leyes de kepler
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Colegio de Bachilleres del Estado de Veracruz
Plantel 41 Chontla
Asignatura:
Física
Docente:
Ing. Pedro Álvarez Enríquez
Alumno:
Ronaldo Ponce Bazarte
Semestre y Grupo:
3er. Sem. 302
Trabajo:
Leyes de Kepler y Movimiento de los Astros
Enero 2014
LEYES DE KEPLER Y MOVIMIENTO DE LOS ASTROS
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:
Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.
Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.
Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.
Donde, T es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), (L) la distancia media del planeta con el Sol y K la constante de proporcionalidad.
Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.
Hasta 1609, año en que fué inventado el telescopio, todo nuestro conocimiento acerca del Universo se basaba en observaciones del cielo hechas a simple vista. En varias civilizaciones antigüas, como por ejemplo entre los Mayas, se había identificado a unos astros que parecen errar entre las estrellas fijas. Los griegos los llamaron "planetas", que significa errante. Durante siglos el estudio a simple vista del movimiento de los planetas fué uno de los campos mas importantes de la astronomía. Así, en el siglo XVI el astrónomo danesTychoBrahe escudriñó minuciosamente el cielo durante décadas, tomando valiosas notas acerca de las posiciones de cada uno de los planetas conocidos en aquel entonces: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.
Al morir TychoBrahe, su discípulo Johannes Kepler se dió a la tarea de buscar algún orden entre estos registros. Kepler realizó uno de los estudios científicos mas importantes de todos los tiempos que cúlmino en las llamadas tres leyes de Kepler, las cuales nos dicen como se mueven los planetas. En particular Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol describiendo una elipse. Con la
excepción de Mercurio (y de Plutón, descubierto en el siglo XX), las elipses en las cuales se mueven los planetas son muy poco elongadas y de dibujarlas nos parecerian como círculos. Kepler encontró ademas una relación entre el tiempo que tarda cada planeta en dar una vuelta alrededor del Sol (el año) y distancia de dicho planeta al Sol. Los planetas mas alejados giran a menor velocidad y, al deber recorrer una elipse mas larga, su "año" dura mucho mas tiempo. Así mientras que el año de Mercurio, el planeta mas cercano al Sol, dura tan solo 88 días terrestres el de Saturno, el planeta mas lejano que conocía Kepler tarda 30 años en recorrer su órbita. De hecho los datos recopilados por TychoBrahe durante una buena fracción de su vida dificilmente hubieran alcanzaban a cubrir mas de dos vueltas al Sol por parte de Saturno!
Con el tiempo se encontró que las leyes de Kepler no solo valian para TODOS los planetas sino que los cometas, muchos de los cuales siguen trayectorias en forma de elipses muy ecéntricas, también cumplen con las leyes de Kepler. Así, en acuerdo con estas leyes, los cometas se mueven muy despacio cuando estan lejos del Sol y extremadamente rápido cuando se acercan.
Probablemente alguno de nuestros lectores pudo apreciar esto con el cometa Hyakutake, que pudo verse desde Puebla durante el mes de Abril: durante los días en que fuémas brillante, mismos que corresponden a cuando se halla más cerca del Sol, el cometa se movía una distancia apreciable entre una noche y la siguiente. Más allá del movimiento de los cometas, también se encontró que las lunas de los planetas gigantes, en particular las de Júpiter y Saturno también cumplen con las leyes de Kepler, esta vez tomando el planeta en cuestión el lugar del Sol.
Las leyes del movimiento de los planetas enunciadas por Kepler al iniciar el siglo XVII fueron uno de los primeros ejemplos de leyes universales. El mismo Kepler sospechó que detrás de esta "universalidad" había algo mas. Dedicó una buena parte de su vida a este trabajo pero no pudo encontrar que es lo que dicta el movimiento de los planetas, y porqué el trayecto de Júpiter debe tener características comunes con el de Venus, por ejemplo. Sin embargo el trabajo de Kepler es considerado una obra monumental que abrió el camino para que Isaac Newton, uno de los físicos mas grandes de todos los tiempos diera con la respuesta, descubriendo que liga a los planetas al Sol: la fuerza de gravedad.
LAS LEYES DE KEPLER
Estas leyes han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por TychoBrahe (1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727), fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de Gravitación Universal.
La primera de estas leyes puede enunciarse de la siguiente manera:
Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en uno de sus focos.
Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (a la máxima distancia de un planeta al Sol se denomina afelio y la mínima perihelio). La Tierra, por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km.
La segunda ley, puede expresarse como:
Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.
Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (la velocidad del astro sería constante si la órbita fuera un círculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.
La tercera ley, finalmente, dice que:
El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.
La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de la distancia al Sol.
Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada.
Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol.
MOVIMIENTO DE LOS ASTROS
El movimiento de rotación y traslación de los planetas no se debe a la gran explosión sino a la curvatura espacial generada por el Sol y que es la que los mantiene en movimiento. Puedes poner una canica sobre una sábana extendida y verás una analogía de ese movimiento. La canica se moverá siguiendo las curvaturas de la sábana.
La rotación no se debe al choque con un cuerpo celeste, sino que aparece de forma natural por condensación de masa a partir de una nebulosa que se encuentra en rotación, en cada uno de los cuerpos
originados, como demostró Laplace hace unos dos siglos. Sin embargo la diferencia de rotación entre unos cuerpos y otros sí puede deberse (y se debe) al choque de otros cuerpos.De todas maneras tu razonamiento tiene otro error: obviamente todos los planetas han recibido infinidad de choques de meteoritos, por lo que el choque no tiene por qué ser similar o de magnitudes parecidas. No se trata de tener o no tener; todos tienen rotación pero es distinta en cada caso. No tener rotación sería un caso particular en que la rotación sería del mismo periodo que la traslación y en sentido inverso, sería de velocidad cero, y es un valor tan probable como cualquier otro. Como valores posibles de rotación hay muchos, es poco probable que un planeta tenga una rotación muy cercana a cero, aunque es posible.
Es decir: Todos los planetas tienen rotación, pero las rotaciones de cada uno no son iguales. Por ejemplo Venus es el único que gira en el sentido inverso al resto de planetas, y su rotación es la más lenta de todas. Se debe seguramente a algún cuerpo que chocó en algún momento. todos los planetas "nacen" con un movimiento de rotación intrínseco causado por Coriolis del disco de acreción.
El tema de los movimientos planetarios es inseparable de un
nombre: Johannes Kepler. La obsesión de Kepler por la geometría y
la supuesta armonía del universo le permitió, luego de varios
frustrados intentos, enunciar las tres leyes que describen con
extraordinaria precisión, el movimiento de los planetas alrededor del
Sol.
Desde una posición cosmológica copernicana, que como hemos visto
en esa época era más una creencia filosófica que una teoría científica,
Kepler logró esta magnífica empresa de manera totalmente empírica,
sin más teoría que su propio convencimiento sobre el carácter
fundamental (divino) de la geometría, y utilizando la gran cantidad de
datos experimentales obtenidos por Tycho Brahe.
La primera ley establece, a pesar de su autor, que los planetas
describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que ocupa uno de sus
focos. En la escala de valores geométricos de Kepler, el círculo
ocupaba un lugar privilegiado y de ahí su decepción, luego de
múltiples intentos por compatibilizar las observaciones con órbitas
circulares.
Primera Ley: "La orbita que describe cada planeta es una elipse con
el Sol en uno de sus focos"
Las elipses de las trayectorias sonde muy poca excentricidad, de tal
manera que difieren muy poco de la circunferencia. Asì por ejemplo ,
la excentricidad de la órbita de la Tierra es e=0,017, y como la
distancia Tierra-Sol es aproximadamente 150.000.000 de Km. la
distancia del Sol (foco) al centro de la elipse es deae=2.500.000
Km.
La segunda ley se refiere a las áreas
barridas por la línea imaginaria que une
cada planeta al Sol, llamada radio
vector. Kepler observó que los planetas
se mueven más rápido cuando se hallan
más cerca del Sol, pero el radio vector
encierra superficies iguales en tiempos
iguales. (Si el planeta tarda el mismo tiempo en ir de A a B en la
figura , que de c a D, las áreas en blanco son iguales).
Segunda Ley: "Cada planeta se mueve de tal manera que el radio
vector (recta que une el centro del Sol con el planeta) barre area
iguales en tiempos iguales"
El radio vector r, o sea la distancia entre el planeta y el foco (Sol) es
variable, pues es mínima en el perihelio y máxima en el afelio. Como
la velocidad areal (área barrida en la unidad de tiempo) es constante,
la velocidad del planeta en su órbita debe ser variable. En virtud de
esta ley, si las áreas PFM y AFN son iguales, el arco PM será menor
que el AN, lo que indica que el planeta se desplaza más ligero en el
perihelio. Es decir, su velocidad es máxima a la mínima distancia al
Sol y mínima a la máxima distancia.
Finalmente, la tercera ley relaciona el semieje mayor de la órbita,
llamado a, al período orbital del planeta p, de la siguiente manera:
a3/P2 = constante. De acuerdo a esta ley, la duración de la
trayectoria orbital de un planeta aumenta con la distancia al Sol y así
sabemos que el “año” (definido como el tiempo empleado por el
planeta en volver al mismo punto de su órbita) en Mercurio tiene 88
días (terrestres), en Venus 224, en la Tierra 365 y sigue aumentando
a medida que nos alejamos del Sol. Estas leyes permiten también
deducir las distancias relativas de los objetos del sistema solar, si
conocemos sus movimientos. Determinando independientemente
alguna de ellas es posible conocer sus valores absolutos.
En general para los planetas del sistema solar solo las masas de
Júpiter y Saturno no son despreciables respecto a la del Sol. De esta
manera , en la mayoría de los casos se considera (M+m) igual a: 1
masa solar y se obtiene así la expresión dada originalmente por
Kepler.
Por primera vez una única curva geométrica, sin agregados ni
componentes, y una única ley de velocidad resultan suficientes para
predecir las posiciones planetarias, y por primera vez también, las
predicciones son tan precisas como las observaciones.
Estas leyes empíricas recién encontraron su sustento físico y
matemático en la teoría de la gravitación universal de Newton, quien
estableció el principio físico que explica los movimientos planetarios.
La construcción de este cuerpo de ideas que comienza con Copérnico
y culmina en la mecánica de Newton es un ejemplo por excelencia de
lo que se considera un procedimiento científico, al que se puede
describir muy esquemáticamente de la siguiente forma: se observa
un hecho, se mide y se confecciona una tabla de datos; luego se trata
de encontrar leyes que relacionen estos datos y, finalmente, se busca
un principio que sustente o explique las leyes.
Una vez encontrado, este principio físico permite en general conectar
hechos considerados previamente independientes y explicar más
fenómenos además de aquellos que motivaron su formulación.
Newton fue así capaz de establecer que el movimiento de los
planetas alrededor del Sol y la caída de los cuerpos sobre la superficie
terrestre son dos manifestaciones del mismo fenómeno: la gravedad.
En general es difícil separar estos pasos claramente. El salto del
sistema tolemaico al copemicario se realizó en mayor medida debido
a la reinterpretación de ciertas observaciones que a la obtención de
nuevos datos. Incluso Kepler formuló sus leyes escudriñando más en
detalle esencialmente las mismas observaciones Ptolomeo había
mencionado que los movimientos aparentes de los astros podían
explicarse suponiendo que la Tierra estaba en movimiento. Pero tal
suposición no proporcionaba más que un mecanismo conveniente
para los cálculos, y dado que la cosmología aristotélica requería una
Tierra inmóvil en el centro del universo, prefirió adoptar la suposición
que resultaba verdadera en el marco de la física aceptada en ese
momento.
En realidad la escuela de Pitágoras había establecido mucho tiempo
antes, en el siglo VI a.C., que tanto la Tierra como el Sol se movían
alrededor del “fuego central”. Aristarco de Samos (siglo nI a.C.) —
mejor conocido por sus mediciones de las distancias al Sol y a la
Luna, lo que configuró una tarea extraordinaria considerando las
herramientas matemáticas de la época— sostenía que la Tierra
rotaba sobre su eje y describía una órbita alrededor del Sol. También
algunos filósofos del Renacimiento habían asignado movimiento a la
Tierra. Pero ninguno de ellos usó esa suposición como punto de
partida para dar una descripción detallada y sistemática de los
movimientos aparentes de los cuerpos celestes.
En la labor científica no es sencillo decidir qué elementos o datos
deben ser relacionados por las leyes. Kepler nos brinda un ejemplo de
selección de “pistas útiles”.
En 1609 el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) fue el
primero en dirigir un telescopio al cielo y como resultado, proporcionó
a la astronomía el primer conjunto de datos cualitativamente nuevos,
desde la antigüedad. El telescopio permitió descubrir nuevas pruebas
en favor del modelo heliocéntrico. La Vía Láctea, hasta entonces un
objeto nebuloso considerado más cercano a la esfera de la Tierra que
a la de las estrellas, pudo resolverse por primera vez en una enorme
cantidad de estrellas, demasiado débiles y pequeñas para ser
separadas individualmente por el ojo desnudo. El telescopio permite
efectivamente separar dos estrellas que a simple vista parecen como
una sola. Esta propiedad se llama poder de resolución y se define con
la mínima separación angular de dos estrellas que puede observarse.
El astrónomo italiano Galileo Galilei (1564-
1642). Cuando Galileo defendió la hipótesis
heliocéntrica -la afirmación de que la Tierra
gira alrededor del Sol-, se enfrentó con la
opinión dominante de la Iglesia católica. Sin embargo, su hipótesis
era coherente con los conocimientos disponibles en la época.
Cuanto mayor es la apertura (o el diámetro del objetivo) mayor es el
poder de resolución. Esta innumerable cantidad de nuevos objetos
volvió a dar credibilidad a la idea de un universo mucho más grande
de lo supuesto por los antiguos astrónomos, tal como había
sugerido Copérnico.
El telescopio también permitió resolver una paradoja usada por Tycho
contra el modelo copenicano: si el universo es tan grande como
requiere la ausencia de paralaje, entonces las estrellas deben ser
extremadamente grandes. Hasta entonces los tamaños estimados de
las estrellas no eran superiores al del Sol y estas estimaciones se
hacían suponiendo un valor para la distancia a las estrellas . En base
al mismo, el tamaño angular observado podía transformarse en una
estimación de sus dimensiones lineales.
Pero si esta distancia aumentaba tanto, también aumentaba el
tamaño de las estrellas. Las estrellas más brillantes tendrían
diámetros más grandes que la órbita de la Tierra y esto parecía
imposible. El telescopio permitió descubrir que tal argumento era
falso. Aunque aumentó notablemente el número de estrellas visibles
no hizo lo mismo con su tamaño. A diferencia del Sol, la Luna y los
planetas que se agrandan sustancialmente cuando se observan a
través del telescopio, las estrellas mantienen su tamaño. El diámetro
angular de las estrellas se había sobrestimado y actualmente
sabemos que esto es una consecuencia de la turbulencia atmosférica,
el mismo fenómeno que hace parecer que las estrellas titilan.
El nuevo instrumento permitió también descubrir “imperfecciones” en
las superficies lunar (cráteres, montañas, zonas claras y oscuras) y
solar, lo que sembró dudas sobre la “naturalidad” de la distinción
tradicional (aristotélica) entre las regiones terrestre (repleta de
imperfecciones) y celeste (perfecta). El movimiento de las manchas
observadas en la superficie solar sugirió que el Sol rota y así la
rotación de la Tierra dejó de ser una idea descabellada. El
descubrimiento de las “lunas” de Júpiter y su movimiento alrededor
del planeta terminaron por destruir la idea de que todos los objetos
celestes deberían moverse alrededor del centro del universo.
Pero la pregunta obligada es ahora: ¿Qué es lo que hace mover los
planetas?
La explicación física del movimiento planetario en la antigüedad era
que los planetas y las esferas que los contenían estaban hechos de un
elemento celeste perfecto que rotaba eternamente alrededor del
centro del universo. El movimiento circular uniforme se consideraba
natural. Pero un planeta moviéndose de acuerdo a las leyes de
Kepler, cambiando su velocidad, dirección y curvatura en cada punto
de su órbita, parecía requerir algún tipo de fuerza responsable de
estos cambios. Kepler introdujo la noción de fuerzas originadas en el
Sol y los planetas que proporcionaban la causa del movimiento
planetario y de sus satélites.
Las mismas estaban relacionadas con el magnetismo, cuyas
propiedades habían sido recientemente descubiertas: la Tierra y los
planetas eran para Kepler grandes imanes y las atracciones y
repulsiones de los polos determinaban las trayectorias planetarias. Si
bien estas ideas no prosperaron, la concepción kepleriana del sistema
solar como un sistema autocontenido, tanto de sus componentes
como de las causas de los movimientos de las mismas, resultó muy
importante en los desarrollos sucesivos de las ideas cosmológicas.
MAS ALLÁ DE LAS LEYES DE KEPLER
No obstante , la gravitación universal va mas allá de las leyes de
Kepler, pues permite establecer la forma más general que puede
tener la órbita de un objeto sometido a la fuerza gravitatoria de otro
cuerpo. Puede ocurrir, en efecto, que el primero no esté ligado
establemente al segundo, sino que el encuentro entre los dos sea sólo
temporal, como sucede, por ejemplo, con algunos cometas
destinados a pasar una sola vez por las cercanías del Sol y luego a
perderse por el espacio interestelar.
La forma de las órbitas celestes puede ser cerrada, si el objeto que
órbita está destinado a moverse por las proximidades del cuerpo
atractor, o abierta, si el primero viene de remotas regiones siderales
y está destinado a regresar a ellas. En el primer caso, la órbita será
elíptica o circular; en el segundo será hiperbólica o parabólica, según
que la trayectoria sea una hipérbola o una parábola.
En realidad, las órbitas de los cuerpos celestes se ven continuamente
modificadas por una serie de fenómenos secundarios, entre los cuales
figuran la presencia de otros objetos masivos, que en el caso del
sistema solar son los demás planetas, así como efectos de marea o
también la presencia, como en los cometas, de chorros que actúan
como cohetes propulsores.
El ulterior desarrollo de las leyes de la gravitación por Albert Einstein
en su teoría de la relatividad general ha puesto de manifiesto que los
movimientos keplerianos son sólo aproximaciones a los movimientos
reales de los objetos celestes, incluso en ausencia de fenómenos más
complicados.
Sin embargo, las leyes de Kepler permiten describir con suficiente
precisión las órbitas de los planetas del sistema solar. Además, tienen
una importancia histórica notable, pues fueron el elemento de ruptura
con la descripción del universo debida a Tolomeo que estuvo en vigor
durante siglos.
UN POCO DE HISTORIA
Kepler vió cumplido el sueño de su vida. Consideró que había
descubierto las leyes con las que Dios había creado el universo y
regían su funciona miento. Se consideró el afortunado mortal que
había desentrañado el secreto de un cosmos que reflejaba la trinidad
divina. Un cosmos limitado por la esfera de las estrellas fijas y
centrado en el Sol, en cuyo interior los planetas cantaban la gloria de
Dios. Pero, efectivamente, su obra apenas tuvo impacto alguno entre
sus contemporáneos. Nadie dudaba de su autoridad en el campo de
la astronomía, que se vio ratificada con la publicación de las Tablas
rudolfinas (1627), pero nadie aceptó sus especulaciones
cosmológicas. Sus ideas sobre los sólidos regulares y las armonías
celestes, apenas tuvieron un solo seguidor.
La Astronomía nova, su gran obra astronómica, fue un fracaso
editorial absoluto, que reflejaba claramente el rechazo que su «física
celeste» recibió desde un principio. La comunidad científica, incluso
más allá del conservador mundo académico, no aceptó su
tratamiento y explicación física de los fenómenos astronómicos. El
copernicanismo seguía siendo aceptado mayoritariamente como
mero instrumento de cálculo. E incluso Galileo, que defendía el
heliocentrismo y el movimiento terrestre como verdaderos, siguió
apegado al dogma de la circularidad e ignoró totalmente, como
Descartes, la obra cosmológica de Kepler, que consideraba
totalmente fantasiosa.
La física galileana, que coronó en Newton, rompía radicalmente con la
física celeste de Kepler, que aún compartía elementos esenciales de
la física aristotélica. No obstante, las leyes de movimiento planetario
descubiertas por Kepler y cubiertas por la fronda de su desaforada
especulación, debidamente cribadas, fueron el punto de partida de la
gran síntesis que Newton sifué capaz de llevara cabo entre la física
celeste y terrestre. Pero, aun siendo generosos, es difícil considerar a
Newton el lector que Kepler esperaba.