libro de cuarto

Matemática cuarto

Centro Educativo Kinal

I

GEOMETRÍA Y ALGEBRA CON APLICACIONES

PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR

INTRODUCCIÓN Este libro no pretende sustituir el álgebra sino por el contrario, poner los temas mucho más claros para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de álgebra que se le presente. Daremos en el mismo todo lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los capítulos posteriores. A su vez, se da una idea, tan precisa como es posible, de qué es el álgebra y cual es su estructura. Esto es con el propósito de aclarar cual será el material que conforma a este libro, pues el término álgebra es usado para nombrar libros cuyo contenido es muy distinto al de éste.

De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están basadas a lo que realmente necesitamos conocer para poderlas aplicar. Como este libro es para Cuarto, al inicio se hace una recapitulación de todo lo visto en el ciclo básico, el objetivo es complementarlo para que se puedan aprender mejor todos los temas que trataremos. Confiamos en que la estructura del mismo se presta para ello.

Gracias a algunos alumnos que han solicitado becas en otros países y que han venido a solicitar ayuda para poder someterse a los exámenes en las embajadas correspondientes, hemos logrado recopilar contenidos de temas que necesitan saber para poder ingresar a las universidades de esos países. Estos temas ya están siendo adicionados a nuestros contenidos para poder lograr sacar a nuestros alumnos con un nivel distinto. He leído que la visión de Kinal es formar a los mejores técnicos para facilitarles su inserción en el campo laboral del país Y “para quienes quieran ingresar posteriormente a la Universidad, proporcionarles una excelente preparación académica”. Nuestra intensión es que nuestros

Introducción


II

alumnos egresados tengan un nivel internacional también en el área de matemáticas.

En la primera sección se presenta un estudio sobre la geometría, pues en todos los documentos que nos han traído está la geometría, esta es la razón por la cual la incluimos y tratamos de que sea muy completa, pues además de esta, agregamos algunos teoremas importantes como el Thales, pues, como la experiencia nos convence, el conocimiento de ésta es fundamental, no solo para pasar a los capítulos siguientes, sino para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material más abstracto o avanzado.

La segunda sección contiene información al respecto de la naturaleza del álgebra. Creemos que una sección así es digna de cursos de álgebra a nivel universitario, ya que a este nivel nuestros alumnos deben comenzar a concebir el álgebra, y las matemáticas en general, como una ciencia lógica, deductiva y rigurosa, así como también debe percatarse de que el álgebra estudiada aquí, con todo y su estructura, es tan solo una de tantas álgebras posibles y con propósitos distintos, no menos valiosos.

El autor.

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III

INDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA

Objetivos 3

1.1 Geometría 5 1.1 Polígonos 5 1.1.2 Clasificación 5 1.1.3 Perímetro y área 6 1.1.4 Diagonal 6 1.2 Cuadrado 10 1.3 Rectángulo 10

1.4 Rombo 11 1.5 Romboide 12 1.6 Trapecios 13 1.7 Triángulos 16 1.8 Clasificación 17

1.8.1 Por sus lados 17 Equiláteros 17

Isósceles 17 Escalenos 17 1.8.2 Por sus ángulos 17 Rectángulos 17 Acutángulos 17 Obtusángulos 17 1..8.3 Líneas del triángulo 20 Mediana 20 Mediatriz 20 Bisectriz 20 Alturas 21 1.8.4 Centros del triángulo 21 Baricentro 21 Circuncentro 21 Incentro 22 Ortocentro 22

1.9 La Línea 25 1.9.1 Rectas paralelas 25 1.9.2 Rectas perpendiculares 25

1.10 La circunferencia 26

Índice


IV

1.10.1 Líneas de la circunferencia 26 Radio 26 Diámetro 26 Cuerda 26 Flecha 27 Tangente 27 Secante 27

Area o superficie 28 1.11 Polígonos regulares 29 1.11.1 Apotema 29 1.11.2 Volumen 32 1.12 Poliedros 32 Caras 33 Diagonal 33 Angulo diedro 33 Angulo poliedro 33 Arista 33 Vértice 33 Formulario 34 Problemas propuestos 36 1.13 Angulos 53

1.13.1 Por su tamaño 53 Agudos 53 Rectos 50 Obtusos 54 Llanos 54 1.13.2 Transportador 54 1.14 Rectas, rayos y segmentos 55 1.15 Teorema de rectas paralelas Para ángulos 57 1.16 Teorema de Thales 61 1.16.1 Teorema de rectas paralelas Para segmentos 61 1.16.2 Teorema de triángulos 63 1.16.3 Triángulos semejantes 67

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V

UNIDAD 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA Objetivos 79 2.1 Algebra 79 2.2 Notación algebraica 79 2.3 Leyes de exponentes 80 2.4 Radicales 86 2.4.1 Simplificación de radicales 89 2.5 Racionalización 89 2.6 Productos notables 94 2.6.1 Cuadrado de un binomio 94 2.6.2 Producto de la forma (x + a)(x + b) 97 2.6.3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades iguales 98 2.6.4 Cubo de un binomio 100 2.6.5 Cuadrado de un trinomio 101 2.7 Factorización 104 2.7.1 Término Algebraico 104 2.7.2 Factor común 106 2.7.3 Diferencia de cuadrados 108 2.7.4 Suma y diferencia de cubos 110 2.7.5 Trinomios 112 2.7.6 Agrupación de términos 121 2.7.7 Cubo perfecto de binomios 122 2.8 Simplificación de fracciones 124 2.8.1 Sumas y restas de fracciones 127 2.8.2 Multiplicación de fracciones 128 2.8.3 División de fracciones 130

UNIDAD 3 ECUACIONES

Objetivos 135 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 136 3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario 142 3.1.2 Problemas resueltos 149 3.2 Ecuaciones de segundo grado 161 3.2.1 solución por Factorización 161

Índice


VI

3.2.2 Completación al cuadrado 163 3.2.3 Fórmula cuadrática 168 3.2.4 Problemas de aplicación 175

UNIDAD 4 NUMEROS COMPLEJOS E INECUACIONES

Objetivos 179 4.1 Números complejos 180 4.1.1 Operaciones con números complejos 181 4.2 Ecuaciones de otros tipos 183 4.3 Desigualdades lineales o inecuaciones 189 4.4 Más sobre desigualdades 196

UNIDAD 5 FUNCIONES Y GRAFICAS

Objetivos 203 5.1 Plano cartesiano 203 5.2 Distancia entre dos puntos 206 5.3 Fórmula de Herón 207 5.4 Punto medio 212 5.5 Ecuación de la recta 213 5.6 Gráficas de ecuaciones 218 5.7 Ecuación de la circunferencia 228 5.8 La recta 233 5.8.1 Ecuación estandar de la recta 233 5.8.2 Ecuación general de la recta 233 5.8.3 Pendiente 234 5.8.4 Rectas paralelas 235 5.8.5 Rectas perpendiculares 235 Bibliografía 247

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1

Primera unidad: Geometría


2

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3

OBJETIVOS Durante el curso se tratará de lograr que todos los alumnos sean capaces de:

Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.

Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y resolver problemas de aplicación.

Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización.

Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas para poderlas aplicar en las distintas demostraciones.

Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.

Geometría plana Introducción:

Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría. Esta se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban.

La geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente.

La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental, analítica, diferencial y proyectiva

El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas.

Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido: Pitágoras, Thales de Mileto, Descartes, Euler y Gauss.



4

Importancia

¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón: ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?.

Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica, antes de hacer conclusiones.

Otro es el adiestramiento en el uso exacto del idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.

Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.

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5

GEOMETRIA La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades de las formas o figuras del espacio, como son: Puntos, rectas, planos, curvas, polígonos, superficies, poliedros, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, la regla, el teodolito, el pantógrafo etc.

Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

1.1 POLÍGONOS Figura geométrica plana cerrada que no se corta a si misma.

1.1.2 Clasificación de los Polígonos Los polígonos se clasifican básicamente en:

POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS IRREGULARES

Polígono Regular Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud. Se clasifican en:

triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, cuadrado: polígono regular de 4 lados, pentágono regular: polígono regular de 5 lados, hexágono regular: polígono regular de 6 lados, heptágono regular: polígono regular de 7 lados, octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así

sucesivamente.



6

1.1.3 PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS. Perímetro de un polígono El perímetro es la longitud de toda la ori l la de una figura, es decir, es la suma de todos los lados de un polígono

Area de un polígono Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana Ejemplo

20 cm

5cm 5cm

20 cm

Si el rectángulo anterior tiene 20 cm de largo y 5 cm de ancho, su perímetro es de 20cm + 5cm + 20cm + 5 cm = 50cm. Y su área es de 20cm(5cm) = 100cm2

1.1.4 DIAGONAL Es una l ínea recta que se traza dentro de un polígono de esquina a esquina. Para encontrar el número de diagonales que tiene un polígono regular, podemos utilizar la siguiente fórmula:

2

)3(

nnD En donde n es el número de lados o vértices del polígono

Ejemplo 1:

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7

Encuentre el número de diagonales que tiene un exágono

2

)3(

nnD

92

)3(6

2

)36(6

D

También podemos obtener el número de l íneas que tiene un polígono, por ejemplo, en el exágono anterior encontramos el número de diagonales que tiene, pero podemos encontrar el número de l íneas que tiene incluyendo las de las ori l las. Vamos a poner un ejemplo sencil lo que puede ser una aplicación: si hay 6 personas en una reunión y al despedirse se dan un apretón de manos cada una, podemos hacer el ejemplo gráfico, señalando con una l ínea cada apretón de manos. Escribimos primero 6 puntos que representan las 6 personas y vayamos uniendo cada punto con una l ínea, esto representará las veces que da la mano cada persona. Estos movimientos se representan en las siguientes gráficas.

. .

. . 1)

. .



8

. .

2) . .

. . . .

3) . .

. . . .

4) . .

. . . .

5) . .

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9

Estas son las veces que da la mano el primero. Siguiendo

con la segunda persona nos queda

Y al terminar de dar la mano todas las personas, cubriendo todos los puntos obtenemos la misma figura que la anterior

Contando las l íneas nos damos cuenta que son 15 porque se cuentan también las de las ori l las, en la anterior eran 9 porque únicamente se contaban las diagonales. Esto indica que 6 personas, dándose la mano todas, se obtendrán 15 apretones de manos. Este número de l íneas se puede encontrar a través de la siguiente fórmula.

2

2 nnN

Que también se puede escribir 2

)1(

nnN

En donde a la N es el número de l íneas del polígono y n es el número de lados que tiene



10

1.2 CUADRADO Un cuadrado es una figura geométrica que tiene cuatro lados

iguales y sus ángulos son rectos, es decir, de 90o

d l

l = lado

diagonal 2ld

Perímetro lp 4

Area 2lA

Ejemplo 2: Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un cuadrado de 6m de lado. Solución:

2lA 2ld lp 4

2)6( mA 26md )6(4 mp

A=36m2 d=8.49m p=24m

1.3 RECTANGULO Un rectángulo es una figura geométrica que tiene cuatro lados pero no son iguales los cuatro, son iguales los lados paralelos entre sí. Sus ángulos sí son rectos.

d

h

b

Diagonal 22 hbd

Perímetro )(2 hbP

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11

Area hbA *

Ejemplo3: Encuentre el perímetro, la diagonal y el area de un rectánculo que mide 12m de largo y 8 m de ancho. Solución: util izando las fórmulas que conocemos

Perímetro )(2 hbP

)812(2 P

)20(2P

P = 40m.

Diagonal 22 hbd

22 hbd

22222 20864144)8()12( mmmmmd

D=14.42m

Area hbA *

A = 12m(8m)

A = 96m2

1.4 ROMBO Un rombo es una figura geométrica en la cual todos sus

lados son iguales, es decir, t ienen la misma longitud y son

paralelos dos a dos; se diferencia del cuadrado en que sus

ángulos no son rectos, podríamos decir que es un cuadrado

deformado.

lP 4



12

2

* dDA

Ejemplo 4:

Encuentre el área y el perímetro del siguiente rombo

Solución

P = 4*17 = 68cm.

P = 68cm. 2240

2

16*30cmA

A = 240cm2

1.5 ROMBOIDE El romboide es un paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida. Los lados paralelos miden lo mismo, podríamos decir que es un rectángulo deformado puesto que sus ángulos no son rectos.

Area de un Romboide

P=2(a + b)

A= bh

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Ejemplo 5:

Encuentre el área y el perímetro del siguiente romboide

Solución:

P = 2(4+4.5) = 2(8.5) =17cm

A = 4(4) = 16cm2

1.6 TRAPECIOS Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.

b

h

a

Tipos de trapecios

Los trapecios pueden ser: isósceles, rectángulos y escalenos.

Se llama trapecio isósceles si tienen igual medida los lados no paralelos.

Los trapecios escalenos se caracterizan porque no tienen ninguno de sus lados igual a otro y tampoco tienen ningún ángulo recto.



14

Trapecio rectangular es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.

La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.

2

bam

En un trapecio isósceles: los ángulos adyacentes a cada base tienen la misma amplitud, y los ángulos opuestos son suplementarios.

Cálculo de la altura de un trapecio

La altura (h) de un trapecio puede calcularse, en función de las dos bases (a,b) y de los dos lados (c,d), mediante la siguiente ecuación:

)(2

)(4222222

ba

badcdch

b

c h d

a

En donde a es la base mayor, b la base menor y, los lados no paralelos son c y d.

Área de un trapecio

El área A de un trapecio de bases a y b y altura h es:

2

)( bahA

Es decir, la semisuma de las dos bases, o sea la mediana, multiplicada por la altura del trapecio.

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15

Ejemplo 6:

Encuentre el área de un trapecio cuyas bases miden 17cm y 8cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5cm y 7.21cm.

Solución:

Como no me dan la altura y la necesito para encontrar el área, tengo que buscarla primero a través de la fórmula

)(2

)(4222222

ba

badcdch

)817(2

)817(21.75)21.7()5(4222222

h

)9(2

)9(9841.5125)9841.51)(25(4 2h

18

)0159.4(41.5198 2h

18

12745281.1641.5198 h

18

28254719.5182h

18

988.71h

h = 4

Ahora que ya tenemos la altura, utilizamos la fórmula para encontrar el área



16

2

)( bahA

2

)817(4 A

2

)25(4A

2

100A

A = 50cm2

1.7 TRIÁNGULOS Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de 3 rectas que se cortan en 3 puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo será siempre de 1800

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1.8 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

1.8.1 POR LA LONGITUD DE SUS LADOS Los triángulos, por la longitud de sus lados se clasifican en: Equiláteros, isósceles y escalenos

Triángulos equiláteros: Son los triángulos que tienen la misma medida en todos sus lados

Triángulo Isósceles: Son los triángulos que tienen dos lados iguales y su tercer lado tiene diferente medida

Triángulo escaleno: Son los triángulos que no tienen ningún lado con la misma medida.

Equilátero Isósceles Escaleno

1.8.2 POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS Los triángulos, por la medida de sus ángulos se clasifican en: Triángulo rectángulo, triángulo obtusángulo y triángulo acutángulo

Triángulos Rectángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo recto o de 90o

Triángulos Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso o que mide más de 90o

Triángulos Acutángulos: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos agudos que miden menos de 90o



18

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Ejemplo 7. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. Respectivamente.

Solución: Como el triángulo es rectángulo, podemos encontrar el área directamente ya que en un triángulo rectángulo los catetos son la base y la altura

A = 2

1 bh = 2

1 (6*8)

A = = 24cm2.

Para encontrar el perímetro necesitamos conocer el tercer lado, que en este caso, por ser triángulo rectángulo es la hipotenusa. En un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

C2 = a2 + b2

22 bac

22 86 c

6436 c

100c

c = 10cm.

Ahora ya podemos encontrar el perímetro

P = a + b + c

P = 6cm + 8cm + 10cm

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P = 24 cm.

Ejemplo 8 Encuentre el área de un triángulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5cm.

Solución: Como no me indican que sea un triángulo rectángulo, asumiremos que únicamente es escaleno. Para encontrar el área de cualquier triángulo, conociendo la longitud de sus tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón

))()(( csbsassA

En donde s es el semiperímetro del triángulo. Semiperímetro significa la mitad del perímetro que es lo mismo que semisuma o sea la mitad de la suma.

2

cbas

2

122

543

s

s

s = 6

A = 6cm2

36

)1)(2)(3(6

)56)(46)(36(6

A

A

A



20

1.8.3 LÍNEAS DEL TRIANGULO

MEDIANA La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, sin importar que sea perpendicular o no a este lado.

MEDIATRIZ Es una línea recta que corta a la mitad el lado del triángulo pero es perpendicular a él.

La mediana y la mediatriz cortan un segmento a la mitad; La diferencia entre ellas es que la mediana no es perpendicular al lado que corta y la mediatriz sí.

BISECTRIZ Es una línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales, es decir, parte a un ángulo a la mitad

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21

ALTURAS Son líneas rectas que pasa por los vértices pero son perpendiculares al lado opuesto de éste

1.8.4 CENTROS DEL TRIÁNGULO Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

BARICENTRO El baricentro es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados del triángulo.

CIRCUNCENTRO El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Recibe este nombre por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.



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INCENTRO Se denomina al punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. Tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo, ya que equidista de sus tres lados. El incentro puede hallarse intersectando sólo dos bisectrices, pues la tercera pasará siempre por este punto.

ORTOCENTRO es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

El único caso en que los tres primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

El área de un triángulo se encuentra multiplicando la base por la altura dividido 2

2

bhA

Y el perímetro es la suma de la longitud de sus tres lados.

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Ejercicios 1 1. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un cuadrado que

tiene 3 m de lado.

2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

3. Encuentre el número de diagonales que tiene un eptágono

4. Encuentre el número de diagonales que tiene un eneágono

5. Encuentre el número de líneas que tiene un octágono

6. Encuentre el número de líneas que tiene un pentágono

7. A una fiesta acudieron 8 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total?

8. A una fiesta acudieron 15 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dándose un apretón de manos cada uno. ¿Cuántos apretones de manos se contaron en total?

9. Encuentre el área, la diagonal y el perímetro de un rectángulo que tiene 15 cm de longitud y 12 cm de ancho.

10. Hallar el la diagonal, el área y el perímetro de un rectángulo cuya base mide 25 cm y su altura 15cm.

11. Encuentre el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 15cm y 9 cm respectivamente y sus lados 10 cm.

12. Encuentre el área y el perímetro de un rombo que tiene diagonales de 25cm y 15 cm y sus lados miden 18cm.

13. Encuentre el área y el perímetro de un romboide que miden 5cm y 6 cm respectivamente sus lados y su altura mide 4 cm.

14. Encuentre el área y el perímetro de un romboide cuya altura es de 6 cm. Y sus lados miden 7cm y 9 cm.

15. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 13cm y 7 cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5 cm.



24

16. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles que miden 23 cm y 5 cm sus lados paralelos y 15 cm sus lados no paralelos.

17. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 10 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 3 cm.

18. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 4 cm.

19. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 16 cm y 4 cm respectivamente y su altura mide 8 cm.

20. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 21 cm y 3 cm respectivamente y su altura mide 12 cm.

21. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio escaleno cuyas bases miden 24 cm y 5 cm y sus lados no paralelos miden 20 cm y 12.34 cm respectivamente.

22. Encuentre el área y el perímetro de un trapecio escaleno cuyas bases miden 18 cm y 3 cm y sus lados no paralelos miden 15 cm y 9.4868 cm respectivamente.

23. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero que sus lados miden 9 cm.

24. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados miden 12 cm.

25. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 5 cm

26. Encuentre el área y el perímetro de un triángulo que tiene una altura de 12 cm.

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1.9 LA LINEA Es una sucesión continua de puntos contenidos en un plano. Esta puede ser:

Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.

Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.

Línea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.

Propiedades de líneas rectas

1.9.1 Rectas paralelas: Son líneas que se encuentran a la misma distancia en toda su trayectoria, es decir, aunque se prolonguen indefinidamente nunca se encuentran o intersectan

1.9.2 Rectas perpendiculares Son líneas que cuando se cruzan o intersectan forman ángulos

rectos o de 900



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1.10 LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud.

1.10.1 Líneas de la circunferencia Radio Diámetro Cuerda Flecha Tangente Secante

Radio Es un segmento que sale del centro a cualquier parte de la circunferencia

Diámetro Es un segmento que atraviesa a la circunferencia pasando por el centro, es decir, divide a la circunferencia en dos partes iguales

Cuerda Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia

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27

Flecha

Segmento que une el punto medio de una cuerda con un punto de la circunferencia y es perpendicular a dicha cuerda.

Tangente

Es una recta que pasa por un punto de la circunferencia pero sin introducirse a ella, la recta tangente es siempre perpendicular al radio de la circunferencia

Secante Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. Se diferencia de la cuerda en que la secante atraviesa a la circunferencia.



28

AREA O SUPERFICIE El área o superficie de una circunferencia se encuentra de la siguiente forma Cuando se conoce el radio

2rA Cuando se conoce la longitud del diámetro podemos encontrar el radio, ya que el diámetro es el doble del radio El perímetro o longitud de la circunferencia se encuentra de la siguiente forma

rP 2 Ejemplo: Encontrar el área y el perímetro de una circunferencia que tiene un diámetro de 4 metros Solución: En este caso que nos dan el diámetro, podemos encontrar el radio para encontrar así el área y el perímetro o podemos hacerlo directamente con el diámetro, ya que también se puede puesto que dos radios es un diámetro

rd 2

2

dr

2

2

dA

2

2

4

A

A=π(2)2

A = π(4) A = 12.57m2

Matemática cuarto


29

Como el perímetro encontrándolo a través del diámetro es

dP P = π(4) P = 12.57 m

1.11 POLIGONOS REGULARES

APOTEMA La apotema de un polígono es un segmento de recta trazado desde el centro del polígono hasta la mitad de cualquiera de sus lados, podemos decir que la apotema es la altura del triángulo. a r l

l2

1

Como la apotema corta a la mitad a su lado siendo perpendicular a él, se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras

22

2

1a

lr

El área de un polígono regular se encuentra multiplicando la apotema por la longitud del polígono o sea por el perímetro dividido 2

2

apA



30

El perímetro de un polígono regular se encuentra multiplicando la longitud de cada lado por la cantidad de lados que tenga P = ln Por tanto la fórmula del área también se puede escribir

2

lnaA

Ejemplo: Encuentre el área de un pentágono de radio 5cm y lado 6 cm. Solución Como para encontrar el área necesitamos la apotema, procedemos a encontrarla a través de la fórmula del teorema de Pitágoras. Sabemos también que la apotema corta a la mitad a cada lado y el radio es la línea del centro al vértice, hacemos la siguiente figura

22

2

1a

lr

a = 22 35 a = 925 a = 16 a = 4cm Ahora ya podemos encontrar el área. Es importante denotar que a un polígono se le pueden trazar tantos triángulos como vértices tenga. Observemos el ejemplo en el cual encontramos la apotema y tracemos sus triángulos.

Matemática cuarto


31

r l a Podemos entonces encontrar el área de un triángulo y multiplicar esta por la cantidad de triángulos que tenga la figura, puesto que ya vimos que la apotema es la misma que la altura de un triángulo. Area de un triángulo = base por altura dividido 2

2

4*6A

2

24A

A = 12 cm2. Esta es el área de un triángulo del pentágono, pero como son 5, el área del pentágono que tiene 6 cm. De lado y una altura o apotema de 4 cm. Es: A = 12*5 A = 60cm2

Ejemplo: Encuentre el área y el perímetro de exágono cuyos lados miden 1m. Solución: Los hexágonos tienen las características que los triángulos que se forman en su interior son equiláteros, por lo tanto, sus tres lados miden 1m. Procedemos entonces a encontrar la apotema que es la altura de los triángulos.

22

2

11

a

4

11a



32

4

3a

a= 0.866m. Ahora que ya conocemos la altura, podemos encontrar el área de un triángulo y lo multiplicamos por la cantidad de triángulos que tiene el hexágono que son 6.

6*2

866.0*1A

6*2

866.0A

6*433.0A

1.11.2 VOLUMEN En matemática, el volumen de un cuerpo, es la medida que se le asocia al espacio que ocupa un cuerpo y es tridimensional.

1.12 POLIEDROS Un poliedro, en el sentido dado por la geometría clásica, es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito. El volumen del poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Matemática cuarto


33

CARAS

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que lo limitan

DIAGONAL

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices pertenecientes a las caras opuestas.

ANGULO DIEDRO

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

ANGULO POLIEDRO

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

ARISTA

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras t ienen una arista en común.

VERTICE

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro



34

FORMULARIO

TABLA DE ÁREAS PERÍMETROSY VOLÚMENES

cuadrado

A = a2

P = 4l

triángulo

2

BhA

P = a + b + c

rectángulo

A = B · h

P = 2(B+h)

romboide

A = B · h

P = 2(B + h)

rombo

2

* dDA

P = 4l

trapecio

cabBP

hbB

A

2

)(

polígono regular

2

* PaA

P = ln

círculo

A = π · R2

P = 2 · π· R

corona circular

A = π· (R2 - r2)

sector circular

360

2 onRA

Cubo

A = 6 · a2

V = a3

Cilindro

2A R(h+R)

V = π· R2 · h

Ortoedro

A = 2 · (a·b + a·c + b·c)

V = a · b · c

cono

A = π· R2 · (h + g)

3

2hRV

Matemática cuarto


35

prisma recto

A = P · (h + a)

V = AB · h (3)

tronco de cono

A= π· [g·(r+R)+r2+R2]

V = π· h · (R2+r2+R·r) / 3

tetraedro regular

A = a2 · √3

V = a2 · √2 / 12

esfera

A = 4 · π· R2

3

3

4RV

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · π· R · h

V = π· h2 · (3·R - h) / 3

tronco de pirámide

A=½(P+P')·a+AB+AB'

V = (AB+AB'+√AB·√AB') · h/3

zona esférica

A = 2 · π· R · h

V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6

(1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema

(2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número

(3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;



36

Problemas propuestos de áreas y perímetros.

1. Determinar la medida de los lados de un triángulo

equilátero cuyo perímetro es igual al de un

cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus

áreas?

2. Determinar el lado de un triángulo equilátero que

su perímetro mide lo mismo que el de un cuadrado

de 3 metros de lado.

3. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular

4. Encuentre el área y el perímetro de un pentágono

cuyo radio es de 12cm. y sus lados miden 15cm.

Matemática cuarto


37

5. Hallar el área de un hexágono inscrito en una

circunferencia de 4 cm de radio.

6. Encuentre el área de un hexágono inscrito en una

circunferencia de 5 cm. De radio.

7. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una

circunferencia de 5 cm de radio.

8. Encuentre el área de un cuadrado inscrito en una

circunferencia de 3 cm de radio



38

9. Determinar el área del cuadrado inscrito en una

circunferencia de longitud 18.84cm.

10. Calcular el área de un triángulo equilátero

inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

11. En un cuadrado de 2 cm. de lado se inscribe un

círculo y en este círculo un cuadrado y en este

otro círculo. Hallar el área comprendida entre el

últ imo cuadrado y el últ imo círculo.

Matemática cuarto


39

12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110

cm., las bases miden 40 y 30 cm

respectivamente. Calcular la longitud de los lados

no paralelos y el área del trapecio.

13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles

se prolongan, quedaría formado un triángulo

equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el

trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo,

calcular el área del trapecio.

El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el

área del hexágono regular que tiene su mismo

perímetro.

14. Encuentre el Area y el perímetro de un exágono

inscrito en una circunferencia de radio 32 cm.



40

15. En una circunferencia de radio igual a 4 cm se

inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y

hacia el exterior se construyen triángulos

equiláteros. Hallar el área de la estrella así

formada.

17. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos en dos lados opuestos. Calcula el área.

18. A un hexágono regular de 4 cm de lado se le

inscribe una circunferencia y se le circunscribe

otra. Hallar el área de la corona circular así

formada.

Matemática cuarto


41

19. En una circunferencia se traza una cuerda de 48

cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del

cìrculo.

20. Los catetos de un triángulo inscrito en una

circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm

respectivamente. Calcular la longitud de la

circunferencia y el área del círculo si la hipotenusa

es su diagonal.

21. Calcular el área de la corona circular determinada

por las circunferencias inscrita y circunscrita a un

cuadrado de 8 cm de diagonal.



42

22. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un

ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento

circular comprendido entre una cuerda de 4 cm.

que une los extremos de los dos radios y su arco

correspondiente.

23. Dado un triángulo equilátero de 6 cm. de lado,

hallar el área de uno de los sectores determinado

por la circunferencia circunscrita y por los radios

que pasan por los vértices.

24. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del

triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la

circunferencia.

Matemática cuarto


43

25. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del

cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

26. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm,

respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman

un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular

formado.



44

27. Calcula el área sombreada, sabiendo que el radio del círculo

mide 2 cm.

28. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo

mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2

cm.

29. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm,

ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de

centros B y D.

La parte sombreada se compone de dos segmentos

circulares

Matemática cuarto


45

30. Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el

volumen de un cubo de 5 cm de arista

31. Calcula el área lateral, total y el volumen de una

pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12

cm de altura.



46

32. Calcula el área lateral, total y el volumen de una

pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm

de arista lateral.

33. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de

un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas

24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

34. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono

cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de

5 cm.

Matemática cuarto


47

35. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono

cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

36. Calcular el área lateral, el área

total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2

cm, y de altura 10 cm.

37. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del

tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz

15 cm.

38. Calcular el área del círculo resultante de cortar una

esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya

distancia al centro de la esfera es de 21 cm.



48

39. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en

un ci l indro de 2 m de altura.

40. Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de

radio.

41. Calcula el área y el volumen del siguiente casquete

esférico.

Matemática cuarto


49

42. Calcular el área y el volumen de una zona esférica

cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la

distancia entre ellas es de 5 cm.

43. Encontrar el volumen, en centímetros cúbicos, de una

habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y

2500 mm de alto.



50

44. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de Q.6.00 el metro cuadrado.

a. Cuánto costará pintarla.

b. Cuántos l itros de agua serán necesarios para l lenarla.

45. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2

m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de

largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos

almacenar?

46. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y

un icosaedro de 5 cm de arista.

Matemática cuarto


51

47. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de

la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

48. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para

hacer 10 botes de forma cil índrica de 10 cm de

diámetro y 20 cm de altura.

49. Un cil indro tiene por altura la misma longitud que la

circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.

Calcular:

a. El área total

b. El volumen

50. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro

cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura

l legará el agua cuando se derritan?

51. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se

necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10



52

m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de

profundidad?

52. Un recipiente ci l índrico de 5 cm de radio y y 10 cm de

altura se l lena de agua. Si la masa del recipiente l leno

es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

53. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma

cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá uti l izado si

las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm

de generatriz?

54. Un cubo de 20 cm de arista está l leno de agua.

¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

Matemática cuarto


53

1.13 ANGULOS: Es la abertura formada entre dos líneas que se unen en un punto llamado vértice

Angulo vértice

En nuestro curso nombraremos los ángulos en grados o en radianes

1.13.1 Los ángulos por su tamaño pueden ser:

Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0° y 90°.

Ej. Cualquier ángulo que se encuentre en el cuadrante I

Rectos: si su medida es 90°.



54

Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90° y 180°.

Ej.

Llanos: Si su medida es 180°.

Ej.

1.13.2 TRANSPORTADOR El transportador es el instrumento utilizado para medir los ángulos y consiste en un semicírculo dividido en unidades que van desde 0o hasta 180o.

Matemática cuarto


55

Cada una de estas medidas es un grado (1°) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal.

Ángulos Suplementarios:

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.

Ángulos Rectos:

Son los que miden exactamente 900

Ángulos Complementarios:

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.

Ángulo Agudo:

Es el ángulo cuya medida es un número mayor que 0 y menor que 90°.

1.14 RECTAS. RAYOS Y SEGMENTOS.

RECTA

Una recta es una línea que no tiene principio ni fin. Para representarla gráficamente en un plano, se dibuja la recta con flecha en los dos extremos



56

RAYO:

Un rayo es una fracción de recta que sí se sabe en donde es su inicio pero se desconoce su fin, para trazarla en un plano, se dibuja solo en uno de sus extremos una flecha, esta es la que indica que no es ese su fin, el punto indica que este es su inicio

SEGMENTO

Un segmento es una fracción de recta que tiene principio y tiene fin, es decir, sabemos desde donde sale y hasta donde llega. Este no tiene ninguna flecha en sus extremos, ya que no continúa.

Matemática cuarto


57

1.15 TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS PARA ANGULOS.

Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse indefinidamente, nunca se encuentran, es decir, se mantendrán siempre a la misma distancia una de la otra. El ángulo de inclinación será igual en las dos.

Al intersectar rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, que puede ser arriba o abajo. Identifiqué los ángulos correspondientes con el mismo color

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también los escribí identificándolos con el mismo color.

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H



58

Ángulos alternos externos: Son los que están "afuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, también se identifican con el mismo color.

Angulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que tienen el mismo vértice en común

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

4. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

Dado el siguiente diagrama encuentre todos los ángulos, nombrando el concepto que utilizo, para resolverlos.

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H

A = 108 B

C D

E F

G H

Matemática cuarto


59

B = 72o Angulo suplementario C = 72o Angulos apuestos por el vértice con B D = 1080 Los conceptos que pueden tomarse son: Opuestos por el vértice con A Suplementario con C Suplementario con B E = 108o Correspondiente con A F = 72o Los conceptos que se pueden tomar para hallar este ángulo son: Suplementario de E Correspondiente con B Alterno interno con C G = 72o Opuestos por el vértice con F Correspondiente con C Alterno externo con B Suplementario de E H = 108o Suplementario de G Opuesto por el vértice con E Correspondiente con D Suplementario de F Alterno externo con A Resuelva correctamente lo que a continuación se le indica:

1) Encuentre los ángulos que hacen falta:

40o B C D E F G H



60

2 ) Encuentre el valor de x y la medida de todos los ángulos

3) C = x + 16 E = 3x + 20

A B C 4x x + 21 F G H

A B

C D

E F

G H

Matemática cuarto


61

1.16 TEOREMA DE THALES

Existen dos teoremas de Thales

El Teorema de rectas paralelas El teorema de triángulos rectángulos

1.16.1 TEOREMA DE RECTAS PARALELAS PARA SEGMENTOS

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

r s

A A'

B B'

C C'

C'A'C'B'B'A'

ACBCAB



62

Ejemplo 1

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

10

14

2

x

10

2*14x x = 2.8cm

Ejemplo 2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

2

3

4

6

Matemática cuarto


63

1.16.2 TEOREMA DE TRIÁNGULOS

El teorema de triángulos dice los siguiente:

Si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

C'B'C'B'

BC

A

AC

A

AB



64

Ejemplo:

Encuentre las medidas de los segmentos a y b

) (

)24(

ladomismopequeñolado

grandelado

paralelopequeñolado

grandelado

2

6

4

b

2

)4(6b b = 12 cm

NOTA: No cometamos el error de igualar lados completos con segmentos de los lados.

Por ejemplo, es incorrecto igualar los lados paralelos con las partes de

cualquiera de los dos lados 2

4

4

b

Como a y 4 son los lados completos, tenemos que igualar lados completos.

Lo que sí se puede hacer es igualar segmentos proporcionales o también una proporción de un lado sobre el mismo lado completo

66

2

a

a en este caso estoy tomando en cuenta el segmento pequeño

sobre el lado completo igual al segmento pequeño sobre su propio lado en el otro lado del triángulo.

Que también puede hacerse

grandesegmento

pequeñosegmento

ladomismograndesegmento

pequeñosegment

o

6 cm 4 cm

2 cm a

4 cm

b

Matemática cuarto


65

64

2 a

4

)6(2a a = 3

También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyándose en un punto

Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.

Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C

Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B

Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A

Luego hacemos la comparación aplicando el teorema de Thales, de triángulos semejantes.

El cateto grande es al cateto grande como el cateto pequeño es al cateto pequeño. D:C::A:B Que se lee D es a C como A es a B y lo podemos escribir

B

A

C

D

Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.



66

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.

Thales de Mileto.

Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto

Este teorema es un caso particular de la aplicación de los angulos inscritos dentro de una circunferencia.

Matemática cuarto


67

Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes) o sea 180 grados. Dividiendo por dos, se obtiene:

0902

BCA

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

1.16.3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Los lados a y a , b y b c y c se l laman lados homólogos. De igual forma A y A , B y B , C y C son ángulos homólogos. Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

A = A B = B C = C

cb

b

a

a c

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se l lama razón de semejanza.



68

Por ejemplo, si tenemos dos triángulos con sus ángulos iguales, estos serán semejantes.

En la figura anterior, ABBC

Así mismo DEAC. Entonces, como el ángulo C es el mismo para los dos triángulos, los triángulos ABC y DEC son semejantes.

Al ser dos triángulos semejantes, la hipotenusa de uno es a la hipotenusa del otro como el cateto más largo de uno de los triángulos es al cateto más largo del otro. No igualemos las hipotenusas con los catetos que no son proporcionales.

Observemos BC es el cateto más grande del triángulo grande.

EC es el cateto más grande en el triángulo más pequeño.

Podemos hacer entonces:

Matemática cuarto


69

EC

BC

DC

AC

Hipotenusa es a hipotenusa como cateto grande es a cateto grande

DE

AB

DC

AC

Hipotenusa es a hipotenusa como cateto pequeño es a cateto pequeño.

Si tenemos el mismo triángulo ya con datos: .20cmAC , .16cmBC .12cmAB , ACDE El símbolo signif ica

es perpendicular y AD . Es la bisectriz de BAC

a) calcular la longitud del segmento DE

b) Calcular el área del triángulo DCE

Solución: Como sabemos que AD es la bisectriz, esto signif ica que esta l ínea divide el ángulo BAC en dos partes iguales. Nos interesa conocer el ángulo porque no conocemos ningún lado del triángulo pequeño.

El ángulo grande A

20

16senA

)8.0(1 SenA

A 530 7 48.37



70

Entonces la mitad del ángulo es 260 33 54.18

Podemos entonces encontrar la longitud del segmento BD

tan 260 33' 54.18'' = 12

BD cmBD 6

Ahora ya podemos encontrar el segmento DC DC = 16cm – 6cm. = 10cm. Con semejanza de triángulos

grande triángulopequeño cateto

pequeño triángulopequeño cateto

grande triángulodel hipotenusa

pequeño triángulodel hipotenusa

1220

10 DE

.6cmDE

Como nos piden encontrar el área del triángulo DEC, necesitamos conocer el otro cateto

22 610 EC

36100 EC

8EC

Matemática cuarto


71

O también lo podemos encontrar con esta otra semejanza de

tr iángulos

grande triángulopequeño Cateto

pequeñotriángulopequeñoCateto

grandetriángulograndecateto

pequeñotriángulograndeCateto

12

6

16

EC

12

)16(6EC

.8cmEC

Conociendo los dos catetos podemos encontrar el área, ya que

esta y la de cualquier tr iángulo rectángulo se encuentra

mult ip l icación de los catetos dividido dos

2

6*8A

A=24cm2

Ejercicios

1) Calcular la altura de un edif ic io que proyecta una

sombra de 8 metros a la misma hora que un poste de 5

metros da una sombra de 1.6 metros

6.1

8

5

h



72

6.1

)5(8h

h=25m

2) Los catetos de un tr iángulo rectángulo miden 24m y 10m.

¿Cuánto medirán los catetos de un tr iángulo semejante al

primero cuya hipotenusa mide 52m?

261024 22 c

Dos triángulos son semejantes si t ienen sus ángulos

iguales y sus lados proporcionales

A = A' B=B' C = C'

Matemática cuarto


73

Ejercicios: Resolver correctamente los siguientes problemas de

triángulos semejantes.

1) Una mujer que mide 1.72 metros de estatura camina en

una carretera horizontal. Si la sombra de un poste

vertical a la ori l la de la carretera es de 5 metros y el

de la mujer es de 1.5 metros. ¿Cuál es la altura del

poste?

2) Para determinar la altura de un árbol, se mide a

determinada hora su sombra y se encuentra que es de

12 metros de longitud, luego se coloca a una persona

cuya estatura es de 1.60 metros y también se mide su

sombra la cual es de 2 metros de longitud. Con estos

datos encuentre la altura del árbol.

3) En la f igura se trazó un círculo con centro O y de área

78.5 em2 Por los puntos C y B se trazaron las tangentes

AB y AC de manera que BAC =600 Calcula el área de la

parte sombreada.

4) Con apoyo en el vértice C del triángulo rectángulo ABC,

se trazó al arco MN tangente a la hipotenusa AB en T,

de manera que M es el punto medio de AC . Se conoce

.2cmBN Calcula el área de la región sombreada.



74

5) En la Figura se trazó la diagonal BD en el trapecio

rectángulo ABCD y se cumple con que DBCE . Se sabe

además que .12cmAB cmCD 9 y .5cmCB calcule el área

sombreada

6) La figura ABCD es un cuadrado y E es el punto medio

de cmAB 8 . Se sabe además que DECM . Calcula el

área sombreada.

7) En la figura el triángulo ABC es rectángulo en C.

EF l l DG y ABEF . Se conoce EF = 10cm. .7cmFB cmAC 30 y

cmAG 20 . Calcula el área sombreada.

Matemática cuarto


75

8) En la f igura el triángulo ABC es isósceles, de base

.6cmAB y en su interior se encuentra inscrito un

cuadrado DEFG de 16 cm2 de área. Calcular el área

sombreada.

9) En la f igura, el triángulo ABC es rectángulo y el

cuadrado ADEF, cuya área es de 36 cm2 se encuentra

inscrito en el triángulo. Se sabe que cmAC 18 .Calcula el

perímetro del triángulo ABC y el área sombreada.



76

Bibliografía

Geometría aplicada a la técnica

Autor Miguel Angel Sauri

Geometria Euclidiana

Autor Martins Rodríguez

Geometría plana

Autor Aurelio Baldor

Internet

Matemática cuarto


77

Segunda unidad: Álgebra


78

Matemática cuarto


79

objetivos Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento

lógico riguroso a través del estudio del álgebra.

Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra: Operaciones, aplicaciones a problemas,

Traducir a un lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano y viceversa

2.1 ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.

2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…



80

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

2.3 LEYES DE EXPONENTES BASE: Es toda expresión que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique su exponente EXPONENTE: es el número que se coloca sobre la base e indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma 23 = 2 * 2 * 2 (a + 4)2 = (a + 4)(a + 4) POTENCIA: Es el resultado que se obtiene después de desarrollada la base

1) Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes

nmnm aaa * 53232 aaaa aaaaaa 123)2(323

2) Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes

nmn

m

aa

a 2353

5

aaa

a 523)2(3

2

3

aaaa

a

Matemática cuarto


81

3) Cuando el exponente es cero, la potencia siempre será igual a 1, pero la base deberá ser diferente de cero

0

10

a

a

4) Cuando el exponente es uno (1), la potencia será igual a la misma base

aa 1

5) Cuando el exponente es negativo, la expresión se convierte en fracción, escribiendo como numerador la unidad y como denominador la misma expresión, pero con el exponente positivo

nn

aa

1

8

1

222

1

2

12

33

6) El exponente afecta únicamente al elemento sobre el cual se

encuentra escrito

3x2 el exponente 2 es únicamente de la letra x. Si lo queremos escribir desarrollado sería xx 3 (3x)2 = 222 9333 xxxx En este caso, el exponente afecta también al 3

7) Si el exponente se encuentra colocado afuera de un paréntesis, este afectará a todo lo que se encuentre dentro del paréntesis, (signos, números y letras) y pueden ocurrir los siguientes casos:

a) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve positivo por estarse multiplicando un número par de veces

(-3x)4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x4. Los signos, los números y las letras se multiplican.

b) Si adentro del paréntesis se encuentra un signo negativo y

el exponente de afuera del paréntesis es impar, el signo sigue siendo negativo.

(-2x)3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3

8) Si la base es una fracción y el exponente es negativo, únicamente se invierte la fracción y el exponente se vuelve positivo



82

nn

a

b

b

a

9) Cuando un exponente está elevado a otro exponente, se

multiplican entre sí.

mnnm aa 10) Cuando en una fracción se encuentren exponentes

negativos, se cambian de lugar, (las bases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para que los exponentes se vuelvan positivos

n

n

n

n

a

b

b

a

22

33

323

21 )2(3

2

3

yam

xn

nm

xya

= 22

3

22

3 24)8(3

yam

xn

yam

xn

11) Cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la

fracción es el exponente de la base y el denominador indicará siempre que es una raíz.

n mn

m

aa 6441616 332

3

Ejemplos 1: Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones:

1) 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 2) – 42 = – 4* 4 = – 16 3) ( – 3x3)2 = ( – 3x3)( – 3x3) = 9x6

4) 4

6

2

3

2

32

2

3 9333

y

x

y

x

y

x

y

x

Ejemplos 2: Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones.

a) 54 = 625 b) – 42 = – 16

Explicación: Como sabemos que el exponente es únicamente de la base en donde se encuentre; en este caso es sólo del 4 no así del signo por eso es que el signo no se multiplica 2 veces.

c) ( – 3x3)2= 9x6 Explicación: El exponente de afuera del paréntesis afecta a todo lo que está adentro, como es par, el signo menos está multiplicado un número par de veces por lo tanto se vuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2 veces por él mismo por eso nos da 9; el 3 como exponente, como

Matemática cuarto


83

sabemos que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 3 * 2 = 6

a) 4

62

2

3 93

y

x

y

x

Explicación: El exponente de afuera del paréntesis es par, el signo se vuelve +, 3 de base se multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente de afuera que es 2 y el denominador “y” que tiene exponente 2, se multiplica por el exponente de afuera. 4) 3 516x Como es la raíz cúbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden salir si se encuentran 3 veces multiplicándose, para poder encontrarlos, descomponemos en factores primos todos los elementos que se encuentran dentro de la raíz Primero el 16 luego la x 16 2 x5 8 2 2 x 4 2 x x 2 2 x 1 x x Descomponiéndolos encontramos que el dos sale del radicando porque cada 3 veces que se multiplica sale una, pero sobra uno. La x también sale porque también sale cada 3 pero sobran dos, los que sobran vuelven a escribirse adentro de la raíz con su mismo índice

3 23 5 2216 xxx

Simplificación de potencias con exponentes racionales Simplifica:

a) b)



84

Solución

a)

32

8

2

)3(

)4(

)27()4()27(

5

2

5

232

5

3

2

b)

3

4

2

1

3

1

6

5

3

4

3

1

6

52

2

1

3

2

123432

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Ejercicios: Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios.

1) -32 2) 32 3) (-3)2

4) 23

5) -23

6) (-2)3

7) -(2)4

8) –(-2)4

9) 2-3

10) -2-3

11) (-2)-3

12) 4-2

13) -4-2

14) (-4)-2

15) (-3)4

16) (-4)3

17) (-2)5

18) (-5)-1

19) (-6)2

20) (-7)3

21) 42

22) -33

23) -52

24) -73

25) -51

26) 2

4

3

27) 2

5

4

28) 3

3

2

29) 3

5

3

30) 2

5

2

31) 4

2

3

32) 1

3

4

33) 2

5

1

34)3

4

3

35) 2

3

4

36) 2

3

16

37) 2

1

9

38) 2

5

9

1

39) 3

4

3

2

40) 1

2

5

4

41) 2

3

04.0

42) 2

3

)04.0(

43)(3x)(2x)

44) (2x2)(x)

Matemática cuarto


85

45) 4x(3x3)

46) (5x-2)(2x3)

47) (x4)(x3)

48) )6(2

1 22 xx

49)

332

2

12 xx

50)

5

12

2xy

cab

51) 2

5

3

x

52)

ba

x

xy

ab24

3 9

3

2

53) xx 2432

54) 1

2

4

2

6

x

x

55) 7

32

6

)3()2(

x

xx

56) 4

23

3

)2)(5(

m

nm

57) 5

23

4

)(3

x

xx

58) 2

2

2

4

3

x

y

59) 2

36

6

)3(4uv

vu

60) 43

22

)4(

)5(

n

m

61)

3

2

2

1

43 yy



86

2.4 RADICALES

La raíz enésima de un número real se escribe de la siguiente

manera en donde n es un número entero positivo mayor de 1 y a, un numero real.

1) Si 0a entonces 2) Si a es positivo, el resultado será un número real positivo

3) Si a es negativo y n es impar, entonces es un número real negativo b tal que .

4) Si a es negativo y n es par, entonces no existe en los números reales.

Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de a o simplemente raíz cuadrada de a . El número

es la raíz cúbica de a. Ilustraciones:

Observa que porque, por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más menos". Para completar nuestra terminología, la

expresión es un radical, el número a se llama radicando

Matemática cuarto


87

y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.

Si , entonces b2 = a; esto es, . En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.

Propiedades de (n es un entero positivo). Propiedad Ejemplo

aan n si 0a y n es impar

De esta ultima propiedad vemos que: para todo numero real x.

En particular, si entonces sin embargo si x < 0, escrito de esta forma es xx 2 , Pero de esta otra es xx

2.

Parecerá ilógico que al elevarlo al cuadrado resulte un número negativo, pero recordemos que en las leyes de exponentes aprendimos que al elevar un exponente a otro exponente, se multiplican entre sí, también recordaremos que un número negativo no tiene raíz cuadrada porque en los números reales no existe pero de esta forma:

9)9()9(9 1

2

2

12

Sabemos que un número negativo elevado a

un exponente impar es negativo. Muchas calculadoras no tienen capacidad de resolver este tipo de operaciones puesto que no están capacitadas para elevar exponentes fraccionarios a otros exponentes, de igual forma tampoco resuelven ejercicios como el siguiente: 3

2

008.0

Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades:

1) Pasamos a notación científica 3

23 )10*8(

2) Luego escribimos el 8 con su base y exponente 3

233 )10*2(

3) Podemos hacer los cambios dentro del paréntesis 3

2

3

3

10

2



88

4) Como sabemos que cuando el exponente de afuera del paréntesis es negativo podemos invertir la fracción y el exponente se vuelve

positivo 3

2

3

3

2

10

5) Sabemos también que cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fracción es el exponente de la base, en este caso, el exponente es par ya que es 2, por lo tanto el signo menos se vuelve positivo y además que un exponente elevado a

otro exponente se multiplican 254

100

2

10

2

102

2

3

23

3

23

Observación muy importante: Hemos visto que 416 , también definimos que la raíz cuadrada de un número real positivo es otro número real positivo, aunque hemos aprendido que 416 ya que (4)2 = 4 * 4 = 16 y también (-4)2 = (-4)(-4) = 16, pero esto únicamente se ve en las ecuaciones cuadráticas pero porque ha salido de elevar al cuadrado cantidades desconocidas, no de raíces, por ejemplo x2 = 16, que es el valor desconocido que al elevarse al cuadrado nos de cómo resultado 16; en este casi sí se incluye al 4 y al – 4 ya que este valor desconocido al elevarse al cuadrado también se vuelve positivo. Si aún le quedan dudas, puede entrar al Internet y buscar definiciones de raíz cuadrada. Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

1) Ejemplo

2) Ejemplo

3) Ejemplo Advertencia respecto a errores comunes:

Matemática cuarto


89

2.5 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Simplificar un radical significa que habrá que escribir todos los elementos del radicando como potencias, es decir, con base y exponente, y luego simplificar los exponentes con el índice del radical Eliminación de factores de radicales. Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):

a) b) c) Solución a) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el radicando en sus factores primos. 64 2 32 2 64 = 26

16 2 8 2 4 2 2 2 1

33 23

2

9

69 69 4222264

b) 12

3

12

6

12

312 36312 36 3327 xaxaxa

Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador, para poderlo escribir como índice del radical nuevamente

4 24

1

4

2

4

1

33 xaxa c) abababababa 232*31863 2347247532

2.5 RACIONALIZACIÓN Racionalizar significa eliminar radicales. Si el denominador de una

fracción contiene un factor de la forma con k < n y a > 0 entonces

al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el

radical del denominador porque:



90

Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical, debemos llevar al exponente del radicando a que sea igual que el índice del radical. Este proceso se llama racionalización del denominador.

Factor en el denominador

Multiplicar numerador y denominador por

Factor resultante

Ejemplos

Racionalización de denominadores

Racionaliza:

a) b) 528y

x c) 34

65

9

16

yz

xm

Solución:

a) 5

5

5

5

5

5*

5

1

5

12

b) 528y

x

En este caso, como nos están pidiendo que racionalicemos el denominador, no deben quedar raíces en el denominador, procedemos entonces a multiplicar por la unidad, agregando lo que haga falta para que todos los denominadores tengan exponente igual al índice de la raíz, el numerador no nos interesa.

Descomponiendo el 8 = 23 obtenemos 5232 y

x Observamos que al 2 le

faltan 2 para llegar a ser exponente 5 que es el índice del radical y a la

“y” le faltan 3, entonces multiplicamos por 532

32

2

2

y

y pero dentro de la

misma raíz 5 35

55

3

532

32

234

2

1

2

4

2

2*

2xy

yy

xy

y

y

y

x

Matemática cuarto


91

c) 34

65

9

16

yz

xm

Descompongamos los números en todos sus factores y nos queda

342

654

3

2

yz

xm

Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del índice del radical, es decir, cada tres factores sale uno. Arriba o sea en el numerador no importa si salen o no salen; si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual al índice porque nos piden que racionalicemos el denominador. Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el exponente nos indica que se está multiplicando 4 veces, también sale la m pero sobran dos porque hay cinco. Los factores que sobran se quedan dentro del radical pero multiplicados. Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al índice. Si son iguales salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su índice de radical. Si su exponente es mayor que el índice pero no es múltiplo, debemos ver cuánto le falta para llegar al próximo múltiplo del índice, en este caso. 3 hay 2, falta 1; “y” hay una, faltan 2; “z” hay 4, significa que ya se pasaron y el próximo múltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los que faltan.

3 2222

2

3633

22654

322

22

42

654

63

2

3

3*2

3

3

3

2zym

yz

mx

zy

zyxm

zy

zy

yz

xm

Ejercicios: Simplifique los siguientes radicales

82 Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego aplicamos las leyes de los radicales. Utilizaremos una forma diferente, Al encontrar los factores primos, estos salen de la raíz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica el índice del radical



92

En este caso, como es raíz cuadrada, salen del radical los números cuando se multiplican dos veces. El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1. El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma: 18 2 9 3 3 3 1 Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raíz pero como el 2 no sale, nos queda

24232182 A continuación encontrará algunos ejercicios resueltos. 3736332108312

3

20

3

)3(4)3(10234310

3

2122310

3

2

Racionalizando 3

320

3

3

3

20

32226

312212

6

126184

6

6*

6

2634

3*2

2634

3

6

2

4

Ejercicios Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso 1) 348

2) 4925

3) 1664

4) 12*6

5) 2712

6) 542245

7) 33 8124

8) 4535

10

9) 18

1

10) bbbb 322712 33

11) 4 154 11 xxx

12) 3

27

1

13) 2816 ba

14) 3 4

1

15) 4 8581 sr

16) 52

311

9

3

x

yx

17) 25

18) 9

19) 3 8

20) 2)36(

21) 2)1(

22) 225

23) 264

24) 48

25) 54

26) 50

27) 20

28) 3

3

2

16

29) 4

4

3

48

30) 3 18

31) 49

32) 2

1

33) 5

1

34) 7

1

Matemática cuarto


93

35) 3

1

36) 3 4

1

37) 3 9

1

38) 3 25

1

39) 3 49

1

40) 3 4354 yx

41) 62 yx

42) 3 23627 zyx

43) 449 yx

44) 4 2416 yx

45) 3 348 yx

46) 5 75ba

47) y

x

4

3

48) y

x

2

9

49) 323

5

4 zy

x

50) 452

3

8

3

zy

x

51) 23

1

xy

52) 35

33

xy

x

53) 462

510

4

3

yx

yx

54) 52

4

8

3

y

x

55) 64727

64

yx

56) 342

4

4 zy

x



94

2.6 PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son resultados que pueden escribirse sin necesidad de efectuar la multiplicación; para hacer esto posible, es necesario conocer algunas reglas.

2.6.1 CUADRADO DE UN BINOMIO (a b)2 Pasos para escribir la solución del cuadrado de un binomio 1. Se eleva al cuadrado el primer término (a + b)2 = a2 (a – b)2 = a2

2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del

binomio (a + b)2 = a2 + (a – b)2 = a2 –

3. Se multiplica dos por los dos términos

(a + b)2 = a2 + 2ab (a – b)2 = a2 – 2ab

4. Se escribe el signo + (a + b)2 = a2 + 2ab +

(a – b)2 = a2 – 2ab + 5. Se eleva al cuadrado el segundo término (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(1 – b)2 = a2 – 2ab + b2

Matemática cuarto


95

Ejemplo 1: Resolver (x – 1)2 Solución: (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 Ejemplo 2 Resolver (3x – 4)2

Se eleva al cuadrado el primer término, número y letra (3x)2 = 9x2

Se escribe el mismo signo (3x)2 = 9x2 –

Se multipl ica 2 por los dos términos 2(3x)(4) = 24x

(3x)2 = 9x2 – 24x Se escribe el signo + (3x)2 = 9x2 – 24x + Se eleva al cuadrado el segundo término 42 = 16 (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16 Ejemplo 3 Resolver (3x3 – 2x)2 Solución: Se eleva al cuadrado el primero término (3x3)2 = 9x6 ya que un exponente elevado a otro exponente se multiplican se escribe el mismo signo (3x3)2 = 9x6 – Se multiplica 2 por los dos términos 2(3x3)(2x) = 12x4 Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (3x3 – 2x)2 = 9x6 – 12x4 + 4x2

Ejemplo 4 Resolver (x + y) – 12

Solución: Se eleva al cuadrado el primer término (x + 4)2

Se escribe el mismo signo (x + y)2 –



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Se multiplica dos por los dos términos 2(x + y)(1) = 2(x + y)

Se escribe el signo más y se eleva al cuadrado el segundo término (x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + y) + 1 Luego resolviendo las operaciones indicadas que quedaron (x + y)2 es un producto notable (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

– 2(x + y) = – 2x – 2y (x + y) – 12 = (x + y)2 – 2(x + 4) + 1 (x + y) – 12 = x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 1 Ejercicio: Resuelva los siguientes productos notables 1) (x + 3y)2 2) (1 – 4x)2

3) ( 3x – 5)2 4) (3m +5)2 5) (y + 6)2 6) (3u + 4v)2 7) (1 – 7p)2 8) (4x – 5)2 9) (x + y)2 10) (3r – 9p)2

11) (5x2 + y)2 12) (2m4 + 3mn)2 13) ( 3x3 – 2xy)2 14) (3m4 – 5m2n)2 15) (2x3 + 4x2y5)2 16) (x +3) + 42 17) (3x – 1) + 42 18) (3x – y) – 3y2 19) 5 – (x – 1)2 20) 6+(1 – 4y)2

21) (x + y) + z2 22) (x – 4y) + 32 23) 4 – 6x) – 3y2 24) 7 – (4m + 5n)2

Matemática cuarto


97

2.6.2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a)(x + b) En este producto, las letras a y b, representan números conocidos. Para escribir su respuesta sin efectuar la multiplicación, se procede de la siguiente manera:

1. Se eleva al cuadrado el primer término 2. Se efectúa la suma algebraica de los segundos términos y se copia el

primero. 2.1 Signos iguales se suman y se escribe el mismo signo 2.2 Signos contrarios se restan y se escribe el signo de los que hay

más. 3. Se multiplican los segundos términos, aplicando la ley de signos. Ejemplo1 Escribir por simple inspección el resultado de (x + 3)(x + 5) Solución: 1. Se eleva al cuadrado la x = x2 2. Como los signos son iguales, sumamos 3 y 5 y copiamos la x luego

escribimos el mismo signo 3. multiplicamos 3 *5 = 15. Aplicando la ley de signos, nos queda + (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (x – 1)(x – 4) Solución: 1. Elevamos al cuadrado la x 2. Como los signos son iguales, sumamos 1 y 4, copiamos la letra y

escribimos el mismo signo – 5x 3. Multiplicamos 1 * 4. Aplicando la ley de signos nos queda + (x – 1)(x – 4) = x2 – 5x + 4 Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 4)(x – 3) (x + 4)(x – 3) = x2 + x – 12 En el segundo término quedó sólo x, ya que los signos son contrarios, se restan y el signo que queda es del 4; pero como es 1, el 1 no se escribe, únicamente la letra.



98

Ejemplo 4 Escribir el resultado de (x – 6)(x + 4) (x – 6)(x + 4) = x2 – 2x – 24

2.6.3 SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES IGUALES (x + a)(x – a) El resultado de este producto es únicamente el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo

(x + a)(x – a) = x2 – a2 Ejemplo1 Escribir el resultado de (x + 5)(x – 5) = x2 – 25 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (3x – 4y)(3x + 4y) = 9x2 – 16y2

Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 3) - y(x + 3) + y Solución: Como el paréntesis es un solo término, por estar agrupado, es la suma por la diferencia de dos cantidades iguales. (x + 3) - y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 y resolviendo el paréntesis, que quedó nuevamente el cuadrado de un binomio, nos queda (x + 3) - y(x + 3) + y = (x + 3)2 – y2 = x2 + 6x + 9 – y2

Matemática cuarto


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1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 6)(x + 5)

3) (x + 10)(x + 3 4) (x + 3)(x + 1)

5) (x + 4)(x + 8) 6) (x + 1)(x + 2)

7) (x +3)(x + 9) 8) (x – 2)(x – 3)

9) (x – 1)(x – 7) 10) (x – 10)(x – 9)

11) (x – 2)(x – 5) 12) (x – 5)(x – 7)

13) (x – 3)(x + 5) 14) (x + 4)(x – 1)

15) (x – 10)(x + 6) 16) (x – 8)(x + 3)

17) ((x + 5)(x – 6) 18) (x + 1)(x – 2)

19) (x + 4)(x – 3) 20) (x + 10)(x – 8)

21) (x – 4)(x + 7) 22) (x – 4)(x + 4)

23) (x + 1)(x – 1) 24) (x + 7)(x – 7)

25) (x – 10)(x + 10) 26) (2x – 1)(2x + 1)

27) (1 – 4y)(1 + 4y) 28) (4x + 3)(4x – 3)

29) (5x + 4)(5x – 4) 30) (6x + 5y)(6x – 5y)

Ejercicio. Escribir correctamente el resultado de los siguientes productos notables.



100

2.6.4 CUBO DE UN BINOMIO (a b)3

Para desarrollar el cubo de un binomio, se procede de la siguiente manera:

1. Se eleva al cubo el primer término (a + b)3 = a3 (a – b)3 = a3

2. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b)3 = a3 +

(a – b)3 = a3 – 3. Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el

segundo (a + b)3 = a3 + 3a2b (a – b)3 = a3 – 3a2b

4. Se escribe el signo mas (a + b)3 = a3 + 3a2b + (a – b)3 = a3 – 3a2b +

5. Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2

6. Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos términos del binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 –

7. Se eleva al cubo el segundo término.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ejemplo Escribir el resultado de (3x + 4)3 Solución: Se eleva al cubo el primer término (3x)3 = 27x3. Se eleva número y letra. Se escribe el mismo signo +, 27x3 + Se multiplica 3 por el primer término elevado al cuadrado y por el segundo 3(3x)2(4) = 3(9x2)(4) = 108x2 Se escribe el signo +

Matemática cuarto


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Se multiplica 3 por el primer término y por el segundo elevado al cuadrado 3(3x)(4)2 = 9x(16) = 144x Se escribe el mismo signo + Se eleva al cubo el segundo término 43 = 64 (3x + 4)3 = (3x)3 + 3(3x)2(4) + 3(3x)(4)2 + (4)3 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64 Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de los siguientes productos notables 1. (1+2b)3 2. (a – 2)3 3) (x + 3y)3 4) (3x – 1)3 5) (2m – 3n)3 6) (4x – 3)3 7) (m – 2n)3 8) ( 3x + 7y)3 9) (x + 4y)3 10) (4m – 5p)3

2.6.5 CUADRADO DE UN TRINOMIO Para resolver el cuadrado de un trinomio se procede de la siguiente manera: 1) se escriben los tres términos sumándose, elevados al cuadrado, sin importar el signo que tengan (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 2) se multiplica 2 por el primer término y por el segundo.



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3) Se multiplica 2 por el primer término y por el tercero. 4) Se multiplica 2 por el segundo término y por el tercero. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc. Ejercicios: Escribir por simple inspección el resultado de: 1) (2x + y – 3z)2 2) (x – 3y + 4z)2 3) ( 5x – 3y + z)2 4) ( 4x – 3y – 3z)2 5) ( 3x + 4y+ 5z)2 6) ( 2x2 + 2x + 3)2 7) (a2 – 4a + 3)2 8) (4y2 – 2y – 5)2 9) (2z3 – z2 + 3z)2 10) (b3 + 6y2 + y)2

Ejercicios: Efectúe correctamente los siguientes productos notables. 1) (2t + 9)(2t – 9) 2) (2x2 - 3x)2

3) [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] 4) (x + 2)2

5) (x + 8)(x – 8) 6) (x – 5)3

7) (2t – 5)2 8) (t – 5)(t + 5)

9) ( 4 – 3t)3 10) (3s + 11)2

11) (2x2 + 5x)(2x2 – 5x) 12) (u + 1)3

13) [(1 – x) + x2][(1 – x) – x2] 14) (3x + 2y)(x – 5y)

15) [(2t + 1) + t2]3 16) (3x – 9)(3x + 9)

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17) (4x – 4)2 18) (2x2y + z)(2x2y – z)

19) (u + 4v)3 20) (3x + 5y2z)(3x – 5y2z)

21) (x + 10)(x + 2) 22) (x + 6)(x + 8)

23) (x + 12)(x – 3) 24) (x – 8)(x + 4)

25) (x + 2)2(x – 2)2 26) (2x – 1)2(2x + 1)2

27) ))(( baba 28) ))(( yxyx

29) 22 )()( yxyx 30) 22 )()( baba



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2.7 FACTORIZACION

Para poder factorizar, debemos tener bien claro algunos aspectos muy importantes

2.7.1 TERMINO ALGEBRAICO Un término algebraico debe tener: Signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente. Ejemplo Cada término algebraico está separado por los signos más o menos. Si no tienen estos signos, seguirá siendo un solo término Ej: 5xy2z3 Es un solo término. Expresión algebraica llamada MONOMIO a + 2b Expresión algebraica que consta de dos términos llamada BINOMIO x + 2y – 3z Expresión algebraica que consta de 3 términos llamada TRINOMIO y así, cada polinomio es una expresión algebraica que recibe el nombre de acuerdo a la cantidad de términos que contenga. Factorizar es escribir expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Dicho en otras palabras:

Matemática cuarto


105

Factorizar es escribir sumas y restas como

multiplicaciones

Factores: En matemática, son todos los elementos que se encuentran multiplicando en una expresión algebraica. Si se están sumando o restando se llaman TÉRMINOS ab

c

yxa )(

En la expresión anterior podemos ver que x con y se están sumando, estos, al estar separados son términos pero en la forma que están son

factores ya que se están multiplicando con la a “y” y por c

1 .

Si ya sabemos qué son factores, podemos descomponer expresiones como el producto de los mismos, por ejemplo 12 lo podemos descomponer en factores y escribirlo como el producto de ellos, sin efectuar la multiplicación. Los factores de 12 son 12 y 1 6 y 2 4 y 3 Entonces 12 lo podemos escribir de las siguientes formas 12*1, 6 * 2; 4 * 3 En este libro, La factorización la resumiremos en 5 casos: Factor común, Binomios, trinomios, agrupación de términos y cubo perfecto de binomios.



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COMO IDENTIFICAR EL TIPO DE FACTORIZACIÓN A USAR.

Primero: observar si existe factor común.

Para ver si una expresión dada tiene factor común, debemos observar todos sus términos.

2.7.2 FACTOR COMÚN Nota: En este caso no importa la cantidad de términos que tenga el polinomio Dado un polinomio, se le saca a los números el máximo común divisor (si es que tienen) y se escribe, luego se buscan la letra o letras que se repiten en todos los términos y se toma como común las repetidas con su menor exponente, al haber hecho lo anterior se escribe un paréntesis, divide todo el polinomio entre lo encontrado y los resultados se van escribiendo dentro del paréntesis.

El factor común, es todo lo que se encuentra repetido en un polinomio

Ejemplo 1) factorizar 12x5 + 6x4 + 3x2

SOLUCIÓN Se busca primero el factor común en los números, sacándoles sólo lo que tengan en común, de la siguiente manera:

Sacar el factor común de los números es únicamente buscar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) Como únicamente tienen tercera parte los tres números, el factor común a ellos es 3. Seguidamente se observa si todos los términos tienen alguna letra en común; en este caso, vemos que todos los términos tiene en común la x y el menor exponente que tiene es 2, se escribe entonces la x2 a continuación del 3, se abre paréntesis y dentro de él, lo que quede al dividir cada término entre el factor común. 3x2(4x3 +2x2 + 1)

Matemática cuarto


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Ejemplo 2) Factorizar ax3y4 + xy2 SOLUCIÓN. Nuevamente buscamos el factor común. En números no tiene, ya que sólo vemos letras, entonces buscamos la letra o letras que se encuentren repetidas y su menor exponente de cada una de ellas. Se repite la x, su menor exponente es 1. Se repite también la y, y su menor exponente es 2, por lo tanto procedemos a escribir el factor común y a continuación abrimos paréntesis y dentro de él, escribimos lo que nos quede al dividir ax3y4 + xy2 = xy2(ax2y3 + 1) En el ejemplo 1) ya que el MCD entre los números es 3 se tomo junto con la x2, porque es la letra que se repite y 2 es el menor exponente que tiene escrito, luego se dividió toda la expresión entre 3x2 y se escribió dentro del paréntesis el resultado (al resolver la operación que quedó indicada (Multiplicación), llegamos al polinomio original). En el ejemplo 2), como las letras que se repiten son “x” y “y” se tomaron con su menor exponente y se dividieron cada uno de los términos del polinomio entre el factor común que encontramos, para obtener el resultado que se escribió dentro del paréntesis. El 1 resulta de dividir una expresión entre ella misma. Ejemplo 3) Factorice 3(x – 5) + y(x – 5) SOLUCIÓN: Vemos que tiene dos términos, buscamos si tiene elementos repetidos y vemos que se repite el paréntesis por lo tanto este es el factor común, lo escribimos y en el otro paréntesis lo que queda fuera del paréntesis. 3(x – 5) + y(x – 5) = (x – 5)(3 + y) EJERCICIOS Factorice Completamente 1) 25 + 50x 2) 36x2 – 45x 3) 4x2y – 8x2 4) 10xyz + 84yz 5) 56xay – 77xaz 6) 16x3 – 8x2 + 4x 7) 15 + 5y – 20z 8) 4x2y3z + 16x3y5 + 44y2z 9) 22abc + 33a2b + 44abc3 10) x(a + 1) – 3(a + 1) 11)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 12) 2(x – 1) + y(x – 1) 13)25x2 + 20x6y + 15x2 – 5x3y7 14) a(n + 2) + n + 2



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15) x(a + 1) – a – 1 16) –m – n + x(m + n) 17) 4m(a2 + x – 1) + 3n(x – 1 + a2) 18) (x + y)(n + 1) – 3(n + 1) 19) a(x – 1) – (a + 2)(x – 1) 20) (x + m)(x + 1) – (x + 1)(x – n) 21) (3x + 2)(x + y – z)–(3x + 2)

Segundo: Si no existe factor común, contamos la cantidad de términos que tenga la expresión algebraica,

1. Si tiene dos términos, será un binomio, que sólo puede ser suma o diferencia.

2. Si es resta, observamos los exponentes. Si estos son pares, entonces será una diferencia de cuadrados.

3. Si es suma, sólo podrán ser exponentes mayores que dos.

BINOMIOS

DIFERENCIA DE CUADRADOS En este caso, si se tienen dos términos y ambos tienen raíz cuadrada exacta y se están restando.

Para factorizarlos, Se saca la raíz cuadrada de cada término, se abren dos paréntesis y en uno de ellos se colocan las dos raíces, en un paréntesis sumándose y el en otro restándose.

Ejemplo 4) Factorizar: x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

Ejemplo 5) Factorizar: x4 – 81 = (x2 + 9)(x2 – 9) pero como en el segundo término aparece nuevamente el ejemplo 4) entonces se factoriza nuevamente x4 – 81 = (x2 + 9)(x + 3)(x – 3)

En el ejemplo 4) como ambos tienen raíz cuadrada exacta se abren los paréntesis y se escribe en uno la raíz cuadrada de ambos sumándose y en el otro restándose, de igual forma en el ejemplo 5) pero como en el

Matemática cuarto


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segundo paréntesis nuevamente hay una diferencia de cuadrados se opera hasta llegar al resultado final.

Nota: La suma de cuadrados no es factorizable. Ejemplo 6) Factorizar m – 9m3 SOLUCIÓN Como sabemos que lo primero que buscamos es el factor común, en este caso sí existe el factor común que es la m m – 9m3 = m(1 – 9m2) como en el paréntesis me quedó otra diferencia de cuadrados, factorizamos esta también m – 9m3 = m(1 – 9m2) = m(1 + 3m)(1 – 3m) EJERCICIOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 16x2 2) 81y2 – 49

3) x2 – 1 4) a2b2 – 4x2z2

5) 25x2 – 36 6) 100c2 – 144

7) x2 – y4 8) 9 – s2

9) y4z4 – 1 10) 36x2 – 81

11) ax2 – ax4 12) 2b2y4 – 8b2x2

13) 27x2 – 12 14) 125x2y2 – 180z2

15) xy2 – xz4 16) 8a2y – 8b2y3

17) x4y5 + yz4 18) a – ax4

19) 25y6 – 2500z4 20) 1 – a8



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2.7.4 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Para identificar una diferencia de cubos, se deben observar los dos términos, los cuales deben tener raíz cúbica exacta. Para factorizar cubos se procede de la siguiente manera:

X3 + y3

X3 – y3

1.- Se saca la raíz cúbica de los dos términos y estas raíces se colocan dentro de un paréntesis con el mismo signo que tiene en medio los dos términos. X3 + y3 (x + y)

X3 – y3 (x – y)

2.- Se abre otro paréntesis y dentro de él, tomando en cuenta el paréntesis donde están las raíces del binomio, se escribe de la siguiente manera:

2.1 Se eleva al cuadrado el primer término. X3 + y3 (x + y)(x2

X3 – y3 (x – y)(x2

2.2 Se escribe el signo cambiado.

X3 + y3 (x + y)(x2 –

X3 – y3 (x – y)(x2 +

2.3 Se multiplican los dos términos.

X3 + y3 (x + y)(x2 – xy

X3 – y3 (x – y)(x2 +xy

2.4 Se escribe el signo más.

X3 + y3 (x + y)(x2 – xy +

X3 – y3 (x – y)(x2 + xy +

2.5 Se eleva al cuadrado el segundo término. X3 + y3 (x + y)(x2 – xy + y2)

X3 – y3 (x – y)(x2 + xy + y2)

Ejemplo 7) Factorizar a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Matemática cuarto


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Ejemplo 8) Factorizar 27x3 – 64y3

Solución: Extraemos la raíz cúbica de 27x3. La raíz cúbica de 27 es 3, ya que 33 = 3 * 3 * 3 = 27. La raíz cúbica de x3 es x. La raíz cúbica de 64 es 4 y de y3 es “y”, por lo tanto 27x3 – 64y3 = (3x – 4y)(9x2 + 12xy + 16y2) EJERCICIO Factorice los siguientes ejercicios 1) x3 – 27 2) 8 + a3

3) 125m3 – 1 4) 64 + 8x3

5) 512 + 27a3 6) x3y6 – 216y9

7) x9 + y9 8) 1000x3 – 1

9) 27m3 – 64n9 10) 5a3 + 625b12



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2.7.5 TRINOMIOS

Tercero. Si tiene tres términos, sólo podrá ser trinomio.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

1. Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, observamos los extremos del mismo y vemos si tienen raíz cuadrada exacta. Luego observamos el término del medio y si es el doble producto de las dos raíces cuadradas de los extremos, sí es trinomio cuadrado perfecto y para factorizarlo, basta con escribir dentro de un paréntesis las dos raíces y este paréntesis se eleva al cuadrado.

Ejemplo 9) Factorizar x2 + 2x + 1 Los extremos que son x y 1 sí tienen raíz cuadrada exacta x2 + 2x + 1 x 1 Luego vemos que al multiplicar x * 1 = x y el doble de x es 2x, entonces vemos que sí es un trinomio cuadrado perfecto y escribimos las dos raíces cuadradas en un paréntesis, escribiendo el mismo signo que tiene el segundo término y el paréntesis se eleva al cuadrado. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

Ejemplo 10) Factorizar 9x2 + 12x + 4 Solución: Sacamos la raíz cuadrada de los extremos que son 9x2 y 4. Dichas raíces son 3x y 2, luego vemos que al multiplicar 3x * 2 y el resultado es 6x y el doble de 6x es 12x y como el término del medio es 12x, entonces sí es trinomio cuadrado perfecto 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2

Matemática cuarto


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EJERCICIOS: Factorice correctamente los siguientes ejercicios 1) x2+ 2x + 1 2) 1 – 4x + 4x2

3) 9x2 – 12x + 4 4) 16 + 8x + x2

5) y2 + 14y + 49 6) m2 – 2mn + n2

7) 25m2 + 10mn + 4n2 8) 36a2 + 12ab + b2

9) x2 – 18x + 81 10) 4m2 + 28mn2 + 49n4

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Al encontrar un trinomio que los extremos o alguno de ellos no tenga raíz cuadrada exacta, hacemos lo siguiente:

Si el primer término no tiene coeficiente y el último no tiene raíz cuadrada exacta, entonces es trinomio de la forma x2 + bx + c, en este caso, abrimos dos paréntesis y colocamos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo de cada paréntesis, luego escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo que se obtiene al aplicar la ley de signos, luego se buscan dos factores del tercer término que al sumarse o restarse, dependiendo de cómo hayan quedado los signos, den como resultado el segundo término.

Ejercicio 11) Factorizar x2 – 5x + 6 Solución: Como es un trinomio y el 6 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos a escribir dos paréntesis x2 – 5x + 6 = ( )( ) Luego escribimos la raíz cuadrada de la letra del lado izquierdo en los dos paréntesis x2 – 5x + 6 = (x )(x )



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Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé al aplicar la ley de signos x2 – 5x + 6 = (x - )(x - ) como los signos en los paréntesis quedaron iguales, se buscan dos factores del 6 que al sumarse nos dé como resultado 5. Los dos números son 2 y 3, ya que 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5. Escribamos siempre el número mayor en el primer paréntesis Entonces x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) Ejemplo 12) Factorizar x2 + x – 12 Solución. Como es un trinomio y el 12 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos de igual manera, abriendo dos paréntesis y escribiendo del lado izquierdo en cada paréntesis

x2 + x – 12 = (x )(x )

Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos

x2 + x – 12 = (x + )(x - )

Luego buscamos dos factores del 12 que al restarse den 1 por ser contrarios los signos, ya que sabemos que si la letra no tiene ningún número escrito, su coeficiente es uno. Los factores del 12 son: 12 * 1 6 * 2 4 * 3 Los que cumplen con lo requerido son 4 y 3, porque 4 * 3 = 12 y 4 – 3 = 1 Entonces x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) Ejercicio 13) Factorizar x2 + 54x + 720 Solución: como el número 720 no tiene raíz cuadrada exacta, procedemos de la misma manera, escribiendo los dos paréntesis y del lado izquierdo la raíz cuadrada de la letra. x2 + 54x + 720 = (x )(x )

Matemática cuarto


115

Luego, en el primer paréntesis, escribimos el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo paréntesis, el signo que dé la ley de signos. x2 + 54x + 720 = (x + )(x + ) Buscamos dos factores de 720 y como los signos son iguales, que sumados de 54. Como en este caso no es fácil encontrar los números mentalmente, procedemos de la siguiente manera. Descomponemos el 720 en sus factores primos 720 2

360 2

180 2

90 2

45 3

15 3

5 5

1

Luego buscamos los números que sumados den 54, haciendo diferentes combinaciones.

Probamos primero con todos los números 2 y los otros números juntos 2 * 2 * 2 * 2 = 16 3 * 3 * 5 = 45. No son estos números, pues aunque 16 * 45 da 720, 16 + 45 no da 54. Probamos con otras combinaciones. 720 2

360 2

180 2

90 2

45 3

15 3

5 5

1



116

2 * 2 * 2 * 3 = 24 2 * 3 * 5 = 30 Los números son 24 y 30, pues 24 * 30 = 720 y 24 + 30 = 54 Entonces nos queda x2 + 54x + 720 = (x + 30)(x + 24) Ejercicios: Factorice las siguientes expresiones algebraicas. 1) x2 + 8x + 15 2) x2 + 9x + 18

3) x2 + 15 + 50 4) x2 + 5x – 24

5) x2 + 3x – 4 6) x2 – 8x + 12

7) x2 – 7x + 12 8) x2 – x – 72

9) x2 – x – 30 10) x2 + x –

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c Si la expresión algebraica tiene 3 términos y el primer término tiene coeficiente numérico, entonces será trinomio de la forma ax2+ bx + c

Ejemplo 14) Factorizar 3x2 – 5x – 2 Solución: Al buscar factor común no tiene, pues entre 3 y 5 no hay nada en común y el último término no tiene letra. Es un trinomio porque tiene tres términos. No es cuadrado perfecto, puesto que los extremos no tienen raíz cuadrada. Colocamos entonces los dos paréntesis, sólo que ahora escribimos también el número que está con la x2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis. 3x2 – 5x – 2 = (3x )(3x )

Matemática cuarto


117

Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tiene el segundo término y en el segundo, el signo que nos dé la ley de signos 3x2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + ) Luego multiplicamos el número que está con la x2 y el último término 6 3x2 – 5x – 2 = (3x - )(3x + ) Ahora buscamos dos números que nos dé como resultado 6, que fue el producto de 3 * 2, y restados 5, por ser contrarios los signos. 3x2 – 5x – 2 = (3x - 6)(3x + 1) Como habíamos multiplicado por 3, ahora tenemos que dividir por 3 en el paréntesis que se pueda, en este caso se puede en el primero

3x2 – 5x – 2 =

3

63x (3x + 1)

Nos queda 3x2 – 5x – 2 = (x - 2)(3x + 1)

OTRA FORMA DE FACTORIZAR 3x2 – 5x – 2 se sacan los factores de los extremos 3x2 – 5x – 2 3x 2 x 1 luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. 3x2 – 5x – 2 – + 3x 2 x 1



118

Como los signos que quedan son contrarios, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al restarse del como resultado el término de en medio del trinomio. 3x2 – 5x – 2 – + 3x 2 = 6x x 1 = x la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis y el número mayor del resultado debe llevar el mismo signo del segundo término 3x2 – 5x – 2 - + 3x 2 = – 6x x 1 = x como – 6x salió de multiplicar 3x por 2, entonces al 2 se le escribe el signo – 3x2 – 5x – 2 – + 3x – 2 = – 6x x 1 = x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó sino con el otro 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2) Ejemplo 15) Factorizar 6x2 – 7x + 2 Solución: Procedemos de la misma forma que los anteriores, darnos cuenta que es un trinomio sin factor común Escribimos los dos paréntesis y del lado izquierdo de cada paréntesis, el 6, 6x2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – ) Escribimos en el primer paréntesis el mismo signo que tenga el segundo término y en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos, luego multiplicamos los números de los extremos 6 y 2 12 6x2 – 7x + 2 = (6x - )( 6x – )

Matemática cuarto


119

A continuación buscamos 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados 7 6x2 – 7x + 2 = (6x - 4)( 6x – 3) Los números son 4 y 3. Ahora procedemos a dividir por 6, pero como en ningún paréntesis se puede, buscamos dos factores del 6, que son 2 y 3. Ahora buscamos en cual paréntesis se puede dividir por 2 y en cuál por 3. En el primero podemos dividir por 2 y en el segundo por 3

6x2 – 7x + 2 =

3

36

2

46 xx

6x2 – 7x + 2 = (3x - 2)(2x – 1) la otra forma 6x2 – 7x + 2 se sacan los factores de los extremos 6x2 – 7x + 2 3x 2 2x 1 luego buscamos los signos, como en el caso anterior, el signo del segundo término permanece y el otro signo es el que nos dé la ley de signos. 6x2 – 7x + 2 – – 3x 2 2x 1 Como los signos que quedan son iguales, buscamos, de los factores que ya tenemos, dos productos que al sumarse den como resultado el término de en medio del trinomio. 6x2 – 7x + 2 – – 3x 2 = 3x 2x 1 = 4x



120

la flecha me indica cuales son los factores que multipliqué, para no escribirlos en el mismo paréntesis. En este caso, como los signos son iguales, tiene que escribirse el mismo signo en los dos términos 6x2 – 7x + 2 – – 3x – 2 = – 3x 2x – 1 = – 4x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplicó x2 – 7x + 2 = (3x – 2)(2x – 1). Puede notarse que si al multiplicarlos en línea no da el resultado, se deben multiplicar cruzados y si así tampoco da el resultado, puede ser por dos razones. Que no sea factorizable o sean otros factores cuando los coeficientes tienen varios factores. Ejercicios: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas. 1) 3x2 – 13x – 10 2) 2x2 – 3x – 9

3) 5x2 + 18x – 8 4) 6x2 + x – 5

5) 2x2 + 13x – 7 6) 7x2 – 44x + 12

7) 6x2 – 7x – 20 8) 12x2 – 5x – 2

9) 10x2 – 9x – 9 10) 12x2 – 5x – 28

11) x2 – 14x + 49 12) x2 + 12xy + 36y2

13) a2 + 10ab + 25b2 14) 1 + 2c + c2

15) m2n2 – 50mnx + 625x2 16) x4 + 5x2 + 4

17) x2 +2ax – 15a2 18) 5 + 4x –x2

19) 25x2 – 25x – 84 20) 2x2 + 3x – 2

21) 5x2 + 13x – 6 22) 12m2 – 13m – 35

23) 21x2 + 11x – 2 24) 44n + 20n2 – 15

25) x2 – 24xy + 144 26) 48 + 2x2 – x4

Matemática cuarto


121

27) m2n4 – 4mn2x + 4x2 28) 30x4 – 91x2 – 30

29) m2 + abcm – 56a2b2c2 30) 27ab – 9b2 –20a2

31) a2 + 2axy – 440x2y2 32) 4x2 – 36

33) x4y2 – 81y2

Cuarto:

2.7.6 AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando vamos a factorizar una expresión algebraica que no tenga factor común, contamos la cantidad de términos que contenga: si tiene dos términos es binomio, si tiene 3 es trinomio, si tiene más de 3 términos, la factorizaremos agrupando los términos en paréntesis, términos que contengan entre sí factores comunes. Ejemplo16) Factorizar am + bm – 5a – 5b Solución: Primero buscamos si hay factor común, pero no tiene, ya que no hay nada que esté en todos los términos. Procedemos a contar la cantidad de términos y vemos que tiene 4. Como ya sabemos cómo se factorizan binomios y trinomios, ya que éste es diferente, procedemos a agrupar términos de manera que nos queden agrupados los que tengan términos semejantes entre sí, en este caso vemos que tienen en común los primeros dos, la letra m; y los segundos, el número cinco. Agrupamos entonces (am + bm) y en el otro paréntesis –5a y –5b, pero como el signo que tiene el término que vamos a escribir de primero en el paréntesis es negativo, escribimos este signo afuera del paréntesis y éste nos hará que todos los términos que se escriban dentro del paréntesis, estén con signo contrario al que tenían inicialmente. am + bm – 5a – 5b = (am + bm) – (5a + 5b) Ya que tenemos los términos agrupados, procedemos a sacar el factor común de cada paréntesis am + bm – 5a – 5b = m(a + b) – 5(a + b)



122

Luego vemos que nos quedó el paréntesis igual, entonces este es el factor común, lo escribimos en un paréntesis y en otro lo que se encuentra afuera de él. am + bm – 5a – 5b = (a + b)(m – 5)

EJERCICIO: Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas 1) x3 – 4x2 + x – 4 2) 3x + 3y – x2 – xy

3) y3 + 3y2 – 2y – 6 4) 9a2 + 4b2 – 12b – 9

5) y2 – 3y + xy – 3x 6) y2 + 4xy + 4x2 – 3y – 6x

7) x2 + 6xy + 9y2 + 2x + 6y 8) a2 – 2ab + b2 – c2 + 4cd – 4d2

9) x2 – 2xy + y2 + 3x + 3y + 2 10) am – an – bm + bn

2.7.7 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Algunas veces nos encontramos con expresiones que a pesar de tener cuatro términos, no es una agrupación. Para identificarla, observamos los extremos y si estos tienen raíces cúbicas, no será agrupación de términos. Ejemplo 17) Factorizar x3 + 3x2 + 3x + 1 solución: Vemos que hay cuatro términos, observamos los extremos y vemos que el primero tiene raíz cúbica, ya que su exponente es 3. El uno tiene cualquier raíz, ya que cuantas veces lo multipliquemos por él mismo, siempre su resultado será uno. Vemos entonces los términos del medio, los cuales deben tener los siguientes requisitos: El segundo debe ser el triple producto de la raíz del primer término elevado al cuadrado multiplicado por el segundo, en este caso, la raíz cúbica de x3 es x y la raíz cúbica de 1 es 1 3(x2)(1) = 3x2

Sí coincide

Matemática cuarto


123

El tercer término debe ser el triple producto la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo elevado al cuadrado 3(x)12 = 3x, ya que 3 * x = 3x y 12 = 1 * 1 = 1 y 3x * 1 = 3x También coincide el tercer término, Entonces escribimos las dos raíces cúbicas en un paréntesis con el mismo signo que tenga el segundo término y lo elevamos al cubo x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3

EJERCICIO 1) 27 – 27x + 9x2 – x3 2) 1 + 3a + 3a2 + a3

3) 8 + 12x2 + 6x4 + x6 4) m3 – 3m2n + 3mn2 – n3

5) 125x3 – 1 – 75x2 + 15x 6) 8 + 36x + 54x2 + 27x3

7) x9 – 9x6y4 + 27x3y8 – 27y12

8) 1 + 18a2b3 + 108a4b6 + 216a6b9 9) 3a12 + 1 + 3a6 + a18

10) m3 – 3am2n + 3a2mn2 – a3n3

PROBLEMAS DIVERSOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 – 9m2 2) 9m2 + 6m + 1

3) 6x2 – 5x + 1 4) 6x2 – 5x – 6

5) 5x3 – 20x 6) 3x2 – 18x + 27

7) 6x3 – 5x2 + x 8) 4x5 – 32x2

9) 2u4 – 7u2 + 5 10) x3y2 + 2x2y3 + xy4

11) (a + 2b)2 – 3(a + 2b) – 28 12) (2a + b)3 – 8

13) (a + 3b)4 – 1 14) x2 + 4xy + 4y2 – x2y2

15) x2 – 6xy + 9y2 + 4x – 12y 16) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y + 2

17) 9x4 – 24x2y2 + 16y4 – y2 18) 9x4 + 15x2y2 + 16y4

19) x4 – 3x2y2 + y4 20) 8x2(x – 2) + 8x(x - 2) + 2(x – 2)

21) (x + 3)2(x + 2)3 – 20(x + 3)(x + 2)2

22) (x – 3y)(x + 5y)4 – 4(x – 3y)(x + 5y)2

23) x2n + 3xn + 2 24) xn+3 + 5xn + x3 + 5



124

2.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar es llevar fracciones algebraicas a su más mínimo expresión, dicho en otras palabras, es eliminar numeradores con denominadores, pero para que esto sea posible, tanto el numerador como el denominador deben de estar escritos como un producto, es decir, que toda la expresión debe ser una multiplicación, ya que sumas y restas, no se pueden eliminar.

Por ejemplo, si tenemos la expresión 4

4*4

En este caso podemos eliminar un 4 de arriba con un 4 de abajo y nos queda como resultado 4, ya que aunque efectuemos la

multiplicación, 44

16

4

4*4 .

Pero si en lugar de multiplicación tenemos una suma 4

44

En este caso no se pueden eliminar, pues no es lo mismo si eliminamos un 4 con un 4, ya que nos queda un 4 y al efectuar la

suma el resultado es 2. 24

8

4

44

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Ejemplo1: Simplificar yxx

xyyxx23

223

66

363

Solución: Sabemos que no se pueden eliminar términos sino solo factores, por lo tanto procedemos a factorizar tanto el numerador como el denominador y teniendo las expresiones factorizadas, procedemos a eliminar factores que sean iguales uno de arriba con uno de abajo.

2

2

33

6

x x y

x x y

x x y 3

x y

.2. x .x x y 2

x y

x

Matemática cuarto


125

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Ejemplo 2: Simplificar

3

2 3

x

x x Sollución: Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por lo tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común 2x así

3 3 2

2 3 2 1

x x x

x x x x

2

.x

x 11

x

xx

Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1.

2

3

15

25

a

a Como tenemos un término arriba y un término abajo, simplificamos directamente o buscamos los factores de cada término para eliminarlos

2

3

15 3.5

25

a

a

2. a

5.5 2. a

3

5. aa

2.

3

4 2

212

18

xy

x y

.2.3. x 2. y .

2

y

.3.3. x 3 2. .x y3

2

3

y

x

3.

2x x

yx y

En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos Sacar factor común x en el numerador y “y” en el denominador

2 1x xx x

yx y

1y x x

y

4. 2

1

2 1

x

x x

, aquí el numerador es una suma pero no se puede

factorizar, pero el denominador si se puede factorizar ya que es el un trinomio cuadrado perfecto.



126

22

1 1 1

2 1 1

x x x

x x x

1x 1

11 xx

5. 2

1

1

x

x

, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se

trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por la diferencia de sus raíces

EJERCICIO: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

1) 385

317202

2

xx

xx 2) 9x

35x 2x2

2

3) 49x

4914x x22

4) 44

82

3

xx

x

5) x

xyx 6) 4

442

2

x

xx

7) 239

192

2

xx

x 8) 23

3

63

3

xx

x

9) 143

122

2

xx

xx 10) 43

822

2

xx

xx

11) 96

272

3

aa

a 12) 403318

845182

2

xx

xxx

13) 43

23

8127

927

xx

xx

14)

87

562

2

xx

xx

15) 351312

1513202

2

xx

xx 16) 1

1332

23

x

xxx

17) 22

23

cb

cbb

18)

4

652

2

x

xx

19) 16

411324

24

xx

xx 20) 12)5)(2

6)()(22

2

yxyx

yxyx

Matemática cuarto


127

SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Para sumar o restar fracciones algebraicas, se procede de igual forma que en artimética, buscando un denominador común Ejemplo1 :

Simplificar a) 4

3

4

622

x

x

x b)

2525

4

s

s

s

Solución : Como en estos casos el denominador de las dos fracciones es igual, solamente lo copiamos a)

b)

25

4

2525

4

s

s

s

s

s

Ejemplo 2 Simplificar a)

32

5125

x

x

x

x

x

b)

9

18

3

4

3 2

tt

t

t

t

Solucion: a) Cuando tenemos iguales denominadores pero con diferentes exponentes, escribimos el que tiene mayor exponente y luego dividimos por cada denominador y lo que nos queda lo multiplicamos por su respectivo numerador

Como el trinomio que nos quedó no se puede factorizar, así se

queda la respuesta. b) Cuando los denominadores son diferentes y se pueden factorizar, se factorizan y luego se escribe el denominador común, es decir, el que contenga a todos los denominadores luego se procede de igual forma que los anteriores



128

)3)(3(

1895

)3)(3(

181243

)3)(3(

18)3(4)3(

9

18

3

4

3

222

2 tt

tt

tt

tttt

tt

tttt

ttt

t

3

65

)3)(3(

)3)(65(

t

t

tt

tt

Ejercicios Resuelva las siguientes operaciones y simplifíquelas

1) xxx

5-

2

6 2)

3

1

3

xx

x

3) 34

3 -

34

4

xx

x 4) 128

23 -

128

322

2

xx

xx

xx

xx

5) x

x

x

x

8

14

6

23

6) 22 15

103 -

9

6

x

x

x

x

7) 1

4 - 2x x

8) 2

2 -

2

3

xx

9) 12

2

1

2

x

x

x 10)

2

4

42

x

x

x

x

11) 4

3

82

62

xxx

x 12)9

18

12

7

22

xxx

x

13) 12

3

82

222

xx

x

xx 14)

2

6

23

4322

xxxx

x

15) 65

22 -

32

15

22

xx

x

xx

x 16) 23

6 -

8103

14722

xx

x

xx

x

17) 2

4

2

3 -

4

44

2

xxx

x 18) 3

1 -

3

2

9

2

2

xxx

x

19) 16

10

43

2 -

42118

182

xxxx

20) 2

3-

242

14

82

10422

xxx

x

xx

x

2.8.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones algebraicas no es necesario buscar un denominador común, únicamente se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denominadores factorizándolos antes de multiplicarlos para poder eliminar factores comunes

Matemática cuarto


129

Ejemplo:

Simplificar xx

xxx

xx

x

827

469*

253

494

234

2

2

Solución

)827(

)469(

)1)(23(

)23)(23(

827

469

253

493

22

4

234

2

2

xx

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

x

1)469)(23(

)469(*

)1)(23(

)23)(23(2

22

x

x

xxxx

xxx

xx

xx

EJERCICIO Simplificar:

1) 6342

812

1624

2112 2

x

x

x

xx 2) xx

x

xx

xx

8414

3015

63

42722

23

2) 34

232

23

4

2

xx

yx

yx

xx 4) 2

2

2

5 43

86 xy

xx

xx

xy

5) 54

32

65

62

2

2

2

xx

xx

xx

xx 6) 158

209

127

962

2

2

2

xx

xx

xx

xx

7) xx

xx

xx

xx

1554

536

816

2242

2

2

2

8)

xx

xx

xx

xx

1128

1342

1340

9202

2

2

2

9) 22

22

22

22

124124

32369

8219

324

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

10) 3212

482

30

24102

2

2

2

xx

xx

xx

xx



130

2.8.3 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división es la multiplicación invertida, por esta razón únicamente se invierte el divisor y se procede de igual forma que las multiplicaciones. Ejemplo

Simplificar: aa

aa

a

aa

2

42025

16

41252

2

4

2

Ejercicios:

Simplificar:

1) 3

2

62

32

12

15

8

6

xy

ba

yx

ba 2)

1064

785

523

986

cba

zyx

cba

zyx

3)

32

4

2

32

4

43

*yx

ba

xy

ba

yx

ba 4)

5

32

3

32

23

4

*ab

yx

yx

ba

ba

xy

5) 4

263 2

2

22

x

aba

x

abba

6) aba

x

baa

x

96

3

2114 223

7) 122

23

2

3

xx

xx

xx

xx 8) xx

xx

xx

x

2

2

44

1232

23

2

2

9) 86

44

43

822

2

2

2

xx

xx

xx

xx 10) 245

2411

276

1872

2

2

2

xx

xx

xx

xx

Matemática cuarto


131

Ejercicios variados Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.

1) 15136

10762

2

xx

xx 2) 1920

3122

2

yy

yy

3) 12235

2129102

2

xx

xx 4) zz

zz

32

91242

2

5) 310

5762

2

aa

aa 6) 3625

2562

y

yy

7) 234

3

61110

94

xxx

xx

8)

xxx

xxx

6254

81623

234

9) 278

693

t

t * 121012

942

2

tt

t 10) 23

342

2

aa

aa *21132

232

2

aa

aa

11) 16

41254

2

x

xx

xx

xx

2

420252

2

12)

4

82

3

x

x

83 x

x

13) 1892

2483423

3

ppp

ppp 14) wyyzwxxz

wywxyzxy

326

362

15) 32

1 -

322

1

xhx h 16)

25

7 -

255

7

xhx h

17) h

xhx 22)( 18) 37

5

x-

12

2

x+

314

42 xx

x

19) 1

-1

-

bb

a

b

b

a

20) x-

1

5 -1

1

x

x

21)

3

7

1

3

2

1

5

xx

xx

x

x 22) 1

x+

1

y 23)

s

r - r

s

Matemática cuarto


133

Tercera unidad: Ecuaciones


134

Matemática cuarto


135

OBJETIVOS

Conocer el lenguaje algebraico para representar, resolver situaciones de la vida cotidiana e interpretar las soluciones.

Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido numérico y viceversa.

Reconocer ecuaciones y diferenciarlas de expresiones algebraicas.

Plantear y resolver ecuaciones, utilizando en cada caso el método que mejor convenga.

Simplificar expresiones y fórmulas mediante las reglas de uso de los paréntesis y de la jerarquía de las operaciones.

Reconocer un valor dado como solución de una ecuación.

Clasificar las ecuaciones según el número de soluciones.

Reconocer dos ecuaciones equivalentes.



136

3.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).

En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede ser que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones.

Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará Inecuación.

5x – 3 = 2x – 5 Ecuación lineal x2 – 5x + 6 = 0 Ecuación cuadrática x2 – 5x + 6 Expresión algebraica. Observe que la expresión algebraica no tiene la igualdad mientras que la ecuación si. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se deben transponer términos, es decir, se deben dejar de un lado del signo igual todos los términos que contengan variables y del otro lado, los términos independientes. Términos independientes se le llama a todos los términos que no tengan letra, es decir, que únicamente sean números.

Matemática cuarto


137

2. Todos los términos que cambien de lado, pasarán haciendo la operación inversa de lo que hacían en su lugar original

2.1. Si están sumando, pasarán del otro lado restando 2.2. Si están restando, pasarán del otro lado sumando 2.3. Si están multiplicando, pasarán del otro lado dividiendo 2.4. Si están dividiendo, pasarán del otro lado multiplicando 2.5. Si están como una potencia, pasará del otro lado como un

radical. 2.6. Si está como un radical, pasará del otro lado como una

potencia. Ejemplo 1 Dada la ecuación x + 3 = 5 Éste que es el ejemplo más sencillo, se hace lo siguiente para encontrar el valor de la variable (en este caso x): Solución: Se procede a dejar de un lado del signo igual la variable y todo lo que pase del otro lado, deberá pasar. Haciendo la operación inversa

x + 3 = 5

x = 5 - 3 x = 2 Como se observó, el tres estaba al principio sumándose con la x, al pasar del otro lado, pasó restando al 5. Se pasó del otro lado, porque no tenía letra y se encontró de este modo el valor de x. Para comprobar el valor se reemplaza en la ecuación original el valor encontrado, como se muestra a continuación. (Ecuación original) x + 3 = 5 (Sustituyendo x = 2) 2 + 3 = 5 5 = 5 Se pueden tener casos en donde en ambos lados de la igualdad se encuentren incógnitas y números, tal y como se mostrará en el siguiente ejemplo:



138

Ejemplo 2 Resolver la ecuación 5x + 7 = 3x + 11 SOLUCIÓN Principiamos transponiendo términos, las letras de un lado y los números del otro. Debiendo tener cuidado que lo que está sumando de un lado, pasará restando en el otro y se reducen los términos semejantes. 5x + 7 = 3x + 11

5x – 3x = 11 – 7 2x = 4

Como se puede observar la literal quedó acompañada de un número que la multiplica, al cual se le llama coeficiente. Este número o coeficiente, pasa a dividir al número que está del otro lado del signo de igualdad, y se realiza la operación si se puede, de lo contrario se deja expresada como fracción simplificada

2x = 4 x = 4 2

x = 2

Para comprobar se sustituye el valor por la literal y se opera: 5(2) + 7 = 3(2) + 11 10 + 7 = 6 + 11 17 = 17 Como se podemos ver, se cumplió la igualdad. Ejemplo 3 Otro caso que se puede dar a la hora de resolver una ecuación. Dada la Ecuación: 5x + 3(5x + 2) = 12 – 2(3x - 36) Solución: En este caso se realizan primero las operaciones indicadas por los paréntesis, ya que afectan a unos términos de la igualdad y evitan que se pueda despejar la literal. 5x + 15x + 6 = 12 – 6x + 72

Matemática cuarto


139

El tres se multiplicó por 5x y por 2, en el primer lado de la igualdad, tomándose en cuenta la ley de signos, y el –2 se multiplicó por el 3x y –36, como se ve el resultado final de éste lado se tomo en cuenta la ley de signos. Como se hizo en el ejemplo anterior, transponiendo términos dejando de un solo lado las variables y del otro los términos independientes 5x + 15x + 6x = 12 + 72 – 6 26x = 78

26

78x

x = 3 Para asegurarse que el valor encontrado es correcto se hace la prueba. sustituyendo x = 3 5(3) + 3[5(3) + 2] = 12 – 2[3(3) – 36] 15 + 3(15 + 2) = 12 – 2(9 – 36) 15 + 3(17) = 12 – 2(-27) 15 + 51 = 12 + 54 66 = 66

EJERCICIO Resuelva las siguientes ecuaciones. 1) 4x = 12

2) 3x = 6

3) 5x = 20

4) 2x = 6

5) 6x = 12

6) 6x = 6

7) 4x = 4

8) 6x = 2

9) 16x = 8

10) 20x = 40

11) 2

1 x = 3

12) 4

1 x = 1



140

13) 95

3x

14) 215

3x

15) 26

4x

16) 797

x

17) 3116

x

18) 653

y

19) 687

s

20) 1095

z

21) 76

53

w

22) 53

109

x

23) 76

54

z

24) 118

119

y

25) 73

51

x

26) 85

76

y

27) 187

95

y

28) 156

91

w

29) 51

157

y

20) 31

31

y

31) 0.2x = 2

32) 0.8y = 3

33) 0.5x = 2

34) 5x = 0.2

35) 0.3y = 0.3

36) 0.1x = 0.25

37) 2x = 0.1

38) 0.5y = 0.25

39) 0.6x = 0.36

40) 0.11z = 0.33

Matemática cuarto


141

EJERCICIO Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 4x + 3x = 21

2) 5x + x = 24

3) 3x + x = 12

4) 2x + 3x = 15

5) 4x – x = 12

6) 3x – x = 8

7) 5x – 2x = 15

8) 8x – x = 28

9) 10x – 12x = 1

10) 9x – 12x = 3

11) 10x – 3x = 14

12) 9x – 2x = 14

13) 25x – 20x = 4

14) 8x – x = 1

15) 5x – 4x = 3

16) 6x – 5x = 4

17) 6x – 7x = 5

18) 8x – 9x = 2

19) 5x – 6x = 4

20) x – 2x = –6

21) x – 3x = –6

22) 3x + 2x + x = 18

23) x + 2x + 5x = 24

24) 2x + 5x + x = 4

25) 14x + x + 2x = –3

26) 4x – 2x + x = 4

27) x – 2x + x = 5

28) 4x – 5x + x = 6

29) 2x + x – 3x = 4

30) 4x + 2x – 6x = 8

31) 4x-3= x+3

32) 3x+2=3-2x

33) x + 5 = 6 – 2x

34) 5 – 2x = 8 + x

35) 3x – 2 = 10 – x

36) 5x + 3 = 2x - 3

37) 8x – 5 = 6x + 5

38) 4x – 1 = 2x + 5

39) 5x + 8 = 2x – 4

40) 10x + 5 = 3x – 9

41) 6x + 3(x + 1) = 8

42) 4x + 4(x – 2) = 0



142

43) 5x + 3[-4 + 3(5x + 2) –x] = 0

44) 4x – 3 = 5[x – 3{4x + 1}] + 6

45) 3x – (5x + 2) = 9[-x + 2(x + 3)]

46) 6x – 3 + 4x = 8x – 2(x – 2)

47) 25x + 3 = 8x – 3{x + [x + 2(3 – 5x)+1]}

48) 3x + 4(5x + 3) = 2(5x + 3) – 2

3.1.1 Ecuaciones con coeficiente fraccionario En estas ecuaciones son las que llevan números racionales. Ejemplo 1

29

2

5

15

7

5

xx

Como se puede observar existen denominadores en la igualdad, para resolver éste tipo de ecuaciones se procede de igual forma que para hacer sumas y restas de fracciones aritméticas. Si se nos ha olvidado, se siguen los siguientes pasos: 1er paso. Se busca el común denominador entre los números de la siguiente forma: 7 9 5 7 1 9 5 5 1 9 1 3 1 3 1 3 1 1 1 315 2do paso. Ahora colocamos el común denominador y lo dividimos entre los denominadores que aparezcan y lo multiplicamos por el numerador, en donde no aparezcan denominadores los multiplicamos por el entero.

Matemática cuarto


143

315 7 * 5x = 225x 315 5 * 15 = 945 315 9 * 2x = 70x 315 * 2 = 630 Lo trabajado anteriormente es para observar paso por paso como es que va a quedar en la ecuación, quedando de la siguiente manera, anulando el denominador, porque ya lo hemos trabajado: 225x + 945 = 70x – 630 315 Al haber trabajado esto lo tomamos como se han trabajado las ecuaciones anteriores: 225x – 70x = -630 – 945 155x = -1575 x = -1575 155

31

315x

Al tener éste resultado realizamos nuevamente la prueba para estar seguros. Ejemplo 2

5

1094252

x

x

x

x

Como se puede observar existen denominadores con letras y con números, para resolver esta ecuación se hace lo siguiente:

1er. Paso. Se busca el común denominador entre números, en este ejercicio solamente tenemos el 5. 2do. Paso. Se busca el común denominador entre letras, como se puede observar solo aparece la literal “x”, entonces se toma con su mayor exponente, quedando de la siguiente forma: 5x2



144

3er. Paso. Dividimos el común denominador entre cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador. 5x2 x Como podemos observar aquí se elimina una equis con el cuadrado y queda como resultado 5x 5x2 x = 5x Ahora este resultado lo multiplicamos por el numerador que le corresponde. Como el denominador de 5 + 2x es “x” y ya la dividimos entre 5x2 que es el común denominador a toda la ecuación y el resultado nos dio 5x lo multiplicamos por 5 + 2x.

5x(5 + 2x) = 25x + 10x2

Ahora hacemos lo mismo para el siguiente término

5x2 x2

Al realizar esta operación nos podemos dar cuenta de que se elimina la x2 y queda como resultado solamente el 5

5x2 x2 = 5

Ahora este resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador

5(4x + 9) = 20x + 45

Por último tomamos el último denominador y hacemos lo mismo pasos anteriores:

5x2 5 = x2

Luego lo multiplicamos por su numerador

x2 * 10= 10x2

Matemática cuarto


145

Al colocarlo sobre la línea queda de la siguiente forma y como ya esta trabajado el denominador lo eliminamos colocándole una línea.

5x(5 + 2x) + 5(4x + 9) = 10x2 5x2 Ahora trabajamos con lo que nos quedó sobre la línea operando las multiplicaciones correspondientes:

25x + 10x2 + 20x + 45 = 10x2

Ahora dejamos todas las literales de un lado de la ecuación y los números del otro lado y operamos:

25x + 10x2 + 20x – 10x2 = -45

Como se puede observar se eliminan los términos que llevan la x2 y nos queda una ecuación lineal

45x = -45

45

45x

x = -1

Ahora, para comprobar si la solución que encontramos es correcta, realizamos la verificación sustituyendo el valor en la ecuación original

5 + 2x + 4x + 9 = 10

x x2 5

(Sustituyendo 5 + 2(-1) + 4(-1) + 9 = 10

x = -1) (-1) (-1)2 5

Operando nos queda lo siguiente:

5 – 2 + -4 + 9 = 10

-1 1 5

3 + 5 = 10 -1 1 5

-3 + 5 = 2

2 = 2

El dos de la igualdad salió de dividir 10 entre 5.



146

Ejercicios:

Resuelva correctamente las siguientes ecuaciones encontrando el valor de la variable.

1) 5

7

10

1

5

3 xx

2) 19

44

9

5

3

2 xx

3) 5

438

5

3 xx

4) 973

76

yy

5) 4

37

4

3

7

4 xx

6) 3748

5 zz

7) 35

2

5

3

7

4 xx

8) 11

5

22

7

11

6 xx

9) 352

53

yy

10) 731

21

xx

11) 7

24

5

2

5

4

7

2 xxx

12) 117

63

7

4 xxx

13) 418

22

9

5 yyy

14) 86

5

2

13 xxx

15) 5

2348

5

3

7

5 zzz

16) 2

1

2

1

5

4

4

1 xxx

17) 697

5

4

53 yyy

18) 175

22

4

3 yyy

19) 272

54

7

3 zzz

20) 1410

2

5

125 xxx

21) 543

253 xxx

22) xxx2

123

5

2386

23) xxx 34

1

4

55

5

4

24) xxx 7155

21916

Matemática cuarto


147

25) zzz5

3541

7

4

26) yyy2

12

6

2

4

31

27) 54

139

6

1

9

1

3

19 xxx

28) zzz12

112

4

18

29) www4

15

5

2

5

14

2

1

30) 9

7

9

4

6

1

9

2

3

1 zzz

31) www20

7

5

7

10

2

5

4

5

2

32) zzz 7

1

7

1

21

73

3

2

33) yyy16

12

8

3

4

5

2

1

34) 103

154

103

351

xxx

35) xxx87

283

21

43

36) xxx 4281

141

73

37) 161

21

43

21

5 xxx

38) xxx32

634

183

92

39) 152

2154

21

53 xxx

40) www

681

343

2176

41) 36

12

4zz

z

42) zzz

165

421

83

43) 428

1543

43

zxx

44) zz

z 8172

51

EJERCICIO: Las siguientes ecuaciones son fórmulas matemáticas, despeje la variable que se le indica. I = prt. Despejar r

2. d = rt Despejar t

3. A = bh Despejar h

4. C= 2r Despejar r

5. P = 2l + 2w Despejar w

6. S = p + prt Despejar p

7. ax + by + cz = d Despejar b

8. ax + by + c = 0 Despejar c



148

9. R = I

E Despejar I

10. K = g

mv

2

2

Despejar m

11. V = hr 2

3

1 Despejar h

12. F=2

21

d

mmg Despejar m1

13. S=r

a

1 Despejar r

14) m=22

12

xx

yy

Despejar y1

15) 321

1111

RRRR

Despejar R1

16) 1b

y

a

x Despejar b

17) S = P + Prt Despejar r

18) F = 9

5 C + 32 Despejar C

19) V = h2(3r – h) Despejar r

20) S = gt2 + vot Despejar vo

21) S = rl

rla

Despejar r

22) S = a + (n – 1)d Despejar d

23) Ft = mv1 – mv2 Despejar m

24) 21

111

fff Despejar f

25) A = (b1 + b2)h Despejar h

26) A = 2r(r + h) Despejar h

27) t

vva 12 Despejar t

28) l = lo(l + ct) Despejar t

29) nI

rInER

Despejar I

30) 1

21

T

TTE

Despejar T1

Matemática cuarto


149

3.1.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES 1. Si a un número se le suma 14, el resultado es 25. Encuentre el número Solución: El valor desconocido es el número al cual se le sumará 14

x + 14 = 25 x = 25 – 14

x = 11 R: el número es 11 2. Un alumno tiene calificaciones parciales de 70, 28, 60, 54. ¿Qué nota debe obtener en la siguiente prueba para ganar el curso si este se aprueba con 60pts.

Solución: Como un promedio se encuentra sumando todas las notas y dividiendo entre el total de notas, únicamente sumamos todas las notas y dividimos entre 5 ya que todas las notas valen lo mismo.

605

54602870

x

212 + x = 60(5) 212 + x = 300 x = 300 – 212 x = 88

R: Debe obtener una nota de 88 puntos 3. Antes del examen final un alumno tiene calificaciones parciales, 72, 80, 65, 78, 60pts, el examen final cuenta como la tercera parte de la calificación definitiva, que calificación deberá tener el alumno para tener un promedio final de 76pts. Solución: Como nos indican que la nota del examen final cuenta como la tercera parte de su calificación definitiva, esto significa que la zona acumulada es los otros dos tercios de toda su nota, por lo tanto:



150

763

1

5

6078658072

3

2

x

7635

355

3

2

x

763

713

2

x

7633

142

x

76

3

142

x

142 + x = 76(3) 142 + x = 228 x = 228 – 142 x = 86

R: Debe obtener una nota de 86 puntos, para que su promedio sea de 76 puntos 4. La cantidad líquida que un trabajador recibe es de Q.4,920.00 después de haber deducido un total de 40% de impuesto sobre el valor nominal, cual es su salario nominal. Solución: Como nos indican que la cantidad líquida que el trabajador recibe es de Q.4,920.00, esto significa que su sueldo es 40% mayor.

Matemática cuarto


151

X = salario nominal Como el descuento se lo hacen al salario nominal 0.4(x) = descuento Salario nominal – descuentos = salario líquido X - 0.4x = 4920 0.6x = 4920

6.0

4920x

x= 8200 R: El salario nominal del trabajador es de Q.8,200.00 5. Una pareja va a cenar a un restaurante y paga Q.170.66. En dicho restaurante, a la cuenta de la cena le agregan un impuesto del 6% y además tienen que pagar 15% de propina después de haber sumado el impuesto. ¿Cuánto fue lo que pagaron solo en comida?. Solución: Como el impuesto se lo cargan a lo que se gasta en comida y la propina nos dicen que se carga después de haber agregado el impuesto. X = lo que gasta en comida 0.06(x) = impuesto 0.15(x + 0.06x) Gasto en comida + impuesto + propina = pago total x + 0.06x + 0.15(x + 0.06x) = 170.66 x + 0.06x + 0.15x + 0.009x = 170.66 1.219x = 170.66

219.1

66.170x

x = 140 R: Lo que consumieron en comida fue de Q.140.00 El costo de instalar material aislante en una casa es de Q.1800.00. Los

costos actuales de calefacción son en promedio 600.00 mensuales



152

pero se espera que el material aislante los reduzca en un 10%. Cuantos meses se necesitaran para recuperar el costo del material.

Solución: Como nos indican que el material aislante reducirá los gastos en un 10%, entonces nos interesa averiguar de cuánto es el ahorro obtenido con el material para ver en cuanto tiempo se recupera el gasto X = cantidad de meses 600 es el gasto mensual 0.1(600) = ahorro mensual 600(0.1) = 60 Esto significa que el ahorro mensual será de Q.60.00 60X=1800

60

1800x

x = 30 R: Se necesitarán 30 meses para recuperar el gasto del material aislante. Un alumno recibió Q.10,000.00 y desea depositarlos en 2 bancos

diferentes que le paguen el 8% y 6.4% de intereses respectivamente. Si el total de intereses es de Q.750.00. ¿cuanto tiene depositado en cada cuenta.

Solución: Cuando tenemos cierta cantidad y la queremos repartir en dos partes que no sean iguales, le damos el valor de x a una de estas partes y a la otra el total que teníamos menos la otra que ya dimos que en este caso es x x es una cantidad 10,000 – x es la otra cantidad X=Cantidad depositada 8% 10000 - X= Cantidad depositada 6.4% 0.08(x)+0.064(10000 - x)=750 0.08x+640 – 0.064x=75 0.08x – 0.064x = 750 – 640 0.016x= 110

016.0

110x

X=6875 10000 – 6875 = 3125

Matemática cuarto


153

R: Tiene depositados Q.6,875.00 En el banco que le paga 8% y Q.3,125.00 en el que le paga el 6.4% A la presentación de una película asistieron 700 personas. Los boletos

de adultos cuestan Q.25.00 y los de niños Q.15.00. Lo recaudado en la taquilla fue por un total de Q.14,670.00. ¿Cuántos niños asistieron a ver la película?

Solución: Al igual que el problema anterior, conocemos la cantidad total, en este caso, si al total de personas le quitamos los niños quedan los adultos y si le quitamos los adultos quedan los niños. Como la pregunta es cuántos niños entraron, le damos el valor de la variable a los niños. X = Cantidad de niños 700 – X = Cantidad de adultos Como el total de dinero recaudado en los niños se encuentra multiplicando la cantidad que pagó cada niño por la cantidad de niños que entraron y lo recaudado en los adultos se encuentra multiplicando lo que pagó cada adulto por la cantidad de adultos que entraron. El total recaudado es la suma de lo que hicieron con los niños más lo que hicieron con los adultos 15(x) +25(700 – x) = 14,670 15x + 17500 – 25x = 14,670 15x – 25x = 14,670 – 17,500 – 10x = – 2830

10

2830

x

x =283 R: Ingresaron 283 niños Un albañil cobra Q. 35.00 por hora de trabajo y a su ayudante le paga

Q.20.00 por hora. Si a un cliente, por un trabajo que le hicieron entre los dos, le cobraron en total Q.1440.00. ¿ Cuántas horas trabajó cada uno si el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil?

Solución: En este caso no conocemos el total de horas trabajadas por cada uno, pero sí conocemos la diferencia, pues nos indican que el ayudante trabajó 6 horas más que el albañil y además conocemos el total que cobraron. Horas trabajadas Albañil Ayudante X x + 6



154

Como sabemos cuanto cobraba por hora cada uno, multiplicamos lo que cobraba cada uno por hora, por las horas que trabajó cada uno y esto se suma para encontrar el total cobrado

35(x) + 20(x + 6) = 1440 35x + 20x + 120 = 1440 35x + 20x = 1440 – 120

55x = 1320

55

1320x

x = 24 Estas son las horas trabajadas por el albañil, ya que el las horas que trabajó él fue a las que les dimos el valor de x. El ayudante trabajó x + 6 o sea 24 + 6 = 30. R: El albañil trabajó 24 horas y el ayudante 30 Para calmar la tos, un adulto necesita ingerir un jarabe que contenga

30% de un ingrediente activo, mientras que un niño solo necesita que contenga el 20% del mismo ingrediente. Si el farmacéutico solo tiene jarabe para adultos ¿ Qué cantidad de jarabe del que tiene debe utilizar y cuánta agua, para preparar 60ml. de jarabe para un niño?

Solución: En los problemas de mezclas, debemos darle el valor de x a la cantidad de uno de los componentes y el total que necesitamos menos x a la cantidad del otro componente. Componente del 30% componente que no tiene ingrediente X 60 – x Ahora multiplicamos el porcentaje que contiene ingrediente activo por la cantidad de cada uno y lo sumamos.

Como la cantidad x tiene 30% (esto es 3.0100

30 ), a esto le sumamos la

otra que no tiene componente activo, por eso tiene 0 por ciento y esto será igual a la cantidad que necesita por el porcentaje de ingrediente que quiere.

0.3(x) + 0(60 – x) = 0.2(60) 0.3x + 0 = 12

0.3x = 12

3.0

12x

x = 40

Matemática cuarto


155

Como x es la cantidad de ml que tiene el componente activo, esta es la cantidad que se debe utilizar y el resto de agua R: Debe utilizar 40 ml del componente activo al 30% y 20ml de agua 9. Un vendedor de café tiene dos clases diferentes. un tipo de café cuesta Q.60.00 la libra y el otro Q.20.00 la libra. Si el café que cuesta Q.60 casi no se vende, entonces el vendedor desea mezclarlos para vender un solo tipo de café. ¿A cómo tiene que vender cada libra de mezcla si tiene 75 libras del que cuesta Q.60.00 y 45 libras del que cuesta Q.20.00 para no ganar ni perder? Solución: Como en este caso el precio desconocido es el que se quiere vender la mezcla, planteamos la ecuación de la siguiente forma:

60(75) +20(45) = x(120) 4500 +900 = 120x

5400 = 120x

x120

5400

x = 45 R: Cada libra de mezcla se tiene que vender a Q.45.00 para no ganar ni perder 10. Dos niños que se encuentran a una distancia de 247.5m comienzan a caminar uno hacia al otro al mismo instante, a velocidades de 2.5m/s y 3m/s, respectivamente.

a) ¿Cuando tiempo tardarán en encontrarse? b) ¿Que distancia habrá caminado cada uno?

Solución: En este caso, la distancia que recorre cada uno es diferente, pero el tiempo es igual, puesto que nos indican que salen al mismo instante. Decimos que la distancia es diferente porque la velocidad de cada uno es diferente. X = distancia que recorrió el que llevaba la velocidad de 2.5 m/seg 247.5 – x = distancia recorrida por el que iba a la velocidad de 3 m/seg t = tiempo utilizado Como también sabemos que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo 2.5(t) = distancia del primero 3(t) = distancia recorrida por el segundo



156

También sabemos que la distancia recorrida entre los dos es de 247.5 Distancia recorrida por el primero + distancia recorrida por el segundo igual a la distancia total

2.5t + 3t = 247.5 5.5t = 247.5

5.5

5.247t

t = 45 Distancia recorrida por el primero x x = 2.5(45) x = 112.5 Distancia recorrida por el segundo 247.5 – x = 247.5 – 112.5 = 135 R: El tiempo que tardaron en encontrarse fue de 45 seg. Y la distancia que recorrieron fue de 112.5 m el que llevaba la velocidad de 2.5 m/seg y de 135 m el que llevaba la velocidad de 3 m/seg. 11. Un muchacho le pega al otro y sale corriendo con una velocidad de 5 m/s 2 segundos después sale en su persecución el agredido dando una velocidad de 7 m/s a que distancia lo alcanza y en cuanto tiempo. Solución: En este caso, los tiempos son diferentes pero las distancias son iguales. t = tiempo del primero 5m/seg = velocidad del primero t – 2 = tiempo del segundo 7m/seg = velocidad del segundo Distancia = velocidad por tiempo Distancia del primero igual a distancia del segundo

5(t) = 7(t – 2) 5t = 7t – 14

5t – 7t = – 14 – 2t = – 14

2

14

t

t = 7 R: Lo alcanzará en 7 segundos. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Resuelva correctamente los siguientes problemas. 1. Encuentre dos números cuya suma sea 9 y su diferencia 5

Matemática cuarto


157

2. Si a un número se le suma 4, el resultado es 15. Encuentre el número

3. Si a un número se le suma 22, el resultado es 68. Encuentre el

número 4. Si a un número se le resta 11, el resultado es 48. Encuentre el

número. 5. Si al doble de un número se le suma 3, el resultado es 25. Halle el

número. 6. Encuentre 2 números cuya suma sea 20 y su diferencia 10 7. Un vendedor de periódicos tiene Q.2.30 en monedas de 10 y 25

centavos. Si en total tiene 14 monedas. Cuántas tiene de cada denominación

8. Una niña tiene 75 monedas de 5 y 10 centavos. Si en total tiene

Q.5.75. Cuántas monedas tiene de cada una. 9. Si tengo Q. 45.00 en billetes de Q.5.00 y Q.10.00. Si en total tengo 7

billetes. ¿Cuántos tengo de cada denominación? 10. Una señora compró 22 aves entre gallinas y patos con Q.125.00. Si

cada gallina le costó Q.5.00 cada pato Q. 6.25. ¿Cuántas gallinas y Cuántos patos compró?

11. Encuentre dos enteros consecutivos tales que su suma sea 29 12. Encuentre 2 enteros consecutivos cuya suma sea 47 13. La suma de 3 enteros consecutivos es 24. Encuéntrelos. 14. La suma de 3 enteros consecutivos es 45. Encuéntrelos. 15. Encuentre 3 enteros consecutivos cuya suma sea 33 16. Las calificaciones de un estudiante son 75, 80 y 60. ¿Cuánto tiene

que sacar en el próximo examen par que su nota promedio sea de 75 puntos?

17. Al llegar al examen final, un estudiante tiene las siguientes notas.

55, 70, 84, 75 y 90 puntos. Si el examen final vale la tercera parte de la nota final.¿ Cuánto tiene que obtener para ganar la clase con 70 puntos?



158

18. Un alumno a obtenido las siguientes notas: 55, 40 y 60. Si la nota final es el promedio de sus 4 evaluaciones parciales. ¿Podrá ganar el curso todavía o ya no?. De ser posible, ¿cuánto tiene que sacar en su evaluación final?

19. Una mujer de negocios desea invertir Q.30.000 en dos bancos

diferentes que pagan 8% y 12% de interés simple anual respectivamente. Si al final del año se encuentra con un beneficio de Q.3280.00 entre las dos cuentas. ¿Cuánto tiene depositado en cada una?

20. Una persona desea depositar Q.20000.00 en dos cuentas diferentes

que le pagan 8% y 12% respectivamente. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta si al final del año desea tener un interés total de Q.1920.00?

21. Un comerciante invierte Q. 15,000.00 en dos negocios. Si en uno

ganó el 20% y en el otro el 15%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si su ganancia total fue de Q.2,600.00?


ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una ganancia de Q.1050.00?






ganó el 15% y en el otro perdió el 12%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.300.00?


ganó el 25% y en el otro perdió el 20%. ¿Cuánto invirtió en cada negocio si al final obtuvo una pérdida de Q.1200.00?

27. Un corredor sale de un punto a una velocidad constante de 6 millas

por hora. Circo minutos más tarde, un segundo corredor sale del mismo lugar y hace el mimo recorrido a una velocidad de 8 millas por hora ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero?

Matemática cuarto


159

28. Un vehículo sale de una ciudad, con una velocidad constante de 40

Km./h. 1 hora más tarde sale otro vehículo en persecución del primero, con una velocidad constante de 50Km/h. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo vehículo al primero y a qué distancia del punto de partida?

29. Dos muchachos se encuentra separados una distancia de 225

metros, cuando ambos empiezan a caminar, uno en dirección del otro, con velocidades de 2m/seg y 3m/seg. ¿En cuánto tiempo se encuentran y qué distancia recorrió cada uno?

30. Un muchacho le pega a otro y sale corriendo con una velocidad de

5m/seg. La reacción del segundo dura 3 seg. y sale en persecución del primero, con una velocidad de 8m/seg.¿En cuánto tiempo alcanza el segundo muchacho al que le pegó?

31. Dos vehículos salen a un mismo tiempo de dos ciudades distantes entre sí 300Km. uno en dirección del otro. Si uno viaja a una velocidad de 50Km/h y el otro a 6oKm/h. ¿En cuánto tiempo se encuentran?

32. Si al radio de un circulo se le aumentan 2 cm, su área aumenta en l6

cm2 ¿Cual era el radio original del círculo? 33. Un rectángulo mide el doble de largo que de ancho Si el largo y al

ancho se les reducen 2 cm y 3cm respectivamente, el Area disminuye 30 cm2. Encuentre las dimensiones originales.

34. Un autobús viajó de una ciudad a otra, a una velocidad promedio de

50 millas por hora. Si viaje de regreso tomó 15 minutos más a una velocidad promedio 45 millas por hora. ¿Cuál fue la distancia total que recorri6 el autobús?

35. Los boletos de entrada a un cine cuestan Q.20.00 para adulto y

Q.15.00 para niño. Si en una función se vendieron 500 entradas y el total de dinero recaudado fue de Q.8625.00. ¿Cuántos adultos y cuántos niños entraron?

36. A un muchacho le toma 90 minutos podar el jardín de su casa, pero

su hermana puede hacerlo en 60 minutos ¿Cuánto tiempo les tomará podar el jardín si trabajan juntos, usando dos cortadoras?

37. Una manguera puede llenar una piscina en 8 horas. Otra manguera

mayor que la primera puede llenar la piscina en 5 horas ¿Cuánto



160

tiempo tomará llenarla a si utilizan las dos mangueras simultáneamente?

38. A las 6 am una máquina barredora, que avanza a velocidad

constante, empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad. A las 8 am. Un automóvil toma esa carretera a una velocidad de 30 km/h. y la alcanza 30 minutos después. Encuentre la velocidad de la máquina.

39. Dos niños tienen aparatos de radiocomunicación, cuyo alcance

máximo es de 2 millas. Uno de ellos empieza a caminar de cierto punto hacia el norte a la 1:00 pm a una velocidad de 4mi/h. El otro niño sale del mismo punto a la 1:15 pm y camina hacia el sur a una velocidad de 6 mi/h. ¿A qué hora ya no podrán comunicarse?

40. Un muchacho puede remar en aguas tranquilas a una velocidad de 5

mi/h. Si rema en contra de una corriente constante durante 15 minutos y luego regresa hacia el punto de donde salió en 12 minutos. Encuentre:

a) La velocidad de la corriente b) La distancia que recorrió río arriba.

41. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y

su perímetro es 40 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones? 42. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado

más corto y dos centímetros mayor que el tercer lado. Si el perímetro del triángulo es 33 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

43. Los boletos de admisión a un cine costaron Q.6.00 por adulto y

Q.4.50 por niño. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de Q.4, 279.50 Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

44. Un muchacho rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una

corriente constante hacia arriba; luego rema río abajo 300 pies en 5 minutos. Encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad a la que rema el muchacho.

45. Un agente de ventas compró un automóvil que promediaba 25 millas

por galón en la ciudad y 40 en carretera, según la publicidad. En un viaje de negocios gastó 51 galones para recorrer 1800 millas. Si

Matemática cuarto


161

suponemos que el anuncio era correcto ¿Cuántas millas recorrió en la ciudad?

46. Se dispara un proyectil horizontalmente hacia un blanco y el sonido

del impacto se escucha 1.5 segundos después de haberlo lanzado. Si la velocidad del proyectil es de 3,300 pies/seg. Y la velocidad del sonido es de 1100 pies/seg. ¿A qué distancia se halla el blanco?

47. Qué cantidad de agua debe evaporarse de una solución de 500

gramos de agua con una concentración del 6% sal, para que la solución resultante que quede tenga 15% de sal?

48. Un químico tiene dos soluciones de ácido. La primera tiene 20% y la

segunda 35%. ¿Cuántos ml de cada solución debe mezclar para obtener 50 ml de solución con 30% de ácido?

3.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS

La ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0

Para resolver estas ecuaciones utilizaremos tres métodos; la primera de ellas es por medio de factorización, la segunda por completación al cuadrado y la tercera pro fórmula general o de Vieta.

3.2.1 SOLUCION DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN

Resolver por factorización x2 – 3x + 2 = 0

Como es un trinomio que no tiene número la x2, procedemos a escribir los dos paréntesis y escribir la raíz cuadrada de la x2 en el lado izquierdo de los dos paréntesis, escribimos en el primer paréntesis el mismo signo del segundo término, en el segundo paréntesis el signo que nos dé la ley de signos y buscamos dos factores del dos que al sumarse den 3

x2 – 3x + 2 = 0

(x – 2)(x – 1) = 0



162

Luego igualamos cada paréntesis a cero, puesto que cualquier cantidad, para que su producto sea cero, se tiene que multiplicar por cero.

x – 2 = 0 x – 1 = 0

Y despejamos la x en las dos ecuaciones

Quedándonos x = 2 y x = 1

A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si tiene alguna duda, puede consultar con su profesor. 1) 0126 2 xx 2) 1582 xx (2x + 3)(3x – 4) =0 (x – 5)(x – 3) =0 2x = – 3 3x = 4 x = 5 x = 3

2

31 x

3

42 x

3) 0144 2 xx 4) 01072 xx (4x – 7)(x + 2) = 0 (x – 5)(x – 2) = 0 (4x – 7) = 0 (x + 2) = 0 x – 5 = 0 x – 2 = 0

4

71 x x2 = – 2 x1 = 5 x 2 = 2

5)

2x -10x + 24=0 6) 2x – 2x – 35 = 0 (x – 6)(x – 4) = 0 (x – 7)(x + 5) = 0 x – 6 = 0 x-4=0 x + 5 = 0 x –7 = 0 x1 = 6 x2 = 4 x = – 5 x = 7 7) 012815 2 xx (3x – 2)(5x + 6) = 0 3x – 2 = 0 5x + 6 = 0 3x = 2 5x = – 6

3

2x

5

6x

EJERCICIOS PROPUESTOS

Matemática cuarto


163

Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones:

1) x2 + 8x + 15 = 0

2) x2 + 6x + 8 = 0

3) x2 + x – 12 = 0

4) x2 – 2x – 3 = 0

5) x2 + 4x – 12 = 0

6) x2 – 13x + 42 = 0

7) x2 – 4x + 3 = 0

8) x2 – 12x + 36 = 0

9) x2 – 2x + 1 = 0

10) x2 14x + 49 = 0

11) x2 – 4 = 0

12) x2 – 9 = 0

13) x2 – 16 = 0

14) x2 – 2 = 0

15) 2x2 + 7x + 3 = 0

16) 3x2 + 10x – 8 = 0

17) 4x2 – 5x – 6 = 0

18) 2x2 – 12x + 18 = 0

19) 5x2 – 11x + 2 = 0

20) 6x2 + 4x – 2 = 0

21) 4 – 9m2 = 0

22) 9m2 + 6m + 1 = 0

23) 6x2 – 5x + 1 = 0

24) 6x2 – 5x – 6 = 0

25) 3x2 – 18x + 27 = 0

26) 3x2+ x = 0

27) 2x2 – 3x = 0

28) 3x2 + 5x = 0

29) x2 = 16

30) 4x2 = 25

3.2.2 COMPLETACIÓN AL CUADRADO Para completar al cuadrado, únicamente deben tomarse los términos que tienen la x, o sea la incógnita, por ejemplo

Dada la expresión x2 + 6x + 5.

Para completar al cuadrado, solamente tomamos x2 + 6x

El coeficiente del segundo término lo dividimos por dos y el resultado lo elevamos al cuadrado.

x2 + 6x + 9 y con esto ya completamos un trinomio cuadrado perfecto.



164

Cuando tenemos que completar una expresión que no sea divisible exactamente por dos, no escribimos decimales sino que dejamos la fracción y esta la elevamos al cuadrado.

x2 – 5x + 6

Al dividir el 5 entre 2, no se puede, entonces nos quedaría 2

5 , y aunque

no deben escribirse, se elevan al cuadrado y este será el tercer término para completar el trinomio cuadrado perfecto.

4

2552 xx . Luego este trinomio se factoriza y nos queda

2

2

5

x

Ejercicio: Completar al cuadrado y factorizar.

1) x2 + 4x 2) x2 + 8x 3) x2 – 10x

4) x2 – 12x 5) x2 + 3x 6) x2 – 5x

7) x2 – x 8) x2 – 2x 9) x2 – 7x

10) xx3

42 11) xx5

62 12) xx5

12

13) xx4

32 14) xx5

22 15) xx3

52

16) 2x2 + 4x 17) 3x2 – 6x 18) 4x2 + 12x

19) 3x2+ x 20) 2x2 – 3x 21) 3x2 + 5x

Matemática cuarto


165

Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas por Completación al cuadrado, se procede de la siguiente manera:

Resolver la ecuación x2 – 5x + 6 = 0.

Primero dejamos de un solo lado los términos que tienen x.

x2 – 5x = – 6

Luego completamos al cuadrado

4

256

4

2552 xx

Los 4

25 que salieron de completar al cuadrado, como se sumaron en un

lado, también se suman en el otro para que la ecuación no cambie y luego se resuelve.

4

2524

2

52

x

4

1

2

52

x

4

1

2

5x

2

1

2

5x

2

1

2

5x

Luego separamos para encontrar los valores que puede tener la x

32

6

2

1

2

51 x 2

2

4

2

1

2

52 x

Entonces la x puede valer 3 o 2.

Ejemplo 1 Resolver por Completación al cuadrado

2x + 4x + 4 = 0 2x -8x+16=0



166

Como el objetivo es formar un trinomio cuadrado perfecto, en estos casos no hay nada qué hacer para completar porque ya son trinomios cuadrados perfectos, solamente los factorizamos

0)2( 2 x 0)4( 2 x x + 2= 0 x – 4 = 0 x = – 2 x = 4 Ejemplo 2 Resolver por completación al cuadrado a) 01522 xx b) 0862 xx Solución: Procedemos a dejar de un solo lado las x para completar a cuadrado

2x – 2x = 15 98962 xx 2x – 2x + 1 = 15 + 1 1)3( 2 x

16)1( 2 x 13 x 161 x 13x

41

41

x

x 2

213

1

1

x

x

5

41

1

1

x

x

4

413

2

2

x

x

3412 x 32 x A continuación encontrará varios ejercicios resueltos. Analícelos y si aún tiene dudas, resuélvalas con su profesor. 1)

2x +20x + 51 = 0 2) 2x + 20x + 36=0 2x +20x = – 51 2x +20x = – 36 2x +20x+100= – 51 + 100 2x +20x +100= – 36 +100

4910 2 x 64)10( 2 x x + 10= 49 x + 10= 64 x +10 = 7 x + 10= 8 x = – 10 7 x = – 10 8

Matemática cuarto


167

17

17710

3

3710

2

2

1

1

x

x

x

x

18

18810

2

2810

2

2

1

1

x

x

x

x

3) 02156 2 aa

6

21

6

5

6

6 2

aa

144

25

2

7

144

25

6

52 aa

144

25504

12

52

a

144

529

12

52

a

144

529

12

5a

12

5a =

12

23

2

312

1812

23512

23

12

512

23

12

5

1

1

1

1

a

a

a

a

a

3

712

2812

23512

23

12

5

2

2

2

2

a

a

a

a

PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver por completación al cuadrado 1) x2 + 4x – 9 = 0

2) x2 + 8x + 7 = 0

3) x2 – 10x –11 = 0

4) x2 – 12x + 11 = 0

5) x2 + 3x 04

5



168

6) x2 – 5x + 04

9

7) x2 – x 04

3

8) x2 – 2x –5 = 0

9) x2 – 7x + 4

13

10) 2x2 + 4x - 16 = 0

11) 3x2 – 18x – 21 = 0

12) 4x2 + 12x – 81 = 0

13) 3x2+ x = 6

14) 2x2 – 3x = 12

15) 3x2 + 5x = 15

3.2.3 FÓRMULA CUADRÁTICA O DE VIETA La fórmula general o de Vieta, se obtiene de resolver la ecuación cuadrática por la Completación al cuadrado

ax2 + bx + c = 0

Principiamos por pasar la c hacia el otro lado, para dejar sólo los términos que contienen la variable x

ax2 + bx = -c

Luego tratamos de eliminar la a que tiene la x2, dividiendo todo el término por ella

a

c

a

bx

a

ax

2

y nos queda a

cx

a

bx 2

Luego completamos al cuadrado 2

2

2

22

44 a

b

a

c

a

bx

a

bx

Factorizando del lado izquierdo y sumando los términos del lado derecho obtenemos

Matemática cuarto


169

2

22

4

4

2 a

bacbx

Despejando 2

2

4

4

2 a

bacbx

Como dentro de la raíz tiene raíz cuadrada el 4 y la a2, se sacan y se obtiene

a

acbbx

2

4

2

2

Luego buscando denominador común que es 2a,

a

acbbx

2

42

Como la ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la siguiente forma: 02 cbxax , no la vamos a estar resolviendo en cada vez (Esto equivaldría a resolver las ecuaciones siempre por completación al cuadrado), a, b y c son los números que tiene la ecuación; a es el número que tiene la x2, b es el número que tiene la x y c es el término independiente, es decir, el número que no tiene letra.

a

acbbx

2

42

Ejemplo 1: Resolver por fórmula cuadrática x2 – 3x + 2 = 0 SOLUCIÓN: Como se puede observar el número que acompaña a la “x2” es el 1, el que acompaña a la “x” es el –3 y el término independiente es 2, se les da su nombre respectivo: a = 1, b = -3, c= 2 Hemos escrito cada número con su respectivo signo, ahora lo que corresponde es colocarlos en la fórmula:



170

a

acbbx

2

42

)1(2

)2)(1(4)3(3 2 x

El –b indica que se debe cambiar el signo que tenga el valor de b, por lo tanto, el signo del –3 pasa a ser +3 y adentro del radical se opera el –3 al cuadrado dando como resultado 9 positivo porque todo número negativo elevado a exponente par da positivo, luego operamos –4 por 1 por 2, y por ley de signos menos del cuatro por más del uno, da menos y luego este menos por el más del dos da nuevamente menos colocamos menos y multiplicamos los números 4 * 1 * 2 y el resultado es 8, y luego multiplicamos el denominador que es 2 por 1, dando como resultado 2 y al final lo escribimos de la siguiente manera:

2

893 x

Ahora operamos lo que quedó dentro del radical y le sacamos raíz cuadrada

2

13x

2

13x

El signo quiere decir que al tres le tenemos que sumar y restar el uno y luego el resultado se divide entre dos, a continuación se mostrará como se trabaja:

22

4

2

131

x

12

2

2

132

x

En una ecuación cuadrática siempre quedarán dos resultados para “x” con los cuales se cumple la igualdad, en este caso que es cero siempre.

Ahora, al sustituir en la ecuación los resultados encontrados para equis nos dará cero la igualdad.

x2 – 3x + 2 = 0

(Sustituyendo (2)2 – 3(2) + 2=0

Matemática cuarto


171

x = 2 4 – 6 + 2 = 0

0 = 0

Como podemos observar se cumple la igualdad, ahora hagámoslo con 1

(Sustituyendo (1)2 – 3(1) + 2 = 0

x = 1 1 – 3 + 2 = 0

0 = 0

También se cumple la igualdad.

Ejemplo 2:

11x2 + 10x - 1 = 0

Solución

1ro. Tomamos nuestros valores a, b, c.

a= 11, b= 10, c=-1

2do. Colocamos los valores en la fórmula

)11(2

)1)(11(41010 2 x

3ro. Ahora operamos lo que está indicado

22

4410010 x

22

14410 x



172

22

1210 x

4to. Como tenemos un signo operamos los resultados una vez sumándolos y otra vez restándolos y obtendremos los dos resultados para la equis.

11

1

22

2

22

12101

x 1

22

22

22

12102

x

PROBLEMAS RESUELTOS POR FORMULA GENERAL

a

acbbx

2

42

02422 xx 02422 xx

)1(2

)24)(1(4)2(2 2 x

)1(2

)24)(1(4)2(2 2 x

2

9642 x

2

9642 x

2

922 x

2

1002 x

Como la raíz cuadrada quedó x= 62

12

2

102

Negativa, no tiene solución en los 42

8

2

102

x

Números reales.

EJERCICIO: Resolver por fórmula cuadrática las siguientes ecuaciones

Matemática cuarto


173

1) 3x2 + 8x – 16 = 0

2) 5x2 + 24x – 5 = 0

3) 4x2 – 4x – 3 = 0

4) 6x2 + 8x – 8 = 0

5) 8x2 + 6x – 5 = 0

6) 8x2 – 22x – 21 = 0

7) 10x2 – 3x – 1 = 0

8) 48x2 – 58x + 15 = 0

9) 12x2 + 12x – 9 = 0

10) x2 + 2x – 3 = 0

11) x2 – x – 12 = 0

12) x2 + 14 = 15x

13) x2 = x + 72

14) x2 + 3x + 5 = 0

15) x2 + 8 = -4x

16) 3x2 + 5x = 0

17) 2x2 = 1 + x

18) 3x2 = 32 + 20x

19) 4x2 + 24 = 35x

20) 6x – x

4 = 5

21) 2

x + 1 = x

1

22) 4x – 2

7

x = 6

23) 5x + 4

21

x = 6

24) x32

7

= 3x + 8

25) 1

2

x = 3x – 2

26) 11

4

2

4

xx

27) 12

4

1

2

xx

x

28) 112

313

2

xxx

29) 53

242

1

xx



174

30) 2

34

x

x

x

x

Matemática cuarto


175

3.2.4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

1) Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y

una altura de 3 m es construido con un costo de Q 2,240.00 de material. Si el material para el fondo cuesta Q. 50.00 por m2 y el material de los lados tiene un costo de Q.30.00 por m2. ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito?

2) Se desea hacer un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rectangulares y una altura de 4 metros para guardar granos de una cosecha. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del mismo si se sabe que el material para el fondo cuesta Q.150.00 por metro cuadrado y el material para los lados cuesta Q.120.00 por metro cuadrado y se cuenta con Q. 9600.00 para el material

3) Se desea cercar un terreno cuyo largo es el cuádruplo de su ancho. Encuentre sus dimensiones su el perímetro es de 100 metros

4) Hallar las dimensiones de un rectángulo cuyo largo es el triple de su ancho y su perímetro mide 80 metros.

5) Un rectángulo que su ancho mide 6 centímetros menos que su largo tiene una superficie de 135 cm2. Encuentre sus dimensiones.

6) Encuentre las dimensiones de un rectángulo que su longitud tiene 3 cm más que se ancho y de superficie tiene 270 cm2

7) Una página de 144 cm2 de región impresa tiene un margen de 4.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página, si su ancho es cuatro novenos de su longitud?

8) En una página cuya longitud tiene 2 pulgadas más que su ancho

se imprime un paisaje de 63 pulgadas cuadradas. Encuentre las dimensiones de la página si el margen superior debe ser igual al de los lados, de 2 pulgadas. El margen inferior, el cual servirá para poner los datos del alumno, debe quedar de 6 pulgadas.

9) Se desea usar una hoja de papel de 24 pulg x 36 pulg para un

cartel rectangular cuyo largo sea vertical. Los márgenes a los lados y en la parte superior deben tener igual anchura, pero el margen inferior debe tener doble anchura que los demás. Calcule



176

el ancho de los márgenes, si el área impresa debe tener 661.5 pulg2.

10) Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por

100 m contiene un jardín rectangular limitado por una banqueta de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del parque, ¿cuál es el ancho de la banqueta?

11) Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100m de

largo por 60 m de ancho que deberá ser asfaltada para que esta parte corresponda a las dos terceras partes del área del terreno?

12) Una sección rectangular de terreno cuyas dimensiones son 26

por 30 pies, está rodeada por una acera de ancho uniforme. El área de la acera es 240 pies2. ¿Cuál es el ancho de esa acera?

13) A un jardín cuyas dimensiones son 26 por 30 metros se le quiere

hacer una acera de ancho uniforme alrededor, pero dentro de sus dimensiones, para convertirlo en parque. Si el área de la acera debe ser de 240 m2 ¿Cuál deberá ser el ancho de dicha acera?

14) Se debe fabricar una caja sin tapa, cortando cuadrados de 3 pulg

de lado en las esquinas de una lámina rectangular de estaño, cuya longitud sea el doble de su ancho. ¿ Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60 pulg3?

15) Un terreno cuadrado se va a cercar. Si la cerca cuesta Q.25.00 por metro y el costo de preparar el terreno es 10 por m2, calcule el tamaño del terreno si el gasto total es deQ.15,750.00.

16) Un campesino proyecta cercar un terreno rectangular,

aprovechando parte de su granero como uno de los lados, y cercando los otros tres. Si el lado paralelo al granero debe tener doble longitud que la de sus lados adyacentes, y el área del terreno debe ser 128 pies2, ¿cuántos pies de cerca debe comprar?

Matemática cuarto


177

Cuarta unidad: Números complejos, otras ecuaciones y desigualdades


178

Matemática cuarto


179

OBJETIVOS Conocer: Unidad imaginario, número complejo, parte real y parte

imaginaria Hallar el conjugado de un complejo Efectuar operaciones básicas algebraicas con números complejos Reconocer la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones Reconocer cuando y porqué las inecuaciones son abiertas o

cerradas Escribir enunciados verbales en forma de inecuaciones



180

4.1 NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos describen la suma de un número real y un

número imaginario, que se indica con la letra i. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Número complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es el número imaginario. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. La base principal de los números complejos es que i2 es – 1, para poder obtener la raíz par de cantidades negativas. Por ejemplo Resolver 9 , en los números reales sabemos que cualquier número negativo no tiene raíz cuadrada, pero para pasar al campo de los números complejos, trabajaremos de la siguiente forma: Como sabemos que i2 = – 1, podemos multiplicar ( – 9)( – 1) para que nos dé +9 y a este resultado le podemos sacar la raíz cuadrada, pero multiplicamos por i2

ii 39 2 A continuación presento una tabla con los resultados que quedan dependiendo del exponente que tenga i. La explicación que daré es la siguiente: El exponente me indicará si queda i o queda uno, tomando en cuenta lo siguiente: 1) Si el exponente de la i es par, no queda i sino 1 i = i Porque el exponente es 1 (impar) i2 = 1 porque el exponente es par i3 = i porque el exponente es impar i4 = 1 porque el exponente es par así mismo el signo que resulte después de ver si queda i o 1 2) El exponente que queda tiene que ser par y al dividirlo entre 2.

a) si el resultado es par, queda signo más b) Si el resultado es impar, queda signo menos

Matemática cuarto


181

Por ejemplo: i12 sabemos que no queda i sino 1 por ser el exponente par. dividimos 12 entre 2 y el resultado es 6, como también este resultado es par el signo es positivo

i12 = +1 i14 Nuevamente vemos que no queda i por ser exponente par. Al dividir 14 entre 2, el resultado es 7, impar, por lo tanto el resultado es 1 y el signo es negativo

I14 = – 1 1) Si el exponente es par, el resultado será uno

i12 = 1 i14 = – 1

2) Si el exponente es impar, el resultado será i i15 = – i

i17 = i

4.1.1 Operaciones de Números Complejos Suma de Números Complejos La suma de números complejos se efectúa exactamente igual que la de expresiones algebraicas, reducción de términos semejantes, ejemplo Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones y escribir la respuesta de la forma a + bi 1) ( – 5 + 7i) + (4 + 9i) – 5 + 7i + 4 + 9i = – 1 + 16i 2) (– 3 + 8i) – (2 + 3i)



182

Multiplicación de Números Complejos 3) ( – 2 + 6i)(8 – i)

División de Números Complejos Para dividir números complejos se procede de igual forma que para racionalizar, ya que en la racionalización el objetivo es eliminar radicales, en la división de números complejos es eliminar la i del denominador. En el siguiente ejercicio podemos multiplicar solamente por i para eliminarla porque al ser i2 se convierte en – 1

4) i

i

2

62

iii

i

ii

i

i

i

i

32

2

2

6

2

62

2

62*

2

622

2

5) 42

3

i

Como ahora tenemos como divisor una resta, multiplicamos por el conjugado para completar una diferencia de cuadrados

13

6

13

9

13

96

94

96

94

96

32

32*

32

32

iii

i

i

i

i

i

i13

6

13

9

Ejercicios Resolver las siguientes operaciones de números complejos y escribir la respuesta en forma a+b î . 1) (4 – 2i) + (2 – i) 2) (5 + 4i) + (1 – 5i) 3) (2 + i) – (4 + 3i) 4) (1 + 7i) – ( – 4 – 7i) 5) îî 9494 6) îî 55

7) î72

5

8) î

î

5

24

9) ³)²5( îîî 10) ²³4îî 11) ( 2 + 4i)2 12) (5 – 4i)2 13) (1 + 2i)3

Matemática cuarto


183

14) (3 + 2i)3

15) )4

12

i

i

16) i

i

53

3

17) 9234 18) )166)(11( 19) 928 20) 368253

21) 251

1215

22) 23

1

23) 32

23

i

4.2 ECUACIONES DE OTROS TIPOS Se llama ecuaciones de otros tipos porque tienen valor absoluto,

radicales, exponentes de grado mayor que dos, exponentes negativos o

exponentes racionales.

Resolver correctamente las siguientes ecuaciones y verificar que las

respuestas sean solución.

Ejemplo

Encontrar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones

1) 43 x 2) 51252 x

Solución:

Cuando tenemos ecuaciones de valor absoluto, como sabemos que el

resultado del valor absoluto de cualquier número, después de sacarlo

del signo de valor absoluto, ya sea positivo o negativo, siempre será

positivo. En el caso 1), lo que se encuentra dentro del símbolo de

valor absoluto puede ser 4 o – 4, ya que 44 , asimismo 44 y



184

en el caso 2) se tiene que despejar el valor absoluto para determinar

qué número puede ser el resultado del valor absoluto.

Para el caso 1 puede resolverse directamente la ecuación de la siguiente

manera:

escribimos el mismo número del lado izquierdo con signo negativo,

luego el signo igual y a continuación lo que se encuentra dentro del

valor absoluto pero ya sin el símbolo en seguida el signo igual y al final

el mismo número y despejamos la variable debiendo transponer los

números a los dos lados

1)

En el ejercicio 2) tenemos que despejar primero el valor absoluto y

luego hacemos lo mismo que en el ejemplo 1

2)

)51

,1(

51

1

51

55

x

x

x

155

23523

3253

325

2625

6252

15252

51252

x

x

x

x

x

x

x

x

)7,1(

71

3434

434

43

x

x

x

x

x

Matemática cuarto


185

A continuación encontrará varios ejercicios resueltos para que los

estudie; si le quedan dudas, consúltelas con su profesor

4) 3x3 – 4x2 – 27x + 36 = 0 5)

(3x3 – 4x2) – (27x – 36) = 0

X2(3x – 4) – 9(3x – 4) = 0

(3x – 4)(x2 – 9) = 0

(3x – 4)(x + 3)(x – 3)= 0

3x – 4 = 0 x + 3 = 0 x – 3 = 0

3

4x 3x x = 3

6)

5

7

0)5)(7(

0352

xu

0352

2

1-

12

u

u

uu

uu

xx

7)

2

023

2

23

023

0)2)(23(

0443

0443

2

3

1

3

1

3

2

u

u

u

u

u

uu

uu

xu

xx

7

1

17

1

1

x

x

xu

xu

5

1

15

1

x

x

xu

29

8

3

2

3

2

33

3

3

x

x

x

8

)2(

2

2

3

3

3

1

x

x

x

x

5

95

9

95

185

851

)2()51(

251

0512

333

3

3

t

t

t

t

t

t

t

t



186

Ejemplo 8

Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una

isla que dista 7 millas de aquella y está a 3 millas en línea recta de la

playa. El transbordador navega a lo largo de la playa hasta un punto y

luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador navega a 12

millas por hora a lo largo de la playa y a 10 millas por hora cuando se

interna en el mar, determina las rutas que tienen un tiempo de recorrido

de 45 minutos.

Solución: denotemos con x la distancia recorrida a lo largo de la playa

La distancia que recorrió se encuentra marcada con azul, que es x y d

222 3)7( xd

d2 = 49 – 14x +x2+ 9

d2 = x2 – 14x +58

d = 58142 xx

Matemática cuarto


187

222

2

2

2

54558146

54558146

60

45581465

4

3

10

5814

12

min451012

xxx

xxx

xxx

xxx

dx

)11(2

)63)(11(4)54(54

0635411

0202545025208850436

254502025)5814(36

2

2

22

22

x

xx

xxxx

xxxx

22

66

22

125422

125422

14454

22

2772291654

1

x

x

x

x

31 x

22

42

22

12542

x

11

212 x

Al comprobarlo en la ecuación original podemos verificar que existen dos

rutas, una cuando haya avanzado 3 millas paralelas a la playa y la otra

11

21 millas 1.9 millas, antes de cruzar hacia la isla.



188

EJERCICIOS PROPUESTOS

Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.

1) 32 x

2) 513 x

3) 7352 x

4) 134 x

5) 2 535 x

6) 3 6515 x

7) 35 x

8) 74 x

9) 35 x

10) 74 x

11) 232 x

12) 352 x

13) 6 xx

14) xx 6

15) 173 xx

16) xx 142

17) 15 xx

18) 01212 xx

19) 716 xx

20) 116 xx

21) 0843 x

22) 3x3- 4x2- 27x+ 36= 0

23) 9x3- 18x2- 4x+ 8=

24) 2

1

2

3

xx

25) 03

1

3

2

xx )

26) yy 33

2

27) 36U2- 13U+ 1=0

28) 0443 3

1

3

2

xx

29) 0132 6

1

3

1

yy 30) 0113x36x 24

31) 0613u6u 4

1

2

1

32) 081t

2t

1t

t2

Matemática cuarto


189

4.3 DESIGUALDADES LINEALES CON UNA

VARIABLE

O

INECUACIONES Una ecuación es una igualdad.

Una inecuación es una desigualdad.

Iniciaremos nuestro curso escribiendo enunciados verbales como

desigualdades matemáticas

Exprese los siguientes enunciados en forma de desigualdad.

1. b es positivo. b > 0

2. s no es negativo.

s > 0

3. w es mayor o igual a – 4 .

w > – 4

4. c está entre 5

1 y 3

1 .

3

1 > c > 5

1

5. p no es menor o igual que -2.

p < – 2

6. El negativo de m no es menor que -2.

– m > – 2

7. El cociente de r y s es por lo menos 5

1 .



190

s

r >5

1

8. El recíproco de m es cuando mucho 14.

m

1 <14

9. El valor absoluto de x es menor que 4.

x < 4.

10. x debe ser por lo menos 60.

x > 60 11) Si x representa la edad de una persona,

a) escriba como desigualdad y como un intervalo que sea menor de

edad.

b) De la misma forma que sea mayor de edad.

a) Como la edad de una persona puede ser cero si no tiene ni un

año, el cero está incluido pero el 18 no, porque al tener 18 años

ya no es menor de edad , entonces debemos escribir la

desigualdad y el intervalo cerrados en cero porque lo incluye y

abierta en 18 porque no lo incluye.

El menor o igual o mayor o igual incluye al número, por lo

tanto se dice que es cerrado, el mayor o menor no lo

incluyen, estos se dice que son abiertos .

El corchete también incluye al número, por lo tanto también

es cerrado; el paréntesis indica que es abierto.

Desigualdad: 180 x

Intervalo: [0,18)

b) Como los mayores de edad deben tener 18 años o más

Desigualdad: 18x

Intervalo: [18, )

Matemática cuarto


191

Aunque nadie vive hasta el infinito, debe escribirse de esta forma

porque no se sabe hasta que edad específicamente vive una

persona.

Exprese las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su

grafica.

1) 5x

Como nos piden que escribamos como intervalos y en forma gráfica,

primero dibujemos la gráfica y de ella obtenemos el intervalo.

x representa cualquier número

Entonces al hacer la recta numérica, localizamos el 5 y decimos:

números que sean menores que el 5 y luego pensamos que son los que

tiene a su izquierda y señalamos con la flecha hacia la izquerda.

Nota: Cualquier número es mayor que los que tiene a su

izquierda y es menor que los que tiene a su derecha.

Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va

desde el infinito y termina en 5, pero como nos indican también el igual,

es cerrado en este punto.

(- ,5]

2) 3x

Trazamos la recta numérica y localizamos el -3 y decimos: números que

sean mayores que el -3 y luego pensamos que son los que tiene a su

derecha y señalamos con la flecha hacia la derecha.



192

Ahora para escribir el intervalo, observamos la gráfica y vemos que va

desde el -3 hacia el infinito porque no hay otro punto indicado. Como

ahora solamente nos indican mayor que el 3, el número no está incluido

es, por lo tanto, el intervalo abierto.

(-3, )

3) 3x

Ahora nos indican que el valor absoluto de los números, que son los

valores que puede adquirir x, tienen que ser mayores que 3.

Para resolver desigualdades de valor absoluto, sabemos que escribimos

el número, si es positivo, del lado izquierdo con signo negativo y luego

resolvemos la desigualdad para encontrar los valores de la x. Esto lo

aprendimos en ecuaciones de otros tipos.

-3 > x > 3

),3()3,(

En este caso es unido porque cualquier valor negativo, el valor absoluto

lo vuelve positivo, por ejemplo, el valor absoluto de – 4 es 4 y por lo

tanto es mayor que el 3

4) 3x

R// Todos los números reales Porque como es valor absoluto, cualquier

número será mayor que el menos 3

5) 3x

En este caso no tiene solución puesto que cualquier número que salga del valor

absoluto será positivo, por lo tanto no puede ser menor que un número negativo.

Matemática cuarto


193

6) 53 x

Como menos 3 es menor que x, la flecha se dirige hacia la derecha

porque está indicando de cuales números es menor el -3.

En el siguiente, como los números desconocidos representan la x y estos

son menores que el 5, la flecha señala hacia la izquierda y el intervalo

en el cual quedan las dos flechas es de -3 hasta 5, por lo tanto el

intervalo es:

[-3,5)

6) 51 x

No hay solución puesto que el 1 es mayor que los números “x” y

el 1 es mayor que todos los que tiene a su izquierda. Del otro lado nos

indica que los números desconocidos x son mayores que el 5 y todos los

números mayores que el 5 son todos los que están a su derecha,

entonces las flechas no se cruzan en ningún lado.

Nota: el único que es solución cuando las flechas no se cruzan

es el valor absoluto porque este símbolo los vuelve positivos.

7) 63 x



194

La solución es de 3 a 6, pues es el intervalo en donde se cruzan las

flechas. Por ejemplo, para comprobarlo se sustituye la x por alguno de

estos valores. Sustituyámoslo con 4, nos queda: 643 y es correcto

porque e es menor que el 4 y el 4 es menor que el 6, por lo tanto este

intervalo escrito como una desigualdad queda

(3,6]

8) Escriba como desigualdad el peso “w” de un luchador que debe

tener una diferencia máxima de 2 libras, respecto a 148 libras.

Solución: Como nos indican que su diferencia debe ser máxima de 2

libras, esto quiere decir que puede pesar 2 libras más o 2 libras menos.

Graficado nos quedaría

146 148 150

146 x 150

150146 x

Escribiéndolo como una desigualdad, la diferencia tiene que ser positiva,

por lo tanto se escribe como valor absoluto

150146

14822148

21482

2148

w

w

w

w

A continuación le presento otros ejercicios resueltos pero ya sin

explicación. Si al observarlos le queda duda, consulte con su profesor.

Exprese el intervalo en forma de desigualdad

1) [0,4) 2) (3,6[ 3) (3,7)

40 x 63 x 73 x

4) ( ,2] 5) (-3,∞)

2x x >-3

Matemática cuarto


195

Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones como

intervalos.

Para resolver desigualdades de esta forma, se procede igual que en las

ecuaciones, despejando la x pero si el coeficiente de la variable queda

negativo, se cambian todos los signos incluyendo el mayor o menor.

Ejercicios: Escriba las siguientes desigualdades como intervalos y bosqueje su gráfica 1) 3x 2) 5x 3) 3x 4) 5x 5) 51 x 6) 3x Exprese el intervalo en forma de desigualdad

1) [0,2) 2) 6] (-2, 3) 6[ (1,

4) 7) (1, 5) ) (3, 6) 5(-

Resuelva las siguientes desigualdades y exprese las soluciones en términos de intervalos 1) 32 x 2) 513 x

3) 7352 x 4) 134 x

5) 2 535 x 6) 3 6515 x

7) 642 x 8) 11< 23 x 9) 3x – 1 > x – 3 10) 5x + 2 > 6x – 1 11) 4 < 2x < 8 12) 6 > x + 3 > 12



196

15) 03

44< 2

x 16) 4 - > 3

5310

x

17) 05

2

x 18) 0

1

3

x

19) 04

1

x 20) 0

52

3

x

21) 02

3

x 22) 615 x

23) 7123 x 24) 2426 x 25) 33312 x 26) 615 x 27) 7123 x 28) 2426 x 29) 33312 x 30) 615 x

4.4 MAS SOBRE DESIGUALDADES Resolver las siguientes desigualdades utilizando tabla para encontrar los intervalos. 1. 053 xx Igualamos cada factor a cero y despejamos la x para encontrar los intervalos x + 3 = 0 x – 5 = 0 x = – 3 x = 5 Luego localizamos en una recta numérica estos valores para identificar los intervalos. El primer intervalo principia en menos infinito y termina en el primer valor localizado en la recta numérica; luego los demás intervalos están de punto a punto. En este caso el primer intervalo está desde hasta – 3 , el segundo intervalo está desde – 3 hasta 5 y como no hay más puntos, el último intervalo está del último punto hasta el infinito positivo, es decir, desde 5 hasta

Matemática cuarto


197

En la tabla, los intervalos se escriben en la fila de arriba y en la columna del lado izquierdo se escriben los factores

3, 5,3 ,5

3x 5x

Luego sustituimos en los factores, específicamente en donde está la x, con un valor que pertenezca al intervalo y en el cuadro escribimos el signo que nos quede. Por ejemplo, en el primer intervalo podemos tomar el – 4 y sustituirlo en los factores x + 3 = – 4 + 3 = – 1 y escribimos el signo que nos queda

3, 5,3 ,5

3x - 5x

Luego en el otro factor hacemos lo mismo y escribimos el signo en su casilla correspondiente x – 5 = – 4 – 5 = – 9

3, 5,3 ,5

3x - 5x -

Hacemos lo mismo con los otros intervalos y escribimos el signo que queda en las operaciones y cuando ya está llena la tabla de los signos encontrados, hacemos la ley de signos y el signo resultante lo escribimos en la fila de abajo y este nos indica qué signo quedará en las operaciones efectuadas en cada intervalo, en la desigualdad original.

3, 5,3 ,5

3x - + +



198

5x - - + signosdeLey + - +

Como en la inecuación nos dicen que el resultado tiene que ser mayor que cero, esto significa que el resultado tiene que ser positivo y los intervalos que nos da el resultado positivo es de 3, y luego de ,5 , entonces la solución es

),53,(: USolución A continuación encontrará otros ejercicios resueltos los que puede analizar, tratar de resolver y si no encuentra los resultados puede consultar con su profesor. 2. 07432 xx

3

2,

4

7,

3

2 ,4

7

x32 + - - 74 x - - +

signosdeLey - + -

4

7,

3

2:Solución

3. 0253 xxx

3, 2,3 5,2 ,5

5x - - - + 3x - + + +

2 x + + - - signosdeLey + - + -

),5()2,3(: USolución 4. 0342 xx En este caso, como no nos dan la ecuación factorizada, debemos factorizar para encontrar los factores que nos servirán y luego procedemos de la misma forma que los que nos dieron factorizados. x2 + 4x + 3 = 0

Matemática cuarto


199

(x + 3)(x + 1) = 0

3, 1,3 ,1

3x - + + 1x - - +

signosdeLey + - + ),13,(: USolución

5. 41742 xx La inecuación debe ser mayor o menor que cero x2 – 4x – 17 – 4 0 x2 – 4x – 21 = 0 (x – 7)(x + 3) = 0

3, 7,3 ,7

7x - - + 3x - + +

signosdeLey + - +

7,3: Solución 6. 0)13( xx

0, 3

1,0 ,

3

1

x - + + 13 x - - +

signosdeLey + - +

3

1,0:Solución

7. 03232 23 xxx 1,

1,1

2

3,1 ,

2

3

32 x - - - + 1x - + + +



200

1x - - + + signosdeLey - + - +

2

3,11,(: USolución

8. 0)1)(2(

)2(2

xx

xx

2,

1,2 0,1

,0

2x + + + + 2x - + + + 2x - + + + 1x - - + +

signosdeLey - - + + ),00,1(: USolución

Ejercicios Resuelva correctamente las siguientes desigualdades, luego encuentre los soluciones utilizando la tabla.

1) x2 + 8x + 15 >0

2) x2 + 9x + 18 > 0

3) x2 + 15 + 50 < 0

4) x2 + 5x – 24 < 0

5) x2 + 3x – 4 > 0

6) x2 – 8x + 12 > 0

7) 3x2 – 13x – 10 < 0

8) 2x2 – 3x – 9 < 0

9) 5x2 + 18x – 8 ≥ 0

10) 6x2 + x – 5 ≥ 0

11) 2x2 + 13x – 7 ≥ 0

12) 7x2 – 44x + 12 ≥ 0

13) 6x2 – 7x – 20 ≤ 0

14) 12x2 – 5x – 2 ≤ 0

15) 10x2 – 9x > 9

16) 12x2 – 5x > 28

17) 09

)3)(1(2

2

x

xx

18) 0)1)(1(

)1()12( 2

xxx

xx

19) 0103

22

xx

x

20) 453

2

x

x

21) 1

3

2

1

xx

22) 6t3 > 7t2 + 3t

23) X4 – 13x2 + 36 < 0

24) X5 – 5x3 + 4x > 0

Matemática cuarto


201

Quinta unidad: Funciones y gráficas


202

Matemática cuarto


203

OBJETIVOS Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes, origen,

ordenada, abscisa, puntos, coordenadas Localizar puntos en el plano Distinguir el cuadrante en que se encuentra un punto, conocida

sus coordenadas Trazar gráficas de ecuaciones Aplicar las coordenadas cartesianas para plantear y resolver

problemas Demostrar que puntos dados en el plano corresponden a

vértices de figuras geométricas

5.1 PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano no es más que dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el origen formando 4 cuadrantes. A la recta horizontal se le denomina eje x o eje de las abscisas; a la recta vertical se le denomina eje “y” o eje de las ordenadas. Al eje x también se le llama variable independiente y al eje “y” se le llama también variable dependiente. Los cuadrantes se enumeran como aparece en la siguiente figura en contra del movimiento de las agujas del reloj.

x

yxyx

IVIII

yxyx

III

y

),(),(

),(),(



204

Para acostumbrarnos a leer o identificar figuras en el plano, resolveremos los ejercicios que se plantean a continuación. Describa el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano de coordenadas que satisfaga las condiciones dadas:

1. x=-2 es una línea recta vertical que cruza el eje x en -2

2. y=3 es una línea recta horizontal, que cruza el eje “y” en 3

3. x>0 Son todos los puntos en los cuadrantes 1 y 4

Matemática cuarto


205

4. xy>0 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 3

5. Y< 0 Es todo punto en los cuadrantes 3 y 4, debajo de x

6. X = 0 Es todo punto que está en el eje y



206

7. Y> 1 Es cualquier punto en los cuadrantes 1 y 2 pero arriba de la línea horizontal que atraviesa al eje “y” en 1

5.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para encontrar la distancia entre dos puntos existe la siguiente fórmula:

212

21221 )()( yyxxPPd

Ejemplo 1. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) Solución:

2221 )58()32( PPd

2221 )13()1( PPd

169121 PPd

17021 PPd D = 13.04 Ejemplo 2. Grafique los puntos A(3,5) y B(-1, -2) y encuentre la distancia entre ellos

Matemática cuarto


207

2

222

12 )()(x yyxd 22 )25()13( d

22 )7()4( d

4916 d

65d

d: 8.06

5.3 FORMULA DE HERÓN La fórmula de Herón sirve para calcular el área de cualquier triángulo sin importar que sea rectángulo o no, basta con conocer la longitud de cada lado. Esta fórmula es la siguiente:

))()(( csbsassA En donde s es el semiperímetro del triángulo y a, b, c son los lados del mismo. Semiperímetro es la mitad del perímetro del triángulo. Ejemplo 3. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,3 y C(2,-3) Solución: Como no sabemos si es un triángulo rectángulo, encontramos entonces la longitud de cada lado del triángulo a través de la distancia entre dos puntos.



208

22 )31()42( AB 22 )31()22( AC

22 )2()6( AB 22 4)4( AC

436 AB 1616 AC

40AB 32AC

32.6AB 66.5AC 22 )33()24( BC

22 62 BC

364 BC

40BC

32.6BC

Ahora que ya tenemos la longitud de los tres lados, buscamos el semiperímetro

15.92

3.18

2

66.532.632.6

s

S=9.15

))()(( csbsassA

)32.615.9)(66.515.9)(32.615.9(15.9 A

Matemática cuarto


209

)83.2)(49.3)(83.2(15.9A

75.255A

A= 15.99 u2

Ejemplo 4. Graficar los puntos A: (-3, 6); B: (5, 1) y hallar la distancia entre ellos.

22 )16()53( d

22 5)8( d

2564 d

89d d: 9.43 Ejemplo 5. Demuestre que los puntos A: (-1, -3) B: (6, 1) C: (2, -5) son coordenadas de los vértices de un triángulo rectángulo y encuentre su área 22 )13()61( AB

22 )4()7( AB

1649 AB

65AB

22 )53()21( AC

22 2)3( AC

49 AC



210

13AC

22 )51()26( BC

22 64 BC

3616 BC

52BC

Para demostrar que es un triángulo rectángulo hay que hacerlo a través del teorema de Pitágoras que nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

222 bac

En donde la hipotenusa es el lado más largo. En este caso el lado más largo es 65AB

222521365

65 = 13 + 52

65 = 65

Para encontrar el, como ya demostramos que sí es un triángulo rectángulo, procedemos a multiplicar los catetos y el resultado lo dividimos entre 2

2

* hbA

2

52*13A

Matemática cuarto


211

2

676A

2

26A

A = 13u2

Ejemplo 6 Dados los puntos A(1,7); B(-3,2) y C(4, ½), demuestra que C está en la mediatriz del segmento AB. Solución: Para que un punto esté en la mediatriz de un segmento, este punto debe ser equidistante a los puntos extremos del segmento, por lo tanto la distancia BCAC

22

22

222

2

3)7(

2

13)3(

)2/12()43()2/17()41(

4

205

4

205

4

949

4

1699



212

5.4 PUNTO MEDIO El punto medio de un segmento es el promedio de los puntos, su fórmula es:

2

,2

1212 yyxxM

Ejemplo 1. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento 21PP Solución:

2

01,

2

31M

2

1,

2

2M

2

1,1M

En la figura adjunta se ilustra el segmento 21PP y los puntos pedidos Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces: Encontrados estos puntos por separado nos quedarían:

21

201

2yy

y

12

312

xxx

21m

21m

Luego, las coordenadas del punto M son.

21,1M

Matemática cuarto


213

5.5 ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa

)( 11 xxmyy Para encontrar la pendiente m, necesitamos conocer dos puntos por donde pasa la recta. La fórmula para encontrar la pendiente m es:

12

12

xx

yym

Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y. Solución: Como la fórmula para encontrar la pendiente m es:

12

12

xx

yym

21

13

m

3

2m

Ahora que ya tenemos la pendiente, podemos encontrar la ecuación a través de la siguiente fórmula:

)( 11 xxmyy

)1(3

23 xy

)1(2)3(3 xy 2293 xy

3y – 2x – 9 + 2 = 0 3y – 2x – 7 = 0 La ecuación debe quedar “y” en función de x, en este caso que nos quedó negativa la x, cambiamos todos los signos que es equivalente a multiplicar la ecuación por – 1 y nos queda:



214

2x – 3y + 7 = 0 En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta L que pasa por ellos.

Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en la ecuación x = 0,

2x – 3y + 7 = 0

2(0) – 3y + 7 = 0

- 3y = -7

3

7y

Ejemplo 2. Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes coordenados.

Solución:

En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea OHd la distancia del origen a la recta.

Matemática cuarto


215

Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.

Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene: ABOHOAOB Es decir, 22 badab de donde

22 ba

bad

EJERCICIOS:

1. Representar los siguientes puntos sobre un sistema de coordenadas rectangulares e identificar el cuadrante en que cae cada uno: a) (1, 2) b) (2, 4) c) (-1, 1) d) -2, 3) e) (-3, -1) f) (-5, -2)

2. a) ¿Cuál eje representa la ecuación x = 0?

b) ¿Cuál eje representa la ecuación y = 0? 3. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que

une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8)

4. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los

vértices de un triángulo isósceles 5. Demostrar que los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5) son vértices

de un triángulo isósceles.



216

6. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10,

3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

7. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son

vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. 8. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), C: (4, ½), demostrar que C esta en la mediatriz del segmento A – B. Mediatriz: línea recta que pasa por la mitad del un segmento y es perpendicular al mismo, Para que un punto esté en la mediatriz, debe ser equidistante a los extremos del segmento. Equidistante: Que está a la misma distancia de los puntos dados 9. Dados los puntos A: (1, 7), B: (-3, -2), encuentre el punto medio del segmento AB y compare las distancias demostradas que d(AM) = d(BM) 10. Dados los puntos A: (2, 6), B: (2, 2), C: (-1, 2), demostrar que son vértices de un triangulo rectángulo. Y hallar su área. 11. Si la pendiente de la recta que une los puntos:

a. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1. b. A(6, -1), y, B(10, Y1) es

32 , encontrar Y1.

12. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y

C(1,7). a. Localizar los puntos medios de los lados. b. Localizar el punto de intersección de las medianas. c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

13. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y

(-2, 2). Encontrar el cuarto vértice.

Matemática cuarto


217

14. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3).

15. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a. A(0, 0), B(9, 2) y C(1, 4) es rectángulo. b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y

cuya pendiente es 2. 17. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:

a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2)

18. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0,

3) y C(1, 2). a. Encuentre las ecuaciones de las medianas. b. Encuentre las ecuaciones de las alturas. c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores. d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo.



218

5.6 GRAFICAS DE ECUACIONES Aprenderemos a trazar la gráfica de las ecuaciones, sin hacer uso de la tabla, es decir, sabremos qué tipo de gráfica nos quedará solamente con ver su ecuación. Ejemplo 1: Trazar la gráfica de

23 xy Cuando tenemos una ecuación en la cual ninguna de las variables tiene exponente, esta gráfica corresponderá a una línea recta. En donde el número que está solo, sin letra o sea el término independiente, me indicará el lugar por donde atraviesa al eje “y” y el número que tiene la x, indicará la pendiente. En este caso, el 2 indica la intersección en el eje “y” y el 3 es la pendiente, esto indica que por cada x que se avance, en el eje “y” subirá 3 por ser el 3 positivo.

Ejemplo 2: Trazar la gráfica de 12 xy Intersección en 1y Pendiente – 2

Matemática cuarto


219

Ejemplo 3: Trazar la gráfica de 23

2 xy

Intersección en el eje “y” = – 2

Pendiente 3

2

Podemos hacer dos cosas con esta ecuación:

1 alejarnos 1 del punto de intersección con el eje “y” y bajar 3

2

Por tener signo negativo 2 Avanzar 3 en el eje x y bajar 2 en el eje “y” Nota: En el eje x siempre avanzamos sin importar el signo que tenga la pendiente, este servirá para el eje “y”. Avanzar en el eje x es ir siempre hacia la derecha

El comportamiento de las gráficas cuando alguna de las variables está elevada al cuadrado es el siguiente.



220

Ejemplo 4: Trazar la gráfica de 12 2 xy Esta no es una línea recta ya que una de las variables tiene exponente 2, por lo tanto es una parábola. Para trazarla sin hacer uso de la tabla, localizamos el vértice que es el número solo o término independiente; en este caso el 1 Luego nos alejamos uno en x y decimos uno al cuadrado es 1 por el 2 que está con la x, 1*2 = 2 y contamos dos espacios hacia abajo por ser negativo el signo que tiene a su izquierda el 2. A continuación nos alejamos 2 espacios hacia la derecha alineado con el vértice y decimos 2 al cuadrado 4 por 2 = 8 y contamos 8 hacia abajo. Como una parábola es simétrica con respecto del eje “y”, localizamos los puntos en el otro lado del eje “y” y la gráfica que nos queda es la siguiente.

Ejemplo 5: Trazar la gráfica de xY

2 Solución: Como en este caso solamente tenemos x2, el vértice está en el origen, localizamos entonces el vértice en (0,0) y como la x tiene signo positivo,

Matemática cuarto


221

nos alejamos 1 en x y decimos uno al cuadrado es uno y subimos un espacio en “y”. Luego nos alejamos dos y decimos dos al cuadrado cuatro y contamos 4 hacia arriba y así sucesivamente. Como la gráfica de x2 es simétrica con el eje “y”, localizamos en la misma dirección y a la misma distancia del eje “y” los otros puntos para poder trazarla.

Ejemplo 6: Graficar 3

2 xy Solución: La gráfica es exactamente la misma que la anterior, ya que la x2 no tiene número ni signo, solamente que está corrida 3 espacios hacia abajo puesto que el vértice está ahora en – 3



222

Ejemplo 7: Trazar la gráfica de yx2

Solución: Ahora la gráfica es horizontal ya que la letra que está elevada al cuadrado es la “y”, procedemos entonces a localizar el vértice que se encuentra en el origen pero ahora no se abre hacia arriba sino hacia la derecha porque la “y” no tiene signo. Y hacemos lo mismo que con la x2 solo que en el otro eje.

Ejemplo 8: Trazar la gráfica de 53

2 yx

Solución: Nuevamente es una gráfica horizontal por estar elevada al cuadrado la “y”, pero como ahora tiene signo negativo, la gráfica se abre hacia la izquierda. Localizamos el vértice, luego nos alejamos 1 hacia cualquier lado y decimos: Uno al cuadrado es 1, por 3 igual a 3, contamos entonces 3 hacia la izquierda; Luego nos alejamos dos, siempre del vértice y decimos: Dos al cuadrado igual a 4, por 3, igual a 12 y contamos 12 hacia la izquierda y así sucesivamente

Matemática cuarto


223

Ejemplo 9: Trazar la gráfica de: 4 xY Solución: En este caso, ya no es una parábola sino una semiparábola por ser raíz cuadrada. El signo que tiene del lado izquierdo la raíz cuadrada, es el signo correspondiente a la “y”, como no tiene, se sobreentiende que es positivo y el de la x es también positivo, entonces la gráfica está en el primer cuadrante : Eje positivo de la x y eje positivo de las “y”. Para encontrar el lugar de donde sale, igualamos la raíz a cero, ya que sabemos que la raíz cuadrada solamente se le puede sacar a números positivos y al cero y despejamos la x

04 x

4x Entonces ya sabemos que la gráfica sale del 4 positivo de las x. Ahora falta saber para donde Nos imaginamos entonces cual será la variable que quedaría elevada al cuadrado y nos damos cuenta que es la variable “y”, ya que si le quitáramos la raíz cuadrada a x – 4, es la “y” la que quedaría elevada al cuadrado, entonces concluimos que la gráfica es horizontal y queda trazada de la siguiente forma.



224

Ejemplo 10: Graficar xy Solución: Tenemos nuevamente una raíz cuadrada con el eje “y” positivo y el eje x también positivo, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante, o sea que es la misma que trazamos anteriormente pero ahora sale del origen puesto que no tiene ningún número dentro de la raíz.

Matemática cuarto


225

Ejemplo 11: Trazar la gráfica de 1 xy Solución: En este caso tenemos eje negativo de las “y” y positivo de las x, por lo tanto la gráfica se ubica en el IV cuadrante. Despejamos la x para ver cuánto vale la x cuando la “y” valga cero.

01x x= – 1 la gráfica que queda es la siguiente

Ejemplo 12: Graficar 3 xy Solución: Tenemos ahora eje negativo de las x y eje negativo de las “y”, La gráfica está en el III cuadrante.



226

Ejemplo 13: Trazar la gráfica de xY3

Solución: Esta es una gráfica simétrica con el origen, como es cúbica y no tiene ningún número la x del lado derecho, esto significa que tiene su cambio en el origen. A este cambio se le llama Punto de inflexión. Nos colocamos entonces en el punto de inflexión y nos alejamos primero hacia la derecha y como la x no tiene tampoco ningún número del lado izquierdo, decimos: uno al cubo igual a 1 y nos alejamos uno hacia arriba. Nos ubicamos nuevamente en el punto de inflexión y nos alejamos dos unidades siempre hacia la derecha y decimos: dos al cubo igual a 8 y nos alejemos 8 hacia arriba. Luego hacemos lo mismo hacia el lado izquierdo y la gráfica queda de la siguiente manera.

EJERCICIOS Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones sin hacer uso de la tabla.

1) Y = 3x

2) y = -2x

3) y = 4

4) y = 2

5) y = -1

6) y = 2x – 3

7) y = x – 2

8) y = - x + 3

9) y = - 2x – 3

10) 12

1 xy

11) 22

3 xy

12) Y = x2 – 2

13) Y = x2 + 1

Matemática cuarto


227

14) Y = 2x2 – 3

15) Y = 3x2 – 2

16) 12

1 2 xy

17) 23

1 2 xy

18) 24

1 2 xy

19) 43

2 2 xy

20) 22xy

21) 43

2 xy

22) 12 yx

23) 32 yx

24) 42 2 yx

25) 23 2 yx

26) 3 xy

27) 2 xy

28) 1 xy

29) 3 xy

30) 2 xy

31) 1 xy

32) xy 2

33) 3 xy

34) 2 xy

35) xy 3

36) 3 yx

37) 2 yx

38) 1 yx

39) 3 yx

40) 2 yx

41) 1 yx

42) yx 2

43) 3 yx

44) 2 yx

45) yx 3

46) 2

3

xy

47) 1

2

xy

48) 3

2

x

xy

49) 4

3

x

xy

50) x

xy

4

51) 3xy

52) 3xy

53) 32 3 xy

54) 13 xy



228

5.7 ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA La ecuación de la circunferencia con centro en el origen es

222 ryx En donde x y “y” son cualquier número y r es el radio, el centro se encuentra en el origen. La ecuación de la circunferencia con centro en C(h,k) es

222 )()( rkyhx En donde (h,k) es el centro de la circunferencia, este punto ya no se encuentra en el origen y r sigue siendo el radio Ejemplo 1: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 2522 yx y trace su gráfica. Solución: Por la forma como está escrita la ecuación, es una circunferencia que tiene su centro en el origen C(0,0)

5

25

252

r

r

r

La gráfica es la que aparece a continuación.

Matemática cuarto


229

Ejemplo 2: Encuentre el centro y el radio y trace la gráfica del círculo cuya ecuación es 912 22 yx Solución: Esta es una circunferencia que tiene su centro en C(2,-1) y su radio es 3 Ejemplo 3: Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el punto 5,2P Solución: Para encontrar la ecuación de una circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio. En este caso, como nos indican que tiene su centro en el origen, únicamente debemos encontrar el radio. Como conocemos dos puntos que son el centro y un punto por donde pasa, encontramos el radio a través de la distancia entre dos puntos.

212

212 )()( yyxxr

22 )05()02( r

29

254

52 22

r

r

r

Como sabemos que tiene centro en el origen y ya encontramos el radio, la ecuación y la gráfica quedan de la siguiente forma

2922 yx



230

Ejemplo 4: Encuentre la ecuación de la circunferencia que es Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante radio 4 Solución: Trazamos la gráfica para localizar con facilidad el radio

Como vemos que el radio es de 4, podemos escribir la ecuación 1644 22 yx Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la circunferencia que los extremos de un diámetro están en A(5, 3), B(1, 7) Solución: Para encontrar el radio buscamos primero el punto medio que es el centro de la circunferencia, para ayudarnos trazaremos la circunferencia conociendo su diámetro

Matemática cuarto


231

)5,3(2

10,

2

6

2

73,

2

15

2,

21212

Pm

Pm

Pm

YYXXPm

Como ya conocemos el centro, podemos encontrar el radio a través de la distancia entre dos puntos

22 )53()35( r

22 )2(2 r

44 r

8r Como sabemos que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos conocer el centro y el radio, ya podemos encontrarla.

8)5()3( 22 yx Ejemplo 6: Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 0168622 yxyx y trace su gráfica



232

Solución: Como nos dieron la ecuación general de la circunferencia, tenemos que encontrar la estandar para poder graficarla, procedemos entonces a hacer la Completación al cuadrado

16)8()6( 22 yyxx

16916)168()96( 22 yyxx

9)4()3( 22 yx Encontramos entonces que el centro es C(3, – 4) y r2 = 9, por lo tanto r = 3

Ejercicios Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica. Indique si es solo un punto o si no existe 1) 122 yx

2) 422 yx

3) 1822 22 yx

4) 4833 22 yx

5) (x + 2)2 + y2 = 9

6) (x – 1)2 + y2 = 25

7) X2 + (y – 2)2 = 16

8) X2 + (y + 2)2 = 9

9) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

10) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

11) x2 + y2 – 10x + 8y+32 = 0

12) x2 + y2 – 4x + 2y – 9 = 0

13) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0

14) x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0

15) x2 + y2 – 6x + 6y +14 = 0

16) x2 + y2 – 2x + 8y +14 = 0

17) x2 + y2 – 12x–10y+62 = 0

Matemática cuarto


233

18) x2 + y2 + 12x –

4y+43 = 0

19) x2 + y2 – 4x + 2y – 4

= 0

20) x2 + y2 – 12x +

4y+38 = 0

21) x2 + y2 – 6x – 4y + 8 = 0

22) x2 + y2 + 4x – 10y+22 = 0

23) x2 + y2 + 6x – 2y +10 = 0

24) x2 + y2 – 4x – 6y + 13 = 0

25) x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0

5.8 LA RECTA Nuestro estudio se basará a las rectas en un plano de coordenadas cartesianas, lo que nos permitirá el uso de métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. Anteriormente en este mismo capítulo hicimos una introducción a la recta, ahora las estudiaremos más detenidamente.

ECUACIÓN DE LA RECTA Para encontrar la ecuación de una recta, necesitamos conocer su pendiente y un punto por donde pase.

5.8.1 Ecuación estandar de la recta: La ecuación estandar de la recta es la que está escrita para poder ser graficada, es decir, ya se encuentra despejada la “y”

bmxy

En donde m es la pendiente y b es el punto de intersección con el eje “y”, es decir, en donde atraviesa la recta al eje de las ordenadas.

5.8.2 Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta debe estar igualada a cero.

0 CByAx

En donde A, B y C son valores conocidos.



234

5.8.3 PENDIENTE Es el grado de inclinación que tiene una recta, podemos decir que es lo que sube o baja por cada avance en el eje “x”. A la pendiente la designamos con la letra m Cuando m es la recta se abre Cuando m es (-) la recta de la siguiente forma queda de la siguiente forma

Cuando m es 0, la recta no sube ni Cuando m es indefinida

Baja, es una recta horizontal 0

1m , la recta es

totalmente vertical

Matemática cuarto


235

5.8.4 Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente 1m 2m

21 mm 5.8.5 Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una es igual a la

inversa de la otra con signo contrario. 1

2

1

mm

Si 1m Entonces 2m

2 2

1

3

2 2

3

4

1 4

A través de las pendientes, demuestre que los puntos 1,3A 3,5B 0,3C 2,5 D son vértices de un paralelogramo.



236

Los lados de un paralelogramo tienen que ser paralelos con su opuesto; para que esto suceda, las pendientes de estos lados tienen que ser iguales

8

2

8

253

20

35

13

2

3

2

353

21

35

03

4

1

4

1

Si es paralelogramo porque sus rectas son paralelas, ya que las pendientes de sus lados opuestos son iguales. Ejercicios resueltos: Encuentre la pendiente de la recta que cumpla con las condiciones dadas. 1) Pasa por )2,5( A paralela al eje “y” Solución: Esta es una recta vertical por ser paralela al eje “y”. Sabemos que si una recta es vertical su pendiente es indefinida, para nuestra conveniencia, si la pendiente es indefinida la representaremos como

0

1m y de esta forma nos será mucho más fácil encontrar su ecuación.

50

5)2(0

)5(0

1)2(

0

1

x

xy

xy

m

O bien x = 5

Matemática cuarto


237

2) Pasa por )2,4(A perpendicular al eje y En este caso que nos indican que la recta es perpendicular al eje y, esto significa que la recta es horizontal, por lo tanto la pendiente es cero.

2

02

)4(0)2(

0

y

y

xy

m

3) Pasa por )3,5( A pendiente -4

En este otro caso ya está dada la pendiente y como sabemos que para encontrar la ecuación de la recta lo que necesitamos saber es su pendiente y un punto por donde pasa, procedemos directamente a encontrarla

0174

0174

02043

2043

)5(4)3(

yx

xy

xy

xy

xy

4) Pasa por )0,4(A pendiente 3

123

)4(3)0(

xy

xy

5) Pasa por )5,4( A , )6,3(B

Como ahora no nos dan la pendiente, nos dan dos puntos por donde pasa para que la podamos encontrar. La fórmula para encontrarla es la siguiente

12

12

xx

yym

09711

09117

4411357

)4(7

11)5(

7

11

7

11

34

65

yx

xy

xy

xy

m



238

6) Pasa por )4,2( A paralelas a la recta 425 yx Cuando dos rectas son paralelas sabemos que tienen la pendiente igual, por lo tanto encontramos la pendiente de la ecuación dada. Cuando la ecuación que conocemos es la ecuación general de la recta, podemos encontrar la pendiente a través de la siguiente fórmula

B

Am

2

5

2

51

B

Am

Esta misma pendiente tiene la recta que pasa por el punto dado, ya que son paralelas, procedemos entonces a encontrarla tomando esta misma pendiente.

01825

10582

)2(25

)4(

yx

xy

xy

7) Pasa por )3,7( A perpendicular a la recta 852 yx Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos o de 900 al cruzarse, por lo tanto la pendiente de una es igual a la inversa de la otra con signo contrario.

5

2

5

21

B

Am

2

52 m

02925

035625

35562

)7(5)3(2

)7(2

5)3(

yx

yx

xy

xy

xy

Matemática cuarto


239

ECUACION GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de la recta es cuando la “y” no esté despejada Ax + By + c = 0. Cuando tenemos que trazar gráficas y la ecuación que nos dan no es la estandar sino la ecuación general, podemos despejar la “y” para encontrar la ecuación estandar o bien encontrar la intersección en el eje”y” y la pendiente de la siguiente manera:

B

Am y la intersección

B

Cy en donde A, B y C son números reales.

8) Trazar la gráfica de 4x – 2y + 2 = 0

22

4

m y la intersección 12

2y

Podemos entonces trazar la gráfica puesto que ya conocemos la intersección en el eje “y” y la pendiente Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-1, -2)

22

4

11

22

m

2m

Para encontrar la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa



240

9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,4) y B(3,6). Encontramos primero la pendiente

21

2

23

46

m

2m La ecuación de la recta se encuentra restándole a y la coordenada del punto de “y” que tomemos y esto lo igualamos a la pendiente m por x menos la coordenada de x del mismo punto que tomamos: y-y1=m(x-x1) Ejemplo: si tomamos el punto A, la ecuación la encontramos de la siguiente manera:

)2(24 xy y – 4 = 2x – 4 y = 2x – 4 + 4 y = 2x Nota: Cuando la “y” no tiene número y el coeficiente de la x no es una fracción, la ecuación general también se puede escribir de la misma forma que la ecuación estandar, es decir, las dos ecuaciones se pueden escribir de la misma forma. Y = 2x Ecuación estandar Y = 2x Ecuación general Y – 2x = 0 Ecuación general 10) Dada la recta L cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a L.

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a L.

Sean L1 y L2 las rectas paralela y perpendicular a L respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). Sean m1, m y m2 las pendientes de L1, L y L2 respectivamente.

Matemática cuarto


241

Como L1 // L entonces m1 = m y puesto que m =

43

se sigue que m1 =

43

.

Ahora, usando la forma punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene para L1: )1x(

432y y simplificándola se puede escribir en la

forma general: 3x + 4y – 11 = 0

b) Como L2 L, entonces m2 = m1

y como m =43

, se sigue que

m2 = 34

.

Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para L2: )1x(

342y

y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0

EJERCICIOS 1. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:

a) y = x + 3

b) y = x – 2

c) y = - x + 3

d) y = - x – 2

e) y = 2x – 1

f) y = 3x – 3

g) y = - 4x

h) y = - 5x

i) xy3

2

j) xy2

3

k) 13

5 xy

l) 25

2 xy



242

1) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3,-5) paralela al eje x.

2) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2,1) y es perpendicular al eje x.

3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-1,6) abscisa en el origen 4.

4) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-3,5) y es paralela a la recta 13 yx .

5) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(2, -3) con pendiente -1.

6) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, 5) con pendiente 3.

7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(3, 4) con

pendiente 4

3m .

8) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-5, 4

3 ) con

pendiente 8

5m .

9) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A( 3, -1), B(2, 5). 10) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(-6, 8), B(3, -2). 11) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A(0,-4)

perpendicular a la recta 45 yx .

12) Si una recta L tiene la ecuación general: 2x + 0.6y-10.8 = 0, encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes:

a) (3 , ?)

b) (? , 15) c) Cuál es la pendiente de L ?

d) L intercepta a y en?

13) ¿Cuáles de los puntos siguientes quedan en la recta cuya ecuación es 3x + 4y - 10 = 0?

a. (1, 2) b. (-2,4) c. (10, -5) d. (-25, 21) e. (0, 0) f. (22/9, 2/3)

Matemática cuarto


243

14) Obtenga la ecuación general de la recta, sabiendo que: a. pendiente = 2/5 intersección con y en 3/2 b. pendiente = -2.5 intersección con y en -1.5

15) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendiente-intersección (forma estandar) e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas.

a. 2x + y = 1 b) 2y = x+ 2 c) 3y - 2 = x d) 3s = 4 - 2t

16) Encontrar la ecuación de la recta que: a. Pasa por (5, 15) y tiene una pendiente de -3. b. Pasa por el punto (6, 4) y es paralela al eje de las x c. Pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta que une los

puntos (20, 50) y (100,400)

17) Para cada uno de los pares de puntos siguientes: a. Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos b. Hallar la ecuación de la recta. c. Trazar su gráfica

i. (0, 0) y (6, 3)

ii. (3

10 , 0 ) y

2

5,0

iii. (-7, 4) y (8, 4) iv. (3, -2) y (3, 5) v. (-1, -2) y (4, 1) vi. (-2, -3) y (-5, -6)

18) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es

perpendicular a la que pasa por los puntos (-1, -2) y (3, 7) 19) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 3) y es

paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) y (6,1) 20) 10)Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 15) y

es paralela a la recta cuya ecuación es y = x + 25

21) 11)Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos

(-2,-1) y (2, 5) 22) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,4) y es

perpendicular a la recta que tiene le ecuación 2x + y + 2 = 0 23) Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta

que une cada par de puntos: 1. (3, -2) y (9, 6)



244

2. (4, -3) y (-1, 9) 3. (8, -4) y (-7, 4) 4. (5, -8) y (-7, 8)

24) Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles

25) Igual que el ejercicio 24 Con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y

)5,0( C .

26) Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0),

P3(10,3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

27) Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son

vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.

28) Si la pendiente de la recta que une los puntos:

1. A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.

2. A(6, -1), y, B(10, Y1) es 32 , encontrar Y1.

PROBLEMAS DEL LIBRO DE SWOKOWSKI

1) Determine una ecuación del círculo cuyo centro es C(3, -2) y que es

tangente a la recta y = 5.

2) Encuentre una ecuación de la recta tangente al círculo 2522 yx

en el punto P(3,4).

3) El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puede

aproximar mediante la fórmula L=1.53t– 6.7,en la cual L es la

longitud en cm, y t la edad en semanas. La longitud prenatal se

Matemática cuarto


245

puede determinar mediante ultrasonido. Calcule la edad aproximada

de un feto cuya longitud es 28 cm.

4) El peso esperado, W, en toneladas, de una ballena jorobada, se

puede aproximar a partir de su longitud, L, en pies: mediante la

fórmula W = 1.70L - 42.8, para 30 L 50.

a. Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies.

b. Si el error en la estimación de la longitud puede ser hasta de

2 pies, ¿cuál es el error correspondiente de la estimación del

peso?

5) Las ballenas azules recién nacidas tienen aproximadamente 24 pies

de longitud y pesan 3 toneladas. Las ballenas jóvenes maman

durante 7 meses, y para cuando son destetadas, con frecuencia

tienen 53 pies de largo y pesan 23 ton. Sean L y W la longitud (en

pies) y el peso (en toneladas), respectivamente, de una ballena

que tiene t meses de edad.

a. Si L Y t están relacionadas linealmente, exprese L en términos

de t

b. ¿Cuál es el aumento diario de longitud de una ballena bebé?

(Tomara l mes = 30 días.)

c. ¿Cuál es aumento mensual en la longitud de la ballena?

d. Cuánto mide la ballena cuando tiene 3 meses de edad

e. Sj W y t están lineal mente relacionadas, exprese W en

términos de t.

f. ¿Cuál es el incremento diario en el peso, de una ballena

bebé?

g. ¿Cuánto pesa la ballena cuando tiene 5 meses de edad?



246

6) Suponga que un jugador de béisbol, de grandes ligas, ha logrado 5

homeruns en los primeros 14 juegos, y mantiene ese paso en toda

la temporada, de 162 juegos.

a. Exprese el número de homeruns, “y”, en términos del número

de juegos x en que ha intervenido.

b. ¿Cuántos homeruns realizará este jugador en la temporada?

7) Un fabricante de quesos produce 18 000 lb del 1 de enero al 24 de

marzo. Suponga que este nivel de producción continúa durante el

resto del año.

a. Exprese el número de libras, “y” de queso producido, en

función del número del día, x, en un año que tiene 365 días.

b. Prediga el número de libras que se producen en el año.

8) Un bebé pesa 10 lb al nacer, y 3 años después, .su peso es de 30

lb. Suponga que el peso, en libras, W, está relacionado linealmente

con la edad en años, t.

a. Exprese W en términos de t.

b. ¿Cuál es W al sexto cumpleaños del niño?

c. ¿A qué edad pesará 70 lb el niño?

d. Trace, en un plano tW, una gráfica que muestre la relación

entre W y t para 0 t 12.

9) Un estudiante universitario recibe un préstamo libre de intereses,

de $8 250, de un pariente. El estudiante pagará $125 mensual

hasta liquidado

a. Exprese la cantidad P (en dólares), que falta por pagar, en

términos del tiempo t (en meses).

b. ¿Después de cuántos meses la deuda del estudiante será

Matemática cuarto


247

$5OOO?

c. Haga una gráfica, en un plano tP, que indique la relación

entre P y t durante la vigencia del préstamo.

BIBLIOGRAFIA

Algebra y Trigonometría con geometría analítica de swokowski

Algebra de Baldor Algebra de Lehman Algebra elemental de Alfonse Gobran Internet

libro de cuarto

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