les matemÀtiques de les ciÈncies socials (1r i 2n d eso) · socials, ciències de la naturalesa,...

LES MATEMÀTIQUES

DE LES CIÈNCIES SOCIALS

(1r i 2n d’ESO)

Núria Magrins Oller INS Gorgs Curs 2009-2010

1

ÍNDEX

1. Introducció ................................................................................................ 3

1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material .................................. 3

1.2. Aportació de les Ciències socials a la competència matemàtica ..... 4

1.3. Coordinació de les programacions ................................................... 4

1.4. Estructura del dossier........................................................................ 5

2. Consideracions generals........................................................................... 5

2.1. Consideracions específiques de la matèria de Ciències Socials...... 5

2.2 Aproximacions decimals, i altres consideracions............................... 6

3. Latitud i longitud. Coordenades geogràfiques.......................................... 7

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Angles. Sistema sexagesimal........................................................... 7

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?.............................. 7

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?................................. 7

4. L’escala dels mapes.................................................................................. 10

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Canvi d’unitats de longitud Magnituds proporcionals. Constant de proporcionalitat................... 10


4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................... 10

4.3.1. Canvi d’unitats de longitud..................................................... 10

4.3.2. Magnituds proporcionals. Constant de proporcionalitat........... 11

5. Ús de percentatges a la vida quotidiana................................................... 15

5.1 Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Proporcionalitat. Fraccions. Nombres decimals............................... 15


5.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?................................. 15

5.3.1. Concepte de percentatge......................................................... 15

5.3.2. Càlcul d’un percentatge........................................................... 17

6. Interpretació de gràfics.............................................................................. 21

6.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Interpretació de gràfics lineals Diagrames de barres Diagrames de sectors. Percentatges (concepte)............................. 21


2


6.3.1. Interpretació de gràfics lineals................................................. 22

6.3.2. Interpretació de gràfics o diagrames de barres........................ 22

6.3.3. Interpretació de gràfics o diagrames de sectors......................

23

7. El temps i el clima..................................................................................... 27

7.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Nombres enters Interpretació de gràfics Mitjana aritmètica.............................................................................. 27



7.3.1. Nombres enters. Concepte, ordenació, suma i resta.............. 27

7.3.2. Interpretació de gràfics............................................................ 30

7.3.3. Mitjana aritmètica.................................................................... 30

8. Climogrames............................................................................................. 33

8.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Mitjana aritmètica Nombres enters Elaboració de gràfics lineals i de barres........................................... 33



8.3.1. Elaboració de gràfics lineals................................................... 33

8.3.2. Elaboració de gràfics o diagrames de barres......................... 35

9. Continents i paisatges d’Europa, Espanya i Catalunya............................ 37

9.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Concepte d’unitat de superfície.......................................................... 37



10. Història.................................................................................................... 40

10.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Nombres enters Nombres romans

Intervals......................................................................................... 40



10.3.1. Nombres enters.................................................................... 40

10.3.2. Intervals................................................................................ 42

3

1. INTRODUCCIÓ 1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material El nostre centre, l’IES Gorgs de Cerdanyola del Vallès, està duent a terme un Pla de Millora aprovat pel Departament d’Educació. Aquest Pla de Millora té com un dels seus objectius prioritaris millorar els resultats de les competències bàsiques de l’alumnat en tots els àmbits curriculars. Una de les primeres accions realitzades va ser la posada en funcionament d’una coordinació interdepartamental per tal de debatre sobre la transversalitat de les competències bàsiques i les connexions entre les matèries. D’aquestes reunions interdepartamentals va sorgir la idea d’incorporar la comprensió lectora com a contingut de totes les àrees. Aquesta idea es va desenvolupar i posar en pràctica durant el curs 2008-2009. A finals del mateix curs, el centre –tant a nivell de l’equip directiu, com de tot el claustre del professorat- va manifestar la voluntat de treballar seriosament en el sentit de millorar la competència matemàtica implicant-hi totes les àrees que tinguin relació amb les matemàtiques.

En el decret pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria, el Departament d’Educació precisa que la competència matemàtica té un caràcter transversal a totes les matèries i que per millorar-la cal que els aprenentatges dels continguts matemàtics s’orientin cap a la seva utilització a la vida diària i a les altres àrees del coneixement. Tradicionalment, però, estem acostumats a un model educatiu molt compartimentat en matèries o assignatures on les matemàtiques solen ser tractades sense connexió amb les altres matèries. Cal que el nostre alumnat pugui veure les matemàtiques com un valor instrumental que ajuda a l’aprenentatge de les altres disciplines. A més, establir connexions entre els continguts matemàtics i els no matemàtics contribueix clarament a donar sentit als primers, ja que mostra el seu origen i les seves aplicacions. Una altra necessitat que se’ns planteja a l’hora de mirar les matemàtiques de manera interdisciplinar és l’acurada selecció i seqüenciació de continguts. Cal optimitzar l’ensenyament dels continguts matemàtics presents en els currículums de les diferents àrees, aconseguint que la duplicitat que es produeix a l’hora de treballar els aspectes matemàtics es faci de manera coordinada tant en el temps com en el procediment. Cal, doncs, que coneguem quines matemàtiques treballem a cada àrea, com les treballem i en quin moment. Quan treballem un mateix concepte des de diferents matèries, cal que el professorat ho tinguem present i que els alumnes vegin pautes coherents i el puguin interrelacionar. Per acabar, voldria afegir la importància que aquest material pot tenir per al professorat. Per una banda, ha de servir als docents experts, tant de Matemàtiques com de Ciències socials, per reflexionar sobre la nostra metodologia a l’hora de ensenyar les matemàtiques i de connectar les dues matèries. I, per altra banda, pot ser un material molt útil per al professorat de nova incorporació al centre, ja que disposarà d’una guia sobre com treballar les matemàtiques que apareixen a les Ciències socials en cada curs.

4

1.2. Aportació de les Ciències socials a la competència matemàtica

Segons el decret del Departament d’Educació pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria, la contribució de l’assignatura de Ciències socials a l’assoliment de la competència matemàtica se centra en els aspectes següents: - Utilitzar els nombres i el càlcul (la proporcionalitat, els percentatges, etc.), aplicats a la

cronologia i l’anàlisi de fenòmens. - Utilitzar tècniques de representació geomètrica per descriure, raonar i projectar

formes dels objectes i els espais. - Utilitzar amb propietat instruments i tècniques per dibuixar, mesurar i calcular. - Recollir, interpretar i comunicar informació de taules i gràfics. - Desenvolupar estratègies en la resolució de problemes. 1.3. Coordinació de les programacions Un cop analitzats els continguts matemàtics presents en les matèries de Ciències socials, Ciències de la naturalesa, Tecnologies i Educació visual i plàstica de 1r i 2n d’ESO, el departament de Matemàtiques ha reestructurat la seva programació per tal d’adaptar-la al màxim a les necessitats de les altres matèries. Tot i això, no ha estat possible fer una seqüenciació dels continguts a l’assignatura de Matemàtiques de manera que s’expliqui a l’alumnat tot el necessari abans que es treballi a les altres matèries. Per intentar solucionar aquest fet, s’han realitzat dues accions. Al començament d’alguns trimestres s’ha introduït a l’assignatura de Matemàtiques el TEMA 0. En aquest tema es donen nocions bàsiques de continguts matemàtics directament aplicables a d’altres assignatures i que s’estudiaran durant el trimestre. Per exemple, en el TEMA 0 del primer trimestre de 1r d’ESO s’explicaran nocions bàsiques d’angles aplicades a les coordenades geogràfiques i el concepte de proporció per entendre les escales. Per altra banda, s’ha fet una proposta sobre la metodologia a emprar en cada un dels continguts matemàtics que apareixen a l’assignatura en qüestió. D’aquesta forma, si encara no s’han fet a la classe de matemàtiques, el professorat de Ciències socials sabrà com es treballaran aquests continguts i li podrà servir d’orientació. Cada departament disposarà d’una graella-resum on constaran els continguts matemàtics treballats a cada matèria en cada trimestre. Per últim, s’aconsella adaptar al màxim, també, la programació de Ciències socials per tal d’optimitzar l’assoliment dels continguts matemàtics presents en el currículum d’aquesta matèria.

5

1.4. Estructura del dossier

El present dossier està estructurat de la forma següent: en primer lloc, hi ha un apartat de CONSIDERACIONS GENERALS. A partir d’aquí, cada un dels apartats següents porta el títol del TEMA de Ciències socials on apareixen continguts matemàtics. En cada un d’aquests apartats hi ha tres parts que s’expliquen a continuació: TEMA Continguts matemàtics que s’hi utilitzen. En aquest apartat només s’escriuen els títols dels continguts matemàtics necessaris per a aquest tema.

Quan es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat es diu en quin moment del curs es treballa a la classe de matemàtiques cada un dels continguts descrits en l’apartat anterior, segons la nova programació. Cal tenir present que durant el curs 2010-2011 es començarà a aplicar la nova programació de Matemàtiques només a 1r d’ESO. A 2n d’ESO s’aplicarà a partir del curs 2011-2012. Cal posar atenció als continguts que es treballen a les dues matèries gairebé alhora ja que, segons la dinàmica del grup-classe, no sempre es pot seguir la temporització de la programació.

Com es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat s’explica la metodologia emprada, a la classe de matemàtiques, per assimilar cada un dels continguts descrits en el primer apartat. Cal tenir en compte que aquest dossier va dirigit al professorat i, per tant, s’han omès moltes parts que sí que es fan a l’aula i, en canvi, es defineixen conceptes necessaris per al professorat que no són estrictament necessaris per a l’alumnat. Per introduir un concepte nou a la classe de matemàtiques es solen plantejar problemes concrets per resoldre i, sempre que es pot, contextualitzats. Es provoca una discussió sobre la forma de resoldre el problema plantejat i finalment s’ordenen les idees sorgides i es defineix el concepte o el mètode que s’està estudiant. Finalment, i dins d’aquest apartat, de vegades hi ha unes Recomanacions a tenir en compte quan es treballen aquells conceptes de més difícil assimilació per part de l’alumnat o aquells procediments on cometen més errors. 2. CONSIDERACIONS GENERALS 2.1. Consideracions específiques de la matèria de Ciències socials

La part de l’assignatura de Ciències socials que conté més conceptes matemàtics és la geografia. En la programació de 2n d’ESO de Ciències socials del nostre centre només hi ha la part d’història ja que tota la part de geografia es fa a 3r d’ESO. Els continguts matemàtics que apareixen a 2n d’ESO, són doncs, els mateixos que apareixen a la part d’història de 1r d’ESO i, és per això, que s’ha considerat oportú fer un únic dossier de Ciències socials per als dos cursos. En tots els apartats d’aquest dossier que porten el títol: Quan es treballa a la classe de matemàtiques?, la temporització fa referència al curs de 1r d’ESO.

6

2.2. Aproximacions decimals i altres consideracions Si la solució d’un problema és un nombre amb moltes xifres decimals, cal fer una aproximació d’aquest nombre. A la classe de matemàtiques sempre recomanem fer l’arrodoniment del nombre en qüestió amb dues o tres xifres decimals, com a màxim. Arrodonir un nombre amb dos decimals (fins als centèsims) significa donar la millor aproximació amb dues xifres decimals del nombre. Això s’aconsegueix observant la tercera xifra decimal. Si aquesta és una xifra menor que 5, l’arrodoniment es farà tallant als centèsims (truncament). Si la tercera xifra decimal és més gran o igual a 5, l’arrodoniment s’aconsegueix sumant un centèsim al truncament. Per exemple, si volem arrodonir amb dos decimals el nombre A = 45,67385...., observem que la tercera xifra decimal és un 3 (menor que 5). L’arrodoniment del nombre A amb dos decimals serà, doncs, A ~ 45,67. Si volem fer el mateix amb el nombre B = 0,24515...., com que la tercera xifra decimal és un 5 (major o igual que 5), l’arrodoniment del nombre serà B ~ 0,25. Si volem arrodonir els nombres A i B amb tres decimals, haurem d’observar la quarta xifra decimal i seguir el mateix procés. Així doncs, A ~ 45,674 i B ~ 0,245. Sempre cal donar els nombres que indiquen quantitats d’euros amb dues xifres decimals. Si el resultat d’una operació amb euros ens dóna més de dues xifres decimals, hem de fer l’arrodoniment i si només té una xifra decimal, hem d’escriure en el lloc dels centèsims (cèntims d’euro) un 0. Si no es fa d’aquesta forma, pot portar a confusió a l’hora d’interpretar la lectura d’aquest nombre d’euros. Per exemple, si diem que un objecte val vint-i-quatre amb tres, no sabem si ens referim a vint-i-quatre euros i tres cèntims o a vint-i-quatre euros i 30 cèntims ja que 24,03 ≠ 24,3 = 24,30. Cal escriure 24,30 € i llegir vint-i-quatre amb 30. Sobre l’aplicació de la regla de tres simple, cal fer notar que és correcta només en alguns casos. Aquests casos es descriuen en els apartats corresponents del dossier. No obstant això, l’alumnat tendeix a aplicar-la també, en d’altres situacions on el seu ús és incorrecte. En aquest dossier i en cada cas concret es dóna una alternativa fàcil i entenedora a la regla de tres. I, per últim, voldria remarcar el fet que quan l’alumnat es troba davant d’un problema que ha de resoldre, l’objectiu final és trobar-hi la bona solució. No és tan important el mètode utilitzat per arribar a aquesta solució, sempre que sigui correcte. Com a docents, hem d’estar oberts a diferents formes de resoldre un problema i a diferents formes d’ensenyar a resoldre un problema. Si davant un concepte a assolir, una part de l’alumnat té grans dificultats, cal reflexionar i buscar alternatives per intentar minimitzar aquestes dificultats. Aquest dossier és un material obert que podem anar canviant i millorant entre tots, curs rere curs, i que espero que us sigui de molta utilitat.

7

3. LATITUD I LONGITUD. Coordenades geogràfiques.

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

ANGLES. SISTEMA SEXAGESIMAL

3.2 . Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

Es fa una introducció als angles i al sistema sexagesimal entre la segona i la tercera setmana de curs.

3.3 . Com es treballa a la classe de matemàtiques?

Definició d’angle com a regió del pla: és la part o porció del pla limitada per

dues semirectes que tenen l’origen en un mateix punt.

Definició d’angle com a gir: és la regió del pla escombrada per una semirecta

en girar al voltant del seu origen, és a dir, la regió del pla que escombra una semirecta en moure’s fixant el seu origen. L’angle queda determinat per les posicions inicials i finals de la semirecta. Aquesta segona definició ens ajuda a la classe de matemàtiques quan cal definir angles orientats, positius i negatius.

Una unitat per mesurar angles és el grau sexagesimal (º). Un grau és la norantena part d’un angle recte, és a dir, si dividim un angle recte en 90 angles iguals, cada un d’aquests angles mesura 1º. Perquè es pugui apreciar un angle d’un grau cal fer les semirectes prou llargues.

Cada grau està dividit en 60 minuts d’arc i cada minut d’arc en 60 segons d’arc (A la pràctica diem minuts i segons). Els múltiples i submúltiples van de 60 en 60, per això se’n diu sistema sexagesimal.

Un angle recte mesura 90º Un angle pla mesura 180º

8

Recomanacions

A molts llibres de text defineixen la latitud i la longitud com a distàncies. Si fossin distàncies, donaríem aquestes coordenades amb una unitat de longitud, per exemple, el km; i, en canvi, les donem amb graus, minuts i segons, que són unitats d’angles. En realitat, les coordenades geogràfiques latitud i longitud són angles que tenen el seu vèrtex al centre de la Terra i com a primera semirecta el radi cap a l’equador en el cas de la latitud i cap al meridià de Greenwich, en el pla equatorial, en el cas de la longitud. És bo que l’alumnat vegi dibuixats quins són aquests angles.

Les coordenades geogràfiques del punt P són: 60º8’ N 129º42’ O.

9

La paraula longitud confon l’alumnat. Cal deixar clar que la coordenada geogràfica anomenada longitud és un angle. El que sí que es pot fer a partir d’aquest angle i del radi de la Terra és calcular la longitud (distància) del seu arc de circumferència sobre la superfície terrestre.

Un minut d’arc o un segon d’arc és imperceptible en un transportador d’angles. En canvi, les coordenades geogràfiques d’un punt del planeta es donen en graus, minuts i segons. Aquesta precisió és necessària ja que un minut d’arc amb el radi de la Terra abraça una longitud d’una milla marítima, és a dir, de 1,85 km aproximadament. En el dibuix següent tenim un exemple amb un angle de 10º i dos radis diferents.

10

4. L’ESCALA DELS MAPES


CANVI D’UNITATS DE LONGITUD MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

4.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

CANVI D’UNITATS DE LONGITUD

Es repassa només començar el curs MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

Entre la tercera i la quarta setmana de curs es dóna la idea de proporcionalitat enfocada a treballar les escales tant de reducció com d’ampliació. A la matèria de Tecnologies comencen també amb aquests conceptes amb una part de l’alumnat. En aquest dossier, només hi haurà la part d’escales per reducció ja que és la que s’utilitza a Ciències socials.

4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

4.3.1. CANVI D’UNITATS DE LONGITUD

Es canvia d’unitat multiplicant o dividint per 10 o per una potència de 10.

Cal que s’aprenguin els múltiples i submúltiples del metre i el seu valor respecte a aquest.

Múltiples Unitat bàsica del SI

Submúltiples

km Hm dam m dm cm mm

1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 dam = 10 m 1 mm = 0,001 m

Per passar a la unitat immediatament inferior, multipliquem per 10 i per passar a la unitat immediatament superior, dividim per 10.

11

Exemples

1. Per passar de km a m hem de multiplicar tres vegades per 10 (de km a hm, de

hm a dam i de dam a m), és a dir, per 1 000 (10·10·10 = 1 000) 5 km = 5 · 1 000 m = 5 000 m 2. Per passar de cm a dm hem de dividir una vegada per 10 89 cm = 89 : 10 dm = 8,9 dm 3. Per passar de cm a km hem de dividir cinc vegades per 10, és a dir, per

100 000 200 000 cm = 200 000 : 100 000 km = 2 km

A la classe de matemàtiques també es fan alguns exercicis amb altres unitats de longitud com les milles terrestres o marítimes, el micròmetre, la unitat astronòmica, ......

Recomanacions

No convé parlar a l’alumnat de potències de 10 ja que encara no hem treballat les potències a la classe de matemàtiques.

És bo que l’alumnat tingui sempre present l’ordre dels múltiples i submúltiples del metre per saber quantes vegades cal multiplicar o dividir per 10 per passar d’una unitat a una altra.

Un cop fet el canvi d’unitat cal que l’alumnat pensi si el resultat numèric té sentit.

4.3.2. MAGNITUDS PROPORCIONALS. CONSTANT DE PROPORCIONALITAT

Es recorda el que és una magnitud: Qualsevol propietat que es pot mesurar i per tant, pot ser expressada amb un número i la seva unitat de mesura.

Exemples

1. Quilos de taronges que compro 2. Nombre de paletes que hi ha construint un edifici 3. Distància entre dues ciutats

Definició de magnituds proporcionals: Dues magnituds són proporcionals

sempre que el producte o la divisió entre un valor d’una de les magnituds i el corresponent a l’altra magnitud es manté constant.

12

Exemples 1. Quilos de taronges que compro i euros que pago per aquesta compra. La

divisió entre dos d’aquests valors que es corresponguin sempre serà el mateix, es mantindrà constant.

Taronja

(kg) 2 3 5 6

Preu (€)

3 4,50 7,50 9

2. El nombre de paletes que hi ha construint un edifici i els dies que tarden a

acabar-lo. El producte de dos valors corresponents es mantindrà constant. (Cal suposar que tots els paletes treballen al mateix ritme i cada dia igual)

Paletes 12 6 4 3

Dies 40 80 120 160

3. La distància entre ciutats a la realitat i la distància entre les mateixes ciutats

en un mapa. La divisió és manté constant.

Distància real (km)

2 3 5 6 0,5

Distància mapa(cm)

4 6 10 12 1

En el cas de les magnituds directament proporcionals, la divisió entre un

valor d’una de les magnituds i el valor corresponent de l’altra magnitud es manté constant. Això fa que si doblem el valor d’una de les magnituds, el valor corresponent de l’altra magnitud queda doblat, si el tripliquem, el corresponent també es triplica, si un el dividim per 2, el corresponent també es dividirà per 2, etc. La raó (divisió) entre dos valors corresponents ens dóna la constant de proporcionalitat i ens indica les vegades que està continguda una magnitud

en una unitat de l’altra. Exemples

1. En l’exemple de les taronges tenim dues magnituds directament proporcionals. La raó entre el preu que pago per la compra de taronges i els quilos que he comprat em dóna el preu de les taronges per quilo.

50,1

6

9

5

50,7

3

50,4

2

3

kgtaronja

€preu → Vol dir que 1 kg de taronges

val 1,50 € (1,50 €/kg)

La raó entre els quilos de taronges que compro i els euros que he pagat em dóna els quilos de taronges que compararia amb un euro.

13

67,0

9

6

50,7

5

50,4

3

3

2

€preu

kgtaronja → Vol dir que amb 1 € podem

comprar 0,67 kg de taronges, és a dir, 670 g de taronges 2. El cas dels paletes i els dies que tarden a construir l’edifici no són magnituds

de proporcionalitat directa. En aquest cas la constant de proporcionalitat és el producte i no la divisió.

3. En l’exemple de les distàncies entre ciutats estem relacionant una mateixa

magnitud però amb diferents unitats, longitud en km i longitud en cm. Són magnituds directament proporcionals i la raó entre la distància real i la distància en el mapa ens donarà la constant de proporcionalitat. Si es calcula aquesta raó en les mateixes unitats (km, cm o qualsevol altra unitat de longitud) se sabrà en quina escala està dibuixat el mapa.

Vol dir que 1 cm en el mapa equival a 50 000 cm a la realitat, és a dir, 1 cm equival a 0,5 km.

En els mapes aquesta escala pot estar simbolitzada de forma numèrica o gràfica. La forma numèrica és 1 : 50 000 o bé 1 / 50 000, que és la raó entre la distància en el mapa i la distància real.

L’escala es defineix, doncs, com la raó (fracció) entre la longitud d’una representació de la realitat i la longitud real corresponent i ens indica la proporció entre les mides reals i les representades.

Exemples

A l’hora de treballar l’escala amb mapes se’ns poden plantejar tres situacions:

i. Calcular una distància real a partir de la distància en el mapa i l’escala.

Només cal multiplicar la distància mesurada al mapa pel valor que ens indica l’escala i canviar a la unitat de longitud més adequada. Exemple: Dades; Escala → 1 : 300 000 (1 cm del mapa equival a 300 000 cm a la

realitat). Mesura al mapa → 4 cm Resolució; Mesura a la realitat: → 4 · 300 000 = 1 200 000 cm = 12 km

000501

00050

12

000600

10

000500

6

000300

4

000200

cmmapa.dist

cmreal.dist

14

ii. Calcular quina distància tindrà al mapa una distància real a partir de l’escala.

Només cal dividir la distància real entre el valor que ens indica l’escala i canviar a la unitat de longitud més adequada. Exemple: Dades; Escala → 1 : 25 000. Mesura real → 2 km

Resolució; Mesura al mapa → 00025

2 = 0,00008 km = 8 cm

iii. Calcular l’escala si coneixem la distància real i la distància equivalent

al mapa Sabrem l’escala dividint la distància real entre la distància al mapa en les mateixes unitats de longitud. Exemple: Dades; Distància real → 35 km = 3 500 000 cm Distància al mapa → 2,5 cm

Resolució; 00040015,2

0005003 → Escala 1 : 1 400 000

Recomanacions

És important, des del punt de vista matemàtic, deixar molt clar a l’alumnat que l’escala és la relació entre les longituds (distàncies) i no entre d’altres magnituds com les àrees, per exemple. És a dir, l’àrea d’un mapa multiplicada per l’escala no ens dóna l’àrea real.

Si no és estrictament necessari, recomanem no fer càlculs d’àrees a partir de l’escala ja que encara no s’han treballat les àrees a la classe de matemàtiques.

Tot i que la regla de tres és aplicable a les tres situacions descrites anteriorment l’alternativa proposada és fàcil i entenedora. Hi ha d’altres situacions, que no són de proporcionalitat directa, en què aplicar la regla de tres es fa de forma mecànica però la comprensió de la seva aplicació és difícil i crea confusió a l’alumnat. S’aconsella evitar la regla de tres sempre que sigui possible.

Com sempre, cal que l’alumnat pensi si el resultat numèric té sentit en el context en què es troba.

15

5. ÚS DE PERCENTATGES A LA VIDA QUOTIDIANA. Concepte i càlcul


PROPORCIONALITAT. FRACCIONS. NOMBRES DECIMALS. El concepte de percentatge està relacionat amb la proporcionalitat i el seu càlcul, i a més, amb les fraccions i els nombres decimals. Tot i que a l’assignatura de Ciències socials de 1r d’ESO només es calculen tants per cent en algun cas particular, els percentatges apareixen, sovint, en el llenguatge quotidià per expressar dades i en la interpretació de gràfics de sectors que treballarem més endavant.


A finals del 1r trimestre, és a dir, a finals de novembre aproximadament.

5.3 Com es treballa a la classe de matemàtiques?

5.3.1. CONCEPTE DE PERCENTATGE

Quan un nombre va acompanyat del símbol % estem donant un percentatge i es llegeix “per cent”. Per exemple, 23% es llegeix vint-i-tres per cent; 5% es llegeix cinc per cent. És per això que els percentatges també són anomenats tants per cent.

A la classe de matemàtiques, primer es treballa el concepte de fracció i posteriorment el concepte de percentatge. Per tant, l’alumnat pot entendre que un percentatge es pot representar com una fracció de denominador 100 i de numerador, el tant per cent. Per exemple, el 23% significa que de cada

100 unitats en considerem 23, podem escriure, doncs, 100

23%23 .

Un percentatge ens dóna la proporció d’una determinada quantitat respecte d’una quantitat total. Per entendre el concepte de percentatge és bo començar amb exemples concrets i quotidians.

Exemples

1. Rebaixes del 30%

Significa que per cada compra de 100€ ens descompten 30€

100

30. Si fem

una compra de 50€, se’ns descomptarà la meitat de 30€, és a dir, 15€.

16

Import compra (€)

100 50 10 20 200 300 150 1

Descompte (€)

30 15 3 6 60 90 45 100

3030,0

És important veure que les dues magnituds, import de la compra i descompte, són magnituds directament proporcionals.

2. El 52 % de la població de Barcelona són dones

Significa que de cada 100 habitants de Barcelona, 52 són dones

100

52.

Això no vol dir que si agafem a l’atzar 100 habitants de Barcelona, 52 seran dones. Vol dir que si posem juntes totes les dones i seguidament tots els homes i fem 100 grups, d’igual nombre de persones, 52 d’aquests grups seran de dones i la resta de grups seran homes.

3. Efectivitat del 60% en tirs lliures en un partit de bàsquet

Significa que per cada 100 tirs lliures llançats, n’han encertat 60

100

60.

Evidentment no significa que en aquest partit hagin llançat 100 tirs lliures. Si han llançat 10 tirs lliures n’hauran encistellat 6, si n’han llançat 20, 12, etc...

4. Increment del 16% d’IVA Significa que a cada 100€ de compra s’hi afegiran 16€ per aquest impost

100

16.

Hi ha percentatges molt fàcils d’entendre i de calcular:

- 50%: de cada 100 unitats, 50

El 50% d’una quantitat significa la seva meitat (dividir per 2).


El 25% d’una quantitat significa la seva quarta part (dividir per 4).

Quantitat 100 300 50 10 1

50% 50 150 25 5 100

505,0

Quantitat 100 200 10 1

25% 25 50 2,5 100

2525,0

17


El 10% d’una quantitat significa la seva desena part (dividir per 10).

- 100%: de cada 100 unitats, 100 El 100% d’una quantitat és el total de la quantitat.

- 200%: de cada 100 unitats, 200 El 200% d’una quantitat significa el seu doble. També tenim que: - El 75% d’una quantitat són les seves tres quartes parts (dividir per 4 i

multiplicar per 3 o bé multiplicar per 3 el 25%). - El 20% d’una quantitat és la seva cinquena part (dividir per 5). - El 150% d’una quantitat és la quantitat que tenim més la meitat d’aquesta,

és a dir, una vegada i mitja la quantitat.

A partir d’aquests percentatges senzills, si no es necessita el càlcul exacte del tant per cent, es pot fer una aproximació. Per exemple, el 52% és una mica més de la meitat, el 23% una mica menys d’una quarta part, etc...

5.3.2. CÀLCUL D’UN PERCENTATGE

Com podem observar en les taules anteriors, una quantitat i un tant per cent determinat d’aquesta quantitat són magnituds directament proporcionals. Per tant, aplicar la regla de tres a l’hora de calcular percentatges és correcte. No obstant això, és interessant que el professorat de Ciències socials conegui altres alternatives també fàcils per calcular els tants per cent i les pugui aplicar.

La forma com treballem els percentatges a la classe de matemàtiques ens permet, en cursos superiors, resoldre de manera fàcil i entenedora altres tipus de problemes de percentatges en els quals l’ús de la regla de tres no és gens pràctica i pot induir l’alumnat a cometre errors.

Quantitat 100 200 50 10 1

10% 10 20 5 1 100

101,0


100% 100 300 10 100

1001

Quantitat 100 200 50 10 1

200% 200 400 200 20 100

2002

18

Reducció a la unitat o tant per u. Per treballar amb percentatges és

important tenir clar el concepte de tant per u o reducció a la unitat. Observem la taula següent:

És el mateix dir 30 de cada 100 que 300 de cada 1000 o 3 de cada 10 o 0,3 de 1. També podem parlar, doncs, de tant per mil o de tant per u (el tant per deu no s’utilitza). El tant per u és el resultat de dividir el tant per cent entre 100.

Exemples

A l’hora de treballar amb percentatges a 1r d’ESO se’ns poden plantejar dues situacions:

i. Trobar el tant per cent d’una quantitat.

Per calcular el tant per cent d’una quantitat multiplicarem la quantitat pel tant per u. Veiem un exemple fàcil que apareix a la taula anterior. Si volem calcular el 30% de 500 ho podem fer mentalment, és clar, però també ho podem fer multiplicant el tant per u per 500.

1505003,0500100

30

És evident que aquest procediment es pot generalitzar pel càlcul de qualsevol tant per cent. Exemples 1. Si el sou anual d’un funcionari és de 21 600 € i se li redueix un 5%,

quants diners cobrarà menys en un any?

Quantitat (€)

100 € 1 € 21 600 €

5% 5 € 0,05 € ????

El 5% de 21 600 = 08016002105,060021100

5

Resposta: Aquest funcionari deixarà de cobrar 1 080 € en un any.

Quantitat 100 1 000 10 1 500

30% 30 300 3 100

303,0 150

19

2. A Europa hi ha un 16% de població de 65 anys o més. La població total d’Europa és de 731 milions. Quantes persones hi ha de 65 anys o més a Europa?

Quantitat 100 1 731 000 000

16% 16 0,16 ????

El 16% de 731 000 000=

00096011600000073116,0000000731·100

16

Resposta: A Europa hi ha 116 960 000 persones amb 65 anys o més 3. A Àfrica hi ha un 3,2% de població de 65 anys o més. La població total

d’Àfrica és de 922 milions. Quantes persones hi ha de 65 anys o més a Àfrica?

Quantitat 100 1 922 000 000

3,2% 3,2 0,032 ????

El 3,2% de 922 000 000 =

00050429000000922032,0000000922·100

2,3

Resposta: A l’Àfrica hi ha 29 504 000 persones amb 65 anys o més.

ii. Calcular el percentatge que representa una quantitat d’un total.

Si calculem la raó entre la part i el total, obtindrem, altra vegada, el tant per u que, multiplicat per 100 ens donarà el tant per cent.

Exemples:

1. En una classe de 24 alumnes, han aprovat Ciències socials 18

d’aquests alumnes. Quin percentatge representa el nombre d’alumnes aprovats?

Quantitat 24 1 100

? % 18 75,0

24

18

75

20

75,0=24

18 → 0,75 · 100 = 75

Resposta: Han aprovat Ciències socials el 75% dels alumnes d’aquesta classe.

2. Segons l’idescat (Institut d’Estadística de Catalunya) el nombre

d’habitants de Cerdanyola el 2009 era de 58747. D’aquests, 7703 són nascuts a l’estranger. Quin percentatge representen els estrangers dins de Cerdanyola?


? % 7 703 ...13112,0

74758

7037

13,112..

....13112,08745

7037 → 0,13112.. · 100 = 13,112...

Resposta: A Cerdanyola hi ha un 13,11% d’estrangers.

21

6. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS

La interpretació de gràfics apareix a la matèria de Ciències socials al llarg de tot el curs. Un gràfic és una eina visual molt potent on es relacionen dues categories de dades o magnituds. A través d’un gràfic obtenim informació però també és fàcil manipular aquesta informació segons estigui construït aquest gràfic. És important que l’alumnat aprengui a llegir i interpretar gràfics abans, fins i tot, que a elaborar-los. L’alumnat de l’ESO hauria de ser capaç d’interpretar un gràfic de forma global, extreure’n informació concreta i llegir-lo des d’un punt de vista crític.

La millor manera d’aprendre a interpretar gràfics és amb la pràctica. Cal aprofitar totes les oportunitats que se’ns presentin al llarg del curs per poder-ho fer.

A la matèria de Ciències socials apareixen tres tipus de gràfics que cal que l’alumnat sàpiga interpretar i que s’expliquen en els apartats que apareixen a continuació:

- Lineals - De barres - De sectors


INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS LINEALS A Matemàtiques es treballa exactament el mateix concepte. Els exemples de gràfics lineals que estudiem des de l’assignatura de Matemàtiques també abracen altres disciplines i contextos. DIAGRAMES DE BARRES A Matemàtiques es treballa només dins el bloc d’estadística i s’anomenen diagrames de barres. DIAGRAMES DE SECTORS. PERCENTATGES (Concepte). A Matemàtiques es treballa només dins el bloc d’estadística i s’anomenen diagrames de sectors.


INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

A mitjans del 2n trimestre. Aproximadament durant el mes de febrer.

22

DIAGRAMES DE BARRES

A finals del 2n trimestre s’interpreten i elaboren diagrames de barres dins el bloc d’estadística. DIAGRAMES DE SECTORS. PERCENTATGES (Concepte) A finals del 2n trimestre s’interpreten i elaboren diagrames de sectors dins el bloc d’estadística.

7.1.1.1. 6.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

6.3.1. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

Un gràfic lineal és una representació, mitjançant una línia, de la relació entre

dues magnituds o dades. Per fer aquesta representació es necessiten dos eixos de coordenades perpendiculars (horitzontal o eix d’abscisses i vertical o eix d’ordenades). En cada un d’aquests eixos hi ha representada una de les magnituds i cada eix està graduat de forma adequada segons els valors de la magnitud que li correspon. Per tant, la longitud d’una unitat d’un eix no ha de coincidir necessàriament amb la de l’altre. Ara bé, la longitud de totes les unitats de l’eix horitzontal han de ser iguals i les de l’eix vertical, també.

En els gràfics lineals, hi ha de constar el títol del que s’hi representa, les magnituds representades a cada eix i les unitats d’aquestes magnituds.

Els gràfics lineals ens donen, sobretot, una visió de l’evolució d’una de les magnituds respecta l’altra.

Els aspectes més importants a l’hora d’interpretar un gràfic lineal són:

- Fixar-se bé en el títol, en les magnituds o dades que hi estan representades i en les unitats d’aquestes magnituds.

- Llegir el gràfic d’esquerra a dreta. - Pensar arguments que expliquin l’evolució que ens indica el gràfic.

6.3.2. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS O DIAGRAMES DE BARRES

Un gràfic o diagrama de barres és una representació mitjançant barres de

la relació entre dues magnituds o dades. Per fer aquesta representació es necessiten dos eixos de coordenades perpendiculars (horitzontal o eix d’abscisses i vertical o eix d’ordenades). En l’eix horitzontal, hi solen estar representades les dades que volem analitzar, països, rius, anys,... (a Matemàtiques les anomenem variables). Aquestes dades o variables normalment són qualitatives, és a dir, no són numèriques. En cas que siguin dades quantitatives (numèriques) no poden

23

prendre infinits valors sinó només uns de concrets; llavors en diem variable discreta. En l’eix vertical hi sol estar representada la magnitud estudiada. Cada barra ha de tenir la mateixa amplada i ha haver-hi la mateixa distància entre elles.

En els gràfics de barres hi ha de constar el títol del que s’hi representa, les magnituds o dades representades a cada eix i les unitats d’aquestes magnituds.

La llargada de cada barra és proporcional al valor de la magnitud que li correspon. Així, observant l’alçada de cada barra tindrem la informació de la dada (país, riu, any,.... )

Els gràfics o diagrames de barres serveixen, sobretot, per comparar la magnitud estudiada entre les diferents dades d’una variable (països, rius, anys, ...)

La majoria de gràfics o diagrames de barres solen ser amb les barres verticals, fet que es dóna si les dades a analitzar estan representades a l’eix horitzontal i la magnitud estudiada a l’eix vertical. També ens podem trobar amb gràfics o diagrames de barres horitzontals. En aquests casos la situació de les dades i la magnitud és a la inversa.

Els aspectes més importants a l’hora d’interpretar un gràfic o diagrama de barres són:

- Fixar-se bé en el títol, en les magnituds i dades que hi estan representades i

en les unitats d’aquestes magnituds. - Observar l’alçada de cada barra - Pensar arguments que expliquin la llargada de cada barra, les diferències

entre cada barra, ...

6.3.3. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS O DIAGRAMES DE SECTORS

Definició de sector circular: és la part del cercle limitada per dos radis i l’arc

corresponent.

24

Un diagrama de sectors és un cercle dividit en sectors circulars. Cada

sector representa una dada i ha d’estar diferenciat dels altres mitjançant colors, trames,... L’angle o amplitud corresponent a cada sector és proporcional al percentatge de la dada que representa.

En els gràfics de sectors, hi ha de constar el títol del que s’hi representa i la

dada i el percentatge corresponents a cada sector.

Els gràfics o diagrames de sectors s’utilitzen, sobretot, per representar distribucions de dades qualitatives quan no n’hi ha una gran quantitat.

Hi ha percentatges molt fàcils de distingir en un diagrama de sectors. La meitat del cercle, el 50%, una quarta part, el 25%, tres quartes parts, el 75%,.... Fins i tot en aquests casos no caldria indicar-hi el percentatge.

En el següent diagrama no cal especificar els tants per cent per veure que la

dada corresponent al color vermell representa un 50% i les corresponents als colors blau i verd, un 25% cada una.

En moltes ocasions veiem els diagrames de sectors en forma de semicercle. En aquest cas només cal tenir en compte que la totalitat es correspon amb l’angle de 180º. El 50% es correspondria a un angle recte (90º), el 25% a un angle de 45º, ....

Els aspectes més importants a l’hora d’interpretar un gràfic o diagrama de sectors són:

- Fixar-se bé en el títol i en les dades que hi estan representades.

25

- Tenir molt present que en un diagrama de sectors no ens donen els valors absoluts d’aquella dada sinó la proporció en què apareix respecte del total en forma de percentatge.

- Fixar-se que la suma de tots els percentatges ha de ser 100. - Pensar arguments que expliquin la distribució del diagrama.

Exemples

1. El següent diagrama de sectors mostra la distribució del pressupost d’una

determinada ONG:

Aquesta ONG, de cada 100€ en dedica 86 a projectes socials, 7€ a serveis i gestió, 5€ a comunicació i 2€ a formació del voluntariat. No sabem els diners que dedica a cada concepte sinó la proporció que hi dedica. Si el percentatge per cada concepte es manté igual al llarg dels anys però la quantitat de diners de què disposen és diferent cada any, els diners dedicats a cada concepte variaran.

2. El Consistori actual de l’ajuntament de Cerdanyola està format per 25 regidors i regidores, 10 del PSC, 9 d’ICV, 3 de CiU, 2 del PP i 1 d’independent. Veiem aquesta distribució representada en dos diagrames de sectors, en un cercle i en un semicercle

26

Recomanacions

En els diaris, revistes, televisió, internet, etc i, fins i tot, en llibres de text hi apareixen gràfics, dels tres tipus que hem vist, la interpretació dels quals pot ser dificultosa per a l’alumnat. Algunes vegades no tenen títol o aquest és poc clar, d’altres no hi ha les unitats de les magnituds que hi estan representades,... És convenient que l’alumnat pugui analitzar aquest tipus de gràfics a classe i veure si les dades omeses es poden deduir del context o no.

27

7. EL TEMPS I EL CLIMA


NOMBRES ENTERS INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS MITJANA ARITMÈTICA


NOMBRES ENTERS És el primer tema del segon trimestre; per tant, es treballa a finals de desembre i durant el mes de gener. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS

A mitjans del 2n trimestre es fa interpretació de gràfics lineals. La interpretació dels gràfics de barres i de sectors es fa a finals del 2n trimestre dins el bloc d’estadística MITJANA ARITMÈTICA

A finals del 2n trimestre dins el bloc d’estadística.


7.3.1. NOMBRES ENTERS. Concepte, ordenació, suma i resta

Els nombres enters són el nombre 0 i tots els nombres positius i negatius

que no tenen part decimal.

El 0 és l’únic nombre enter que no és ni positiu ni negatiu. És l’origen per mesurar tant el nombres positius com els negatius. Un nombre amb signe negatiu té un significat oposat al mateix nombre amb signe positiu.

Els nombres positius normalment no porten el signe “+” al davant sinó que se sobreentén.

Per entendre la necessitat i el concepte dels nombres negatius es posen

exemples de la vida quotidiana. Un signe positiu o negatiu davant d’un nombre té dues possibles interpretacions. Pot significar un estat o pot significar una variació.

28

- La temperatura.

Estat. Si prenem com a unitat de temperatura el grau centígrad, el 0 significa la temperatura en què l’aigua gelada es fon. Les temperatures per sobre de 0ºC, s’expressen en valors positius i les temperatures per sota de 0ºC amb valors negatius. Variació. El signe positiu davant d’un nombre significa que la temperatura puja tants graus i el signe negatiu que baixa tants graus.

- Les transaccions econòmiques.

Estat. El 0 significa que no tenim ni devem diners. Els valors positius signifiquen els diners que tenim i els negatius els que devem. Variació. El signe positiu significa diners que entren (ingressos) i el signe negatiu significa els diners que surten (despeses).

- L’altitud.

Estat. L’altitud 0m significa el nivell del mar. Per sobre del nivell del mar tindrem valors positius i per sota negatius. Variació. Els signes positiu i negatiu signifiquen pujar i baixar d’altitud respectivament.

- Temps.

Estat. A la civilització cristiana es pren com a punt d’origen, és a dir, com a 0, el moment del naixement de Crist. Els anys anteriors al naixement de Crist s’expressen amb el signe negatiu o amb les lletres “aC” i els anys de després amb signe positiu o amb les lletres “dC”. Variació. Els signes positiu i negatiu signifiquen anys que avancem o anys que retrocedim.

- Ascensor d’un centre comercial amb pàrquing soterrat.

Estat. La planta 0 significa que som al nivell del carrer, la planta baixa. Els pisos que hi ha per sobre de la planta baixa tenen signe positiu i els que es troben per sota, negatiu. Variació. Els signes positiu i negatiu indiquen pujar o baixar pisos.

29

Per entendre l’ordenació dels nombres enters es fan preguntes sobre els

exemples anteriors de l’estil:

- Ascensor: i. Digues quin pis és més alt, el 2 o el 5, el -1 o el 3, el -4 o el -2? ii. Ordena els pisos anteriors de baix a dalt.

- Temperatura:

i. Digues quina temperatura és més alta, 3º o -2º, -3º o -5º, 0º o 12º, 0º o -6º?

ii. Ordena les temperatures anteriors de menys a més temperatura.

A continuació es fa la representació dels enters en una recta horitzontal, que és com s’utilitza en moltes ocasions a la classe de matemàtiques.

Conclusió: Un nombre enter és més petit com més a l’esquerra de la recta

està representat i més gran com més a la dreta.

Suma i resta de nombres enters. És poc probable que a l’assignatura de

Ciències socials es doni la situació en què s’hagi de sumar o restar nombres negatius. El concepte de sumar i restar enters es treballa amb la idea explicada anteriorment de variació i explicant que restar dos nombres enters és el mateix que sumar al primer nombre, l’oposat del segon. A continuació, hi ha uns exemples amb temperatures. Totes les preguntes plantejades en aquests exemples es poden resoldre situant-nos a l’escala del termòmetre i movent-nos amunt i avall tants graus com pugi o baixi la temperatura.

- Estàvem a Cº3 i la temperatura ha pujat 8ºC. A quina temperatura

estem ara? 583 Resposta: Ara estem a 5ºC.

- Estàvem a Cº3 i la temperatura ha baixat 4ºC. A quina temperatura

estem ara? 743 Resposta: Ara estem a Cº7 .

- Estàvem a 3ºC i la temperatura ha baixat 8ºC. A quina temperatura


- Estàvem a Cº7 i la temperatura ha pujat 5ºC. A quina temperatura


30

- Quina diferència hi ha entre les temperatures màxima i mínima si la màxima ha estat de 6ºC i la mínima de Cº2 ?

826)2(6 Resposta: Hi ha una diferència de 8ºC.

- Quina diferència hi ha entre les temperatures màxima i mínima si la

màxima ha estat de Cº2 i la mínima de Cº15 ?

13152)15(2 Resposta: Hi ha una diferència de 13ºC.

7.3.2. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS

La interpretació de gràfics lineals, de barres i de sectors està explicada en l’apartat anterior.

7.3.3. MITJANA ARITMÈTICA

Quan tenim un recull de dades numèriques ( temperatures, precipitacions, sous,...) i ens interessa fer-ne un resum podem calcular, per exemple, la mitjana aritmètica.

La mitjana aritmètica és una mesura de centralització (n’hi ha d’altres) de

les dades estudiades. És un representant d’aquestes dades. El símbol més

utilitzat a Matemàtiques per a la mitjana aritmètica és: x .

Per calcular la mitjana aritmètica cal sumar tots els valors de les dades i dividir el resultat pel nombre de dades que tenim. La mitjana aritmètica està entre el valors més petit i més gran de les dades i no ha de coincidir necessàriament amb cap valor.

La unitat de la mitjana aritmètica és la mateixa de les dades que s’estan estudiant (ºC, mm, €,...).

Quan es calcula la mitjana aritmètica d’una sèrie de dades, s’està donant la mateixa importància a cada una de les dades recollides. En cas que hi hagi dades amb diferent pes o importància, aleshores es calcula la mitjana ponderada. Quan en el llenguatge col·loquial es parla de mitjana es refereix sempre a la mitjana aritmètica.

31

Exemples

1. En tres exàmens de Ciències socials d’aquest trimestre has tret les notes

següents: 7, 7,5 i 9,5. Si cada una d’aquestes notes té el mateix pes quina serà la nota mitjana d’aquest trimestre pel que fa als exàmens?

83

24

3

5,95,77x

Resposta: La nota mitjana dels exàmens és 8. És com si a cada un dels exàmens haguessis tret un 8.

2. Segons l’idescat (Institut d’Estadística de Catalunya) la mitjana de fills per dona a Catalunya l’any 2005 era de 1,43 fills.

Evidentment no hi ha cap dona que tingui 1,43 fills. Aquest és el nombre que ha sortit de dividir el nombre (sense decimals) de la suma de tots els fills entre el total de dones de Catalunya.

3. Si volem calcular la temperatura mitjana anual de Moscou haurem de sumar les temperatures mitjanes mensuals i dividir el resultat entre 12. En aquestes temperatures ens apareixen valors positius i negatius. En aquest cas la suma d’aquests nombres és més fàcil si s’agrupen els valors negatius i els positius per separat. L’ús de la calculadora és del tot recomanable a la classe de Ciències socials, només caldrà explicar a l’alumnat com escriure el primer nombre amb signe negatiu.

La temperatura mitjana anual de Moscou és de 4,975ºC, és a dir, de 5ºC aproximadament.

GEN FEB MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OCT NOV DES

Temp. Mitj. ºC

-9,3 -7,7 -2,2 5,8 13,1 16,6 18,2 16,4 11,0 5,1 -1,2 -6,1

975,412

7,59

12

2,865,26

3

1,5114,162,186,161,138,51,62,12,27,73,9

12

1,62,11,5114,162,186,161,138,52,27,73,9T

32

Recomanacions

Cal tenir present que la suma i resta d’enters no es treballa a la classe de matemàtiques fins al 2n trimestre i que assolir el domini de les operacions amb enters és difícil per a l’alumnat. En cas que es necessiti aquest concepte a la classe de Ciències socials abans que s’hagi treballat a la classe de matemàtiques és millor fer-ho de forma intuïtiva i amb casos fàcils.

La unitat més utilitzada per a les precipitacions és el mm (mil·límetre) . Però què significa que la precipitació ha estat de 9 mm? Una altra unitat per donar les precipitacions és el l/m2 (litre per metre quadrat). Aquestes dues unitats mm i l/m2 són equivalents, és a dir, 1 mm de precipitació és el mateix que 1 l/m2. I això és així ja que 1 litre en un recipient d’1 m2 de base ocuparia 1 mm d’alçada.

33

8. CLIMOGRAMES


MITJANA ARITMÈTICA NOMBRES ENTERS ELABORACIÓ DE GRÀFICS LINEALS I DE BARRES


NOMBRES ENTERS És el primer tema del segon trimestre; per tant, es treballa a finals de desembre i durant el mes de gener. ELABORACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

A mitjans del 2n trimestre, durant el mes de febrer aproximadament. MITJANA ARITMÈTICA I ELABORACIÓ GRÀFICS DE BARRES

A finals del 2n trimestre dins el bloc d’estadística.


En aquest apartat només es parlarà de l’elaboració de gràfics lineals i de barres ja que els NOMBRES ENTERS i la MITJANA ARITMÈTICA s’han explicat en l’apartat anterior. 8.3.1. ELABORACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

Una taula de valors on hi ha dues magnituds relacionades ens dóna una visió quantitativa d’aquesta relació. A partir d’una taula de valors podem construir un gràfic on tindrem una visió més qualitativa.

Per elaborar un gràfic lineal necessitem tenir uns eixos de coordenades

perpendiculars (horitzontal i vertical).

- A l’eix horitzontal, anomenat eix d’abscisses, hi situem els valors o dades

corresponents a la primera magnitud de forma ordenada i proporcional, indicant-ne el seu nom i la unitat en què està mesurada. La proporció en què graduem l’eix dependrà dels valors de la magnitud.

34

- A l’eix vertical, anomenat eix d’ordenades, situem els valors corresponents

a la segona magnitud de forma ordenada i proporcional, indicant-ne, també, el seu nom i la unitat en què està mesurada. La proporció en què graduem l’eix dependrà dels valors de la magnitud. - Per cada parell de valors que es corresponen, dibuixem un punt en la intersecció de la vertical i l’horitzontal que passen per aquests valors. Direm que són les coordenades del punt (L’ordre en què es donen les coordenades d’un punt sempre és primer el valor que correspon a la magnitud situada a l’eix d’abscisses i segon el corresponent a la magnitud de l’eix d’ordenades) - Finalment unim els punts amb una línia per veure’n l’evolució. - L’origen de coordenades és el punt d’intersecció dels dos eixos de

coordenades i, per tant, tindrà coordenades (0,0).

Exemple 1. Elaborem el gràfic lineal corresponent a la següent taula de valors on es

relacionen els anys amb el consum mundial d’aigua al segle XX.

Anys 1900 1920 1950 1980 2000

Consum d’aigua (milions de litres)

500 800 1 300 3 200 4 100

En l’eix d’abscisses, hi posarem els anys. No podem graduar l’eix de 50 en 50 anys des del 0 ja que costaria molt arribar al 1900. Tampoc no el podem

35

graduar de 500 en 500 ja que no distingiríem l’any 1900 del 1920. En aquests casos, a classe de matemàtiques, comencem l’eix amb una línia discontínua (----) o bé amb una línia trencada (www) per indicar que ens saltem una part

de la graduació i, en aquest cas ens convé graduar l’eix de 20 en 20. Podem graduar l’eix d’ordenades de 500 en 500.

8.3.2. ELABORACIÓ DE GRÀFICS O DIAGRAMES DE BARRES

Per fer un diagrama de barres es necessiten dos eixos de coordenades perpendiculars (horitzontal o eix d’abscisses i vertical o eix d’ordenades).

A l’eix horitzontal, anomenat eix d’abscisses, hi solen estar representades

les dades que volem analitzar (a Matemàtiques les anomenem variables). Aquestes dades o variables normalment són qualitatives, és a dir, no són numèriques. En cas que siguin dades quantitatives (numèriques) no poden prendre infinits valors sinó només uns de concrets; llavors en diem variable discreta. Cal indicar el nom de la variable analitzada i, si és quantitativa, la unitat en què està mesurada. Farem la graduació d’aquest eix, tenint en compte que cada barra ha de tenir la mateixa amplada i ha haver-hi la mateixa distància entre elles.

A l’eix vertical, anomenat eix d’ordenades, situem de forma ordenada i

proporcional, els valors corresponents a la magnitud estudiada indicant-ne el

36

seu nom i la unitat en què està mesurada. La proporció en què graduem l’eix dependrà dels valors de la magnitud.

A cada valor de la variable aixequem una barra. Aquesta barra tindrà la longitud que li correspon de la magnitud senyalada a l’eix vertical.

Recomanacions

L’elaboració de gràfics de tot tipus serà treballat en profunditat a la classe de matemàtiques. Se’n poden donar unes nocions bàsiques a la classe de Ciències socials, però el més important és que treballin la lectura i la interpretació de gràfics. Es pot explicar l’elaboració d’un gràfic en el moment en què l’alumnat ho necessita per construir climogrames.

Cal fer saber a l’alumnat que els climogrames tenen la particularitat de tenir dos eixos verticals, un per a la temperatura i l’altre per a les precipitacions. En els gràfics lineals i diagrames de barres estadístics treballats a la classe de matemàtiques mai no es dóna aquesta circumstància.

A estadística, quan la variable analitzada és numèrica i pot prendre infinits valors no construïm diagrames de barres sinó histogrames. Aquests gràfics són com els de barres però la base de cada barra correspon a tot un interval numèric i no hi ha separació entre les barres.

Un exercici interessant és elaborar o interpretar dos gràfics d’una mateixa taula de valors però amb graduacions o unitats de les magnituds diferents. Cal buscar un exemple on la manipulació o l’error en la interpretació del gràfic quedi ben palesa (augment del preu d’un producte, beneficis d’una empresa, escalfament de la Terra,.....)

La majoria de gràfics o diagrames de barres els elaborem amb les barres verticals tal i com està explicat. Si volem un gràfic de barres horitzontal cal intercanviar-hi els eixos, és a dir, posar les dades (variable) a analitzar a l’eix vertical i la magnitud estudiada a l’eix horitzontal.

37

9. CONTINENTS I PAISATGES D’EUROPA, ESPANYA I CATALUNYA


CONCEPTE D’UNITAT DE SUPERFÍCIE


A finals de curs dins el bloc de Geometria.


La unitat de mesura de superfície del Sistema Internacional és el metre quadrat (m2). Un metre quadrat és una superfície equivalent a un quadrat d’un metre de costat. Depèn de la superfície a mesurar s’agafen múltiples i submúltiples del m2.

Un cm2 és una superfície equivalent a un quadrat de costat 1 cm.

És important que l’alumnat s’adoni que una superfície de 2 cm2 no és equivalent a un quadrat de 2 cm de costat. Dit d’una altra forma, si augmentem el doble els costats d’un quadrat la superfície no augmenta el doble.

Veiem altres exemples de superfícies de 4 cm2 que no siguin ni quadrats ni rectangles.

38

Per mesurar superfícies més grans necessitem unitats més grans. La unitat de superfície immediatament més gran que el cm2 és el decímetre quadrat (dm2). Un decímetre quadrat és la superfície equivalent a un quadrat de 1 dm de costat.

Un metre quadrat equival a 100 decímetres quadrats (1 m2 = 100 dm2). De vegades a classe de matemàtiques es construeix, a ma, un m2 a partir de 100 dm2 .

Quan es parla de l’extensió dels continents, països, ciutats,...la mesura és el quilòmetre quadrat (km2). Un km2 és la superfície equivalent a un quadrat de 1 km de costat. És útil comparar el km2 amb el m2, molt més palpable per a l’alumnat. Així tenim que 1 km2 = 1 000 000 m2

Quan es parla d’activitats agrícoles, incendis forestals, etc.. s’utilitza la unitat de superfície hectàrea i en algunes ocasions l’àrea. Una hectàrea és el mateix que un hectòmetre quadrat (hm2), és a dir, 10 000 m2 i una àrea el

mateix que un decàmetre quadrat (dam2), és a dir, 100 m2.

39

Recomanacions

Per clarificar els conceptes de km2 o hectàrea pot ser interessant dibuixar sobre un plànol de Cerdanyola a escala, quadrats amb aquestes superfícies per veure quina zona ocupen.

Més exemples per comparar el km2 o l’hectàrea poden ser les dimensions d’un camp de futbol. El camp de joc del Barça fa 7 704 m2 (107x72 m). Una hectàrea són 10 000 m2. Per tant, el camp del Barça mesura una mica menys d’1 ha. Si agaféssim 130 camps del Barça tindríem aproximadament 1 km2. El Campus principal de la UAB de Bellaterra ocupa 262,6 hectàrees, és a dir, 2,6 km2.

40

10. HISTÒRIA


NOMBRES ENTERS (Anys o segles abans i després de Crist) NOMBRES ROMANS (Escriptura dels segles) INTERVALS (L’instant 0, l’any 0 no existeix. Anys que corresponen a cada segle)

10.2 Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

NOMBRES ENTERS És el primer tema del segon trimestre; per tant, es treballa a finals de desembre i durant el mes de gener. NOMBRES ROMANS

És un concepte que no treballem a secundària ja que s’ha fet a primària. INTERVALS

No es treballen fins a 3r d’ESO.

10.3 Com es treballa a la classe de matemàtiques?

10.3.1 NOMBRES ENTERS

Els nombres enters ja s’han explicat en l’apartat “El temps i el clima”. Tot i això, aquí es repassaran aquelles parts que ajudin a relacionar els anys o segles abans i després de Crist amb els nombres enters. Recordem:

Els nombres enters són el nombre 0 i tots els nombres positius i negatius

que no tenen part decimal.

El 0 és l’únic nombre enter que no és ni positiu ni negatiu. És l’origen per mesurar tant el nombres positius com els negatius. Un nombre amb signe negatiu té un significat oposat al mateix nombre amb signe positiu.

Els nombres positius normalment no porten el signe “+” al davant, ja que se sobreentén.

41

Per entendre la necessitat i el concepte dels nombres negatius es posen

exemples de la vida quotidiana. Un signe positiu o negatiu davant d’un nombre té dues possibles interpretacions. Pot significar un estat o pot significar una variació.

- Temps.

Estat. A la civilització cristiana es pren com a punt d’origen, és a dir, com a 0, el moment del naixement de Crist. Els anys anteriors al naixement de Crist s’expressen amb el signe negatiu o amb les lletres “aC” i els anys de després amb signe positiu o amb les lletres “dC”. Variació. Els signes positiu i negatiu signifiquen anys que avancem o anys que retrocedim.

Si tenen clara la representació dels nombres enters a la recta no ha de suposar cap problema l’ordenació dels anys abans de Crist.

Exemple

1. Qui va néixer abans, Pitàgores (582 aC) o Tales (635 aC)?

582 aC → - 582 635 aC → - 635 - 635 < - 582

- Temperat

Resposta: Tales va néixer abans que Pitàgores.

La suma i la resta de nombres enters pot aparèixer a l’hora de calcular

quants anys va viure una persona que va néixer o morir abans de Crist. Aquest tipus de preguntes es poden resoldre fent la resta entre l’any que va morir i el que va néixer o bé mirant la recta numèrica on hi hagi representats els valors dels anys. Cal anar molt en compte quan la persona en qüestió va néixer abans de Crist i va morir després de Crist. En aquest cas caldrà restar-li un any al resultat ja que l’any 0 no existeix. Aquest fet s’explica en l’apartat següent.

42

Exemples

1. Quants anys va viure Pitàgores si va néixer l’any 582 aC i va morir l’any 496

aC?

- 496 – (-582) = - 496 + 582 = 86

Resposta: Pitàgores va viure 86 anys.

2. Quants anys va viure Octavi August (63 aC - 14 dC)?

14 – (- 63) = 14 + 63 = 77; 77 – 1 = 76

Resposta: Octavi August va viure 76 anys.

10.3.2. INTERVALS

L’interval és un concepte matemàtic que no s’introdueix fins a 3r d’ESO. Un interval és un conjunt d’infinits nombres compresos entre dos nombres concrets. Quan parlem d’anys o segles no estem parlant d’un instant sinó de tot un interval de temps. L’any 2010 comprèn tot el temps que hi ha des de les 0 h del dia 1 de gener fins les 24 h del dia 31 de desembre. Vegem el gràfic següent:

L’any 0 no existeix. El punt 0 simbolitza un instant, no un interval; aquest instant és el naixement de Jesucrist. Encara que el naixement de Jesús es celebri el 25 de desembre, a efectes de calendari és com si hagués nascut a les 0 h del dia 1 de gener de l’any 1. El motiu d’aquesta incoherència no té a veure amb les matemàtiques i, per tant, no hi entrarem.

43

Exemple

Quant temps ha passat des de l’1 d’octubre de l’any 2 aC fins l’1 de febrer de l’any 1 dC? Resposta: Ha passat un any i 4 mesos.

Amb els segles i els mil·lennis passa el mateix que amb els anys. No existeix el segle 0 ni el mil·lenni 0. Per representar-los a la recta numèrica, la graduarem de 100 en 100 ja que un segle equival a 100 anys.

El segle I dC comença l’1 de gener de l’any 1 dC i acaba el 31 de desembre de l’any 100 dC. El 1r mil·lenni comença l’1 de gener de l’any 1 i acaba el 31 de desembre de l’any 1000. Queda clar, doncs, que el segle XXI i el 3r mil·lenni van començar l’1 de gener de 2001 i no del 2000.

Exemples

Si volem saber a quin segle pertany un any determinat, cal que situem aquest any a la recta de la pàgina següent i observem el segle on es troba. 1. L’any 35 dC pertany al segle I dC ja que és entre l’1 de gener de l’any 1 i el

31 de desembre de l’any 100, és a dir entre el 0 i el 100 de la recta. 2. L’any 124 dC pertany al segle II dC ja que és entre la finalització de l’any

100 i la del 200, és a dir entre el 100 i el 200 de la recta.

3. L’any 950 dC pertany al segle X dC ja que és entre el 900 i el 1000.

4. L’any 1492 dC pertany al segle XV dC ja que és entre el 1400 i el 1500.

5. L’any 2010 dC pertany al segle XXI ja que és entre el 2000 i el 2100.

6. L’any 57 aC pertany al segle I aC ja que és entre l’inici de l’any 100 aC i la fi de l’any 1 a C, és a dir, entre el -100 i el 0 de la recta.

7. L’any 189 aC pertany al segle II aC ja que és entre el -100 i el -200.

8. L’any 543 aC pertany al segle VI aC ja que és entre el -500 i el -600.

les matemÀtiques de les ciÈncies socials (1r i 2n d eso) · socials, ciències de la naturalesa,...

Documents