideal de

movimiento armónico simple no existen fuerzas disipativas, por lo tanto, la energía mecánica total permanece

constante.

tot C pE E E ctte= + = Ec.(1.17)

EC es la energía cinética, dada por la expresión:

( )2 2 2 2

C

1 1E mx m a cos t

2 2= = ω ω + φ Ec.(1.18)

Ep es la energía potencial, dada por la expresión:

2 2 2

p

1 1E kx ka sen ( t )

2 2= = ω + φ Ec.(1.19)

Aún cuando las energías potencial y cinética no son constantes, su suma si lo es. Esto se explica con el

fenómeno de intercambio entre las energías potencial y cinética; a medida que aumenta una de ellas, la otra

disminuye. Sustituyendo éstas en la ecuación (1.17)

2 2

tot

1 1E mx kx

2 2= + Ec.(1.20)

Para calcular el valor de la energía total, usaremos el hecho de que la velocidad es cero cuando el

desplazamiento es máximo. En este caso maxx a= , la energía cinética es cero y la potencial es máxima, Epmax. El

valor de la energía total en todo instante es:

max

2

tot p

1E E ka

2= =

¡La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado!

De la misma manera podemos establecer que para x=0 la energía potencial es cero y la cinética es máxima

Ecmax y es igual a

max

2

c tot

1E E ka

2= =

A partir de la ecuación (1.20) podemos obtener una expresión de la velocidad en función de la posición

2 2 21 1 1ka mx kx

2 2 2= +

despejamos la velocidad y nos queda la expresión que buscamos

( )2 2 2 2

0

kx a x a x

m= − = ω − [m/s] Ec.(1.21)

12

Figura 1.14 Gráficas de Energía Potencial,

Energía Total y Energía Cinética en función de x

La figura 1.14 es una gráfica de las energías potencial y cinética en función de la posición. La figura 1.15 es una

gráfica de las energías potencial y cinética en función del tiempo. En ambas se muestra la energía total.

Figura 1.15 Gráficas de las Energías Cinética, Potencial y Total en función del tiempo

En las gráficas precedentes se puede observar que, para cualquier posición x o cualquier instante t, la suma

de las energías potencial y cinética es igual a la energía total.

Anteriormente mencionamos que la energía total es constante, por lo que se debe cumplir que

dE

0dt

⇒ = .

2

2d 1 1 1m x kx 2m x x 2kx x x m x kx

dt 2 2 2

+ = + = +

i i ii i i ii

Este último término en paréntesis es la ecuación del OAS m x kx 0+ =ii

. Lo que demuestra que la energía se

conserva.

Ejemplo 4. Energía en un circuito LC:

Veamos cómo abordar el estudio de la energía almacenada en un circuito LC. En ausencia de resistencias, la

energía del circuito eléctrico permanecerá constante. Esta energía está definida por la energía UM almacenada en el

campo magnético que existe en el inductor y la energía UE almacenada en el campo eléctrico que existe entre las

placas del capacitor. Es decir

tot M E

E U U= + Ec.(1.22)

Calculamos la energía almacenada en el campo magnético

M instU P dt= ∫

13

inst L(t) i(t)P V= i es la potencia instantánea en el circuito y VL es la magnitud del voltaje en los extremos del inductor.

Sustituyendo e integrando

I

M L

0

2 2

diU V i dt L i dt L i di

dt

1 1Li Lq

2 2

= = =

= =

∫ ∫ ∫

Calculamos ahora la energía almacenada en el campo eléctrico

Q 2

E C

0

dq q qU V dt dq

dt C 2C= = =∫ ∫

Sustituimos en la ecuación (1.22)

2 2

tot

1 1E Lq q

2 2C= + .

Se deja como ejercicio demostrar que dE

0dt

= .

La tabla 1.2 muestra la equivalencia entre los sistemas mecánico y eléctrico.

Oscilador Mecánico Oscilador eléctrico

Sistema físico

Ecuación

diferencial mx kx 0+ =

1Lq q 0

C+ =

Energía 2 2

tot

1 1E mx kx

2 2= +

2 2

tot

1 1E Lq q

2 2C= +

Variables

x q

dxx

dt=

dqi q

dt= =

Elemento inercial m L

Elemento de rigidez k 1/C

Tabla 1.2. Equivalencia entre los sistemas mecánico y eléctrico.

Superposición de dos oscilaciones armónicas simples

Hasta aquí hemos descrito el comportamiento del oscilador armónico cuando se ve afectado por una

perturbación que lo separa de su posición de equilibrio. Sin embargo, es muy común encontrar sistemas físicos que

están siendo perturbados por la aplicación simultánea de dos o más vibraciones armónicas. Como ejemplo podemos

citar los electrones en una antena, sometidos a las perturbaciones electromagnéticas de los alrededores; el tímpano,

actuando como un sistema físico oscilante, al ser perturbado por los diversos sonidos del medio ambiente. En estos

14

dos ejemplos, así como en muchos otros, el sistema responde a estas perturbaciones con un desplazamiento

descrito por una función dependiente del tiempo.

En esta sección estudiaremos el comportamiento de un sistema físico sometido a dos vibraciones u

oscilaciones para los siguientes casos:

• Oscilaciones paralelas (una dimensión) :

a) De igual frecuencia, diferentes amplitudes y constantes de fase.

b) De diferentes frecuencias e igual amplitud.

• Oscilaciones perpendiculares (dos dimensiones):

a) De igual frecuencia, diferentes amplitudes y constantes de fase.

b) De diferentes frecuencias.

Superposición de dos oscilaciones paralelas (una dimensión):

a) Oscilaciones paralelas de igual frecuencia, con diferentes amplitudes y diferente constante de fase

Sean dos MAS representados por las ecuaciones siguientes

( )1 1 1x a sen t= ω + φ

( )2 2 2x a sen t= ω + φ

La acción simultánea de estos dos movimientos sobre el oscilador, inducirá en éste un movimiento resultante que

será la superposición de ambos movimientos aplicados.

Lo que se desea es describir este movimiento resultante. La Figura 1.16 muestra una representación gráfica de x1 y

x2, así como su superposición.

Figura 1.16 Gráfica de la superposición de dos MAS de igual frecuencia

Se observa que la superposición de estas dos señales produce una señal que tiene el mismo período y, en

consecuencia, la misma frecuencia que las señales superpuestas, por lo que es posible expresar el desplazamiento

resultante del oscilador como un MAS, de la forma

15

( )x R sen t= ω + θ Ec.(1.23)

donde R es la amplitud máxima de la oscilación resultante y θ es la constante de fase de la misma.

Como dijimos anteriormente, en la sección 1.2, el uso de los vectores en rotación, también llamados

vectores rotatorios o fasores, será de gran utilidad en el análisis del comportamiento de un oscilador armónico bajo

la acción simultánea de varios movimientos periódicos. En la Figura 1.17 están representados estos tres

movimientos mediante vectores en rotación, lo que nos permite obtener el resultado geométricamente.

Figura 1.17 Diagrama de fasores para cálculo geométrico de R y θ

De la figura (1.17a)

( )22 2

1 2 2R (a a cos ) a sen= + δ + δ

donde 2 1δ = φ − φ es una constante. Efectuamos el binomio cuadrado y agrupamos

Ec.(1.24)

De la figura (1.17b) podemos obtener la constante de fase calculando la tangente del ángulo θ Εc.(1.25)

Αl sustituir en la ecuación (1.23) obtendremos la expresión buscada.

El método anterior se puede aplicar a la superposición de un número grande de vibraciones. Sin embargo, se

dejará su estudio para el capítulo de ondas, cuando veamos serie de Fourier.

b) Oscilaciones paralelas de diferentes frecuencias, con amplitudes iguales.

La diferencia de fase entre las señales está cambiando constantemente por lo que no se especificará una

diferencia de fase inicial. Supongamos, para simplificar la expresión, que φ1 = φ2 y escribimos los dos MAS de la

siguiente manera:

1 1x a sen t= ω

2 2x a sen t= ω

La superposición de estos MAS dará como resultado

( )1 2 1 2x x x a sen t sen t= + = ω + ω Ec.(1.26)

Con 2 1

ω > ω

Podemos reescribir la ecuación (1.26) utilizando la identidad trigonométrica:

( )

( ) ( )

sen sen cos cos sen

sen sen 2sen cos

α ± β = α β ± α β

α + β + α −β = α β

1 1 2 2

1 1 2 2

a sen a sentan

a cos a cos

φ + φθ =

φ + φ

2 2 2 2

1 2 1 2R a a 2a a cos= + + δ

16

Hacemos:2

α + β = ω y 1

α −β = ω

1 2

2

ω + ω⇒ α = y 2 1

2

ω − ωβ =

Sustituyendo en la ecuación (1.26) obtenemos la expresión deseada

Ec.(1.28)

En la figura 1.18 se encuentra graficada la expresión anterior. Podemos observar que se trata de una

oscilación lenta de frecuencia ( )2 1 2ω − ω y amplitud ± 2a combinada con una oscilación rápida de frecuencia

( )1 2 2ω + ω (frecuencia promedio). Se dice que la señal de frecuencia lenta modula o envuelve a la señal de

frecuencia rápida.

Figura 1.18 Superposición de oscilaciones paralelas con diferentes frecuencias.

Ejemplo 5.

Pulsaciones o

Batidos:

Uno de los

casos más

interesantes de

superposición de

oscilaciones con

diferentes

frecuencias, se

observa para

1 2ω ≈ ω .

Mencionaremos,

como ejemplo, el

caso de dos

diapasones de

frecuencias

1 2 2 1x 2a sen t cos t2 2

ω +ω ω −ω =

17

ligeramente diferentes. Al vibrar juntos, se puede escuchar un sonido cuya amplitud aumenta y disminuye

alternadamente. Este fenómeno se conoce, en acústica, como “batidos” o también “pulsaciones”. Nuestro sistema

auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes. Según la ecuación (1.28), lo que

escuchamos es una frecuencia promedio (1 2

2ω + ω ), cuyo amplitud del sonido aumenta o disminuye con una

frecuencia dada por 2 1ω − ω . Es lo que perciben los músicos cuando escuchan simultáneamente dos instrumentos,

uno de ellos levemente desafinado (1 2

ω ≈ ω ). Por ejemplo, supongamos que la cuerda “la” de una guitarra está

afinada (440 Hz) y la de otra guitarra está desafinada (438 Hz). Al pulsar ambas, nuestro sistema auditivo percibirá un

sonido de frecuencia 439 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 2 Hz, es decir, pasa por un máximo de

intensidad dos veces cada segundo o dos pulsaciones por segundo. La frecuencia de la oscilación rápida es muy

cercana a las frecuencias de las oscilaciones superpuestas, mientras que la frecuencia de la envolvente es muy lenta .

En la figura 1.19 se evidencia esto último.

Figura 1.19 Superposición de oscilaciones paralelas, caso 1 2

ω ≈ ω . Batidos o pulsaciones

Superposición de dos oscilaciones perpendiculares (dos dimensiones):

a) Oscilaciones perpendiculares de igual frecuencia, con diferentes amplitudes y diferente constante de fase.

Como en los casos anteriores queremos obtener la ecuación que describe el movimiento de una partícula que se

encuentra bajo la acción de dos oscilaciones, una de ellas a lo largo del eje x y la otra a lo largo del eje y

1 1x a sen( t )= ω + φ

2 2y a sen( t )= ω + φ

por lo que determinaremos la trayectoria que describe la partícula. Esto se hace eliminando el tiempo t de las

ecuaciones anteriores. Comenzamos efectuando el seno de la suma de los ángulos del argumento y

reescribiendo así:

1 1

1

xsen t cos cos t sen

a= ω φ + ω φ (1)

2 2

2

ysen t cos cos t sen

a= ω φ + ω φ (2)

Luego eliminamos el tiempo realizando los siguientes pasos:

18

Mapa de operaciones algebráicas para la obtención de Ec. (1.29)

Finalmente nos queda la ecuación general de una elipse

Ec.(1.29)

Estudiaremos algunos casos para el desfasaje (φ2−φ1) entre las señales.

Caso 1: 2 1 0φ − φ =

En este caso las dos oscilaciones están en fase. Esto quiere decir que las dos señales pasan por cero (con la

misma fase), o por sus valores extremos, en el mismo instante. Analizaremos el comportamiento del oscilador bajo la

influencia de las dos señales de dos maneras: a) desde el punto de vista gráfico, y b) analíticamente, usando la

ecuación (1.29).

Desde el punto de vista gráfico, podemos suponer dos funciones senoidales inicialmente con amplitud cero.

Una de ellas representa una oscilación en el eje x y la otra representa una oscilación en el eje y. Ambas comienzan

tomando valores positivos en sus respectivos ejes. Si graficamos cada punto xy correspondiente a cada instante t,

encontraremos que la trayectoria será una línea recta, cuya pendiente es la relación entre las amplitudes, tal como

puede verse en la Figura 1.20a.

Desde el punto de vista analítico, sustituimos 2 1

0φ − φ = en la ecuación (1.29) y, sabiendo que cos(0) 1= y

, 2sen (0) 0= nos queda

2 2

2 2

1 2 1 2

x y 2xy0

a a a a+ − = . Este es un trinomio cuadrado perfecto. Factorizando tenemos

2 2

1 2

x y0

a a

− =

⇒ 2

1

ay x

a= Esta es la ecuación de una recta, tal como esperábamos.

El caso 1, representa una oscilación linealmente polarizada o con polarización lineal. El concepto de

polarización será desarrollado en el capítulo correspondiente a ondas electromagnéticas, sin embargo es

importante relacionarlo con la superposición que estamos estudiando en este capítulo.

2 22

2 1 2 12 2

1 2 1 2

x y 2xycos( ) sen ( )

a a a a+ − φ −φ = φ −φ

19

En el caso que2 1

φ − φ = π , la trayectoria también será lineal, pero con pendiente negativa. (Ver

Figura 1.20e)

Caso 2: 2 1

2

πφ − φ =

En este caso mientras una de las señales tiene su máxima amplitud, la otra señal tiene amplitud cero; están

desfasadas en un cuarto de ciclo. Si escogemos, por simplicidad,1 0φ = , podemos escribir las señales

1x a sen t= ω en t 0= x 0=

2 2y a sen( t ) a cos t2

π= ω + = ω en t 0=

2y a=

De nuevo podemos graficar cada punto xy y observaremos que la trayectoria que sigue el oscilador es

elíptica, centrada en 0 y de semiejes a1 y a2 . La Figura 1.20d representa este caso. A medida que x aumenta, y

disminuye. La trayectoria elíptica se forma en sentido horario. Cuando los semiejes son iguales (1 2

a a a= = ) se

obtiene una circunferencia de radio a.

Analíticamente, sustituimos 2 1 2φ − φ = π en la ecuación (1.29), y, sabiendo que cos( 2) 0π = y ,

2sen ( 2) 1π = ,

nos queda

2 2

2 2

1 2

x y1

a a+ =

Si 1 2a a a= =

2 2 2

x y a+ = . Obtenemos una circunferencia de radio a.

El Caso 2 representa una oscilación elípticamente polarizada, y en el caso especial en el que ambas amplitudes son

iguales, será una polarización circular.

20

Figura 1.20 Trayectorias que describe el oscilador armónico debido a la superposición de oscilaciones perpendiculares. Se especifican los valores de

desfasaje entre las señales superpuestas.

La Figura1.20 muestra la trayectoria que seguirá el oscilador armónico para diferentes valores de 2 1

φ − φ .

Podemos observar que para 2 1 2φ − φ = − π , la trayectoria será igual que en el caso 2, excepto que la elipse se

forma en sentido antihorario (Figura 1.20f).

El conocimiento de los tipos de polarización cobra especial importancia en el estudio de señales de

radiofrecuencias VHF (very high frequency) y UHF (ultra high frequency). Como se dijo anteriormente, el tema lo

trataremos de nuevo en el estudio de ondas electromagnéticas.

b) Oscilaciones perpendiculares de diferentes frecuencias.

Las trayectorias que describe el oscilador armónico sujeto a una superposición de oscilaciones

perpendiculares de diferentes frecuencias, son curvas cerradas, bastante complicadas, que reciben el nombre de

figuras o patrones de Lissajous. La relación entre las frecuencias x

ω yyω , de las oscilaciones perpendiculares entre

sí, es un número racional, es decir x yω ω = n m donde n y m son números naturales Por ejemplo, para

x y 1 2ω ω = las ecuaciones paramétricas de movimiento son

( )1 1

2 2

x a sen t

y a sen(2 t )

= ω + φ

= ω + φ Ec.(1.30)

En la figura 1.21 se muestran los patrones de Lissajous para valores enteros de 2 1ω ω y diferentes valores

de 2 1

φ − φ . Nótese que todos los puntos se encuentran contenidos en un rectángulo de lados 12a y

22a . La

coincidencia tangencial de la curva con los lados del rectángulo en varios puntos, mantiene una relación inversa a la

relación entre las frecuencias:

ejeyx

y ejex

Nº puntos

Nº puntos

ω=

ω

21

Figura 1.21 Patrones de Lissajous para diferentes valores de 2 1ω ω y 2 1φ − φ

Vectores en rotación y números complejos

Hemos escrito la solución de la ecuación diferencial del OAS 2

0x x 0+ ω = , como una función seno de la

forma 0

x(t) a sen( t )= ω + φ , lo que describe un MAS. También demostramos que la función coseno, y la

superposición de ambas, es solución: una y otra son funciones periódicas.

Vamos a obtener otra función, que es periódica y que será de gran utilidad para describir el comportamiento

de sistemas oscilatorios. Usaremos la Serie de Taylor (ver Anexo B) para representar algunas funciones conocidas y

llegar a la función periódica que estamos buscando.

Comencemos haciendo un desarrollo en serie de las funciones exponenciales xe y

xeα, evaluadas en a 0= .

2 3 nx x x x

e 1 x .... ...2! 3! n!

= + + + + + + Ec.(1.31)

22

( ) ( ) ( )

2 3 n

xx x x

e 1 x .... ...2! 3! n!

α α α α= + α + + + + + Ec.(1.32)

Si derivamos esta última función, obtendremos

2 3x 2d 2 3

e x x ....dx 2! 3!

α α α= α + + +

( ) ( )

2 3x x

x ....2! 3!

α α= α α + + +

xeα= α

Similarmente,

2x x2

2

de e

dx

α α= α

Un caso interesante se presenta cuando α = j , donde j es el número imaginario 1= −j . Como sabemos,

2 1= −j 3 = −j i

4 1=j 5 =j i

Al sustituir los valores de j en la ecuación (1.32) y agrupar

( ) ( ) ( )2 3 n

xx x x

e 1 x .... ...2! 3! n!

= + + + + + +jj j j

j

2 3 4 5x x x x x

e 1 x ...2! 3! 4! 5!

= + − − + +jj j j

2 4 3 5x x x x1 .... x ...

2! 4! 3! 5!

= − + + − +

j Ec.(1.33)

Hasta ahora hemos obtenido un número complejo cuya parte real es una suma de n-términos y la parte imaginaria

también es una suma de n-términos. ¿Es una señal periódica?

Para contestar la pregunta anterior, hagamos el desarrollo en serie de las dos funciones periódicas que

conocemos: Sen(x) y Cos(x), evaluadas en a = 0.

3 5x xSen x 0 1.x 0 0 ..

3! 5!

Sen(0) 0

(Sen x) Cos x Cos(0) 1

(Sen x) Sen x Sen(0) 0

(Sen x) Cos x

= + − − + + =

=

′ = ⇒ =

′′ = − ⇒ − =

′′′ = −

3 5 7x x xx- + - ..3! 5!7!

Ec.(1.34)

2 4 6x x xCos x 1 0 0 0 ..

2! 4! 6!

Cos(0) 1

(Cos x) Sen x Sen(0) 0

(Cos x) Cos x Cos(0) 1

(Cos x) Sen x Sen(0) 0

= − − + + − − =

=

′ = − ⇒ − =

′′ = − ⇒ − = −

′′′ = ⇒ − =

2 4 6x x x1- + - ..2! 4!6!

Ec.(1.35)

23

Comparando las tres últimas ecuaciones, podemos concluir que

xe Cos x j Sen x= +j

Ec.(1.36)

Si hacemos un desarrollo en serie de xe- j

,

xe Cos x j Sen x= −- j

Ec.(1.37)

Es decir, hemos obtenido una función periódica a partir de una función exponencial!!! …. y ésta también debe ser

solución del OAS. La ecuación (1.36) fué establecida por L. Euler en 1748 y es conocida como Fórmula o relación de

Euler.

Si Sumamos las ecuaciones (1.36) y (1.37) obtendremos representadas las funciones Seno y Coseno por

medio de funciones exponenciales complejas, de la siguiente manera:

x x

x x

e eCos x

2

e eSen x

2

−

−

+=

−=

j j

j j

j

Ec.(1.38)

El estudio anterior nos permitió la obtención de una función matemática, “la exponencial compleja”, cuyo

beneficio será el de facilitar el manejo de los problemas oscilatorios debido a que la función exponencial tiene la

propiedad de aparecer de nuevo en cada proceso de derivación e integración

Para la interpretación de la ecuación (1.36) utilizaremos la relación que existe entre el MAS y el MCU.

Sustituimos la letra x, que utilizamos para el desarrollo en serie de las funciones anteriores, por la variable angular θ,

medida en radianes y representamos la posición de la partícula que describe el MCU en la forma

ˆ ˆr ix jy= +

con 2 2r a x y= = +

donde î es el vector unitario para describir los desplazamientos a lo largo del eje x, y j es el vector unitario para

describir los desplazamientos en el eje y.

Figura 1.22 Partícula describiendo un MCU

24

Tomando en cuenta que r es un vector rotatorio o fasor, y sin sacrificar información, podemos escribir

r x y= + j

y relacionarlo con la notación compleja

z x y= + j Ec.(1.39)

donde x y y son números reales y 1= −j .

De la figura 1.22 podemos obtener las expresiones para x y para y

x a cos

y a sen

= θ

= θ

Finalmente, con tθ = ω + φ , sustituimos en ecuación (1.39)

[ ]z a cos( t ) sen( t )= ω + φ + ω + φj

Ec.(1.40)

Al representar un MAS por un vector en rotación o fasor, estamos haciendo la representación bidimensional

de oscilaciones en una dimensión. Luego al trabajar con números complejos podemos seleccionar la parte física de

interés para el análisis de las oscilaciones monodimensionales, ya que se ajusta a las partes físicamente reales y no

reales de un movimiento bidimensional imaginado. (Ver figura 1.23)

x(t) Re z(t) a cos( t )= = ω + φ

Figura 1.23 Fasor como número complejo en diferentes instantes y representación de la parte real (proyección en x, en azul.)

( t )z ae ω +φ= j

25

Volviendo a la ecuación diferencial del OAS

2

0x x 0+ ω =

si proponemos una solución de la forma

( t )x(t) ae ω +φ= j

Ec.(1.41)

derivamos dos veces e introducimos en la ecuación diferencial

2

2 2

2

( t )

( t )

dxx ae

dt

d xx ae x

dt

ω +φ

ω +φ

= = ω

= = −ω = −ω

j

j

j

comprobamos que la ecuación (1.41) también es solución de la ecuación diferencial del OAS y, por lo tanto, es la

ecuación exponencial compleja que andábamos buscando.

Ejemplo 6. Superposición de dos oscilaciones paralelas utilizando el método geométrico y la solución exponencial

compleja:

Sea z una superposición de dos oscilaciones dada por

z sen t cos t= ω + ω

Escriba la superposición en la forma:

a) ( )z R cos t= ω + θ

b) ( ) t

z Re Aeω +θ

=j

Solución a)

Hacemos ( )1x cos t2

π= ω − y 2x cos t= ω .

Con 1

2

a 1

a 1

=

=

1

2

2

0

πφ = −

φ =

Calculamos R y θ

( )2 2

1 2 1 2 2 1R a a 2a a cos

R 2

= + + φ − φ

=

1 1 2 2

1 1 2 2

a sen a sentan

a cos a sen

tan 14

φ + φθ =

φ + φ

πθ = − ⇒ θ = −

Finalmente escribimos

Solución b)

Hacemos

z 2 cos t4

π = ω −

26

( ) tz sen t cos t Re Ae

ω +θ= ω + ω =

j

Desarrollamos

( ) ( )tRe Ae A cos t

A cos t cos Asen tsen

ω +θ= ω + θ

= ω θ − ω θ

j

Construyamos dos ecuaciones para obtener las incógnitas A y θ

A cos t cos cos tω θ = ω A cos 1⇒ θ = (1)

Asen t sen sen t− ω θ = ω A sen 1⇒ − θ = (2)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando obtenemos el valor de A 2A 2 A 2= ⇒ = ±

Dividiendo la ecuación (2) entre la ecuación (1) obtenemos el valor de θ

sen 1tan

cos 1 4

θ − πθ = = ⇒ θ = −

θ

Finalmente escribimos z en forma exponencial

t4z Re 2e

π ω −

=

j

27

PROBLEMAS

Osciladores mecánicos

1. Un bloque, en el extremo de un

resorte, es jalado hasta la posición x

= A y luego soltado. En un ciclo

completo de su movimiento, ¿qué

distancia total recorre?

a) A/2

b) A

c) 2A

d) 4A

2. Dos resortes paralelos, de

constantes de elasticidad k1 y k2, se

conectan a un bloque de masa m y

el sistema se hace oscilar sin

fricción (Fig.1.23a). (a)Calcule el

período de oscilación. (b)

Seguidamente se conectan los

resortes en fila, uno a continuación

del otro, y al extremo se conecta el

bloque anterior(Fig.1.23b).

Nuevamente se hace oscilar el

sistema sin fricción. Calcule el

nuevo período. (c) Si ahora se

conecta uno de los extremos de

cada resorte a caras opuestas del

bloque y los extremos libres a

paredes opuestas, calcule el nuevo

período (Fig.1.23c).

Figura 1.23

3. Una partícula de masa 4kg se

mueve a lo largo del eje x bajo la

acción de la fuerza

[ ]2

F N16

π= − .

4. La partícula pasa por el origen a los

2s, y cuando t = 4s, su velocidad es

de 4 m/s. Halle la ecuación del

desplazamiento.

5. El pistón de un motor oscila con un

MAS dado por la

expresión ( )x 5cos 2t / 6= + π ,

donde x está en centímetros y t en

segundos. Obtenga: (a) Los valores

iniciales de la posición, velocidad y

aceleración del pistón.; (b) el

período y la amplitud del

movimiento.

6. La posición de una partícula está

dada por la expresión

( )x 4cos 3 t= π + π , donde x está

en metros y t en segundos.

Determine: (a) la frecuencia y el

período del movimiento, (b) la

amplitud del movimiento, (c) la

constante de fase y (d) la posición

de la partícula cuando t = 0.25 s.

7. Dos bloques cuyas masas son

1m 440g= y 2m 450g= se

cuelgan de sendos resortes, los

cuales se estiran 10,5 cm y 10 cm

respectivamente cuando los

sistemas quedan en equilibrio. A

continuación se jalan hacia abajo

18 cm y se sueltan desde el reposo.

Calcule: (a) El recorrido de cada

bloque transcurridos 15 s. ¿En qué

sentido se está moviendo cada

uno? (b) El instante en el cual

ambos sistemas se encuentran en

las mismas condiciones que en

t=0?

28

8. La lenteja de un péndulo simple de

612.5 mm de longitud se desplaza

hasta que la varilla de éste forma un

ángulo de θ0 = 5° con la vertical. Si

se suelta el péndulo en esta

posición, se pide: (a) hallar el

ángulo θ formado por la varilla y la

vertical en un instante cualquiera;

(b) determinar la frecuencia de la

oscilación; (c) calcular la distancia

recorrida por la lenteja del péndulo

durante un período; (d) hallar la

velocidad angular y la aceleración

de la lenteja en el centro de la

trayectoria.

9. El balancín de un reloj vibra con

una amplitud angular de

20

πradianes y un período de 0.5

segundos. Calcular: (a) la longitud

del balancín; (b) la máxima

velocidad angular; (c) la velocidad

angular cuando su desplazamiento

es de 40π radianes.

10. Un objeto de 500 g unido a un

resorte de constante de fuerza 8

N/m vibra en movimiento

armónico simple con una amplitud

de 10 cm. Calcule: (a) los valores

máximos de la rapidez y

aceleración, (b) la rapidez y

aceleración cuando el objeto está a

6 cm de la posición de equilibrio, y

(c) el intervalo necesario para que

el objeto se mueva de x = 0 a x = 8

cm.

11. Un bloque de 1 kg está unido al

extremo de un resorte horizontal.

El otro extremo del resorte está

fijo a la pared. Inicialmente, el

resorte es estirado10 cm. A

continuación se suelta el bloque

desde el reposo moviéndose sobre

la superficie sin fricción. El

siguiente instante en que la rapidez

del cuerpo es cero, es 0.5 s

después. ¿Cuál es la máxima

rapidez del cuerpo?

12. Una banda elástica cuelga de uno

de sus extremos, que está fijado a

un punto A. Una masa de 1 kg

unida al otro extremo, llega al

punto B, siendo la longitud AB, 16

cm mayor que la longitud natural

de la banda. Si la masa es

posteriormente colocada en una

posición, 8 cm por encima de B y

soltada, ¿cuál será su velocidad

cuando pase por la posición B?

13. Un bloque de masa desconocida

está unido a un resorte de

constante de rigidez 6.5 N/m y

experimenta un movimiento

armónico simple con una amplitud

de 10 cm. Cuando el bloque está a

la mitad entre su posición de

equilibrio y el punto extremo, su

rapidez medida es de 30 cm/s.

Calcule (a) la masa del bloque, (b)

el período del movimiento y (c) la

aceleración máxima del bloque.

14. Un péndulo simple de 1 m de

longitud hace 100 oscilaciones

completas en 204 segundos, en un

cierto lugar. ¿Cuál es el valor de la

aceleración de la gravedad en ese

punto?

15. Un cuerpo oscila con movimiento

armónico simple a lo largo del eje

x. Su posición varía con el tiempo

según la ecuación

( )x 4 m cos t4

π = π +

(t en segundos y los ángulos en

radianes). Determine: (a) la

amplitud, frecuencia y período del

movimiento; (b) velocidad y

aceleración del cuerpo en cualquier

instante t; (c) posición, velocidad y

aceleración del cuerpo en t = 1 s;

(d) la máxima rapidez y máxima

aceleración del cuerpo y (e) el

desplazamiento del cuerpo entre t =

0 y t = 1 s.

29

16. Un bloque de 200 g está unido a un

resorte horizontal y ejecuta un

movimiento armónico simple con

un período de 0.25 s. Si la energía

total del sistema es de 2 J,

encuentre (a) la constante de

rigidez del resorte y (b) la amplitud

del movimiento.

17. Un OAS se mueve con una

amplitud A0. Si se duplica la

amplitud determine los cambios en

(a) el período, (b) la velocidad

máxima, (c) la aceleración máxima

y (d) la energía total.

18. Una partícula ejecuta un

movimiento armónico simple con

una amplitud de 3 cm. ¿En qué

posición su velocidad alcanzará la

mitad de su máxima velocidad?

19. Un auto que viaja a 3 m/s tiene

una pequeña protuberancia

semiesférica en uno de los

cauchos. El conductor de otro auto

situado detrás del primero,

observa que la protuberancia

ejecuta un movimiento armónico

simple. Si el radio de los cauchos

del primer auto es de 0.3 m, ¿cuál

es el período de oscilación de la

protuberancia?

20. Una partícula gira en sentido

contrario a las manecillas de un

reloj en un círculo de radio 3 m con

una rapidez angular constante de 8

rad/s. En t = 0, la partícula tiene

una coordenada x de 2 m y se

mueve a la derecha. (a) Determine

la coordenada x como función del

tiempo; (b) hállense los

componentes x de la velocidad y

aceleración de la partícula en

cualquier tiempo t.

21. Un punto se mueve en una

circunferencia con una celeridad

constante de 50 cm/s. El período de

una vuelta completa es 6 s. Para t =

0 la recta que va del punto al centro

de la circunferencia forma un

ángulo de 30° con el eje x. (a)

Obtener la ecuación de la

coordenada x del punto en función

del tiempo, en la forma

( )x A cos t= ω + α , conocidos los

valores numéricos de A, ω y α. (b)

hallar los valores de x, dx/dt,

d2x/dt

2, para t = 2 s.

22. Un bloque de masa m1 = 9 kg se

encuentra conectado al extremo

de un resorte cuya constante de

rigidez es de 100 N/m. El otro

extremo del resorte se encuentra

conectado a la pared. Inicialmente

el sistema masa-resorte se

encuentra en equilibrio. Un

segundo bloque de masa m2 = 7 kg

es empujado lentamente contra

m1, comprimiendo el resorte en

una cantidad A = 0.2 m. El sistema

se suelta entonces, y ambos

objetos comienzan a moverse

hacia la derecha sobre la superficie

sin fricción. Cuando m1 está

pasando por la posición de

equilibrio, m2 pierde contacto con

m1 y se mueve a la derecha con

rapidez v. (a) Determine el valor de

v. (b) ¿Cuál es la separación entre

los bloques cuando el resorte se

estira por completo por primera

vez? (Sugerencia: Determine el

período de oscilación y la amplitud

del sistema formado por m1 y el

resorte después que m2 pierde

contacto con m1).

23. Comprobar que la ecuación

diferencial 2 2d y / dx ky= − tiene

por solución

( ) ( )y A cos kx B sen kx= + ,

siendo A y B constantes arbitrarias.

Demostrar también que esta

solución puede escribirse en la

forma

30

( ) ( )

( )

kx

kx

y C cos kx C Re e

Re Ce e

+φ

φ

= + φ =

=

j

j j

y expresar C y φ en función de A y

B.

24. Una masa al extremo de un muelle

oscila con una amplitud de 5 cm y

una frecuencia de 1 Hz (ciclos por

segundo). Para t = 0, la masa está

en su posición de equilibrio (x = 0).

(a) Hallar las ecuaciones posibles

que describen la posición de la

masa en función del tiempo en la

forma ( )x A cos t= ω + φ , dando

los valores numéricos de A, ω y α.

(b)¿Cuáles son los valores de

x, dx/dt, d2x/dt

2, para t = 8/3 s?

25. Escribir las expresiones siguientes

en la forma ( )t t

z Re Aeω +φ = :

a) z sen t cos t= ω + ω

b) z cos t cos t3

π = ω − − ω

c) z 2 sen t 3cos t= ω + ω

d) z =

sen t 2cos t cos t4

π ω − ω − + ω

26. Una partícula está sometida

simultáneamente a tres

movimientos armónicos simples de

la misma frecuencia y en dirección

x. Si las amplitudes son 0.25, 0.20

y 0.15 mm, respectivamente, y la

diferencia de fase entre el primero y

segundo es 45°, y entre el segundo

y tercero es 30°, hallar la amplitud

del desplazamiento resultante y su

fase relativa respecto al primer

componente (de amplitud 0.25

mm).

27. Dos vibraciones sobre la misma

recta vienen descritas por las

ecuaciones:

1

2

y A cos10 t

y A cos12 t

= π

= π

Hallar el período de batido y

dibujar un esquema cuidadoso de la

perturbación resultante durante

un período de la pulsación.

28. Hallar la frecuencia del movimiento

combinado en cada una de las

siguientes vibraciones:

a) ( ) ( )sen 2 t 2 cos 2 tπ − + π

b) ( )sen 12 t cos 13 t4

π π + π −

c) ( ) ( )sen 3t cos t− π

29. Dos vibraciones perpendiculares

vienen descritas por las ecuaciones:

( )x 10cos 5 t

y 10cos 10 t3

= π

π = π +

Construir la figura de Lissajous del

movimiento combinado

30. Construir las figuras de Lissajous

de los movimientos siguientes:

a) x cos 2 t, y sen 2 t= ω = ω

b) x cos 2 t, y cos 2 t4

π = ω = ω −

c) x cos 2 t, y cos t= ω = ω

Osciladores eléctricos

31.- Un inductor de 1,48 mH en un circuito

RCL, acumula una energía máxima de 11,2

µJ. ¿Cuál es la corriente máxima?

32.- Los osciladores RCL han sido usados en

un circuito conectado a unos altavoces

para crear algunos sonidos de la “música

electrónica”. ¿Cuál es la inductancia que

deberá ser usada con un capacitor de 6,7

31

µF para producir una frecuencia de 10 kHz,

cerca del límite superior del rango audible

de frecuencias?

33.- Considere el circuito que se muestra

en la figura. Con el interruptor S1 cerrado y

los otros dos abiertos, el circuito tiene un

tiempo constante Tc. Con el interruptor S2

cerrado y los otros dos abiertos, el circuito

posee un tiempo constante Tl. Cuando el

interruptor S3 está cerrado y los otros dos

abiertos, el circuito oscila con un período T.

Demuestre que C L

T 2 T T= π .

34.- Sea un inductor de 10,0 mH y dos

capacitores, uno de 5,00 µF y el otro de

2.00 µF de capacitancia. Calcule las

frecuencias resonantes que pueden

generarse al conectar estos elementos en

distintas combinaciones.

35.- En un circuito RCL, donde L = 52,2 mH

y C = 4,21 µF, la corriente está inicialmente

al máximo. ¿Cuánto tiempo pasará hasta

que el capacitor se cargue completamente

por primera vez?

36.- En el circuito que se muestra en la

figura, el interruptor ha estado en la

posición a por mucho tiempo. Se mueve a

la posición b. (a) Calcule la frecuencia de la

corriente osciladora resultante. (b) ¿Cuál

será la amplitud de las oscilaciones de la

corriente?

37.- Un inductor está conectado en

paralelo con un capacitor que al cual se le

puede variar su capacitancia al hacer girar

una perilla. Se desea que la frecuencia de

las oscilaciones del circuito RCL varíe

linealmente con el ángulo de rotación de la

perilla, “cambiando” de 200 a 400 kHz

mientras la perilla rota 180 grados. Si L =

1,0 mH, haga una gráfica de C como

función del ángulo para la rotación de 180

grados.

38.- En un circuito RCL, tenemos que L =

24,8 mH y C = 7,73 µF. Cuando t = 0, la

corriente es de 9,16 mA, la carga del

capacitor es de 3,83 µC, y éste último se

está cargando. (a) ¿Cuál es la energía total

del circuito? (b) ¿Cuál es la carga máxima

del capacitor? (c) ¿Cuál es la corriente

máxima? (d) Si la carga del capacitor viene

dada por q = qm cos(ωtφ) ¿Cuál es el

ángulo de fase φ ? (e) Supongamos que los

datos son los mismos, salvo que el

capacitor se está descargando cuando t =

0, ¿Cuál vendría a ser el ángulo de fase φ?

39.- En la figura, el capacitor de 900 µF

inicialmente está cargado con 100 V, y el

de 100 µF se encuentra sin carga. Explique

detalladamente cómo se podría cargar con

300 V el capacitor de 100 µF manipulando

solamente los interruptores S1 y S2.

32

Capítulo 2 Oscilador

Armónico Amortiguado

Oscilaciones libres amortiguadas

En el capítulo anterior estudiamos

las oscilaciones libres de un sistema físico

que realiza un movimiento armónico

simple ideal, donde la energía total

permanece constante y el sistema oscilará

indefinidamente. El desplazamiento está

representado por una curva sinusoidal de

amplitud máxima constante. Pero en un

sistema físico real, existen siempre

características disipativas mediante las

cuales se va perdiendo la energía mecánica

involucrada en la oscilación. Los elementos

del sistema físico que presentan estas

características son llamados elementos de

amortiguamiento y se supone que no

tienen inercia ni medios de almacenar o

liberar energía potencial. Como resultado,

el sistema experimenta una resistencia a

moverse, El movimiento mecánico

impartido a estos elementos se convierte

en calor o sonido y, por lo tanto, se les

denomina elementos no conservativos o

disipativos porque el sistema no puede

recuperar esta energía. Este efecto de

pérdida de energía se observa

inmediatamente en la disminución de la

amplitud de oscilación y el movimiento se

denomina Movimiento Amortiguado.

Figura 2.1 Oscilador amortiguado

Existen muchos ejemplos de

oscilaciones amortiguadas: Cuando

escuchamos un diapasón, como resultado

de la energía comunicada al aire y de éste a

nuestros oídos, podemos notar la

disminución del sonido a medida que

avanza el tiempo; la amplitud de un

péndulo que oscila libremente siempre

disminuirá con el tiempo a medida que

pierde energía. En la figura 2.2 ilustramos

algunos ejemplos de osciladores

amortiguados.

Figura 2.2 Ejemplos de osciladores amortiguados: (a) y (c)

osciladores mecánicos;(b) oscilador eléctrico

En estos sistemas amortiguados, la

presencia de la resistencia al movimiento

significa que, además de la fuerza

restauradora,

existen fuerzas no

conservativas

(llamadas también

disipativas,

retardadoras o de

amortiguamiento)

que retardan dicho

movimiento. El caso

más común

involucra fuerzas

disipativas, como la

fuerza de

rozamiento,

proporcionales a la

velocidad.

33

F bx= − Ec.(2.1)

donde b es la constante de

proporcionalidad, llamada también

coeficiente de amortiguamiento o

coeficiente resistivo, y tiene dimensiones

de fuerza por unidad de velocidad. La

presencia de este término siempre

resultará en pérdida de energía El signo

menos implica que el sentido de esta

fuerza es contrario al sentido de la

velocidad y, como el movimiento ocurre en

el sentido de la velocidad, se podría decir

que la fuerza se opone siempre al

movimiento.

Podemos entender la acción de la

fuerza de amortiguamiento si recordamos

la experiencia de moverse dentro del agua,

por ejemplo cuando estamos en una playa

o piscina, tratando de alcanzar una pelota;

mientras más rápido tratemos de

movernos, más difícil resultará el

movimiento. El agua actúa como un

elemento de resistencia que se opondrá

siempre a nuestro movimiento. También

tenemos la experiencia de estar en un auto

y pasar por un hueco o bache en la calle; a

mayor rapidez más fuerte será el impacto

en los amortiguadores del auto y éste se

moverá más bruscamente (con todo lo que

haya dentro). Por eso el conductor

prudente reduce la velocidad antes de

pasar por una irregularidad del suelo.

Para el estudio del movimiento

amortiguado utilizaremos el sistema masa-

resorte del capítulo anterior,

añadiéndole un elemento resistivo,

como se muestra en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Sistema amortiguado masa-resorte

Al separar el sistema de su posición de

equilibrio estático, el nuevo balance de

fuerzas o ecuación de movimiento vendría

a ser:

F bx kx mx= − − =∑ ;

Reordenando nos queda

mx bx kx 0+ + = Ec.(2.2)

La ecuación (2.2) es una ecuación

diferencial lineal homogénea de segundo

orden con coeficientes m, b y k constantes.

La solución de esta ecuación es una función

x(t) que representa el comportamiento del

sistema amortiguado. Pero primero

veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 7: Sistema amortiguado masa-

resorte

El análisis del sistema amortiguado

que se muestra en la Figura 2.4.a se hará

tomando en cuenta todas las fuerzas que

actúan sobre la masa, debidas a la

combinación de resortes y elementos

resistivos a los cuales está unida.

34

Figura 2.4: (a) Sistema amortiguado; (b) Diagrama de

fuerzas aplicadas a la masa;

(c) Sistema amortiguado equivalente

En el diagrama de cuerpo libre de la figura

2.4.b aparecen dichas fuerzas. En la figura

2.4.c se observa el sistema equivalente.

Aplicando las leyes de la dinámica y

tomando en cuenta sólo las fuerzas en la

dirección x (movimiento restringido al eje

x) tenemos

2 31 2 1

2 3

k kF b x b x k x x mx

k k= − − − − =

+∑

Sacando factor común y reordenando

( ) 2 31 2 1

2 3

k kmx b b x k x 0

k k

+ + + + =

+

Llamando eb a la constante de

amortiguamiento equivalente y ek la

constante de rigidez (o elasticidad)

equivalente

1 2eb b b= + 2 31

2 3

e

k kk k

k k= +

+

y sustituyendo en la ecuación diferencial

del sistema o ecuación de movimiento

e emx b x k x 0+ + =

Para hallar la solución de la

ecuación diferencial (2.2) procederemos

como en el capítulo anterior: proponemos

una solución, la derivamos dos veces y la

sustituimos en la ecuación diferencial de

movimiento. Como sabemos que el sistema

debe oscilar, bajo ciertas condiciones, y

además la amplitud de oscilación

disminuye con el tiempo, la solución

propuesta debe ser una combinación de

una función periódica (igual a la del OAS) y

una exponencial decreciente. Por otra

parte, ya observamos, en el capítulo

anterior, que una función exponencial con

exponente imaginario es una función

periódica.

Por todas estas razones,

proponemos la siguiente función periódica

como solución de la ecuación (2.2): (En el

Anexo A se describe el método general

para la solución de la ecuación diferencial

homogénea de segundo orden con

coeficientes constantes. Asimismo, en el

Anexo C presentamos el método

exponencial complejo para resolver la

ecuación 2.2)

tx(t) Ceα=

Ec.(2.3)

C es una constante con las mismas

unidades de x y α tiene unidades de

inverso de tiempo. Tomamos las derivadas

primera y segunda temporales de la

ecuación (2.3) y las sustituimos en la

ecuación diferencial (2.2)

2

t

t

x C

x C

e

e

α

α

= α

= α

2t

C (m b k) 0eα α + α + =

Ec.(2.4)

En la ecuación (2.4) tenemos el

producto de dos términos igualados a

35

cero. Si esta ecuación ha de satisfacerse

para todo valor de t,

2m b k 0α + α + =

.

siendo ésta una ecuación cuadrática que

nos permitirá obtener el término α de la

solución propuesta en función de los

elementos m, b y k característicos del

sistema físico bajo estudio.

Resolviendo la ecuación

cuadrática en α obtenemos

2

1,2 2

b b k

2m 4m m

−α = ± −

Ec.(2.5)

Podemos notar que b / 2m y 1/2(k / m)

tienen dimensiones de inverso de tiempo

tal como esperábamos, ya que el

exponente teα

debe ser adimensional.

Sustituyendo la ecuación (2.5) en la

ecuación (2.3) obtenemos la expresión

para el desplazamiento

2

2

b b kt t

2m m4m

1,2x C e

− ± − =

Como ya es sabido, el número de

constantes permitidas en la solución

general de una ecuación diferencial

siempre es igual al orden de la misma. En

este caso la ecuación (2.2) nos señala que

debe haber dos constantes, por lo que

podemos escribir la solución x(t) como la

suma de ambos términos

1 2

2

2

1 22

2

b b kt

2 m m4m

b b kt

2m m4mtt

1 2 1 2x x x C e C e− + − − − −

= + = +

Ec.(2.6)

donde las constantes C1 y C2 tienen las

mismas dimensiones de C y estarán

determinadas por las condiciones iniciales.

Debemos prestar especial atención

a la cantidad subradical

2

2

b k( )4m m

− ,

la cual puede ser positiva, cero o negativa,

dependiendo de la magnitud relativa de los

dos términos que la integran. Estos, a su

vez dependen de las características y

magnitud de los elementos constitutivos

del sistema. Las tres condiciones posibles

de la cantidad subradical darán origen a

tres posibles soluciones; cada una de éstas

describe un comportamiento particular.

Discutiremos estas soluciones siguiendo el

orden en el cual nombramos las

condiciones y nos concentraremos en la

tercera solución, ya que es la

correspondiente al Oscilador Amortiguado.

Caso 1:

2

2

b k( )4m m

> Amortiguamiento

Fuerte o Sobreamortiguado.

Caso 2:

2

2

b k( )4m m

= Amortiguamiento

Crítico.

Caso 3:

2

2

b k( )4m m

< Amortiguamiento

Débil, Subamortiguado u

Oscilador Amortiguado

Caso 1: Amortiguamiento Fuerte o

Sobreamortiguado

Aquí el término relacionado con el

amortiguamiento resistivo 2 2b / 4m

domina al término relacionado con la

elasticidad o rigidez k/m, y el sistema

sobreamortiguado no realizará

36

oscilaciones. Escribiremos el exponente,

usando los siguientes cambios

b

p2m

= y

2

2

b kq p

4m m= − ≤

Sustituyendo en la ecuación (2.6), nos queda la expresión

p t q t q t

1 2x e (C e C e )

− −= + Ec.(2.7)

En el capítulo 1 aprendimos que

una función exponencial con exponente

imaginario, es una función periódica. En

este caso, la exponencial nunca es

imaginaria porque p y q son positivas.

Concluimos entonces que, un sistema con

amortiguamiento fuerte, no realiza

oscilaciones.

La ecuación (2.7) representa el

comportamiento del sistema

sobreamortiguado. Muchas veces ocurre

que no podemos representarnos

mentalmente, a partir de la ecuación

obtenida, cuál será el comportamiento de

un sistema. Necesitamos reescribir la

ecuación con funciones conocidas

equivalentes, que cumplan con las

condiciones iniciales. Así lo hicimos en el

capítulo 1 con la solución general de OAS y

en el caso de superposición de

oscilaciones con frecuencias distintas.

Si ahora introducimos los términos

1 2F C C= + y

1 2G C C= − , la ecuación

(2.7) quedará expresada como

( ) ( )p t q t q t q t q tF Gx e e e e - e

2 2

− − − = + +

Recordando que

x xe esenh x

2

−−= ,

x xe ecosh x

2

−+=

podemos reescribir la ecuación (2.7)

( ) ( )p tx e Fcosh qt G sinh qt

−= +

Ec.(2.8)

Vamos a detenernos un momento

para analizar esta expresión. Aquí tenemos

las funciones coseno hiperbólico y seno

hiperbólico, ambas afectadas

(multiplicadas) por una función

exponencial decreciente. ¿Podemos

representarnos el comportamiento con

esta última expresión?

Sabemos que estas funciones

representan un comportamiento no

oscilatorio, tal como se esperaba, pero el

desplazamiento dependerá de las

condiciones iniciales (o de borde), es decir,

el valor de x en el instante t 0= . Si

imponemos las condiciones iniciales

x 0= en t 0= , entonces F 0= ,

( ) ( )0x(0) 0 e Fcosh 0 G sinh 0−= = +

y

b 2

t2m

2

b kx Ge senh t

4m m

− = −

Ec.(2.9) La gráfica de esta función se muestra en la

figura 2.5 para dos valores de la constante

de amortiguamiento b

37

Figura 2.5 Gráfica del desplazamiento vs tiempo de un

sistema fuertemente amortiguado para las condiciones

iniciales x 0= en t 0= y para b1<b2

Caso 2: Amortiguamiento Crítico:

La cantidad subradical es nula 2 2(b / 4m k / m)= .

Usando la notación del Caso 1,

vemos que q 0= y que p tx Ce−= . Este es

el caso límite del comportamiento del caso

anterior, cuando q está por cambiar de

positivo a negativo. En este caso la

ecuación cuadrática en α tiene sus dos

raíces iguales y la solución de la ecuación

diferencial, exige que C sea escrita de la

forma C A Bt= + , donde A es una

constante de longitud y B una velocidad

dada que depende de las condiciones de

borde. Es fácilmente verificable que la

función

b

tpt 2mx(t) (A Bt)e (A Bt)e

−−= + = +

Ec.(2.10)

satisface la ecuación 2.2

mx bx kx 0+ + = cuando 2 2b / 4m k / m= .

El caso de amortiguamiento

crítico es de vital importancia en

sistemas oscilatorios mecánicos que

experimentan impulsos súbitos y se

les impone retornar en el menor

tiempo a su posición de equilibrio, o

desplazamiento cero, sin realizar

oscilaciones. En los sistemas

mecánicos reales suele ajustarse el

valor de la constante de

amortiguamiento para que satisfaga esta

condición ya que, si se aplica

repentinamente al sistema en reposo una

fuerza constante, responderá

aproximándose suavemente a una nueva

posición de equilibrio sin oscilaciones,

quedando en esa posición mientras

perdure la fuerza aplicada. Este

comportamiento es ventajoso, por

ejemplo, en los aparatos de medida

eléctricos, como voltímetros,

amperímetros, en los cuales debe haber

una lectura estable (sin oscilaciones) de la

magnitud medida en el instante en que se

conecta el medidor al circuito o se cierra el

interruptor.

Ejemplo 8: Estudio de un sistema con

amortiguamiento crítico

Suponga un sistema oscilatorio

mecánico cuya posición inicial es cero y

recibe un impulso que le confiere una

velocidad inicial v0. Las condiciones

iniciales del sistema las escribimos

x(0) 0= y 0

x(0) v=

Evaluamos las ecuación (2.10) en

t=0

0x(0) 0 (A B.(0))e−= = +

A 0⇒ =

La ecuación (2.10), para el sistema en

estudio, quedará de la siguiente forma:

38

ptx(t) Bte−= .

Derivando la expresion anterior y

evaluando en t = 0

pt pt pt ptdxx ( p)Bte Be B ( p)te e

dx

− − − − = = − + = − +

.

En t = 0 0 0

0x(0) v B ( p)(0)e e B− − = = − + =

Podemos escribir la función que

representa el comportamiento del sistema

bajo estudio, es decir, la ley bajo la cual

funciona este sistema oscilatorio

amortiguado.

p t

0x(t) v t e−=

Ec.(2.11)

Ahora calculemos el tiempo t´ que

tarda el sistema en llegar a su nueva

posición de equilibrio. El criterio utilizado

es el siguiente: el desplazamiento máximo

ocurre cuando el sistema llega al reposo

antes de retornar a la posición inicial de

cero desplazamiento. En el máximo

desplazamiento, la velocidad es cero.

Derivando la ecuación (2.11) e igualándola

a cero podemos encontrar el valor de t´

[ ]pt

0x(t ) v e 1 pt 0

′−′ ′= − =

Haciendo [ ]1 pt 0′− = y despejando

1t

p′ =

Para ese instante, el desplazamiento es

p t 100

vx(t ) v t e e

p

′− −′ ′= =

0 0v 2mvx(t ) 0.368 0.368

p b′ = =

Un sistema con amortiguamiento

crítico siempre retorna a su posición de

equilibrio en el tiempo mínimo. (Ver figura

2.6)

Figura 2.6 Gráfica del desplazamiento vs tiempo para un

sistema con amortiguamiento crítico

Caso 3: Movimiento Armónico Simple

Amortiguado

Cuando 2 2b / 4m k / m< , la

amortiguación es suave y, desde el punto

de vista oscilatorio, nos conduce al más

importante de los tres casos: el

comportamiento oscilatorio amortiguado.

En este caso, la

expresión

39

2 2 1/ 2(b / 4m k / m)− es una cantidad

imaginaria, la raíz cuadrada de un número

negativo (en el capítulo anterior ya

habíamos conocido que una exponencial

imaginaria es una función periódica). La

cantidad subradical puede ser reescrita de

la siguiente manera

1/2 1/22 2

2 2

b k k b

4m m m 4m

± − = ± − −

(donde 1= −j ) y 2

0

k

mω =

así el desplazamiento quedaría expresado

como

( ) ( )

1 12 22 2 2 2 2 2

0 0

b bt tb 4m t b 4m t

2m 2m1 2x C Ce e e e

− −ω − − ω − = +

j j

La expresión dentro del paréntesis

tiene las dimensiones de inverso de

tiempo, es decir, dimensiones de

frecuencia y puede ser escrito como

1/22

20 2

b

4m

′ω = ω −

, y el segundo

exponencial se convierte en t

e cos t sen t′ω ′ ′= ω + ωj

j , por lo que la

solución la escribimos

b b

t tt t2m 2m

1 2x C Ce e e e− −′ ′ω − ω= +j j

,

o

b t /2m t - t

1 2x e (C e +C e )

′ ′− ω ω= j j

Ec.(2.12)

Esto muestra que el

comportamiento del desplazamiento x es

oscilatorio con una nueva frecuencia

0′ω < ω , siendo

1/ 2

0(k / m)ω = la

frecuencia de las oscilaciones libres

(movimiento armónico simple ideal) o

frecuencia natural de oscilación del

sistema.

Para comparar el comportamiento

del oscilador armónico amortiguado con el

caso ideal deberíamos expresar la solución

en una forma similar al caso

ideal,0

x a sin( t )= ω + φ , pero

reemplazando ω por ′ω .

Podemos hacer eso al escribir

( ) (

( ) (

t - t

t - t

t t

e eAsin( t ) A

2

A Ae e

2 2

A Ae e e e

2 2

′ ′ω +φ ω +φ

′ ′ω +φ ω +φ

′ ′φ ω φ ω

−′ω + φ =

= −

= −

j j

j j

j j -j -j

j

j j

j j

Si ahora elegimos

y

donde A y φ (y por lo tanto e φj ) son

constantes que dependen del movimiento

en t 0= . Sustituyendo en la ecuación

(2.12)

( t + ) ( )

bt 2m e ex A

2ie

′ ′ω φ ω + φ− −

=

j j t

( )bt/ 2mx = A sen t +e− ′ω φ

Ec.(2.13)

Este procedimiento equivale a imponer

condiciones de borde x Asen= φ en t 0=

para la solución de x . El desplazamiento

por lo tanto varía sinusoidalmente a través

del tiempo como en el caso del

movimiento armónico simple, pero ahora

tiene una nueva frecuencia ω´ menor que

la frecuencia ω0 del OAS.

1/22

2

1/22

2

0 02

k b

m 4m

b

4m

′ω = −

= ω − < ω

1

AC

2e φ= j

j

-

2

AC

2e φ= − j

j

40

y una amplitud que decae

exponencialmente con el tiempo b

t2mA(t) = Ae

−

Figura 2.7 Gráfica del movimiento oscilatorio amortiguado.

La amplitud decae con

la función exponencial bt 2me−

. Si x 0= en t 0=

entonces 0φ =

La figura 2.7 muestra el

comportamiento de x en función del

tiempo. La amplitud de oscilación

gradualmente decae siguiendo la curva

descrita por bt /2me− . La constante A es

obviamente el valor al cual la amplitud

hubiese subido al primer máximo si no

existiera amortiguación.

Métodos para Describir el

amortiguamiento de un

Oscilador

En el capítulo anterior estudiamos

la energía mecánica total de un oscilador

armónico simple, la cual viene dada por la

expresión

2 2 21 1E m a ka

2 2= ω =

es decir, la

energía es proporcional al cuadrado de

la amplitud. La presencia del término de la

fuerza bx (fuerza amortiguadora o

resistiva) en la ecuación de movimiento

introduce una pérdida de energía que

causa el decaimiento de la amplitud de

oscilación con el tiempo, descrita por

bt

2m0

A(t) A e−

= .

Ec.(2.14)

Sustituyendo esta amplitud variable en la

expresión anterior de la energía, así que la

energía que decae es proporcional a bt me−

2b b

t t2 22m m0 0

1 1E(t) kA kA

2 2e e

− − = =

bt

m0

E(t) E e−

=

Ec.(2.15)

Mientras más grande sea el valor

del término de amortiguamiento o resistivo

b, más rápidamente decaen la amplitud y

la energía.

Es interesante señalar que la

disminución exponencial de la energía,

dada por la ecuación (2.15), puede

representar a muchos tipos diferentes de

procesos disipativos. Por ejemplo, en un

circuito eléctrico oscilante la disipación de

energía por unidad de tiempo en una

resistencia es proporcional al cuadrado de

41

la intensidad de corriente. Igualmente, si

evaluamos la energía de los campos

eléctrico y magnético del circuito,

encontraremos que presentan el mismo

comportamiento disipativo. Las

magnitudes físicas nombradas presentan

un comportamiento análogo al oscilador

mecánico con amortiguamiento viscoso.

Otro ejemplo que podemos citar

ocurre en el área de la física atómica y

nuclear. Existen muchas interacciones que

originan una disminución exponencial de la

energía del sistema en estudio, lo que

permite hacer una analogía entre su

comportamiento y el de un oscilador

mecánico con amortiguamiento viscoso.

El comportamiento de los sistemas

anteriores nos permite expresar que el

análisis del oscilador mecánico

proporciona cierta idea de lo que sucede

en todos los fenómenos semejantes.

Podemos usar el factor

exponencial para expresar el ritmo al cual

se reducen o decaen tanto la amplitud

como la energía. Se presentan tres

métodos para medir el amortiguamiento

de un oscilador. Los dos primeros se

refieren al decaimiento de la amplitud y el

tercero tiene que ver con el decaimiento

de la energía.

Método del Decremento Logarítmico

Este método mide el ritmo al cual

disminuye la amplitud. Usaremos la

ecuación (2.13) con la constante de fase

2πφ =

bt /2mx A sen( t )

2e− π

′= ω +

con lo cual, la ecuación anterior nos queda

bt /2m

0x A cos te− ′= ω

Ec.(2.16)

donde 0x A= en t 0= . Su

comportamiento seguirá la curva de la

figura 2.9

Utilizaremos la ecuación (2.14)

para evaluar la amplitud en t = T, 2T, …, nT.

, siendo T el período de oscilación,

T 2 / ′= π ω . Para el primer período, t = T ,

la amplitud está dada por

( b/2m)T

1 0A A e −=

entonces

bT/2m0

0

1

AA

Ae eδ= =

Ec.(2.17)

donde b

T2m

δ =

es llamado el Decremento logarítmico. δ >

0

42

Figura 2.8 Gráfica del movimiento oscilatorio amortiguado

para 2φ = π .

Se muestran las amplitudes A0, A1, A2, para t = 0, T, 2T

respectivamente

Aplicando logaritmo natural a ambos

miembros de la ecuación (2.17) obtenemos

0e

1

Alog

A= δ

El decremento logarítmico δ es el logaritmo

de la razón de dos amplitudes de oscilación

que están separadas sólo por un período,

siendo el numerador la amplitud más

grande ya que e 1δ > .

Similarmente, para t = 2T

b(2T)

2m 20

2

Ae e

Aδ= =

aplicando logaritmo natural,

e

0

2

log 2A

A= δ

Y, en general, para t = nT

b(nT)

2m n0

n

Ae e

Aδ= =

Ec.(2.18)

Experimentalmente podemos

obtener el valor del Decremento

logarítmico δ de un oscilador, midiendo

las amplitudes que estén separadas entre

sí por n períodos y graficando

0e

n

Alog

A

0

e

n

Alog n

A= δ

43

versus n para diferentes valores de n. La

gráfica que se obtenga debe ser una

recta ya que la ecuación (2.18) es lineal.

La pendiente de esta recta es el

Decremento δ .

Tiempo de Relajación o Módulo de

Decaimiento.

Otra manera de expresar el efecto

resistivo es mediante el tiempo

transcurrido hasta que la amplitud decae

desde su valor inicial A0 hasta un valor

1

0 0A 0,368Ae− =

Este tiempo es llamado tiempo de

relajación o módulo de decaimiento y es

característico de todos los sistemas con

comportamiento de tipo exponencial. Para

obtener este tiempo de relajación

utilizamos la ecuación (2.14)

b t

2m 10 0A(t) A e A e

− −= =

Esta amplitud se logra en un tiempo

2m

tb

= .

Ec.(2.19)

Medir el decaimiento natural en

términos de la fracción 1e− del valor

original es un procedimiento normal en

física. El tiempo para que el proceso

natural de decaimiento llegue a cero es,

por supuesto, teóricamente infinito.

Factor de Calidad o Valor Q de un OAS

Amortiguado.

Este método mide la tasa a la cual la energía decae. Se

determina el tiempo que requiere para que la energía disminuya a

de su valor inicial. Utilizamos la ecuación (2.15)

bt

m0E(t) E e

−

=

donde 0E es el valor de la energía en

t 0= .

El tiempo que tarda la energía E en

decaer a 1

0E e− viene dado por

t m / b= = τ durante el cual el sistema

habrá oscilado un número de ciclos

determinado por el argumento del coseno

de la ecuación (2.16) cuando sustituimos

( t′ω ) por ( ′ω τ ) rad.

Se define el factor de calidad

m

Qb

′ω′= = ω τ

como el número de oscilaciones, medida

en radianes, que realiza el sistema hasta

que la energía decae a

1

0E E e−=

Como b es pequeño para un oscilador

subamortiguado, entonces Q es muy

grande y

2

2

k b

m 4m

1/2

0

k

m

′ω ≈ ω =

Por lo tanto escribimos, para una

aproximación cercana,

que es una constante del sistema

amortiguado.

Ya que b / m ahora es igual a

0 / Qω (b pequeños) podemos reescribir la

ecuación (2.15) en función del factor de

calidad Q como sigue

Podemos relacionar Q con la

pérdida relativa de energía por ciclo

ciclo

E

E

∆

de la siguiente manera. Derivamos la

ecuación (2.15) con respecto al tiempo

1 e

00

mQ

b

ω= = ω τ

44

bt

m0E(t) E e

−

=

bt

m0

dE b bE E

dt m me

−

= − = −

Reescribimos la expresión anterior de la

siguiente manera dE b

dtE m

−=

Si la amortiguación es

suficientemente débil para que la pérdida

de energía por ciclo sea pequeña, podemos

reemplazar dE por ∆E y dt por el período T

, donde 0

T 2= π ω

La pérdida relativa de energía será

0ciclo

E b 2 bT

E m m

∆ π= =

ω

Sustituyendo la ecuación (2.20) en la

expresión anterior

ciclo

E 2

E Q

∆ π=

Ec.(2.21)

Dicho de otra manera: El hecho de

que Q sea una constante

0( m / b)= ω implica que la relación

energía almacenada en el sistema Q

energía perdida por ciclo de oscilación 2=

π

es también una constante.

El factor de calidad Q juega un rol

muy importante en el estudio del

fenómeno de resonancia. En primer lugar

está relacionado con el ancho de banda de

absorción de un oscilador armónico,

forzado a oscilar con una frecuencia

cercana a su frecuencia natural de

oscilación ω0. Asimismo, representa el

factor por el cual el desplazamiento del

oscilador es amplificado al resonar.

También podemos escribir la

frecuencia exacta de un oscilador

subamortiguado ω’ en función del factor

de calidad Q.

2 2 2

2 2 2

0 02 2 2 2

0

k b b b1

m 4m 4m 4m

′ω = − = ω − = ω −

ω

y, como0

Q m b = ω

2 2

0 2

11

4Q

′ω = ω −

Si Q es grande, 0

′ω ≈ ω

Asimismo, podemos escribir la

ecuación diferencial de movimiento en

función de Q y ω0

200x x x 0

Q

ω+ + ω =

Ejemplo 9: Estudio del factor de calidad Q

y la pérdida de energía de un sistema

amortiguado.

Cuando se pulsa la cuerda La (440

Hz) de la guitarra se observa que la mitad

de la energía se pierde en 4 segundos. (a)

¿Cuál es el tiempo de relajación τ de la

energía?; (b) Obtenga el factor de calidad

Q de esta cuerda; (c) ¿Cuál es la pérdida de

energía por ciclo de oscilación?

Utilizaremos la expresión de la energía

contenida en la ecuación (2.15)

tbt

m0 0E(t) E Ee e

−−τ= =

(a) Para calcular el tiempo de

relajación utilizaremos el hecho

que en t = 4 s, la energía inicial 0

E

ha decaído a la mitad, es decir,

45

0E 2 . Introduciendo estos valores

en la ecuación anterior

4

00

4

EE( ) E

2

1

2

e

e

−τ

−τ

τ = =

=

aplicamos logaritmo natural (loge) a

ambos lados de la expresión y

despejamos τ

e

e

4log 2 s

4s5.77s

log 2

=τ

τ = =

(b) Utilizamos la ecuación (2.20) para

calcular el factor de calidad Q

1

0

3

Q 2 (440s )(5.77s)

Q 15.95*10

−= ω τ = π

=

(c) Para calcular la pérdida de energía

por ciclo de oscilación, utilizaremos la

ecuación 2.21

4

ciclo

E 23.93*10

E Q

− ∆ π= =

Sería interesante conocer cuánto ha

disminuido la amplitud de la oscilación

a los 4 segundos. Para esto

utilizaremos la ecuación (2.14) b t

2m0A(t) A e

−=

Sustituyendo en la ecuación anterior

los datos t = 4s

b m 1 0.173= τ =

obtenemos

( )0.173 2

0

0

A(t) A e

0.71A

−=

=

Comparando la disminución de ambas

magnitudes a los 4s

0

0

E(t 4s) 50%E

A(t 4s) 71%A

= =

= =

Encontramos que la energía decae más

rápidamente

Energía Disipada

Hemos observado que la presencia

de una fuerza resistiva o

amortiguadora reduce en el tiempo la

amplitud de oscilación a medida que la

energía es disipada.

La energía total sigue siendo la

suma de la energía cinética y la energía

potencial, tal como lo vimos en el

oscilador armónico simple

2 2

tot

1 1E mx kx

2 2= +

Pero, a diferencia de éste, dE/dt es

diferente de cero, ya que la energía se

pierde en cada ciclo de oscilación. Si

diferenciamos la energía

( )2 2dE d 1 1mx kx x mx kx

dt dt 2 2

= + = +

y utilizamos la ecuación diferencial del

oscilador amortiguado,

mx bx kx 0 mx kx bx+ + = ⇒ + = −

46

obtenemos la variación de la energía

relacionada con la fuerza

amortiguadora

dE

bxdt

= −

con lo cual se comprueba que la

pérdida de energía (observe el signo

negativo) se debe precisamente a la

fuerza resistiva o amortiguadora.

También es válido decir que es la razón

o rapidez a la cual se hace trabajo en

contra de la fuerza resistiva.

47

PROBLEMAS

Osciladores amortiguados mecánicos

1.- Un objeto de 2 kg cuelga de un resorte

de constante k = 400 N/m. El sistema oscila

con una amplitud inicial de 3 cm. Si la

energía disminuye en 1% por período,

hallar la constante de amortiguamiento b y

el factor Q.

2.- Una masa de 5 kg se cuelga de un

resorte de constante elástica 80 N/m y

longitud sin estirar prácticamente nula. Se

baja lentamente la masa sometida a la

acción de la gravedad hasta que el sistema

queda en equilibrio. Hallar: a) Longitud en

reposo del resorte estirado por el peso de

dicha masa. b) Si en estas condiciones se

hace oscilar la masa verticalmente, calcule

la frecuencia de las oscilaciones. c) Se

desplaza la masa 1 cm por debajo de su

posición de reposo y se le imprime una

velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s.

Calcule la energía total del movimiento

armónico. e) Calcule la amplitud del

movimiento en cm y la velocidad máxima

en cm/s. f) Calcule la máxima fuerza

restauradora y la aceleración máxima del

movimiento en cm/s2. g) El sistema es

disipativo y se observa que la amplitud de

oscilación al cabo de 1 minuto es de 1cm.

Calcule el tiempo de relajación (constante

de tiempo). h) Calcule el porcentaje de la

energía total que el sistema pierde en cada

oscilación. i) Suponiendo que el sistema

se considera detenido cuando su amplitud

es menor de 1mm ¿Cuántos minutos

tardará en detenerse?

3) Un péndulo de masa 100 g y longitud 1

m, se suelta desde un ángulo inicial de 27

x10-2 rad. Después de 1000 s, su amplitud

ha sido reducida por fricción a 9 x10-2

rad.

¿Cuál es el valor del coeficiente de

amortiguamiento b?

4) Un bloque de masa 10 kg oscila en el

extremo de un resorte vertical cuya

constante de rigidez es 2 x 104 kg/s

2. El

efecto de resistencia del aire está dado por

el coeficiente de amortiguamiento b = 3

kg/s. Calcule: (a) frecuencia de oscilación

del sistema amortiguado; (b) porcentaje de

disminución de la amplitud en cada ciclo de

oscilación; (c) intervalo que transcurre

hasta que la energía del sistema decae a

5% de su valor inicial.

5) Considere un oscilador amortiguado.

Suponga que la masa es de 375 g, la

constante del resorte es de 100 N/m, y b =

0.100 N•s/m. (a) ¿Cuánto tarda la amplitud

en caer a la mitad de su valor inicial?

(b)¿Cuánto tarda la energía mecánica en

caer a la mitad de su valor inicial? (c)

Demuestre que, en general, la cantidad

fraccionaria a la que la amplitud disminuye

en un oscilador armónico amortiguado, es

la mitad de la cantidad fraccionaria a la que

disminuye la energía mecánica.

6) Una masa de 2 kg estira un muelle 49.05

cm hasta llegar a la posición de equilibrio. La constante de amortiguamiento del

sistema es de 8 5 kg/seg. Si la masa se

desplaza 10 cm hacia abajo del punto de

equilibrio y en esta posición se le imprime

una velocidad de 2 m/seg en el mismo sentido, (a) Hallar la posición de la masa en

cualquier instante, (b) Determine cuándo

llegará a su máximo desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, (c)

¿Qué tipo de amortiguamiento tiene este

oscilador?.

7) La suspensión de un vehículo pesado es

un sistema amortiguado representado por

un modelo como el de la figura. El vehículo

se desplaza con velocidad constante v y

choca con una irregularidad que se

encuentra en su camino, lo cual genera un

desplazamiento vertical inicial de 0.2m y

una velocidad inicial de 0.1m en la base. Si

la masa del vehículo es de 5000 kg, la

rigidez del resorte es 2800 kN/m y el

coeficiente de amortiguamiento de la

48

fuerza b es 18 kN.s/m, determine (a) La

expresión del desplazamiento; (b) ¿Cuánto

tiempo transcurre hasta que el sistema

regresa a su posición de equilibrio?

8) Se cuelga un objeto de masa 0.2 kg de

un muelle cuya constante es de 80 N/m. Se

somete el objeto a una fuerza resistiva -bv.

Si la frecuencia del oscilador amortiguado

ω´ es 3 2 el valor de ω. (a) Calcule el

valor de la constante b; (b) Halle el factor

de calidad Q del sistema; (c) ¿En qué factor

se reducirá la amplitud del sistema después

de 10 ciclos completos?

9) Cuando se pulsa la tecla “do” del piano

(256 Hz) su energía de oscilación disminuye

a la mitad de su valor inicial en 1 segundo.

(a) Calcule el factor de calidad Q del

sistema. Si se pulsa la tecla

correspondiente a una octava más alta

(512 Hz), se observa que emplea el mismo

tiempo para perder su energía (tiempo de

relajación). ¿Cuál es su Q?

10) Un objeto de masa 1.2 kg oscila sobre

un muelle de constante k = 600 N/m. El

sistema pierde el 3% de su energía en cada

ciclo de oscilación. ¿Cuál es el valor del

factor de calidad Q del sistema?

11) Un péndulo simple de 1 metro de

longitud se encuentra inicialmente

formando un ángulo de 15º con la vertical.

Luego de 1000s, su amplitud angular se ha

reducido a 5.5º. ¿Cuál es el valor de b/2m?

12) Un objeto de 10.6 kg oscila en el

extremo de un resorte vertical, de

constante de elasticidad k = 2.05x104

N/m.

El coeficiente de amortiguamiento b es de

3 N.s/m. (a) ¿Cuál es la frecuencia del

oscilador amortiguado?; (b) ¿En qué

porcentaje disminuye la amplitud con cada

ciclo de oscilación?; (c) ¿Qué tiempo se

necesita para que la energía disminuya

hasta 5% de su valor inicial?

13) Un oscilador armónico amortiguado

consta de un bloque de 1.91 kg unido a un

resorte de constante k = 12.6 N/m. Si la

amplitud inicial es de 26.2 cm y disminuye

a tres cuartas partes de su valor inicial

después de 4 ciclos completos, halle el

valor de la constante b y la energía perdida

en ese intervalo.

Osciladores amortiguados eléctricos

14) Se tiene un circuito serie RLC con un

resistor de resistencia R = 7.22 Ω, un

inductor de inductancia L = 12.3 H y un

capacitor de capacitancia C = 3.18 µF.

Inicialmente el capacitor tiene una carga de

6.31 µC y la corriente en el circuito es cero.

Calcule la carga del capacitor cuando hayan

transcurrido N ciclos completos, con N = 5,

10 y 100.

14) En un circuito LC de capacitancia 12 µF

e inductancia 220 mH halle la resistencia

que se requiere conectar en serie para que

la carga máxima disminuya hasta 99% de

su valor inicial en 50 ciclos.

15) La frecuencia natural de oscilación de

un circuito LC de capacitancia C1 e

inductancia L1 es ω0. La frecuencia natural

de oscilación de otro circuito LC de

capacitancia C2 e inductancia L2 también es

ω0. ¿Cuál será la frecuencia natural de un

circuito en serie formado por estos cuatro

elementos?

Anexo C

Método de exponente complejo para resolver la ecuación diferencial del sistema

amortiguado

Partiendo de la ecuación diferencial del oscilador amortiguado desarrollada en el capítulo 2

mx bx kx 0+ + = Ec.(C.1)

y recordando que podemos representar el oscilador armónico como la proyección de un vector

en rotación o fasor que describe un MCU, admitiremos que x es la parte real del fasor z ,

x Re z= , en donde z satisface la ecuación (C.1)

mz bz kz 0+ + = Ec.(C.2)

Como ya sabemos, una exponencial compleja es una función periódica por lo que proponemos

una solución de la forma

( )j s t

z Ae+ φ

=

en donde A yφ son constantes que utilizaremos para ajustar los valores dados por las

condiciones iniciales (valores iniciales de desplazamiento y velocidad). Derivando y

sustituyendo en la ecuación (C.2) tenemos

( ) ( )j s t2ms jbs k Ae 0+ φ

− + + =

Como la ecuación anterior debe cumplirse para todo tiempo t,

2ms jbs k 0− + + =

Llamaremos b

mγ = y

2

0

k

mω = , con lo que la ecuación anterior nos queda

2 2

0s j s 0− + γ + ω = Ec.(C.3)

Observamos en primer lugar una ecuación cuadrática en el término s, por lo tanto

debemos obtener dos soluciones. En segundo lugar, s debe ser complejo ya que, si fuera real

puro, el segundo término de la izquierda, jγs, sería una magnitud imaginaria pura y no tendría

con quien anularse o compensarse y la ecuación (C.3) no se cumpliría.

Escribimos s en la forma compleja

s q jp= +

donde q y p son reales, y sustituimos en la ecuación (C.3),

2 2 2

0q 2 jqp p j q p 0− − + + γ − γ + ω =

Podemos separar la parte real de la imaginaria y así obtenemos dos ecuaciones

Parte real: 2 2 2

0q p p 0− + − γ + ω = (1)

Parte imaginaria: 2 jqp j q 0− + γ = (2)

De la ecuación (2) obtenemos el valor de p p2

γ=

Sustituimos este valor en la ecuación (1) y obtenemos el valor de q

22 2

0q4

γ= ω −

A continuación podemos escribir el número complejo s

22

0s4 2

γ γ= ω − + j

Finalmente sustituimos en la solución

12 2

20 j t

4 2

z Ae

γ γ ω − + + φ

=

j

Aplicando la propiedad distributiva en el exponente

12 2

20 t

4t2z Ae e

γ ω − + φ γ − =

j

Hacemos

12 2

2

04

γ′ω = ω −

0≤ ω

con lo que la solución nos queda

[ ] [ ]

bt tt t2 2mz Ae e Ae e

γ− −′ ′ω + φ ω + φ

= =j j

,

Sabiendo que i

e cos jsenθ = θ + θ podemos escribir

[ ]b

t2mz Ae cos( t ) sen( t )

−

′ ′= ω + φ + ω + φj

Finalmente, como x Re z=

bt

2mx Ae cos( t )−

′= ω + φ

La gráfica de esta función se muestra en la Figura C.1 para φ=0

Figura C.1 Gráfica del Oscilador Amortiguado con φ=0

Los ceros de esta función se encuentran separados una cantidad constante ∆t igual a medio

período, o t′ω ∆ = π