les matemÀtiques de les ciÈncies de la naturalesa (2n … · (2n d’eso – física i química)...

LES MATEMÀTIQUES DE LES

CIÈNCIES DE LA NATURALESA

(2n d’ESO – Física i Química)

Núria Magrins Oller INS Gorgs Curs 2009-2010

1

ÍNDEX

1. Introducció .............................................................................................. 3

1.1. Justificació de la necessitat d‟aquest material ................................ 3

1.2. Aportació de les Ciències de la naturalesa la comp. matemàt. ...... 4

1.3. Coordinació de les programacions .................................................. 4

1.4. Estructura del dossier....................................................................... 5

2. Consideracions generals.......................................................................... 5

2.1. Aproximacions decimals.................................................................... 5

2.2. Aproximació dels euros.................................................................... 6

2.3. Regla de tres.................................................................................... 6

2.4. Consideració final............................................................................. 6

3. L‟univers................................................................................................... 7

3.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Conceptes de nombre negatiu i de mitjana aritmètica Grau d‟angle. Sistema sexagesimal Conceptes de volum i massa Concepte de proporcionalitat Notació científica.............................................................................. 7

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?.............................. 7

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?................................. 8

3.3.1. Conceptes de nombre negatiu i de mitjana aritmètica.......... 8

3.3.2. Grau d‟angle. Sistema sexagesimal. ....................................... 8

3.3.3. Conceptes de volum i massa................................................... 12

3.3.4. Concepte de proporcionalitat................................................... 12

3.3.5. Notació científica...................................................................... 13

4. Les escales de temperatura...................................................................... 16

5. Densitat d‟una substància......................................................................... 17

5.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Unitats de volum i massa. Canvis d‟unitat Relació dels canvis d‟unitat amb els factors de conversió Proporcionalitat Introducció a l‟àlgebra. Equacions de primer grau............................ 17



5.3.1. Unitats de volum i massa. Canvis d‟unitat................................ 18

5.3.2. Relació dels canvis d‟unitat amb els factors de conversió....... 20

5.3.3. Proporcionalitat......................................................................... 23

5.3.4. Introducció a l‟àlgebra. Equacions de primer grau.................. 27

2

6. Les mescles.............................................................................................. 37

6.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Proporcionalitat Unitats de volum i massa. Canvis d‟unitat Relació dels canvis d‟unitat amb els factors de conversió Percentatges (Concepte i càlcul)........................................................ 37



6.3.1. Proporcionalitat......................................................................... 38

6.3.2. Unitats de volum i massa. Canvis d‟unitat. Relació dels canvis d‟unitat amb els factors de conversió.......................... 39

6.3.3. Percentatges (Concepte i càlcul)............................................. 39

7. Les forces i la pressió............................................................................... 48

7.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Equacions de primer grau Vectors Teorema de Pitàgores Concepte d‟unitat de superfície Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió............................ 48



7.3.1. Equacions de primer grau...................................................... 49

7.3.2. Vectors..................................................................................... 49

7.3.3. Teorema de Pitàgores............................................................. 50

7.3.4. Concepte d‟unitat de superfície............................................... 53

7.3.5 Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió.................. 55

8. El moviment.............................................................................................. 56

8.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Nombres enters Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió Equacions de primer grau Introducció a les funcions. Funcions lineals i afins............................. 56



8.3.1. Nombres enters........................................................................ 57

8.3.2. Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió.................. 59

8.3.3. Equacions de primer grau........................................................ 59

8.3.4. Introducció a les funcions. Funcions lineals i afins.................. 60

9. L‟energia................................................................................................... 69

9.1. Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen Prioritat d‟operacions Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió............................. 69



9.3.1. Prioritat d‟operacions................................................................ 69

9.3.2. Canvi d‟unitats. Relació amb factors de conversió.................. 70

3

1. INTRODUCCIÓ 1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material El nostre centre, l‟IES Gorgs de Cerdanyola del Vallès, està duent a terme un Pla de Millora aprovat pel Departament d‟Educació. Aquest Pla de Millora té com un dels seus objectius prioritaris millorar els resultats de les competències bàsiques de l‟alumnat en tots els àmbits curriculars. Una de les primeres accions realitzades va ser la posada en funcionament d‟una coordinació interdepartamental per tal de debatre sobre la transversalitat de les competències bàsiques i les connexions entre les matèries. D‟aquestes reunions interdepartamentals va sorgir la idea d‟incorporar la comprensió lectora com a contingut de totes les àrees. Aquesta idea es va desenvolupar i posar en pràctica durant el curs 2008-2009. A finals del mateix curs, el centre –tant a nivell de l‟equip directiu, com de tot el claustre del professorat- va manifestar la voluntat de treballar seriosament en el sentit de millorar la competència matemàtica implicant-hi totes les àrees que tinguin relació amb les matemàtiques.

En el decret pel qual s‟estableix l‟ordenació dels ensenyaments de l‟educació secundària obligatòria, el Departament d‟Educació precisa que la competència matemàtica té un caràcter transversal a totes les matèries i que per millorar-la cal que els aprenentatges dels continguts matemàtics s‟orientin cap a la seva utilització a la vida diària i a les altres àrees del coneixement. Tradicionalment, però, estem acostumats a un model educatiu molt compartimentat en matèries o assignatures on les matemàtiques solen ser tractades sense connexió amb les altres matèries. Cal que el nostre alumnat pugui veure les matemàtiques com un valor instrumental que ajuda a l‟aprenentatge de les altres disciplines. A més, establir connexions entre els continguts matemàtics i els no matemàtics contribueix clarament a donar sentit als primers, ja que mostra el seu origen i les seves aplicacions. Una altra necessitat que se‟ns planteja a l‟hora de mirar les matemàtiques de manera interdisciplinar és l‟acurada selecció i seqüenciació de continguts. Cal optimitzar l‟ensenyament dels continguts matemàtics presents en els currículums de les diferents àrees, aconseguint que la duplicitat que es produeix a l‟hora de treballar els aspectes matemàtics es faci de manera coordinada tant en el temps com en el procediment. Cal, doncs, que coneguem quines matemàtiques treballem a cada àrea, com les treballem i en quin moment. Quan treballem un mateix concepte des de diferents matèries, cal que el professorat ho tinguem present i que els alumnes vegin pautes coherents i el puguin interrelacionar. Per acabar, voldria afegir la importància que aquest material pot tenir per al professorat. Per una banda, ha de servir als docents experts, tant de Matemàtiques com de Ciències de la naturalesa, per reflexionar sobre la nostra metodologia a l‟hora de ensenyar les matemàtiques i de connectar les dues matèries. I, per altra banda, pot ser un material molt útil per al professorat de nova incorporació al centre, ja que disposarà d‟una guia sobre com treballar les matemàtiques que apareixen a les Ciències de la naturalesa en cada curs. .

4

1.2. Aportació de les Ciències de la naturalesa a la competència matemàtica

El decret del Departament d‟Educació pel qual s‟estableix l‟ordenació dels ensenyaments de l‟educació secundària obligatòria, detalla la contribució de l‟assignatura de Ciències de la naturalesa a l‟assoliment de la competència matemàtica de la següent manera: “ El desenvolupament de la competència científica està íntimament associat al de la competència matemàtica. La mesura, el tractament de dades, la construcció i lectura de gràfics, les representacions geomètriques i la deducció i interpretació de models matematitzats són, entre d’altres, àmbits que els dos camps competencials comparteixen i que cal treballar conjuntament en la recerca de respostes a les preguntes que ens fem sobre els fenòmens de la naturalesa.” 1.3. Coordinació de les programacions Un cop analitzats els continguts matemàtics presents en les matèries de Ciències socials, Ciències de la naturalesa, Tecnologies i Educació visual i plàstica de 1r i 2n d‟ESO, el departament de Matemàtiques ha reestructurat la seva programació per tal d‟adaptar-la al màxim a les necessitats de les altres matèries. Tot i això, no ha estat possible fer una seqüenciació dels continguts a l‟assignatura de Matemàtiques de manera que s‟expliqui a l‟alumnat tot el necessari abans que es treballi a les altres matèries. Per intentar solucionar aquest fet, s‟han realitzat dues accions. Al començament d‟alguns trimestres s‟ha introduït a l‟assignatura de Matemàtiques el TEMA 0. En aquest tema es donen nocions bàsiques de continguts matemàtics directament aplicables a d‟altres assignatures i que s‟estudiaran durant el trimestre. Per exemple, en el TEMA 0 del primer trimestre de 2n d‟ESO s‟explicarà la notació científica, es repassaran les equacions de primer grau apreses a 1r d‟ESO, etc. Per altra banda, s‟ha fet una proposta sobre la metodologia a emprar en cada un dels continguts matemàtics que apareixen a l‟assignatura en qüestió. D‟aquesta forma, si encara no s‟han fet a la classe de matemàtiques, el professorat de Ciències de la naturalesa sabrà com es treballaran aquests continguts i li podrà servir d‟orientació. Cada departament disposarà d‟una graella-resum on constaran els continguts matemàtics treballats a cada matèria en cada trimestre. Per últim, s‟aconsella adaptar al màxim, també, la programació de Ciències de la naturalesa per tal d‟optimitzar l‟assoliment dels continguts matemàtics presents en el currículum d‟aquesta matèria.

5

1.4. Estructura del dossier

El present dossier està estructurat de la forma següent: en primer lloc, hi ha un apartat de CONSIDERACIONS GENERALS. A partir d‟aquí, cada un dels apartats següents porta el títol del TEMA de Ciències de la naturalesa on apareixen continguts matemàtics. En cada un d‟aquests apartats hi ha tres parts que s‟expliquen a continuació: TEMA Continguts matemàtics que s‟hi utilitzen. En aquest apartat només s‟escriuen els títols dels continguts matemàtics necessaris per a aquest tema.

Quan es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat es diu en quin moment del curs es treballa a la classe de matemàtiques cada un dels continguts descrits en l‟apartat anterior, segons la nova programació. Cal tenir present que durant el curs 2010-2011 es començarà a aplicar la nova programació de Matemàtiques només a 1r d‟ESO. A 2n d‟ESO s‟aplicarà a partir del curs 2011-2012. Cal posar atenció als continguts que es treballen a les dues matèries gairebé alhora ja que, segons la dinàmica del grup-classe, no sempre es pot seguir la temporització de la programació. Com es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat s‟explica la metodologia emprada, a la classe de matemàtiques, per assimilar cada un dels continguts descrits en el primer apartat. Cal tenir en compte que aquest dossier va dirigit al professorat i, per tant, s‟han omès moltes parts que sí que es fan a l‟aula i, en canvi, es defineixen conceptes necessaris per al professorat que no són estrictament necessaris per a l‟alumnat. Per introduir un concepte nou a la classe de matemàtiques es solen plantejar problemes concrets per resoldre i, sempre que es pot, contextualitzats. Es provoca una discussió sobre la forma de resoldre el problema plantejat i finalment s‟ordenen les idees sorgides i es defineix el concepte o el mètode que s‟està estudiant. Finalment, i dins d‟aquest apartat, de vegades hi ha unes Recomanacions a tenir en compte quan es treballen aquells conceptes de més difícil assimilació per part de l‟alumnat o aquells procediments on cometen més errors. 2. CONSIDERACIONS GENERALS

2.1. Aproximacions decimals Si la solució d‟un problema és un nombre amb moltes xifres decimals, cal fer una aproximació d‟aquest nombre. A la classe de matemàtiques sempre recomanem fer l‟arrodoniment del nombre en qüestió amb dues o tres xifres decimals, com a màxim. Arrodonir un nombre amb dos decimals (fins als centèsims) significa donar la millor aproximació amb dues xifres decimals del nombre. Això s‟aconsegueix observant la tercera xifra decimal. Si aquesta és una xifra menor que 5, l‟arrodoniment es farà tallant als centèsims (truncament). Si la tercera xifra decimal és més gran o igual a 5, l‟arrodoniment s‟aconsegueix sumant un centèsim al truncament.

6

Per exemple, si volem arrodonir amb dos decimals el nombre A = 45,67385...., observem que la tercera xifra decimal és un 3 (menor que 5). L‟arrodoniment del nombre A amb dos decimals serà, doncs, A ~ 45,67. Si volem fer el mateix amb el nombre B = 0,24515...., com que la tercera xifra decimal és un 5 (major o igual que 5), l‟arrodoniment del nombre serà B ~ 0,25. Si volem arrodonir els nombres A i B amb tres decimals, haurem d‟observar la quarta xifra decimal i seguir el mateix procés. Així, doncs, A ~ 45,674 i B ~ 0,245. 2.2. Aproximació dels euros Els nombres que indiquen quantitats d‟euros sempre cal donar-los amb dues xifres decimals. Si el resultat d‟una operació amb euros ens dóna més de dues xifres decimals, hem de fer l‟arrodoniment i si només té una xifra decimal, hem d‟escriure en el lloc dels centèsims (cèntims d‟euro) un 0. Si no es fa d‟aquesta forma, pot portar a confusió a l‟hora d‟interpretar la lectura d‟aquest nombre d‟euros. Per exemple, si diem que un objecte val vint-i-quatre amb tres, no sabem si ens referim a vint-i-quatre euros i tres cèntims o a vint-i-quatre euros i 30 cèntims ja que 24,03 ≠ 24,3 = 24,30. Cal escriure 24,30 € i llegir vint-i-quatre amb 30. 2.3. Regla de tres

Sobre l‟aplicació de la regla de tres simple, cal fer notar que és correcta només en alguns casos. Aquests casos es descriuen en els apartats corresponents del dossier. No obstant això, l‟alumnat tendeix a aplicar-la també, en d‟altres situacions on el seu ús és incorrecte. En aquest dossier i en cada cas concret es dóna una alternativa fàcil i entenedora a la regla de tres. 2.4. Consideració final I, per últim, voldria remarcar el fet que quan l‟alumnat es troba davant d‟un problema que ha de resoldre, l‟objectiu final és trobar-hi la bona solució. No és tan important el mètode utilitzat per arribar a aquesta solució, sempre que sigui correcte. Com a docents, hem d‟estar oberts a diferents formes de resoldre un problema i a diferents formes d‟ensenyar a resoldre un problema. Si davant un concepte a assolir, una part de l‟alumnat té grans dificultats, cal reflexionar i buscar alternatives per intentar minimitzar aquestes dificultats. Aquest dossier és un material obert que podem anar canviant i millorant entre tots, curs rere curs, i que espero que us sigui de molta utilitat.

7

3. L’UNIVERS

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

CONCEPTES DE NOMBRE NEGATIU I DE MITJANA ARITMÈTICA GRAU D‟ANGLE. SISTEMA SEXAGESIMAL CONCEPTES DE VOLUM I MASSA CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

NOTACIÓ CIENTÍFICA

3.2 Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

CONCEPTES DE NOMBRE NEGATIU I DE MITJANA ARITMÈTICA. GRAU D’ANGLE I SISTEMA SEXAGESIMAL

Tots aquests conceptes s‟han treballat a 1r d‟ESO. CONCEPTES DE VOLUM I MASSA

Cap al mes d‟octubre de 2n d‟ESO es treballen les unitats de massa i volum per tal que l‟alumnat pugui entendre el concepte de densitat d‟una substància quan es treballi a Física a finals del primer trimestre.

CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

A 1r d‟ESO es treballa la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... A 2n d‟ESO, a finals d‟octubre i durant el mes de novembre, es repassen els conceptes sabuts i es treballen més a fons les magnituds inversament proporcionals.

NOTACIÓ CIENTÍFICA

A 1r d‟ESO s‟han treballat les potències de nombres naturals amb exponent natural i positiu. Només començar 2n d‟ESO es treballarà la notació científica.

8

3.3 Com es treballa a la classe de matemàtiques?

3.3.1. CONCEPTE DE NOMBRE NEGATIU I MITJANA ARITMÈTICA

Els conceptes de nombre negatiu i mitjana aritmètica no s‟explicaran en aquest dossier ja que només apareixen en aquesta assignatura com a dades informatives i l‟alumnat té ben assolits aquests conceptes del curs anterior.

3.3.2. GRAU D’ANGLE. SISTEMA SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal aplicat a la mesura del temps s‟explica a primària. A Matemàtiques de 1r d‟ESO es treballa el sistema sexagesimal per mesurar angles, tot i que també se‟n comenta algun exemple amb mesures de temps.

Una unitat per mesurar angles és el grau sexagesimal (º). Un grau és la norantena part d‟un angle recte, és a dir, si dividim un angle recte en 90 angles iguals, cada un d‟aquests angles mesura 1º. Perquè es pugui apreciar un angle d‟un grau cal fer les semirectes prou llargues.

Cada grau està dividit en 60 minuts d‟arc i cada minut d‟arc en 60 segons d‟arc, per això diem que aquesta mesura d‟angles es fa en un sistema sexagesimal. A la pràctica, dels minuts d‟arc i segons d‟arc en diem minuts i segons.

Per passar de graus a minuts o de minuts a segons només cal multiplicar per 60. Si el que interessa és passar a una unitat superior, de segons a minuts o de minuts a graus, cal fer la divisió entera entre 60.

Una mesura expressada en graus, minuts i segons (º,‟,”) diem que està expressada en forma complexa i està expressada en forma incomplexa si està expressada en una sola unitat. L‟ús de la calculadora és molt útil a l‟hora d‟intercanviar aquestes dues formes. A classe de matemàtiques treballem aquest intercanvi multiplicant i dividint per 60 abans de fer-ho directament amb calculadora perquè els quedi més clar el concepte de sistema sexagesimal.

Exemples

1. Quants graus, minuts i segons són 43,24º?

Sense calculadora:

- 43,24º = 43º + 0,24º

- Passem 0,24 graus a minuts multiplicant per 60: 0,24 · 60 = 14,4

9

- Tenim doncs 0,24º = 14,4‟

- 14,4‟ = 14‟ + 0,4‟

- Passem 0,4 minuts a segons multiplicant per 60: 0,4 · 60 = 24

- Tenim doncs 0,4‟ = 24”

Resposta: 43,24º = 43º 14‟ 24” Amb calculadora:

- Introduïm 43,24, cliquem la tecla de (º „ “) i la tecla (=) o a la inversa. - Apareix a la pantalla: 43º14º24, que s‟interpreta 43º 14‟ 24”.

Resposta: 43,24º = 43º 14‟ 24”

2. Quants graus, minuts i segons són 8756” ? Sense calculadora:

- Dividim els 8756 segons entre 60 per saber quants minuts contenen.

8756” ɭ 60 _

275 145‟ 356 5 6”

- Tenim que 8756” = 145‟ + 56”

- Dividim els 145 minuts entre 60 per saber quants graus contenen. 145‟ ɭ 60_

2 5‟ 2º - Tenim que 145‟ = 2º + 25‟

Resposta: 8756” són 2º 25‟ 56”

Amb calculadora:

- Introduïm la mesura 0º 0‟ 8756” clicant les tecles (0), (º „ “), (0), (º „ “), 8756 i (º „ “). A continuació cliquem la tecla (=).

- Apareix a la pantalla: 2º25º56, que s‟interpreta 2º 25‟ 56”

Resposta: 8756” són 2º 25‟ 56”

10

3. Quants graus són 63º 31‟ 12”?

Sense calculadora:

- Passem els 12 segons a minuts dividint per 60: 12:60 = 0,2

- Tenim 63º 31‟ i 0,2‟, és a dir, 63º 31,2‟ - Passem els 31,2 minuts a graus dividint per 60: 31,2:60 = 0,52

- Tenim 63º i 0,52º, és a dir, 63,52º

Resposta: 63º 31‟ 12” = 63,52º Amb calculadora:

- Introduïm la mesura 63º 31‟ 12” clicant les tecles 63, (º „ “), 31, (º „ “), 12 i (º „ “). A continuació, cliquem les tecles (=), (Shift) i (º „ “).

- Apareix a la pantalla 63,52, que vol dir 63,52º.

La suma i la resta de mesures en sistema sexagesimal també s‟acaben fent amb calculadora, prèviament, però, es fan alguns exercicis a mà per tal que l‟alumnat tingui clara les relacions entre graus, minuts i segons.

Les mesures de temps: hores, minuts i segons també són un sistema sexagesimal i, per tant, totes les operacions i canvi d‟unitats que es poden fer amb els graus, minuts i segons d‟angle es poden fer exactament igual amb les mesures de temps: hores, minuts i segons.

Unitat bàsica Submúltiples

Temps hora ( h ) minut (min) segon (s)

Angle grau ( º ) minut ( „ ) segon ( “ )

1 h = 60 min 1 min = 60 s

1º = 60‟ 1‟ = 60”

11

Exemple

1. Si avui el Sol ha sortit a les 7 h 11 min 52 s i la posta ha estat a les

19 h 4 min 46 s, quantes hores de llum natural hem tingut aquest dia?

- Cal restar a l‟hora de la posta del Sol, l‟hora de sortida del Sol 19 h 4 min 46 s

7 h 11 min 52 s _______________ ?? ?? ??

Com que el resultat de les hores, minuts i segons cal que sigui positiu no podem fer la resta dels segons ( 46 s – 52 s). Dels 4 min, n‟agafarem un i el convertirem en 60 s. Podem escriure l‟hora de la posta de Sol: 19 h 3 min 106 s. La resta quedarà ara:

19 h 3 min 106 s

7 h 11 min 52 s _______________ ?? ?? 54 s

Els minuts no es poden restar ( 3 min – 11 min). Agafarem una hora de les 19 i la convertirem en 60 min.

18 h 63 min 106 s

7 h 11 min 52 s _______________ 11 h 52 min 54 s Resposta: Avui hem tingut 11 h 52 min 54 s de llum natural.

NOTA: Aquest exercici es pot fer amb calculadora introduint-hi les hores, minuts i segons amb la tecla (º „ “). El resultat de la pantalla serà 11º52º54 que s‟interpreta 11 h 52 min 54 s.

Recomanacions

Cal no confondre els símbols de minuts i segons de temps amb els símbols de minuts i segons d‟angle, 1 min ≠ 1‟ i 1 s ≠ 1”.

És important que l‟alumnat raoni abans d‟aplicar mètodes, ja que hi ha situacions molt fàcils en què se‟n pot prescindir. Veiem un exemple on no cal fer cap operació:

Una mesura d‟angle o temps donada amb graus o hores, per exemple: 8,5 h està donada en sistema decimal. Aquestes 8,5 h es llegeix vuit hores i mitja (0,5 h → la meitat d‟una hora). En sistema sexagesimal, mitja hora és igual a 30 min. Tenim, doncs, que 8,5 h = 8 h 30 min.

12

3.3.3. CONCEPTE DE VOLUM I MASSA

Qualsevol cos ocupa un lloc a l‟espai. La magnitud que mesura l‟espai que ocupa un cos és el volum. Qualsevol objecte del món en què vivim ocupa un lloc i, per tant, té volum. La unitat de volum en el Sistema Internacional és el metre cúbic (m3), que és l‟espai que ocupa un cub d‟un metre d‟aresta. Cal no confondre volum amb capacitat. La capacitat només es pot quantificar en els objectes que són recipients, i aquesta n‟és el seu volum interior. La unitat per mesurar capacitats sol ser el litre, que és la capacitat d‟un cub d‟un decímetre d‟aresta, és a dir, 1 dm3 = 1 l. A l‟alumnat, se‟ls fa una demostració pràctica d‟aquesta equivalència.

La massa és una magnitud que ens indica la quantitat de matèria que té un

cos. La unitat de massa en el Sistema Internacional és el quilogram (kg). Un quilogram és la massa d‟un litre d‟aigua pura a 4ºC. Cal no confondre massa amb pes. Des de Matemàtiques es fa referència a aquest fet sense entrar en detall, ja que aquesta distinció s‟explica a la classe de Física en profunditat. Es posa com a exemple que un mateix objecte té igual massa a la Terra que a la Lluna, però diferent pes, ja que la força de la gravetat és diferent.

En un apartat posterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA” es tractaran amb més profunditat les unitats de volum i massa.

3.3.4. CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

El concepte de proporcionalitat apareix en aquest tema quan es fa la comparació entre planetes de la distància mitjana al Sol, l‟angle d‟inclinació de les seves òrbites, les seves masses i volums,.... Per exemple, es diu que la massa de Júpiter és 318 vegades més gran que la de la Terra o que la distància mitjana de Venus al Sol és 1,5 vegades la de la Terra. En aquests casos o similars cal tenir present:

Quan es diu que una magnitud és un nombre de vegades més gran o més petita que una altra, s‟està dient que per passar d‟una a l‟altra cal multiplicar-la o dividir-la pel nombre en qüestió. L‟alumnat té clar que el doble i el triple és fa multiplicant per 2 i per 3 respectivament, però en dir 3 vegades més gran, creu, en moltes ocasions, que cal sumar-hi 3.

A classe de matemàtiques es treballa a fons la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals, introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... No obstant això, no és necessari detallar aquí tots aquests conceptes, ja que, en aquest apartat, l‟alumnat només necessita la idea intuïtiva de proporcionalitat.

13

3.3.5. NOTACIÓ CIENTÍFICA

La notació científica és una forma d‟escriure nombres molt grans o molt petits de manera clara i concisa. Tot i que disposem d‟unitats de mesura molt grans i molt petites, en algunes ocasions se‟ns fa difícil escriure i llegir nombres com:

- Superfície del Sol: 6 090 000 000 000 km2 - Massa de la Terra: 5 983 000 000 000 000 000 000 t - Diàmetre de la cèl·lula del teixit muscular llis: 0,000008 mm Tots aquests nombres es poden escriure de forma més fàcil en notació científica.

Es repassa el significat d‟una potència i les potències de 10 treballades a 1r d‟ESO i a primària:

- 102 = 10 · 10 = 100 - 103 = 10 · 10 · 10 = 100 · 10 = 1000 - 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 - 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 - 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000

Conclusió: n10 si n és un nombre natural (enter i positiu) és el nombre format

per un 1 i tants zeros com ens indica n.

S‟introdueix el concepte d‟exponent negatiu, però només amb base 10:

- 210

1

100

101,0 Es pot escriure aquesta fracció com la potència: 210 .

- 3

310

10

1

1000

1001,0

- 4

410

10

1

00010

10001,0

- 5

510

10

1

000100

100001,0

- 6

610

10

1

0000001

1000001,0

Conclusió: n10 significa la fracció que té numerador 1 i denominador n10 .

n

n

10

110 . Si es fa la divisió que ens indica aquesta fracció s‟obté el

nombre decimal de part entera 0 i la part decimal està formada per zeros i un 1 en l‟últim lloc. La xifra decimal que ocupa l‟1 és la xifra decimal que està en el lloc n.

14

Un nombre escrit en notació científica ha d‟estar escrit com un producte d‟un

nombre per una potència de 10: n10a . I ha de complir les condicions

següents:

- a és un nombre decimal en el qual la part entera ha de ser una única xifra diferent de zero.

- n és una nombre enter (positiu per als nombres grans i negatiu per als petits). Aquest nombre (n) es diu ordre de magnitud i ens dóna una idea de com és de gran o petit el nombre. Si n=6 estem parlant de milions, si n=9 de milers de milions, si n=12 de bilions,...... Si n= -3 estem parlant de mil·lèsimes, si n= -6 estem parlant de milionèsimes, ......

Exemples

1. Superfície del Sol: 6 090 000 000 000 km2

En notació científica el nombre que multiplica la potència de 10 només pot tenir una xifra a la part entera. Per tant, la coma decimal haurà d‟anar després del 6 i, evidentment, no té sentit escriure els zeros finals després d‟una coma decimal. Així doncs: a = 6,09. L‟ordre de magnitud, és a dir la n, ha de tenir el valor necessari per obtenir el nombre desitjat. A partir del 6 i fins l‟última xifra del nombre que volem escriure hi ha 12 xifres, per tant, haurem de multiplicar el 6,09 per la unitat seguida de 12 zeros, és a dir, n = 12. La superfície del Sol expressada en

notació científica és: 121009,6 km2 (És de l‟ordre de 6 bilions de km2)

2. Massa de la Terra: 5 983 000 000 000 000 000 000 t

La coma decimal ha d‟anar després del 5: a = 5,983. A partir del 5 i fins l‟última xifra del nombre hi ha 21 llocs, per tant n = 21. La massa de la Terra

expressada en notació científica és: 2110983,5 t (És de l‟ordre de 6 milers

de trilions de tones)

3. Diàmetre de la cèl·lula del teixit muscular llis: 0,000008 mm Per escriure aquest nombre en notació científica, la coma decimal ha d‟anar

després del 8 (a=8) i hauríem de dividir el 8 per 6100000001 per obtenir

el 0,000008 desitjat. Així tenim que

6

66108

10

18

10

8

0000001

8000008,0 (És de l‟ordre de 8

milionèsimes de mm)

4. Què significa que un any llum (distància que recorre la llum en un any) és

mk1046,9 12 ?

121046,9 equival a multiplicar 9,46 per la unitat seguida de 12 zeros:

121046,9 9 460 000 000 000. Un any llum és quasi 9 bilions i mig de

quilòmetres.

15

5. La mida d‟un Rhinovirus (virus causant principal del refredat comú) és de

mm102 5 . Quin és aquest nombre escrit amb tots els seus decimals

(sense notació científica)?

00002,0000100

2

10

2

10

12102

55

5 . La mida d‟un Rhinovirus és de

2 centmil·lèsimes de mil·límetre.

Recomanacions

Quan es treballa la notació científica a Matemàtiques, es recomana l‟alumnat que arrodoneixi a dos o tres decimals el nombre que multiplica la potència de 10.

És del tot recomanable fer ús de la calculadora a Ciències Naturals en tots els casos que sigui possible. De totes formes, en el cas dels nombres escrits en notació científica, la calculadora és útil per fer-hi operacions i no pas per la seva interpretació i escriptura, que és el que es fa a 2n d‟ESO. Així doncs, la introducció de l‟ús de la calculadora per fer operacions amb notació científica no es farà fins a 3r d‟ESO. A més, l‟escriptura i la interpretació de la notació científica amb la calculadora és molt diversa segons el tipus de calculadora i, en algunes d‟elles, força diferent de com ho escrivim a mà. Amb la calculadora, és fàcil que l‟alumnat confongui la potència d‟un nombre amb un nombre escrit en notació científica.

16

4. LES ESCALES DE TEMPERATURA

NOTA: Per passar un valor de temperatura donat en graus de l‟escala Celsius o centígrada (ºC) a graus de l‟escala Fahrenheit (ºF), cal dominar les equacions de 1r grau amb denominadors i/o parèntesis:

32t9

5tbéo32t

5

9t FºCºCºFº

Aquest tipus d‟equacions no es treballen a Matemàtiques fins a mitjans del 2n trimestre de 2n d‟ESO. Per a una gran part de l‟alumnat, l‟àlgebra i, per tant les equacions, són continguts matemàtics difícils d‟assimilar. Cal començar amb equacions molt senzilles i anar augmentant el grau de dificultat de mica en mica. Es recomana no utilitzar aquest tipus d‟equacions fins més endavant. S‟ha observat que en alguns llibres de text de Física i Química de 1r i 2n d‟ESO no apareix l‟ús d‟aquestes equacions per fer el canvi d‟escales de temperatures. Es limiten a fer esment de l‟existència de les diferents unitats de mesura de temperatura. Dins el següent apartat: “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA”, s‟explica quina part de l‟àlgebra i quines equacions de 1r grau ha treballat l‟alumnat a 1r d‟ESO. També es posarà un exemple de com es resol a la classe de matemàtiques una equació de canvi d‟escales de temperatura a 2n d‟ESO.

17

5. DENSITAT D’UNA SUBSTÀNCIA


UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVIS D‟UNITAT RELACIÓ DELS CANVIS D‟UNITAT AMB ELS FACTORS DE CONVERSIÓ PROPORCIONALITAT INTRODUCCIÓ A L‟ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

5.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVIS D’UNITAT Els canvis d‟unitat de longitud es treballen només començar el curs de 1r d‟ESO. Les unitats de volum, capacitat i massa i els canvis d‟aquestes unitats es treballen durant el mes d‟octubre de 2n d‟ESO. RELACIÓ DELS CANVIS D’UNITAT AMB ELS FACTORS DE CONVERSIÓ

Durant el mes d‟octubre de 2n d‟ESO, s‟explicarà la relació entre els canvis d‟unitats treballats a Matemàtiques i els factors de conversió utilitzats a Física i Química. PROPORCIONALITAT A 1r d‟ESO es treballa la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... A 2n d‟ESO, a finals d‟octubre i durant el mes de novembre, es repassen els conceptes sabuts i es treballen més a fons les magnituds inversament proporcionals. INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU Al tercer trimestre de 1r d‟ESO es fa una introducció a l‟àlgebra i es treballen equacions de primer grau senzilles, sense parèntesis ni sumes ni restes de fraccions. A mitjans del 2n trimestre de 2n d‟ESO s‟aprofundeix en les equacions de primer grau.

18

5.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

5.3.1. UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVIS D’UNITAT

Qualsevol cos ocupa un lloc a l‟espai. La magnitud que mesura l‟espai que ocupa un cos és el volum. Qualsevol objecte del món en què vivim ocupa un

lloc i, per tant, té volum.

Per mesurar un volum, fem servir com a unitat de mesura un cub. La unitat de volum en el Sistema Internacional és el metre cúbic (m3), que és l‟espai que ocupa un cub d‟un metre d‟aresta.

Un cub d‟1 cm d‟aresta ocupa un volum d‟un centímetre cúbic (cm3). Un cub d‟1 dm d‟aresta ocupa un volum d‟un decímetre cúbic (dm3). A l‟aula es porta un joc que consta de 1 000 peces d‟1 cm3 que es poden encaixar entre elles. A partir d‟aquest joc, l‟alumnat pot relacionar el cm3 amb el dm3 i deduir que 1 dm3 = 1 000 cm3.

Cal utilitzar la unitat de volum adequada a la mesura que estem realitzant. Per exemple: el volum d‟una proveta el mesurarem en cm3, el volum d‟un dipòsit de gas en m3 i el volum d‟un embassament en hm3.

Per passar a una unitat de volum immediatament inferior, cal multiplicar per 1000 i per passar a una unitat immediatament superior, dividir per 1000.

L‟alumnat ha de tenir clar quins són els múltiples i els submúltiples més utilitzats per mesurar volums.

Múltiples Unitat bàsica del SI

Submúltiples

hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 hm3 = 1 000 dam3 = 1 000 000 m3 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3

1 dam3 = 1 000 m3 1 dm3 = 1 000 cm3

1dm3 = 0,001 m3 1 cm3 = 1 000 mm3

1 cm3 = 0,001 dm3 = 0,000001 m3

Cal no confondre volum amb capacitat. La capacitat només es pot

quantificar en els objectes que són recipients, i aquesta n‟és el seu volum interior. La unitat per mesurar capacitats sol ser el litre (l o L), que és la capacitat d‟un cub d‟un decímetre d‟aresta, és a dir, 1 dm3 = 1 L. A l‟alumnat se‟ls fa una demostració pràctica d‟aquesta equivalència.

19

Múltiples i submúltiples del litre:

Múltiples Símbol del litre

Submúltiples

kL o kl hL o hl daL o dal L o l dL o dl cL o cl mL o ml

1 kl = 1 000 l 1 dl = 0,1 l

1 hl = 100 l 1 cl = 0,01 l

1 dal = 10 l 1 ml = 0,001 l

Per passar a la unitat immediatament inferior, multipliquem per 10 i per passar a la unitat immediatament superior, dividim per 10.

Per definició, sabem que un decímetre cúbic de volum equival a un litre de capacitat ( 1 dm3 = 1 L). A partir d‟aquesta equivalència se‟n poden deduir d‟altres:

1 kL = 1000 L = 1000 dm3 = 1 m3 → 1 kL = 1 m3 ( Un cub d‟un metre

d‟aresta té una capacitat d‟1 kL, és a dir, 1000 L) 1 mL = 0,001 L = 0,001 dm3 = 1 cm3 → 1 mL = 1 cm3 ( Un cub d‟un centímetre d‟aresta té 1 mL de capacitat)

La massa és una magnitud que ens indica la quantitat de matèria que té un

cos. La unitat de massa en el Sistema Internacional és el quilogram (kg). Un quilogram és la massa d‟un litre d‟aigua pura a 4ºC. Cal no confondre massa amb pes. Des de Matemàtiques es fa referència a l‟alumnat d‟aquest fet sense entrar en detall, ja que aquesta distinció s‟explica a la classe de Física en profunditat. Es posa com a exemple que un mateix objecte té igual massa a la Terra que a la Lluna, però diferent pes, ja que la força de la gravetat és diferent.

Múltiples i submúltiples del quilogram:

Múltiples Unitat bàsica del SI

Submúltiples

Tona (t) kg hg dag g dg cg mg

1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g 1 dg = 0,1 g

1 kg = 1 000 g 1 cg = 0,01 g

1 hg = 100 g 1 mg = 0,001 g

1 dag = 10 g

20

Per passar a la unitat immediatament inferior, multipliquem per 10 i per passar a la unitat immediatament superior, dividim per 10.

Recomanacions

S‟ha observat, tant en el llibre de text com en els apunts de l‟alumnat, que es fan càlculs de volums de cossos geomètrics, prismes, cilindres, esferes, .... Cal tenir present que els volums de cossos geomètrics no es treballen a Matemàtiques fins el 3r trimestre de 2n d‟ESO. A més, en les fórmules d‟alguns d‟aquests volums apareix el número π. La primera vegada que l‟alumnat veu el número π a la classe de matemàtiques és quan es treballa l‟àrea i la longitud d‟una circumferència, que es fa, també, en el 3r trimestre de 2n d‟ESO.

5.3.2. RELACIÓ DELS CANVIS D’UNITAT AMB ELS FACTORS DE

CONVERSIÓ

A classe de matemàtiques, el canvi d‟unitat d‟una magnitud qualsevol es fa sempre multiplicant o dividint pel número adequat. És un mètode fàcil de raonar i permet fer tots els canvis utilitzats a matemàtiques sense problemes. A Física i Química, gairebé sempre es fan els canvis d‟unitat a partir dels factors de conversió. Amb els factors de conversió es té un mètode sistemàtic de transformació d‟unitats, que és especialment útil en canvis complexos. Per exemple, quan cal canviar més d‟una unitat de mesura alhora. En aquests casos, multiplicar i dividir diverses vegades es fa molt feixuc. És important que l‟alumnat relacioni aquestes dues formes de canvi d‟unitats i és per això que, des de la classe de matemàtiques, s‟explica aquesta relació.

Un factor de conversió és una fracció on hi ha la mateixa mesura

expressada amb diferent unitat al numerador i al denominador. Com que el numerador i el denominador són la mateixa mesura, aquesta fracció és equivalent a 1 i en multiplicar-la per qualsevol valor, aquest no varia.

Una mesura de qualsevol magnitud consta d‟un número i de la unitat en la qual s‟ha mesurat. Per veure la relació d‟un canvi d‟unitat amb els factors de conversió és important veure aquesta mesura com el producte del número per una unitat de mesura. Per exemple, 24 quilograms és el mateix que 24 vegades 1 quilogram ( 24 kg = 24 · 1 kg).

A la classe de matemàtiques es faran tots els passos necessaris per explicar el raonament dels factors de conversió. Cal, però, comentar a l‟alumnat que en la utilització dels factors de conversió no es fan tants passos, ja que el seu interès és disposar d‟un mètode sistemàtic i pràctic per canviar d‟unitats.

21

Exemples

1. Convertim 24 kg a g:

- Sense factors de conversió: Per passar de kg a g multipliquem per 1 000 ja que 1 kg són 1 000 g:

24 kg = 24 · 1kg = 24 · 1 000 g = 24 000 g

- Amb factors de conversió: Multipliquem els 24 kg per una fracció equivalent a la unitat on en el denominador aparegui la unitat que volem canviar i en el numerador la unitat que volem tenir. Cal tenir en compte que 24 kg = 24 · 1 kg.

kg1

g0001kg124

kg1

g0001kg24

kg1

g0001kg24kg24

g000124kg1

kg1g000124 24 000 g.

L‟última fracció és equivalent a la unitat .

2. Convertim 2 540 000 cm3 a m3.

- Sense factors de conversió: Per passar de cm3 a m3 dividim per 1 000 000, ja que per passar de cm3 a dm3 hem de dividir per 1 000 i per passar de dm3 a m3 hem de dividir per 1 000. Dividir dues vegades per 1 000 és el mateix que dividir per 1 000 000. 2 540 000 cm3 = 2 540 000 : 1 000 000 m3 = 2,54 m3

- Amb factors de conversió: Multipliquem els 2 540 000 cm3 per una fracció equivalent a la unitat on el numerador hi hagi m3 i en el denominador cm3.

3

3

33

3

33

3

33

3

333

m154,2cm1

cm1

0000001

m10005402

cm10000001

m1cm10005402

cm0000001

m1cm0005402

cm0000001

m1cm0005402cm0005402

2,54 m3. La simplificació s‟ha fet dividint numerador i denominador per 1 000 000 i l‟última fracció és equivalent a la unitat.

22

La densitat d‟un cos és el quocient entre la seva massa i el seu volum. Les

unitats de densitat s‟obtenen dividint les unitats de massa entre les de volum.

volum

massadensitat

La unitat de la densitat del Sistema Internacional és el 3m

kg. Una altra unitat

de densitat molt utilitzada és el 3cm

g. A la pràctica, aquestes unitats

s‟escriuen: kg/m3 i g/cm3 i es llegeixen quilograms per metre cúbic (quilograms que hi ha en un metre cúbic d‟aquesta substància) i grams per centímetre cúbic (grams en un centímetre cúbic).

Exemple

1. La densitat del plom és de 11 300 kg/m3. Quina és aquesta densitat en g/cm3?

- Sense factors de conversió: Primer veiem quants grams per m3 tenim. Com que cada kg són 1 000 g, multipliquem per 1 000: 11 300 kg/m3 = 11 300 · 1000 g/m3 = 11 300 000 g/m3. En un m3 hi ha 11 300 000 g de plom. Volem saber quants grams hi ha per cm3. Com que en 1 m3 hi ha 1 000 000 cm3, haurem de dividir per 1 000 000: 11 300 000 g/m3 = 11 300 000 : 1 000 000 g/cm3 = 11,3 g/cm3. NOTA: Aquest segon pas és difícil d‟entendre per l‟alumnat. - Amb factors de conversió:

33

3

333

3

3

3

33

3

cm

g3,11

m1

m1

kg1

kg1

cm0000001

g100030011

kg1cm0000001m1

g1000m1kg130011

kg1

g1000

cm0000001

m1

m1

kg130011

m1

kg30011m/kg30011

11,3 g/cm3. La simplificació s‟ha fet dividint numerador i denominador per 1 000 000 i les dues últimes fraccions són equivalents a la unitat.

23

5.3.3. PROPORCIONALITAT

A la classe de matemàtiques de 1r d‟ESO l‟alumnat ha treballat els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... Quan a 2n d‟ESO es repassen aquests conceptes es fa referència a la densitat si ja s‟ha treballat a l‟assignatura de Física i Química. - Classe de matemàtiques. 1r d’ESO

Es recorda el que és una magnitud: Qualsevol propietat que es pot mesurar i per tant, pot ser expressada amb un número i la seva unitat de mesura.

Exemples

1. Quilos de taronges que compro 2. Nombre de paletes que hi ha construint un edifici 3. Distància entre dues ciutats

Definició de magnituds proporcionals: Dues magnituds són proporcionals

sempre que el producte o la divisió entre un valor d‟una de les magnituds i el corresponent a l‟altra magnitud es manté constant.

Exemples 1. Quilos de taronges que compro i euros que pago per aquesta compra. La

divisió entre dos d‟aquests valors que es corresponguin sempre serà el mateix, es mantindrà constant.

Taronja

(kg) 2 3 5 6

Preu (€)

3 4,50 7,50 9

2. El nombre de paletes que hi ha construint un edifici i els dies que tarden a

acabar-lo. El producte de dos valors corresponents es mantindrà constant. (Cal suposar que tots els paletes treballen al mateix ritme i cada dia igual)

Paletes 12 6 4 3

Dies 40 80 120 160

24

3. La distància entre ciutats a la realitat i la distància entre les mateixes ciutats en un mapa. La divisió és manté constant.

Distància real (km)

2 3 5 6 0,5

Distància mapa(cm)

4 6 10 12 1

En el cas de les magnituds directament proporcionals, la divisió entre un

valor d‟una de les magnituds i el valor corresponent de l‟altra magnitud es manté constant. Això fa que si doblem el valor d‟una de les magnituds, el valor corresponent de l‟altra magnitud queda doblat, si el tripliquem, el corresponent també es triplica, si un el dividim per 2, el corresponent també es dividirà per 2, etc. La raó (divisió) entre dos valors corresponents ens dóna la constant de proporcionalitat i ens indica les vegades que està continguda una magnitud en una unitat de l‟altra.

Exemples 1. En l‟exemple de les taronges tenim dues magnituds directament

proporcionals. La raó entre el preu que pago per la compra de taronges i els quilos que he comprat em dóna el preu de les taronges per quilo.

50,1

6

9

5

50,7

3

50,4

2

3

kgtaronja

€preu → Vol dir que 1 kg de taronges

val 1,50 € (1,50 €/kg)

La raó entre els quilos de taronges que compro i els euros que he pagat em dóna els quilos de taronges que compararia amb un euro.

67,0

9

6

50,7

5

50,4

3

3

2

€preu

kgtaronja → Vol dir que amb 1 € podem

comprar 0,67 kg de taronges, és a dir, 670 g de taronges 2. El cas dels paletes i els dies que tarden a construir l‟edifici no són magnituds

de proporcionalitat directa. En aquest cas la constant de proporcionalitat és el producte i no la divisió.

3. En l‟exemple de les distàncies entre ciutats estem relacionant una mateixa

magnitud però amb diferents unitats, longitud en km i longitud en cm. Són magnituds directament proporcionals i la raó entre la distància real i la distància en el mapa ens donarà la constant de proporcionalitat. Si es calcula aquesta raó en les mateixes unitats (km, cm o qualsevol altra unitat de longitud) se sabrà en quina escala està dibuixat el mapa.

25

50000

1

50000

12

600000

10

500000

6

300000

4

200000

cmmapa.dist

cmreal.dist

Vol dir que 1 cm en el mapa equival a 50000 cm a la realitat, és a dir, 0,5 km.

En els mapes aquesta escala pot estar simbolitzada de forma numèrica o gràfica. La forma numèrica és 1:50000 o bé 1/50000 (raó entre la distància en el mapa i la distància real).

- Classe de matemàtiques. 2n d’ESO

Quan es repassa el concepte de magnituds directament proporcionals es posa com a exemple la relació entre la densitat de diferents cossos i la seva massa en el cas que el volum d‟aquests cossos sigui el mateix. Només es farà en cas que ja s‟hagi treballat a la classe de Física i Química.

massavolumdensitatvolum

massadensitat

Exemple 1. Suposem que tenim el mateix volum d‟uns quants cossos o substàncies de

diferent matèria, per exemple, 20 cm3 de cada:

Aigua pura

Suro Fusta Ferro Mercuri

Densitat (g/cm3)

1 0,2 0,6 7,8 13,6

Massa (g)

20 4 12 156 272

Si fem el quocient de cada parell de valors (densitat i massa) ens dóna un valor constant (constant de proporcionalitat). Per tant, densitat i massa són magnituds directament proporcionals sempre que el volum es mantingui constant. La fusta té una densitat que és el triple de la densitat del suro; per tant, 20 cm3 de fusta tenen el triple de massa que 20 cm3 de suro. La densitat del ferro és 13 vegades més gran que la de la fusta; per tant, la massa de 20 cm3 de ferro és 13 vegades més gran que la massa de 20 cm3 de fusta (12 · 13 = 156).

Dues magnituds són inversament proporcionals si el producte entre un

valor d‟una de les magnituds i el valor corresponent a l‟altra magnitud es manté constant. Això fa que si doblem el valor d‟una de les magnituds, el valor corresponent de l‟altra magnitud queda dividit per 2, si el tripliquem, el

26

corresponent queda dividit per 3, si un el dividim per 2, el corresponent es duplicarà, etc. El producte entre dos valors corresponents ens dóna la constant de proporcionalitat o raó de proporcionalitat inversa.

Exemple

1. Recordem l‟anterior exemple dels paletes: el nombre de paletes que hi ha construint un edifici i els dies que tarden a acabar-lo. El producte de dos valors corresponents es mantindrà constant. (Cal suposar que tots els paletes treballen al mateix ritme i cada dia igual)

Paletes 12 6 4 3

Dies 40 80 120 160

El nombre de paletes i els dies que tarden a acabar un edifici són magnituds

inversament proporcionals (suposant que tots els paletes són iguals d‟eficients i que cada dia treballen el mateix nombre d‟hores). La constant o raó de proporcionalitat inversa és 480 ja que 12 · 40 = 6 · 80 = 4 · 120 = 3 · 160 = 480. Observem que quan es duplica el nombre de paletes, el nombre de dies queda reduït a la meitat, si el nombre de paletes es divideix per 3, el nombre de dies es triplica,.....

Si tenim la mateixa massa de diferents cossos, la densitat d‟aquests cossos i el seu volum són magnituds inversament proporcionals.

massavolumdensitatvolum

massadensitat

Exemple 1. Suposem que tenim la mateixa massa d‟uns quants cossos o substàncies de

diferent matèria, per exemple, 600 g de cada:

Aigua pura

Suro Fusta Ferro Mercuri

Densitat (g/cm3)

1 0,2 0,6 7,8 13,6

Volum (cm3)

600 3 000 1 000 ~77 ~44

Si fem el producte de cada parell de valors, ens dóna un valor constant (600 =constant de proporcionalitat inversa). Per tant, densitat i volum són magnituds inversament proporcionals sempre que la massa es mantingui constant. La fusta té una densitat que és el triple de la densitat del suro, per tant 600 g de fusta ocupen una tercera part que 600 g de suro. La densitat del ferro és

27

13 vegades més gran que la de la fusta; per tant, el volum de 600 g de ferro és 13 vegades més petit que 600 g de fusta (1 000 : 13 = 76,923 ~ 77).

Recomanacions

Un error molt comú entre l‟alumnat és pensar que dues magnituds són directament proporcionals si quan n‟augmenta una, augmenta l‟altra. Cal remarcar que no n‟hi ha prou amb aquest fet sinó que quan una de les magnituds augmenta el doble, l‟altra també ha d‟augmentar el doble, si una es triplica, l‟altra també es triplica, .... Hi ha moltes relacions entre magnituds en què en augmentar-ne una, també augmenta l‟altra però no de forma proporcional. És millor evitar la frase: “quan una magnitud augmenta , l‟altra també” i substituir-la per “quan una magnitud augmenta el doble, l‟altra també augmenta el doble, ......”

El mateix passa amb les magnituds inversament proporcionals. No n‟hi ha prou de dir que quan una augmenta, l‟altra disminueix, sinó que cal dir que quan una de les magnituds es duplica, l‟altra queda dividida per dos, etc...

5.3.4. INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

- Classe de matemàtiques. 1r d’ESO

L‟àlgebra és la part de les matemàtiques que utilitza lletres com a símbols per expressar nombres desconeguts (per resoldre un problema) o bé per

expressar fórmules o lleis (producte de fraccions: db

ca

d

c

b

a

). S‟utilitza

molt en altres àrees del coneixement com la física, la química, la tecnologia, la informàtica, ....

A Matemàtiques, les fórmules o lleis se solen simbolitzar amb les primeres lletres de l‟alfabet: a, b, c, .... i els nombres desconeguts que hem de descobrir per resoldre un problema se solen simbolitzar amb les darreres lletres de l‟alfabet: x, y, z, ....

Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres units per

operacions aritmètiques.

- Si en una expressió algebraica hi apareixen lletres diferents, cada lletra representa un nombre diferent i a la inversa; per representar dos nombres diferents cal utilitzar lletres diferents.

- Com que les lletres representen nombres, totes les propietats de càlcul

amb nombres són igualment aplicables a les lletres.

28

Exemple

1. A un repartidor de pizzes li paguen 19 € diaris més 2 € per pizza repartida.

Quant cobra el dia que reparteix una pizza? I el dia que en reparteix dues? I el que en reparteix 3? Troba una expressió algebraica que signifiqui el que cobrarà un dia que ha repartit p pizzes.

1 pizza: 19 + 2 = 21 € 2 pizzes: 19 + 2 + 2 = 23 € 3 pizzes: 19 + 2 + 2 + 2 = 19 + 2 · 3 = 19 + 6 = 25 € 4 pizzes: 19 + 2 + 2 + 2 + 2 = 19 + 2 · 4 = 19 + 8 = 27 € p pizzes: 19 + 2 · p = ??? Si no sabem el nombre de pizzes que ha repartit, no sabem els diners que ha cobrat, però tenim l‟expressió que ho simbolitza: 19 + 2 · p

Notació: Per facilitar l‟escriptura, sempre que no porti a confusió, el símbol del producte (·) no s‟escriu. Si hi ha un producte d‟un nombre i una lletra, sempre s‟escriu el nombre al davant. Així, p·4 s‟escriu 4p, a·b s‟escriu ab, 3·(2+x) s‟escriu 3(2+x), ......

El valor numèric d‟una expressió és el resultat numèric que s‟obté en

substituir les lletres per nombres donats i fer les operacions indicades. Exemple

1. El repartidor de pizzes de l‟exemple anterior cobra 19 + 2p € si ha repartit p

pizzes. Si avui ha tingut molta feina i ha repartit 13 pizzes, quant ha cobrat?

p = 13 → 19 + 2·13 = 19 + 26 = 45 Resposta: Avui ha cobrat 45 €.

Un terme o sumand d‟una expressió algebraica és una expressió on hi

poden haver nombres i lletres amb només multiplicacions i/o divisions. Cada terme o sumand està separat dels altres termes per sumes i/o restes. Per

exemple, l‟expressió 3xy té un sol terme, x23

x té dos termes x2i

3

x,

2x + 3y - 5 té tres termes 2x, 3y i -5,.....

Operacions amb expressions algebraiques (suma i resta)

Sumar un nombre de vegades el mateix número és el mateix que multiplicar aquest número pel nombre de vegades que el sumem: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5·3 = 15 De la mateixa manera, sumar un nombre de vegades una mateixa lletra (que simbolitza un número) és el mateix que multiplicar la lletra pel nombre de vegades que la sumem:

29

x + x + x + x + x = 5 · x = 5x (el resultat no es pot saber si desconeixem el valor numèric de x.

Exemples

1. 2x + 3x = 2 · x + 3 · x = x + x + x + x + x = 5 · x = 5x → 2x + 3x = 5x 2. 4x – x = 4 · x – x = x + x + x + x – x = x + x + x = 3 · x = 3x → 4x – x = 3x

3. z + 3y = z + y + y + y → No representa el mateix nombre sumat quatre

vegades i, per tant, no podem fer aquesta operació.

4. 4 + 2x = 4 + x + x → No sabem quin nombre és x i, per tant, no podem fer aquesta operació.

NOTA: Cal insistir a l‟alumnat que 4 + 2x ≠ 6x, ja que no s‟ha respectat la prioritat d‟operacions (primer el producte abans que la suma i entre el 2 i la x hi ha un producte). En canvi, (4 + 2)·x = 6x.

5. 4x – 4 – 6x + 12x + 6 = 6x12x64x4 4x – 6x + 12x – 4 + 6 =

10x + 2.

6. t + 2x + x – 3 + 4t = t + 4t + 2x + x – 3 = 5t + 3x – 3

En cada terme d‟una expressió algebraica ens podem trobar números i/o lletres. De les lletres en direm part literal.

Dos termes o sumands són semblants si tenen la mateixa part literal. Per

exemple, 2x és un terme semblant a -4x, 2x no és semblant a 3y, 5y no és semblant a 8 i 3p és semblant a p.

Resum per sumar i restar expressions algebraiques - Per saber si es pot sumar o restar alguns dels termes d‟una expressió

algebraica, cal separar, encara que sigui mentalment, cada un dels seus termes o sumands.

- Després s‟ha d‟observar quina és la part literal de cada un dels termes.

- Si hi ha dos o més termes semblants, és a dir, amb la mateixa part literal, es

podran agrupar (sumar o restar). Si hi ha dos o més termes que només són números, evidentment també s‟han de sumar o restar. Cal anar amb molt de compte amb el signe (positiu o negatiu) de cada terme.

30

Recomanacions

Cal recordar sovint a l‟alumnat l‟omissió del símbol del producte (·) entre un número i una lletra. Se‟ls oblida amb molta facilitat que 2a significa 2 · a, és a dir, 2 vegades a o bé a + a. Això porta molts problemes a l‟hora d‟operar amb

expressions algebraiques i, per tant, a l‟hora de resoldre equacions.

Per operar amb expressions algebraiques i, com a conseqüència, per resoldre equacions és molt important, també, que l‟alumnat tingui clar què és un terme o sumand. Separar mentalment els termes d‟una expressió i visualitzar-los clarament els ajuda molt.

A la classe de matemàtiques, cal utilitzar lletres diferents a les típiques x, y,... perquè l‟alumnat pugui relacionar, en altres assignatures, que el que està fent és el mateix que fem a Matemàtiques quan treballem àlgebra.

Equacions de primer grau

De vegades, per resoldre un problema va bé expressar algebraicament el que explica l‟enunciat d‟aquest problema. A la solució numèrica del problema, que d‟entrada és desconeguda, se li assigna una lletra, anomenada incògnita. A Matemàtiques, aquesta lletra sol ser la x, però pot ser qualsevol

altra.

Per tenir una equació, cal tenir una igualtat entre dues expressions

algebraiques on hi ha una o més incògnites. Quan es conegui el valor de les incògnites que fan certa la igualtat es tindrà la solució de l‟equació i, com a

conseqüència, es podrà resoldre el problema.

Una equació de primer grau amb una incògnita és una equació en què

només hi ha una incògnita i aquesta apareix elevada a 1.

És molt important que l‟alumnat tingui clar què significa la solució d‟una equació: el valor numèric de la incògnita que fa que la igualtat es compleixi. És per això que es fan molts exercicis com els que s‟expliquen a continuació.

Es resolen mentalment equacions molt senzilles, inicialment amb context i més endavant en abstracte i es va augmentant molt lentament el grau de dificultat.

Exemples

1. x + 7 = 12 → x = 5 3. y + 15 = 13 → y = –2

4. 4z = 80 → 4 · z = 80 → z = 20

5. 6 t = 42 → – 6 · t = 42 → t = – 7

31

6. 3v + 11 = 44 → v = 11

7. 215

x → x = 30

8. 3

2

15

y → y = 10

9. 225

6x

→ x = 44

Donada una equació i diferents valors numèrics es fa comprovar a l‟alumnat si aquests valors numèrics són solució o no de l‟equació.

A partir d‟aquí, es posa un exemple d‟una equació difícil de resoldre mentalment o per tempteig. Es veu la necessitat de trobar un mètode per descobrir el valor de la incògnita.

Aquest mètode té com a fonament dues idees: - Si tinc dues expressions algebraiques iguals (equació) qualsevol operació que faci en una d‟elles (sumar, restar, multiplicar, dividir, ..) cal fer-la en l‟altra expressió a fi que la igualtat es mantingui. - Cal anar fent operacions als dos membres de l‟equació (cada una de les expressions algebraiques igualades) fins arribar a l‟objectiu desitjat, que és tenir la incògnita sola a un membre de la igualtat, la qual cosa es coneix com aïllar la incògnita.

Es treballa el mètode a partir d‟exemples concrets. Es comença amb equacions senzilles, que fins i tot es podrien resoldre mentalment, i es va augmentant el grau de dificultat. Abans de començar a aplicar el mètode, cal observar l‟equació amb atenció, veure clarament cada un dels termes o sumands que la componen, quins termes tenen lletra i quins són números sols. Després, cal reduir termes semblants en cada membre de l‟equació, si s‟escau, i pensar quines operacions cal fer per tenir la incògnita aïllada.

Exemples

1. 3x + 5 = 32

Tenim tres termes: 3x i 5 al primer membre de l‟equació i 32 en el segon. Primer aïllarem el terme que porta x, és a dir, 3x. Per això cal fer desaparèixer el 5. Ho farem restant 5 als dos membres. 3x + 5 – 5 = 32 – 5 → 3x = 27 → 3 · x = 27

32

Només tenim un terme que porta lletra, 3 · x, a un membre de l‟equació. Per tenir la x aïllada cal fer desaparèixer el 3. Això ho aconseguirem dividint els dos membres per 3.

3

27

3

x3

Simplificant les dues fraccions obtenim que x = 9, que és la

solució de l‟equació. NOTA: Gran part de l‟alumnat ha resolt aquesta equació mentalment però, a més, ha començat a veure un mètode per resoldre equacions més difícils. És important que es faci la comprovació, a l‟equació inicial, de la solució trobada.

2. 5y – 2 = 6y + 8

Tenim quatre termes: 5y i –2 al primer membre i 6y i 8 al segon. Per aïllar el terme que porta y cal que n‟hi hagi un de sol i no els podem agrupar si no són al mateix membre. Primer, doncs, traurem el terme 6y de la dreta restant 6y als dos membres. 5y – 2 – 6y = 6y + 8 – 6y Agrupem els termes semblants: – y – 2 = + 8 Per arribar a tenir la x sola, cal treure el – 2. Ho farem sumant 2 als dos membres. – y – 2 + 2 = + 8 + 2 → – y = + 10 Multipliquem o dividim els dos membres per – 1 per obtenir y. (– y) · (– 1) = (+ 10) · (– 1) → y = – 10

La incògnita ha de tenir el valor – 10 perquè la igualtat sigui certa.

3. 3

z7

Aquesta equació es resol mentalment sense cap dificultat. Usant el mètode, hauríem de multiplicar els dos membres de l‟equació per 3 per tenir aïllada la z.

z213

3z213

3

z37

o el que és el mateix z = 21.

33

4. x

75

Per resoldre aquesta equació tenim dos mètodes:

a. Cal tenir la incògnita al numerador. La traurem del denominador multiplicant els dos membres per x.

7x5x

x7x5x

x

7x5

Per tenir la x aïllada hem de dividir per 5.

5

7x

5

7

5

x5 x = 1,4

A Matemàtiques, solem deixar la solució en forma de fracció irreductible.

b. Utilitzant la propietat estudiada en el tema de fraccions que diu que si tenim dues fraccions equivalents el producte creuat coincideix.

7x517x5x

7

1

5

x

75

A partir d‟aquí, es continua igual que en el primer mètode.

5. 15

2

6

x

Per resoldre aquesta equació també tenim dos mètodes:

a. Multipliquem els dos membres de l‟equació pel mínim comú múltiple dels denominadors, que en aquest cas és 30.

5

4x

5

4

5

x54x5

15

60x5

15

302

6

30x30

15

230

6

x

b. Com que tenim dues fraccions equivalents, el producte creuat

coincideix.

5

4x

15

12x

15

12

15

x1512x1562x15

15

2

6

x

34


Es repassa l‟àlgebra i les equacions de 1r grau apreses a 1r d‟ESO.

Es comencen a fer mentalment els passos de sumar, restar, multiplicar o dividir els dos membres de l‟equació per un número, sense necessitat d‟escriure tots els passos.

Es resolen equacions aplicades a d‟altres assignatures.

Exemples

1. Si tenim un objecte d‟alumini que ocupa 15 cm3. Quina massa té?.

Densitat de l‟alumini: 2,7 g/cm3. La incògnita és la massa. Li assignem la lletra m i com que sabem que

Com que les unitats són adequades, trobarem la incògnita, és a dir, la m (massa), multiplicant els dos membres de l‟equació per 15 (ho fem mentalment en el segon membre). 2,7 · 15 = m → m = 40,5 Resposta: Aquest objecte d‟alumini té una massa de 40,5 g

2. Quin volum ocupa un objecte de fusta si la seva massa és de 300 g? Densitat de la fusta: 0,6 g/cm3. La incògnita és el volum. Li assignem la lletra v i com que sabem que

v

g300cm/g6,0

volum

massadensitat 3

Com que les unitats són adequades, trobarem la incògnita, és a dir, la v (volum) resolent l‟equació:

v

3006,0

Multipliquem mentalment per v els dos membres de l‟equació: 0,6 · v = 300 Dividim per 0,6 els dos membres de l‟equació (mentalment al primer

membre): 500v6,0

300v

Resposta: L‟objecte de fusta ocupa un volum de 500 cm3

33

cm15

mcm/g7,2

volum

massadensitat

35

Es treballa la propietat distributiva, les operacions amb fraccions i el producte d‟expressions algebraiques, tot amb números i lletres, per aprofundir en l‟àlgebra.

Es resolen equacions de 1r grau amb parèntesis i fraccions.

NOTA: No es detallarà aquí tota la metodologia utilitzada a la classe de matemàtiques per treballar aquests dos últims punts, però sí que es posarà un exemple d‟aplicació en el canvi d‟escales de temperatures. Exemple 1. A quants ºC equivalen 60ºF?

La fórmula que ens relaciona la temperatura en ºC i en ºF és:

32T5

9T CºFº .

La incògnita és la temperatura en ºC. Li assignarem la lletra t. Caldrà resoldre l‟equació:

32t5

960

Tenim tres termes: 60 en el primer membre i t5

9 i 32 en el segon.

Primer cal aïllar el terme que porta t. Per tant, restarem 32 als dos membres de l‟equació.

5

t928t

5

93260

. Multipliquem per 5 els dos membres de l‟equació

28 · 5 = 9 · t → 140 = 9 · t. Dividim per 9 els dos membres de l‟equació

t9

140 → t ~15,6

Resposta: 60ºF equivalen a 15,6ºC aproximadament.

NOTA: A la classe de matemàtiques, l‟equació 32t5

960 també es pot

resoldre multiplicant els dos membres de l‟equació per 5. Ens queda: 300 = 9·t + 160 → 300 – 160 = 9·t → 140 = 9·t i es continua igual que abans.

36

Recomanacions

Tot i que, actualment, molts professors de matemàtiques encara fem servir les frases: “El que està sumant passa restant, el que està multiplicant passa dividint, etc..”, per explicar la resolució d‟equacions, la tendència és evitar-les.

Els passos escrits en la resolució d‟una equació són els mateixos si diem que sumem, multipliquem, ... els dos membres d‟una equació pel mateix i fem mentalment aquelles operacions evidents. D‟aquesta forma, l‟alumnat ha de ser capaç de raonar en cada moment el pas que està fent i el perquè el fa sense que suposi més esforç d‟escriptura. La idea és evitar els típics errors que es fan en resoldre equacions. A continuació, es mostren dues equacions resoltes per alumnes de 3r d‟ESO extretes de dos treballs de recerca realitzats per alumnes de 2n de batxillerat del curs 2009-2010.

En el cas d‟una equació amb la incògnita en el denominador, per exemple la

que s‟ha resolt en un exemple anterior v

3006,0 , es recomana fer tots els

passos descrits i no fer mai directament el canvi 6,0

300v

v

3006,0 . Els

alumnes amb dificultats no entenen el que s‟està fent i ho apliquen malament en d‟altres situacions.

L‟alumnat relaciona millor les equacions d‟altres assignatures amb les equacions que es resolen a Matemàtiques si primer es substitueixen els valors coneguts i després s‟aïlla la incògnita que no pas si el procés és

l‟invers, primer aïllar la incògnita a la fórmula general i després substituir els valors coneguts.

37

6. LES MESCLES


PROPORCIONALITAT UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVIS D‟UNITAT RELACIÓ DELS CANVIS D‟UNITAT AMB ELS FACTORS DE CONVERSIÓ PERCENTATGES (Concepte i càlcul)


PROPORCIONALITAT A 1r d‟ESO es treballa la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... A 2n d‟ESO, a finals d‟octubre i durant el mes de novembre, es repassen els conceptes sabuts i es treballen més a fons les magnituds inversament proporcionals. UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVI D’UNITATS Els canvis d‟unitat de longitud es treballen només començar el curs de 1r d‟ESO. Les unitats de volum, capacitat i massa i els canvis d‟aquestes unitats es treballen durant el mes d‟octubre a 2n d‟ESO. RELACIÓ DELS CANVIS D’UNITAT AMB ELS FACTORS DE CONVERSIÓ

Durant el mes d‟octubre, a 2n d‟ESO, s‟explicarà la relació entre els canvis d‟unitats treballats a Matemàtiques i els factors de conversió utilitzats a Física i Química. PERCENTATGES (Concepte i càlcul)

A 1r d‟ESO s‟ha treballat el concepte de percentatge, el càlcul del tant per cent d‟una quantitat i el càlcul del percentatge que representa una quantitat d‟un total. A l‟inici del 2n trimestre a 2n d‟ESO es repassa el càlcul de percentatges i es posa com a exemple la seva aplicació en les concentracions de les dissolucions.

38


6.3.1. PROPORCIONALITAT

A l‟apartat anterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA” s‟ha explicat com es tracta part del tema de la proporcionalitat, tant a 1r d‟ESO com a 2n a la classe de matemàtiques. En aquest apartat es posarà un exemple que relacioni aquest tema, “LES MESCLES”, amb la proporcionalitat.

Es defineix la concentració d‟una dissolució com la proporció (relació) que hi

ha entre la quantitat de solut i la quantitat de dissolució o de dissolvent. El terme proporció té diversos usos. Per exemple, parlem de proporció com una raó que relaciona una part respecte a un tot o una part respecte a una altra part. En el cas de la concentració d‟una dissolució, tenim una raó que relaciona una part (solut) respecte un tot (dissolució) o bé una part (solut) respecte una altra part (dissolvent). És més utilitzada la primera raó.

Per una mateixa concentració, la quantitat de solut és directament proporcional a la quantitat de dissolució o bé a la quantitat de dissolvent, és a dir, per mantenir la concentració si augmentem el doble la quantitat de solut, hem d‟augmentar el doble la quantitat de dissolució o de dissolvent. Per una mateixa quantitat de dissolució, la quantitat de solut i la concentració són magnituds directament proporcionals, és a dir, si en una mateixa quantitat de dissolució augmentem el doble la quantitat de solut, la concentració es duplica. Per una mateixa quantitat de solut, la concentració i la quantitat de dissolvent són inversament proporcionals, és a dir, per una mateixa quantitat de solut, si augmentem el doble la quantitat de dissolvent, la concentració queda reduïda a la meitat.

A la classe de matemàtiques, els exercicis de proporcionalitat directa se solen resoldre mitjançant la reducció a la unitat.

Exemple 1. Si es té una dissolució de concentració 3 g/L, quants litres de dissolució es

poden preparar amb 105 g de solut?

Amb una concentració constant (3 g/L), la quantitat de solut i de dissolució són magnituds directament proporcionals.

dissolventde.quant

solutde.quantióConcentracbéo

dissolucióde.quant

solutde.quantióConcentrac

39

Quantitat de solut (g)

3 1 105

Quantitat de dissolució(L)

1 3

1 351053

1

Resposta: Amb 105 g de solut es poden preparar 35 L de dissolució.

NOTA: A la classe de Física i Química els exercicis d‟aquests tipus es resolen de la forma següent:

dissoluciódeL35solutdeg3

dissoluciódeL1solutdeg105

Observem que la fracció solutdeg3

dissoluciódeL1 ens dóna els litres que podem

preparar amb 1 g de solut, és a dir, el que a Matemàtiques anomenem reducció a la unitat. Les operacions que es realitzen són, doncs, les mateixes que a Matemàtiques.

El mètode usat a Física i Química és vàlid i pràctic per a l‟alumnat. No obstant això, des del punt de vista matemàtic, no es pot parlar de factor de conversió ja que un factor de conversió és una fracció on en el numerador i en el denominador hi ha la mateixa mesura expressada amb diferent unitat. Aquesta fracció, a Matemàtiques, es diu constant o raó de proporcionalitat.

6.3.2. UNITATS DE VOLUM I MASSA. CANVIS D’UNITAT. RELACIÓ DELS CANVIS D’UNITAT AMB ELS FACTORS DE CONVERSIÓ

En l‟apartat anterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA” s‟ha explicat com es tracten aquests conceptes a la classe de matemàtiques. 6.3.3. PERCENTATGES (Concepte i càlcul)

- Classe de matemàtiques. 1r d’ESO CONCEPTE DE PERCENTATGE

Quan un nombre va acompanyat del símbol % estem donant un percentatge i es llegeix “per cent”. Per exemple, 23% es llegeix vint-i-tres per cent; 5% es llegeix cinc per cent. És per això que els percentatges també són anomenats tants per cent.

A la classe de matemàtiques, primer es treballa el concepte de fracció i posteriorment el concepte de percentatge. Per tant, l‟alumnat pot entendre que un percentatge es pot representar com una fracció de denominador 100 i

40

de numerador, el tant per cent. Per exemple, el 23% significa que de cada

100 unitats en considerem 23, podem escriure, doncs, 100

23%23 .

Un percentatge ens dóna la proporció d‟una determinada quantitat respecte d‟una quantitat total. Per entendre el concepte de percentatge es comença amb exemples concrets i quotidians:

Exemples

1. Rebaixes del 30%

Significa que per cada compra de 100 € ens descompten 30 €

100

30. Si fem

una compra de 50 €, se‟ns descomptarà la meitat de 30 €, és a dir, 15 €.

Import compra (€)

100 50 10 20 200 300 150 1

Descompte (€)

30 15 3 6 60 90 45 100

3030,0

2. El 52 % de la població de Barcelona són dones

Significa que de cada 100 habitants de Barcelona, 52 són dones

100

52.

Això no vol dir que si agafem a l‟atzar 100 habitants de Barcelona, 52 seran dones. Vol dir que si posem juntes totes les dones i seguidament tots els homes i fem 100 grups, d‟igual nombre de persones, 52 d‟aquests grups seran de dones i la resta de grups seran homes.

3. Efectivitat del 60% en tirs lliures en un partit de bàsquet

Significa que per cada 100 tirs lliures llançats, n‟han encertat 60

100

60.

Evidentment no significa que en aquest partit hagin llançat 100 tirs lliures. Si han llançat 10 tirs lliures n‟hauran encistellat 6, si n‟han llançat 20, 12, etc...

4. Increment del 16% d‟IVA

Significa que a cada 100€ de compra hi afegiran 16€ per aquest impost

100

16.

41

Hi ha percentatges molt fàcils d‟entendre i de calcular:

- 50%: de cada 100 unitats, 50

El 50% d‟una quantitat significa la seva meitat (dividir per 2). - 25%: de cada 100 unitats, 25

El 25% d‟una quantitat significa la seva quarta part (dividir per 4).

- 10%: de cada 100 unitats, 10

El 10% d‟una quantitat significa la seva desena part (dividir per 10).

- 100%: de cada 100 unitats, 100 El 100% d‟una quantitat és el total de la quantitat.

- 200%: de cada 100 unitats, 200 El 200% d‟una quantitat significa el seu doble. També tenim que: - El 75% d‟una quantitat són les seves tres quartes parts (dividir per 4 i

multiplicar per 3 o bé multiplicar per 3 el 25%). - El 20% d‟una quantitat és la seva cinquena part (dividir per 5). - El 150% d‟una quantitat és la quantitat que tenim més la meitat d‟aquesta,

és a dir, una vegada i mitja la quantitat.

A partir d‟aquests percentatges senzills, si no es necessita el càlcul exacte del tant per cent, es pot fer una aproximació. Per exemple, el 52% és una mica més de la meitat, el 23% una mica menys d‟una quarta part, etc...

Quantitat 100 300 50 10 1

50% 50 150 25 5 100

505,0

Quantitat 100 200 10 1

25% 25 50 2,5 100

2525,0

Quantitat 100 200 50 10 1

10% 10 20 5 1 100

101,0

Quantitat 100 300 10 1

100% 100 300 10 100

1001

Quantitat 100 200 50 10 1

200% 200 400 200 20 100

2002

42

CÀLCUL D‟UN PERCENTATGE

Com podem observar en les taules anteriors, una quantitat i un tant per cent determinat d‟aquesta quantitat són magnituds directament proporcionals. Per tant, aplicar la regla de tres a l‟hora de calcular percentatges és correcte. No obstant això, és interessant que el professorat de Ciències de la naturalesa conegui altres alternatives també fàcils per calcular els tants per cent i les pugui aplicar.

La forma com treballem els percentatges a la classe de matemàtiques ens permet, en cursos superiors, resoldre de manera fàcil i entenedora altres tipus de problemes de percentatges en els quals l‟ús de la regla de tres no és gens pràctica i pot induir l‟alumnat a cometre errors.

Reducció a la unitat o tant per u. Per treballar amb percentatges és

important tenir clar el concepte de tant per u o reducció a la unitat. Observem la taula següent:

És el mateix dir 30 de cada 100 que 300 de cada 1000 o 3 de cada 10 o 0,3 de 1. També podem parlar, doncs, de tant per mil o de tant per u (el tant per deu no s‟utilitza). El tant per u és el resultat de dividir el tant per cent entre 100.

Exemples

A l‟hora de treballar amb percentatges a 1r d‟ESO se‟ns poden plantejar dues situacions:

i. Trobar el tant per cent d‟una quantitat. Per calcular el tant per cent d‟una quantitat multiplicarem la quantitat pel tant per u. Veiem un exemple fàcil que apareix a la taula anterior. Si volem calcular el 30% de 500 ho podem fer mentalment, és clar, però també ho podem fer multiplicant el tant per u per 500.

1505003,0500100

30

És evident que aquest procediment es pot generalitzar pel càlcul de qualsevol tant per cent.

Quantitat 100 1 000 10 1 500

30% 30 300 3 100

30=3,0 150

43

Exemples

1. Si el sou anual d‟un funcionari és de 21 600 € i se li redueix un 5%,

quants diners cobrarà menys en un any?

Quantitat (€)

100 € 1 € 21 600 €

5% 5 € 0,05 € ????

El 5% de 21 600 = 08016002105,060021100

5

Resposta: Aquest funcionari deixarà de cobrar 1 080 € en un any.

2. Sabem que el 70% del pes del cos humà és aigua. Si una persona pesa 45 kg, quina és la quantitat d‟aigua que té el seu cos?

Quantitat 100 1 45

70% 70 0,70 ????

El 70% de 45 = 5,31457,045·100

70

Resposta: Al cos d‟aquesta persona hi ha 31,5 kg d‟aigua.

ii. Calcular el percentatge que representa una quantitat d‟un total.

Si calculem la raó entre la part i el total, obtindrem, altra vegada, el tant per u que, multiplicat per 100 ens donarà el tant per cent.

Exemples

1. En una classe de 24 alumnes, han aprovat Ciències de la naturalesa 18 d‟aquests alumnes. Quin percentatge representa el nombre d‟alumnes aprovats?

Quantitat 24 1 100

? % 18 75,024

18 75

44

75,0=24

18 → 0,75 · 100 = 75

Resposta: Han aprovat Ciències de la naturalesa el 75% dels alumnes d‟aquesta classe.

2. Tot i que es calcula que hi deu haver entre tres i deu milions d‟espècies que viuen a la Terra, se n‟han descrit al voltant d‟1,8 milions. De les descrites, 250 000 són plantes. Quin percentatge representen les plantes respecte el total d‟espècies descrites?

.139,00008001

000250 → 0,139 · 100 = 13,9

Resposta: Les plantes representen aproximadament un 14% de les

espècies descrites.


En una mescla, si les quantitats de solut i de dissolució estan expressades en les mateixes unitats, ja siguin de massa o de volum, la concentració se sol expressar en percentatge. La raó entre la quantitat de solut i de dissolució (raó entre la part i el total) ens dóna la quantitat de solut per unitat de dissolució, és a dir, el tant per u. Multiplicant aquesta quantitat per 100, obtindrem el tant per cent en massa o volum segons les unitats utilitzades. La majoria d‟exemples que segueixen són exercicis en els quals es relacionen dues magnituds directament proporcionals, solut i dissolució o solut i dissolvent amb una concentració constant. A la classe de matemàtiques, la majoria dels exercicis de proporcionalitat directa es resolen mitjançant la reducció a la unitat. En els mateixos exemples hi ha una nota amb la resolució utilitzada a la classe de Física i Química.

Quantitat 1 800 000 1 100

? % 250 000 .139,0

0008001

000250

13,9

45

Exemples

1. Posem 12 g de sal en 400 g d‟aigua. Quin tant per cent en massa té la

dissolució?

Total de solut: 12 g Total de dissolució: 412 g

9,2100029,0

100412

12100

dissolucióde.quant

solutde.quantmassa%ióConcentrac

(0,029 representa el tant per u i multiplicat per cent, 2,9, és el tant per cent) Resposta: Aquesta dissolució té una concentració del 2,9% en massa. 2. Una dissolució té el 3% en massa de sal. En 600 g de dissolució, quants

grams de sal hi ha?

Hem de calcular el 3% de 600 → 18100

8001600

100

3

Resposta: Hi ha 18 g de sal.


saldeg18dissoluciódeg100

saldeg3dissoluciódeg600

Observem que la fracció dissoluciódeg100

saldeg3 ens dóna els grams de sal

que porta 1 g de dissolució, és a dir, el que a Matemàtiques anomenem reducció a la unitat. Les operacions que es realitzen són, doncs, les mateixes que a Matemàtiques.

Com ja s‟ha comentat abans, el mètode usat a Física i Química és vàlid i pràctic per a l‟alumnat. No obstant això, des del punt de vista matemàtic, no es pot parlar de factor de conversió ja que un factor de conversió és una fracció on en el numerador i en el denominador hi ha la mateixa mesura expressada amb diferent unitat. Aquesta fracció, a Matemàtiques, es diu constant o raó de proporcionalitat.

46

3. La concentració d‟oxigen a l‟aire és del 21% en volum. Quin volum d‟aire es necessita per obtenir 250 ml d‟oxigen?

Quantitat de solut (ml)

21 1 250

Quantitat de dissolució

(ml) 100

21

100 250

21

100

El 21% significa que per cada 100 ml d‟aire (dissolució) hi ha 21 ml d‟oxigen (solut).

Si sabem quant d‟aire es necessita per obtenir 1 ml d‟oxigen

21

100,

multiplicant per 250 sabrem quant d‟aire es necessita per obtenir 250 ml

d‟oxigen: 5,190121

00025250

21

100 → 1 190,5 ml = 1,19 l

Resposta: Es necessiten 1,19 l d‟aire per obtenir 250 ml d‟oxigen


aire'dml5,1190oxigen'dml21

aire'dml100oxigen'dml250

Observem que la fracció oxigen'dml21

aire'dml100 ens dóna els ml d‟aire que es

necessiten per obtenir 1 ml d‟oxigen, és a dir, la reducció a la unitat. Les operacions que es realitzen són, doncs, les mateixes que a matemàtiques.

4. Una dissolució conté un 3% en massa de sal. Quants grams d‟aigua necessitem per dissoldre 8 g de sal?

La sal és el solut i l‟aigua, el dissolvent. Un 3% en massa de sal, significa que hi ha 3 g de sal per cada 100 g de dissolució, és a dir, per cada 97 g d‟aigua.

Quantitat de solut (g)

3 1 8

Quantitat de dissolvent

(g) 97

3

97 8

3

97

Si sabem quanta aigua es necessita per dissoldre 1 gram de sal, multiplicant

per 8 sabrem quanta aigua es necessita per 8 grams de sal: 67,25883

97

47

Resposta: Per 8 grams de sal es necessiten 258,67 g d‟aigua per fer una dissolució del 3% en massa de sal. NOTA: A la classe de Física i Química els exercicis d‟aquests tipus es resolen de la forma següent:

dissolventdeg67,258saldeg3

dissolventdeg97saldeg8

La fracció saldeg3

dissolventdeg97 ens dóna els grams de dissolvent (aigua)

necessaris per dissoldre 1 gram de sal (reducció a la unitat).

48

7. LES FORCES I LA PRESSIÓ


EQUACIONS DE PRIMER GRAU VECTORS TEOREMA DE PITÀGORES CONCEPTE D‟UNITAT DE SUPERFÍCIE

CANVI D‟UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ


EQUACIONS DE PRIMER GRAU Al tercer trimestre de 1r d‟ESO es fa una introducció a l‟àlgebra i es treballen equacions de primer grau senzilles, sense parèntesis ni sumes ni restes de fraccions. A mitjans del 2n trimestre de 2n d‟ESO s‟aprofundeix en les equacions de primer grau. VECTORS EN EL PLA Els vectors en el pla és un tema que no es tracta a la classe de matemàtiques fins a 1r de batxillerat. TEOREMA DE PITÀGORES

Cap al mes de gener de 2n d‟ESO. CONCEPTE D’UNITAT DE SUPERFÍCIE

A finals de curs de 1r d‟ESO dins el bloc de Geometria. CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ

Els canvis d‟unitat de longitud es treballen només començar el curs de 1r d‟ESO i els de superfície a finals de 1r dins el bloc de geometria. Els canvis d‟unitat de volum, capacitat i massa es treballen durant el mes d‟octubre de 2n d‟ESO. Alhora s‟explicarà la relació entre els canvis d‟unitats treballats a Matemàtiques i els factors de conversió utilitzats a Física i Química.

49


7.3.1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU Les equacions de 1r grau treballades a 1r i a 2n d‟ESO estan explicades en l‟apartat de “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA”. En aquest apartat, només hi posarem un parell d‟exemples d‟aplicació de les equacions de 1r grau. Exemples

1. El pes d‟una persona a la Terra és de 530 N, quina massa té?

PTerra = m · gTerra → 530 = m · 9,8

Dividim els dos membres de l‟equació per 9,8 per aïllar m: m8,9

530 →

→ m ~54,1 Resposta: Aquesta persona té una massa de 54,1 Kg

2. El manòmetre d‟un submarí indica una pressió de 900 000 Pa, a quina

profunditat es troba? (Densitat de l‟aigua del mar = 1 030 Kg/m3)

PH = d · g · h → 900 000 = 1 030 · 9,8 · h Arreglem el terme del 2n membre de l‟equació, multiplicant els nombres: 900 000 = 10 094 · h Dividim els dos membres de l‟equació per 10 094 per aïllar h:

h09410

000900 → h ~ 89,16

Resposta: El submarí es troba a 89,16 m de profunditat.

7.3.2. VECTORS EN EL PLA

Com ja s‟ha comentat, el tema de vectors no es treballa a la classe de matemàtiques fins a 1r de batxillerat. Un dels exemples d‟aplicació que es posa és el de les forces (magnitud vectorial), treballat a Física i Química. Es fan operacions amb vectors, tant de forma geomètrica com analítica (components en el pla cartesià) però el tractament que se‟n fa és força abstracte i no seria de gran ajut detallar aquí la metodologia que s‟utilitza a batxillerat.

50

7.3.3. TEOREMA DE PITÀGORES

Es recorda a l‟alumnat què significa el quadrat i l‟arrel quadrada d‟un nombre, què és un triangle rectangle i què són els catets i la hipotenusa.

Es dibuixen diferents triangles rectangles, en diferents posicions, es mesuren els catets i les hipotenuses i es comprova que en cada triangle rectangle es compleix que la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.

Teorema de Pitàgores: En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa

és igual a la suma dels quadrats dels catets.

S‟explica que el recíproc també es compleix, és a dir, si en un triangle el quadrat dels costat gran és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats, aleshores aquest triangle és rectangle.

S‟explica la interpretació geomètrica del Teorema de Pitàgores.

Es fa la demostració utilitzant programes de geometria dinàmica com el

Geogebra.

A l‟hora d‟aplicar el Teorema de Pitàgores sempre s‟utilitza la fórmula: 222 cba . Es substitueixen els valors coneguts i s‟aïlla la incògnita

desitjada. Exemples 1. Els catets d‟un triangle rectangle mesuren 4,5 cm i 8,3 cm. Calcula la longitud

de la hipotenusa.

Com que és un triangle rectangle, podem fer servir el Teorema de Pitàgores. Posem lletres a cada costat del triangle: a=hipotenusa; b = catet1 = 4,5 cm i c = catet2 = 8,3 cm

51

Substituïm els valors coneguts a la fórmula del Teorema de Pitàgores:

14,89a89,6825,20a3,85,4acba 22222222

a és un número que elevat al quadrat ha de donar 89,14. A partir de la

definició donada a 1r d‟ESO de l‟arrel quadrada 44,914,89a

Hi ha dos valors que compleixen que elevats al quadrat donen 89,14: +9,44 i – 9,44. Com que estem calculant una longitud, el valor negatiu no té sentit. Resposta: La hipotenusa fa aproximadament 9,44 cm

2. Troba la intensitat de la força resultant de dues forces perpendiculars de 3N i

5N.

Com que tenim un triangle rectangle, podem aplicar el Teorema de Pitàgores per trobar la longitud de la hipotenusa, que és la intensitat de la força

resultant R . Posem lletres a cada costat del triangle: R=hipotenusa; F1 = catet1 = 5 N i F2 = catet2 = 3 N

34R259R53RFFR 2222222

21

2

52

R és un número que elevat al quadrat ha de donar 34. A partir de la definició

donada a 1r d‟ESO de l‟arrel quadrada 83,534R

La intensitat d‟una força sempre és un valor positiu. El valor negatiu de l‟arrel quadrada no té sentit en aquest cas. Resposta: La intensitat de la força resultant és de 5,83 N.

Recomanacions

Després d‟haver estudiat els triangles rectangles i les definicions de catet i hipotenusa, part de l‟alumnat es queda amb la idea que la hipotenusa és el costat més llarg. Quan aquest alumnat es troba amb un triangle que no és rectangle segueix pensant que el costat més llarg és la hipotenusa. Cal insistir que un triangle només té catets i hipotenusa si és rectangle. És bo que s‟acostumin a trobar l‟angle recte i l‟assenyalin amb un quadradet.

L‟alumnat tendeix a cometre dos tipus d‟error a l‟hora d‟aplicar el Teorema de

Pitàgores:

- Amb el temps s‟oblida dels quadrats i acaba pensant que la suma dels catets és igual a la hipotenusa. Cal remarcar aquest fet.

- No es fixa prou en si el triangle és rectangle i aplica el Teorema de

Pitàgores en triangles que no ho són, agafant la hipotenusa com el costat més llarg, tal i com s‟ha dit abans. Per evitar aquest error és important que l‟alumnat marqui clarament on es troba l‟angle recte del triangle abans d‟aplicar el Teorema de Pitàgores.

Cal recordar a l‟alumnat que una arrel quadrada sempre té dues solucions oposades (positiva i negativa) i descartar, si s‟escau, la que no té sentit en el context on ens trobem. Aquest fet és molt important a Matemàtiques, ja que en moltes ocasions la solució negativa és necessària.

Es recomana partir sempre de l‟equació 222 cba o bé de l‟equació 22

21

2 FFR en el cas de les forces, substituir els valors coneguts i aïllar la

incògnita. D‟aquesta forma, l‟alumnat no perd mai de vista l‟enunciat del Teorema de Pitàgores i li serà més fàcil en d‟altres equacions saber aïllar la incògnita.

A 2n d‟ESO encara no s‟han treballat les equacions de 2n grau però sí el significat d‟una arrel quadrada. Quan tenim aïllada la incògnita al quadrat, per

exemple, 34R2 , és recomanable pensar que R ha de ser un nombre que

elevat al quadrat doni 34 i, per tant 34R . Eliminar l‟arrel amb el quadrat

del radicant ( 2R ) fa que s‟oblidin de la possibilitat de l‟arrel negativa

( RR2 ).

53

7.3.4. CONCEPTE D’UNITAT DE SUPERFÍCIE

La unitat de mesura de superfície del Sistema Internacional és el metre quadrat (m2). Un metre quadrat és una superfície equivalent a un quadrat d‟un metre de costat. Depèn de la superfície a mesurar s‟agafen múltiples i submúltiples del m2.

Un cm2 és una superfície equivalent a un quadrat de costat 1 cm.

És important que l‟alumnat s‟adoni que una superfície de 2 cm2 no és equivalent a un quadrat de 2 cm de costat. Dit d‟una altra forma, si augmentem el doble els costats d‟un quadrat la superfície no augmenta el doble. Veiem altres exemples de superfícies de 4 cm2 que no siguin ni quadrats ni rectangles.

54

Per mesurar superfícies més grans necessitem unitats més grans. La unitat de superfície immediatament més gran que el cm2 és el decímetre quadrat (dm2). Un decímetre quadrat és la superfície equivalent a un quadrat de 1 dm de costat.

Un metre quadrat equival a 100 decímetres quadrats (1 m2 = 100 dm2). De vegades a classe de matemàtiques es construeix, a ma, un m2 a partir de 100 dm2 .

Quan es parla de la quantitat d‟espècies que hi ha en una extensió molt gran o de les extensions dels continents, oceans,...la mesura és el quilòmetre quadrat (km2). Un km2 és la superfície equivalent a un quadrat de 1 km de costat. És útil comparar el km2 amb el m2, molt més palpable per a l‟alumnat. Així tenim que 1 km2 = 1 000 000 m2

Quan es parla d‟activitats agrícoles, incendis forestals, etc.. s‟utilitza la unitat de superfície hectàrea i en algunes ocasions l‟àrea. Una hectàrea és el mateix que un hectòmetre quadrat (hm2), és a dir, 10 000 m2 i una àrea el mateix que un decàmetre quadrat (dam2), és a dir, 100 m2.

55

Recomanacions

Per clarificar el concepte de km2 pot ser interessant comparar l‟extensió descrita amb l‟extensió de Cerdanyola (31 km2) o amb la de Catalunya (32.000 km2 aproximadament).

Més exemples per comparar el km2 poden ser les dimensions d‟un camp de futbol. El camp de joc del Barça fa 7 704 m2 (107x72 m). Si agaféssim 130 camps del Barça tindríem aproximadament 1 km2. El Campus principal de la UAB de Bellaterra ocupa 262,6 hectàrees, és a dir, 2,6 km2.

7.3.5. CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ En l‟apartat anterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA” s‟ha explicat com es tracta aquest concepte a la classe de matemàtiques.

56

8. EL MOVIMENT


NOMBRES ENTERS


EQUACIONS DE PRIMER GRAU INTRODUCCIÓ A LES FUNCIONS. FUNCIONS LINEALS I AFINS


NOMBRES ENTERS A 1r d‟ESO es treballa el concepte, ordenació, suma i resta dels nombres enters a l‟inici del segon trimestre, a finals de desembre i durant el mes de gener. A 2n d‟ESO s‟aprofundeix en el tema dels nombres enters, treballant el producte, divisió, potències de base un nombre enter i operacions combinades. Això es fa a mitjans del 1r trimestre.

CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ Els canvis d‟unitat de longitud es treballen només començar el curs de 1r d‟ESO i els de superfície a finals de 1r dins el bloc de geometria. Els canvis d‟unitat de volum, capacitat i massa es treballen durant el mes d‟octubre de 2n d‟ESO. Alhora s‟explicarà la relació entre els canvis d‟unitat treballats a Matemàtiques i els factors de conversió utilitzats a Física i Química. EQUACIONS DE PRIMER GRAU Al tercer trimestre de 1r d‟ESO es fa una introducció a l‟àlgebra i es treballen equacions de primer grau senzilles, sense parèntesis ni sumes ni restes de fraccions. A mitjans del 2n trimestre de 2n d‟ESO s‟aprofundeix en les equacions de primer grau.

INTRODUCCIÓ A LES FUNCIONS. FUNCIONS LINEALS I AFINS A 1r d‟ESO s‟ha treballat la interpretació i l‟elaboració de gràfics. A finals del 2n trimestre de 2n d‟ESO es treballen les funcions lineals i afins, és a dir, les funcions polinòmiques de primer grau.

57


8.3.1. NOMBRES ENTERS - Classe de matemàtiques. 1r d’ESO

Els nombres enters són el nombre 0 i tots els nombres positius i negatius que no tenen part decimal.

El 0 és l‟únic nombre enter que no és ni positiu ni negatiu. És l‟origen per mesurar tant els nombres positius com els negatius. Un nombre amb signe negatiu té un significat oposat al mateix nombre amb signe positiu.

Els nombres positius normalment no porten el signe “+” al davant, sinó que se sobreentén.

Per entendre la necessitat i el concepte dels nombres negatius es posen exemples de la vida quotidiana. Un signe positiu o negatiu davant d‟un nombre té dues possibles interpretacions. Pot significar un estat o pot significar una variació.

- La temperatura.

Estat. Si prenem com a unitat de temperatura el grau centígrad, el 0 significa la temperatura en què l‟aigua gelada es fon. Les temperatures per sobre de 0ºC, s‟expressen en valors positius i les temperatures per sota de 0ºC amb valors negatius. Variació. El signe positiu davant d‟un nombre significa que la temperatura puja tants graus i el signe negatiu que baixa tants graus.

- Les transaccions econòmiques.

Estat. El 0 significa que no tenim ni devem diners. Els valors positius signifiquen els diners que tenim i els negatius els que devem. Variació. El signe positiu significa diners que entren (ingressos) i el signe negatiu significa els diners que surten (despeses).

- L‟altitud.

Estat. L‟altitud 0m significa el nivell del mar. Per sobre del nivell del mar tindrem valors positius i per sota negatius. Variació. Els signes positiu i negatiu signifiquen pujar i baixar d‟altitud respectivament.

58

- Temps.

Estat. A la civilització cristiana es pren com a punt d‟origen, és a dir, com a 0, el moment del naixement de Crist. Els anys anteriors al naixement de Crist s‟expressen amb el signe negatiu o amb les lletres “aC” i els anys de després amb signe positiu o amb les lletres “dC”. Variació. Els signes positiu i negatiu signifiquen anys que avancem o anys que retrocedim.

- Ascensor d‟un centre comercial amb pàrquing soterrat.

Estat. La planta 0 significa que som al nivell del carrer, la planta baixa. Els pisos que hi ha per sobre de la planta baixa tenen signe positiu i els que es troben per sota negatiu. Variació. Els signes positiu i negatiu indiquen pujar o baixar pisos.

Per entendre l‟ordenació dels nombres enters es fan

preguntes sobre els exemples anteriors de l‟estil:

- Ascensor: i. Digues quin pis és més alt, el 2 o el 5, el -1 o el 3, el

-4 o el -2? ii. Ordena els pisos anteriors de baix a dalt.

- Temperatura:

i. Digues quina temperatura és més alta, 3º o -2º, -3º o -5º, 0º o 12º, 0º o -6º?

ii. Ordena les temperatures anteriors de menys a més temperatura.

A continuació es fa la representació dels enters en una recta horitzontal, que és com s‟utilitza en moltes ocasions a la classe de matemàtiques.

Conclusió: Un nombre enter és més petit com més a l‟esquerra de la recta està

representat i més gran com més a la dreta.

59

Suma i resta de nombres enters. El concepte de sumar i restar enters es

treballa amb la idea explicada anteriorment de variació i explicant que restar dos nombres enters és el mateix que sumar al primer nombre, l‟oposat del segon. A continuació, hi ha uns exemples amb temperatures. Totes les preguntes plantejades en aquests exemples es poden resoldre situant-nos a l‟escala del termòmetre i movent-nos amunt i avall tants graus com pugi o baixi la temperatura.

Exemples

- Estàvem a Cº3 i la temperatura ha pujat 8ºC. A quina temperatura

estem ara? 583 Resposta: Ara estem a 5ºC.

- Estàvem a Cº3 i la temperatura ha baixat 4ºC. A quina temperatura

estem ara? 743 Resposta: Ara estem a Cº7 .

- Estàvem a 3ºC i la temperatura ha baixat 8ºC. A quina temperatura


- Estàvem a Cº7 i la temperatura ha pujat 5ºC. A quina temperatura


- Quina diferència hi ha entre les temperatures màxima i mínima si la

màxima ha estat de 6ºC i la mínima de Cº2 ?

826)2(6 Resposta: Hi ha una diferència de 8ºC.

- Quina diferència hi ha entre les temperatures màxima i mínima si la

màxima ha estat de Cº2 i la mínima de Cº15 ?

13152)15(2 Resposta: Hi ha una diferència de 13ºC.

8.3.2. CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ En l‟apartat anterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA”, s‟ha explicat com es tracta aquest concepte a la classe de matemàtiques. 8.3.3. EQUACIONS DE PRIMER GRAU Les equacions de 1r grau treballades a 1r i a 2n d‟ESO estan explicades en l‟apartat de “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA”. En aquest apartat, només hi posarem un exemple d‟aplicació de les equacions de 1r grau. Exemple

1. Una persona comença a caminar pel carrer Sant Ramon de Cerdanyola des

de la gasolinera en direcció a l‟església a una velocitat constant de 1,5 m/s. Quant temps trigarà a arribar al Museu d‟Art de Cerdanyola (Can Domènech)? Recorda que el carrer Sant Ramon és una línia recta.

60

Dades: Velocitat: v = 1,5 m/s ; Posició inicial: x0 = –450 m ; Posició final = +400 m Incògnita: Temps transcorregut: ∆t Com que les unitats són adequades (m i s) podem substituir els valors coneguts a la fórmula.

t

4504005,1

t

xx

t

xv 0

Arreglem el numerador: t

8505,1

t

4504005,1

Multipliquem per ∆t els dos membres de l‟equació: 1,5 · ∆t = 850

Dividim els dos membres de l‟equació per 1,5: 5,1

850t → ∆t = 566,67 s

Resposta: Per arribar a Can Domènech trigarà 566,67 s que són aproximadament 9,5 min.

8.3.4. INTRODUCCIÓ A LES FUNCIONS. FUNCIONS LINEALS I AFINS

- Classe de matemàtiques. 1r d’ESO INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

Un gràfic lineal és una representació, mitjançant una línia, de la relació entre

dues magnituds o dades. Aquesta representació està feta en dos eixos de coordenades perpendiculars (horitzontal o eix d‟abscisses i vertical o eix d‟ordenades). En cada un d‟aquests eixos hi ha representada una de les magnituds i cada eix està graduat de forma adequada segons els valors de la magnitud que li correspon. Per tant, la longitud d‟una unitat d‟un eix no ha de coincidir necessàriament amb la de l‟altre. Ara bé, la longitud de totes les unitats de l‟eix horitzontal han de ser iguals i les de l‟eix vertical, també.

61

En els gràfics lineals, hi ha de constar el títol del que s‟hi representa, les magnituds representades a cada eix i les unitats d‟aquestes magnituds.

Els gràfics lineals ens donen, sobretot, una visió de l‟evolució d‟una de les magnituds respecta l‟altra.

Els aspectes més importants a l‟hora d‟interpretar un gràfic lineal són: - Fixar-se bé en el títol, en les magnituds o dades que hi estan representades i en les unitats d‟aquestes magnituds.

- Llegir el gràfic d‟esquerra a dreta. - Pensar arguments que expliquin l‟evolució que ens indica el gràfic.

ELABORACIÓ DE GRÀFICS LINEALS

Una taula de valors on hi ha dues magnituds relacionades ens dóna una visió quantitativa d‟aquesta relació. A partir d‟una taula de valors podem construir un gràfic on tindrem una visió més qualitativa.

Per elaborar un gràfic lineal necessitem tenir uns eixos de coordenades

perpendiculars (horitzontal i vertical).

- A l‟eix horitzontal, anomenat eix d’abscisses, hi situem els valors o dades corresponents a la primera magnitud de forma ordenada i proporcional, indicant-ne el seu nom i la unitat en què està mesurada. La proporció en què graduem l‟eix dependrà dels valors de la magnitud. - A l‟eix vertical, anomenat eix d’ordenades, situem els valors corresponents

a la segona magnitud de forma ordenada i proporcional, indicant-ne, també, el seu nom i la unitat en què està mesurada. La proporció en què graduem l‟eix dependrà dels valors de la magnitud. - Per cada parell de valors que es corresponen, dibuixem un punt en la intersecció de la vertical i l‟horitzontal que passen per aquests valors. Direm que són les coordenades del punt (L‟ordre en què es donen les coordenades d‟un punt sempre és primer el valor que correspon a la magnitud situada a l‟eix d‟abscisses i segon el corresponent a la magnitud de l‟eix d‟ordenades) - Finalment unim els punts amb una línia per veure‟n l‟evolució. - L’origen de coordenades és el punt d‟intersecció dels dos eixos de

coordenades i per tant tindrà coordenades (0,0).

62

Exemple

1. Elaborem el gràfic lineal corresponent a la següent taula de valors on es

relacionen els anys amb el consum mundial d‟aigua al segle XX.

Anys 1900 1920 1950 1980 2000

Consum d’aigua (milions de litres)

500 800 1 300 3 200 4 100

En l‟eix d‟abscisses hi posarem els anys. No podem graduar l‟eix de 50 en 50 anys des del 0 ja que costaria molt arribar al 1900. Tampoc no el podem graduar de 500 en 500 ja que no distingiríem l‟any 1900 del 1920. En aquests casos, a classe de matemàtiques, comencem l‟eix amb una línia discontínua (----) o bé amb una línia trencada (www) per indicar que ens saltem una part

de la graduació i, en aquest cas ens convé graduar l‟eix de 20 en 20. Podem graduar l‟eix d‟ordenades de 500 en 500.

63


Per arribar a la idea de funció, es parteix d‟exemples senzills, a partir dels

quals es pot deduir la fórmula que relaciona les dues magnituds o variables, es pot construir una taula de valors i un gràfic. Aquests exemples poden ser:

- Els diners que paguem per un determinat nombre de quilos de pomes si van a 2,5 €/kg. La variable diners que paguem depèn de la variable quilos de pomes que comprem, és a dir, està en funció del nombre de quilos (p(x) = 2,5·x on x és el nombre de quilos de pomes que comprem).

- Un camió que pesa 3500 kg i transporta caixes de peix. Cada caixa pesa 50

kg. La variable pes total del camió dependrà de la variable nombre de caixes de peix que transporti. Si transporta x caixes, el pes total serà: f(x) = 50 · x + 3500

- La temperatura observada cada hora en una estació meteorològica durant

un dia sencer. La variable temperatura és en funció de la variable hora. En aquest cas no disposem d‟una fórmula, però a partir de la taula de valors podem construir el gràfic de la funció.

- A qualsevol nombre li fem correspondre el seu quadrat. En aquest cas, no

hi ha el context, però sí que podem escriure la fórmula d‟aquesta

correspondència: 2x)x(f on x és el nombre. La primera variable és el

nombre i la segona el seu quadrat.

64

- Un bitllet senzill d‟autobús a Barcelona val 1,40 € independentment dels

quilòmetres que faci el viatger. Si diem b(x) el que paguem per un bitllet senzill tindrem que b(x) = 1,40 on x representa el nombre de quilòmetres que recorre el viatger amb aquest bitllet. Una variable seria els quilòmetres recorreguts i l‟altra el preu del bitllet, que en aquest cas sempre és el mateix.

Les funcions serveixen per estudiar relacions entre magnituds o variables.

Totes les funcions es poden expressar amb una taula de valors i amb un gràfic, però no totes es poden expressar amb una fórmula.

En una equació, la lletra és la incògnita, és a dir, un valor que hem de

descobrir per tal que es compleixi la igualtat que ens dóna l‟equació. En el cas de les funcions la lletra és una variable, ja que pot prendre molts valors

diferents. Una funció lineal és una relació entre dues magnituds o variables en què

una variable s‟obté a partir de l‟altra multiplicant-la per un nombre. (Exemple de les pomes: diners = 2,5·pes). La fórmula d‟aquestes funcions sempre és de la forma f(x) = a·x o bé y = a·x on a és un nombre. També se‟n diu funcions de proporcionalitat directa, ja que les variables són directament

proporcionals: ax

y on a és la constant o raó de proporcionalitat.

Es posen diferents exemples de funcions lineals, tant amb context com

sense, es fan les taules de valors de cada cas i el gràfic corresponent. S‟observa que totes les gràfiques de les funcions lineals són rectes que passen per l‟origen de coordenades i que la inclinació de cada recta depèn del valor del número a. Aquest número s‟anomena pendent de la recta. Gràficament s‟observa que el pendent d‟una recta és el desplaçament vertical per unitat horitzontal que cal fer per anar d‟un punt de la recta a un altre. Normalment, es reforça aquest concepte amb el programa de geometria dinàmica Geogebra.

65

Una funció afí és una relació entre dues magnituds o variables en què una

variable s‟obté a partir de l‟altra multiplicant-la per un nombre i al resultat s‟hi suma un altre nombre. (Exemple del camió: pes = 50·nombre de caixes + 3500). La fórmula d‟aquestes funcions sempre és de la forma f(x) = a·x + b o bé y = a·x + b on a i b són nombres. Aquestes funcions no són de

proporcionalitat directa ja que si dividim y entre x no ens dóna un valor constant. En l‟exemple del camió, ho seria si només consideréssim el pes de la càrrega del camió: g(x) = 50 · x.

Es posen diferents exemples de funcions afins, tant amb context com sense,

es fan les taules de valors de cada cas i el gràfic corresponent. S‟observa que totes les gràfiques de les funcions afins són rectes que no passen per l‟origen de coordenades i que la inclinació de cada recta depèn del valor del número a. Aquest número s‟anomena pendent de la recta. Gràficament

s‟observa que el pendent d‟una recta és el desplaçament vertical per unitat horitzontal que cal fer per anar d‟un punt de la recta a un altre. Normalment, es reforça aquest concepte amb el programa de geometria dinàmica Geogebra.

S‟observa la relació que hi ha entre les gràfiques de les funcions y = a·x +b i

y = a·x, fent notar que les funcions lineals són un cas particular de les funcions afins (b=0).

Una funció constant és una funció en què a qualsevol valor de la variable x

se li assigna el mateix nombre. (Exemple del bitllet d‟autobús: b(x) = 1,40). La fórmula d‟aquestes funcions sempre és de la forma f(x) = b o bé y = b on b

és un nombre. És, per tant, un cas particular de funció afí on a = 0, és a dir, té pendent 0 (recta horitzontal).

La velocitat mitjana d‟un mòbil es defineix com el desplaçament que ha fet el mòbil dividit pel temps que ha tardat a fer-lo.

66

Si de la posició inicial del mòbil en diem x0 i de la posició final en diem x, el desplaçament del mòbil serà x – x0. Si del temps empleat a fer aquest desplaçament en diem t, tindrem que:

t

xx

temps

ntdesplaçamevelocitat 0

En el cas d‟un mòbil que es mou amb una velocitat constant i en línia recta (Moviment rectilini uniforme: MRU) tenim exemples d‟aquests tipus de funcions.

Exemples 1. Representació de les gràfiques velocitat-temps i posició-temps d‟un mòbil

que segueix un moviment rectilini uniforme (MRU: trajectòria recta i velocitat constant) amb velocitat de 4 m/s. Suposem que el mòbil és a la posició 0 en l‟instant 0 (x0= 0). Que la velocitat sigui de 4 m/s significa que per cada segon que passa el mòbil recorre 4 m. Gràfic posició-temps La posició del mòbil depèn del temps transcorregut, per tant, la variable t (temps) ha d‟anar a l‟eix d‟abscisses i la variable x (posició) a l‟eix d‟ordenades.

67

Gràfic velocitat-temps La velocitat del mòbil és constant; això significa que, per molts segons que passin, el mòbil sempre porta una velocitat de 4 m/s.

Observem que el primer gràfic correspon a una funció lineal, ja que és una recta que passa per l‟origen de coordenades i la seva fórmula és del tipus y = a · x, on la y representaria la posició (x a Física) i la x el temps (t a Física). Observem que el segon gràfic és una funció constant, ja que el seu gràfic és una recta horitzontal (pendent=0) i la seva fórmula és del tipus y = b. En aquest cas, y representa la velocitat que, a Física, se li assigna la lletra v.

2. Si en el mateix exemple anterior, a l‟instant 0 el mòbil partís d‟una posició

diferent de 0, per exemple, x0=3, aleshores seria una funció afí. El seu gràfic seria una recta que passaria pel punt (0,3) i la seva fórmula seria x = 4·t + 3. Si restem 3 als dos membres d‟aquesta igualtat tindrem que x – 3 = 4·t i si

ara dividim els dos membres per t tindrem que 4t

3x

, és a dir, la fórmula

de la velocitat mitjana que s‟ha descrit abans.

68

Recomanacions

A Matemàtiques, se‟ls remarca que la primera variable, primera coordenada, ... sempre correspon a l‟eix d‟abscisses. Cal indicar a l‟alumnat que la nomenclatura que es fa servir a Física quan es parla de gràfiques posició-temps o velocitat-temps no indica primera i segona variable sinó la gràfica de la posició en funció del temps i de la velocitat en funció del temps. Per tant, posició i velocitat han d‟estar representades a l‟eix d‟ordenades i el temps a l‟eix d‟abscisses.

El nom dels eixos de coordenades a la classe de matemàtiques són eix d‟abscisses o eix X i eix d‟ordenades o eix Y. Per tant, a la primera coordenada sempre se li assigna la lletra x i a la segona la lletra y. Aquest fet pot portar confusió a l‟alumnat en treballar les gràfiques posició-temps a Física, ja que la x representa la posició i, per tant, es representa a l‟eix d‟ordenades. Cal remarcar aquest fet a l‟alumnat tant des de la classe de matemàtiques com des de la de Física.

69

9. L’ENERGIA

OBSERVACIÓ PRÈVIA Aquest tema es treballa també a la classe de Tecnologies. És per això que, des de la classe de Física i Química només es treballa una part.


PRIORITAT D‟OPERACIONS


9.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques? PRIORITAT D’OPERACIONS La prioritat d‟operacions es treballa des de l‟inici de 1r d‟ESO i es recorda sempre que s‟introdueixen noves operacions, potències, arrels, .... CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ

Els canvis d‟unitat de longitud es treballen només començar el curs de 1r d‟ESO i els de superfície a finals de 1r dins el bloc de geometria. Els canvis d‟unitat de volum, capacitat i massa es treballen durant el mes d‟octubre de 2n d‟ESO. Alhora s‟explicarà la relació entre els canvis d‟unitats treballats a Matemàtiques i els factors de conversió utilitzats a Física i Química.


9.3.1. PRIORITAT D’OPERACIONS

Per aprendre a respectar la prioritat d‟operacions cal fer molta pràctica a l‟aula. Funciona força bé posar diverses operacions amb “trampa” sense cap explicació prèvia i anotar la diversitat de solucions que apareixen a la classe. A partir d‟aquí, s‟analitzen els errors comesos que, en la majoria dels casos, són pel fet de no respectar la prioritat d‟operacions. Es fa determinar la solució correcta amb calculadora científica. I es comprova que una calculadora no científica no respecta la prioritat d‟operacions.

Pel que fa a la utilitat de la prioritat d‟operacions en el tema de l‟Energia només cal tenir en compte que les potències són prioritàries respecte als

productes. A l‟hora d‟aplicar la fórmula de l‟energia cinètica ( 2c vm2

1E )

cal remarcar que abans de multiplicar la massa per la velocitat cal elevar la

70

velocitat al quadrat. L‟alumnat tendeix a cometre aquest error quan els

nombres són enters i petits ( 36632 22 ).

9.3.2. CANVI D’UNITATS. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ

En l‟apartat anterior “DENSITAT D‟UNA SUBSTÀNCIA” s‟ha explicat com es tracta aquest concepte a la classe de matemàtiques.

les matemÀtiques de les ciÈncies de la naturalesa (2n … · (2n d’eso – física i química)...

Documents