LA LEY DE LA LEY DE BENFORDBENFORD

Ing. M.A. Robert Edgar Puican Ing. M.A. Robert Edgar Puican GutiérrezGutiérrez

2

IntroducciónIntroducción

Elija un libro que tenga cerca. Cualquiera. Abralo en cualquier página, y anote el número de la página. Ahora, tome un libro diferente y elija una página al azar también. Anote el número de la página otra vez. Repita este procedimiento con muchos libros hasta que haya anotado el número de 100 páginas o más. (Le dije que tenía que dedicarle un rato, pero no me diga que es difícil. Seguro que es tedioso, sí, pero no me diga que es complicado de hacer.)

Entre en un negocio cualquiera. Anote los precios de 100 productos o más. No importa qué tipo de negocio. Si necesita (y tiene acceso) vaya a cualquier página de Internet y anote los precios de diferentes productos que ofrezca. Pero tienen que ser 100 o más.

Obtenga ahora las direcciones de las personas que trabajan con usted, o compañeros de oficina o de clase. No importa. Y además, logre que le escriban las direcciones de gente que ellos conocen hasta que complete otra vez 100 o más de estos números. No hace falta que pongan los nombres, sólo los números de las direcciones.

Busque en Internet o en cualquier enciclopedia la población de 100 o más ciudades y/o pueblos del país en donde vive usted. Anótelos.

Una vez que tenga esta lista de por lo menos 400 números, sepárelos de la siguiente forma: Anote en una columna todos los que empiezan con el dígito 1. Luego, en otra columna, los

que empiezan con el 2. Después, otra columna más, con los que empiezan con el 3. Y así siguiendo, hasta tener 9 columnas. Todas empiezan con dígitos distintos, del 1 al 9.

¿Usted cree que las columnas tendrán todas la misma cantidad de números? Es decir, ¿tendrán todas la misma longitud? ¿O le parece que habrá alguna que será más larga que otra?

3

Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers. Amer. J. Math. 4 (1881) 39-40.

Simon Newcomb (1835-1909).

d

ddP

1log)(

4

The law of anomalous numbers.Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938) 551-538.

Frank Benford

Probable Error

10114.74.95.16.48.09.412.418.530.6Average

4184.14.87.26.56.79.415.718.627.0Death Rate

9005.57.16.88.88.510.012.016.025.3     ,             

3425.05.05.66.48.58.812.619.228.9Addresses

11655.44.75.27.06.68.714.117.331.0Blackbody

14583.05.64.96.47.49.812.617.632.7Am. League

7074.85.85.17.48.19.014.417.527.9X-Ray Volts

7413.15.54.75.59.810.110.118.832.4Cost Data

3084.24.95.56.57.17.512.418.533.4Reader's Digest

5605.67.37.08.48.37.514.314.826.8Design

50008.98.07.26.86.66.89.720.325.7       ,       

915.54.43.34.46.64.45.518.747.2Atomic Wgt.

1591.92.55.05.08.212.613.823.927.1Drainage

18003.22.84.15.16.710.815.425.226.7Mol. Wgt.

6903.65.15.17.08.110.811.918.430.0H.P. Lost

7034.74.45.76.48.39.812.818.329.6Pressure

13894.14.83.24.110.614.616.218.424.0Specific Heat

1005.05.06.06.08.010.012.018.030.0Newspapers

10410.62.91.05.810.68.64.814.441.3Constants

32592.23.74.16.27.28.114.220.433.9Population

3355.14.25.58.67.211.310.716.431.0Rivers, Area

Sampls987654321Title

5

La Ley de BenfordLa Ley de Benford

De esta técnica podemos comentar que no es nada nueva, puesto que tiene su origen el año 1881 enunciada por Simon Newcomb y posteriormente el año 1930 por Frank Benford quien era un físico de la General Electric.

En 1994 Mark Nigrini utiliza esta Ley para detectar posibles fraudes e irregularidades en datos fiscales y para detectar contabilidades contaminadas.

La Ley de Benford en términos sencillos dice que aquellos números de la vida real que empiezan por el dígito 1 ocurren con mucha más frecuencia que el resto de números. Esta Ley plantea que la ocurrencia de los dígitos en una serie de datos pueden predecirse.

Ningrini define la Ley de Benford como aquella que predice la frecuencia esperada de aparición de los dígitos en series de numeros. Otra forma de enunciarla es: los primeros dígitos de los números no se distribuyen de manera equiprobable. Los resultados que arroja esta Ley respecto a la probabilidad de ocurrencia de los dígitos es la siguiente:

6

Ley de BenfordLey de Benford

7

Condiciones a Cumplir por la Condiciones a Cumplir por la LeyLey

El conjunto de datos debe estar formado por magnitudes medibles de un mismo fenómeno, es decir las transacciones de caja de una entidad, importes de gastos familiares, los votos obtenidos por un candidato en las diferentes mesas de sufragio.

No debe existir una limitación de máximo y mínimo, es decir debe ser una variable cuantitativa sin restricciones. En el caso de “Moneda”, los resultados de nuestro análisis no tendrían sentido, puesto que este campo solo puede asumir dos valores 1 o 2.

Los datos no deben ser números asignados por ejemplo los números de teléfono de Lambayeque comienzan siempre con 2, los de Lima con 4, estos conjuntos de datos no se ajustan a la Ley de Benford.

Debe haber un mayor numero de valores pequeños que grandes, es decir el cumplimiento de “La Ley de Pareto” que dice que generalmente el 80% del importe total se encuentra en el 20%

8

Recomendaciones de la LeyRecomendaciones de la Ley

El tamaño del conjunto de datos debe ser mayor a 1.000 elementos para establecer conclusiones de auditoria para la prueba del primer digito y para la prueba de los 3 primeros dígitos se recomienda al menos 10.000 datos.

El valor máximo entre el mínimo (diferente de cero) debe ser por lo menos 100.

Preferiblemente analizar datos generados en periodos largos de tiempo (una o varias gestiones fiscales por ejemplo) que sobre cortos (un dia por ejemplo).

Lo ideal es trabajar con datos que registren 4 o mas dígitos, aunque con 3 dígitos se pueden obtener excelentes resultados.

La Ley de Benford es de escala invariante, se puede utilizar esta Ley independientemente de su escala de medida, es decir si trabajamos en metros o millas tendríamos el mismo resultado, en términos financieros es independiente de la moneda en la cual expresemos los importes.

Utiliza programas que incluyen esta Ley dentro de sus opciones como son el IDEA, ACL, DATAS, Auriga, aunque si uno no dispone de estas, con una planilla Excel podría ser suficiente con las limitaciones inherentes del Excel.

9

Ejemplo de Ley de BenfordEjemplo de Ley de Benford

La variable analizada será “Importe” considerando que todas las transacciones están en una misma moneda. Los resultados del ejemplo tomado versus la Ley de Benford se expresan en la siguiente tabla y luego se realiza su grafica correspondiente:

.

10

EjemploEjemplo

Para el primer digito de un conjunto de datos se toma la probabilidad de ocurrencia del primer digito según La Ley de Benford, de tal manera que si esta cantidad esperada y la real muestran una diferencia significativa es un indicador de que los datos son posiblemente inventados, errados o fraudulentos.

Con el ejemplo de transacciones de caja, para el primer digito significa que existirán mas transacciones que comiencen con el numero 1 que transacciones que comiencen con el numero 9, realizando los cálculos tenemos que 15.430 transacciones tienen como primer digito 1 y solamente 1.230 transacciones tienen como primer digito 9.

.

11

EjemploEjemplo

De los resultados anteriores tenemos para el primer digito 5 una probabilidad de ocurrencia según la Ley de Benford de 7.92 % y tenemos que con los datos actuales tenemos un 11.76 %, esta diferencia es una alerta de un posible fraude o irregularidad en las operaciones que comienzan con el digito 5 en su importe.

Las diferencias que indican posibles fraudes pueden ser diferencias en más o en menos respecto la Ley de Benford. Para confirmar o afinar los resultados podemos realizar análisis adicionales como son la prueba del segundo digito, tercer digito, primeros 2 dígitos, primeros 3 dígitos y la prueba de los 2 últimos dígitos.