rea de Matemtica

A C T U A L IZ A C I N F O R T A L E C IM IE N T O C U R R IC U L A R

EDUCACI N

G E N E R A L B S IC A

8., 9. y 10. aos

rea de Matemtica

ACTUALIZACIN Y FORTALECIMIENTO CURRICULAR DE LA EDUCACIN GENERAL BSICA 20108., 9. y 10. aos

Presidente de la Repblica

Rafael Correa Delgado

Ministro de EducacinRal Vallejo Corral

Subsecretaria General de EducacinGloria Vidal Illingworth

Subsecretario de Calidad EducativaPablo Cevallos Estarellas

2010

Directora Nacional de Educacin BsicaIsabel Ramos Castaeda

Directora Nacional de Currculo (E)Susana Araujo Fiallos

2010

CONTENIDO 1. Introduccin 2. AntecedentesEl Plan decenal de Educacin El currculo de 1996 y su evaluacin

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3. Bases pedaggicas del diseo curricular 4. El desarrollo de la condicin humana y la preparacinpara la comprensin Proceso epistemolgico: un pensamiento y modo de actuar lgico, crtico y creativo

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9 10

Una visin crtica de la Pedagoga: un aprendizaje productivo y significativoEl desarrollo de las destrezas con criterios de desempeo El empleo de las tecnologa de la informacin y comunicacin La evaluacin integradora de los resultados del aprendizaje

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5. El perfil de salida de los estudiantes de la Educacin General Bsica 6. Los ejes transversales dentro del proceso educativoEl Buen Vivir como principio rector de la transversalidad en el currculo La interculturalidad La formacin de una ciudadana democrtica La proteccin del medioambiente El cuidado de la salud y los hbitos de recreacin de los estudiantes La educacin sexual en los jvenes

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7. La estructura curricular: sistema de conceptos empleadosLa importancia de ensear y aprender Objetivos educativos del ao

1818 19

Planificacin por bloques curricularesDestrezas con criterios de desempeo Precisiones para la enseanza y el aprendizaje Indicadores esenciales de evaluacin Anexos 1 Mapa de conocimientos

1919 20 20 20 20

2 Orientaciones para la planificacin didctica rea de Matemtica La importancia de ensear y aprender Matemtica Perfil de salida del reaObjetivos educativos del rea

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23 2828

PROYECCIN CURRICULAR DE OCTAVO AO 1. Objetivos educativos del ao 2. Planificacin por bloques curriculares 3. Precisiones para la enseanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numrico Bloque: Geomtrico Bloque: Medida Bloque: Estadstica y probabilidad 4. Indicadores esenciales de evaluacin 30 31 33 34 34 36 39 40 41

PROYECCIN CURRICULAR DE NOVENO AO 1. 2. 3. Objetivos educativos del ao Planificacin por bloques curriculares Precisiones para la enseanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numrico Bloque: Geomtrico Bloque: Medida Bloque: Estadstica y probabilidad 4. 5. Indicadores esenciales de evaluacin PROYECCIN CURRICULAR DE DCIMO AO 1. 2. 3. Objetivos educativos del ao Planificacin por bloques curriculares Precisiones para la enseanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numrico Bloque: Geomtrico Bloque: Medida Bloque: Estadstica y probabilidad 4. Indicadores esenciales de evaluacin Bibliografa Anexos: Mapas de conocimientos Orientaciones para la planificacin didctica 62 63 65 67 71 71 72 73 74 75 77 86 44 45 47 50 53 54 56 56 59

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In tro du cci n

La Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin General Bsica se realiz a partir de la evaluacin del currculo de 1996, de la acumulacin de experiencias de aula logradas en su aplicacin, del estudio de modelos curriculares de otros pases y, sobre todo, del criterio de especialistas y docentes ecuatorianos de la Educacin General Bsica en las reas de Lengua y Literatura, Matemtica, Estudios Sociales y Ciencias Naturales.

Este documento constituye un referente curricular flexible que establece aprendizajes comunes mnimos y que puede adaptarse de acuerdo al contexto y a las necesidades del medio escolar. Sus objetivos son los siguientes:

Actualizar el currculo de 1996 en sus proyecciones social, cientfica y pedaggica. Especificar, hasta un nivel meso-curricular, las habilidades y conocimientos que los estudiantes debern aprender, por rea y por ao. Ofrecer orientaciones metodolgicas viables para la enseanza y el aprendizaje, a fin de contribuir al desempeo profesional docente. Formular indicadores esenciales de evaluacin que permitan comprobar los aprendizajes estudiantiles as como el cumplimiento de los objetivos planteados por rea y por ao. Promover, desde la proyeccin curricular, un proceso educativo inclusivo, fortalecer la formacin de una ciudadana para el Buen Vivir, en el contexto de una sociedad intercultural y plurinacional.

Este documento curricular de Educacin General Bsica empezar a implementarse a partir de las siguientes fechas:

septiembre de 2010 en el rgimen de Sierra (de primero a sptimo de EGB),

7

2

Antecedentes

El Plan Decenal de EducacinEn noviembre de 2006, se aprob en consulta popular el Plan Decenal de Educacin 2006-2015, el cual incluye, como una de sus polticas, el mejoramiento de la calidad de la educacin. En cumplimiento de esta poltica, se han diseado diversas estrategias dirigidas al mejoramiento de la calidad educativa, una de las cuales es la actualizacin y fortalecimiento de los currculos de la Educacin General Bsica y del Bachillerato y la construccin del currculo de Educacin Inicial. Como complemento de esta estrategia, y para facilitar la implementacin del currculo, se han elaborado nuevos textos escolares y guas para docentes.

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

El currculo de 1996 y su evaluacinEn 1996 se oficializ un nuevo currculo para EGB fundamentado en el desarrollo de destrezas y la aplicacin de ejes transversales que recibi el nombre de Reforma Curricular de la Educacin Bsica.En 2007, la Direccin Nacional de Currculo realiz un estudio a nivel nacio nal que permiti determinar el grado de aplicacin de la Reforma Curricular de la Educacin Bsica en las aulas, determinando los logros y dificultades, tanto tcnicas como didcticas.

Esta evaluacin permiti comprender algunas de las razones por las que los docentes justifican el cumplimiento o incumplimiento de los contenidos y objetivos planteados en la Reforma: la desarticulacin entre los niveles, la insuficiente precisin de los temas que deban ser enseados en cada ao de estudio, la falta de claridad de las destrezas que deban desarrollarse, y la carencia de criterios e indicadores esenciales de evaluacin.

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3 B asesdiseo curricular p ed ag g icas delEl nuevo documento curricular de la Educacin General Bsica se sustenta en diversas concepciones tericas y metodolgicas del quehacer educativo; en especial, se han considerado algunos de los principios de la

Pedagoga Crtica, que ubica al estudiantado como protagonista principal del aprendizaje, dentro de diferentes estructuras metodolgicas,con predominio de las vas cognitivistas y constructivistas. Estos referentes de orden terico se integran de la siguiente forma:

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El desarrollo de la condicin humana y la preparacin para la comprensinEl proceso de Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin General Bsica tiene como objetivo desarrollar la condicin humana y preparar para la comprensin, para lo cual el accionar educativo se orienta a la formacin de ciudadanos que practiquen valores que les permiten interactuar con la sociedad con respeto, responsabilidad, honestidad y solidaridad, aplicando los principios del Buen Vivir.El desarrollo de la condicin humana y la enseanza para la comprensin Jerarquizacin de la formacin humana en articulacin con la preparacin cientfica y cultural La comprensin entre los seres humanos Respeto, solidaridad y honestidad

Interculturalidad

Plurinacionalidad

Inclusin

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Proceso epistemolgico: un pensamiento y modo de actuar lgico, crtico y creativoEl proceso de construccin del conocimiento en el diseo curricular se orienta al desarrollo de un pensamiento lgico, crtico y creativo, a travs del cumplimiento de los objetivos educativos que se evidencian en el planteamiento de habilidades y conocimientos. El currculo propone la ejecucin de actividades extradas de situaciones y problemas de la vida y el empleo de mtodos participativos de aprendizaje, para ayudar al estudiantado a alcanzar los logros de desempeo que propone el perfil de salida de la Educacin General Bsica. Esto implica ser capaz de:

Observar, analizar, comparar, ordenar, entramar y graficar las ideas esen ciales y secundarias interrelacionadas, buscando aspectos comunes, relaciones lgicas y generalizaciones de las ideas. Reflexionar, valorar, criticar y argumentar acerca de conceptos, hechos y procesos de estudio. Indagar y producir soluciones novedosas y diversas a los problemas, desde los diferentes niveles de pensamiento. La proyeccin epistemolgica se refleja en el grfico siguiente:La sociedad - la naturaleza - la comunicacin e interaccin entre los seres humanos

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

Los objetivos educativos

Destrezas y conocimientos a desarrollar

Lectura - comprensin

Situaciones - casos - problemas a resolver - producciones

Resultados del aprendizaje con proyeccin integradora en la formacin humana y cognitiva

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Una visin crtica de la Pedagoga: aprendizaje productivo y significativoEsta proyeccin epistemolgica tiene sustento terico en ciertas visiones de la Pedagoga Crtica, que se fundamenta, en lo esencial, en el incremento del protagonismo de los estudiantes en el proceso educativo, en la interpretacin y solucin de problemas, participando activamente en la transformacin de la sociedad. En esta perspectiva pedaggica, el aprendizaje debe desarrollarse esencialmente por vas productivas y significativas que dinamicen la metodologa de estudio, para llegar a la metacognicin1, por procesos tales como:PROCESOS PRODUCTIVOS Y SIGNIFICATIVOS

El

Comprender textos Ordenar ideas Comparar Resumir Elaborar mapas de la informacin interpretada

Experimentar Conceptualizar

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

Resolver Argumentar Debatir

Investigar y resolver problemas

Proponer nuevas alternativas

desarrollo de destrezas con criterios de desempeoLa destreza es la expresin del saber hacer en los estudiantes, que caracteriza el dominio de la accin. En este documento curricular se ha aadido los criterios de desempeo para orientar y precisar el nivel de comple jidad en el que se debe realizar la accin, segn condicionantes de rigor cientfico-cultural, espaciales, temporales, de motricidad, entre otros.Las destrezas con criterios de desempeo constituyen el referente princi pal para que los docentes elaboren la planificacin microcurricular de sus clases y las tareas de aprendizaje. Sobre la base de su desarrollo y de su sistematizacin, se aplicarn de forma progresiva y secuenciada los conocimientos conceptuales e ideas tericas, con diversos niveles de integracin y complejidad.1

Para Roco Daz Berdiales, es posible definir la

metacognicin como las estrategias que nos permiten aprender algo, procesar ideas, conocer e identificar elestilo de aprendizaje con el cual nos permitimos aprender algo (http://www.psicopedagogia.com/definicion/metacognicion).

1 1

El empleo de las tecnologas de la informacin y la comunicacinOtro referente de alta significacin de la proyeccin curricular es el empleo de las TIC (Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin) dentro del proceso educativo, es decir, de videos, televisin, computadoras, internet, aulas virtuales y otras alternativas, para apoyar la enseanza y el aprendizaje, en procesos tales como: Bsqueda de informacin con rapidez.

Visualizacin de lugares, hechos y procesos para darle mayor objetivi dad al contenido de estudio. Simulacin de procesos o situaciones de la realidad. Participacin en juegos didcticos que contribuyen de forma ldica a profundizar en el aprendizaje. Evaluacin de los resultados del aprendizaje. Preparacin en el manejo de herramientas tecnolgicas que se utilizan en la cotidianidad.

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

En las precisiones de la enseanza y el aprendizaje incluidas dentro del documento curricular, se hacen sugerencias sobre los momentos y las condiciones ideales para el empleo de las TIC, que podrn ser aplicadas en la medida en que los centros educativos dispongan de los recursos para hacerlo.

La evaluacin integradora de los resultados del aprendizajeLa evaluacin permite valorar el desarrollo y cumplimiento de los objetivos de aprendizaje a travs de la sistematizacin de las destrezas con criterios de desempeo. Se requiere de una evaluacin diagnstica y continua que detecte a tiempo las insuficiencias y limitaciones de los estudiantes, a fin de implementar sobre la marcha las medidas correctivas que la enseanza y el aprendizaje requieran. Los docentes deben evaluar de forma sistemtica el desempeo (resultados concretos del aprendizaje) de los estudiantes mediante diferentes tcnicas que permitan determinar en qu medida hay avances en el dominio de las destrezas con criterios de desempeo para hacerlo es muy importan te ir planteando, de forma progresiva, situaciones que incrementen el nivel de complejidad de las habilidades y los conocimientos que se logren, as como la integracin entre ambos. Al evaluar es necesario combinar varias tcnicas a partir de los indicadores esenciales de evaluacin planteados para cada ao de estudio: la produccin escrita de los estudiantes, la argumentacin de sus opiniones, la expresin oral y escrita de sus ideas, la interpretacin de lo estudiado, las relaciones que establecen con la vida cotidiana y otras disciplinas, y la manera como solucionan problemas reales a partir de lo aprendido. Como parte esencial de los criterios de desempeo de las destrezas estn

las expresiones de desarrollo humano integral, que deben alcanzarse en

el estudiantado, y que tienen que ser evaluadas en su quehacer prctico cotidiano (procesos) y en su comportamiento crtico-reflexivo ante diversas situaciones del aprendizaje.Para evaluar el desarrollo integral deben considerarse aspectos como:

Las prcticas cotidianas de los estudiantes, que permiten valorar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeo tanto al principio como durante y al final del proceso, a travs de la realizacin de las ta reas curriculares del aprendizaje; as como en el deporte, el arte y las actividades comunitarias. La discusin de ideas con el planteamiento de varios puntos de vista, la argumentacin, y la emisin de juicios de valor. La expresin de ideas propias de los estudiantes a travs de su produccin escrita. La solucin de problemas de distintos niveles de complejidad, haciendo nfasis en la integracin de conocimientos.

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Se recomienda que en todo momento se aplique una evaluacin integradora de la formacin intelectual con la formacin de valores humanos, lo que debe expresarse en las calificaciones o resultados que se registran oficialmente y que se deben dar a conocer a los estudiantes durante el desarrollo de las actividades y al final del proceso.

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4 El perfil de salida de los estudiantesde la Educacin General BsicaActualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010La Educacin General Bsica en el Ecuador abarca diez niveles de estudio, desde primero de bsica hasta completar el dcimo ao con jvenes preparados para continuar los estudios de bachillerato y preparados para participar en la vida poltica-social, conscientes de su rol histrico como ciudadanos ecuatorianos. Este nivel educativo permite que el estudiantado desarrolle capacidades para comunicarse, para interpretar y resolver problemas, y para comprender la vida natural y social.

Los jvenes que concluyen los estudios de la Educacin General Bsica sern ciudadanos capaces de: Convivir y participar activamente en una sociedad intercultural y plurinacional. Sentirse orgullosos de ser ecuatorianos, valorar la identidad cultural nacional, los smbolos y valores que caracterizan a la sociedad ecuatoriana. Disfrutar de la lectura y leer de una manera crtica y creativa. Demostrar un pensamiento lgico, crtico y creativo en el anlisis y resolucin eficaz de problemas de la realidad cotidiana. Valorar y proteger la salud humana en sus aspectos fsicos, psicolgicos y sexuales. Preservar la naturaleza y contribuir a su cuidado y conservacin. Solucionar problemas de la vida cotidiana a partir de la aplicacin de lo comprendido en las disciplinas del currculo. Producir textos que reflejen su comprensin del Ecuador y el mundo contemporneo a travs de su conocimiento de las disciplinas del

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Aplicar las tecnologas en la comunicacin, en la solucin de problemas prc-

ticos, en la investigacin, en el ejercicio de actividades acadmicas, etc.

Interpretar y aplicar a un nivel bsico un idioma extranjero en situaciones comunes de comunicacin. Hacer buen uso del tiempo libre en actividades culturales, deportivas, artsticas y recreativas que los lleven a relacionarse con los

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 201015

dems

y

su

entorno,

como

seres

humanos

responsables,

solidarios y proactivos.

Demostrar sensibilidad y comprensin de obras artsticas de diferentes estilos y tcnicas, potenciando el gusto esttico.

5 LosActualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

ejes tran sversales dentro del proceso educativo

El Buen Vivir como principio rector de la transversalidad en el currculoEl Buen Vivir es un principio constitucional basado en el Sumak Kawsay, una concepcin ancestral de los pueblos originarios de los Andes. Como tal, el Buen Vivir est presente en la educacin ecuatoriana como principio rector del sistema educativo, y tambin como hilo conductor de los ejes transver sales que forman parte de la formacin en valores. En otras palabras, el Buen Vivir y la educacin interactan de dos modos. Por una parte, el derecho a la educacin es un componente esencial del Buen Vivir, en la medida en que permite el desarrollo de las potencialidades humanas y como tal garantiza la igualdad de oportunidades para todas las personas. Por otra parte, el Buen Vivir es un eje esencial de la educacin, en la medida en que el proceso educativo debe contemplar la preparacin de los futuros ciudadanos para una sociedad inspirada en los principios del Buen Vivir, es decir, una sociedad democrtica, equitativa, inclusiva, pacfica, promotora de la interculturalidad, tolerante con la diversidad, y Los ejes transversales constituyen grandes temticas que deben ser atendidas en toda la proyeccin curricular, con actividades concretas integradas al desarrollo de las destrezas con criterios de desempeo de cada rea de estudio. En sentido general, los ejes transversales, abarcan temticas tales como: La interculturalidad El reconocimiento a la diversidad de manifestaciones tnicoculturales en las esferas local, regional, nacional y planetaria, desde una visin de respeto y valoracin.

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La formacin de una ciudadana democrticaEl desarrollo de valores humanos universales, el cumplimiento de las obligaciones ciudadanas, la toma de conciencia de los derechos, el desarrollo de la identidad ecuatoriana y el respeto a los smbolos patrios, el aprendizaje de la convivencia dentro de una sociedad intercultural y plurinacional, la tolerancia hacia las ideas y costumbres de los dems y el respeto a las decisiones de la mayora.

La proteccin del medioambienteLa interpretacin de los problemas medioambientales y sus implicaciones en la supervivencia de las especies, la interrelacin del ser humano con la naturaleza y las estrategias para su conservacin y proteccin.

El cuidado de la salud y los hbitos de recreacin de los estudiantesEl desarrollo biolgico y psicolgico acorde con las edades y el entorno socio-ecolgico, los hbitos alimenticios y de higiene, el empleo productivo del tiempo libre.

La educacin sexual en los jvenesActualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010El conocimiento y respeto por la integridad de su propio cuerpo, el desarrollo de la identidad sexual y sus consecuencias psicolgicas y sociales, la responsabilidad de la paternidad y la maternidad.

La atencin a estas temticas ser planificada y ejecutada por los docentes al desarrollar sus clases y las diversas tareas de aprendizaje, con el apoyo de actividades extraescolares de proyeccin institucional.

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La estructura curricular: sistema de conceptos em pleados

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion Basica 2010

Cada una de las reas del nuevo referente curricular de la Educacin General Bsica se ha estructurado de la siguiente manera: La importancia de ensear y aprender, los objetivos educativos del ao, la planificacin por bloques curriculares, las precisiones para la enseanza y el aprendizaje, y los indicadores esenciales de evaluacin.

La importancia de ensear y aprenderEsta seccin presenta una visin general del enfoque de cada una de las reas, haciendo nfasis en lo que aportan para la formacin integral del ser humano. Adems, aqu se enuncian el eje curricular integrador, los ejes del aprendizaje, el perfil de salida y los objetivos educativos del rea.

Eje curricular integrador del rea: es la idea de mayor grado de generalizacin del contenido de estudio que articula todo el diseo curricular de cada rea, con proyeccin interdisciplinaria. A partir de ste se generan los conocimientos, las habilidades y las actitudes, por lo que constituye la gua principal del procesoeducativo. Los ejes curriculares integradores correspondientes a cada rea son los siguientes:

Lengua y Literatura: escuchar, hablar, leer y escribir para lainteraccin social.

Matemtica: desarrollar el pensamiento lgico y crtico parainterpretar y resolver problemas de la vida cotidiana.

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Estudios Sociales: comprender el mundo donde vivo y laidentidad ecuatoriana.

Ciencias Naturales: comprender las interrelaciones del mundo natural y sus cambios. Ejes del aprendizaje: se derivan del eje curricular integrador en cada rea de estudio y son el hilo conductor que sirve para articular las destrezas con criterios de desempeo planteadas en cada bloque curricular.

Perfil de salida del rea: es la decripcin de los desempeos que debedemostrar el estudiantado en cada una de las reas al concluir el dcimo ao de Educacin General Bsica, los mismos que se evidencian en las destrezas con criterios de desempeo.

Objetivos educativos del rea: orientan el alcance del desempeo integral que deben alcanzar los estudiantes en cada rea de estudio durante los diez aos de Educacin General Bsica. Los objetivosresponden a las interrogantes siguientes:

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

QU ACCIN o ACCIONES de alta generalizacin debernrealizar los estudiantes?.

QU DEBE SABER? Conocimientos asociados y logros de PARA QU?Contextualizacin con la vida social y personal.

desempeo esperados.

Objetivos educativos del aoExpresan las mximas aspiraciones que pueden ser alcanzadas en el proceso educativo dentro de cada ao de estudio.

Planificacin por bloques curricularesLos bloques curriculares organizan e integran un conjunto de destrezas con criterios de desempeo alrededor de un tema generador.

Destrezas con criterios de desempeoLas destrezas con criterios de desempeo expresan el saber hacer, con una o ms acciones que deben desarrollar los estudiantes, estableciendo relaciones con un determinado conocimiento terico y con diferentes niveles de complejidad de los criterios de desempeo. Las destrezas se expresan respondiendo a las siguientes interrogantes:

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Qu debe saber hacer?

Destreza

Conocimiento Qu debe saber? Con qu grado de complejidad? Precisiones de profundizacin

Precisiones para la enseanza y el aprendizajeConstituyen orientaciones metodolgicas y didcticas para ampliar la infor macin que expresan las destrezas con criterios de desempeo y los conocimientos asociados a stas; a la vez, se ofrecen sugerencias para desarrollar diversos mtodos y tcnicas para orientar el aprendizaje y la evaluacin dentro y fuera del aula.

Indicadores esenciales de evaluacinSon evidencias concretas de los resultados del aprendizaje, precisando el desempeo esencial que deben demostrar los

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

estudiantes. Se estructuran a partir de las interrogantes siguientes:

QU ACCIN o ACCIONES SE EVALAN? QU CONOCIMIENTOS SON LOS ESENCIALES EN EL AO? QU RESULTADOS CONCRETOS EVIDENCIA ELAPRENDIZAJE? Evidencias concretas del aprendizaje al concluir el ao

de estudio Mapa de conocimientos: es el esquema general que presenta los conocimientos esenciales (nucleares) que deben saber los estudiantes, des -de elprimero hasta el dcimo ao, conformando un sistema coherente.

Anexos

Orientaciones para la planificacin didctica: es una gua para que el docente reflexione y organice su trabajo en el aula dando respuestas a las siguientes preguntas: Por qu es importante planificar?, Qu elementos debe tener una planificacin?, Cmo se verifica que la plani ficacin se est cumpliendo? Estas orientaciones constituyen una propuesta flexible para la planificacin.

R E A D E M A T EM T IC A

L a im portan cia de ense ara p r e n d e r M a te m t i c a y La sociedad del tercer milenio en la cual vivimos es de cambios acelerados en el campo de la ciencia y la tecnologa: los conocimientos, las herramientas y las maneras de hacer y comunicar la matemtica evolucionan constantemente. Por esta razn, tanto el aprendizaje como la enseanza de la Matemtica deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeo necesarias para que el estudiantado sea capaz de resolver problemas cotidianos, a la vez que se fortalece el pensamiento lgico y crtico. El saber Matemtica, adems de ser satisfactorio, es extremadamente necesario para poder interactuar con fluidez y eficacia en un mundo matematizado. La mayora de las actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta ciencia, a travs de establecer concatenaciones lgicas de razonamiento, como por ejemplo, escoger la mejor alternativa de compra de un producto, entender los grficos estadsticos e informativos de los peridicos, decidir sobre las mejores opciones de inversin; asimismo, que interpretar el entorno, los objetos cotidianos, las obras de arte, entre otras. La necesidad del conocimiento matemtico crece da a da al igual que su aplicacin en las ms variadas profesiones. El tener afianzadas las destrezas con criterios de desempeo matemtico, facilitan el acceso a una gran variedad de carreras profesionales y diferentes ocupaciones que pueden resultar especializadas. El aprender cabalmente Matemtica y el saber transferir estos conocimientos a los diferentes mbitos de la vida del estudiantado, y ms tarde al mbito profesional, adems de aportar resultados positivos en el plano personal, genera cambios importantes en la sociedad. Siendo la educacin el motor del desarrollo de un pas, dentro de sta, el aprendizaje de la Matemtica es uno de los pilares ms importantes, ya que, adems de enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas esenciales que se aplican da a da en todos los entornos, tales como: el razonamiento, el pensamiento lgico, el pensamiento crtico, la argumentacin fundamentada y la resolucin de problemas. Nuestros estudiantes merecen y necesitan la mejor educacin posible en Matemtica, lo cual les permitir cumplir sus ambiciones personales y sus objetivos profesionales en la actual sociedad del conocimiento; por consiguiente, es necesario que todas las partes interesadas en la educacin como autoridades, padres de familia, estudiantes y docentes trabajen conjuntamente creando los espacios apropiados para la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica. En estos espacios, todos los estudiantes con diferentes habilidades podrn trabajar con docentes calificados en la materia, comprender y aprender importantes conceptos matemticos, siendo necesario que el par enseanza y aprendizaje de Matemtica represente un desafo, tanto para docentes como para estudiantes, basado en un principio de equidad. En este caso, equidad no significa que todos los estudiantes deben recibir la misma instruccin, sino que se requieren las mismas oportunidades y facilidades para aprender conceptos matemticos significativos y lograr los objetivos propuestos en esta materia. Se recomienda que nos ayudemos de la tecnologa para la enseanza de Matemtica, ya que resulta una herramienta til, tanto para el que ensea como para el que aprende. Esta herramienta posibilita mejorar los procesos de abstraccin, transformacin y demostracin de algunos conceptos matemticos. La evaluacin es otro de los factores que debemos tomar en consideracin en el proceso de enseanza y aprendizaje. Ella debe centrarse en el estudiante, en lo que debe saber y en lo que debe ser capaz de hacer, respondiendo a un proceso coherente y sistemtico, en el que sus resultados proporcionan una retroalimentacin para el docente y el estudiante.

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2

As, la evaluacin se convierte en una herramienta remedial del proceso educativo. Recordemos que un factor importante y necesario en el aprendizaje y la enseanza de la Matemtica, es un currculo coherente, enfocado en los principios matemticos ms relevantes, consistente en cada ao de Educacin Genaral Bsica, bien alineado y concatenado. Es por esto que el eje curricular integrador del rea es: desarrollar el pensamiento lgico y crtico para interpretar y resolver problemas de la vida, es decir, cada ao de la Educacin General Bsica debe promover en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver problemas con una variedad de estrategias, metodologas activas y recursos, no nicamente como una herramienta de aplicacin, sino tambin como una base del enfoque general para el trabajo en todas las etapas del proceso de enseanza -aprendizaje en esta rea. El eje curricular integrador del rea de Matemtica se apoya en los siguientes ejes del aprendizaje: El razonamiento, la demostracin, la comunicacin, las conexiones y/o la representacin. Se puede usar uno de estos ejes o la combinacin de varios de ellos en la resolucin de problemas. El razonamiento matemtico es un hbito mental y como tal debe ser desarrollado mediante un uso coherente de la capacidad de razonar y pensar analticamente, es decir, debe buscar conjeturas, patrones, regularidades, en diversos contextos ya sean reales o hipotticos. Otra forma es la discusin, a medida que los estudiantes presentan diferentes tipos de argumentos van incrementando su razonamiento. La demostracin matemtica es la manera formal de expresar tipos particulares de razonamiento, argumentos y justificaciones propios para cada ao de Educacin General Bsica. El seleccionar el mtodo adecuado de demostracin de un argumento matemtico ayuda a comprender de una mejor forma los hechos matemticos. Este proceso debe ser empleado tanto por estudiantes como docentes. La comunicacin se debe trabajar en todos los aos es la capacidad de realizar conjeturas, aplicar informacin, descubrir y comunicar ideas. Es esencial que los estudiantes desarrollen la capacidad de argumentar y explicar los procesos utilizados en la resolucin de un problema, de demostrar su pensamiento lgico matemtico, y de interpretar fenmenos y situaciones cotidianas, es decir, un verdadero aprender a aprender. El eje de comunicacin no solo se centra en los estudiantes sino tambin en los docentes. La actualizacin y fortalecimiento curricular propone que en las clases de Matemtica se enfaticen las conexiones que existen entre las diferentes ideas y conceptos matemticos en un mismo bloque curricular, entre bloques, con las dems reas del currculo, y con la vida cotidiana. Lo que per-mite que los estudiantes integren sus conocimientos, y as estos conceptos adquieran significado para alcanzar una mejor comprensin de la Matemtica, de las otras asignaturas y del mundo que les rodea. En Matemtica al igual que en otras reas, la construccin de muchos conceptos importantes se da a travs del trabajo realizado en diferentes aos; por lo cual es necesario que exista una estrecha relacin y concatenacin entre los conocimientos de ao a ao respetando la secuencia. Dentro de este mbito, los profesores de Matemtica de los diferentes aos contiguos determinarn dentro de su planificacin los temas ms significativos y las destrezas con criterios de desempeo relevantes en las cuales debern trabajar, para que los estudiantes al ser promovidos de un ao al siguiente puedan aplicar sus saberes previos en la construccin de nuevos conocimientos. La representacin consiste en la forma en que el estudiante selecciona, organiza, registra, o comunica situaciones o ideas matemticas, a travs de material concreto, semiconcreto,

virtual o de modelos matemticos. En esta propuesta, hemos enfocado el currculo de la Matemtica de Educacin General Bsica en el desarrollo de destrezas con criterios de desempeo necesarias para la resolucin de problemas, comprensin de reglas, teoremas y frmulas, con el propsito de desarrollar el pensamiento lgicocrtico y el sentido comn de los estudiantes. En algunos aos se ha modificado el nivel de profundidad en el tratamiento de los temas, con el fin de brindar a los educandos las oportunidades de desarrollar sus habilidades y destrezas con criterios de desempeo para interpretar e interactuar con soltura y seguridad en un mundo extremadamente competitivo y cambiante. Pero en todos ellos, el profesorado debe comprobar que el estudiantado ha captado los conceptos, teoremas, algoritmos y aplicaciones con la finalidad de lograr una slida base de conocimientos matemticos. El documento de Actualizacin y Fortalecimiento Curricular de la Educacin General Bsica plantea tres macrodestrezas:

Comprensin de Conceptos (C): Conocimiento de hechos, conceptos, la apelacin memorstica pero consciente de elementos, leyes, propiedades o cdigos matemticos para su aplicacin en clculos y operaciones simples aunque no elementales, puesto que es necesario determinar los conocimientos que estn involucrados o sean pertinentes a la situacin de trabajo a realizar.

Conocimiento de Procesos (P): Uso combinado de informacin y diferentes conocimientos interiorizados para conseguir comprender, interpretar, modelizar y hasta resolver una situacin nueva, sea esta real o hipottica pero que luce familiar. Aplicacin en la prctica (A): Proceso lgico de reflexin que lleva a la solucin de situaciones de mayor complejidad, ya que requieren vincular conocimientos asimilados, estrategias y recursos conocidos por el estudiante para lograr una estructura valida dentro de la Matemtica, la misma que ser capaz de justificar plenamente.

En posteriores aplicaciones utilizaremos las letras (C), (P), (A) para referirnos a cada una de estas macrodestrezas o alusiones a estas. Cada una de las destrezas con criterios de desempeo del rea de Matemtica responde al menos a una de estas macrodestreza mencionadas. Lo anterior permite observar cmo los conceptos se desenvuelven o se conectan entre s, ayudndoles a crear nuevos conocimientos, saberes y capacidades en un mismo ao o entre aos. El rea de Matemtica se estructura en cinco bloques curriculares que son: Bloque de relaciones y funciones. Este bloque se inicia en los primeros aos de Educacin General Bsica con la reproduccin, descripcin, construccin de patrones de objetos y figuras. Posteriormente se trabaja con la identificacin de regularidades, el reconocimiento de un mismo patrn bajo diferentes formas y el uso de patrones para predecir valores; cada ao con diferente nivel de complejidad hasta que los estudiantes sean capaces de construir patrones de crecimiento exponencial. Este trabajo con patrones, desde los primeros aos, permite fundamentar los conceptos posteriores de funciones, ecuaciones y sucesiones, contribuyendo a un desarrollo del razonamiento lgico y comunicabilidad matemtica. Bloque numrico. En este bloque se analizan los nmeros, las formas de representarlos, las relaciones entre los nmeros y los sistemas numricos, comprender el significado de las operaciones y cmo se relacionan entre s, adems de calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables.

Bloque geomtrico. Se analizan las caractersticas y propiedades de formas y figuras de dos y tres dimensiones, adems de desarrollar argumentos matemticos sobre relaciones geomtricas, especificar localizaciones, describir relaciones espaciales, aplicar transformaciones y utilizar simetras para analizar situaciones matemticas, potenciando as un desarrollo de la visualizacin, el razonamiento espacial y el modelado geomtrico en la resolucin de problemas.

Bloque de medida. El bloque de medida busca comprender los atributos medibles de los objetos tales como longitud, capacidad y peso desde los primeros aos de Educacin General Bsica, para posteriormente comprender las unidades, sistemas y procesos de medicin y la aplicacin de tcnicas, herramientas y frmulas para determinar medidas y resolver problemas de su entorno. Bloque de estadstica y probabilidad. En este bloque se busca que los estudiantes sean capaces de formular preguntas que pueden abordarse con datos, recopilar, organizar en diferentes diagramas y mostrar los datos pertinentes para responder a las interrogantes planteadas, adems de desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos; en-tender y aplicar conceptos bsicos de probabilidades, convirtindose en una herramienta clave para la mejor comprensin de otras disciplinas y de su vida cotidiana. Finalmente, recordemos que a travs del estudio de la Matemtica, los educandos aprendern valores muy necesarios para su desempeo en las aulas y, ms adelante, como profesionales y ciudadanos. Estos valores son: rigurosidad, los estudiantes deben acostumbrarse a aplicar las reglas y teoremas correctamente, a explicar los procesos utilizados y a justificarlos; organizacin, tanto en los lugares de trabajo como en sus procesos deben tener una organizacin tal que facilite su comprensin en lugar de complicarla; limpieza, los estudiantes deben aprender a mantener sus pertenencias, trabajos y espacios fsicos limpios; respeto, tanto a los docentes, autoridades, como a sus compaeros, compaeras, a s mismo y a los espacios fsicos; y conciencia social, los estudiantes deben entender que son parte de una comunidad y que todo aquello que hagan afectar de alguna manera a los dems miembros de la comunidad, por lo tanto, debern aprender a ser buenos ciudadanos en este nuevo milenio.

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Perfil de salida del rea Durante los diez aos de Educacin General Bsica, el rea de Matemtica busca formar ciudadanos que sean capaces de argumentar y explicar los procesos utilizados en la resolucin de problemas de los ms variados mbitos y, sobre todo, con relacin a la vida cotidiana. Teniendo como base el pensamiento lgico y crtico, se espera que el estudiantado desarrolle la capacidad de comprender una sociedad en constante cambio, es decir, queremos que los estudiantes sean comunicadores matemticos, y que puedan usar y aplicar de forma flexible las reglas y modelos matemticos. Al finalizar los diez aos de Educacin General Bsica, los educandos poseern el siguiente perfil de salida en el rea de Matemtica y que ha sido resumido en los siguientes puntos: Resolver, argumentar y aplicar la solucin de problemas a partir de la sistematizacin de los campos numricos, las operaciones aritmticas, los modelos algebraicos, geomtricos y de medidas sobre la base de un pensamiento crtico, creativo, reflexivo y lgico en vnculo con la vida cotidiana, con las otras disciplinas cientficas y con los bloques especficos del campo matemtico. Aplicar las tecnologas de la informacin y la comunicacin en la solucin de problemas matemticos en relacin con la vida cotidiana, con las otras disciplinas cientficas y con los bloques especficos del campo matemtico.

Objetivos educativos del rea Los objetivos generales del rea de Matemtica son: Demostrar eficacia, eficiencia, contextualizacin, respeto y capacidad de transferencia al aplicar el conocimiento cientfico en la solucin y argumentacin de problemas por medio del uso flexible de las reglas y modelos matemticos para comprender los aspectos, conceptos y dimensiones matemticas del mundo social, cultural y natural. Crear modelos matemticos, con el uso de todos los datos disponibles, para la resolucin de problemas de la vida cotidiana. Valorar actitudes de orden, perseverancia, capacidades de investigacin para desarrollar el gusto por la Matemtica y contribuir al desarrollo del entorno social y natural.

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P RO Y EC CI N CU RR IC UL A R DE OCTAVO AO

1

Objetivos educativos del ao

Reconocer las variables como elementos necesarios de la Matemtica, mediante la generalizacin de situaciones para expresar enunciados simples en lenguaje matemtico. Operar con nmeros enteros, a travs de la aplicacin de las reglas y propiedades de las operaciones en el conjunto Z, con los racionales fraccionarios y decimales positivos para aplicarlos en la resolucin de problemas. Aplicar conceptos de proporcionalidad a travs del clculo de permetros, reas y volmenes de figuras y de cuerpos (prismas y cilindros) semejantes para resolver problemas. Reconocer las diferentes lneas particulares de un tringulo, mediante representaciones grficas y la aplicacin de sus propiedades en la resolucin de problemas. Analizar, comprender, representar y expresar informaciones nacionales en diversos diagramas mediante el clculo de frecuencias absolutas y acumuladas, para fomentar y fortalecer la apropiacin de los bienes del pas.

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2 Planificacin

por bloques curricularesEje Curricular Integrador

Desarrollar el pensamiento lgico y crtico para interpretar y resolverproblemas de la vida. Ejes del aprendizaje:

El razonamiento, la demostracin, la comunicacin, las conexiones y/o larepresentacin

Bloques curriculares

Destrezas con criterios de desempeos Generar sucesiones con nmeros enteros. (A) Reconocer pares ordenados con enteros y ubicarlos en el plano cartesiano. (C, P) Reconocer y agrupar monomios homogneos. (C). Expresar un enunciado simple en lenguaje matemtico. (A) Leer y escribir nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos. (C, P, A) Ordenar y comparar nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos. (C, P) Ubicar nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos en la recta numrica. (C) Simplificar expresiones con nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos con la aplicacin de las operaciones bsicas. (P, A) Resolver las cuatro operaciones de forma independiente con nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos. (C, P) Resolver operaciones combinadas de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin exacta con nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos. (P, A) Simplificar expresiones de nmeros enteros, racionales fracionarios y decimales positivos con la aplicacin de las reglas de potenciacin y de radicacin. (P, A)

1. Relaciones y funciones

2. Numrico

Area de Matematica31

Construir figuras geomtricas con el uso de la regla y el comps siguiendo pautas especficas. (A) Reconocer la congruencia y la semejanza de tringulos en la resolucin de problemas. (C) Determinar el factor de escala entre dos tringulos semejantes. (C) Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y 3. Geomtrico bisectrices de un tringulo en grficos. (C, P) Determinar el baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro de un tringulo en grficos. (C, P) Deducir y aplicar las frmulas para el clculo del volumen de prismas y de cilindros. (C, P, A) Aplicar el teorema de Thales en la resolucin de figuras geomtricas similares. (A) Determinar la escala entre figuras semejantes con la aplicacin de Thales. (P, A)

4. Medida

5. Estadstica y Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una probabilidad serie de datos grficos. (P, A)

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Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010

P re cisio n es p a ra la e n se a n za y el ap ren dizajeEn este ao de Educacin General Bsica, un tema trascendental del rea de Matemtica es el trabajo con los nmeros enteros, en especial con los enteros negativos. Estos nmeros tienen un gran componente abstracto y requieren de parte del estudiantado un entendimiento de reglas, procesos y metodologa para operar adecuadamente con los mismos. Una buena fluidez en las operaciones bsicas ayuda a que se desenvuelvan en el estudio de la Matemtica y, a pesar de que los nmeros negativos pueden resultar muy abstractos, es posible trabajarlos de forma concreta, lo cual facilita que sus estudiantes afiancen sus conocimientos y entiendan mejor los procesos. Recuerde que es necesario tener una base de actividades y conceptos desarrollados de manera concreta antes de pasar a actividades y conceptos abs tractos. Ms adelante, en las precisiones por bloque curricular, se explicar en detalle algunos mtodos que se pueden utilizar para iniciar el trabajo en el aula.

Acurdese que es esencial continuar con una estrecha conexin entre las actividades de clase y los problemas planteados en el aula, con el entorno y los intereses del estudiantado. Esta relacin con su vida y con sus intereses los ayudar a visualizar aplicaciones inmediatas de los conceptos estudiados en el aula y conseguirn entender con mayor rapidez los conceptos es tudiados. En este ao es muy importante que se enfatice en la utilizacin de reglas para justificar los procesos utilizados, ya que al hacerlo ayudaremos a desarrollar un pensamiento lgico, formal y crtico; por lo tanto, en la resolucin de los problemas propuestos en el aula o en los problemas enviados a casa como tarea, es necesario que el estudiantado utilice reglas, teoremas y propiedades de los nmeros para argumentar y justificar sus procesos.Apoye su labor docente con el empleo de diversos tipos de materiales, sean textos de consulta, videos, televisin; adems, actualmente existe una variedad de programas educativos para computadora que tambin pueden ser empleados, en caso de disponer de ellos.

Area de Matematica

Tome en cuenta que al momento de planificar las unidades didcticas, no es conveniente hacerlo por bloques curriculares, es decir, no empiece por 30

y si le queda tiempo al final trabajar en la geometra. Al contrario, trabaje con los bloques intercalados, ya que con ello se incrementa la posibilidad de que sus estudiantes establezcan conexiones entre los mismos y fluyan cmodamente entre ellos. A continuacin, se presentan las recomendaciones metodolgicas para trabajar en algunos de los temas relevantes de este ao de estudio. Tenga presente que las reglas y los conceptos que se estudian en el bloque numrico tienen aplicaciones inmediatas en el bloque de relaciones y funciones, sobre todo al momento de trabajar con polinomios. Por esta razn, se sugiere considerar los preconceptos cuando se planifique.

Bloque: Relaciones y funciones Para un mejor aprovechamiento de los contenidos de este bloque, se recomienda trabajar previamente en el bloque numrico, en especial en lo relativo a los nmeros enteros, as se podr aplicarlos a los pares ordenados, ampliando de este modo el sistema de ejes coordenados a todos los cuadrantes. En el sptimo ao de Educacin General Bsica, el estudiantado trabaj en el aula con pares ordenados con nmeros naturales, decimales y fracciones; todos los anteriores se ubican en el primer cuadrante y al utilizar valores negativos tanto para las abscisas como para las ordenadas, ampliamos el sistema coordenado a todo el plano. Antes de iniciar con la ubicacin de pares ordenados con enteros en el sistema de ejes coordenados, analice con sus estudiantes los signos de las abscisas y de las ordenadas en funcin del cuadrante en el cual se los quiere ubicar. Por ejemplo, un par ordenado que se ubique en el segundo cuadrante deber tener una abscisa negativa y una ordenada positiva. El establecer la relacin entre los signos de las coordenadas y el cuadrante en el cual se ubican, es una comprensin muy necesaria e importante que se aplicar posteriormente al trabajar en funciones y en las razones trigonomtricas. Una vez que el estudiantado entienda esta relacin, la ubicacin en el plano cartesiano de pares ordenados con nmeros enteros y ms adelante con nmeros reales, no presentar mayores dificultades, al contrario, ser una etapa fundamental en el aprendizaje de funciones y de sus variaciones.

Bloque: Numrico La mayor dificultad que el estudiantado enfrentar este ao de estudio es con los nmeros enteros y, especficamente, con los enteros negativos. En este nivel se introducen los nmeros enteros y se aprenden las reglas para operar con dichos nmeros, por tal motivo es necesario estudiar un nuevo grupo de reglas, adicionales a las ya estudiadas en aos anteriores, entenderlas y aplicarlas correctamente en las ms variadas situaciones. Todas las reglas que se aprenden en este ao son aplicadas en los aos siguientes, sobre todo, en el rea de lgebra, por lo cual es imprescindible que estas reglas estn bien comprendidas. Hasta este momento, en el aula se ha trabajado con los nmeros naturales (que son los enteros positivos), racionales fracionarios y decimales positivos. Recuerde que los nmeros enteros, conocidos como el conjunto Z, comprenden todos los enteros, tanto positivos como negativos y el 0; por lo tan-

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to, con la introduccin de este conjunto, se extiende la semirrecta numrica a todos los valores negativos. A continuacin, consta una representacin del conjunto de los enteros en la recta numrica.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Es importante que los estudiantes reconozcan el uso de los nmeros enteros negativos en situaciones cotidianas. Por la interaccin con su entorno, posiblemente ya poseen cierto conocimiento sobre los enteros negativos a travs de hechos concretos como, por ejemplo, en medidas de temperatura (a travs de la televisin); en un ascensor para representar los pisos de los diferentes subsuelos o en tablas de los goles diferencia de los equipos de ftbol, entre otros. Si este es el caso, aproveche estas experiencias para introducir el tema directamente conectado con el entorno y con estas vivencias. Una manera de presentar los nmeros negativos es utilizar cualquiera de los ejemplos anteriores. En este caso, se considera el ejemplo del ascensor para preguntar a sus estudiantes qu entienden por el piso -1. Es posible que la mayora le responda que es el primer subsuelo, es decir, un piso ms abajo de la planta baja. Una vez que se haya entendido qu representa el piso -1, preguntar qu representa el piso -2. A partir de estos dos pisos, empezar a establecer una relacin de orden entre estos dos nmeros negativos, es decir, determinar cul de los dos nmeros es inferior, el -1 o el -2. El concepto de orden en los negativos es muchas veces confuso para el estudiantado, ya que el orden de los nmeros negativos es inverso al de los nmeros positivos, pues -2 < -1, pero al relacionarlo con los pisos del ascensor es ms fcil entenderlo. Una regla muy simple que es importante recalcar es que el orden de los nmeros puede ser establecido por su posicin relativa en la recta numrica y funciona tanto para los positivos como para los negativos. Esta regla es la siguiente: Si un nmero a se encuentra en la recta numrica a la izquierda de otro nmero b, entonces el nmero a es inferior al nmero b o el nmero b es mayor que el nmero a; en consecuencia, mientras ms a la izquierda est un nmero, menor ser. De esta regla se pueden deducir muchas otras que se aplican al conjunto de los enteros y, ms adelante, al conjunto de los racionales y de los nmeros reales, como por ejemplo, entre otras, que:

El nmero cero es menor que cualquier nmero positivo. El nmero cero es mayor que cualquier nmero negativo. Cualquier nmero negativo es menor que cualquier nmero positivo.

Como un ejercicio de evaluacin de esta regla, se les puede pedir que ubiquen un grupo de nmeros enteros en la recta numrica. Este ejercicio le permitir al docente observar el desempeo de cada uno y detectar las dificultades que experimentan en la aplicacin de esta regla de ordenamiento de los enteros. Puede solicitar que sealen o escriban el anterior y el sucesor de un nmero entero negativo, como recurso de apoyo evaluativo.

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Una vez que el estudiantado entienda el concepto de nmeros enteros negativos, se puede empezar a trabajar con el concepto de valor absoluto, que no es ms que la distancia de un nmero al cero. Al ser el valor absoluto equivalente a una distancia, no puede ser negativo, ya que en la medicin de distancia la posicin relativa entre los lmites a medir no modifica el resultado final. El siguiente paso en el estudio del conjunto de los nmeros enteros es iniciar con las operaciones de suma y resta. En este punto es posible trabajar con material concreto, lo cual ayuda a que los estudiantes visualicen los procesos y luego puedan generalizar las reglas de las operaciones con enteros. Un material concreto muy simple de usar para introducir las operaciones de suma y resta con los nmeros enteros es tener fichas u objetos iguales pero de dos colores diferentes. Por ejemplo, las fichas verdes representan nmeros positivos y las fichas rojas, nmeros negativos. Para comenzar con las sumas y las restas es importante que los educandos sepan una regla bsica: un nmero positivo sumado a su opuesto (el mismo nmero pero de signo contrario) se cancelan, es decir (+2) + (2) = 0. Si los estudiantes tienen dificultad en entender esta regla, nuevamente referirse a los ascensores: un nmero positivo significa subir esa cantidad de pisos y un nmero negativo significa bajar ese nmero de pisos; por lo tanto, si estoy en el piso 2 y bajo dos pisos, llego al piso 0 o planta baja. Una vez que el estudiantado entienda que la suma de un nmero y su opuesto es igual a cero, la representacin de las sumas con las fichas se simplifica, ya que si se quiere representar la suma de (+5) + (6), se lo har con 5 fichas verdes y 6 rojas. Al cancelar las 5 fichas verdes con 5 fichas rojas, nos queda una ficha roja, equivalente a 1; por ende, la suma de (+5) + (6) = 1. Para la resta se puede operar de la misma manera, simplemente a partir de la regla: restar un nmero entero equivale a sumar su opuesto, es decir, la operacin (+4) (3) es equivalente a la operacin (+4) + (+3), con lo cual se convierten las restas de enteros en sumas y se puede operar con las reglas deducidas para la suma. A travs de la prctica con material concreto, se establecen las reglas para sumar y restar enteros y, poco a poco, se lo ir eliminando hasta llegar a realizar las operaciones solamente de forma simblica. Ms adelante, la multiplicacin y la divisin de enteros se pueden enfocar de la misma manera. Cuando los estudiantes comprendan las reglas para cada una de las operaciones bsicas, trabaje con ellos en la simplificacin de expresiones de nmeros enteros con la aplicacin de las operaciones bsicas. Adems, tome en consideracin que estas son algunas recomendaciones de trabajo para los nmeros enteros, ya que en este ao, usted deber trabajar tambin con los nmeros racionales. Bloque: Geomtrico Uno de los temas crticos en este bloque curricular es el clculo de volmenes de prismas y de cilindros. De nuevo es necesario pasar por el proceso de la determinacin de las frmulas para el clculo de estos volmenes, en lugar de simplemente dar la frmula a los estudiantes y esperar que la apliquen correctamente en la resolucin de problemas. La diferencia entre tener la frmula y deducirla est en que en el primer caso realizarn un uso mecnico de la misma, mientras que al deducirla entendern el proceso que se utiliza para generar estas frmulas y al aplicarlas sabrn exactamente lo que cada una de las variables de la frmula representa. Una manera de deducir la frmula del volumen de un prisma es utilizando cajas de mercancas comunes como de pastas de dientes, de cereal o cualquier otro producto de fcil acceso en la zona y que tenga la forma de un prisma rectangular. Despus se hace con prismas cuyas bases sean figuras diferentes a rectngulos. Cada estudiante debe tener una caja, y si son diferentes mejor, ya que con ello lograremos que la generalizacin provenga de una diversidad de tamaos. Primero, se le solicita a cada educando que mida las dimensiones de su caja con el uso de una regla; aqu hay que proponerles cules son las medidas que ellos creen que se necesita33

obtener. Luego de realizar algunas mediciones, posiblemente se convendr en que solo tres medidas son necesarias, el ancho y el largo de la base y la altura de la caja. Con las medidas de la base, pdales que calculen el rea de la misma. Esta tarea no debera presentar ninguna dificultad puesto que este es un concepto tratado en aos anteriores, pero de todas maneras es una buena oportunidad para revisarlo. Una vez que tenga la medida del rea de la base, en cm2, se solicita a los estudiantes que calculen cuntos cubos de 1 cm3 de volumen entraran en el primer piso de su caja. Recuerden que si las medidas de las cajas no son enteros, para este ejercicio es necesario redondearlas al entero inmediato inferior. Una vez que hayan determinado la cantidad de cubos que cubran el primer piso, preguntar cuntos cubriran el segundo piso y luego, cuntos pisos iguales a los dos anteriores se requieren para completar la caja. El rea de la base determina el nmero de cubos que caben por piso, y la altura de la caja establece el nmero de pisos que entran en la caja; por lo tanto, el volumen de un prisma rectangular se obtiene de multiplicar el rea de la base por la altura, con lo cual la frmula generalizadora para este clculo es la siguiente: V = B h (B = rea de la base y h = altura) Pregunte a sus estudiantes si esta generalizacin funciona para su prisma. El siguiente paso es utilizar otra de las caras del prisma como base y repetir el proceso. Verificar si la frmula deducida anteriormente funciona. Si es el caso, podemos pasar a la generalizacin de la frmula para cualquier prisma rectangular. Posteriormente, cuestione a los estudiantes si creen que esta frmula funciona para un prisma triangular. Una manera de comprobarlo es pedirles que imaginen que la base de su prisma es la mitad de un rectngulo, cortado en dos por medio de una diagonal. Al hacerlo, obtendremos dos prismas triangulares congruentes, cuyos volmenes sern la mitad del volumen del prisma rectangular de origen. Es conveniente pedir que verifiquen que la altura de los nuevos prismas no cambi y que la base fue reducida a su mitad; por lo tanto, la frmula anterior tambin funciona para los prismas triangulares. A partir de esta nueva constatacin, es posible ya generalizar la frmula de clculo del volumen de cualquier prisma a la siguiente: V = B h con B igual al rea de la base y h representando la altura del prisma.

Recurdeles que la base de un prisma es una de las dos caras iguales y paralelas. Algunos prismas pueden tener ms de una base, mientras que otros solamente tendrn un par de bases. Explique, adems, al estudiantado que esta frmula no solo funciona para los prismas sino que es la misma para los cilindros, la diferencia es que la base de un cilindro no es un polgono sino un crculo. Una manera de comprobar que esta frmula funciona tambin para cilindros, es a travs de la medicin. Para hacerlo, necesitaremos un cilindro y un prisma rectangular un poco mayor al cilindro por cada estudiante. Como cilindro se puede usar aquel en el cual viene enrollado el papel higinico y podremos utilizar los prismas usados en la primera parte de este ejercicio. Se pide a cada uno que selle uno de los lados de su cilindro. A continuacin, cada uno rellenar su cilindro hasta el borde con arena y con cuidado, sin regar nada, pasar esta arena a su prisma rectangular. El prisma rectangular servir como la medida de referencia, ya que en l calcularemos el volumen que ocupa la arena, aplicando la frmula del volumen de prismas. Registraremos esta medida para compararla con el volumen calculado del cilindro. El siguiente paso es decirles que midan las dimensiones de su cilindro, tanto la altura como el dimetro de la base. Con este dimetro calcular el rea de la base (B = r 2 B = d 2 /4), luego multiplicar este resultado por la altura del cilindro. El valor obtenido debe ser muy similar al valor conseguido antes para el volumen de la arena en el prisma. Difcilmente en este ejercicio los dos resultados sern exactamente iguales, ya que al realizar mediciones

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siempre existe un margen de error, pero s debern obtener una buena aproximacin, con lo cual se verifica que la frmula V = B h tambin funciona para cilindros. Finalmente, aplicar estas frmulas en la resolucin de problemas.

Otro tema importante en este bloque curricular es la aplicacin de Thales en el clculo de longitudes, reas y volmenes en figuras semejantes. Nuevamente podemos trabajar con los prismas originales de los cuales ya conocemos las dimensiones de los lados, el rea de las bases y el volumen del prisma. Solicite a sus estudiantes que representen de forma grfica un rectngulo, cuya base tenga dimensiones exactamente iguales al doble de las de la base de su prisma. Motvelos a que estimen la relacin del rea de este rectngulo con respecto del rea de la base del prisma original. Paso seguido, solicitarles que calculen el rea y que contrasten esta medida con su estimacin, y que reflexionen en dnde cometieron el error en la estimacin, en caso de existir una diferencia entre el clculo y la estimacin realizada. Si sus clculos no son errneos, el resultado que cada estudiante debe tener para el rea de este nuevo rectngulo ser de cuatro veces el rea de la base del prisma original. A continuacin, sugirales que usando este rectngulo como base, imaginen un prisma de doble altura con respecto del prisma original y que otra vez estimen el volumen de este nuevo cuerpo en relacin con el volumen del prisma original. Despus, calcular el volumen de este nuevo prisma y contrastarlo con su estimacin. El resultado ser de ocho veces ms el volumen original. Pedirles luego que reflexionen un momento sobre estos dos factores: si las dimensiones son el doble, por qu el rea es cuatro veces mayor y por qu el volumen es ocho veces mayor? La explicacin es muy simple: supongamos que las dimensiones del prisma original son a l h en donde a es el ancho de la base, l es el largo de la base y h es la altura del prisma. Las dimensiones sern para el rea de la base B = a l y para el volumen V = a l h. Para el nuevo prisma, las dimensiones sern 2a 2l 2h, ya que cada una de las dimensiones fue duplicada; de modo que las medidas tanto del rea de la base y del volumen sern las siguientes: B = 2a 2l = 4 a l y V = 4a l 2h = 8 a l h. Como conclusin podemos determinar que si el factor de escala entre dos cuerpos es de 1 a 2 en sus dimensiones lineales, la relacin de reas ser de 12 a 22 (o de 1 a 4) y de volmenes ser de 13 a 23 (o de 1 a 8). Esta relacin de potenciacin se mantiene independientemente del factor de escala usado. Para evaluar los conocimientos adquiridos en este bloque curricular, podemos usar el anlisis y resolucin de problemas, los cuales deben abarcar el clculo y comparacin de volmenes y de reas laterales de diferentes cuerpos geomtricos. Acurdese que estas respuestas deben estar fundamentadas. Algunos indicadores pueden ser: Reconoce el volumen del cuerpo. Busca las distintas posibilidades de valores que pueden tomar la altura y el rea de la base. Utiliza la frmula. Analiza el proceso empleado. Entrega resultados correctos para las dimensiones de los cuerpos. Argumenta su resultado de forma razonable.

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Recuerde que estos son solo algunos indicadores de evaluacin y deben cambiar de acuerdo con el trabajo en el aula y con los estudiantes. Bloque: Medida En este bloque curricular, una gran parte de lo que se estudia en este ao de Bsica ya ha sido explicado en el bloque geomtrico. En medida es importante que los estudiantes puedan establecer el factor de escala entre dos figuras o cuerpos semejantes. Para determinar este factor de escala, es necesario conocer una de las medidas en una de las figuras o slidos (longitud de un lado, rea de una cara o volumen del slido) y su correspondiente medida en la otra figura o slido. En funcin de la medida que se tenga, se aplica la relacin entre medidas estudiadas en el bloque anterior y estableceremos el factor de escala. Recuerde que si las medidas son longitudes, el factor de escala sale directamente de la razn de las medidas. Si los valores son de reas, la razn ser el cuadrado del factor de escala y si son volmenes, la razn de medidas nos dar el cubo del factor de escala entre los slidos.

Para la evaluacin, el estudiantado debe determinar el factor de escala entre dos figuras semejantes; al igual que en otros bloques podremos trabajar a base de la solucin de problemas y su fundamentacin, adems de la respuesta correcta. Bloque: Estadstica y probabilidad El estudio en este ao se enfocar en la determinacin de frecuencia absoluta y frecuencia acumulada de una serie de datos estadsticos, los cuales pueden estar listados o representados en forma grfica. Use diagramas de barras con las categoras debidamente identificadas y con las frecuencias de cada una muy bien establecidas. Las frecuencias absolutas son las frecuencias de cada una de las categoras representadas, y las frecuencias acumuladas son la combinacin de las frecuencias de las categoras solicitadas conjuntamente. Nuestros estudiantes, en la medida de lo posible, deben tener contacto con las nuevas tecnologas. Si este es el caso, una forma de reforzar su labor docente es proponerles que el registro y/o anlisis de datos se haga en cualquiera de las diversas hojas de clculo disponibles. Para la recoleccin de datos puede ayudarse de datos reales, que se encuentran en diferentes revistas, peridicos o medios de comunicacin, a la vez que se trabaja en un conocimiento de Matemtica y se les acerca, poco a poco, a la realidad nacional. La evaluacin debe consistir en medir si los estudiantes son capaces de leer grficos de barras, calcular frecuencias absolutas y acumuladas, y calcular probabilidades simples en grficos con el uso de las fracciones.

Ubica pares ordenados con enteros en el plano cartesiano.

Utiliza variables para expresar enunciados simples en lenguaje matemtico. Opera con las cuatro operaciones bsicas en el conjunto de los nmeros enteros.

Simplifica expresiones de enteros negativos y nmeros fraccionarios con el uso de las operaciones bsicas, y de las reglas de potenciacin y radicacin. Calcula el volumen de prismas y cilindros con varios mtodos. Reconoce, nombra y representa las lneas particulares de un tringulo. Aplica las propiedades de congruencia y semejanza de las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de tringulos en la resolucin de problemas. Utiliza el teorema de Thales en la resolucin de problemas. de datos

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Calcula y contrasta frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas de una serie grficos y numricos.

Indicadores esenciales de evaluacin

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P RO Y EC CI N CU RR IC UL A R DE NOVENO AO

1

Objetivos educativos del ao

Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, las cuatro operaciones bsicas y la potenciacin para la simplificacin de polinomios a travs de la resolucin de problemas. Factorizar polinomios y desarrollar productos notables para deter minar sus races a travs de material concreto, procesos algebraicos o grficos. Aplicar y demostrar procesos algebraicos por medio de la resolucin de ecuaciones de primer grado para desarrollar un razonamiento lgico matemtico. Aplicar las operaciones bsicas, la radicacin y la potenciacin en la resolucin de problemas con nmeros enteros, racionales e irracionales para desarrollar un pensamiento crtico y lgico. Resolver problemas de reas de polgonos regulares e irregulares, de sectores circulares, reas laterales y de volmenes de prismas, pirmides y cilindros, y analizar sus soluciones para profundizar y relacionar conocimientos matemticos. Aplicar el teorema de Pitgoras en la resolucin de tringulos rectngulos para el clculo de permetros y reas. Recolectar, representar y analizar datos estadsticos en diagramasde tallo y hojas, para calcular la media, mediana, moda y

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2 Planificacin

por bloques curricularesEje Curricular Integrador

Desarrollar el pensamiento lgico y crtico para interpretar y resolverproblemas de la vida. Ejes del aprendizaje:

El razonamiento, la demostracin, la comunicacin, las conexiones y/o larepresentacin

Bloques curriculares

Destrezas con criterios de desempeos Reconocer patrones de crecimiento lineal en tablas de valores y grficos. (P, A) Graficar patrones de crecimiento lineal a partir de su tabla de valores. (P, A) Reconocer si dos rectas son paralelas o perpendiculares segn sus grficos. (C, P) Simplificar polinomios con la aplicacin de las operaciones y de sus propiedades. (P) Representar polinomios de hasta segundo grado con material concreto. (P, A) Factorizar polinomios y desarrollar productos notables. (P, A) Resolver ecuaciones de primer grado con procesos algebraicos. (P, A) Resolver inecuaciones de primer grado con una incgnita con p r o c e s o s a l g e b r a i c o s . ( P , A ) Leer y escribir nmeros racionales e irracionales de acuerdo con su definicin. (C, A) Representar nmeros racionales en notacin decimal y fraccionaria. (P) Representar grficamente nmeros irracionales con el uso del teorema de Pitgoras. (P, A) Ordenar, comparar y ubicar en la recta numrica nmeros irracionales con el uso de la escala adecuada. (P, A) Ordenar y comparar nmeros racionales. (C) Simplificar expresiones de nmeros reales con la aplicacin de las operaciones bsicas. (P, A)

1. Relaciones y funciones

2. Numrico

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2. Numrico

Resolver operaciones combinadas de adicin,

sustraccin, multiplicacin y divisin exacta con nmeros racionales. (P, A)

Resolver operaciones combinadas de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin exacta con nmeros irracionales. (P, A) Simplificar expresiones de nmeros racionales con la aplicacin de las reglas de potenciacin y de radicacin. (P, A) Resolver las cuatro operaciones bsicas con nmeros reales. (P, A) de nmeros reales con exponentes 3. Geomtrico Simplificar expresionesconos a partir de patrones en Construir pirmides y dos dimensiones. (A) Reconocer lneas de simetra en figuras geomtricas. (C, A) Deducir las frmulas para el clculo de reas de polgonos regulares por la descomposicin en tringulos. (P, A) Aplicar las frmulas de reas de polgonos regulares en la resolucin de problemas. (P, A) Utilizar el teorema de Pitgoras en la resolucin de tringulos rectngulos. (A) Calcular reas laterales de prismas y cilindros en la resolucin de problemas. (P, A) Aplicar criterios de proporcionalidad en el clculo de reas de sectores circulares. (A)4. Medida 5. Estadstica y

Reconocer medidas en grados de ngulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumental geomtrico. (C, P) Representar datos estadsticos en diagramas de tallo y hojas. (C, P) Calcular la media, mediana, moda y rango de un conjunto dedatos

probabilidad

estadsticos contextualizados en problemas pertinentes. (C, P, A)

3 P re cisio n es

p a ra la e n se a n za y el ap ren dizaje

La Matemtica en este ao puede ser aplicada a la resolucin de problemas cotidianos y, a partir de ellos, desarrollar en el estudiantado un pensamiento lgico y ordenado. En esta resolucin de problemas es muy importante que los estudiantes utilicen las reglas, teoremas y propiedades de los nmeros para justificar sus procesos. Este nivel completa el estudio del conjunto de los nmeros reales con el manejo de los nmeros racionales como de los irracionales. En el bloque de relaciones y funciones, durante este ciclo, se trabaja la totalidad de los polinomios, desde su concepto, pasando por sus operaciones y simplificaciones hasta llegar a sus aplicaciones.

Recuerde que en este ao el proceso de construccin y adquisicin de habilidades intelectuales, relativas al proceso de abstraccin y generalizacin, todava contina. A travs del estudio de los polinomios, los educandos llegarn a desarrollar un pensamiento abstracto. Es necesario tomar en cuenta que an es importante tener una buena base concreta para luego pasar a lo abstracto, por lo que se Al realizar las actividades educativas en el saln de clase, es necesario que estas estn directamente relacionadas con los intereses de sus estudiantes y su entorno. Mientras mayores conexiones encuentren entre las actividades de la clase y su realidad geogrfica, climtica, social y otras, ms motivados estarn para aprender ya que vern plasmado su esfuerzo en realizaciones inmediatas en sus vidas y el aprendizaje se ver slidamente favorecido. Recuerde que es necesario, dentro de un mismo tema, ir de forma ascendente en cuanto a la dificultad de las tareas asignadas. Es siempre necesario y motivador para los jvenes empezar por problemas que se pueden resolver y, poco a poco, incrementar el grado de dificultad hasta el punto donde los problemas se vuelven un desafo para ellos y, con un poco de compromiso y dedicacin de su parte, los resolvern. Si no se incrementa el grado de dificultad de los problemas en forma progresiva, solamente se lograr frustrarlos y perdern el inters por la asignatura.

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El entorno de su establecimiento le ofrece un sinnmero de oportunidades y de materiales para trabajar en la resolucin de problemas, y la creatividad de los educadores es fundamental para poder encontrar estas aplicaciones. Es importante tambin acordarse que los problemas propuestos no deben ser solamente aquellos en los que se aplique una regla de manera mecnica. La repeticin en el aprendizaje de las matemticas es esencial, pero lo es ms an el acrecentar en el estudiantado un pensamiento crtico y reflexivo, y los problemas que demandan esfuerzo de parte de ellos son una buena fuente para lograr desarrollar estas destrezas. En este nivel de estudios probablemente el uso de calculadoras sea ms frecuente; por lo tanto, es considerable pasar a la aplicacin de los resultados obtenidos y no al clculo en s de los mismos. El resultado es importante, pero el proceso seguido para llegar al mismo y sus justificativos lo son ms. Es mejor corregir en sus estudiantes errores de clculo que errores de razonamiento, por lo que es necesario guiarlos para que expliquen de manera suficiente los procesos seguidos. Un mtodo que da buenos resultados es el de verbalizar estos procesos ya que para hacerlo, los estudiantes deben reflexionar sobre lo que hicieron y esto les ayudar a construir procesos lgicos de razonamiento. Adems, les permitir entender diferentes estrategias y, de pronto, adoptar aquellas que les resulte ms interesantes o lgicas. Si tiene acceso a Internet o a software especializado, selo regularmente con sus alumnas y alumnos. Muchas de las aplicaciones que se encuentran en este medio sirven como refuerzo de los conceptos estudiados e incentivan la bsqueda de estrategias para su resolucin. En las clases, cree espacios para que el trabajo en grupos y la resolucin de problemas sean en equipo. Las discusiones generadas en estos espacios refuerzan los aprendizajes y ayudan a los estudiantes con dificultades a procesar de mejor manera la informacin, y a aquellos que son muy apegados a los procesos memorsticos, a reflexionar sobre los mismos y entender el porqu de estos procesos. En la resolucin de problemas en equipo, cada integrante del grupo debe ser capaz de explicar los pasos seguidos para la resolucin del problema y la argumentacin de este proceso, de modo que todos trabajen de forma cooperativa, es decir, todos aportan, opinan y se esfuerzan por entender lo que hicieron. Recuerde que las habilidades que el estudiantado desarrollar a travs del trabajo en equipo son: procesar informacin, aprender a escuchar, tratar de entender diferentes puntos de vista, y debatir con argumentos apegados a las reglas y conceptos matemticos utilizados para la resolucin del problema propuesto. En este nivel, la resolucin de problemas y ejercitacin no debe ser solo abstracta. Hay muchos de los conceptos que pueden ser fcilmente conectados con el entorno e intereses estudiantiles. El educando aprende mucho ms a travs de problemas aplicables a lo que conocen, que repitiendo de foma mecnica procesos y reglas totalmente desconectados de su mundo. La investigacin y la lectura son tambin muy importantes en la Matemtica, y al pedirles que realicen exposiciones sobre temas muy concretos, se enfrentan con la materia en un entorno diferente al aula de clase, donde ellos son quienes definen los lmites de su indagacin. Para que las indagaciones y las exposiciones sean eficaces, se sugiere que los instrumentos de evaluacin de las mismas sean muy claros y conocidos por los estudiantes; adems, es fundamental guiarlos en las fuentes de investigacin, las cuales se sugiere sean especializadas y confiables. A travs de las actividades de clase, es necesario reforzar los valores relacionados con el orden, la limpieza, el respeto a las personas, a los materiales y a las indicaciones impartidas. El uso del lenguaje debe ser adecuado y preciso al momento de relatar presentaciones, de dar explicaciones o de justificar procedimientos. No se olvide de incluir en los problemas la diversidad tnica, cultural, climtica, regional y dems, que nuestro pas posee, relacionndolas con conocimientos matemticos.

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Al igual que en otros niveles, es imprescindible relacionar siempre todos los contenidos estudiados en este ao con aquellos aprendidos en aos anteriores, para que el estudiantado vea el progreso de su aprendizaje en la materia y tambin es necesario relacionarlos con las dems reas del saber, como aplicaciones directas de lo aprendido. Adems, alguno de los contenidos dentro de cualquiera de los cinco bloques puede ser enfocado desde aplicaciones de los otros cuatro. Por ejemplo, la mayora de las operaciones en el sistema numrico pueden ser enfocadas desde una perspectiva geomtrica, la que en muchos casos ayuda a visualizar los procesos y refuerza el aprendizaje. Estas conexiones entre diferentes conocimientos, entre bloques y entre asignaturas potencian las conexiones en el cerebro y permiten al estudiante incrementar su capacidad de aprender; pues mientras ms sabemos, ms podemos aprender ya que el aprendizaje se da al crear relaciones con otros conocimientos, es decir, mientras ms informacin poseemos, mayor es la posibilidad de relacionarla con nueva informacin. Al momento de planificar las unidades, no hacerlo por bloques, es decir, no empezar por el bloque numrico para luego pasar al de relaciones y funciones y, si le queda tiempo, finalmente trabajar en geometra. Al contrario, se sugiere trabajar con los bloques intercalados, ya que con ello se da la posibilidad a los estudiantes de establecer conexiones entre los mismos y fluir cmodamente entre ellos.

A continuacin, se presentan varias recomendaciones metodolgicas para trabajar en algunos de los temas relevantes de este ao lectivo. Estas recomendaciones estn presentadas por bloque curricular, sin ningn orden cronolgico establecido. Por lo tanto, se propone revisar las destrezas con criterios de desempeos esperados para planificar su concatenacin en funcin de ellos y del nivel de los estudiantes. Bloque: Relaciones y funciones En este bloque curricular, los nudos crticos de este ao de Educacin General Bsica son la resolucin de ecuaciones de primer grado y la simplificacin de polinomios. Para estos dos casos anteriores, continuaremos con la aplicacin de las reglas utilizadas para el clculo con los nmeros enteros. Recuerde, adems, que la introduccin de variables, tanto en las ecuaciones como en los polinomios, genera muchas dificultades si trabajamos desde la abstraccin e ignoramos la parte concreta provocando en sus estudiantes un bloqueo de sus procesos de razonamiento. Por consiguiente, es importante que tanto las ecuaciones como los polinomios se presenten utilizando material concreto como las fichas algebraicas, caja de polinomios o a travs de situaciones que sean familiares para ellos. Con el fin de evitar que la resolucin de ecuaciones se convierta nicamente en un proceso mecnico de aplicacin de reglas, es necesario conectar las ecuaciones con situaciones reales, como se dijo antes, es decir, acostumbrar a los educandos a que traduzcan la ecuacin a una situacin familiar para ellos y que luego piensen en las acciones que pueden tomar para llegar a su resolucin. Por ejemplo, si la ecuacin a resolver es x + 8 = 5, la mayora de estudiantes despejar la incgnita cambiando de lado al 8 por la aplicacin de las propiedades para as obtener la expresin numrica de x, pero muy pocos pensarn en qu valor de x sumado al 8 me da 5? Al hacerlo de esta manera, no se requiere aplicar ningn proceso memorstico para despejar la incgnita, sino simplemente emplear las reglas de la suma y de la resta con nmeros enteros revisados en el bloque numrico. Se sugiere trabajar con sus estudiantes en la capacidad de buscar mentalmente el valor que resuelve la ecuacin, ya que ello les ayuda a entender lo que estn haciendo y desarrollar su pensamiento lgico. Las ecuaciones no son ms que igualdades matemticas en las que aparece una variable, la cual es conocida como la incgnita. La resolucin de la ecuacin significa encontrar el valor numrico de la incgnita que hace que la igualdad propuesta sea verdadera. Los mtodos para resolver una ecuacin pueden ser muy variados, desde el de prueba y error hasta el de la aplicacin de las propiedades de los nmeros para despejar la incgnita. Un nmero significativo de estudiantes, al momento de resolver ecuaciones, solamente quiere replicar los procesos que utilizan sus profesores y profesoras en la clase, y al confundir las reglas aprendidas de memoria, realizan procesos errneos y llegan a resultados equivocados. Al llegar a la explicacin de la resolucin de ecuaciones por medio de reglas y propiedades que permiten despejar la incgnita, es importante explicarles que las ecuaciones pueden ser vistas como una balanza equilibrada por el signo igual, en la cual cada lado de la ecuacin representa lo mismo, y todo aquello que se haga a un lado de la ecuacin va a afectar al otro lado; por lo tanto, las acciones deben ser tomadas por igual a los dos lados. Este es el principio por el cual podemos mover trminos de un lado al otro de la ecuacin, sin alterar su igualdad. Este ejercicio los ayudar a entender el proceso de resolucin de ecuaciones y no solo a poder aplicarlo. Uno de los errores ms comunes al resolver ecuaciones es aquel de cambiar el signo del valor que se cambia de lado, ya que funciona con los trminos que estn sumando y restando pero no con los trminos que se multiplican o dividen. La regla general no es que se cambia de signo, sino que se hace la operacin inversa, es decir, si un trmino est sumando a la variable, al cambiarlo de lado pasar restando, y as con todos los trminos y las operaciones.

Al momento de evaluar la resolucin de una ecuacin, una estrategia es hacerlo desde la resolucin de problemas y, en tal caso, debemos considerar si los estudiantes:Reconocen el trmino desconocido (la incgnita). Plantean el problema presentado como una ecuacin. Resuelven correctamente la ecuacin. Explican el procedimiento seleccionado.

Tome en cuenta que un gran nmero de estudiantes plantea una ecuacin, reconoce la incgnita, conoce el proceso y evidencia una + x2 x2 +x x +1 1 lgica en l, pero al momento de realizar V R la operacin inversa V R V R no la ejecuta de la forma adecuada, por V= Verde R= esto debe tener Rojo cuidado al momento de evaluar, detectar el error y dar retroalimentacin, as se lograr una evaluacin para corregir errores y evitar mayores complicaciones a futuro. Recuerde, adems, que tanto la resolucin de ecuaciones como la simplificacin de polinomios van de la mano, ya que en varias ecuaciones los estudiantes deben simplificar los trminos con la variable antes de resolverla, como en el ejemplo siguiente, el que no puede ser resuelto si todas las expresiones con la variable no se simplifican primero: 3x 5 = 2x + 8 Al iniciar con la simplificacin de polinomios, es esencial asegurarse que sus estudiantes comprenden la diferencia entre un monomio con la variable x y un monomio con la variable x2 , y no los junten como si se trataran de lo mismo. El material concreto, especficamente las fichas algebraicas, los ayudan a visualizar esta diferencia y a entender que si la potencia de la variable cambia, el monomio es de otra naturaleza y solamente podr simplificarse con otros monomios de la misma potencia. Las fichas algebraicas pueden ser fcilmente fabricadas con cartulina, fmix (goma eva), madera, cartn o cualquier otro material reciclado del que disponga o pueda conseguir con facilidad. No es necesario tener material costoso ni prefabricado. Ser ms beneficioso si sus estudiantes lo crean pues con ello estarn determinando, antes de usarlo, qu significa o representa cada elemento. Es tambin importante que cada una de las fichas algebraicas se hagan en dos colores diferentes, para representar los valores positivos, los cuales son verdes; y los valores negativos que son rojos. Las medidas de las fichas pueden variar, pero es mejor que todos en el aula utilicen las mismas medidas, ya que de esta manera podrn intercambiar y compartir el material en caso de necesidad, y crear un inventario de material uniforme para tenerlo en el aula y usarlo cuando sea requerido. A continuacin, le presentamos una muestra de este material, como se coment anteriormente, puede ser sencillo crearlo por el estudiantado con material reciclado y a bajo costo. Como se observa en las figuras, con el uso de las fichas algebraicas se representan solo monomios hasta la segunda potencia, es decir, hasta cuadrados. Se pueden representar monomios cbicos, pero se requiere fabricar cubos, lo cual resulta ms complicado y adems no muy necesario, ya que una vez que visualizan la diferencia entre x2 y x, estas se pueden transferir muy fcilmente a otras potencias. Fjese tambin que las fichas verdes son positivas y las rojas son negativas y existe una total analoga con las fichas utilizadas en el bloque numrico para introducir las operaciones con los nmeros enteros. Las reglas para simplificar polinomios son las mismas que para simplificar expresiones de nmeros enteros: una ficha positiva con una ficha negativa se cancelan y solamente

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es posible operar con fichas de la misma naturaleza, es decir, no podremos sumar entre s fichas cuadradas (x2) con fichas rectangulares (x). A continuacin, le presentamos un ejemplo de simplificacin de un polinomio, paso a paso, con el uso de las fichas algebraicas. Simplificar el polinomio 3x2 + 6x 2x2 + 4x 8 + 7 - 2x. Este polinomio puede representarse de esta manera:

V

V

V

R

V

V

R

R

V

V

V

R

V

V

R V V V R

R R

R R

R R

V V

V V

V V

V

V= Verde R= Rojo

El siguiente paso es juntar las fichas iguales, pero de color diferente, para cancelarlas entre s; por lo tanto, dos fichas cuadradas grandes verdes se eliminarn con dos fichas cuadradas grandesR V V V V V V V V V

rojas, dos rectngulos verdes se irn con dos rectngulos rojos, y siete cuadrados verdes pequeos se irn con siete cuadrados pequeos rojos, quedando lo siguiente: Al los llegar a esta expresin podemos ver que no es posible simplificarla ms, ya que todos monomios son distintos entre s y el resultado es finalmente: x2 + 8x 1; por lo tanto, tendremos que: 3x2 + 6x - 2x2 + 4x 8 + 7 2x = x2 + 8x 1 Verifiquemos este resultado de forma algebraica y, al hacerlo, veremos que el proceso exacto al mismo que utilizamos con las fichas. Operamos, con la expresin a la izquierda del signo igual para obtener la expresin a la derecha y expresaremos entre parntesis la propiedad que nos permite realizar la operacin utilizada: 3x2 + 6x 2x2 + 4x 8 + 7 2x = x2 + 8x 1 3x2 2x2 + 6x + 4x 8 + 7 2x = x2 + 8x 1 (conmutativa) 2 x2 + 10x 1 2x = x + 8x 1(suma y resta de trminos semejantes) x2 + 10x 2x 1 = x2 + 8x 1(conmutativa) x2 + 8x 1 = x2 + 8x 1Queda demostrada la simplificacin anterior.

V= Verde R= Rojo

Se los

las

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los con de e

Actualizacion y Fortalecimiento Curricular de la Educacion General Basica 2010