Álgebra expresiones algebraicas

www.matematicadeoctavo.weebly.com CONCEPTOS GENERALES DE ÁLGEBRA 8º

Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 31

ÁLGEBRA – EXPRESIONES ALGEBRAICAS

HISTORIA…

Si bien la palabra “álgebra” viene del vocablo árabe “al-Jabr”, sus orígenes se remontan

a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que

fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron

capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos.

CONCEPTOS

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que

mientras en Aritmética las cantidades se representan por números, en Álgebra las cantidades

están representadas por letras, las cuales, a su vez, pueden representar cualquier valor que le

asignemos.

Así pues, los símbolos utilizados en Álgebra para representar cantidades pueden ser de dos

tipos: números y letras.

En Álgebra se utilizan tres tipos de signos:

Operación (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación),

Relación (menor que “ < ”, mayor que “ > ” e igual que “ = ” )

Agrupación (paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } ).

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama expresión algebraica a toda agrupación de números y letras unidas por los signos

de las operaciones aritméticas. Así, por ejemplo, una expresión algebraica será:

Las expresiones algebraicas pueden ser: enteras, fraccionarias, racionales e irracionales.

Se llama término de una expresión algebraica a

las cantidades que están separadas por los signos más

( + ) o menos ( – ). Así, por ejemplo, la expresión

algebraica x – 3y consta de dos (2) términos que

son: x y – 3y.

En todo término algebraico pueden distinguirse

cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la variable

o parte literal y el grado o exponente.

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Ejemplos:

En el siguiente cuadro, determine los elementos de cada término…

TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL EXPONENTE

5 + 5 ------ ------

z + 1 z 1

– 3x4 – 3 x 4

– 9m3n2r – 9 m n r m: 3 , n:2 , r:1

3x2y x: y:

– 5x3y2z x: y: z:

– 8m4n5p6 m: n: p:

CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS

CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS

Término Positivo Son los que van precedidos del signo

positivo. mnxyxy 25,0,

2

1,2

Término Negativo Son los que van precedidos del signo

negativo. 2,,

4

3 22 nmxyzyx

Término Independiente Dentro de una expresión algebraica, es

aquel que sólo es un número, es decir no

presenta variables o letras.

En x + 2, el término

independiente es 2.

Término Entero Son aquellos que no presentan

denominadores. 4mn , 3m2n3

Término Fraccionario Son aquellos que presentan denominadores

literales. z

xy

m 5,

3

2

Término Racional Son aquellos que no contienen letras bajo el

signo radical. 239,5 nmxy

Término Irracional Son aquellos que contienen letras bajo el

signo radical. xmn

5

3,4

Términos Semejantes

Son los que tienen sus mismas variables

(parte literal) y elevado al mismo

exponente.

5xy y 7xy

23

3

1nm y 23

5

2nm

Términos No

Semejantes

Cuando sus partes literales o variables son

diferentes o cuando tienen su misma

variable pero exponentes diferentes.

a2b2 y 3m2n3

6xy y 2x2y

Términos Opuestos Son dos términos semejantes pero sus

coeficientes son números opuestos.

De 5m3n2, el opuesto es –5m3n2

De – 6ab, el opuesto es 6ab

Términos Iguales Son términos semejantes y tienen

coeficientes iguales. 7x2y y 7x2y

– 5mn y – 5mn




CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican dependiendo de la cantidad de términos en:

Monomios: Expresiones algebraicas que constan de un solo término. Ejemplo: 4x2y3z

Binomios: Expresiones algebraicas que constan de dos términos. Ejemplo: 4x – 5y

Trinomios: Expresiones algebraicas que constan de tres términos. Ejemplo: 2xy + 4y – 6xz

En general, las expresiones algebraicas que constan de dos o más términos reciben el

nombre de polinomios.

GRADO DE UN TÉRMINO

El grado de un término puede ser: absoluto o relativo (con relación a una letra).

Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, por ejemplo,

3x (primer grado, 1°) , 2x2y4 (sexto grado, 6°) , 4x2y3z4 (noveno grado, 9°).

Grado Relativo: es el valor que tiene el exponente de la letra que se asigna. Así, por

ejemplo, 6x3y2 (tercer grado con respecto a la x, segundo grado con respecto a la y).

PRÁCTICA #7

I. A partir de los datos proporcionados, complete el siguiente cuadro.

TÉRMINOS SIGNOS COEFICIENTES PARTE

LITERAL EXPONENTES

m

– 6

5xyz

x: y: z:

nm5

8

5

m: n:

mnr

m: n: r:

– 6,9amx

a: m: x:

10x3y

x: y:




II. Clasifique los siguientes términos. Puede encerrar más de una categoría.

a) 3 2x Entero Racional Irracional Positivo Negativo

b) – 3x2z Entero Racional Irracional Positivo Negativo

c) 3 8 a3bc Entero Racional Irracional Positivo Negativo

d) 75

5

2nm Entero Racional Irracional Positivo Fraccionario

III. Indique si las expresiones dadas son: monomio, binomio, trinomio o

polinomio.

a) (3x2)(4y) + 3x _______________________

b) 3x3y + 4x2y2 + 5xy3 _______________________

c) 2xyz _______________________

d) (8mn)(4n) – 7m – 4n + 1 _______________________

e) (4xy)(3yz)(2xz) _______________________

f) 2ax + 5am2 – 6ax3 _______________________

g) ab + cd + ef _______________________

h) (4ab)(2) – 6a + 7b – 6 _______________________

i) 43

4

1

3

1tx _______________________

IV. Escriba el grado relativo solicitado en los siguientes términos.

a) 6m5n3 ; m _________________ , n __________________

b) 3x8y5z ; x __________________ , y __________________ , z ________________

c) a2b6c7; a __________________ , b __________________ , c ________________

V. Diga el grado absoluto en los siguientes términos.

a) x4yz8 _________________________ b) 1,2ab3cd3 _______________________

c) 5m8n5 ________________________ d) mx7y5 _______________________

e) xyz6 ________________________ f) xy3z9 _______________________




GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio puede ser: absoluto o relativo.

Grado Absoluto: Es el grado del término que tiene el mayor grado absoluto en el

polinomio. Así, por ejemplo: El polinomio x5 –5x3 + x2 + 6x es de quinto grado, pues

su término de mayor grado es x5.

Grado Relativo: Es el grado con respecto a una letra del polinomio, luego el grado

relativo es el mayor exponente que tenga dicha letra. Así, por ejemplo: El polinomio

a5 – a4b2 + a3b + a2b3 es de quinto grado con respecto a la “a” y de tercer grado con

respecto a la “b”.

ORDEN DE UN POLINOMIO

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra, si los exponentes de dicha

letra van aumentando o disminuyendo. La letra escogida recibe el nombre de letra ordenatriz.

Orden Ascendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van aumentando desde el

menor hasta el mayor. Así, por ejemplo; 5x + 3x2 –4x3 + 5x4 está ordenado en forma

ascendente con respecto al “x”.

Orden Descendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo desde

el mayor hasta el menor. Así, por ejemplo; b5 + 6ab4 –7a2b3 – a3b2 + a4b está

ordenado en forma descendente con respecto a la “b”.

PRÁCTICA #8

I. Escriba el grado absoluto de los siguientes polinomios.

a) x + x2 + x3 + x4 _________________________

b) 5b – 3b2 + 4b4 – 6 _________________________

c) a5 + a4b –6a3b2 + x2y4 – 2y6 _________________________

d) 8 – x6 + 2x5 – x3 _________________________

II. Escribe el grado relativo de cada polinomio con respecto a la letra solicitada.

a) t6 – 3m3t4 – 2m2 + 8 m __________________ , t __________________




b) xy5 – y6 + 3x4y4 – 5x3y3 x __________________ , y __________________

c) m4nt5 – 7m2t2 + 4n5t4 – m3n2t3 m _________ , n __________ , t __________

d) r3s2t3 + x6y11 – m10 + r15 – s16 m _________ , r _________ , s _________

t __________ , x __________ , y __________

e) 3b6m4 – 9bm3 + b4m6 + b5 b _______________ , m _______________

III. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios.

a) m6n8 + 3m2n4 – m5n7 + m3n5 con respecto a:

Ascendente (m) : ___________________________________________________________

Descendente (n): ____________________________________________________________

b) 7bx2 – 2b3 + 4b2x + x3 con respecto a:

Ascendente (x) : ___________________________________________________________

Descendente (b): ___________________________________________________________

c) –6r3t4 – 5r6t + 8r2t5 – t7 con respecto a:

Ascendente (t) : ___________________________________________________________

Descendente (r): ___________________________________________________________

d) –10t15n12 + 4t12n3 – 8t6n5 – 15t3n6 + n7 – 8t9n4 + t18n con respecto a:

Ascendente (n) : ___________________________________________________________

Descendente (t): ____________________________________________________________

e) y12 – x9y6 + x12y4 – x3y10 con respecto a:

Ascendente (y) : ___________________________________________________________

Descendente (x): ___________________________________________________________




PRÁCTICA #9

I. Clasifique, según la cantidad de términos, las siguientes expresiones algebraicas. (1) Monomio / (2) Binomio / (3) Trinomio / (4) Polinomio

a) ( 4x3

3a2 ) (

8m

3n) 1 2 3 4

b) 5x3 + √ 3a − 25x

y 1 2 3 4

c) (−7𝑥3)(−8𝑦3)(−5𝑧2) 1 2 3 4

d) (17𝑎2)(−3𝑏2) + (−9𝑐)(5) 1 2 3 4

e) 4a3b − 7a2b2 − 9ab3 − 15 1 2 3 4

f) 2x4y3z 1 2 3 4

g) − 1,2m + n 1 2 3 4

h) 4x2 + 3x + 7 1 2 3 4

i) x5 + x4 + x3 – x2 – x + 7 1 2 3 4

II. Indique al lado de cada expresión algebraica el grado absoluto y el grado relativo solicitado.

a) 5a4b3c _____ , b : _____

b) 4a3 − 8a2b4 + 5ab5 _____ , a : _____

c) 5x2y3 − 6xy2 + 8y3 _____ , x : _____

d) 4mn4 − 9m2n3 + 7m3n2 _____ , m : _____

e) 12m5n4 − 15m4n3 − 6m3n2 _____ , n : _____

f) 2xyz + 3x3y4 + 5xy8 _____ , z : _____

g) 8x9yz − 3xyz + 11x4y4z4 _____ , y : _____

h) − x6y + x5y2 − x4y3 + x3y4 _____ , x : _____

i) 2x3 + 4x4y5 − 3xy6 − 3xy6 + y7 _____ , y : _____

j) 8x3y2z + 2x4y3z + 6x5y4z5 _____ , z : _____




III. En la siguiente lista de términos, encierra cada grupo de términos semejantes. Utiliza colores diferentes para identificar cada grupo.

0,5x2y 4xy2 2,3ab2 3a4bc

𝟐

𝟑 𝒙𝒚

2

3 a4bc

x2y −6ab2

5ab −10𝑥𝑦

2

5𝑥2

8x2y

−3,4𝑥2 −7xy2 4𝑥𝑦 𝑥𝑦

IV. Clasifique, atendiendo a su condición, los siguientes términos. Coloque equis (X) en las casillas correspondientes.

Términos Positivo Negativo Entero Fraccionario Racional Irracional

2xy

5𝑧3

√3 p2qr

√−32 5

mn

− 𝒘𝟐

𝟐𝐩

– 8a3b

√27𝑎6𝑏9 3

1

√ 3x

7,4x2y3z4

−9,5abc

− 1

5x

−z




V. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios, según lo solicitado en cada uno.

a) 2a3b2 – 5ab3 + 2a2b + b5 – 3a4

Ascendente (b) : ___________________________________________________________

Descendente (a): ____________________________________________________________

b) 8m6x3 – 5m2x4 + 3m + 5m4x2 – 2m3x

Ascendente (m) : ___________________________________________________________

Descendente (x): ___________________________________________________________

c) 7x3yz2 – 5xy + 3x2y + 8x5 – 3z

Ascendente (x) : ___________________________________________________________

d) 2n6 + 8m5n + 7m3n2 – 4mn + 7m4

Descendente (m): ____________________________________________________________

e) 8x3yz2 – 10xy + 2x2y + 5x5 – 2z

Ascendente (x) : ___________________________________________________________

f) 12y2z3 – 4y8z3 + 4y5z2 + 3yz – 4y3z2

Descendente (y): ___________________________________________________________


Álgebra expresiones algebraicas

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