ley de gauss-salcedo uni

7/26/2019 Ley de Gauss-salcedo UNI

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

Curso: FISICA II CB 312U 2010 III

Profesor: JOAQUIN SALCEDO [email protected]: Ley de Gauss

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Ohanian-Markert, Maximo-Alvarenga

Halla el CE de una esfera hueca conductora con carga Q radio a.

Las componentes en el eje Y se anulanEl CE resultante de la esfera hueca se encontrara sobre el eje X.El rea de trabajo

El diferencial de carga

22dq a sen d

De las relaciones observadas en el grafico tendremos:

2

2 2

2cos cosx

dq k a sen d dE k

r r

Las variables son: , ,r Escogemos r

d

a

ad

a

asen

r

Ed

P

sena..2

ad

a r

asen

x


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Del grfico

2 2 2

2 cosr a x ax rdr ax sen d

2 2 22 2 2 2 cos cos

2

a r xa r x rx

rx

2 2 2

22

x

rdr a r xdE c

ax r rx

xE

Ley de GaussIntroduccin.Al calcular el CE de una esfera hueca conductora vemos que el clculo es complicado.

Existe un mtodo que nos facilitar el clculo cuando tengamos s imet ra?As de fcil!

Flujo elctrico.Relaciona el CEy que atraviesa una superficie.Para una superficie perpendicular a Ees el producto de la magnitud E y el rea A

EA

Las unidades son 2 /Nm CComo el CE es proporcional al # de lneas por unidad de rea el es proporcional

al # de lneas que atraviesan el rea

Ejercicio.

Imagina que tus dedos de la mano derecha son las lneas de CE y tu mano izquierdael rea. Analiza y responde cuando el flujo es mximo? Cuando es mnimo?Cmo lo puedes expresar con smbolos?

Al rea se le adjudica un vector con un vector unitario normal a su superficie

A An En consecuencia tenemos que hay dos entidades vectoriales que producen un acantidad escalar.El flujo es:Mximo si el rea es perpendicular a las lneas de CE.Nulo si es paralelo

Vara conforme el rea cambia


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.Luego una definicin que involucre todas estas consideraciones es:

.d E d A Si es el ngulo entre la normal al plano y las lneas de CE

cosd EdA El flujo total es la suma infinitesimal en toda el rea involucrada

.E d A Un caso muy importante es cuando la superficie es cerrada, el flujo neto es

.E d A

Un cubo de lado a=2 m tiene un vrtice en (1, 0, 0)m y sus lados son paralelos a losejes coordenados.El cubo est en una regin donde el CE siempre tiene la direccin +x y su magnitudvaria slo en funcin de x, y tiene valores de 5N/C en x=1 y 15N/C en x=3Cul es el flujo que atraviesa el cubo?


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El flujo en la cara 1 es negativo esta entrando y el flujo en la cara 6 es positivo estasaliendo.

1 2 3 4 5 6

1 6

2

.

0 0 0 0

5 .( 4 ) 15 .(4 ) 40 /

E d A E d A

i i i i Nm C


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Tarea: calcula el flujo del CE de la carga puntual q en el cubo de arista a
http://www.forestales.upm.es/basicas/udmatematicas/imagenes/Gauss.png


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* Halle el flujo de una carga puntual alrededor de una esfera con la carga en elcentro.En todos los puntos de la superficie de la esfera

El vector normal de la superficie es paralelo a E

La magnitud del CE es la misma en todo punto de la superficie esfrica cierto ofalso?

2

2

0

. (4 ) 4nkq q

d E d A EdA E dA r kqr

Donde hemos sustituido kpor su valor0

1

4k

Resumiendo:Enunciado de la ley de Gauss

0 0

. n nq q

E d A o E dA

El flujo neto a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carga netadentro de la superficie entre la permitividad elctrica del espacio libre.

Es una herramienta muy potente para calcular Een casos de simetra

Receta.

Observe si existesimetraBusque una superficie en donde todo todos los puntos tengan la misma magnitud

de CE o el vector normal sea perpendicular al CE ( )

/GS S E cte n E * Halle el CE de un plano inf in i to c on c arga uniforme co n GaussExiste simetra.


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La es un cilindropequeo perpendicularal plano.En la superficie lateral existe perpendicularidad

0 0

. . . . ( ).( ) 2

22

sl base tapa base tapa b

E d S E d S E d S E d S EdS E dS E dS

SE S E

Esta es una relacin muy til.Ya la conocemos y lo veremos a menudoCundo un plano finito puede ser visto como infinito?

Tarea.Halle el CE para dos planos paralelos infinitos con densidades de cargaopuesta

Simetra esfricaEntre las distribuciones de carga con simetra esfrica estn: puntos, esferas,cascarones esfricos, y capas concntricas de esos objetos

*Halle el CE de una esfera hueca conductora


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.La es un esfera concntricade radio r

Para el exterior2

22

0

2

0

4. (4 ) ERE d S EdS E d E ES r Rr

Exprese la relacin anterior en funcin de su carga Q.

2

2

0

2

0

(4 )4

Q QE r E

r

QE k

r

!Conclusin!

Para puntos fuera de la espere el CE es como si la carga estuviera concentrada en el

origen.

Para el interior2 0. (4 ) 0

IE d S EdS E dS EE r

* Halle el CE de una esfera slida no conductora de carga uniforme

La superficie G es un esfera concntrica de radio r

Para el exterior


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2

0

2. ( 4 ) E

QE d S EdS E dS E

QE kr r

r

Para el interior

Calculamos la carga encerrada.

3 3

33

4( )4 3

3i

Q q Q Qq r rV V R

R

2 3

3 3

0

1. (4 ) i

QE d S EdS E dS E r r

R

QE k r r

R


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Tarea.Exprese El campo exterior en funcin de la carga alguna conclusin?El campo interior en funcin de la densidad

Simetra cilndricaEntre las distribuciones de carga con simetra cilndrica estn las lneas infinitamentelargas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascarones cilndricos), etc. Y lascapas concntricas de esos objetos

*Halle el CE de un hi lo in f in i to con carga uniforme

Existe simetra.


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La es un cilindrode radiory longitudL paraleloal hiloEs necesario que consideremos las partes de la superficie: dos tapas y la superficielateral. En las tapas existe perpendicularidad.

00

. . . . 0 0

(2

1

) 2

b s t s

sE r

E d S E d S E d S E d S EdS

l

E dS E rl r

Conclusiones:1) Gauss permite un calcula rpido y fcil en distribuciones de carga con

simetra.2) Se puede aplicar en algunos casos (despreciando efectos de borde o comoaproximacin) a situaciones finitas

3) Gauss pertenece a las 4 leyes bsicas del electromagnetismo.

4)

Podra utilizar Gauss para calcular el CE de un dipolo, un disco cargado? Porqu?

Conductores en equilibrio electrosttico1. El CE es cero en el interior del conductor

2. Si el conductor aislado transporta carga esta reside en su superficie.

3. El CE afuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie y 0/E

4. La densidad es mayor donde el radio de curvaturaR es menor /cte R


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Si existe equilibrio, el CE debe ser nulo, de no ser as habra movimiento decargas

Antes de aplicar el CE externo los electrones libres se distribuyen por todo elconductor.Al aplicar el E los electrones libre se mueven hacia la izquierda y se produce unaacumularon de carga negativa en la superficie de la izquierda.Lo anterior da como resultado un plano de carga positiva a la derecha.Estas cargas producen un CE interno que anula el CE externo dentro del conductor.Esto sucede casi instantneamente.

Cmo expresar esta discontinuidad?

**Con Gauss: La puede estar tan cerca de la superficie y como 0iE luego elflujo neto es cero entonces no hay carga dentro del conductor luego cualquier carganeta esta en la superficie.


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***El CE en la superficie debe ser perpendicular en caso contrario existira unacomponente tangencia al cual originaria el movimiento de cargas

0 0 0

. n

s

q AE d A E dA E A E

*** Una esfera conductora slida de radio atiene una carga positiva neta 2Q. Uncascaron esfrico conductor de radio interior by radio exterior c es concntrica ytiene carga neta Q. Halle el CE y la distribucin de cargas sobre el cascaroncuando el sistema esta en equilibrio.


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0

0. , 0n nq

r a E d A q E

0

2

2

0

2. , 2 4 )

2(n

n

s

q Qa r b E d A q Q E d E kA E

Q

rr

Lo mas difcil es en el interior del cascaronPara una superficie G en esta regin El CE es nulo. Luego la carga neta encerradaes nulaEn la parte interior r=b se induce una carga -2Q, para anular a la carga de la esferainteriorEn la parte exterior de r = b se induce una cara +Q en la superficie para cancelar lacarga Q

0

. , 2 02 0n nqb r c E d A q Q Q Q EQ

2

0 0

2. , 2 (4 )n n

s

q Qr c E d A q Q Q E

QE kdA E r

r

*** Un cubo con lados de longitud L = 0.3 m est colocado con un vrtice en el origen,como se ilustra en la figura. El CE, est dado por

5 3E x i z k

a) Halle el flujo elctrico encada una de las seis caras del cubob) Halle la carga elctrica total en el interior del cubo

2

2 2

1

5 5

22

2 5

13

0

8.1 10

1.35 10

5.4 10

4.78 10

n k x

n j x

Nmx

Cq x C


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Ejercicios.

1. Un CE vertical de4

2 10 /x N Cexiste sobre la tierra un da que amenaza unatormenta. Un auto (Sea un rectngulo de 6x3m) viaja a o largo del camino inclinado10 hacia abajoHalle el flujo a travs de la base inferior del auto

4 2cos 2 10 (6) cos10 /EA x kNm C

2. Una espira de 40cm de dimetro gira en un CE hasta que se encuentra en la

posicin de flujo elctrico mximo 5 25.2 10 /x Nm C. Halle la magnitud del CE2 2 2

5 2

3.14(0.2) 0.126

cos 5.2 10 / (0.126) cos 0 414 /

A r m

EA x Nm C E E MN C

3, Hallar el flujo en el hemisferio y en la tapa

2

2

0

1. ( 4 )

2 2c l h

Q QE dS E S k R

R

El flujo en la superficie cerrada es nula luego en la tapa es

02

t

Q

4, Hallar el CE dentro de la cavidadUna esfera de radio 2a no conductora densidad p. (Suponga que el material noafecta el campo elctrico.) Se separa una esfera de radio a. Muestre que el CE en

la cavidad es uniforme y est dado por Ex= O y 0/ 3yE a . (Sug: superposicindel CE debido a la esfera original, ms el CE de la esfera de radio a y densidad


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32

0 0 0

3

21 1 1

0 0 0

1 44

3 3 3

1 4 4 ( )3 3 3

r rr E E r r

r rr E E r r

1 1

0 0

0

( )

3 3

0,3

x y

r r a r r a

E r a E E E a

E E a

Una esfera tiene una densidad de carga variablea

r donde aes constante

Halle el CE

2 2

0

22

0 0

3 32

2

0 0

(4 ) 4 4 2

24

2

2 14

2

r

n

i i

e e

adq dV r dr ardr q a rdr ar

r

ar ar E E

a ar E E

r

Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distanciab del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo elctrico de la carga

pasa por el disco, entonces 3R b


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Ti l M S B i h S S k B Oh i M k t M i Al

2 2 2

0 1 1

2 2 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2

0

0

, , 2 ,

4

2( ) 2 ( )

4

Q q q bE k k dS rdr cos

r b r r q b bq rdr

d EdScos k rdr b r b r b r

Q

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