leyes delossignos pdf

http://www.comoaprendomatematicas.com Como Aprendo Algebra Por: Adolfo Chapuz Benítez

1

Como Aprendo Algebra. Leyes de los Signos

Por: Adolfo Chapuz Benítez.

Temario.

2. Fundamentos de Aritmética.

2.1 Introducción

2.2 Leyes De Los Signos.

2.1 Introducción.

Si algo en las matemáticas es fundamental son las leyes de los signos, herramientas

básicas que si aún no dominas, ya es momento que decidas de una vez por todas

hacerlo porque de ellas depende toda la matemática de nivel más avanzado.

ELIMINA TODA DISTRACCIÓN: APAGA TU CELULAR, LA TV, CIERRA EL

MESENGER, EL FACEBOOK, CIERRA LA PUERTA DE TU HABITACIÓN Y DI

QUE NO ESTÁS PARA NADIE, PORQUE ES VITAL QUE TODA TU ATENCIÓN

ESTÉ PUESTA EN ESTE CONCEPTO.

Olvídate de que aun no has aprendido este tema, por eso estás aquí en este

momento para aprender. Al terminar de ver este documento y los videos, te

aseguro que las leyes de los signos para la aritmética son pan comido para ti.

Agárrate de tu asiento, abróchate el cinturón de seguridad porque nos vamos de

viaje al mundo del álgebra…

La aritmética trata sobre las propiedades de los números ENTEROS

,...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,...,Z y de 2 operaciones básicas:

Suma (+) y Multiplicación o Producto (•).


2

De estas 2 operaciones se derivan la resta, la división, las potencias, raíces

cuadradas, cúbicas, etc.

En el conjunto Z “viven” números (enteros) positivos, negativos y el cero.

Geométricamente se representan en la recta numérica como usualmente se conoce:

los negativos hacia la izquierda, los positivos a la derecha y como origen el cero que

se ubica en el centro de la recta.

Los números positivos nos representan cantidades que son enteras y originalmente

se usaban para contar, los números negativos se pueden interpretar como los

opuestos de los números positivos y el cero simplemente es el neutro que no tiene

signo.

También podemos interpretar la magnitud del número como la distancia que hay

desde el cero a dicho número y el signo nos indica si el número se ubica a la

derecha o a la izquierda.

Si a es un entero entonces para representar su opuesto usamos el símbolo o signo

NEGATIVO de la siguiente forma a .

Gráficamente a se ubica de otro lado de la recta: si a está a la derecha entonces

a está a la izquierda y viceversa.

Por ejemplo: el 4 se ubica 4 unidades a la derecha el cero pero -4 se ubica 4

unidades a la izquierda.

El opuesto (o negativo) de 5a , se ubica del otro lado de la recta, es decir del

lado derecho y 5)5( a …

…de aquí podemos ver que “menos menos 5 ” es igual a 5….

… esto nos lleva a una de las leyes de los signos que más adelante veremos: “menos

por menos = más”.

Los números van de a , pasando por el cero, de tal manera que podemos

hablar de suma y multiplicación de números “positivos” con “positivos”,

“negativos” con “negativos” y de la combinación de “positivos” con “negativos”.

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5


3

Existen 2 leyes de los signos, una para la suma y otra para la multiplicación y a su

vez, para cada operación existen leyes para signos iguales y para signos diferentes.

Sin más rollo, vamos al grano.

2.2 Leyes de los Signos.

I.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA.

a). Signos Iguales.

“Para sumar 2 cantidades del mismo signo, se escribe el mismo signo y las

cantidades se suman”

b). Signos Diferentes.

“Para sumar 2 cantidades de signos diferentes, se escribe el signo de la cantidad

mayor (en valor absoluto) y las cantidades se restan”.

Cantidad Mayor- Cantidad menor.

Notas importantes:

i) Cuando hablamos de “suma” nos referimos a cantidades que pueden

ser positivas o negativas, así que en ocasiones una “suma” puede

parecer una resta: 5+ (-7)= 5-7.

ii) El signo de una cantidad siempre se identifica a la izquierda de ella.

LEYES DE LOS SIGNOS

SUMA

PRODUCTO

Signos Iguales

Signos Contrarios

Signos Iguales

Signos Contrarios


4

iii) El principal problema a la hora de aplicar estas leyes consiste en no

saber identificar cuando aplicar la ley de la suma o producto.

Para resolver este asunto observa bien el siguiente diagrama, donde

te muestro la diferencia que hay en la representación de una suma y

un producto:

Simbología de una Suma. Simbología de Un Producto. 2-3 (2)(-3) -1-1 (-1)(-1)

8

7

2

3

8

7

2

3

5+8 (5)(8)

La diferencia básica se encuentra en el uso de los paréntesis.

iv). Para aplicar correctamente estas leyes y hacer bien las

operaciones involucradas, primero debes determinar el signo y

después hacer las operaciones correspondientes.

v). Estas leyes se han enunciado para 2 cantidades, el uso de ellas

cuando tenemos 3 o más cantidades igualmente es fácil, basta con

agrupar de todos las cantidades negativas por un lado, y por otro lado

las positivas y simplificar conforme a los ejemplos que vamos a tratar

más adelante.


5

Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley de los

signos para la suma.

I. Suma de Cantidades con Signos Iguales.

PRECAUCIÓN: ES SUMA

¡Aquí no vale eso de “menos por menos” ni cosa por el estilo!

Nivel Básico.

853). a

El caso más simple ocurre cuando las dos cantidades son positivas, es la suma

ordinaria: 3+5=8.

523). b

En este segundo caso es la suma de 2 cantidades negativas: -3 y -2, aquí primero

escribimos el signo negativo y luego se suman las cantidades sin el signo,

obteniendo -5.

La idea que está detrás de esta suma, es la de sumar “los signos negativos” como si

estuviéramos sumando manzanas o peras: “3 negativos” mas “2 negativos” es igual

a “ 5 negativos”.

Ver el siguiente diagrama:

Simplemente es contar cuantos negativos hay en total.

Observa los siguientes ejemplos resueltos de la misma manera:


6

642).

1798).

633).

111).

1376).

431).

1349).

1495).

j

i

h

g

f

e

d

c

Nivel Intermedio.

181395). c

Aquí tenemos la suma de más de dos cantidades negativas. Se procede de la misma

manera, se antepone el signo NEGATIVO y posteriormente se suman dichas

cantidades. El resultado es -18.

227249). d

Aquí tenemos puras cantidades positivas, por lo que no hay problema en sumarlas

como usualmente se hace, el resultado es 22.

Otros ejemplos resueltos:

46134425).

298498).

41231233).

63111).

289676).

25111031).

205249).

246495).

j

i

h

g

f

e

d

c


7

Para practicar:

Nivel Básico.

1421).

1918).

44).

141).

93).

131).

411).

93).

56).

48).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.

11411421).

185107).

211273).

13531).

19964).

111253).

1512219).

6312).

9936).

9863).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Avanzado.


8

3641972469242).

431261986398).

11297538643).

57892611011).

912839776).

98521131).

321101349).

3187531).

747189731).

747289731).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


9

II. Suma de Cantidades con Signos Diferentes.

En este caso primero elegimos la cantidad que es “mayor” y observamos el signo

que esta tiene. Luego hacemos la resta: “cantidad mayor MENOS cantidad menor”.

Nivel Básico.

253). a

En este ejemplo la cantidad mayor es el “5” cuyo signo es negativo (recuerda que el

signo de una cantidad está a su izquierda). ¿De acuerdo?

Entonces escribimos el signo: -

Luego hacemos la resta: 5-3=2. En este paso nos olvidamos del signo, porque ya lo

tomamos en cuenta al principio. El resultado final se obtiene juntando le signo – y

el 2 esto es: -2.

253). b

En este ejemplo la cantidad mayor es el “5” cuyo signo es POSITIVO (recuerda que

el signo de una cantidad está a su izquierda). ¿De acuerdo?

Entonces escribimos el signo: +

Luego hacemos la resta: 5-3=2. El resultado final se obtiene juntando el signo + y

el 2 esto es: +2.

Nota: En el resultado +2, se omite el signo +.

Observa el resultado de cada ejemplo dados a continuación.

022).

198).

693).

9101).

176).

231).

549).

495).

j

i

h

g

f

e

d

c


10

Nivel Intermedio.

4653).a

La idea consiste en agrupar por separado las cantidades negativas de las positivas y

luego aplicar las leyes para cantidades que tienen signos diferentes, veamos el

siguiente desarrollo:

6

612

64534653

Primero juntamos las cantidades -3, -5, -4 y se simplifican por separado para

finalmente operar con el único número positivo que es 6. El resultado se reduce a

calcular -12+6= -6 (se pone el signo del mayor, y se hace la resta).

??46125611). b

Desarrollo: Usamos la misma idea.

0

2222

4126651146125611

Observa y escribe los siguientes ejemplos en tu libreta de notas.


11

12

2133

119174895117498195).

c

4

1620

3103187413871043).

d

54

8228

11711531451715311145).

e

Para Practicar:

Básico.

42).

98).

34).

110).

66).

91).

49).

95).

53).

53).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


12

Intermedio.

4242).

1598).

5434).

74110).

11066).

31291).

1849).

8195).

4653).

4653).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Avanzado.

1027651928393918542).

353157658372528).

1117592818224).

298754321110).

42173986).

672423191).

492579).

139895).

53109553).

5109763).

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


13

II.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO.

a). Producto de cantidades con Signos Iguales.

“El Producto De 2 Cantidades que tienen el mismo signo siempre es POSITIVO”

Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley de los

signos para el producto.

PRODUCTO CON SIGNOS IGUALES.

Nivel Básico.

Notemos que en el producto usamos paréntesis para que no haya confusión con la

operación de suma, aún cuando las cantidades sean positivas. Recuerda: no es lo

mismo -3-5=-8 que (-3)(-5)=15.

Para hacer uso correcto de estas leyes primero determinamos el signo del resultado

(recordando que, para 2 cantidades, signos iguales nos da POSITIVO y signos

diferentes nos da NEGATIVO) y posteriormente las cantidades se multiplican.

Observa los siguientes ejemplos “directos”.

Nivel Básico (2 factores).

(+)(+)=+

(-)(-)=+


14

5

3

20

12)

5

4)(

4

3).(

63)9)(8).(

9)3)(3).(

1)1)(1).(

42)7)(6).(

3)3)(1).(

36)4)(9).(

45)9)(5).(

15)5)(3).(

15)5)(3).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.

En estos ejemplos vamos aumentar el número de factores (cantidades).

Secreto# 1: Si el número de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es IMPAR, el

resultado SIEMPRE será NEGATIVO.

¿Por qué? Es simple podemos agrupar las cantidades de 2 en 2 (lo cual siempre

será positivo) y siempre nos va a quedar una cantidad negativa “sola” sin un

“compañero”, y eso hará que el signo de esa cantidad sea el signo de todo el

resultado.

Secreto# 2: Si el número de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es PAR, el

resultado SIEMPRE será POSITIVO.

140

)7)(20()7)(5)(4).(

a

Nota: Aquí podemos aplicar el secreto # 1 sin necesidad de agrupar de 2 en 2,

porque tenemos 3 (impar) cantidades negativas.

140

)7)(5)(4()7)(5)(4(

Realizamos (-4)(-5)=20 y el

resultado lo multiplicamos

por -7.

Como tenemos un número

impar de factores (3), sólo

anteponemos el signo negativo

y luego multiplicamos los

números.


15

270

)6)(45()2)(3)(9)(5).(

b

Nota: Aquí podemos aplicar el secreto # 2 sin necesidad de agrupar de 2 en 2,

porque tenemos 4 (par) cantidades negativas.

270

)2)(3)(9)(5()2)(3)(9)(5).(

b

Observa Y escribe en tus notas los siguientes ejemplos resueltos.

He agrupado de 2 en 2, y en ocasiones sobra una cantidad negativa.

160

84)

8

7)(

5

4)(

4

3).(

648)6)(4)(27()3)(2)(4)(1)(9)(3).(

27)3)(3)(3).(

18)3)(6)(1()3)(3)(2)(1)(1).(

210)5)(7)(6).(

486)54)(3)(3()9)(6)(1)(3)(3)(1).(

9072)4)(9)(7)(4)(9).(

90)2)(45()2)(9)(5).(

2520)5)(8)(7)(3)(3).(

240)16)(15()4)(4)(5)(3).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Agrupamos (-5)(-9) y (-3)(-2),

obteniendo 45 y 6,

respectivamente. Luego

multiplicamos los resultados

obtenidos.

Como tenemos un número par de

factores (4), sólo el resultado será

POSITIVO y luego multiplicamos

los números. En realidad los

signos negativos desaparecen.


16

Nivel “avanzado”.

En este tipo de ejemplos vamos a utilizar algunos de los símbolos de

agrupación como el paréntesis, el corchete y las llaves. Pon mucha

atención a este tipo de ejercicios.

La idea consiste en ir eliminando los paréntesis de adentro hacia afuera, aplicando

las leyes de los signos para la multiplicación.

5

)5(

))5(().

a

5

)5(

))5((

)))5((())))5(((().

b

Paso1. Eliminamos el paréntesis de

adentro multiplicando los signos

negativos.

Paso 2. Obtenemos un solo

paréntesis, el cual vamos a eliminar

multiplicando una vez más los signos.

Nota: Eliminamos sucesivamente los

paréntesis de adentro hacia afuera,

en cada paso se eliminan una pareja,

multiplicando los signos

correspondientes.

Recuerda observar bien el número de

paréntesis que van quedando.


17

64

)32(2

))8(4(2

)))1(8(4(2

))))1((8(4(2

)))))1(((8(4(2)))))65(((8(4(2).

c

704

)352(2

))88(4(2

)))11(8(4(2

))))11((8(4(2

)))))11(((8(4(2)))))65(((8(4(2).

d


18

Para Practicar:

Nivel Básico.

Desarrollar los siguientes productos.

)7

2)(

4

3).(

)19)(8).(

)5)(13).(

)11)(12).(

)9)(6).(

)13)(11).(

)7)(2).(

)6)(5).(

)15)(3).(

)2)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.


)8

1)(

5

8)(

5

2).(

)3)(9)(3)(11)(8)(3).(

)6)(4)(3).(

)8)(6)(2)(5)(2).(

)6)(9)(6).(

)9)(7)(2)(7)(4)(21).(

)5)(3)(6)(4)(5).(

)8)(2)(3).(

)3)(7)(9)(4)(3).(

)4)(8)(6)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


19


)))))))1((((((().

)))))21(5(6(9(4(3).

)))))1(3(6(9(4(3).

))))2(((().

)))1(((2).

e

d

c

b

a

b). Producto de Cantidades con Signos Diferentes.

“El Producto De 2 Cantidades que tienen signos DIFERENTES, SIEMPRE es

NEGATIVO”

No importa el orden en que aparezcan los signos…el resultado SIEMPRE ES

NEGATIVO.

(+)(-)= -

(-)(+)= -


20

Ejemplos.

Nivel Básico.

Empezamos con ejemplos directos con sólo 2 cantidades de signos contrarios.

Debemos observar que siempre el producto, bajo estas condiciones, será

NEGAVITO. Además No importa el orden en que aparezcan los signos.

5

3

20

12)

5

4)(

4

3).(

63)9)(8).(

9)3)(3).(

1)1)(1).(

42)7)(6).(

3)3)(1).(

36)4)(9).(

45)9)(5).(

15)5)(3).(

15)5)(3).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.

En este tipo de ejercicios vamos aumentar el número de cantidades de diferentes

signos.

OJO! Para hacer el producto más rápido vamos aplicar los siguientes 2 secretos:

Secreto# 1: si el número de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es IMPAR, el

resultado SIEMPRE será NEGATIVO.

Secreto# 2: si el número de cantidades NEGATIVAS por multiplicar es PAR, el

resultado SIEMPRE será POSITIVO.

De hecho, con estas observaciones no debes preocuparte por las cantidades que

tengan signo positivo.


21

980)7)(7)(5)(4).( a

1568)7)(7)(8)(4).( b

1)1)(1)(1)(1)(1)(1).( c

113400)9)(5)(4)(21)(10)(3).( d

El signo del resultado es negativo,

porque tenemos un número

impar de factores. Multiplicamos

las cantidades.

El signo del resultado es positivo,

porque tenemos un número par

de factores negativos (2).

Multiplicamos las cantidades.

El signo del resultado es Negativo, porque

tenemos un número impar de factores

negativos (5). Luego simplemente

multiplicamos las cantidades.

El signo del resultado es Negativo, porque

tenemos un número impar de factores

negativos (3). Luego simplemente

multiplicamos las cantidades.


22

Para Practicar.

Nivel Básico.


)7

2)(

4

3).(

)19)(8).(

)5)(13).(

)11)(12).(

)9)(6).(

)13)(11).(

)7)(2).(

)6)(5).(

)15)(3).(

)2)(4).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Nivel Intermedio.


)8

1)(

5

8)(

5

2).(

)3)(9)(3)(11)(8)(3).(

)9)(4)(3)(6)(4)(3).(

)8)(6)(2)(5)(2).(

)3)(6)(9)(6).(

)9)(7)(2)(7)(2)(21).(

)5)(3)(6)(4)(15).(

)21)(5)(8)(2)(3).(

)7)(3)(7)(9)(4)(3).(

)4)(8)(6)(6).(

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a


23


))))))1(((((().

)))))21(5(7(9(4(3).

)))))1(3(9(9(4(3).

))))2(4(6(().

)))1(7(5(2).

e

d

c

b

a


24

Resumen.

Visita http://www.comoaprendomatematicas.com

Te saluda Adolfo Chapuz Benítez.

I.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA.

a). Signos Iguales.

“Para sumar 2 cantidades del mismo signo, se escribe el mismo signo y las

cantidades se suman”


“Para sumar 2 cantidades de signos diferentes, se escribe el signo de la cantidad

mayor (en valor absoluto) y las cantidades se restan”.

Cantidad Mayor- Cantidad menor.

II.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO.

a). Signos Iguales.

“El Producto De 2 Cantidades que tienen el mismo signo siempre es

POSITIVO”


“El Producto De 2 Cantidades que tienen signos DIFERENTES, SIEMPRE es

NEGATIVO”

No importa el orden en que aparezcan los signos…el resultado SIEMPRE ES

NEGATIVO.

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