El infinito en el aula de matemática. El infinito en el aula de matemática. Un estudio de sus representaciones Un estudio de sus representaciones

sociales desde la socioepistemologíasociales desde la socioepistemología

Seminario de Investigación en Matemática Seminario de Investigación en Matemática Educativa IIIEducativa III

Patricia LestónPatricia LestónDirectora: Dra. Cecilia Crespo CrespoDirectora: Dra. Cecilia Crespo Crespo

6 de marzo de 20096 de marzo de 2009

22

Hipótesis central: uno de los motivos que llevan a que la construcción de los elementos del cálculo resulte tan compleja es la ausencia en el discurso matemático escolar del infinito matemático como elemento a ser construido.

Infinito intuitivo

- los alumnos lo construyen extraescolarmente

- resulta suficiente para fundamentar nociones del discurso matemático escolar (límite, continuidad, densidad, etc.)

33

En función de esta hipótesis:

- Necesidad de estudiar al infinito matemático para poder caracterizar las cuestiones que deben tratarse en la escuela, considerando los elementos del infinito intuitivo que ya son parte de la cultura del estudiante.

44

Construcciones extraescolares de alumnos

no siempre compatibles con lo que la matemática necesita

(Lestón, 2008)

55

“En los sentimientos, en el tiempo, en el espacio, en la religión, el infinito “cierra”: convence, caracteriza de manera tal que todo el mundo sabe de lo que se está hablando. Los conflictos aparecen sólo dentro de la matemática: entonces, ¿por qué alguien cambiaría un modelo que no tiene problemas (el modelo intuitivo) por un modelo que se muestra contradictorio, conflictivo y que “no convence” (el modelo matemático)? […] El infinito surge y ha surgido, no desde la matemática, sino desde la contemplación de lo que rodea al ser humano. Es un concepto que se construye socialmente antes que matemáticamente, y es por esa naturaleza que debe incluirse en la escuela el medio social y las ideas construidas en ese medio dentro de la escuela.”

(Lestón, 2008, pp. 115-116)

66

- Necesario en los escenarios escolares

-Debe construirse a partir de elementos que los estudiantes han construido fuera de la escuela.

- No se puede reemplazarse un modelo propio, intuitivo, por uno matemático sin mediar un “puente” entre ellos, que permita al estudiante transitar entre un modelo y otro, sin quebrar la continuidad de las ideas.

Infinito matemático

77

adentro y el afuera se mezclan

escuela y no-escuela se complementan

lo cotidiano y lo académico se tocan en más de un punto

No escenarios estancados, disociados... Deben alimentarse uno al otro:

el no escolar al escolar y el escolar al no escolar

88

“En este sentido, la postura socioepistemológica considera que la matemática no es una ciencia que surge aislada de la sociedad, sino inmersa en ella y por lo tanto recibe influencias fuertemente basadas en el pensamiento, las necesidades y características del escenario en que se desarrolla. De esta manera, es que el contexto social, cultural e históricamente determinado actúa como parte indiscutible de este proceso de nacimiento, desarrollo y evolución de la ciencia, debiendo tenerse en cuenta que el conocimiento no surge en escenarios escolares, hecho que por lo tanto, debe tenerse en cuenta en la construcción del discurso matemático escolar.”

(Crespo Crespo, 2007, pp. 9-10)

99

Socioepistemología

Marco teórico que nos permite observar lo que ocurre en el aula considerando la interrelación entre cuatro planos que intervienen en la construcción de conocimiento matemático:

Epistemológico

Didáctico

objeto

matemático

Cognitivo Social

1010

Construcción del conocimientoConstrucción del conocimiento

- Proceso inmerso en la culturaProceso inmerso en la cultura- Tiene carácter socioculturalTiene carácter sociocultural- Generamos representaciones sociales de objetosGeneramos representaciones sociales de objetos

1111

“Las representaciones sociales son formas de interpretar nuestra vida diaria, estilos de modelos del conocimiento social. Toda actividad mental individual está determinada a través del contexto grupal en que se desarrolla el individuo, por tanto la noción de representación social nos sitúa en un punto en que aprehendemos diariamente de nuestro medio ambiente la información que se vierte sobre el de las demás personas. El conocimiento es, entonces, “espontáneo”, socialmente elaborado y compartido.”

(Sánchez Lujan, 2009, p. 17)

1212

se construye sobre

un objeto con determinadas características

(objeto social)

su existencia dependerán del grupo social

Representación social

es

forma de adueñarse de un concepto o idea

ese objeto se entiende como importante no sólo para la persona individual sino para el grupo

1313

“Lo social es una propiedad que se imprime en determinados objetos con base en la naturaleza de la relación que se establece con ellos, y es precisamente la naturaleza de esa relación la que es definitoria de lo social. Veámoslo con un ejemplo: el agua de los ríos, el agua bendita y el agua para beber. La segunda por la implicación simbólica que tiene para los y las actoras sociales, y la tercera por la relación vitalmente relevante que se establece con ella, pueden considerarse objeto social, mientras que el agua de los ríos — a excepción de que provoque un desastre social — puede considerarse como algo irrelevante y sin entidad social.”

(Araya Umaña, 2002, p. 32)

1414

“Las (RS) se estructuran a partir de la información, la experiencia, el conocimiento y los modelos de pensamiento y se construyen mediante imágenes, sistemas y categorías sobre un elemento en particular.

En resumen, toda (RS) posee las siguientes características:-Siempre son la representación de un objeto,-Tienen carácter de imagen y es posible realizar pequeños cambios en la idea, la percepción y el concepto.-Poseen un carácter simbólico y significante.-Poseen un carácter constructivo.-Poseen carácter autónomo y creativo.”

(Sánchez Luján, 2009, p. 19)

1515

¿Es el infinito un objeto social?

La Teoría de las Representaciones Sociales explica a los objetos sociales como aquellos objetos que definen de cierta manera al grupo, alrededor de los cuales se tienen formas de actuar y normas de convivencia.

1616

Infinito como objeto social

Podemos identificar varios “infinitos” como objetos sociales de distintos grupos sociales (grupos no excluyentes entre sí, sino que comparten miembros)

- no están completamente disociados,

- comparten un origen común

- Sin embargo, las representaciones sociales que se hacen de cada uno de ellos son diferentes

1717

- Infinito “natural”: - sinónimo de “muy grande o sin fin” - existe para cualquier grupo social - es ingenuo, - el primero construido

- Infinito “filosófico” - asociado a ideas cercanas a religión o filosofía - no es objeto social para cualquier grupo (sólo si se plantean discusiones teológicas o filosóficas en sus reflexiones)

- Infinito “matemático” - caracteriza objetos matemáticos (límite de funciones, cardinal de conjuntos). - existe en comunidades que logran cierto conocimiento matemático y que se preocupan por la construcción de la matemática como ciencia

1818

Representaciones sociales

Las entendemos como elementos tomados desde una aproximación teórica que pueden ayudarnos desde la socioepistemología para comprender cómo ocurren los procesos de construcción de ideas asociadas a objetos sociales.

1919

¿Qué ocurre en el aula de escuela media con el infinito?

-Considerado un “conocimiento previo”, construido socialmente fuera de la escuela.

-Se lo asume como compatible con el infinito matemático

-Está inmerso en el Discurso Matemático Escolar como término pero no como conocimiento a construir

- A lo largo de la vida escolar, los alumnos “ajustan” sus ideas para que sean funcionales a las necesidades escolares del infinito matemático

- Lo que observamos como conflicto es cómo se produce esa adaptación: no se hace de manera conciente porque para los docentes esa distinción no es clara

2020

“La representación posee, entonces, un doble sistema:‘Un sistema central’, esencialmente social, que relaciona las condiciones históricas, sociológicas e ideológicas. Su papel es esencial en la estabilidad y coherencia de la representación‘Un sistema periférico’, asociado a las características individuales, permite, de esta forma, una adaptación en función de las experiencias personales en torno al núcleo central. El sistema periférico no se considera menor que el central, es fundamental para la preservación o transformación de la RS.”

(Sánchez Luján, 2009, p. 22)

2121

Sistema periférico

Núcleo Infinito no matemático

2222

El sistema periférico es el que, por sus características, es modificable, permite las adaptaciones a las nuevas ideas que surgen de la experiencias personales.

Esa flexibilidad además es la que protege al núcleo, que es lo que debe conservarse para no quedar afuera del grupo que le ha ayudado a construir esa representación.

2323

SISTEMA CENTRAL SISTEMA PERIFÉRICO

Vinculado a la memoria colectiva y a la historia

de grupo

Permite la integración de las experiencias e

historias individuales

Consensual, define la homogeneidad del

grupo

Soporta la heterogeneidad el grupo

Estable, coherente y rígido Flexible: soporta las contradicciones

Resiste al cambio Evolutivo

Poco sensible al contexto inmediato

Sensible al contexto inmediato

(Sánchez Luján, 2009, p. 23)

2424

“Para cambiar una (RS) es necesario romper con la representación anterior, lo que algunas veces resulta difícil por la coexistencia que se da entre la concepción anterior y la nueva que se proponga. En la enseñanza de la matemática, esto será posible en la medida en que se diseñen situaciones que involucren a los alumnos en procesos de cambio”

(Sánchez Luján, 2009, p. 23)

2525

Desde la socioepistemología y haciendo uso de las representaciones sociales nos proponemos dos objetivos:

1. Detectar cuál es la representación social del infinito no matemático de los alumnos de escuela media y analizar cuáles son las adaptaciones a las contradicciones que surgen producto de la matemática escolar

2. Estudiar con alumnos del Profesorado en Matemática y con Profesores de Matemática cuál es la representación social del infinito matemático e intentar detectar la secuencia y/o cuestiones que provocaron en ellos la construcción del infinito matemático

2626

Estado del arte

Hemos reportado hasta este momento una serie de trabajos en relación al infinito. A modo de organización de la información encontrada decidimos categorizar los artículos de acuerdo a la manera en que el autor encara al infinito.

Las categorías utilizadas y que son consideradas en este enfoque inicial del estado del arte con la finalidad de ir realizando un análisis preliminar de las publicaciones existentes en relación con el concepto de infinito son:

2727

a. Epistemología del infinito: En esta categoría se considerarán los trabajos que se centren en el estudio epistemológico del concepto, o que presenten una reseña de esta naturaleza para después mostrar o justificar propuestas didácticas, análisis del discurso matemático escolar u otras cuestiones.

b. Cuestiones culturales: En esta categoría se tendrán en cuenta los trabajos que incluyan en su estudio cuestiones culturales, de la actualidad o del momento histórico en que se realizaron las construcciones a las que hacen referencia.

2828

c. Propuestas didácticas: Caerán en este grupo los trabajos que incluyan ideas o propuestas para la introducción o tratamiento escolar del infinito, fundamentadas en cuestiones históricas, culturales, epistemológicas o de la vida cotidiana.

d. El infinito en el DME: Se incluirán aquí aquellas publicaciones en las que se estudie el lugar que ocupa este concepto en las clases de matemática, considerando la forma en que se presenta, en que se utiliza, se caracteriza o se define.

2929

e. Construcción Sociocultural: En esta categoría entrarán aquellos artículos o trabajos que consideren no sólo la cuestión cultural, sino también la construcción social de este concepto. Es decir, aquellos trabajos en que los escenarios de desarrollo de esas cuestiones culturales sean cristalizados.

f. Conflictos cognitivos: Se considerarán en esta categoría los trabajos que se enfoquen en el estudio de los conflictos cognitivos que se asocian al concepto de infinito.

3030

Primera Experimentación

Cuestionario basado en el trabajo de Cantor y Bolzano

Objetivo:

-Enfrentar a los alumnos de 3° y 4° año del Profesorado de Matemática con las construcciones de Cantor y Bolzano

-Indagar sobre sus visiones asociadas al infinito matemático dentro de la escuela

3131

Fragmentos considerados

El Capítulo 1 de Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta de Georg Cantor (2006) (pp. 85-88)

El Capítulo 12 de Las paradojas del infinito de Bernard Bolzano (1991) (pp. 46-50)

3232

Análisis de los fragmentos

Capítulo 1 de Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta de Georg Cantor (2006) (pp. 85-88)

- Inicia con una justificación de la necesidad de estudiar formalmente el infinito dentro de la matemática

3333

“La dependencia en que me veo respecto a esta extensión del concepto de un número es tan grande, que sin ésta última apenas me sería posible dar sin violencia el menor paso adelante en la teoría de conjuntos; valga esta circunstancia como justificación, o si es necesario como excusa, por la introducción de ideas aparentemente extrañas en mis consideraciones”

(Cantor, 2006, p. 85)

3434

-El autor además anticipa a todos los enfrentamientos que posteriormente tendría que sufrir por su trabajo

“Al hacerlo no me oculto en absoluto que con esta empresa me sitúo en una cierta oposición respecto a intuiciones ampliamente difundidas acerca del infinito matemático, y respecto a puntos de vista sobre la esencia de las magnitudes numéricas defendidas a menudo.”

(Cantor, 2006, p. 85)

3535

- Se distingue a continuación la construcción de infinito que existía hasta el momento y lo que él mismo Cantor propone

Infinito impropio

“el papel de una cantidad variable que o bien crece más allá de todos los límites o bien se hace tan pequeña como se desee, pero siempre continúa siendo finita” (Cantor, 2006, p. 85).

3636

Infinito propioo determinado

Permite justificar la existencia de un punto en el campo que representa la variable compleja ubicado en el infinito, infinitamente distante de los otros pero determinado; sobre el cual se examina el comportamiento de la función del mismo modo que se hace con el resto de los puntos ubicados en la región finita, encontrándose el mismo tipo de comportamiento.

Sirve de base para los números transfinitos y el trabajo con potencias

3737

“Conforme a este concepto, a todo conjunto bien definido le corresponde una potencia determinada, de modo que dos conjuntos tienen la misma potencia si se pueden coordinar uno con otro, elemento a elemento, biunívocamente”

(Cantor, 2006, p. 88)

3838

Hasta aquí, lo que Cantor logra es caracterizar al infinito no como el resultado de lo finito cambiando, sino como un elemento con entidad, con existencia justificada por el uso previo a su definición, por su coherencia con lo ya existente y aceptado en un cuerpo de conocimiento.

Y si bien no encontramos aquí una definición de lo que es el infinito, podemos encontrar un sustento para su entidad como objeto de conocimiento.

3939

Capítulo 12 de Las paradojas del infinito de Bernard Bolzano (1991) (pp. 46-50)

-Bolzano discute en este fragmento las caracterizaciones que se manejaban hasta ese momento para el infinito

“Algunos matemáticos […] han creído ofrecer una explicación del infinito al describir a éste como una cantidad variable; cuyo valor se incrementa sin límite y puede sobrepasar cualquier cantidad dada, independientemente de la magnitud de ésta. El límite de ese crecimiento ilimitado sería una cantidad de magnitud infinita.”

(Bolzano, 1991, p. 47)

4040

Dificultad que detecta Bolzano: la cantidad variable, no es una cantidad sino una noción de cantidad, la idea de una cantidad. Y el infinito no puede pensarse como una cantidad determinada.

“Lo que estos matemáticos llaman infinito no es, sin embargo, alguno de los distintos valores que toma, por ejemplo, la expresión tan(φ) para distintos valores de φ, sino más bien aquel valor individual singular que imaginan (en este caso, sin razón) tan(φ) que esa expresión tiene para φ=π/2”

(Bolzano, 1991, p. 47)

4141

Se considera luego a Spinoza y otros filósofos y matemáticos, y a una definición demasiado reducida para un concepto tan difícil.

“Según ellos, sólo es infinito aquello que no es ya susceptible de un incremento adicional o aquello a lo que ya no se puede añadir (adicionar) nada más”

(Bolzano, 1991, p. 47)

4242

Y lo refuta con un ejemplo sencillo

“Los matemáticos consideran natural añadir una cantidad a cualquier otra. [...] Lo añadido pueden ser cantidades infinitas, se puede multiplicar una cantidad infinita infinitas veces, etc.

[…] ¿qué matemático que no rechace sin más todo lo que tenga que ver con el infinito no aceptará que la longitud de una recta acotada solamente en una dirección, pero que se extiende al infinito en la otra, es infinitamente grande y, no obstante, al mismo tiempo, que puede prolongarse y hacerse más grande extendiéndola en el sentido de la primera dirección?”

(Bolzano, 1991, p. 48)

4343

La tercera definición que se presenta afirma “que es infinito lo que no tiene un fin” (p. 48).

Esta definición, según Bolzano, sigue siendo insatisfactoria. El fin que entiende el autor es un fin en el tiempo, un acabar, por lo cual, lo que no es susceptible a ser ubicado temporalmente, como los entes matemáticos, no podrían caer en la clasificación de finito o infinito.

4444

Y por último considera lo que se plantea dentro de la psicología racional, con una consecuencia interesante respecto al ejemplo que toma.

“También en la psicología racional llamamos infinita a una capacidad cognoscitiva si existe un conjunto de verdades infinito (por ejemplo el que contiene a las que enuncian la serie infinita de los dígitos de la representación decimal de la cantidad √2), independientemente de que se alcance o no la omnisciencia”

(Bolzano, 1991, p. 49)

4545

“La actitud más generalizada consiste en decir que lo infinitamente grande es aquello más grande que cualquier cantidad dada o asignada. Lo que aquí se requiere es, en primer lugar, una determinación precisa del pensamiento que las palabras ‘asignada’ o ‘asignable’ sugieren. ¿Significan únicamente que algo es posible, que puede tener realidad o que no es contradictorio?”

(Bolzano, 1991, p. 49)

4646

Sobre esta definición Bolzano encuentra un significado más para el término asignable, que es “simplemente aquello que, de alguna manera, se presenta ante nosotros; es decir, aquello que puede convertirse en un objeto de nuestra experiencia” (p. 50).

El problema entonces se traslada a la naturaleza de la infinitud de un objeto, si se lo considera una característica interna del objeto, entonces no tiene que ver con que sea o no objeto de nuestra experiencia.

4747

“El problema de si un objeto dado es o no infinito no puede, ciertamente, depender de si su cantidad es algo que podamos o no percibir, de si somos o no capaces de tener una visión global de ella”(Bolzano, 1991, p. 49)

4848

¿Qué ocurre en el aula?

-Existen muchas dificultades en el tratamiento del infinito matemático dentro de la matemática

-Buscamos el sentido de incluir al infinito matemático en el discurso matemático escolar

4949

Cuestionario aplicado

1-

a. ¿Qué tipos de infinito distingue George Cantor en este texto? Define, caracteriza y ejemplifica según lo expuesto por Cantor.

b. ¿Qué opinas de esa distinción? Explícala utilizando argumentos de la historia y los fundamentos de la matemática y de la matemática involucrada en la misma.

5050

2-

a. ¿Cuáles de esos infinitos están presentes en la escuela, y en las instituciones educativas en general?

b. ¿Cómo consideras que son construidos por los estudiantes?

5151

3-

Bernard Bolzano discute algunas explicaciones de diversos autores en relación a lo que es el infinito. Compara éstas con la que da Cantor, analizando la naturaleza de los elementos que se discuten para fundamentarlas.

5252

4-

Las caracterizaciones de infinito que se critican en el texto de Bolzano suelen aparecer en la escuela. ¿Podrías pensar en otra forma de presentar el infinito en la escuela para que no cayera en ninguna de las críticas que hace Bolzano?

5353

5-

¿Qué opiniones crees que surgieron a fines del siglo XIX y principios del XX frente a cada una de las ideas que plantean Cantor Y Bolzano en estos textos?

5454

Estas preguntas cumplen un doble propósito: por un lado, conocer lo que los alumnos de Profesorado comprenden en relación a lo que Cantor y Bolzano han trabajado, y por otro, conocer las reflexiones que estos futuros docentes tienen en relación al infinito como elemento presente en la clase de matemática.

5555

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