levasaplicaciones

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39

200

6.13.- EJERCICIOS DE APLICACIN DE LEVAS:

EJERCICIO DE APLICACIN: Determinar las ecuaciones de una leva para la cual se debe cumplir el siguiente ciclo de temporizacin: Subida 50mm de 0 a 90, No existe detenimiento alto, bajada de 90 a 180, detenimiento bajo durante el resto del ciclo. Utilizar ecuaciones polinomiales

Del ciclo de temporizacin obtenemos las siguientes condiciones de frontera:

Como podemos observar existen 7 condiciones de borde, lo cual implica 7 constantes y el polinomio ser de grado 6. El polinomio y sus derivadas sern:

figura 6.46 Condiciones de subidaReemplazando las condiciones de frontera tendremoscuatro ecuaciones con cuatro incgnitas:

Resolviendoobtenemos:

EJERCICIO DE APLICACIN: Simular una leva oscilante de rodillo en Working Model 2D que efecte una oscilacin de 30 y 20 de acuerdo a la siguiente temporizacin:

EventoTiempo (seg.)

Oscilacin 305

Reposo alto10

Retorno5

Reposo bajo10

Oscilacin 205

Reposo alto10

Retorno5

Reposo bajo10

A continuacin determinamos los ngulos:

El perfil de la leva de rodillo radial es:

figura 6.47 Perfil de leva de rodillo radialEl perfil de la leva oscilante de rodillo y sus ecuaciones son:

figura 6.48 Perfil de leva oscilante de rodilloA continuacin evaluamos tanto los radios como el ngulo:

Siguiendo los pasos descritos anteriormente se crean dos columnas en Excel

figura 6.49 Diseo de leva paso 1

Este archivo se guarda como archivo de texto

figura 6.50 diseo de leva paso 2

En base a este archivo de texto creamos la leva en WorkingModel2D

figura 6.51 Simulacin en working model

Para dibujar el seguidor deberemos exportar este dibujo al AutoCAD con extensin dxf

figura 6.52 Diseo en autocad


EJERCICIO DE APLICACIN: Un fabricante de calzado para atletismo desea efectuar el control de calidad de su produccin, mediante un dispositivo que pruebe tacones de goma, en su capacidad de resistir millones de ciclos de fuerza semejantes a los que un pie humano al andar aplica al suelo. En la figura se indica una funcin tpica fuerza - tiempo de un andador, y una grfica de presin - volumen para un acumulador de pistn. Disee un sistema leva - seguidor que accione al pistn de manera que genere una funcin fuerza - tiempo entre el taln semejante a la mostrada. Deben elegirse dimetros de pistn adecuados para cada extremo.[footnoteRef:1] [1: Ejercicio propuesto del Libro Diseo de Maquinaria de Robert L. Norton , pg. 435 ]

figura 6.54 Requerimientos para diseo de leva

figura 6.55 Mecanismo probador de zapatos

De acuerdo a la curva presin vs. Volumen debemos escoger el factor de escala para obtener una curva de desplazamiento del seguidor vs. tiempo.

Fuerza en el taln / rea del pistn = 30 Volumen desplazado

F / A2 = 30 A1 x

x = F / (30 A1 A2)

Suponiendo un dimetro del pistn 2 de 2 plg. Tenemos un A2 = 3.14159 plg2 y si contamos con un dimetro del pistn 1 de 1 plg. Corresponde A1 = .7853 plg2, de donde se obtiene que:

x = F / 74

Y por lo tanto el diagrama de desplazamiento del seguidorcorresponde al siguiente grfico:

figura 6.56 Desplazamiento del seguidorCon este grfico podemos obtener la ecuacin de s (), utilizando el mtodo polinomial, para lo cual evaluamos las siguientes condiciones de frontera:

Desplazamiento026.135.725.931.830.90

ngulo060120180240300360

Puesto que tenemos siete condiciones de frontera el polinomio debe tener siete constantes:

Reemplazando las condiciones de frontera en el polinomio, obtenemos siete ecuaciones con siete incgnitas:

Para resolver este sistema de ecuaciones utilizamos matrices

La forma de la leva es la siguiente:

figura 6.57 Perfil de la leva en mathcadLa simulacin en Working Model 2D es la siguiente:

figura 6.58 Simulacin de la leva en working model

EJERCICIO DE APLICACIN: Se desea disear una mquina accionada por leva para envasar jugo de frutas en botellas que se desplazan por una banda transportadora que est en movimiento constante, la velocidad de la banda es de 10 mm/seg., el tiempo de llenado es de 10 seg., durante el cual el seguidor deber estar alineado con la botella permanentemente. Y el tiempo total del ciclo llenar y alinearse es de 15 seg.

Datos:

Frecuencia angular de la leva:

La frecuencia angular de la leva debe ser de 4 rpm.

Duracin de los eventos:

Tramo de velocidad constante:

En este tramo determinaremos las expresiones respectivas del desplazamiento del seguidor:

figura 6.59 desplazamiento del seguidor

figura 6.60 Velocidad del seguidor

Tramo polinomial de retorno

El retorno del seguidor para alinearse nuevamente con la botella debe ser polinomial para mantener las condiciones de continuidad en el desplazamiento, velocidad y aceleracin en base del anlisis del tramo de velocidad constante se escogen las condiciones de frontera para el seguidor.

Puesto que tenemos 6 condiciones de frontera el polinomio ser de 6 constantes:

Reemplazando las condiciones de frontera en las ecuaciones polinomiales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

De donde se obtienen las constantes:

El sistema de ecuaciones se resuelve en forma matricial (haciendo h=1 luego la vuelvo a poner en el resultado)

Con lo cual se puede determinar las funciones cinemticas de la leva

Expresiones y grficos S, V, A, J del seguidor

figura 6.61 Desplazamiento del seguidor

figura 6.62 velocidad

figura 6.63 ngulo de presinAngulo de Presin.

Para determinar el menor tamao posible de la leva nos valemos del ngulo de presin el cual no debe superar los 30

Rb

figura 6.64 ngulo de presin

Radio de curvatura.

Para determinar si la medida del radio del rodillo es correcta, analizamos la ecuacin del radio de curvatura

El radio mnimo de curvatura es mayor que el radio del rodillo de 10 mm

Perfil de la leva.

figura 6.65 perfil de la levaLa forma de la leva es la indicada en la figura y de la forma anteriormente descrita podemos hacer la simulacin en WorkingModel 2D.


EJERCICIO DE APLICACIN: DISEO DE UN MECANISMO INVERSO LEVA SEGUIDOR

Para determinar las ecuaciones que gobiernan el perfil de la leva se deben utilizar las tcnicas de inversin cinemtica. El arreglo fsico del sistema est indicado en la figura 2, Donde q es la entrada del movimiento y f es la funcin arbitraria que involucra subidas, bajadas y reposos. La inversin cinemtica consiste en seleccionar indistintamente el eslabn fijo o de referencia como se indica en la figura 3. Se observa inicialmente una cadena de cuatro eslabones el seguidor impulsor, la leva impulsada, el rodillo y la tierra, para determinar el perfil la tierra se constituye en un eslabn cuya entrada es la funcin arbitraria, el seguidor con entrada angular constante y la leva impulsada pasa a ser el eslabn fijo.

figura 6.67 Modeado del mecanismo leva seguidor invertido

figura 6.68 inversin cinemtica para el clculo del perfil

Utilizando la tcnica de generar circuitos vectoriales sobre los eslabones de un mecanismo, se plantea el siguiente lazo definido en la figura 4

(1)

La notacin compleja da:

(2)

Como = segn la figura 4, se obtiene:

(3)

Donde r4 = A0B0 y r2 = A0A

figura 6.69 Circuito vectorial para el clculo del perfil

Ejemplo: Para validar las ecuaciones se debe graficar en MathCAD una leva que genere una funcin arbitraria: Subida, reposo, bajada, reposo efectuando una oscilacin de 150, Figura 5. Donde 1 = 15o es el ngulo de oscilacin y 1 = 60o, 2 = 30o, 3 = 30o son la duracin de los eventos de subida, reposo y bajada respectivamente. El parmetro de entrada es definido por:

Se utiliza para los enlaces las funciones polinomiales 3,4, 5, compuesto de la subida s1, el reposo s2 y la bajada s4, que por ser funciones discontinuas necesitan ser ensambladas de la siguiente manera:

; ;

;

(4)

Graficando la ecuacin (5) se obtiene, Figura 5:

figura 6.70 Ley de desplazamiento propuestaLas ecuaciones que determinan el perfil de la leva, Figura 6, para r4 = 180 mm y r2 = 300 mm son las componentes real e imaginaria de la ecuacin (3)

; (5)(6)

Graficando las mismas obtenemos el perfil de la leva (Figura 6):

figura 6.71 Perfil de la leva resultanteUna herramienta fundamental de la sntesis de mecanismos es el software Working Model 2D, programa de enorme utilidad cuando se trata de conceptualizar mecanismos de cualquier tipo, por lo que se describe en forma sucinta el procedimiento de validacin de la ecuacin anterior. Evaluando las funciones en MathCAD se obtienen dos columnas que son importadas a Excel, Figura 7, con las cuales y con la operacin =A1&","&B1 se crea un tercera columna con los pares ordenados x e y del perfil de la leva.

figura 6.72 Tabla de excel

La tercera columna ser copiada en AutoCAD como polilnea obteniendo el perfil deseado, Figura 8. En base de este perfil se dibuja el resto del mecanismo, tomando en cuenta que el origen (0,0) es el centro de giro de la leva y que el centro del seguidor B0 est a 180 mm de A0

figura 6.73 Construccin en Autocad de la leva

Este grfico es importado a Wm2d para simular el movimiento, Figura 9, donde se edita el elemento ranura sobrescribiendo en su geometra las dos primeras columnas de Excel.

figura 6.74 Construccin de la leva inversa

El resultado es el siguiente, Figura10.:

figura 6.75 Oscilacin de la leva segn la ley especificada

Aplicando los instrumentos de anlisis se observa que el desplazamiento angular de la leva coincide con el requerimiento formulado con (5), por lo que se concluye que la metodologa es correcta. Es importante resaltar que solo se pueden construir levas con un ngulo de oscilacin mximo de 180 debido a que en este caso se alinean los vectores 2 y 4, y como ocurre en los eslabonamientos de cuatro barras la ventaja mecnica desciende a 0.

20 706 397 760 59 740

.MCAD 303010000 1 74 46 0

.CMD FORMAT rd=d ct=10 im=i et=3 zt=15 pr=3 mass length time charge temperature tr=0 vm=0

.CMD SET ORIGIN 0

.CMD SET TOL 0.001000000000000

.CMD SET PRNCOLWIDTH 8

.CMD SET PRNPRECISION 4

.CMD PRINT_SETUP 1.200000 0.983333 1.200000 1.200000 0

.CMD HEADER_FOOTER 1 1 *empty* *empty* *empty* 0 1 *empty* *empty* *empty*

.CMD HEADER_FOOTER_FONT fontID=14 family=Arial points=10 bold=0 italic=0 underline=0


.CMD DEFINE_FONTSTYLE_NAME fontID=0 name=Variables

.CMD DEFINE_FONTSTYLE_NAME fontID=1 name=Constants

.CMD DEFINE_FONTSTYLE_NAME fontID=2 name=Text

.CMD DEFINE_FONTSTYLE_NAME fontID=4 name=User^1







.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=0 family=Times^New^Roman points=10 bold=0 italic=0 underline=0


.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=2 family=Arial points=10 bold=0 italic=0 underline=0


.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=5 family=Courier^New points=10 bold=0 italic=0 underline=0

.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=6 family=System points=10 bold=0 italic=0 underline=0

.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=7 family=Script points=10 bold=0 italic=0 underline=0

.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=8 family=Roman points=10 bold=0 italic=0 underline=0

.CMD DEFINE_FONTSTYLE fontID=9 family=Modern points=10 bold=0 italic=0 underline=0


.CMD UNITS U=1

.CMD DIMENSIONS_ANALYSIS 0 0

.EQN 4 1 1 0

{0:s}NAME({0:\q}NAME)({0:C}NAME)[(0)+({0:C}NAME)[(1)*(({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME))+({0:C}NAME)[(2)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)+({0:C}NAME)[(3)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)+({0:C}NAME)[(4)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4)+({0:C}NAME)[(5)*(((

{0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(5)+({0:C}NAME)[(6)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(6)

.EQN 6 0 7 0

{0:v}NAME({0:\q}NAME)(1)/({0:\b}NAME)*(({0:C}NAME)[(1)+({0}2C)[(2)*(({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME))+(3C)[(3)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)+({0}4C)[(4)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)+({0}5C)[(5)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4)+(6C)[(6)*((({0:\q}NAME)/

({0:\b}NAME)))^(5))

.EQN 6 1 10 0

{0:a}NAME({0:\q}NAME)(1)/(({0:\b}NAME)^(2))*(({0}2C)[(2)+(6C)[(3)*(({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME))+({0}12C)[(4)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)+({0}20C)[(5)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)+(30C)[(6)*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4))

.EQN 10 -1 13 0

{0:\b}NAME:180

.EQN 5 0 14 0

{0:\q}NAME:0,.1;{0:\b}NAME

.EQN 4 0 15 0

{0:h}NAME:25*{0:mm}NAME

.EQN 8 1 16 0

{0:s}NAME({0:\q}NAME):{0:h}NAME*(64*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)-192*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4)+192*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(5)-64*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(6))

.EQN 5 0 17 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:s}NAME({0:\q}NAME)*1000@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:\q}NAME

0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1

0 1 0 0 NO-TRACE-STRING
















0 1 41 15 0 3 Subida vs Theta

.EQN 26 0 18 0

{0:v}NAME({0:\q}NAME):({0:h}NAME)/({0:\b}NAME)*(192*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)-768*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)+960*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4)-384*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(5))

.EQN 6 0 19 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:v}NAME({0:\q}NAME)*1000@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:\q}NAME

0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1

















0 1 40 15 0 3 Velocidad vs. Theta

.EQN 26 0 20 0

{0:a}NAME({0:\q}NAME):({0:h}NAME)/(({0:\b}NAME)^(2))*(384*(({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME))-2304*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)+3840*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3)-1920*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(4))

.EQN 7 1 21 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:a}NAME({0:\q}NAME)*1000@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:\q}NAME

0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1

















0 1 50 15 0 3 Aceleracion vs. Theta

.EQN 26 1 22 0

{0:j}NAME({0:\q}NAME):({0:h}NAME)/(({0:\b}NAME)^(3))*(384-4608*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(1)+11520*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(2)-7760*((({0:\q}NAME)/({0:\b}NAME)))^(3))

.EQN 5 0 23 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:j}NAME({0:\q}NAME)*1000@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:\q}NAME

0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1

















0 1 47 15 0 3 Salto vs. Theta

.EQN 25 1 24 0

{0:R}NAME:100*{0:mm}NAME

.EQN 4 0 25 0

{0:y}NAME({0:\q}NAME):({0:R}NAME+{0:s}NAME({0:\q}NAME))*{0:sin}NAME({0:\p}NAME*({0:\q}NAME)/(180))

.EQN 0 20 26 0

{0:y1}NAME({0:\q}NAME):{0:R}NAME*{0:sin}NAME({0:\p}NAME*({0:\q}NAME)/(180))

.EQN 5 -20 27 0

{0:x}NAME({0:\q}NAME):({0:R}NAME+{0:s}NAME({0:\q}NAME))*{0:cos}NAME({0:\p}NAME*({0:\q}NAME)/(180))

.EQN 0 21 28 0

{0:x1}NAME({0:\q}NAME):{0:R}NAME*{0:cos}NAME({0:\p}NAME*({0:\q}NAME)/(180))

.EQN 7 -23 29 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:y}NAME({0:\q}NAME),{0:y1}NAME({0:\q}NAME)@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:x}NAME({0:\q}NAME),{0:x1}NAME({0:\q}NAME)

0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1

















0 1 48 34 0 3 Perfil de la leva

20 1026 421 1086 59 1060

.MCAD 303010000 1 74 46 0


.CMD SET ORIGIN 0

.CMD SET TOL 0.001000000000000



.CMD PRINT_SETUP 1.200000 0.983333 1.200000 1.200000 0
























.CMD UNITS U=1


.EQN 4 1 1 0



.EQN 6 0 7 0


({0:\b}NAME)))^(5))

.EQN 6 1 10 0


.EQN 10 -1 13 0

{0:\b}NAME:180

.EQN 5 0 14 0

{0:\q}NAME:0,.1;{0:\b}NAME

.EQN 4 0 15 0


.EQN 8 1 16 0


.EQN 5 0 17 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 18 0


.EQN 6 0 19 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 20 0


.EQN 7 1 21 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 1 22 0


.EQN 5 0 23 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 25 1 24 0


.EQN 4 0 25 0


.EQN 0 20 26 0


.EQN 5 -20 27 0


.EQN 0 21 28 0


.EQN 7 -23 29 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















40 1356 415 1416 76 1390

.MCAD 303010000 1 74 46 0


.CMD SET ORIGIN 0

.CMD SET TOL 0.001000000000000



.CMD PRINT_SETUP 1.200000 0.983333 1.200000 1.200000 0
























.CMD UNITS U=1


.EQN 4 1 1 0



.EQN 6 0 7 0


({0:\b}NAME)))^(5))

.EQN 6 1 10 0


.EQN 10 -1 13 0

{0:\b}NAME:180

.EQN 5 0 14 0

{0:\q}NAME:0,.1;{0:\b}NAME

.EQN 4 0 15 0


.EQN 8 1 16 0


.EQN 5 0 17 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 18 0


.EQN 6 0 19 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 20 0


.EQN 7 1 21 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 1 22 0


.EQN 5 0 23 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 25 1 24 0


.EQN 4 0 25 0


.EQN 0 20 26 0


.EQN 5 -20 27 0


.EQN 0 21 28 0


.EQN 7 -23 29 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















60 1669 585 1994 60 1670

.MCAD 303010000 1 74 47 0

.CMD PLOTFORMAT

0 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0 1

















0 1 21 15 0 3


.CMD SET ORIGIN 0

.CMD SET TOL 0.001000000000000



.CMD PRINT_SETUP 1.200000 0.983333 1.200000 1.200000 0
























.CMD UNITS U=1


.EQN 4 1 1 0



.EQN 6 0 7 0


({0:\b}NAME)))^(5))

.EQN 6 1 10 0


.EQN 10 -1 13 0

{0:\b}NAME:180

.EQN 5 0 14 0

{0:\q}NAME:0,.1;{0:\b}NAME

.EQN 4 0 15 0


.EQN 8 1 16 0


.EQN 5 0 17 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 18 0


.EQN 6 0 19 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 0 20 0


.EQN 7 1 21 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 26 1 22 0


.EQN 5 0 23 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















.EQN 23 2 47 0

&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:s}NAME({0:\q}NAME),{0:v}NAME({0:\q}NAME)*100,{0:a}NAME({0:\q}NAME)*1000,{0:j}NAME({0:\q}NAME)*10000@&&(_n_u_l_l_&_n_u_l_l_)&{0:\q}NAME

0 0 1 1 10 0 1

0 0 1 1 10 0 1

















0 1 41 25 0 3 Curvas vs Theta

.EQN 33 -1 24 0


.EQN 4 0 25 0


.EQN 0 20 26 0


.EQN 5 -20 27 0


.EQN 0 21 28 0


.EQN 7 -23 29 0


0 1 1 1 10 0 1

0 1 1 1 10 0 1


















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