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Álgebra Lineal IEstructuras Algebraicas
Guillermo Garro y Araceli GuzmánEnero, 2018
Facultad de ciencias UNAM
Contenido del tema
1. Operaciones internas
2. Semigrupos
3. Monoides
4. Grupos
5. Anillos
6. Campos
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 1 / 64
Operaciones internas
Operaciones internas
Una operación (interna) en un conjunto X es una función
∗ : X× X → X
NotaciónGeneralmente escribimos
x ∗ y
en lugar de∗(x, y).
NotaciónA veces usamos la notación de suma:
x+ y
o bien como producto:x • y
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Conocemos muchos ejemplos: Los conjuntos de números usuales
Ejemplos
1. La suma usual en los conjuntos de números usuales
(X,+), con X = N, Z, Q, R, C.
2. El producto usual en los conjuntos de números usuales
(X, • ), con X = N, Z, Q, R, C.
3. En general cualquier función f : X× X → X define una operación interna
x ∗ y := f(x, y), ∀ (x, y) ∈ X× X.
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Conocemos muchos ejemplos
Ejemplos
4. La suma de vectores en R2 :Si x = (x1, x2), y = (y1, y2) son vectores en R2 , entonces
x+ y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
es un vector en R2 .
X
Y
x
y
x+ y
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Conocemos muchos ejemplos
Ejemplos
5. El producto cruz en R3 .Si x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) son vectores en R3 , entonces
x× y =
∣∣∣∣∣∣∣i j kx1 x2 x3y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣ = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1).
es un vector en R3 .
∥x× y∥
x
y
x× y
θ
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Tablas de multiplicar
Dado un conjunto finito A = {a1, ..., an}, una tabla de multiplicar sobre A es un arreglorectangular de la forma
∗ a1 a2 · · · ai · · · aj · · · ana1 a1 ∗ a1 a1 ∗ a2 · · · a1 ∗ ai · · · a1 ∗ aj · · · a1 ∗ ana2 a2 ∗ a1 a2 ∗ a2 · · · a2 ∗ ai · · · a2 ∗ aj · · · a2 ∗ an...
......
. . ....
. . ....
. . ....
ai ai ∗ a1 ai ∗ a2 · · · ai ∗ ai · · · ai ∗ aj · · · ai ∗ an...
......
. . ....
. . ....
. . ....
aj aj ∗ a1 aj ∗ a2 · · · aj ∗ ai · · · aj ∗ aj · · · aj ∗ an...
......
. . ....
. . ....
. . ....
an an ∗ a1 an ∗ a2 · · · an ∗ ai · · · an ∗ aj · · · an ∗ an
Tal que ai ∗ aj ∈ A, para todos 1 ≤ i, j ≤ n.
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Todas las tablas de multiplicar sobre {0, 1}
0 10 0 01 0 0
0 10 0 01 0 1
0 10 0 11 1 0
0 10 1 11 0 1
0 10 1 01 0 0
0 10 0 01 1 1
0 10 1 01 1 0
0 10 1 01 1 1
0 10 0 11 0 0
0 10 0 11 0 1
0 10 1 11 0 0
0 10 0 11 1 1
0 10 0 01 1 0
0 10 1 01 0 1
0 10 1 11 1 0
0 10 1 11 1 1
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Semigrupos
Semigrupo
DefiniciónUna operación ∗ : X× X → X es asociativa si
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ∀ x, y, z ∈ X.
En este caso decimos que (X, ∗) es un semigrupo.
NotaciónSi usamos la notación de producto, escribimos
x(yz) = (zy)z, ∀ x, y, z ∈ X.
Si usamos la notación de suma, escribimos
x+ (y+ z) = (x+ y) + z, ∀ x, y, z ∈ X
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Operaciones conmutativas
DefiniciónUna operación ∗ : X× X → X es conmutativa si
x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈ X.
NotaciónCon la notación de producto escribimos
xy = yx, ∀ x, y ∈ X.
Y con la notación de suma
x+ y = y+ x, ∀ x, y ∈ X.
DefiniciónSi una operación ∗ es asociativa y conmutativa, entonces decimos que (X, ∗) es unsemigrupo conmutativo.
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Los ejemplos típicos
Ejemplos
1. La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales sonoperaciones asociativas y conmutativas, así que los sistemas
(X,+) y (X, • ) con X = N, Z, Q, R, C.
son semigrupos conmutativos.
2. Dado un conjunto X, las operaciones unión e intersección son asociativas yconmutativas, por lo que los sistemas
(℘(X),∩) y (℘(X),∪).
son semigrupos conmutativos.
3. Dado un conjunto X, la diferencia simétrica es una operación asociativa yconmutativa, así que el sistema
(℘(X),△).
es un semigrupo conmutativo.
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Los espacios lineales Rn
El plano R2 con la suma de vectores usual. Si x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) sonvectores en R2 , entonces
x+(y+ z
)= (x1, x2) +
((y1, y2) + (z1, z2)
)= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2)
= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2))
= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2)
= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2)
=((x1, x2) + (y1, y2)
)+ (z1 + z2)
= (x+ y) + z.
El caso general de la suma de vectores en Rn puede tratarse igualmente fácil. Y puedeverse que de hecho la suma de vectores es conmutativa.
Por lo tanto, los espacios (Rn,+) son semigrupos conmutativos.
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Composición de funciones
Composición de funciones. Sea X un conjunto y sea X X el conjunto de todas las fun-ciones de X en X, esto es
X X := {f : X → X : f es función}.
TeoremaLa composición de funciones sobre X X es una operación asocitiva. Esto es, si f, g y hson funciones de X en X, entonces
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
DemostraciónPara todo x ∈ X,
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))),
y por otra parte(f ◦ (g ◦ h))(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x))).
■
Por lo tanto, el sistema (X X, ◦) es un semigrupo. Pero en general, la composición defunciones no es una operación conmutativa.
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No son semigrupos
NO son semigrupos
1. La diferencia no es una operación asociativa en Z:
1− (1− 1) = 1− 0 = 1 pero (1− 1)− 1 = 0− 1 = −1.
2. La diferencia de conjuntos no es una operación asociativa en ℘(X), si X ̸= ∅:
X\(X\X) = X\∅ = X pero (X\X)\X = ∅\X = ∅.
3. El producto cruz de vectores en R3 no es asociativo. Por ejemplo, seanx = (1, 0, 1), y = (1, 1, 0) y z = (0, 0, 1). Entonces
x× y =
∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 11 1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 1, 1), (x× y)× z =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
−1 1 10 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 1, 0)
y× z =
∣∣∣∣∣∣∣i j k1 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (1,−1, 0), x× (y× z) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 11 −1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 1,−1)
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Todas las tablas de multiplicar sobre {0, 1}
0 10 0 01 0 0
0 10 0 01 0 1
0 10 0 11 1 0
0 10 1 11 0 1
0 10 1 01 0 0
0 10 0 01 1 1
0 10 1 01 1 0
0 10 1 01 1 1
0 10 0 11 0 0
0 10 0 11 0 1
0 10 1 11 0 0
0 10 0 11 1 1
0 10 0 01 1 0
0 10 1 01 0 1
0 10 1 11 1 0
0 10 1 11 1 1
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 14 / 64
Neutros
DefiniciónSea ∗ una operación sobre un conjunto X.
1. Un elemento e ∈ X es un neutro izquierdo relativo a ∗, si
e ∗ x = x, ∀x ∈ X.
2. Un elemento e ∈ X es un neutro derecho relativo a ∗, si
x ∗ e = x, ∀x ∈ X.
3. Un elemento e ∈ X es un neutro relativo a ∗, si es un neutro izquierdo y un neutroderecho.
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Los neutros izquierdo y derecho, si existen, son iguales
ProposiciónSea ∗ una operación sobre un conjunto X. Si ed es un neutro derecho y ei es un neutroizquierdo, entonces
ed = ei.
DemostraciónPara todo x ∈ X,
ed ∗ x = x.
En particular,ed ∗ ei = ei.
Análogamente, para todo x ∈ X,x ∗ ei = x.
En particulared ∗ ei = ed.
■
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En consecuencia, el neutro es único
CorolarioSi ∗ es una operación sobre un conjunto X con neutro, entonces éste es único
DemostraciónSi e y e′ son neutros, entonces en particular, e es un neutro izquierdo y e′ es unneutro derecho. De donde
e = e ∗ e′ = e′.
■
ObservaciónComo hemos visto, en cuanto a la existencia y unicidad de neutros, no es relevante sila operación es asociativa o no.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 17 / 64
Un semigrupo con dos neutros izquierdos (y por tanto, sin neutro derecho)
Sobre X = {0, 1} considere la tabla de multiplicar
0 10 0 11 0 1
Observe quex y = y, ∀ x, y ∈ {0, 1}.
Por lo tanto, para todas x, y, z ∈ {0, 1},
x (y z) = x z = z y (x y) z = y z = z.
Así que es asociativa.
Y además0 x = x = 1 x, ∀ x ∈ {0, 1}.
Luego ({0, 1}, ) es un semigrupo (no conmutativo) con dos neutros izquierdos, a saber,0 y 1.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 18 / 64
Operaciones recíprocas
DefiniciónDada una operación ∗ en un conjunto X, definimos la operación ∗ dada por
x ∗ y := y ∗ x, ∀ x, y ∈ X.
ProposiciónSi ∗ es asociativa, entonces ∗ es asociativa.
DemostraciónPara todas x, y, z ∈ X,
x ∗ (y ∗ z) = (y ∗ z) ∗ x (definición de ∗)
= (z ∗ y) ∗ x (definición de ∗)
= z ∗ (y ∗ x) (∗ es asociativa)
= (y ∗ x) ∗ z (definición de ∗)
= (x ∗ y) ∗ z (definición de ∗)
■Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 19 / 64
Operaciones recíprocas
Dada una operación ∗ en un conjunto X, definimos la operación ∗ dada por
x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ X.
ProposiciónUn elemento e de X es un neutro derecho (izquierdo) rel. a ∗ si y sólo si, e es un neutroizquierdo (derecho) rel. a ∗.
DemostraciónSupongamos que e ∈ X es un neutro derecho rel. a ∗. Para toda x ∈ X,
e ∗ x = x ∗ e
= x
Por lo tanto e es un neutro izquierdo rel. ∗. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 20 / 64
El operador producto y la propiedad asociativa
DefiniciónSea (X, ∗) un semigrupo y supongamos que x1, x2, ... son elementos de X. Para todan ≥ 3 definimos recursivamente
x1 ∗ · · · ∗ xn := (x1 ∗ · · · ∗ xn−1) ∗ xn.
ProposiciónSea (X, ∗) es un semigrupo y x1, ..., xn elementos de X, n ≥ 3. Para cualquier 1 ≤ k ≤ n,
(x1 ∗ · · · ∗ xk) ∗ (xk+1 ∗ · · · ∗ xn) = x1 ∗ · · · ∗ xn.
EjemploEn la proposición supongamos n = 4 y k = 2.
(x1 ∗ x2) ∗ (x3 ∗ x4) = ((x1 ∗ x2) ∗ x3) ∗ x4
= (x1 ∗ x2 ∗ x3) ∗ x4
= x1 ∗ x2 ∗ x3 ∗ x4.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 21 / 64
Monoides
Monoides
DefiniciónUna terna (X, ∗, e) es un monoide si (X, ∗) es un semigrupo y e ∈ X es neutro rel. a ∗.
Observación
1. En otras palabras, un monoide es un semigrupo con neutro.
2. El neutro de un monoide es único
3. Un monoide es conmutativo si además la operación ∗ es conmutativa.
NotaciónSi usamos la notación de producto, usamos 1 para denotar al neutro de un monoide.
Si usamos la notación de suma, entonces usamos 0.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 22 / 64
Los ejemplos típicos
Ejemplos
1. Los conjuntos de números usuales X = N,Z,Q,R,C, con la operación productoson monoides conmutativos, y el elemento neutro es 1. Si consideramos laoperación suma en estos mismo conjuntos, entonces también son monoidesconmutativos con neutro 0.
2. Dado un conjunto X, los sistemas (℘(X),∪, ∅) y (℘(X),∩, X) son monoidesconmutativos.
3. Dado un conjunto X, el sistema (℘(X),△, ∅) es un monoide conmutativo.
4. El espacio lineal R2 (en general en Rn), es un monoide conmutativo con laoperación de suma de vectores. El neutro es el vector nulo (el origen) 0 = (0, 0).
5. En el espacio X X de funciones de X en X, donde X ̸= ∅, con la composición ◦, lafunción identidad IdX es el neutro. Pero en general, (X X, ◦, IdX) no es un monoideconmutativo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 23 / 64
Inversos en monoides
DefiniciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y ∈ X tales que
x ∗ y = e.
Decimos que x es un inverso izquierdo de y, y que y es un inverso derecho de x.
Decimos que y es un inverso de x si es un inverso izquierdo y derecho de x. Esto es,
y ∗ x = e y x ∗ y = e.
ObservaciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y ∈ X. Entonces y es el inverso de x si y sólo si, x esel inverso de y.
ObservaciónEn un monoide (X, ∗, e), el neutro e siempre tiene inverso y es e mismo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 24 / 64
Unicidad del inverso
ProposiciónSea (X, ∗, e) un monoide y sean x, y, z ∈ X. Si y es un inverso izquierdo de x y z es uninverso derecho de x, entonces y = z.
Demostración
y = y ∗ e
= y ∗ (x ∗ z)
= (y ∗ x) ∗ z
= e ∗ z
= z.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 25 / 64
Unicidad del inverso
CorolarioSi (X, ∗, e) es un monoide y x ∈ X tiene inverso, éste es único.
DemostraciónSean y y z inversos de x.
En particular, y es un inverso izquierdo de x y z es un inverso derecho de x.
Por la proposición anterior,y = z.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 26 / 64
Los espacios de funciones, en general, no tienen neutro
La terna (NN, ◦, IdN) es un monoide.
Recordemos que la función sucesor
σ(k) = k+ 1, ∀k ∈ N,
es inyectiva por lo que tiene inversa izquierda.
Pero no es suprayectiva y por tanto no tiene inversa derecha.
De hecho hay una infinidad de inversas por la izquierda de σ:
Para cada n ∈ N, sea fn : N → N dada por
fn(k) =
k− 1 si k > 0,
n si k = 0.
Entonces fn es una inversa izquierda de σ, para toda n ∈ N.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 27 / 64
Grupos
Grupos
DefiniciónUn grupo es un monoide (X, ∗, e) tal que cada elemento x ∈ X tiene inverso. Un grupoes conmutativo o abeliano si además es conmutativo.
Observaciones1. Los inversos en un grupo son únicos.
2. En un grupo (X, ∗, e), para todos x, y ∈ X, x es el inverso de y si y sólo si, y es elinverso de x.
NotaciónSi usamos la notación de producto para la operación ∗, entonces escribimos x−1 paradenotar al inverso de x ∈ X.
Si usamos la notación de suma para la operación ∗, entonces escribimos −x paradenotar al inverso de x. En este caso, definimos la diferencia de dos elementosx, y ∈ X como
x− y := x+ (−y).
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 28 / 64
Los ejemplos típicos
Ejemplos
1. (X,+, 0), con X = Z,Q,R,C, son grupos conmutativos.
2. (N,+, 0) no es grupo porque ningún natural n > 0 tiene inverso.
3. (N, • , 1) no es grupo porque ningún natural n ̸= 1 tiene inverso.
4. (Z, • , 1) no es grupo porque ningún entero m ̸= ±1 tiene inverso.
5. (Q, • , 1) no es grupo porque el número 0 no tiene inverso. De hecho es el úniconúmero racional que no tiene inverso multiplicativo. El mismo razonamientoaplica para el producto en R y C. En ningún caso son grupos
6. No obstante, los conjuntos Q\{0}, R\{0} y C\{0}, con el producto usual, songrupos conmutativos.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 29 / 64
Los ejemplos típicos
Ejemplos
7. Los espacios lineales con la suma de vectores (Rn,+, 0) son gruposconmutativos.
8. Dado un conjunto X, (℘(X),∪, ∅) y (℘(X),∩, X) son grupos si y sólo si X = ∅.
9. Dado un conjunto X, (℘(X),△, ∅) es grupo conmutativo, y para todo A ⊂ X, elinverso de A es A.
10. En general, dado un conjunto X, los espacios de funciones con la composición(X X, ◦, IdX) no son grupos. No obstante, si X ̸= ∅ y definimos
T(X) := {f : X → X : f es función biyectiva},
entonces (T(X), ◦, IdX) es un grupo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 30 / 64
El grupo de transformaciones
DefiniciónSea X ̸= ∅ y sea T(X) el conjunto de todas las funciones biyectivas, esto es,
T(X) := {f : X → X : f es función biyectiva},
Entonces (T(X), ◦, IdX) es un grupo llamado grupo de transformaciones de X.
EjemploSi |X| = 3, entonces (T(X), ◦) no es conmutativo. Sea X = {0, 1, 2}. Y consideremos lasbiyecciones Φ y Ψ dadas por
{0, 1, 2} Φ−→ {0, 1, 2} {0, 1, 2} Ψ−→ {0, 1, 2}
0 7−→ 0 0 7−→ 1
1 7−→ 2 1 7−→ 2
2 7−→ 1 2 7−→ 0
EntoncesΦ(Ψ(0)) = Φ(1) = 2 y Ψ(Φ(0)) = Ψ(0) = 1.
Por lo tanto Φ ◦Ψ ̸= Ψ ◦ Φ.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 31 / 64
Otro ejemplo
Sea k ∈ Z fijo, y sobre Z definimos la operación
z⊕ y := x+ y+ k, ∀ x, y ∈ Z.
Entonces (Z,⊕) es un grupo conmutativo.
1. ⊕ es conmutativa: Para todos x, y ∈ Z,
x⊕ y = x+ y+ k = y+ x+ k = y⊕ x.
2. ⊕ es asociativa: Para todos x, y, z ∈ Z,
x⊕ (y⊕ z) = x⊕ (y+ z+ k) = x+ (y+ z+ k) + k = x+ y+ z+ 2k
(x⊕ y)⊕ z = (x+ y+ k)⊕ z = (x+ y+ k) + z+ k = x+ y+ z+ 2k.
3. −k es le neutro relativo a ⊕: Para todo x ∈ Z,
x⊕ (−k) = x− k+ k = x.
4. Si x ∈ Z, entonces el inverso rel. a ⊕ de x es −x− 2k:
x⊕ (−x− 2k) = x− x− 2k+ k = −k.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 32 / 64
Propiedades de los inversos sobre grupos
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo y sean x, y ∈ X. Son equivalentes
(i) y es el inverso de x.
(ii) x es el inverso de y.
(iii) x ∗ y = e.
(iv) y ∗ x = e.
Demostración[(i) ⇔ (ii)] Consecuencia directa de la definición, como ya lo hemos visto.
[(ii) ⇒ (iii)] Es obvio. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 33 / 64
Propiedades de los inversos sobre grupos
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo y sean x, y ∈ X. Son equivalentes
(i) y es el inverso de x.
(ii) x es el inverso de y.
(iii) x ∗ y = e.
(iv) y ∗ x = e.
Demostración[(iii) ⇒ (iv)] Supongamos x ∗ y = e.
Sea x−1 el inverso de x.
En particular, x−1 es inverso izquierdo de x.
Pero y es inverso derecho de x.
Por lo tanto y = x−1 .
[(iv) ⇒ (i)] Ejercicio. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 34 / 64
Propiedades de los inversos
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todas x, y ∈ X,
(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,
(ii) x = (x−1)−1 (la función inversa es autoinversa),
(iii) x = y ⇔ x−1 = y−1 (la función inversa es inyectiva).
Demostración(i) Vamos a multiplicar el producto y−1 ∗ x−1 por el producto x ∗ y:
(x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = x ∗ (y ∗ y−1) ∗ x−1
= x ∗ e ∗ x−1
= x ∗ x−1
= e.
Así que por el teorema anterior, (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 .
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 35 / 64
Propiedades de los inversos
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todas x, y ∈ X,
(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,
(ii) x = (x−1)−1 (la función inversa es autoinversa),
(iii) x = y ⇔ x−1 = y−1 (la función inversa es inyectiva).
Demostración(ii) Es inmediato de la igualdad
x ∗ x−1 = e.
Lo que quiere decir es que el inverso de x−1 es x, o sea, x = (x−1)−1 .
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 36 / 64
Propiedades de los inversos
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todas x, y ∈ X,
(i) (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 ,
(ii) x = (x−1)−1 (la función inversa es autoinversa),
(iii) x = y ⇔ x−1 = y−1 (la función inversa es inyectiva).
Demostración(iii) Se sigue de inmediato dada la unicidad de los inversos en un grupo. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 37 / 64
Leyes de cancelación
TeoremaSea (X, ∗, e) un grupo. Para todo x, y, z ∈ X,
(i) Cancelación por la izquierda:
x ∗ y = x ∗ z ⇔ y = z.
(ii) Cancelación por la derecha:
y ∗ x = z ∗ x ⇔ y = z.
DemostraciónCancelación por la izquierda:
x ∗ y = x ∗ z ⇒ x−1 ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ (x ∗ y)⇒ (x−1 ∗ x) ∗ y = (x−1 ∗ x) ∗ z⇒ e ∗ y = e ∗ z⇒ y = z.
Y es claro quey = z ⇒ x ∗ y = x ∗ z. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 38 / 64
Ecuaciones en un grupo
TeoremaEn un grupo (X, ∗, e), cada una de las ecuaciones x ∗ a = b y a ∗ x = b admite soluciónúnica.
Demostración
x ∗ a = b ⇔ (x ∗ a) ∗ a−1 = b ∗ a−1 (ley cancelativa)
⇔ x ∗ (a ∗ a−1) = b ∗ a−1 (asociatividad de ∗)
⇔ x ∗ e = b ∗ a−1 (definición de inverso)
⇔ x = b ∗ a−1 (definición de neutro)
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Subgrupos
DefiniciónSea (G, ∗, e) un grupo y sea H un subconjunto no vacío de G tal que
x ∗ y ∈ G, ∀ x, y ∈ H. `
Decimos que H es un subgrupo de G si (H, ∗) es un grupo.
ObservaciónCuando se cumple la igualdad `, decimos que H es cerrado bajo ∗.
ObservaciónEn otras palabras, H es un subgrupo si y sólo si
1. G es cerrado bajo ∗,
2. la operación ∗ es asociativa en H,
3. H tiene neutro rel. a ∗,
4. y todo elemento en H tiene inverso en H rel. a ∗.
ObservaciónA veces decimos que H es subgrupo de G si es cerrado bajo ∗ y si hereda laspropiedades de G.
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Neutro e inverso en subgrupos
ProposiciónSi H es un subgrupo de un grupo (G, ∗, e), entonces el neutro en H rel. a ∗, coincidecon el neutro e; y para todo x ∈ H, el inverso de x en H relativo a ∗ coincide con x−1 .
DemostraciónSea eH ∈ H el neutro en H relativo a ∗, y sea x ∈ H cualquiera. Entonces
x ∗ eH = x.
Pero tambiénx ∗ e = x.
En consecuenciax ∗ eH = x ∗ e.
Así que por la ley cancelativaeH = e.
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Neutro e inverso en subgrupos
ProposiciónSi H es un subgrupo de un grupo (G, ∗, e), entonces el neutro en H rel. a ∗, coincidecon el neutro e; y para todo x ∈ H, el inverso de x en H relativo a ∗ coincide con x−1 .
DemostraciónAhora, sea x ∈ H y sea y el inverso de x en H rel. a ∗. Entonces
x ∗ y = e.
Perox ∗ x−1 = e.
De dondex ∗ y = x ∗ x−1.
Nuevamente por la ley cancelativa,
y = x−1.
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Ejemplos
Ejemplos
1. (Z,+, 0) es un subgrupo de (Q,+, 0), el cual es a su vez un subgrupo de(R,+, 0), el cual a su vez, es un subgrupo de (C,+, 0).
2. (Z\{0}, • , 1) es un subgrupo de (Q\{0}, • , 1), el cual es a su vez un subgrupo de(R\{0}, • , 1), el cual a su vez, es un subgrupo de (C\{0}, • , 1).
3. Un grupo (G, ∗, e) es un subgrupo de sí mismo. La tripleta ({e}, ∗, e) es tambiénun subgrupo, llamado subgrupo trivial de G.
4. El grupo de los cuatro elementos de Klein es el conjunto A = {a, b, c, d} con latabla de multiplicar
∗ a b c d
a a b c db b a d cc c d a bd d c b a
Es un grupo tal que e = a y para todo x ∈ A, x−1 = x. Observe que ({a, b}, ∗, a) esun subgrupo de este grupo.
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Subgrupos: condiciones suficientes y necesarias
TeoremaSea (G, ∗, e) un grupo sea H un subconjunto no vacío de G cerrado bajo ∗. Entonces Hes un subgrupo de G si y sólo si,
(i) e ∈ H, y
(ii) x−1 ∈ H para toda x ∈ H.
Demostración[⇒ ] Se sigue de la proposición anterior.
[⇐ ] Si H cumple (i) y (ii), entonces obviamente e es neutro en H rel. a ∗, y H tieneinversos (los inversos en X, de hecho). Y desde luego, dado que H ⊂ G, se sigue que ∗es asociativa en H. Es decir, H es grupo. ■
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Subgrupos de los espacios lineales Rn
Subgrupos de los espacios lineales Rn. La suma de vectores en R2 (en general en Rn)es una operación asociativa y conmutativa, y el inverso de todo vector (x, y) ∈ R2 es elvector −(x, y) = (−x,−y). Por lo tanto (R2,+, (0, 0)) es un grupo conmutativo.
Sea H = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x}.
Entonces:
El vector nulo (0, 0) está en H: En efecto
0 = 2 · 0.
Si (x, y) ∈ H, entonces y = 2x. Y por lo tanto
−y = −2x = 2(−x).
De donde−(x, y) = (−x,−y) = (−x, 2(−x)) ∈ H.
Así que H es un subgrupo de R2 .
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El subgrupo de las matrices simétricas
El grupo de las matrices simétricas. Sea Rm×n el conjunto de todas las matrices dem renglones y n columnas, con coeficientes relaes. De los cursos básicos de álgebra,sabemos que la suma de matrices es conmutativa y asociativa, el neutro es la matriznula 0m×n , y la matriz inversa de una matriz A = (aij)m×n es la matriz−A = (−aij)m×n .Por lo tanto (Rm×n,+, 0m×n) es un grupo conmutativo.
En particular el espacio (Rn×n,+, 0n×n) de las matrices cuadradas de tamaño n es ungrupo conmutativo.
Sea H el conjunto de todas la matrices cuadradas simétricas, esto es, de todas lasmatrices A = (aij)n×n tales que aij = aji .
Claramente la matriz nula 0n×n está en H.
Y si A = (aij)n×n es una matriz cuadrada simétrica, entonces −A = (−aij)n×n es unmatriz simétrica, dado que
−aij = −aji.
Así que H es un subgrupo de (Rn×n,+, 0n×n).
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El subgrupo de los elementos que conmutan
Dado un grupo (G, ∗, e) y a ∈ G fijo, definimos el conjunto
Ha = {x ∈ G : x ∗ a = a ∗ x}.
Esto es, Ha es el conjunto de todos los elementos de G que conmutan con a.
TeoremaHa es un subgrupo de G.
DemostraciónObserve que
e ∗ a = a = a ∗ e.
Por lo que e ∈ Ha . Y si x ∈ Ha , entonces x ∗ a = a ∗ x, y por lo tanto,
a = a ∗ e
= a ∗ x ∗ x−1
= x ∗ a ∗ x−1.
Multiplicando por x−1 ,x−1 ∗ a = a ∗ x−1.
Luego x−1 ∈ Ha . ■Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 47 / 64
Anillos
Anillos
DefiniciónUn anillo es un sistema (R,+, • , 0, 1) tal que R es un conjunto no vacío; 0 y 1 sonelementos de R; + y • son operaciones internas (llamadas suma y producto) talesque
(i) (R,+, 0) es un grupo conmutativo.
(ii) (R, • , 1) es un monoide.
(iii) • se distribuye sobre +: Para todos x, y, z ∈ R,
x • (y+ z) = x • y+ x • z (Ley Distributiva por la Izquierda)
(y+ z) • x = y • x+ z • x (Ley Distributiva por la Derecha).
Decimos que el anillo es conmutativo si además se cumple
(iv) • es conmutativa: Para todos x, y ∈ R,
x • y = y • x.
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Anillos: Observaciones a la definición
Observación1. 0 es llamado neutro o cero y 1 es llamado identidad o uno.
2. 0 y 1 son únicos.
3. Si el anillo es conmutativo, entonces cualquiera de las leyes distributivas implica laotra.
4. Las leyes cancelativas son válidas la suma +.
5. Muchos autores solo exigen que el producto • sea asociativo. En tal caso, cuandose tiene identidad 1 se dice que es un anillo con indentidad.
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Propiedad distributiva
LemaSea R un anillo y sean a1, a2, b1, b2 elementos de R. Entonces
(a1 + a2)(b1 + b2) = a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2.
LemaSea R un anillo y sean a1, ..., an, b ∈ R. Entonces
(a1 + · · ·+ an)b = a1b+ · · ·+ anb.
ProposiciónSea R un anillo. Si a1, ..., an y b1, ..., bm son elementos de R, entonces
(a1 + · · ·+ an)(b1 + · · ·+ bm) = a1b1 + · · ·+ anbm.
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Ejemplos
Ejemplos1. La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales (salvo N):(X,+, • , 0, 1), donde X = Z,Q,R,C, son ejemplos de anillo conmutativos.
2. Dado un conjunto X, el sistema (℘(X),△,∩, ∅, X) es un anillo conmutativo.
En efecto, ya sabemos que△ y ∩ son operaciones conmutativas y asociativas. Y no esdifícil probar que ∩ se distribuye sobre△.
Ahora, para todo A ⊂ X,
A△∅ = (A\∅) ∪ (∅\A) = A ∪ ∅ = A.
Y por otra parte,A ∩ X = A.
Así que ∅ es el neutro para△ y X es la identidad para ∩.
Observe que la diferencia simétrica△ no puede ser reemplazada por la unión ∪, sinque resulte una estructura trivial X = ∅. En efecto, si exigimos que (℘(X),∪, ∅) sea ungrupo, entonces X tiene inverso rel. a ∪, digamos Y, y por tanto se tiene X = X ∪ Y = ∅.
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Aritmética modular
Aritmética Modular. Dado un entero n ≥ 1, sea Zn el conjunto de las clases de equiva-lencia de la relación de congruencia ≡ módulo n en Z, dada por
a ≡ b (mód n) ⇔ n|a− b.
Generalmente se usa la notación
Zn = {0, 1, ..., n− 1} o bien Zn = {0, 1, ..., n− 1}.
La suma y el producto se definen como
a+ b = a+ b y a · b = a · b.
Entonces (Zn,+, ·, 0, 1) es un anillo conmutativo.
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El anillo Z6
El anillo Z6. Por ejemplo, las tablas de sumar y multiplicar de Z6 son
+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4
· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1
ObservaciónDecimos que los números 2, 3 y 4 son divisores de cero, debido a que cada uno deellos es distinto de 0 y, no obstante, se tiene que
2 · 3 = 0 = 3 · 2 y 3 · 4 = 0 = 4 · 3.
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El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo
El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo. Sea (K,+, • , 0, 1) un anillo con-mutativo. Un polinomio sobre K de grado n ≥ 0 es una función de K en K de la forma
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,
donde
• n ≥ 0,
• a0, ..., an son constantes en X,
• x es una variable con valores en X.
El conjunto K[x] de todos los polinomios con la suma y el producto usual de polinomioses un anillo conmutativo.
El neutro para la suma es el polinomio constante
n(x) = 0,
y el uno es el polinomio constante
u(x) = 1.
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El anillo de matrices cuadradas
El anillo de matrices cuadradas. El conjunto de las matrices cuadradas de tamañon ≥ 1, con coeficientes en R, con la suma y el producto usual de matrices es un anillo.
El neutro para la suma es la matriz nula 0n×n (cuyas entradas son todas cero), y laidentidad es la matriz identidad In×n cuyas diagonal tiene solo 1’s y el resto de lasentradas son iguales a 0.
En general este anillo no es conmutativo.
Por ejemplo, sea n = 2 y consideramos las matrices
A =
(1 10 1
)y B =
(1 01 1
),
entonces
AB =
(1 10 1
)(1 01 1
)=
(2 11 1
)y BA =
(1 01 1
)(1 10 1
)=
(1 11 2
).
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 55 / 64
Propiedades de un anillo
TeoremaSea (X,+, • , 0, 1) un anillo. Entonces
1. Para todo x ∈ X,0x = x0 = 0
2. Para todo x ∈ X,(−1)x = x(−1) = −x.
Demostración1. Para toda x ∈ X,
0x+ 0 = 0x = (0+ 0)x = 0x+ 0x.
Por la propiedad cancelativa,0x = 0.
Análogamente se prueba x0 = 0. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 56 / 64
Propiedades de un anillo
TeoremaSea (X,+, • , 0, 1) un anillo. Entonces
1. Para todo x ∈ X,0x = x0 = 0
2. Para todo x ∈ X,(−1)x = x(−1) = −x.
Demostración2. Para toda x ∈ X,
(−1)x+ x = (−1)x+ 1x = (−1+ 1)x = 0x = 0.
Se sigue que (−1)x es el inverso de x, es decir, (−1)x = −x.
Análogamente se prueba x(−1) = −x. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 57 / 64
Propiedades de un anillo
TeoremaSea (X,+, • , 0, 1) un anillo. Entonces
1. Para todas x, y ∈ X,(−x)y = x(−y) = −xy.
2. Para todas x, y ∈ X,(−x)(−y) = xy
Demostración1. Para todas x, y ∈ X,
(−x)y+ xy = (−x+ x)y = 0y = 0.
Se sigue que (−x)y es el inverso de xy, esto es, (−x)y = −xy.
Análogamente se prueba x(−y) = −xy. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 58 / 64
Propiedades de un anillo
TeoremaSea (X,+, • , 0, 1) un anillo. Entonces
1. Para todas x, y ∈ X,(−x)y = x(−y) = −xy.
2. Para todas x, y ∈ X,(−x)(−y) = xy
Demostración2. Para todas x, y ∈ X,
(−x)(−y) = −(x(−y))
= −(−xy)
= xy.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 59 / 64
Campos
Campos
DefiniciónUn campo (o cuerpo) es un anillo (F,+, • , 0, 1) tal que (F\{0}, • , 1) es un grupoconmutativo.
Observación1. En un campo (F,+, • , 0, 1), 0 ̸= 1. Por lo tanto, todo campo tiene al menos doselementos.
2. En un campo valen las leyes de cancelación
(i) Para todo x, y, z ∈ F,x+ y = x+ z ⇔ y = z.
(ii) Para todo x, y, x ∈ F, si x ̸= 0,
xy = xz ⇒ y = z.
EjemplosLos conjuntos de números usuales (salvo N y Z) con las operaciones usuales son losejemplos típicos de campo:
(X,+, • , 0, 1), con X = Q,R,C.Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 60 / 64
Un campo no tiene divisores de cero
TeoremaUn campo (F,+, • , 0, 1) no tiene divisores de cero. Esto es, para todas x, y ∈ F,
x y = 0 ⇔ x = 0 ó y = 0.
DemostraciónSean x, y ∈ F tales que x ̸= 0 y xy = 0. Dado que F\{0} es un grupo, existe x−1
inverso de x. Luego,
y = 1y = (x−1x)y = x−1(xy) = x−10 = 0.
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EjemploEl anillo (Z,+, • , 0, 1) no tiene divisores de cero, pero no es campo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 61 / 64
El grupo de unidades de un anillo
DefiniciónUna unidad en un anillo (R,+, • , 0, 1) es un elemento de R con inverso multiplicativo.El conjunto de todas las unidades se denota como R× .
ObservaciónUn anillo (F,+, • , 0, 1) es un campo si y sólo si F× = F \{0}
Ejemplos
1. El conjunto de unidades de Z es {−1, 1}.
2. El conjunto de unidades de Z6 es {1, 5}.
3. El conjunto de unidades del anillo de las matrices cuadradas de tamaño n concoeficientes en R, es el subgrupo de las matrices invertibles.
ProposiciónSi (R,+, • , 0, 1) es un anillo entoces (R×, • , 1) es un grupo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 62 / 64
Unidades del anillo Zn
TeoremaConsideremos el anillo Zn de los enteros módulo n ≥ 1. Entonces
Z×n = {a ∈ Zn : (a; n) = 1}.
DemostraciónSi (a; n) = 1, existe una combinación lineal entera de a y n tal que az+ nw = 1. Dedonde az = 1, por lo que z es el inverso multiplicativo de a.
Recíprocamente, si a tiene inverso multiplicativo z, entonces az = 1. Esto esaz ≡ 1 (mod n). Equivalentemente, n | az− 1, lo que significa que para algún enterow, az− 1 = nw ó bien 1 = az− nw. Se sigue que (a; n) = 1. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 63 / 64
Los campos Zp
TeoremaZn es campo si y sólo si, n es primo.
Demostración
Zn es un campo ⇔ Zn\{0} = Z×n
⇔ {1, 2, ..., n− 1} = {a ∈ Zn : (a; n) = 1}
⇔ (k; n) = 1 ∀ 1 ≤ k ≤ n
⇔ n es primo.
■
CorolarioSea n ≥ 1. Entonces Zn es campo si y sólo no tiene divisores de cero.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 64 / 64