matemàtiques Gr pZE VII

les lunc:ions c:i•c:ulars

B.U.P. 2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

'1 editorial vicens-vives

matemàtiques Grup ZERO VII

le1 lun<ion1 <il<Ula11

B.U.P. 2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA �editorial vicens-vives

Direcció d'edició: Anna Vicens

l l·l ustrat per: Nando

..---------GRUP ZERO (BARCELONA) _______ �

Formen part del GRUP ZERO:

Carmen Azcarate, Dolors Benach. Marta Berini, Daniel Bosch, Marti

Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­

beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat,

Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paca Moreno,

Manuel Udina.

Segona ed1c10, 1985

Dipòsit Legal B. 258-1985 ISBN: 84-316-1970-8 N.º d'Ordre V.V.: D-11 O

Llibre autoritzat pel Departament d'Ensenyament de la Generalitat de Catalunya el 16-12-1981 (D O.G. 1 7-2-1982).

e GRUP ZERO: Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Martí Casadevall, EsterCasellas, M.ª Jose Castelló, Montse Comas, Rubí Corbera, Jordi Deulofeu, Belèn Escudè, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Llado, Antoni Montes, Paca Moreno 1 Manuel Udína. Sobre la part literària.

Reservats tots els drets d'edició a favor d'Edíciones V1cens-Vives, S.A Prohibida la reproducció total o parcial per qualsevol mitJà.

IMPRÈS A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Ediciones VICENS-VIVES. S A. Avda. de Sarrià, 130. Barcelona-08017 Imprès per Graficas INSTAR, S A. Metal·lúrgia, s/n. cantonada Indústria. L'Hospitalet de Llobregat (Barcelonesl

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­

sats durant cinc anys. Al nostre país no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin

projectats i experimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com

s'exigeix a altres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Univer­

sitat Autònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L'en­

senyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el

suport del Col·legi de Doctors i Licenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposat d'un mate­

rial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu, que

respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en les

aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fins ara són:

l. La mesura i els nombres.

11. Estudi de les funcions lineals i quadràtiques.

Ill. Estadística i atzar.

IV. Progressions.

V. Estudi de les funcions exponencial i logarítmica.

VI. Introducció a les derivades.

VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascilers l, 11 i Ill. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar els dos

cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de

BUP.

Pròleg

La fotografia de l'arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o si eren els 100 metres llisos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de superar els corredors, ni tampoc no ens permet de saber en quines condicions aquests han hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­ques que podem trobar en aquests· moments són com fotografies (tot deixant de banda els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat), fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a realitzar-lo?

Les Matemàtiques no les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­màtica», sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode matemàtic, una pel·lícula, però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes, criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat, reconèixer un con­cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula, sinó aquest material de treball -.¡ue ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el nètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç per part de tots, molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibre de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui després útil com a material de repàs i d'estudi i, per això, cal que tingui una bona pre­sentació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat), etc., que reculli una selecció dels pro­blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit.

Índex

A. INTRODUCCIÓ A LES FUNCIONS PERIÓDIQUES ............ .

B. SINUS, COSINUS l TANGENT D'UN ANGLE AGUT . . . . . . . . . . . . 8 1. Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Sinus, cosinus i tangent d'un angle agut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O 3. Resolució de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4. L'angle com a gir. Mesura d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

C. ESTUDI DE LES FUNCIONS COSINUS l SINUS . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. Cosinus d'un angle qualsevol. Estudi de la funció cosinus . . . . . . 2 7 2. Sinus d'un angle qualsevol. Estudi de la funció sinus . . . . . . . . . 31

D. ESTUDI DE LES FUNCIONS TANGENT l COTANGENT . . . . . . . . . . 33 1. Tangent d'un angle qualsevol. Estudi de la funció tangent . . . . . 33 2. Pendent d'una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. La funció cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

E. RELACIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D'UN MA-

TEIX ANGLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

F. RELACIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D'ANGLES

DIFERENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

G. PROBLEMES DE CONSOLIDACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1. Resolució de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 2. Les funcions inverses de les funcions circulars . . . . . . . . . . . . . 52 3. Funcions secant i cosecant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Equacions trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5. Altres problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Treball sobre funcions circulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

i ntrod u ec i ó a l e s func i ons

pe r i òd i q u es

Començarem aquest capítol amb l 'estudi de funcions que descriuen fe­nòmens que es repeteixen a intervals regulars : fenòmens que s 'anomenen periòdics. Aquest és el cas de les marees , dels ressorts, dels pèndols, dels motors , de les cordes dels instruments musicals, del so ... En veurem alguns casos.

Les marees

J "-.1

o :J "' o '--Q¡ " Oi > e

a; " o " o "' :;:;:

M

<!> :J "' Q. C Q¡

E l g ràfic dóna la var iació de l'a lçada de l n ivel l ocean1c a l port de Boston . Aquesta a lçada s 'ha mesurat cada m itja hora durant l es 24 hores del 22 d 'abri l de 19 22.

1

a) Expl i ca breument e l fenomen de les marees .

b) Amb l'ajut de l gràfic , contesta l es preguntes següents:

• A qui nes hores es van produ i r l es marees a ltes? l l es marees ba ixes?

• Quant temps va transcórrer entre dues marees a l tes consecu­tives ? l entre dues marees baixes consecutives?

l S'anomena amplitud de la marea la meitat de la variació total del nivell

de la mar entre la marea alta i la marea baixa.

• Quina és l 'ampl itud de l a marea a l a pr imera meitat de l d ia?

A�2

Durant e l mes i a causa de les variacions de l a pos ic ió re lativa de l a Terra , e l Sol i l a L luna , e s produe ixen modificacions a l e s corbes de marees. A l a figura en ten im a lguns exemples .

Primer dia

Peu,,M 5 12

8 r� \ l \ \ l \

\ l \ o 'V �

- --l i\ l/ ' 15

l "-./ l

12

8 l

2

Segon dia

5 5

/ \ / l \ l

l \ l l \ /

\ . .."

l

l

/' '"'\ l \.

l\ l '-\ l \ l \ l \ l \ J -

12 5 M Metres

' \ \ \

'

� /

V

l 3 A

l>- Tipus semi-2 diari. l

l J

\ \

\ \ \ \ \

>-

>-

>-

Porti ond 1 ( Maine)

23-24 set.1915 o

5 B Tipus mi>de

4 La desigual­tat diür.-,a

3 es retlectei>< en la marea baixa. 2 Seattle.

(Washington) 1 7-8 des.1915

Primer dia

M 6 12

r Nivell l �constant

2 � ...

o l 2

4 ! l

6

' / ' l )

\ l 7 \ / \l 7 \. ,/

6

Segon dia

12 6

\ \ \ \ \ ) \ l \ l \ /

i-

l

.....

o

'-- 1

� 2

..... 2

C Tipus mixte. La •marea nul-ta•. Port Angeles. (Washington l 10-11 gen .1922

D Tipus diari Manila. P.I. 28-2g juny 1915

Quina és l 'ampl itud de l a marea a l a pr i mera meitat de l d ia en cada cas?

Anomenem període al temps transcorregut entre dues pos1c10ns idèn­tiques consecutives . Posicions idèntiques són, per exemple, les represen­tades per les parelles de punts AA', BB', CC de la figura.

En canvi, els punts C i D no representen posicions idèntiques, malgrat que llur nivell oceànic és idèntic.

Quin és el període en cada cas ?

3

El pèndol

GALILEO (1564-1642 ), astrònom i físic italià, estava molt interessat en el moviment del pèndol. En conten que, a dinou anys, en observar a la catedral de Pisa una llàntia que es balancejava, suspesa de la volta, i en comprovar que la durada de les osciHacions era sempre igual (les oscil·la­cions pendulars són isòcrones), se li va ocórrer la idea d 'usar el pèndol per a la mesura del temps. És curiós recordar que aquest és l 'origen dels rellotges i que Galilea, en no tenir un instrument per a mesurar el temps va fer servir el seu pols . Sabem també que utilitzà el pèndol per a mesurar amb precisió la caiguda dels cossos.

a) Construe ix un pet i t pèndol : una bol a suspesa d 'un fil . A l l unya'l de la seva pos ic ió d 'eq u i l ibr i , de manera que real itzi e l movi ment esque­matitzat a l a figu ra . Descri u e l mov iment que observes .

o

l " "

-posició d'equilibri

/ >.:: '. s�paració '<'.. , max1ma

b) Quines et sembla que serien pos1c1ons idèntiques en aquest cas? Dóna 'n alguns exemples .

e) Calcu la el període de l teu pèndol . Per a ixò, pots mesurar el temps que tarda a real i tzar unes quantes osci l ·lac ions i d iv id i r pe l nombre d 'osc i l ·l ac ions efectuades.

d) Creus que e l pèndol va sempre a la mate ixa veloc itat? Quan va més de pressa? Quan va més a poc a poc?

e ) Si a. é s la mesura de l 'ang le que forma e l fi l en una pos ic ió qual ­s·evol respecte a l a pos ic ió verti cal , fes un g ràfic aproximat de la

4

funció t� a. que descr i gu i e l que passa en una osc i l·l ac ió (estab l eix un cr iter i per a d isti ng i r e l s ang les a d reta i esquerra de la pos ic ió d 'equ i l i br i ) .

f) Quina és l 'amp l itud de l teu pèndol ?

Moviment d'un ressort

Agafem una mol l a i pengem- l i un pes p. Al lunyant el pes de la pos ic ió d 'eq u i l ib r i observem que la mol la s 'a l l arga i es contreu a i nterva l s regu lars .

Posició d'equilibri

A

Compressió màxima

Allargament màxim

o

p

Posició intermèdia

a) Què pots d i r de l es pos ic ions A i B respecte a les pos ic ions d'equi ­l i br i ? La d i stància màxi ma de l pes p a l a pos ic ió d 'equ i l i br i O s 'a­nomena amplitud de l 'osc i l · lac ió . La d istànc ia de P a O per a una pos ic ió qua lsevol , s 'anomena elongació, i l a des ignarem per x.

b) Si e l cos té l 'e longació X1 a l ' i nstant t1, i i nd iquem per T el període d 'aquest moviment, quina serà l a seva e longació a l ' i nstant t1 + T? l a l t 1 + 2T? l en genera l a t 1 + nT?

e) Fes un gràfic aproxi mat de l a funció t� x durant dues osc i l·l acions . T ingues en compte l 'apartat d) de l prob lema anterior.

5

Longitud del dia

La longitud de l d ia ( nombre d 'hores de l l u m ) en un determinat l loc depèn de la seva l at itud . Els g ràfics següents donen el nombre d 'hores de l l u m a d i ferents d ies de l 'any i a d i ferents l atituds de l 'hem isferi borea l . E l pr imer correspon a una l atitud de 40º ( la l at itud de Barcelona és de 43º) i a l segon h i ha representades en un mateix s i stema de refe­rènc ia l es hores de l l um corresponents a lat ituds de 10º, 30º, 40º i 50º.

a) Quina és aproxi madament la durada de l d i a d'avu i a Barce lona ( l ati­tud 43º) ? A part i r d 'aquest resu ltat , ca lcu la a qu i na hora surt i a qu i na hora es pon e l Sol . El resu l tat trobat està d 'acord amb l a rea­l i tat? (T ingues en compte la d i fe rènc ia e ntre l 'hora solar i l 'ofici a l ) . Qu i nes raons justifiquen e l canvi d 'horari ? Qu ines conseqüències té ?

b) D ibu ixa u n gràfic com e l pr imer per a una durada de tres anys .

e) D ibu ixa e l gràfic corresponent a l es hores d 'ombra per a una du rada de tres anys .

6

d) Qu ins són e l s d i es de l 'any en e l s qua ls la long itud de l d i a és igua l a tots e l s l locs de la Terra ? Recordes amb qu in nom es coneixen aquests d ies? l e l s d i es en els qua ls el nombre d 'hores de l l um és màx i m ? l e l s d i es en què és mín i m ?

e ) Busca dos d i es de l 'any que t ingu i n e l d ia d ' igual durada . H i ha a lguna re lac ió entre e l l s ?

f) Per què s 'ha agafat l 'any de 365 d i es? Es podria haver agafat una a ltra u n itat?

g) Quines són les amp l ituds de cadascuna de les quatre funcions do­nades a l s g ràfics?

-Funcions periòdiques

l Els quatre exemples considerats corresponen a funcions periòdiques.

a ) Busca qu ines característiques tenen en comú.

b) Com reconeixer ies s i una funció donada és periòd ica? Intenta donar una defin ic ió de funció per iòd ica i del seu per íode .

e) Observa que en e l s prob lemes anteriors hem par lat de l 'amp l i tud . Dóna'n una defin i c ió .

d) Dóna exemples de funcions per iòd iques i d igues qu i n és el període i l 'amp l i tud . Fes-ne e l gràfic aprox imat.

7

B • • •

sin u s, cosin u s 1 ta n gent d ' u n

a n g l e a g ut

1. I NTRODUCCIÓ

Les mesures dels angles i dels costats d 'un triangle estan relacionades de manera que coneixent-ne algunes d 'elles (per exemple, dos costats i un angle) es pot arribar a calcular les restants . Els problemes d 'aquests tipus s 'anomenen resolució de triangles, i en ells tenen origen les nocions de sinus 1 cosinus.

HERÒDOT ( segle v aC.) explica que:

«El rei Sesostris de l 'antic Egipte va dividir la terra entre tots els egip­cis de tal manera que cada un en rebés un quadrilàter de la mateixa gran­dària, i obtenia les seves rendes imposant a cada terreny una taxa que s 'ha­via de pagar cada any. Aquells a qui, per les inundacions, el riu els afectés alguna part del terreny li havien de notificar els danys i aleshores ell enviava els seus supervisors que determinaven la nova renda que havia de pagar el propietari ( en proporció al que li restava ) . Aquest és, segons sembla, l 'origen de la geometria, que després passà a Hèl ·lade ( antiga Grècia).»

Per amidar i senyalar els camps de nou després de les inundacions , seguien un mètode de triangulació que posteriorment han utilitzat els agri­mensors de tot el món.

8

Els egipcis van fer progressos notables en el mesurament de superfícies amb precisió. Els inspectors territorials eren coneguts com a extensors de cordes, puix que feien servir cordes amb nusos o senyals a intervals iguals per a mesurar les peces de terra. Amb aquests mitjans eren capaços de cons­truir angles rectes (perquè sabien que tres cordes de 3, 4 i S unitats de lon­gitud es podien disposar formant un triangle rectangle). Aquest fet pràctic era conegut en altres llocs com, per exemple, a Xina, fa uns 3.000 anys; però l'experiència egípcia, en la geometria pràctica, va més enllà de la cons­trucció d'angles rectes, puix que a més dels angles del quadrat van construir els angles d'altres figures regulars com el pentàgon, l'hexàgon i l'heptàgon que es troben en el disseny dels antics temples i piràmides egípcies .

... ' /

Q

Els egipcis van ésser grans mestres en la geometria pràctica, però no en coneixien la teoria.

El treball teòric sobre la geometria el van començar els grecs, quan els primers viatgers, entre ells T ALES, van conèixer els matemàtics egipcis. Segons sembla, Tales ( aproximadamente pels anys 650-646 aC.) ensenyava

mn¡ançant demostracions deductives i Pitàgores ( 580 aC.) va considerar els principis de la geometria de manera purament abstracta i va investigar els seus teoremes des del punt de vista immaterial i intel·lectual.

Hom creu que Tales va descobrir la demostració que els angles de la base d'un triangle de dos costats iguals (triangle isòsceles) són iguals, i també que tots els triangles inscrits en un semicercle de manera que, un dels seus costats sigui un diàmetre són triangles rectangles. També va amidar la distància entre un vaixell i la costa probablement fent que dos obser­vadors situats a la costa i a una distància coneguda l'un de l'altra amides­sin els angles del triangle determinat per ells i el vaixell.

9

Aquest descobriment és una aplicació del fet que un triangle queda determinat si se'n coneixen la base i els angles adjacents . Quan es vol fer un amidament d'alguna zona de la Terra o d 'alguna part del firmament, per a confeccionar-ne un mapa, s 'han d 'amidar angles per fixar les direccions relatives de les estrelles, astres o punts de la Terra. Aquests treballs els van menysprear els geòmetres grecs i foren els agrimensors i els astrònoms com ARISTARC, HrPARC i, sobretot, PTOLOMEU, els qui van establir relacions entre els costats i els angles d'un triangle i van construir les primeres taules, que proporcionen la corda de l ' arc corresponent a un angle a. < 180º en un cercle de radi r . Llegim a l'Almagest de Ptolomeu, el començament del ca­pítol IX:

«Avaluació de les rectes inscrites al cercle.

»Per a facilitar la pràctica, construirem una taula de valors d'aquestes rectes, dividint la circumferència en 360 graus . Tots els arcs de la nostra taula aniran creixent mig grau constantment, i donarem per a cadascun el valor de la corda suposant el diàmetre dividit en 120 parts .»

La introducció del sinus, molt més còmode per al càlcul, és deguda als matemàtics hindús de l'Edat Mitjana.

2. SINUS, COSINUS l TANGENT D'UN ANGLE AGUT

La mesura d'angles a partir dels arcs que delimiten en una circumfe­rència és tan antiga com la mateixa noció d 'angle, i ja era coneguda pels babilonis . Aquests tenien un gran interès per l 'astrologia horoscòpica, ba­sada en la creença d 'una relació entre la vida humana i la posició dels astres en el moment del naixement; és necessari observar amb precisió ( s i es vol que l'observació tingui èxit ) quin astre apareix sobre l 'horitzó en el dit ins tan t. V a néixer així, una astronomia de posició : el babiloni busca u n sistema que l i permeti trobar, gairebé mecànicament, l a posició d'una cons­tel·lació en un instant donat . Per mesurar aquesta posició s'havia dividit el cercle en 360 parts iguals i anomenat grau cadascuna d 'elles . Una possible explicació de la utilització del nombre 360 és la coincidència amb 12 X 30 ; 12 mesos de 30 dies corresponents a l 'any lunar ( representat també pels 12 signes del Zodíac, 12 sectors de 30 graus cadascun).

Van dividir el dia en 12 parts iguals, corresponent cadascuna d'elles a una doble-hora. Amb tota naturalitat, seguint el sistema de numeració

10

-

setembre

Planisferi celest. Hemisferi boreaL

sexagesimal ( de base 60) utilitzat a Mesopotàmia, la doble-hora va ésser di­vidida en 60 dobles-minuts i el doble-minut en 60 dobles-segons ( submúlti­ples en realitat completament teòrics, perquè les clepsidres que servien per a mesurar el dia tenien una precisió molt relativa) .

Anàlogament van dividir cada grau, dels 360 del cercle, en 60 minuts, de 60 segons cadascun. És interessant notar que els hebreus, després de la captivitat de Babilònia, adoptaren aquest principi de subdivisió i que els grecs i els romans van fer el mateix; i ha arribat així fins a nosaltres.

La torre de contro l d 'un aeroport té una a l tu ra de 30 m. En el moment en què u n avió comun ica que és a una a l tura de 1 .000 m, l 'ang le d 'obser­vació (ang l e que forma la v isua l amb l 'hor itzonta l ) és de 30º. A qu ina d i stànc ia és l 'avió de l a torre ?

1 1

a) Resol de pr imer e l prob lema g ràficament :

• Fes u n d i buix a escala (ut i l itza un transportador per a d i bu ixar l 'ang le ) .

• R espon , fent serv i r e l d ibu ix , l a qüestió de l prob l ema .

b) Ara reso l- lo ana l ít icament :

e)

a)

b)

• ¿ En tens prou amb e l teorema de Pitàgores , per contestar l a qües­tió p lantejada?

• I ntentar buscar a lguna re lac ió entre e l costats i els ang les aguts d 'un tri ang le rectang le . Per fer-ho d i buixa un ang le de 30º; senya l a en u n de ls costats d i ferents pu nts i per e l l s e l eva perpen­dicu lars a l 'a ltre costat. S 'han format d iversos tr iang les rectan­g l es; am ida les long ituds de ls catets oposats a l 'ang le de 30º i de les h i potenuses .

• Per a cada tr iang le ca lcu la e l quoci ent entre e l catet oposat i l a hipotenusa . Quina part icu lar itat presenten aquests quocients ?

• R esol anal ít icament e l prob l ema fent servir e l s resultats obti nguts en e l s apartats anteriors.

Repete ix els dos últ ims apartats de b) per a angles de 40º, 1 0º i 75º.

Com són e l s tr iang l es ABC, A'B'C . . . etc . , de la figura ?

AB A'B' Què pots d i r de ls quoci ents

CB , CB' . . . etc . ?

Donat u n angle agut d e mesura a anomenarem sinus d e a e l valor dels quocients

1 2

AB A'B'

CB CB'

Escriurem:

AB A'B' sina.= -- = -- =

CB CB'

Considerant que un angle agut sempre pot ésser un dels angles d'un triangle rectangle direm:

Sinus d'un angle agut és la raó entre les longituds del catet oposat i de la hipotenusa.

e) Qu ins són e ls valors de s in 30º, s i n 40º, s i n 1 0º , s i n 75º?

En un s upermercat de dos p i sos hi ha una rampa per poder tras l ladar e ls carretons fàc i l ment; l a rampa té una inc l i nació de 1 5º i ocupa una long itud hor itzonta l de 14 m. Quina l l argada té?

Per a reso ldre aquest prob lema contesta les mate ixes qüesti ons p l an­tejades al prob lema 8.1; però hauràs d 'amidar l a long itud del catet con­tigu en comptes de l a del catet oposat.

a)

A l a figura de l prob lema 8.2:

CA CA' Què pots d i r de ls quoci ents

C8 , C8,, . . . etc . ?

Donat u n angle d e mesura a. anomenarem cosinus d e a. e l quocient

CA CA' --= -- =

CB CB'

CA CA' cosa.= -- = -- =

CB CB'

De manera semblant al cas del sinus, podem dir :

Cosinus d'un angle agut és la raó entre les longituds del catet contigu i de la hipotenusa.

b) Calcu la e l s va lors de cos 30º, cos 40º, cos 1 Oº i cos 75º.

1 3

A les nostres c iutats, a causa de l 'especulac ió de l sò l , e l s ed if ic is acostumen a ésser massa a l ts comparats amb l 'amplada de ls carrers i per a ixò ens pr iven del so l durant e l d ia i de veure l es estre l l es durant l a n i t .

Es podr ia ex i g i r que l a re lac ió entre l 'a ltura de ls ed i fi c i s i l 'amplada dels carre rs fos una re lació constant per a totes l es c iutats , per exem­p l e 2/3 . Saps quines són en real itat les normes mun ic ipa ls?

l l l l l

J l

,_

_..------------­--

a) A la figura s 'ha representat un carre r amb la re lac ió 2/3 i or ienta­c ió S-N; és a d i r que el sol surt perpend i cular al carrer per la dreta i es pon per l 'esquerra . A quina a l tura del sol (ang l e que formen e l s ra igs de l s o l amb l 'hor itzó) e ls ra igs comencen a i nc i d i r a l carrer?

b) Quina relació h i haur ia d 'haver entre l 'a l tura de ls ed ifi c i s i l 'am­plada del carrer pe rquè en un carrer or ientat com l 'anter ior , e l s ra igs de l sol arri bess i n a l a vorera fi ns que e l sol esti gués a 25º de l a posta ? R esol aquesta qüestió gràficament.

e) En un carrer or ientat S-N, quina ha de ser l 'a ltura de ls ed ifi c i s s i e l carrer té 1 2 m d 'amp lada i vo lem que l 'ang l e a. s igui de 25º?

dl Contesta e l s apartats b) i e) s i a. = 45º.

1 4

l

AB A'B' A la figura del problema 8.2 , què pots dir dels quocients

CA , C'A'··· etc.?

Donat un angle agut de mesura a anomenarem tangent de a el quocient

AB A'B' tg a= -- = --

CA CA'

¿Com podries obtenir la tangent d'un angle agut, considerant-lo un dels angles d'un triangle rectangle, en funció dels dos catets d'aquest triangle?

l El siri a, cos a i tg a s'anomenen raons trigonomètriques de l'angle de mesura a.

Donat un triangle ABC rectangle en A i de costats a,b,c: al Calcula en funció dels costats les raons trigonomètriques de l'an-

gle B.

bl Igualment per a l'angle C.

cl Quant sumen els angles B i C? Com s'anomenen?

dl Quina particularitat tenen les raons trigonomètriques dels angles B i C?

3. RESOLUCIÓ DE TRIANGLES RECTANGLES

l Fent servir les nocions de sinus, cosinus i tangent d'un angle agut, resol els probleme� següents.

Quan el sol és a una altura de 30º sobre l'horitzó. l'ombra d'un edifici és de 40,3 m. Quina alçada té l'edifici?

1 5

Un va ixe l l observa e l punt més a l t d 'un far, s i tuat 20 ,8 m sobre e l n ivell d e l mar , sota un a n g l e de 40º. A quina d istància es troba d e l c im de l far?

B.10

En e l tr iang l e rectang le ABC, rectangle en A, l a h i putenusa amida 6 m i l 'ang l e B 30º. Ca l cul a'n e ls costats b i e i l 'ang le C.

A

b C

C �------..-a-----�B

B.11

a) D ibuixa un ang le el s i nus de l qual s i gui 0 ,4 .

b) Fes e l mate ix però que e l cos i nus s i gui 0 ,25 .

e) Fes e l mate ix però que l a tangent s igui 3 .

1 6

B.12

En e l tr iang l e rectang l e de l a figura, un catet amida 4 m l 'ang l e contigu 1 5º . Resol e l tr iang l e .

B.13

Un este l està subjecte a terra per un cord i l l de 80 m de l larg que forma amb l 'hor itzontal un ang l e de 75º. A qu i na a ltu ra és l 'este l ?

B.14

Un hexàgon és i nscrit en una c i rcumferènc ia de rad i 5 m. Calcu l a 'n e l costat, l 'apotema i l a superfíc i e .

17

B.15

Als prob lemes anteriors has determi nat e l s i nus , e l cos inus i l a tan­gent d 'uns quants ang les mitjançant proced iments gràfics . Això comporta , per tant, e rrors en e l s resu l tats . Per a l s ang les de 30º, 45º i 60º, aquests valors es poden determinar de manera ana l ít ica m i tjançant cà lcu ls molt senzi l l s .

a) E n u n q uadrat de costat l a un i tat, d i bu ixa-h i l a d iagonal i ca lcu la'n la long itud . Tenint en compte el resu ltat anterior determ ina s i n 45º, cos 45° i tg 45º.

b) En un tr iang l e equ i l àter de costat la un i tat , dibu ixa-h i una de l es a lçades i ca lcu l a 'n l a long itud . Ten int en compte e l resu l tat anterior, determ ina sin 60º , cos 60º i tg 60º.

e) Determ ina s i n 30º, cos 30º i tg 30º.

d) ¿ Com i nflu i r ia en e l s cà lcu l s que has fet a l s apartats a) i b) tractar amb un q uadrat o un tr i ang le equ i l àter que no foss in de costat 1, s i nó d e costat de m esura c?

B.16

La d iagonal d 'un quadrat amida 5 V2. cm. Quant amida e l costat?

B.17

E ls ang l es d'un rombe mesuren 60º i 1 20º i l a d i agonal més gran amida 7v'3 cm. Quant amida l 'a l tra d iagona l ? l e l costat?

B.18

Donat e l tr iang l e rectang l e de l a figu ra

a) Expressa si n B i cos B en funció de ls costats .

1 8

C

b) Calcu la s in2 B + cos2 B.

e) Uti l itzant e l teorema de P itàgores demostra que

s i n2 B + cos2 B = 1 d) Demostra que s i n2 C + cos2 C = 1 . Segue ix e l s raonaments de ls

apartats a), b) i e) .

e) Uti l i tzant les express ions de s i n B i cos B trobades a l 'apartat a) demostra que

f) Fes e l mate ix per a tg C.

s i n B tgB = -­

cos B

B.19

a)

b)

e)

d)

e)

S i s i n a = 0,6 troba cos a i tg a.

3 S i cos a = - troba s i n a i tg a.

5

S i tg a = 1 troba s i n a i cos a .

5 S i tg a = -- troba s i n a i cos a .

1 2

Pot ésser s i n a > tg a s i a és la mesura d 'un ang le agut?

4. L'ANGLE COM A GIR. MESURA D'ANGLES

l Fins ara hem treballat amb angles aguts , els quals sempre es poden considerar com a angles d'un triangle rectangle. Però existeixen figures geo­mètriques amb angles de mesura més gran que 90º. En els problemes se­güents es tractarà de mesurar angles d'aquest tipus .

B.20

a) Saps q u i na és l a mesura de ls ang les de l 'hexàgon regu lar? l de l pentàgon reg u lar? l de l 'heptàgon regu lar?

1 9

b) Quin és l 'angle que formen les agu lles del rellotge a les 7 h .? l a les 4 h . ? l a tres quarts de c inc?

e) Quaht pot va l er l 'ang le d 'u n venta l l obert en una pos ic ió com la de la figura?

B.21

Un g rup d 'am igues observen , en una caseta de t i r al b lanc en una fi ra. un artific i format per un con i l l mecànic que surt d'un punt i descr iu un cercle. Una de les no ies d iu : Quan e l con i ll ha g i rat 1 00º ròman una es­tona parat; és en aquest moment que hem de d isparar. Una a l tra comen­ta: entre els punts corresponents als ang les de 1 20º i 280º és on corre més; d u rant aquest g i r no i nteressa d isparar . l fi na lment , una tercera d i u : quan h a g i rat 290º g i ra du rant 30º més , molt lentament.

a) D ibu ixa un cerc le per representar-h i l a trajectòr ia de l con i l l , i mar­ca-h i u n punt i n ic ia l qua lsevol d 'on suposes que surt e l con i l l .

b) Fes sobre aquest cercl e, emprant u n transportador d 'angles , u n esquema del moviment del con i l l .

e) De ls ang les que has d ibu ixat, qu ins són aguts i qu ins no ho són ?

20

B.22

Dos am ics han fet 1 3 voltes completes en una sin1a . Un d 'e l l s d iu : Hem descr it un ang l e de 4 .680º, l 'a ltre l i contesta: no, de Oº , ja que estem en el mate ix punt de sorti da . Quin dels dos té raó?

Sima del parc d'atraccions del Tibidabo.

· B.23

a) Un vol ant d 'una màquina ha donat 5 voltes i m itja . Quina és l a mesura d e l 'ang l e que h a recorregut qua lsevo l punt de l vo lant?

b) l s i ha donat 4 voltes i quart?

e) l si ha donat 1 0 voltes i tres quarts ?

d) Si un punt de l vol ant ha recorregut un ang l e de m esura 2 .520º, quantes voltes ha donat?

21

B.24

Suposem que vol em obr i r una caixa de cabals que té a la porta u n d i spos i t i u de comb inació cons i stent en u n d isc c i rcular d iv id i t e n setze parts numerades . S i la comb i nació és 1 1 (a l 'esquerra) , 4 (d reta) , 7 ( es­querra) i 1 4 (d reta ) :

a) Quant mesuren els ang les descrits pe l disc a cada pas de la com­b inac ió?

b) Quina és l a mesura de l 'ang l e que forma l a pos ic ió final d 'u n punt qualsevol del cerc le amb l a seva pos ic ió i n i c ial? ¿ El pots mesurar de més d'una manera?

e) En q u i n de ls passos de la combi nació el cercle g i ra un angle més g ran ?

d) Qu ins d ' aquests ang les són aguts? Qu ins no ho són ?

p i --------- p/

l \ ( o ) \ / "-- ----

En aquests darrers exercicis, per a determinar el camí recorregut per un punt P en passar a la posició P' en un gir de centre O, ens calia donar la mesura de l'angle format per P O P', és a dir, un gir de centre O queda determinat per la mesura de l'angle format per la posició inicial d 'un punt qualsevol, el centre O i la posició final d'aquest punt. Així, doncs, a cada gir

22

de centre O l i podem associar la mesura de l'angle format per la pos1c10 inicial d'un punt qualsevol, el centre O i la posició final d'aquest punt.

Recíprocament, donat un angle de mesura a. i vèrtex O, li podem asso­ciar el gir que fa que la semirecta r es transformi en la semirecta s.

5

Un punt P de la recta r situat a una distància d de O es transforma en el punt P' de la recta s situat a la mateixa distància de O.

Per a mesurar aquests angles o girs d 'una manera determinada, cal <idoptar un sistema de referència que ens permeti de mesurar l'angle for­mat per una posició fixa que prenem com a origen ( lr . costat de l'angle) i una segona posició variable (2n. costat de l'angle ) amb un sentit del gir que passa de la la. posició a la segona.

Per això, sobre uns eixos cartesians rectangulars, situarem el vèrtex de l'angle a l'origen de coordenades , el costat fix de l ' angle sobre l'eix d'abscis­ses positiu i prendrem com a sentit positiu del gir el sentit contrari al de les agulles del rellotge.

\sentit positiu u

23

B.25

a) Dibu ixa un s i stema de referència per a mesura r ang les .

b) Transporta sobre e l s i stema de referència e l s ang les següents d i gues quant mesura cadascun .

B.2 6

a) Representa sobre un cerc le e l s ang les de mesura 30º, 90º, 140º, 180º 210º, 270º, 325º, - 30º, - 110º, - 330º.

b) Representa en d iferents cerc les e l s ang les de 390º, 500º, 540º, 720º i 750º. Exp l ica com ho fas per representar- los .

e) Representa e l s ang les de 1.500º i 5.100º. Com ho fas? Com pots redu i r ràpidament un ang le qua lsevol a un ang l e a. de l primer g i r (Oº � a. � 360º)?

d) Redueix al pr imer g i r e l s ang les de 4.587º, 10.321º, - 2.150º, - 3.200º

Hem vist que a un angle UOV de mesura a. li associem un gir de cen­tre O que transforma el punt U en el punt V.

o u

24

-

Però aquest gir també es pot caracteritzar donant la mesura de l'arc UV limitat per l 'angle de mesura a. sobre la circumferència. De manera que cada angle UOV té associat un arc UV i viceversa.

Segons aquestes consideracions, per donar la mesura d 'un angle podem mesurar la longitud de l'arc de circumferència. La unitat més adient, en aquest cas, sembla ésser la longitud del radi r.

Així, definírem l radià com la mesura d'un angle que determina un arc de circumferència de longitud igual al radi.

""' "'

\ \

\ \

•

l l -- r'--•

Evidentment, la definició no depèn de la longitud del radi triat, perquè la longitud de l'arc corresponent és proporcional al radi en tractar-se de figures semblants .

Un angle de mesura 360º ( tota la circumferència ) determina un arc de longitud 27tr i prenent el radi r com a unitat de mesura d 'arcs, donaria una mesura de l 'angle de 27t radians.

L'espai recorregut PP' per un mòbil en un moviment circular, es pot expressar com a mesura de la longitud de l'arc PP' o bé com a mesura de l 'angle a., format per OP i OP'. Anomenarem velocitat angular l ' angle recor­regut per unitat de temps.

La velocitat angular es pot donar en voltes per unitat de temps o també en radians per unitat de temps.

Expressa en rad ians per m inut l a veloc itat angu lar de la roda dentada d 'una màqu ina qu e dóna 7 voltes per minut.

25

B.28

a) Quants rad ians mesura un ang l e de 1 80º? l u n de 90º? l u n de 30º?

b) Un ang le d 'un rad ià , quants g raus mesura?

e) Amb les dades obti ngudes als apartats a) i b), representa gràfica­ment en paper m i l·l imetrat la funció f:

Mesura de l'angle expressada ----+ Mesura de l'angle expressada en graus sexagesimals en radians

Quina c l asse de funció és? Troba'n l'equació .

B.29

a) Expressa en radians e l s angles de 45º, 60º, 1 20º, 2 1 0º i 270º.

b) Expressa en g raus sexagesimals els angles de 1 ,5 rad, 2 rad, 0,75 rad,

26

1 71t 1 1"lt 31t rad, -

6- rad, -2- rad.

C

est u d i d e l es func i ons

• •

. sin u s l •

cosin u s

1. COSINUS D'UN ANGLE QUALSEVOL. ESTUDI DE LA FUNCIÓ COSINUS

_-\ '.·aparrat B ja has estudiat el cosinus d 'un angle agut; ampliarem, ara, .:� .. ::< :'-''.1cepre a un angle qualsevol.

a! ?�' \isua:itzar millor aquest estudi, dibuixa sobre paper mil·lirne­::2: uns eixos de coordenades. Amb centre l'origen de coordena­des O dibuixa un cercle de radi 1 dm i gradua'l, de 10º en 10º des de O a 360 . començant a partir del semieix positiu d'abscisses, com no ¡)Ots veure a la figura.

27

Sobre e l cerc le trigonomètric (cercle de radi unitat) dibuixa un ang le de 15º. Aquest ang l e et determina sobre l a circumferència u n punt V.

a) Determina'n les coordenades.

b) Si projectes perpendicularment e l punt V sobre l'eix d'abscisses, obtens e l punt A. Quin tipus de triangle és e l AOV? Respecte a l punt V, què representen OA i AV?

e) Calcula cos 15º. Quina o quines longituds has amidat? ¿ Coinc ide ix amb alguna d e les coordenades de V ? Comprova que obtens e l ma­teix resultat que en l'exercici 8.3.

d) Quin és e l nombre que és igua l a l cos 15º?

e) Quin avantatge t é que e l radi O V sigui d'1 dm?

Repeteix el mateix que has fet a l'exercici C.2 per als angles de 80º, 20º i 40º.

l Com a ampliació de la definició de cosinus d'un angle agut direm:

El cosinus d'un angle de mesura a. és l'abscissa d'un punt de la circumfe­rència unitat tal que l'angle UOV sigui de mesura a. .

a) Il·lustra aquesta definició amb una figura.

b) 21t Digues quant va l en cos 150º, cos --, cos 280º, cos 320º 3 s ituant e l s ang les sobre e l cerc le unitat.

31t cos --

2

Quins són e l s ang l es ta ls que e l seu cos inus val - 1 , O, -2

-,

fl V3 - -

2-, -2-, -

2-, 0.8, - 0.3? Ajuda't d'un d i bu ix .

28

Si e l rad i de l cerc le que has d i bu ixat no fos d ' 1 dm s i nó de 5 dm:

a) ¿Ser ia cert que la projecc ió or ientada sobre l 'e i x OX de l punt que determina l 'ang le sobre la c i rcumferènc ia fóra i gua l a l cos i nus de l 'ang l e ?

b) ¿ Com podr ies expressar e n aquest cas cos 40º, cos 70º , cos 1 20º, cos 295º i cos 340º?

Cons idera una c i rcumferència de rad i r centrada a l 'or igen de coorde­nades i un punt V de coordenades (x, y) var iab le sobre la c i rcumfe­rènc ia . La recta que passa pe l punt V i l 'or igen de coordenades deter­mina amb l 'eix positiu d 'abscisses un ang le de mesura a.

y

Y(l(,y)

A u x

a) Com definiries el cosinus d'aquest angle de mesura a? b) En e l cas que el rad i s i gu i 1 dm, com expressaries el cos inus d 'a.?

Estud iarem, ara, una funció rea l de var iab le rea l , anomenada funció cosinus, defi n i da de la manera següent :

cos : IR --� IR a --� cos a.

29

a) Com que ja saps mesurar les dues variab les de l a func ió cos i nus , determ ina , m i tjançant e l cercle tr igonomètr i c , les imatges de ls va­lors d 'a de 1 Oº en 1 Oº des de Oº fins a 780º.

b) Fes una tau l a amb aquestes mesures , expressant e l s ang les en graus i en rad i ans .

e) Representa aquesta funció en paper m i l·l i m etrat.

a) Observa e l g ràfic i d igues s i l a funció cos inus és per iòd ica i q u i n és e l seu període i la seva ampl i tud .

En conseqüènc ia es ver i f ica

cos (a+ 27t)

cos (a + 47t)

i en general cos (a + 2k7t) = on k E 7l.

b) Per a qu ins ang les és pos it iva? Per a qu i ns negativa? Per a qu ins nu l · l a ? Troba l 'express ió general de ls ang les que tenen e l cos i n us igua l a zero.

e) Qu in és e l dom i n i d 'aquesta func i ó ? Qu in és e l conjunt i matg e ?

d ) Sabent que cos 20º = 0,93969 , ¿ pots saber la i matge d 'a ltres ang les entre Oº i 360º? Quins? Qu ina re lac ió h i ha entre e l l s ? Qu in és e l va lor de cos (- 20º) ?

e) Si coneguess is e l va lor de cos a , de qu ins a ltres ang les podr ies co­nè ixer la i matg e ? Com són respecte a cos a?

f) Representa la func ió cos i nus entre - 360º i 720º.

g ) Observa qu e l a funció cos i nus és s i mètrica respecte l 'e i x d 'o rde­nades. Les funcions que tenen aquesta propi etat hom les anomena funcions parelles.

l Una funció parella per tant és aquella que compleix f(x) = f(- x).

Comprova que l a funció cos i nus comp le ix aquesta rel ació .

30

2. SINUS D'UN ANGLE QUALSEVOL. ESTUDI DE LA FUNCIÓ SINUS

Tot el que s 'ha fet per al cosinus d'un angle i per a l'estudi de la funció cosinus es pot fer per al sinus d 'un angle i la corresponent funció.

C.10

Sobre e l cerc l e tr igonomètr ic d i bu ixa un ang l e de 30º. Aquest ang le et determ i na sobre la c i rcumferència un punt V.

a) Determ ina 'n l es coordenades .

b) A més , pots obten i r un tr iang le AOV com a l 'exerc ic i C .2 . Respecte a V, què representen OA i AV?

e) Ca lcu la s i n 30º. Qu ina l ong itud has am idat? ¿ Co inc ide ix amb a lguna de les coordenades de V?

d ) Qu in és e l nombre que és i gua l a l s in 30º?

Qu in avantatge té que el rad i OV s igu i d ' 1 dm?

e) Fes e l mate ix amb e ls ang l es de 40º, 1 0º i 75º. Compara e ls resu l tats amb e l s de l 'exerc ic i 8 .2 .

C.11

2n 3n Quant val s i n 2 1 0º, s i n --. s i n 1 60º, s i n 1 00º i s i n --?

3 2

C.12

1 V2 V3 1 (, . Per a qu i ns ang l es e l s i nus va l - 1 , O -- -- -- - -­,

2 ' 2 ' 2 ' 2 '

0.8, - 0 .3 ?

C.13

Si e l rad i de l cerc l e no fos d ' 1 dm, s i nó de 3 dm:

a) ¿Ser ia cert que la projecc ió sobre l 'e i x OY de l punt que d eterm i na l 'ang le sobre l a c i rcumferència fóra i gua l a l s i nus de l 'ang l e amb e l semie ix pos it iu d 'abscisses?

b) ¿ M itjançant qu i n quocient expressaries en aquest cas s i n 40º, s in 70º s i n 1 20º, s i n 295º, s i n 340º?

31

C.14

D ' una man era semblant a com ho has fet a l 'exerc ic i C.7, defineix s i n a. en func ió de les coordenades (x. y) d 'un punt V s i tuat sobre la c i r­cumferència de rad i r, si a. és l 'angle format per la recta que passa pel punt V i l 'or igen de coordenades, i el semie ix pos it iu d 'absci sses .

C.15

Estud iarem , ara , la funció real de var iable real, anomenada funció sinus, defin ida de la manera següent:

s i n : IR IR a. s i n a.

R epete ix l 'exerc i c i C .8 , però per a la func ió s inus .

C.16

Contesta les qüesti ons a). b) e) de l 'exerc ic i C.9 per a la func ió s inus .

C.17

a) Si s i n 20º = 0 ,34202 , ¿pots saber l a imatge d 'altres angles entre Oº i 360º? Qu ins? Quina relac ió h i ha entre ells? Qu in és el valor de s in (- 20º)?

b) Si coneixes el valor de s i n a. , de qu i ns altres angles pots conèixer el s i nus ? Com són aquests valors respecte a s i n a.?

e) Representa la func ió s i n us entre - 360º i 720º. d) Observa que la funció s inus és s imètrica respecte l 'or igen de coor­

denades . Les funcions que tenen aquesta propi etat hom les anomena funcions imparelles.

l Una funció imparella per tant és aquella qu e compleix f(- x ) = - f(x ) .

Comprova que la func ió s inus comple ix aquesta relac ió .

32

e stu d i d e l es fu n c i o n s ta n g e nt

1 cota n g e nt

1. TANGENT D'UN ANGLE QUALSEVOL. ESTUDI DE LA FUNCIÓ TANGENT

Sobre el cerc le tr igonomètric d ibu ixa un angle de 40º; aquest ang l e determ i na sobre l a c i rcumferència un punt V i un triang le AOV com a l 'exerc ic i C.2.

a) Calcu la les coordenades de V.

b) Quant va l tg 40º? ¿Hi trobes a lguna re lac ió amb les coordenades de V?

a) Dibu ixant sobre e l cerc le tri gonomètric, ca lcu la tg 20º i tg 75º.

b) Uti l i tzant les dades obti ngudes a l 'apartat anterior , d i gues quant val tg 70º i tg 1 5º .

S i a és un angle agut sobre e l cercle tr igonomètr ic , escriu tg a en funció de s in a i cos a.

33

. D.4

Com a ampliació de la definició de tangent d'un angle agut, direm:

La tangent d'un angle a. és l'ordenada d'un punt de la circumferencia unitat dividit per l'abscissa d'aquest punt, de manera que l'angle UOV sigui de mesura a..

a) I l·lustra aquesta defin ic i ó amb una figura .

b) 2n 3n D i gues quant va l tg 1 50º, tg --, tg 280º, tg 320º i tg -- , s i tuant e l s

3 2 ang les sobre e l cerc l e un itat.

Considera una c ircumferè nc ia de radi r , centrada a l 'or igen de coorde­n ades i un punt V de coordenades (x, y) var iab le sobre l a c i rcumferènc ia . La recta que passa pel punt V i J 'orige n de coordenades determ i n a amb l 'e ix posit iu d'abscisses un ang le de mesura a.. a) Com defin ir ies la tangent d'aquest ang l e a.?

b) ¿Hi ha a l guna di ferènc ia entre l a defi n i c i ó de l a tangent quan e l radi és 1 i quan e l radi és r 7"'c- 1?

34

AV Ja has trobat que tg a. = -- en e l tri ang l e AOV, però , h i ha un trian­OA

o

g l e semblant al AOV, e l UOT, que té e l costat OU igua l a l radi r de l a c i rcumferènc ia per a qua lsevo l ang le a.

Així t indrem: AV UT UT

tg a = -- = -- = OA OU r

a) En e l cas de la c i rcumferència de rad i 1 , i nd ica qu i n és e l segment qu e té per long itud u n nombre igua l a l a tangent d 'un ang l e de l pr i ­mer quadrant.

b) En e l cas que l 'ang l e s igu i de l segon quadrant i degut al fet que la tangent d 'aquest ang le és negativa, prolongarem e l segment av fi ns que ta l l i la tangent (a la c i rcumferènc ia) que passa pe l punt U. D 'aquesta manera trobem e l segment UT. Comprova que e l segment UT té per longitud un nombre igual (en mòd u l i en s igne ) a la tan­gent de l 'ang le a.

e) Per què creus que la funció tangent s 'anomena a ix í?

d) Fes g ràfics d 'ang les s ituats en e l s quatre quadrants de l cerc le trigo­nomètric i assenyala per a e l l s les long ituds corresponents a l seu s i nus , cos i nus i tangent.

sin a ¿ Creus que l 'express ió tg a = que has trobat a l 'exercici 0.3

cos a per a u n ang le agut , és và l ida per a un ang le a qua lsevo l ? Per què?

Estud i arem ara una func ió rea l de variab le rea l , anomenada funció tangent, defin ida :

tg : a --� tg a = s i n a

cos a

a) La funció tangent es define ix com un quoci ent. Ten int en compte qu e en un quocient el denominador no pot ésser mai n u l , determina per a qu ins ang l es no està defin ida l a tangent. ¿ Pots donar l 'expres­s ió general d 'aquests ang les? Qu in és per tant e l domin i de l a func ió tangent?

b) A part i r de les tau les de les funcions s inus i cos inus ja obti ngudes , fes una tau l a de l a func ió tangent d e 1 Oº en 1 Oº . Busca també e l valor de la tangent d 'u n ang l e de 88º, 89º , 9 1 º i 92º.

35

Què passa quan l 'ang le a s 'acosta a 90º? Què passa quan l 'a ng l e a e l sobrepassa ? Qui n comportament té l a func ió a l a vora de l s punts que no són de l dom i n i ?

e) La func ió tangent , és una func ió per iòdica? Qui n és el seu període ? l e l conjunt imatge ?

d) Per a quins ang les de l pr imer g i r és pos itiva i per a quins negativa? ( Ut i l itza les taules de l es func ions s i nus i cosi nus . )

e) Sabent que tg 20º = 0 ,3639 , ¿ pots saber l a i matge d'a l tres ang les entre Oº i 360º? Qui n s? Quina re lac ió h i ha entre e l l s ? Qui n és e l valor d e t g ( - 20º) ?

f) Si coneguessis e l valor de tg a, de qui ns a l tres ang les podr ies co­nè ixer l a tangent? Com són aquests va lors respecte a tg a?

g ) F e s u n g ràfic de l a func ió tangent ( en paper m i l·l imetrat) e ntre e l s va l ors - 360º i 720º.

a) La func ió tan gent és pare l l a o impare l l a ?

b) Estudia l a s i metria de l a func ió tangent .

e) Qui ns ang l es del pr imer g ir tenen l a tangent i gua l ? l oposada ?

2. PENDENT D'UNA RECTA

D.10

l Recordem que en l'estudi de la funció de proporcionalitat y = ax, fun­ció que té per gràfic una recta que passa per l 'origen de coordenades, ano­menàvem pendent (o coeficient angular ) el coeficient a i dèiem que ens determinava l 'angle que forma la recta amb l 'eix d'abscisses.

C Y3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,

B � - - - - - - - - - - - - --A Y1 - - - - - - - --

36

Si agafem alguns punts A(x1 , yi ) , B( x2 , y2 ) , C(x3 , y3) . . . sobre la recta podem escriure

y1 y2 y3 a = �� = �� = �� =

És evident, doncs, que

Xt X2 X3

a = tg a. essent a l'angle que forma la recta amb el semieix positiu de les abscisses .

a) Qui ns són aqu í e l s valors de s i n a. i cos a.?

b) Qui na és l a tangent de l 'ang le que forma l a recta y = Y3x amb 3

l 'e ix d'abscisses? l de l a recta y = - -- x? 4

e) D i bu ixa una recta d'equació y = ax + b on b � O. D i buixa una paral­l e l a a e l l a que passi per l 'or igen de coordenades . Qui n a equac ió té? ¿ Són i gua ls e ls ang les que formen ambdues rectes amb l 'eix positiu d'absci sses?

d) ¿ Pots dedu i r , de l es preguntes anter iors, que e l coefic i ent angular de l a recta que té per equac ió y = ax + b és i gua l a la tangent de l 'ang l e que forma amb l 'e ix pos it iu d'abscisses?

e) Qui n a és l a tangent de l 'ang l e que forma la recta y = - x + 5 amb 1

l 'e ix posit iu d'absc isses? l s i la recta és y = 5x - --? 2

D.11

a) Escriu l 'equac ió d'una recta de pendent pos it iu que passi pe l punt (0 ,2 ) i que formi un ang le de 20º amb l 'e ix OX. Raona la resposta .

b) Quin és e l pendent de l a recta que passa pe ls punts (0 ,3 ) i (2 ,5 ) ? Qui n ang l e forma l a recta amb l 'e ix pos it iu d'abscisses?

Escriu l 'equac ió de la recta anter ior .

e) Escr iu l 'equació d'una recta que passi pe l punt (- 2 , 1 ) i que form i un ang le de 1 50º amb el semie ix pos it iu d'absc isses .

d) Qui n és e l pendent de l a recta que passa pe ls punts (- 1 , 3 ) i (4 , - 2 ) ? Quin ang le forma aquesta recta amb e l sem ie ix pos it iu d'absc isses ?

37

3. LA FUNCIÓ COT A N GENT

' 0.12

Defi n i m ara una nova func ió rea l , de var iab l e rea l : l a func ió cotangent .

1 cotg : a --...;. cotg a = -­

tg a

a) Troba e l s punts que no són de l dom i n i . Dóna 'n l 'express ió genera l . Qui n é s e l dom i n i de l a func ió cotangent?

b) Expressa la cotangent d'un ang l e a en func ió de s i n a i cos a .

e) A partir de les tau les de les func ions s i nus i cosi nus , fes una taul a de l a func ió cotangent de 1 Oº en 1 Oº. Busca també e l va lor de l a cotangent de ls ang l es de 1 ° , 2º , 358º i 359º.

Què passa quan l 'ang l e a s 'acosta als punts que no són de l dom in i? Què passa quan l 'ang l e a e ls sobrepassa? Qui n comportament té l a func ió cotangent a l voltant de ls punts que n o són de l dom i n i?

d) La func ió cotangent , és peri òdi ca? Qui n és e l seu període? Dóna 'n e l dom i n i i e l conjunt i matg e .

e ) Per a qui ns ang les de l pr i mer g i r é s pos it iva? Per a quins negativa?

f) Sabent que cotg 20º = 2 ,7480 , ¿pots saber la i matge d'a l tres ang l es entre Oº i 360º? Quins? Qui na re lac ió h i ha entre e l l s? Qui n és e l va lor de cotg ( - 20º) ?

g) Si coneguess is e l va lor de cotg a, de quins a l tres ang l es podr ies conè ixer l a i matge? Com són aquests va l ors respecte a cotg 20º?

h) Fes un g ràfic de l a func ió cotangent en paper m i l·l imetrat entre e ls va l ors - 360º i 720º.

D.13

a) La func ió cotangent és pare l l a o i m pare l l a?

b) Estudia l a s imetr i a de l a func ió cotangent .

e) Qui ns a ng l es de l pr imer g ir tenen l a cotangent igua l? l oposada?

D.14

a) Troba l 'express ió de l a cotg a m itjançant e l s e l ements de l tri an­g l e AOV.

38

b) Busca un tr iang le semb lant à l AOV per al qua l l 'express ió de l a cotangent de l 'ang le a. t ingu i denom inador igua l a l radi .

e) En e l cas de l a c i rcumferència de radi 1 , qu i n segment correspon a l a cotangent d'un ang l e de l pr imer quadrant?

d) Fes g ràfics d'ang l es s i tuats en e l s quatre quadrants de l cercle tri­gonomètric i senyala per a e l l s el segment que correspon a la seva cota ngent . Especif ica e l s igne en cada cas.

39

E

re l a c i o n s e n t re l es ra o n s

. ' .

t r 1 g o n o m et r 1 q u es d ' u n m a te i x a n g l e

Havies v ist a l 'apartat B que per a un ang le agut es ver if ica

s i n2 a + cos2 a = 1 s i n a

tg a = --­cos a

a) Són vàl ides aquestes i gualtats per a un ang le a qual sevo l ? Demos­tra-ho .

a) S i s in a = 0 ,872, quant val cos a s i Oº ::::;:; a ::::;:; 90º?

l si 90º ::::;:; a ::::;:; 1 80º?

b)

e)

40

2 Si cos a = - -- , qu in és e l valor de s i n a? Ou antes solucions h i

3 ha? S itua l 'ang le a l quadrant corresponent segons cadascuna de les soluc ions .

4 Si s i n a = - --, quins valors poden prendre cos a, tg a

5 R epresenta gràficament les poss ib les solucions .

cot a?

a}

b}

e}

4 Si tg (J., = --, dete rm i na s i n (J.,, cos (J., i cotg (J., per a cada poss i b l e

3 soluc ió i representa-les g ràficam ent.

Si s i n (J., = - 0.3, t roba cos a , tg a i cotg a, si a E 3r. quadrant.

1 S i tg (J., = - -- , troba s in a , cos a i cotg a, s i a E 4t. quadrant.

3

41

F

re l a c i o n s e n t re l es ra o n s

t r i g o n o m èt r i q u es d ' a n g l e s d i fe re n ts

Si per a resoldre un problema necessites saber les raons trigonomètriques d 'un angle agut, generalment les buscaràs a les taules trigonomètriques. Però si t'interessa conèixer les d 'un angle més gran de 90º no les hi trobaràs.

Això és degut al fet que, coneixent les raons trigonomètriques dels an­gles compresos entre Oº i 90º, podem conèixer les raons de qualsevol angle.

42

F.1

Angles del segon quadrant

Volem calcular les raons trigonometnques d 'un angle a. tal que

� < a. < 'lt. Per fer-ho dibuixem l 'angle a. sobre el cercle trigonomètric 2

( vegeu figura), i fem una simetria respecte a l 'eix OY, que transforma el punt V en el punt V' del primer quadrant .

'lt Sigui a.' la mesura de l 'angle A'OV', O < a.' < - . El nombre a' és tam-

2 bé la mesura de l 'angle AOV. Aleshores es verifica

a + a' = 'lt => a' = 'lt - a

y

A la simetria d 'eix OY, les abscisses de V i V' són oposades, mentre que llurs ordenades són iguals . Per tant, obtenim les relacions :

a)

b) e)

cos a = - cos a' = - cos ( 'lt - a )

sin a = sin a' = sin ( n - a)

Troba l a re lac ió entre tg a i tg (n - a.) .

Troba l a re lac ió entre cotg a i cotg (n - a) . 37t

Dibu ixa a l cerc le tr igonomètric ang les de 120º, 1 50º, --, 165º i es-4

cr i u e l valor de l es seves raons tr igonomètriques .

43

Angles del tercer quadrant

S.

, l l 31t . . d o 1 a es u n ang e ta que 7t < a < -- , una s i metr ia e centre trans-

forma el punt V en el ount V' 2

a) Segueix un procedi ment anà leg a l real itzat a l prob lema F . 1 per a estab l i r les re lac ions entre les raons tr igonomètr iques de l 'ang le a i l es de l ang le a'.

b) Dibu ixa al cerc le tr igonomètric ang les de 2 1 0º , 225º, 240º , 1 95º i es­cr iu el valor de les seves raons tri gonomètr iques .

Angles del quart quadrant

a) Dibu ixa un ang le a de l quart quadrant a l cerc le tr igonomètric i fes una s i m etr ia respecte a l 'e ix OX per tal d 'obten i r les re lac ions entre les raons tr igonomètr iques d'a i les de l 'ang le corresponent de l pr i ­mer quadrant.

b) Dibu ixa a l cercle tr igonomètr ic angles de 300º, 3 1 5º , 330º i 345º i es­criu el valor de les seves raons tr i gonomètr iques .

Angles complementaris

a) Busca a les tau les tr igonomètr iques s i n 80º i cos 80º. Trobes a lguna d ificu l tat? Qu ina?

44

b)

e)

d)

a)

b)

e)

La d ispos ic ió de ls ang l es a l es tau les és deguda a l a re lac ió existent entre les raons tr igonomètriques de ls ang les complementari s .

Veurem a ra qui na és aquesta re lac ió . Pe r fer-ho , d i buixem un ang l e 1t a < - sobre e l cerc l e tr igonomètric i fem una s i metr ia respecte a 4

l a b isectriu de l pr imer quadrant (vegeu figura) .

S i a és l a mesura de l 'a ng l e AOV , quina és l a mesura de l 'ang l e A 'OV' ? l l a d e l 'ang le AOV' ?

Segons l a s i metria que hem fet , escriu l es re lac ions entre les raons

tr igonomètriques dels ang l es a i ( +-a ) . Troba s i n 70º, cos 65º, s i n 82º, tg 58º i cotg 1 5º .

7t 1t D i buixa a l cerc le tri gonomètric un ang l e a < -- i l 'ang l e a + -- .

4 2

Troba les re lac ions entre l es raons tri gonomètri ques d 'aquests ang les .

Completa les i gualtats següents :

s i n 1 00º = 1 Oº cos 32º = 1 22º

cos 1 25º = - s i n s i n 1 5º = - COS

45

Suposant que d ispos is d 'unes tau l es tr igonomètr iques que don i n les raons de ls ang les de Oº a 45º, expressa , fent e l s corresponents raona­ments g ràfics, e l s va lors següents :

s in 1 2 1 º , cos 1 97º, tg 1 97º , cos 301 º, s in 293º , cos 265º, s in 265º.

F.T

Cont inuant amb els raonaments g ràfics :

a) Troba un ang l e del segon quadrant ta l que cos a = - s in 26º.

b) Troba e l s poss i b les ang les a del pr imer g i r que ver ifi qu in s in a = = - cos 34º.

e) Troba e l s ang les a de l pr imer g i r que verif iqu i n s i n2 a = cos2 1 5º.

46

G

p ro b l e m es d e

co n so l i d a c i ó

1 . RESOLUCIÓ DE TRIANGLES

Donada la importància que té la resolucíó de triangles en qüestions molt diverses , a continuació en resoldrem alguns casos analíticament i gràficament.

Necessitaràs un regle graduat, un compàs, un transportador i paper mil·limetrat.

Di bu ixa un tr iang le de forma que e l s costats am id i n a = 7 cm , b = = 5 ,3 cm i c = 3 cm . ¿ Creus que podr ies d i bu ixar més d 'un tr iang le amb aquestes cond ic ions o tots seran igua l s?

Si en un tr iang le coneixem dos ang les A := 32º i B = 94º, quant me­sura l 'ang le C? Per què?

Construe ix aquest tr iang le . Per fer- ho, d i bu ixa un segment c de long i­tud qua lsevol i amb vèrtex en e l s extrems s itua e l s ang les A i B . El punt on es ta l l i n e l s costats de ls ang les serà e l vèrtex C.

¿ C reus que podr ies d ibu ixar d i ferents tr iang les que comp l iss in les mateixes cond ic ions ? Per què?

47

º G.3

Dibu ixa u n tr iang le de forma que un costat amid i 7 ,2 c m i e ls ang les adjancents s igu in de 70º i 40º . E l proced iment és semblant a l de l prob l e­ma G.2 . H i ha més d 'un tr iang l e que comple ix i aquestes condic ions?

D 'un triang le coneixem a . b, A .

La construcció de l tr iang le és l a següent:

a

b

l l i.-- b -1 l l

a) Expl i ca l a construcció feta a l gràfic : d i scuteix s i sempre té so luc ió , quantes en pot ten i r , etc .

b) Fes la construcció anter ior s i a = 5,1 cm , b = 8,3 cm, A = 32º.

e) Fes la construcció anter ior s i a = 2 cm , b = 8,3 cm , A = 41 º.

48

a) D i bu ixa e l tr iang le de l qua l coneixem

a

A

b) Dibu ixa e l tr iang le d e l qua l coneixem

a

b C

Des d e l cap de Creus es veu un vaixe l l sota un ang le de 1 70º i des de Palamós sota un ang le de 85º. Troba g ràficament la d i stància de l cap de Creus a l vaixe l l i de Palamós a l vaixe l l . ( Recorda que com origen d 'ang les es pren sempre l a l ín ia observador-nord i e l sent it pos i t iu és e l de les agu l l es de l re l l otge . )

En u n terreny horitzontal h i ha una torre de 40 m d 'a ltura i d i stant 30 m de la vora d 'un r i u . Des d e l cim de la torre es veu l 'amplada d 'un r i u sota un ang l e de 45º. Ca lcu la gràfica ment l 'ampl ada de l r i u .

Dos cotxes surten de l mate ix punt i en e l mate ix i nstant per carre­teres que formen un ang l e de 45º . E l pr i mer va a 80 km/h ; el segon a 60 km/h . Calcu l a g ràficament a qu i na d i stànc ia estaran a l cap de 1 h 30 m.

49

Quin ang le formen dues forces de 30 kg i 22 kg respectivament , l a resu ltant de l e s qua ls é s u n a força de 4 6 kg? R esol e l p roblema grà­ficament.

Resoldre un triangle vol dir poder determinar la longitud dels seus costats i la mesura dels seus angles .

Per resoldre un triangle qualsevol cal donar tres dades, una de les quals ha d 'ésser sempre un costat ( recorda els problemes anteriors ; en particu­lar el G.2) .

En e l cas dels triangles rectangles e l problema és més simple perquè ja coneixem un angle ( el recte ) . Per determinar el triangle, n 'hi haurà prou amb dues dades ( de les quals almenys una haurà d 'ésser un costat) .

Així ens trobarem amb dos casos :

l ) Ens donen l costat i l angle.

2) Ens donen 2 costats .

En el cas dels triangles rectangles la solució analítica és molt fàcil co­neixent les funcions circulars .

G .10

Resol e l s d iferents exemples de triang les rectang les g ràficament ana l ít icament.

Dades Incògnites

a) a = 4 ,2 B = 3 1 º b , C , C

b) b = V2 B = 45º C , a, C

e) C = 2 B = 60º a , b , C

d) a = 6 b = 4 C , B, C

e ) b = S e = va a, B, C

G . 11

Un túne l descendeix 200 m i forma un ang le de 30º amb l 'hor itzontal ; després puja amb una inc l i nació d e 40º amb l 'hor itzontal f ins que e l s ex­trems de l túnel estan a la mate ixa altura. Troba la long itud de la segona part de l túne l .

50

G.12

Calcu la e l d i àmetre d 'un rec ip i ent , la secció de l qua l és l a de l a figura .

10 cm

G.13

La figura ens mostra dues seccions d 'una porta p legab le i corred issa . Troba l 'ang l e que formen les dues parts de l a porta.

�-----2 2 c m ---

G.14

a ) En e l gràfic de l a figu ra ten im dos tr iang l es rectang les . Coneixem a, a., i � .

a

a

C

• Troba les fórmu l es que ens donen b i e en func ió de les dades.

• Apl ica l a fórmu l a obt inguda en e l cas que a = 7,3 , a., = 60º � = 30º.

5 1

b) De l a figu ra de l gràfic , consti tuïda per una col·l ecció de tri angles rectang les ( i nd icats per b.._ ) coneixem e l costat a i e ls angles (J., �. y i ò. • Troba les express ions de ls costats / , m, n i x en funció de les

dades.

• Apl ica la fórmu l a obti nguda s i a = v'6, ri. = 60º, � = 60º, y = 45° i ò = 60º, s imp l i ficant e l s resu ltats com més m i l lor .

2 . LES FU NCIONS INVERSES DE LES FUNCIONS CIRCULARS

G. 15

Arc sinus

En molts prob l emes és necessari trobar el valor de l 'ang l e quan es cone ix e l va lor d 'una de l es seves funcions c i rcu lars , per exempl e quan vo l em conèixer un ang l e d 'un tr iangle rectang l e de l qua l en coneixem els costats .

a) Hi ha, però, una d i ficu l tat. Prenguem, per exemp l e , la funció s inus . Suposem que hem trobat que e l s inus d 'un ang l e a. que vo lem conèi-

52

1 1 xer va l -- , és a d i r , s i n (J. = -- . Podem escri ure , per a l a funció

2 2 s i nus :

s i n : IR IR

x s i n x

(J. l

s i n (J. = --2

Està determinat (J. per aquesta cond ic ió? ¿ H i ha a lgun ang l e que l a ver ifi qu i ? N 'h i ha més d ' un? l s i ex ig im que (J. s i gu i de l pr imer g i r ?

b ) Q u è podem d i r de 0 . s i s in 0 = - 3 ,5?

e) Molt sov int, el prob lema no es p lanteja a ixí , s i nó que a més de co­nè ixer e l valor de s i n (J., coneixem també el quadrant en què està s ituat (J. . En aquest cas la so luc ió és senzi l l a . Per exempl e , suposa

que sabem que s i n (J. = - Y2 i (J. és un ang le del tercer quad·rant. 2

1 Quant m esura (J.? Quant mesura s i s i n (J. = -- i (J. és un ang le de l

2 segon q uadrant?

d) Hem v ist a l 'apartat e) que e l prob l ema, p lantejat conven ientment, té sov int so l uc ió . Però, en defin it iva, e l prob lema p lantejat és e l de cercar l a funció i nversa del s i nus : donat e l valor de s i n (J. , vol em trobar (J. .

Però e l s i n u s , defin i t amb dom in i IR i conjunt d 'arri bada IR tal com hem fet a l 'apartat a) no té l a propietat necessària perquè una funció t ingui i nversa.

Qu ina és aquesta cond ic ió?

e) Si restri ng im la func ió s i nus (per a ang les en rad ians) a ls conjunts següents :

s i n : [ -+. + +J -� [- 1 , 1 ]

x s in x

comple ix l a cond ic ió exig i da per a ten i r i nversa?

53

f) A l a func ió i nversa de l 'anterior hom l 'anomena funció arc sinus. Quin és el domin i i el conj unt imatge de la funció arc s i nus? D i gues qu i n valor tenen (s i és que el tenen) les expressions següents :

arc s i n 1 arc s in O

arc s i n ( -+ ) arc s i n ( - V::- ) g) Fes u n g ràfic de l a funció arc s inus .

G.16

Arc cosinus

. 1 arc s i n --

2

. V3 arc s i n --

2

Anàlogament a l prob lema anter ior podem defi n i r l a funció i nversa de i cos i nus s i ten i m la precaució de defi n i r l a funció cosi nus restr i ng i da a un dom in i i conjunt imatge adequats .

a ) Observant e l g ràfic de l a funció cos inus ( per ang l es en rad i a ns ) d ibu ixada p e r ang les de - 2 1t fi ns a 21t , restri nge ix-ne e l do m i n i i e l conjunt d 'arr ibada perquè t ingu i i nversa .

b) Fes u n gràfic de l a funció i nversa de l a funció cos i nu s q LJ e h o :n anomena arc cos inus .

c) Digues qu i n va lor tenen :

a rc cos 1

arc cos ( -+ ) G.17

Arc tangent

arc cos O

v-2-arc cos --

2

1 arc cos --

2

arc cos ( 2

a) Estud ia l es restr iccions de l a funció tange nt perquè t ingu i i nv e · s a .

b ) Fes un gràfic de l a funció i nversa , que hom anomena a rc ': a :> g e .., : c ) Digues q u i n valor tenen :

arc tg 1

arc tg (- Y3J

54

arc tg O arc tg V3 V3

arc tg -- l i m arc tg x 3 X� oo

arc tg - 1

( \ 3 \ arc tg - 3 )

3. FUNCIONS SECANT l COSECANT

G.18

Algunes vegades interessa utilitzar unes funcions anomenades secant cosecant, definides de la manera següent :

l sec : a � sec a = ---

cos (J,

l cosec : a -----+ cosec a = --­

sin a

a) Fes-ne l 'estud i en l ' i nterva l [O , 2r-] i troba 'n e l s punts que no són de l dom i n i .

b) Fes-ne e l s g ràfics . D igues s i són funcions contínues i s i són pe­r iòd iques .

4 . EQUACIONS TRIGONOMÈTRIQUES

G.19

Anomenem equacions trigonomètriques les igualtats entre raons trigono­mètriques que només es compleixen per a alguns valors dels angles . Resol­dre l'equació vol dir trobar els esmentats valors .

a) Com a exemple de reso luc ió , veurem l 'equació

s in x Ja que tg x = --- , podem escri u re :

cos x

s i n x

s i n x 2

cos x

Operant ( s i s in x � O) obte n i m :

1 cos x = --

2

s i n x

tg x 2

Per tant x = 60º + 360º k i x = - 60º + 360º K, essent k E "ll .

55

b ) Resol les equacions següents :

cos x

tg x

3 2

s i n x + cos x = -{'2

4 tg x + cotg x = Y3

5. ALTRES PROBLEMES

G.2 0

cos ( x + + ) = + Y3

s i n x · tg x = --6

4 s i n ( x - + ) = 2

Volem mesurar l 'a l çada d 'una torre sense puj ar-h i . Per fer-ho ens en separem una d i stància ad i ent , per exemp le 25 m , i mesurem l 'ang le que forma l a v isua l des d 'aquest l loc a l punt més a l t de la torre , amb l 'horit­zonta l (per a mesurar ang les es fa serv i r un apare l l anomenat teodo l it) . Aquest ang le resu lta ser de 50º.

a) Quina és l 'a l çada de la torre?

b) Genera l itza el prob lema anterior per a una torre en la qual les me­sures de la d i stància i l 'ang le són , respectivament , d i a..

e) M esura per aquest proced i ment, s i d i sposes encara que s i gu i d 'un teodo l it senzi l l construït per tu mate ix , l 'a l çada de d i st i ntes parts del teu i nstitut .

56

l

G.21

Aquest prob lema consisteix a mesurar l 'a l çada d 'una muntanya . No es pot fer serv i r e l proced i ment anter ior , puix que no podem mesurar l a d i s­tància des de l peu O de l a vert ica l que passa pe l c i m , fi ns a un punt A s ituat a l p l a , j a que part de l 'esmentada d i stància OA queda d i ns l a muntanya . E n s valdrem d 'un a ltre s istema.

Podem mesurar l 'ang le a. que forma la v isua l des d 'A a l c im M amb l 'hor itzontal (A ha d 'ésser un punt de l p la , d 'a lçada sobre e l n ive l l de la mar coneguda ) . Però necessitem conèixer a més a lgun costat de l tr iang l e rectang l e AOM per a poder determ inar l 'a l çada OM.

Com que no és fàc i l de mesurar d i rectament cap d 'aquests costats haurem de determinar- los de manera i nd i recta . Senya lem sobre el terreny pla (horitzonta l ) un nou punt d 'observació B tal que l 'ang le MAB s igu i també un ang le recte . M esurem la d istància d entre A i B i l 'ang le format per les v isua ls BM al c im i BA a l punt d 'observació A , ang l e que anome­narem � -

a) Qui nes són les dades mesurades en e l procés?

b) Expressa l 'a l çada OM de l a mu ntanya en funció de les dades .

e) Qu i nes d ificu ltats creus que trobaràs , en segu i r aquest procés? Com ho far ies per tr iar e l punt 8? L 'ang l e és en un p la horitzonta l ? Qu ines d ificu ltats h i pot haver e n mesurar- l o?

57

d) Per mesurar l 'a lçada de l Ti b idabo, s 'han s i tuat dos vaixe l l s : l 'u n en una pos ic ió fixa A , enfront de l port de Barce lona i l 'a ltre a l 'a l tu ra de la desembocadura de l r iu Besòs . E l segon vaixe l l es va movent ( rep ordres per ràd io des de l vaixe l l A ) f ins a asso l i r una pos ic ió B,

ta l que les v isua ls des d 'A a l c im de l T ib idabo M i al segon vaixe l l form i n u n ang le recte . En aquesta pos ic ió es mesura l a d i stànc i a d entre ambdós vaixe l ls i e l s ang les :

a : ang le que forma la v isua l des d 'A a l c im M de l T ib idabo amb l 'hor itzonta l .

� : ang le que formen l es v isua ls des de B a l c im M de l T ib idabo i a l vaixe l l A .

E ls resu ltats d 'aquestes mesures van ser :

d = 5 .406 km a = 3º42' � = 56º6'

Determ ina l 'a l çada de l T ib idabo. Determina també la d i stància que h i ha en l ín i a recta des de l vaixe l l A a l peu de l T ib idabo . Fes e l ma­te ix respecte al c im .

G .22

Un moviment circular es pot transformar en un moviment de vaivé i recíprocament, instal·lant un eix a la vora del disc que gira ( moviment circu­lar) i obligant l 'altre extrem de l 'eix , unit a un altre eix, a moure 's en una direcció radial respecte al centre del disc ( vegeu figura ).

M � i� M

l

C

58

Aquest mecanisme es fa servir, per exemple als motors d 'explosió ( per transformar el moviment dels èmbols dels cilindres en un moviment cir­cular) .

I nteressa conèixer com var ia la pos ic ió de l 'extrem A de l 'e ix , en g i rar e l d isc (volant) . El d isc g i ra regu larment de manera que l 'ang le a g i rat per l 'extrem B de l 'e i x l l igat a la vora del volant , entorn a l centre O de l d isc , és proporc ional a l temps. Suposem que e l vo lant dóna una volta per m inut. Això vo l d i r que e l punt B g i ra 360º cada mi nut o bé 6º cada segon. Per tant, l 'ang le g i rat en un temps t serà a. = 6t.

Per poder efectuar e ls càlcu ls agafarem un s istema de referència amb l 'or igen en e l punt O ( centre de l volant) i e l s e ixos de coordenades OX i OY en les d i reccions ind icades a la figura . L 'e ix OX serà l 'or igen d 'ang les .

E l rad i de l d isc és de 1 O c m i la long itud BC de l 'e ix , de 30 cm. La lon­g itud AC de l sup lement és de 40 cm.

Yt l A

-x

Volem estud iar la pos ic ió de l punt A , en funció de l temps o en funció de l 'ang le a..

a) En qu i na pos ic ió de B (determi nada per l 'ang le a.) és més alta la pos ic ió de l punt A? Ou i na és la seva a lçada en aquest cas ?

b) l l a seva pos ic ió més baixa?

59

e) La long itud de ls b locs M , entre e ls qua ls l l i sca e l sup lement AC , és de 1 5 cm . A q u i na a lçada haurem de col·l ocar- los ? ( a l çada comptada des del centre O del d isc) . Raona l a resposta .

d) Estud iarem , ara , l a pos ic ió de l punt A en func ió de l 'ang le rJ. . Per fer-ho, descompon e l tr i ang l e mòb i l OBC, d i bu ixant l 'a l tu ra BH so­bre el costat OC.

Busca l a fórmu la de la funció rJ. OH.

Busca la fórmu la de la func ió rJ. HB .

HG es pot expressar en func ió de HB (ut i l i tzant e l teorema de P ità­gores) . Substitu i nt HB per la fórmu la trobada , es pot expressar la po­s ic ió d 'A , defi n ida per la d i stànc ia OA , en funció d 'a. . Obten im l l avors :

OA = OH + HG + CA

Dóna l a fórmu l a de l a funció

et. OA

e) Quins són e l dom i n i i e l conjunt i matge d 'aquesta func ió? ¿ És una funció per iòdica? Saps expressar- la en func ió , només , de s i n a.? Busca la func ió

s i n a. OA

Representa gràficament la funció

a. OA

En què es d i ferenc ia d 'una func ió s i n usoïda l ?

G . 23

Hem estud iat e l mode l x � y = s in x.

Vegem-ne , ara, l 'aspecte quan es mu lt i p l i ca per una constant. Per exemp le :

x � y = 2 s i n x

x � y = 1 /2 s i n x

x � y = - 3 s i n x

i en general x � y = k s i n x, k E IR .

a) Representa g ràficament l es func ions anteriors en un mate ix s i stema .

60

b) Comenta la i nfluènc ia que té l a constant sobre el mode l .

x � y = s i n x

e) Qui na és l 'amp l i tud en cada cas? l e l per íode?

d) Fes un estudi anà leg a l 'anter ior per a l a func ió

x � y = cos x

G.24

També podem veure què passa s i l a var iab le es mult ip l ica per una constant :

x � y = s i n 2 x

x � y = s i n 1 / 2 x

x � y = s i n (- x)

en genera l x � y = s in k x . k E IR . a) R epresenta les func ions anter iors en un mate ix g ràfi c .

b) Comenta com var ia

x � y = s i n k x

respecte a l mode l

x � y = s i n x

Fes un estudi anà l eg a l 'anter ior per a l a func ió

x � y = cos x

e) Qui n és el període en cada cas?

G.25

Fes un estudi anà leg de les func ions

x � y = 4 · s in 2 x

x � y = 3 . cos 3 x

i en genera l de l es func ions

x y = k · s i n a x

x y = k · cos a x

6 1

G.26

Un ressort del qua l hem penjat un cert pes amb una fletxa, que asse­nya la l a pos ic ió sobre una esca la g raduada, ind ica el O de l 'esca l a en pos i ció d 'eq u i l ibr i . E l separem de l a pos ic ió d 'equ i l i bri fins que i nd i ca un valor x = 5 cm . A l ' i nstant t = O el de ixem anar, i es posa a osci l·l ar pe· r iòdicament amb un període de 2 segons. Qu ina és l 'equació de la func ió t � x per a aquesta osci l·lac ió , suposant que és s i nusoïdal ? Fes e l g ràfic d 'aquesta func ió .

G.27

El rellotge

@ftffi/rij/UP/..U1

6 g �

o

x

Cons idera l a funció següent : S igu i t e l temps ( nombre d 'hores i frac· c ió) que ha passat a part ir de les O h de l d i a 1 de gener , i s i gu i h l ' hora que marca un re l lotge que funciona exactament.

a) Representa gràficament l a funció t � h f ins a les 24 h de l d i a 2 de gener .

b) És una funció per iòd ica? Qu in n 'és e l període?

e) És una funció contínua?

62

11

G.28

Un pou d 'a igua té un d i spos i t iu automàt ic de parada i arrencada. Una vegada engegada la bomba que treu l 'a igua , aquesta funciona fins que fa baixar el n ive l l per sota d 'un sensor que para automàticament la bomba. E l n ive l l a l qual és s ituat aquest sensor l 'anomenarem nive l l O . La bom­ba no es torna a engegar fins que les a igües que fan reven i r el pou hag i n fet pujar e l n ive l l a l 'a l tura d 'un a l tre sensor que posa novament l a bomba en marxa . Aquest sensor és s ituat 1 ,2 m per sobre de l 'a ltre.

Un dia es posa e l d i sposit iu en marxa a l matí . A les 1 0h 1 0m s 'atura la bomba i està parada fins a les 1 oh som. L lavors funciona novament i a les 1 1 h 30m es torna a parar fins a l es 1 2º 1 0m , i a ixí success ivament.

a) Quin és e l n ive l l h de l 'a igua d i ns e l pou a les hores esmentades? Fes l a tau la de l a funció t � h.

b) Suposant que e l cabal del corrent d 'a igua que fa reven i r el pou es manti ngu i constant i que e l d i pòsit de l pou entre e l s dos sensors s i gu i c i l índr ic , fes un gràfic que doni el n ive l l de l 'a igua d ins el pou , a part i r de les 1 0 h de l mat í fins a les 1 6 h. A qu i nes hores s 'atu­rarà i a q u i nes hores es tornarà a engegar durant aquest temps? Completa la tau la anter ior .

e) És una func ió per iòd ica? Qu in és e l seu període? l l 'ampl i tud? És una funció contínua?

d) Si l a bomba treu 2 .700 l per hora, q u i n és e l cabal del corrent d 'a igua subterran i que fa reven i r e l pou ?

e) Si aquest caba l d i sm i nu ís f ins a 800 l/h, ¿ qu i nes foren l l avors les durades de ls i nterva l s de temps en què funcionarà la bomba i aque l l s en què no funcionari a?

f) Quin és e l d iàmetre de l d i pòsit c i l índr ic de l pou ?

63

G.29

Un punt V de l p la pot ésser caracteritzat de dues maneres : per les seves coordenades cartes ianes ( abscissa x i ordenada y) o per l es se­ves coordenades pol ars constituïdes : per l a d i stància r de l punt V a l 'or igen i per l 'ang l e a. que forma l 'e ix pos it iu de les x amb l a semi ­recta OV.

a) Les coordenades pol ars d 'un punt de l p l a són A = 1 224ao, 8 = 0 ,83(1' i C = 3120". Quines en són les coordenades cartes ianes?

b) Les coordenades cartes ianes d 'un punt de l p l a són A = (- 24, 7) , B = (O , 8 ) i C = ( 1 , - 1 ) . Qu i nes en són les coordenades polars ?

G.30

Calcu la e l s s i nus , cos i nus i tangent de ls ang l es següents : 570º, 855º , - 30º i 240º.

G.31

Construe ix un ang l e a. ta l que t ingu i el s i nus dob l e de l cos inus ca l cu l a ' l s , j untament amb les seves ta ngent i cotangent.

G.32

Des d 'un punt s i tuat en un p la horitzonta l , es veu el c im d 'una torre sota un ang le de 30º. Si ens acostem 75 m cap al peu de la torre, aquesta es veu sota un ang l e de 60º. Troba'n l 'a l çada .

G . 33

Una canoa navega a l a ve loc i tat de 24 km/h en a i gües tranqui l·l es . La veloc itat d e l corrent d 'un r i u és de 8 km/h. S i l a canoa surt en d i recció perpend icu la r a l r i u , busca l a veloc itat efectiva i l a d i recció de l a tra­jectòr ia .

G.34

Dos l locs de l g l obus terraqü i estan en e l mate ix mer id ià . La l at i tud d 'A és 42º nord i 8 es troba a 400 km nord d 'A , qu i na és l a lat itud de B ?

G.35

Tres barres i gua ls de 14 dm ajuntades per un extrem formen un trí­pode . Troba la long itud d 'un costat de l tr i ang le determinat pe ls peus quan l 'ang le format per cada dues barres és de 63º.

64

l

l

l

G.36

L'ang l e d 'observació d e l cim d 'una muntanya des d 'u n punt s ituat al pla és de 50º. Si ens acostem 30 m cap a la muntanya , l 'ang l e és de 64º. Troba l 'a l tu ra de la muntanya .

G.37

En un tros de carretera la i nc l i nació és de 6º . Quant puja la carretera en 40 m, amidats sobre el p l a i nc l i nat?

G.38

Si les puntes de les dues cames d 'un compàs estan a 6 cm cada cama am ida 1 2 ,5 cm , qu in ang l e formen?

G.39

Un home s i tuat a l 'oest de l 'antena d 'una em issora de te l ev is ió , ob­serva que l 'ang l e d 'e l evació és de 42º. Camina 50 m cap al sud i troba que l 'ang l e d 'e l evació és a ra de 36º. Troba l 'a l tura de l 'antena i l a d i stància a l a pr imera pos ic ió . (Suposa que e l terreny és hori tzonta l . )

G.40

La l at itud del Tròpic de Capr icorni és de 23º27' . Calcu l a la l ong itud de la seva c i rcumferènc ia .

65

G . 41

En una carretera, trobem e l rètol de l a figura .

a) Quin s ign i ficat té?

b) Ou ant mesura l 'ang le que forma la carretera amb l 'horitzonta l 7

G.42

Un avió pot volar a l a velocitat de 600 km/h en atmosfera t ranq u i H a . S i quan e s d i r ige ix a l 'est e l vent v e d e l sud a l a velocitat d e 60 k m h. qu ina és l a d i recc ió del vo l ?

G . 43

U n observador observa l a L l una en e l seu zenit , i am ida l 'ang le A for­mat per l es dues v isua ls a dos pu nts oposats de l contorn de l a l l u n a p l ena . S i l 'ang l e A va l m ig grau , ca lcu la e l r ad i de l a L l una . Pren com a d i stànc ia de l a Terra a l a L luna 384.400 km.

G .44

Des d 'un far col·l ocat a 50 m sobre el n ive l l del mar, l 'ang l e de d e p res ­s ió d 'u n vaixe l l és 45º. A qu i na d i stànc ia de l far es troba?

66

G.45

PTOLOMEU, astrònom, físic, geògraf i matemàtic, que va viure a Alexan­dria al segle n de la nostra era, va escriure, en el llibre óptica, una explica­ció de com varien els angles en la refracció de la llum entre l 'aire i l 'aigua :

---

/ l

a i re D -----aigua ---=-r - r --=- r?-

\ "

H ..._____

A

G

� ""'

B ---l l l

l

/ l

� ---

«Si dirigim una visual fins que els punts Z i E apareguin simultàniament sobre un raig que parteix de l 'ull i fem moure radialment en l 'arc oposat GD una vareta (EH) fins que l 'extrem que es troba tocant la circumferència aparegui en la prolongació dels dos punts considerats anteriorment, i con­siderem l 'arc que es troba entre G i el punt que apareixia en línia recta, és a dir GH, veurem sempre aquest arc més petit que el AZ, i dibuixant les rectes EZ i EH obtindrem l 'angle AEZ més gran que el GEH, fet que no es pot donar sense que es produeixi una refracció, o sigui, sense que el raig ZE es refracti a H. Segons l 'augment d 'un dels dos angles oposats pel vèr­tex respecte a l 'altre, quan l 'arc AZ sigui de 1 0º, el GH en tindrà aproxima­dament 8º; quan AZ en tingui 20º, GH en tindrà 15 ,5º ; quan AZ sigui de 30º, GH serà de 22 ,5º; quan AZ en tingui 40º, GH en tindrà 29º; quan AZ en tingui 50º, GH en tindrà 35º ; quan AZ en tingui 60º, GH en tindrà 40,5º; quan AZ en tingui 70º, GH en tindrà 45 ,5º i quan AZ en tingui 80º , GH en tindrà 50º.»

67

a) Col·loca les dades de Pto lomeu en forma de tau la .

b) Compl eta la tau la s i n AZ s i n GH

e) Pto lomeu va arr ibar a la conc lus ió que el ra i g i nc ident i el refrac­tat es trobaven en un mate ix p la , i que e ls ang les d ' i nc idènc ia i de refracció eren de mesura d i ferent. ¿ C reus que amb les seves dades es pod i a arribar a estab l i r l es l l e i s de l a refracció tal com les co­ne ixem avu i d i a ? Per què?

NoTA: Ptolomeu va utilitzar uns aparells senzills , però enginyosos . Va publicar tres taules de refracció relatives a aire-aigua, aire-vidre, aigua-vidre. Aquestes taules donen els angles de refracció per a incidències de l O en 1 0 graus, des de Oº fins a 80º . El valor constant de les diferències segones ( 30 minuts o O ,5 graus) mostra que van poder ésser calculades sistemàti­cament partint d'una o de dues mesures experimentals com a màxim. Es po­drien considerar com una més de les taules numèriques que hom troba, des dels babilonis , a diferents camps, com l'astronomia i la geodèsia, i és exa-

1. gerat veure-hi el primer intent de recerca d'una llei física. Les eines mate­màtiques gregues no eren suficientment riques per a arribar-hi .

TREBALL SOBRE FU NCIONS CIRCULARS ---------

68

Func ió per iòd ica . Període . Ampl i tu d .

S i nus , cos i nus i tangent d 'u n a n g l e agut . Re lacions fonamenta ls .

Raons tr igonomètr iques de ls ang les de 30º, 45º, 60º.

Reso luc ió de tri ang les rectang les .

Mesura d 'ang les : graus , rad ians .

L 'ang l e com a g i r . Reducció a l pri mer g i r .

Amp l i ac ió d e l es defi n i c ions de cos inus , s i nus i tangent a ang les qua lssevo l . R e l ac ions fonamenta l s .

R e l ació entre e l coefic ient angu la r d 'una recta i l a tangent de l 'ang le entre l a recta i l 'e ix d'absc isses .

Estu d i d e la func ió cos i n u s . Domini , període , recorregut.

Estud i de la fu nc ió s i nus .

Estu d i de l a fu nc ió tangent.

Estu d i de la funció cotangent .

Estu d i de les funcions secant i cosecant.

R e l a c ions entre l es raons tr igonomètr iques d 'ang les diferents .

Func ions c i rcu l ars i nverses :

Estud i d e l es func ions arc s i nus . arc cos i n us i arc tangent .

69

o 2 1 7 1

� OO�íl vicens-vives® 9 788431 6 1 9 7 0 1 plena dedicació a rensenyament